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Full text of "Lehrbuch der Algebra"

LEHRBUCH 



DER 



ALGEBRA 



VON 



HEINRICH WEBER 

PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER UNIVERSITÄT STRASSBÜRG 



ZWEITE AUFLAGE 



DRITTER BAND 



MIT ZWEI ABBILDUNGEN IM TEXT 



BRAUNSCHWEIG 

DRUCK UND VERLAG VON FRIEDRICH VIEWEG UND SOHN 

19 8 



ELLIPTISCHE 



FUNKTIONEN 



UND 



ALGEBRAISCHE ZAHLEN 



VON 



HEINRICH WEBER 

PROFESSOE DER MATHEMATIK AN DER UNIVERSITÄT STEASSBURG 



ZWEITE AUFLAGE 



MIT ZWEI ABBIIiDUNGEN IM TEXT 



BRAUNSCHWEIG 

DRUCK UND VERLAG VON FRIEDRICH VIEWEG UND SOHN 

19 8 






Alle Rechte, 
namentlich dasjenige der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. 



Published May 24, 11108. 
Privilege of Copyright in the United States reserved under the Act 
approved March 3, 1905 by Fried r. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 

Germauy. 




ßlCHAßD DEDEKIND 



DAVID HILBEET, HERMANN MINKOWSKI 



IN HERZLICHER FREUNDSCHAFT 



GEWIDMET. 



VORWORT. 



Jiis ist mir vergönnt, den Plan einer Weiterführung meines 
Lehrbuches der Algebra, den ich vor zwölf Jahren in der Vor- 
rede zur ersten Auflage des zweiten Bandes angekündigt habe, 
nach mannigfaltigen Abhaltungen noch auszuführen. Durch das 
Entgegenkommen der Verlagsfirma erscheint dieser dritte Band 
der Algebra zugleich als zweite Auflage der im Jahre 1891 zum 
erstenmal gedruckten „Elliptischen Funktionen und algebraischen 
Zahlen". 

Er beschäftigt sich hauptsächlich mit dem weiteren Ausbau 
der mannigfaltigen Anwendungen der Algebra und besonders der 
Theorie der quadratischen Körper auf die aus den elliptischen 
Funktionen hervorgegangenen Probleme, die uns das erste über 
die Kreisteilung hinausgehende Beispiel von algebraischen Zahlen 
liefern, deren Gesetze einigermaßen bekannt sind. Als Grund- 
lage dazu dient eine eingehendere Behandlung der quadratischen 
Körper mit negativer Diskriminante. Freilich ist auch hier nicht 
alles erreicht, was ich mir als letztes Ziel gesteckt hatte. So 
mußte die Ausführung der Theorie der relativ zyklischen Körper 
noch zurückgestellt werden — hoffentlich nur einstweilen. 

Dagegen habe ich, einem mehrfach an mich herangetretenen 
Wunsche entsprechend, einen Abriß der Theorie der algebrai- 
schen Funktionen auf arithmetischer Grundlage beigefügt, der 



VIII Vorwort. 

sich im wesentlichen an die Abhandlung von Dedekind und mir 
im 92. Bande von Grelles Journal anschließt, aber durch An- 
wendung der Theorie der Funktionale, auf die ich im zweiten 
Bande die Theorie der algebraischen Zahlen gegründet habe, wie 
mir scheint, eine Vereinfachung erreicht. 

Straßburg, im Mai 1908. 

H. Weber. 



[ÄHALTSVERZEICHNIS. 



Erstes Buch. 

Analytischer Teil. 

Erster Abschnitt. 
Die elliptischen Integrale. 

Seite 

§ 1. Definition der elliptischen Integrale 3 

§ 2. Doppelverhältnisse 5 

§ 3. Lineare Transformation des elliptischen Differentials 8 

§ 4. Die Legendresche Normalform 11 

§ 5. Die Weierstrasssche Normalform 13 

§ 6. Elliptische Kurven 18 

§ 7. Elliptische Raumkurven vierter Ordnung 23 

§ 8. Das Jacob ische Transformationsprinzip 30 

§ 9. Die Transformation zweiten Grades 32 

§ 10. Die Transformation dritten Grades 35 

§ 11. Die drei Gattungen elliptischer Integrale 38 

§ 12. Darstellung der elliptischen Integrale durch die einfachsten 

Grundintegrale 40 

§ 13. Das Additionstheorem 43 

§ 14. Ursprung der elliptischen Funktionen 49 

Zweiter Abschnitt. 

Theta - Funktionen. 

§ 15. Voraussetzungen aus der Funktionentheorie 53 

§ 16. Periodizität 56 

§ 17. Die Funktionen T 60 

§ 18. Relationen zwischen verwandten T-Funktionen 65 

§ 19. T-Funktionen erster Ordnung 67 

§ 20. Die .^-Funktion 69 

§ 21. Die Theta - Funktionen verschiedener Charakteristiken. Haupt- 
charakteristiken 71 

§ 22. Das Additionstheorem 76 

§ 23. Die Derivierten der ^-Funktionen 81 

§ 24. Darstellung der ^--Funktionen durch unendliche Produkte .... 83 



X Inhaltsverzeichnis. 

Seite 

§ 25. Dai'stellung der 5 -Funktionen durch unendliche Reihen .... 86 

§ 26. Entwickelung von ^-Quotienten 88 

Dritter Abschnitt. 

Transformation der Theta - Funktionen. 

§ 27. Das Transformationsprinzip 93 

§ 28. Zusammensetzung der Transformationen 96 

§ 29. Zusammensetzung der Transformationen aus einfacheren .... 99 

§ 30. Die linearen Fundamentaltransformationen 101 

§ 31. Die linearen Fundamentaltransformationen der v^-Funktionen . . 103 

§ 32. Die Haupttransformationen zweiter Ordnung der 5 -Funktionen . 105 

§ 33. Die Haupttransformationen ungerader Ordnung 110 

§ 34. Die Funktionen '; (w), /"(w), /^(w), /^(w) 112 

§ 35. Die Weierstrasssche ö-Funktion 116 

§ 36. Die Funktionen ffooi "'on ''^lo 119 

§ 37. Darstellung der a-Funktionen durch .V -Funktionen 122 

§ 38. Lineare Transformationen der Funktion 7]{m) 124 

§ 39. Lineare Transformation der 5^-Fuuktionen 130 

§ 40. Lineare Transformation der Funktionen /'(w), fi((o), f^ioi) ■ • ■ 132 

Vierter Abschnitt. 

Die elliptischen Funktionen. 

§ 41. Zusammenhang der /^-Funktionen mit den elliptischen Integralen 135 

§ 42. Jacobis elliptische Funktionen 137 

§ 43. Die Jacobischen Funktionen 0(v), H{v) 141 

§ 44. Additionstheorem der elliptischen Funktionen 142 

§ 45. Die lineare Transformation der elliptischen Funktionen .... 147 

§ 46. Die Weierstrasssche p-Funktion 150 

§ 47. Die elliptischen Transzendenten zweiter Gattung 153 

§ 48. Die elliptischen Transzendenten dritter Gattung 156 

§ 49. Die Transzendenten zweiter und dritter Gattung von Weierstrass 160 

§ 50. Entwickelungen der elliptischen Funktionen 162 

Fünfter Abschnitt. 

Die Modulfunktionen. 

§ 51. Die elliptischen Differentialgleichungen 166 

§ 52. Die unabhängige Variable z^. Lineare Differentialgleichung für K 167 

§ 53. Die Lösungen der Gleichung ./ (w) = j (w') 174 

§ 54. Die Modulfunktionen 176 

§ 55. Darstellung der elliptischen Funktionen durch v und y^ . . . . 181 

§ 56. Potenzreihen für die Weierstrassschen Funktionen p{u), o(u) 185 

Sechster Abschnitt. 

Multiplikation und Teilung der elliptischen Funktionen. 

§ 57. Multiplikation der elliptischen Funktionen 190 

§ 58. Multiplikation der Funktion p (u) 196 



Inhaltsverzeichnis. XI 

Seite 

§ 59. Die Teilung durch 2 200 

§ 60. Die Teilung durch eine ungerade Zahl 202 

§ 61. Die Teilung der Perioden 204 

§ 62. Die Abelschen Relationen 205 

§ 63. Die Galoissche Gruppe der Teilungsgleichung 208 

§ 64. Die ii'reduzibelu Faktoren der Teilungsgleichung 216 

§ 65. Zurückführung der Teilungsgleichung auf Transformations- 
gleichungen 217 

Siebenter Abschnitt. 

Theorie der Transformationsgleichungeu. 

§ 66. Bildung von Transformationsgleichungen 225 

§ 67. Besondere Transformationsgleichungen 228 

§ 68. Zweite Darstellung der Wurzeln der Transformationsgleichungen 231 

§ 69. Die Invariantengleichung 237 

§ 70. Transformationsgleichungen erster Stufe 245 

§ 71. Die Transformationsgleichungen für y^ und y.^ 247 

§ 72. Multiplikatorgleichungen erster Stufe 248 

§ 73. Die Schlaef lischen Modulargleichungen 256 

§ 74. Die Form der Schlaef lischen Modulargleichungen 265 

§ 75. Die irrationalen Formen der Modulargleichungen 269 

§ 76. Zusammengesetzte Transformationsgrade 274 

§ 77. Geometrische Deutung der irrationalen Modulargleichungen als 

Korrespondenzen 280 

Achter Abschnitt, 

Die Gruppe der Transformationsgleichungen und die Gleichung 
5ten Grades. 

§ 78. Die Galoissche Gruppe der Transformationsgleichungen für 

einen Primzahlgrad 284 

§ 79. Untersuchung der Gruppe Ü, 290 

§ 80. Normalteiler der Gruppe ß« ^^'^ 

§ 81. Nichtnormale Teiler von 2^ 299 

§ 82. Teiler von So vom Index p für p = 5, 7, 11 805 

§ 83. Verschiedene Resolventen 5ten Grades für den 5ten Trans- 
formationsgrad 309 

Zweites Buch. 

Quadratische Körper. 

Neunter Abschnitt. 

Diskriminante. 

§ 84. Definition der Diskriminanten .321 

§ 85. Das erweiterte Legendr e- Jacobische Symbol 322 

§ 86. Die Gaussschen Summen 328 



XII Inhaltsverzeichnis. 

Zehnter Abschnitt. 
Algebraische Zahlen und Formen. 

Seite 

§ 87. Ideale und Formen in algebraischen Körpern 330 

§ 88. Idealklassen und Formenklassen 333 

§ 89. Komposition der Formen und Multiplikation der Ideale .... 335 

Elfter Abschnitt. 
Ideale in quadratischen Körpern. 

§ 90. Diskriminante des quadratischen Körpers 338 

§ 91. Ideale und Formen in quadratischen Körpern 340 

§ 92. Primideale im quadratischen Körper 342 

§ 93. Darstellung von Zahlen als Idealnormen 344 

§ 94. Das quadratische Reziprozitätsgesetz 345 

§ 95. Äquivalente Formen und Ideale im quadratischen Körper . . . 347 

Zwölfter Abschnitt. 

Ordnungen im quadratischen Körper. 

§ 96. Diskriminanten der Ordnungen 351 

§ 97. Ordnungen und Ideale 353 

Dreizehnter Abschnitt. 
Äquivalenz nach Zahlgruppen. 

§ 98. Zahlgruppen in den Ordnungen 358 

§ 99. Äquivalenz in den Ordnungen 361 

§ 100. Idealklassen nach den Ordnungen 362 

Vierzehnter Abschnitt. 
Komposition der Formen und Ideale. 

§ 101. Komposition in den Ordnungen 368 

§ 102. Komposition der Ordnungen 373 

Fünfzehnter Abschnitt. 
Geschlechter der quadratischen Formen. 

§ 103. Darstellung von Zahlen durch quadratische Formen 376 

§ 104. Charaktere und Geschlechter der quadratischen Formen .... 380 

§ 105. Anwendung des Legen dreschen Symbols 385 

§ 106. Die Geschlechter der Idealklassen 388 

§ 107. Zusammensetzung der Normeni-estgruppen 389 

§ 108. Normenreste der Primzahlpotenzen 390 

§ 109. Die Geschlechter der Ideale 395 



Inhaltsverzeichnis. XIII 

Sechzehnter Abschnitt. 
Klasseiizahl in quadratischen Körpern. 

Seite 

§ 110. Fundamentale Einheiten in den Ordnungen 398 

§ 111. Die Dirichletsche Grenzformel 402 

§ 112. Klassenzahl 405 

§ 113. Die Anzahl der Geschlechter 409 

Drittes Buch. 

Komplexe Multiplikation. 

Siebzehnter Abschnitt. 
Elliptische Funktionen und quadratische Formen. 

§ 114. Singulare Perioden der doppelt periodischen Funktionen ... 413 

§ 115. Die singulären Werte der Invariante j' (w) 418 

§ 116. Klassenzahlrelationen 423 

§ 117. Arithmetische Natur der Klassenfunktion Hm{u) 426 

§ 118. Komposition der quadratischen Formen 428 

§ 119. Die Diskriminante der Invariantengleichung 431 

Achtzehnter Abschnitt. 
Galoissche Gruppe der Klassengleichung. 

§ 120. Relationen zwischen den Klasseninvarianten derselben Diskri- 
minante 435 

§ 121. Trennung der entgegengesetzten Klassen 437 

§ 122. Irreducibilität 442 

§ 123. Beziehungen zwischen den Klasseninvarianten in den verschie- 
denen Ordnungen 450 

§ 124. Klassenkörper und Ordnungskörper 455 

Neunzehnter Abschnitt. 

Berechnung der Klasseninvarianten. 

§ 125. Die Klasseninvariante y^ 457 

§ 126. Die Klasseninvarianten ({^f* 462 

§ 127. Die Potenzen von /'(w) als Klasseninv^rian ten 467 

§ 128. Die ersten Fälle der Berechnung von /"(V — w() 474 

§ 129. Anwendung der Transformation zweiter Ordnung zur Berechnung 

von Klasseninvarianten 476 

§ 130. Berechnung von Klasseninvarianten aus den Schlaefli sehen 

Modulargleichungen 477 

§ 131. Berechnung von Klasseninvarianten aus den irrationalen Formen 

der Modulargleichungen 485 



XIV Inhaltsverzeichnis. 

tSeite 

§ 132. Die Schlaeflische Modulargleichung für den 23sten Trans- 
formationsgrad 489 

§ 133. Die Resolventen 7teu und Uten Grades für den 7ten und Uten 

Transformationsgrad 491 

Zwanzigster A 1j s c h n i 1 1 . 
Die Multiplikatorgleichung in der liomplexen Multiplikation. 

§ 134. Die Klasseninvariante y-^i^o) 500 

§ 135. Die Klasseninvarianten x" und x 505 

§ 186. Quadratische Transformationsgrade 507 

§ 137. Zurückführung ungerader Diskriminanten auf gerade 512 

§ 138. Zerfällung der Klassengleichung nach den Geschlechtern . . . 513 

§ 139. Beispiele 521 

Einundzwanzigster Abschnitt. 

Die Normen der Klasseninvarianten /'(w). 

§ 140. Konvergenz einer unendlichen Reihe 525 

§ 141. Die Kroneckersche Grenzformel 526 

§ 142. Die Normen der Klasseninvarianten /'(w) 533 

§ 143. Partialnormen von /"(w) 541 

§ 144. Berechnung einiger weiterer Klasseninvarianten 545 

Zweiund zwanzigster Abschritt. 

Cayleys Entwickelung der Modulfunktionen. 

§ 145. Grenzwerte für s = 1 548 

§ 146. Ein Satz über Reihenkonvergenz 551 

§ 147. Entwicklung von f, /i, /; 553 

§ 148. Elementare Ableitung der Entwickelungen 557 

§ 149. Entwickelungen für die Funktion log /y (w) 559 

Viertes Buch. 

Klassenkörper. 

Dreiundzwanzigser Abschnitt. 
Der Teilungskörper. 

§ 150. Die homogenen Weierstrass sehen Funktionen 563 

§ 151. Die komplexe Multiplikation der Funktion p (u) 566 

§ 152. Die Pole der Funktion p(uu) 568 

§ 153. Die Funktion t(u) . . . '. 571 

§ 154. Der Teilungskörper 573 

§ 155. Multiplikation der elliptischen Funktionen für einen ungeraden 

Multiplikator 576 

§ 156. Übergang zu den singulären Moduln 581 



Inhaltsverzeichnis. XV 

Seite 

§ 157. Komplexe Multiplikatoren 583 

§ 158. Zerlegung der Funktion A(x) 590 

§ 159. Primideale 592 

§ 160. Primideale ersten Grades in %m 594 

§ 161. Zahlgruppen und Idealgruppen 596 

§ 162. Die durch ein Ideal teilbaren Ideale der Hauptklassen .... 599 

§ 163. Die Dirichletschen Summen 602 

§ 164. Der Klassenkörper • 607 

§ 165. Primideale in den Klassen 611 

§ 166. Primideale in den Idealklassen 612 

§ 167. Primzahlen in Linearformen 613 

§ 168. Keduktion der Klassengleichung in den Kreisteilungskörpern . . 616 

§ 169. Beziehung der Teilungskörper zu dem Klassenkörper 619 

Fünftes Buch. 

Algebraische Funktionen. 

Vierundzwanzigster Abschnitt. 

Algebraische Funktionen einer Vari.iblen. 

§ 170. Eiuleitendes 623 

§ 171. Definition der algebraischen Funktionen 624 

§ 172. Normen und Spuren 627 ■ 

§ 173. Diskriminanten 631 

§ 174. Die Potenzsummen 632 

§ 175. Ganze Funktionen von z 635 

§ 176. Minimalbasis und Körperdiskriminante 637 

Fünfundzwanzigster Abschnitt. 

Funktionale. 

§ 177, Rationale Funktionale 640 

§ 178. Funktionale des Körpers Sl . . ^^ 642 

§ 179. Ganze Funktionale des Körpers Sl 643 

§ 180. Teilbarkeit von Funktionalen. Einheiten 644 

4} 181. Größter gemeinschaftlicher Teiler 645 

§ 182. Primfunktionale in IT 646 

§ 183. Basen und Basisformen der Funktionale 651 

§ 184. Basisform und Verzweigungsfunktional 654 

§ 185. Die gebrochenen Funktionen in £1 und die Taylor sehe Ent- 

wickelung 658 

§ 186. Birationale Transformation 660 

Sechsundzwanzigster Abschnitt. 

Zahlenwerte der algebraischen Funktionen. 

§ 187. Der Punkt 663 

§ 188. Ordnungszahlen 666 



XVI Inhaltsverzeichnis. 

Seite 

§ 189. Polygone 667 

§ 190. Verzweigungspunkte und Verzweigungszahlen 669 

§ 191. Polygonquotienten und Polygonklassen 670 

§ 192. Polygonscharen 672 

§ 193. Normalbasen 676 

§ 194. Differentialquotienten 679 

§ 195. Darstellung der Differentialquotienten durch Polygonquotienten 682 

§ 196. Geschlecht des. Körpers £1 685 

Siebenundzwanzigster Abschnitt. 

Algebraische und Abel sehe Differentiale. 

§ 197. Differentiale in £1 688 

§ 198. Die Polygonschar erster Gattung 690 

§ 199. Der Rieniann-Rochsche Satz 695 

§ 200. Differentiale zweiter und dritter Gattung 699 

§ 201. Die Residuen 702 



Tabellen. 

I. Entwickelungen der sechzehn i* -Quotienten (S. 88) 711 

II. Zweite Form der Entwickelung der sechzehn ö-Quotienten (S. 91) 713 

III. Entwickelung der /^-Quotienten in trigonometrischen Reihen (S. 92) 716 

IV. Entwickelungen der elliptischen Funktionen (S. 163) 718 

V. Entwickelung der Transzendenten zweiter Gattung (S. 164) .... 720 

VI. Verzeichnis von Klasseninvarianten (zum neunzehnten Abschnitt) . 721 

Alphabetisches Register 727 



ERSTES BUCH, 



ANALYTISCHER TEIL. 



Weber, Algebra. III. 



Erster Abschnitt. 

Die elliptischen IiitegTale. 



j § 1. Definition der elliptischen Integrale. 

Wenn die systematische Darstellung der Integralrechnung bis 
zu dem Punkte gelangt ist, wo algebraische Integrale mit der 
Quadratwurzel aus einer Funktion ersten oder zweiten Grades 
auf Integrale rationaler Funktionen zurückgeführt werden, so tritt 
an dieser Stelle dem Lernenden eine Schranke entgegen, die er 
mit den ihm bis dahin zu Gebote stehenden Hilfsmitteln nicht 
zu übersteigen imstande ist. Das Streben nach einer Erweiterung 
der Hilfsmittel, um auch noch die nächste Klasse von Integralen 
der Forschung zugänglich zu machen, ist, wie es historisch der 
Anlaß gewesen, zu einem eingehenderen Studium der elliptischen 
Integrale und zur Einführung der elliptischen Funktionen, auch 
der naturgemäßeste und verständlichste Ausgangspunkt für den, 
der in die Theorie dieser Funktionen zuerst eingeführt werden 
soll. Es soll daher auch unsere nächste Aufgabe sein, uns mit 
den elliptischen Integralen und ihren wichtigsten Eigenschaften 
bekannt zu machen. 

Die Definition eines elliptischen Integrals, von der wir aus- 
gehen wollen, ist die folgende: Es bedeute f\x) eine ganze 
rationale Funktion dritten oder vierten Grades mit vier verschie- 
denen Wurzeln 

(1) f(x) = «0*'* -h 4aia;3 -f- Qa^x^ -}- ia^a; -\- «4, 

worin Uq und «j nicht beide zugleich verschwinden; es sei ferner 
^(x\ y) eine beliebige ganze oder gebrochene rationale Funktion 
der beiden Argumente rr, y. Dann ist 



f 



^{x, ylf{oc))dx 
das allgemeine elliptische Integral und 

0{x, )l f(x))dx 



1* 



4 Erster Abschnitt. § 1. 

das allgemeine elliptische Differential. Es läßt sich nun 
aber dies allgemeine Integral und Differential auf wesentlich ein- 
fachere zurückführen. Zunächst läßt sich in die Form setzen: 



worin A, B, C, I) ganze rationale Funktionen von x sind, und 
indem man diesen Bruch mit C — D y f{x) erweitert, in die Form 

worin W(x) und O (x) ganze oder gebrochene rationale Funk- 
tionen von X sind, nämlich 

_ ÄC-BBfjx) 

'^^ — C'2 — B^fix) 

Wir lassen nun das rationale Integral 

jW{x)dx, 

das auf Logarithmen und algebraische Funktionen führt, außer 
Betracht, und befassen uns nur noch mit dem elliptischen Integral 

(2) f ^(:'}dx 

oder dem entsprechenden elliptischen Differential 

(3) <x>(x)-iL.' 

Es ist bisweilen nützlich, dies Differential in der homogenen 
Form zu betrachten; zu diesem Ende setzen wir für x das Ver- 
hältnis zweier Variablen x:y, und demnach für dx 

ydx — xdij 

Ist dann 

f{x, tj) = a^x* -f 4 «1^3^ j^ Qa^xHß + ^a^xiß -f a^iß , 

und 0{x, y) eine homogene Funktion Oter Ordnung, so erhält 
unser elliptisches Differential die Gestalt 

(4) <x>{x,yy^'^';-^^y. 



§ 2. Duppelverhältuisse. 5 

Die Aufgabe, die uns nun zunächst beschäftigen wird, ist 
eine doppelte: Es soll durch Einführung neuer Veränderlicher 
das Differential 

(5) -ߣ^ oder yi^i^Ml 

V/'W ifiAv) 

in ein anderes von derselben Form transformiert werden, worin 
aber die Funktion unter dem Quadratwurzelzeichen möglichst 
vereinfacht und besonders von einer möglichst kleinen Zahl von 
Parametern abhängig gemacht wird (§ 3, 4, 5). Es soll zweitens 
das allgemeine Differential (3) oder (4) in andere ähnliche zerlegt 
werden, in welchen die Funktion 0{x) oder ^{oc^y) möglichst 
einfach ist (§ 12). 

Die Funktion f[x) läßt sich in lineare Faktoren zerlegen 
(Bd. I, § 33). Wir setzen demnach auch 

f(x) = ao{x — Xi){x — X2){x — X3){x — x^). 

Denken wir uns die Größen x, x,, X2, .-. als Abszissen von 
Punkten auf eine gerade Linie von einem beliebigen Nullpunkte 
aus aufgetragen, die positiven nach der einen, die negativen nach 
der anderen Seite (z. B. positiv nach rechts, negativ nach links), 
so stellen die Differenzen x — x^^ x — x^i x — .Tg, x — x^ die 
Entfernungen des Punktes x von x^, x^, x^^ x^ dar , und zwar 
positiv gerechnet, wenn x nach der positiven Seite von rr^ , x^^ ... 
liegt. In demselben Sinne ist Xj — Xi die Entfernung des Punktes 
X2 von »1 usf. 

Wir bezeichnen die Differenzen auch kürzer durch {xx-^)^ 
(xiTg), ... {x^x-^)^... Wir benutzen diese Darstellungsweise aber 
nur zur leichteren Übersicht und schließen auch imaginäre Punkte 
der Geraden nicht aus. 

, § 2. Doppelverhältnisse. 

Das einfachste Mittel zur Vereinfachung des elliptischen 
Differentials stützt sich auf die lineare Transformation der Funk- 
tion f{x) (Bd. I, § 67). Es mögen a, /3, y, ö vier beliebige Kon- 
stanten bedeuten, deren Determinante 
(1) a8 — ßy z= r 

von Null verschieden ist. Wir setzen 

(o\ — ^^' + ^ 

yx -\- 



g P>ster AVischnitt. i? 2. 

und nermen dies eine lineare Substitution. Deuten Avir x 
und x' wie im § 1 als Punkte auf zwei geraden Linien L und L\ 
so ist durch (2) eine gegenseitig eindeutige Beziehung der 
Punkte von L und L\ eine Abbildung, festgelegt. Den Werten 
X = 00 und x' = r. entsprechen die unendlich fernen Teile 
der Geraden, die wir ebenfalls als bestimmte Punkte betrachten. 
Es entspricht dann der Punkt x' = x dem Punkt x = a:y und 
der Punkt x = x> dem Punkt x' = — d : y, und nur wenn y = 0, 
die Substitution (2) also ganz ist, entsj^rechen sich die unendlich 
fernen Punkte auf L und L' gegenseitig. 

Die Substitution (2) ändert sich nicht, wenn die vier Trans- 
formationszahlen mit demselben Faktor multipliziert werden. Die 
Determinante r vervielfältigt sich mit dem Quadrate dieses 
Faktors, und man kann daher diesen Faktor so bestimmen, daß 
die Determinante einen beliebig gegebenen Wert, z. B. den Wert 1 
erhält. 

Wendet mau die Substitution (2) auf irgend zwei Punkte .r^, ^^ 
und die zugehörigen xi, X2 an, so ergibt sich 

, X _ r{x[x2) 

und wenn man ein zweites Punktepaar x-^ , x^ und das ent- 
sprechende x's, x'i hiuzuiiimmt: 

, w X _ r^{x'iX'2){x3X4) 

{x,x,)^x,x,) - ^^^, _^ ^,^^^^, ^ ^^^^^, ^ ^^^^^, ^ ^^. 

Vertauscht man hierin X2 mit x^ und bildet den Quotienten, 
so folgt 

/ . , \ (•'^1 X2 ) (^3 ^4 ) {^X]X2)yX3Xi) 

(■*i ^3 ) ('^2 ^'4 ) (■3^1 ^'3) (■^'2 ^4) 

Der Ausdruck auf der linken Seite wird das DoiJj)el Ver- 
hältnis des Punktepaares x-^x^ zu dem Punktepaar XiX^^ genannt, 
und es ist also in dieser Formel der Satz enthalten: 

Das Doppelverhältnis zweier Punktepaare ist bei 
gleichzeitiger linearer Transformation der vier Punkte 
invariant. 

Vier Punkte lassen sich auf sechs Arten in zwei Paare zer- 
legen. Setzen wir aber 

Cl V "^2 3 / V 1 4/ 

= [X:^Xi)(^X2Xi)^ 



(ö) 



§ 2. Doppelverhältnisse. 7 

SO besteht die Identität: 
(4) a + 6 -f- c = 

und wir erhalten die sechs Doppelverhältnisse 
c a h 

"T' ~7' ~ä' 

b c a 

~7' "~7' ~T' 

setzen wir das erste von ihnen — c:b ■:= tc^, so erhält man 
nach (4) die sechs: 

1 1 1 x2 

(6) ""'^ ^~^' ri^^2' ^' x2 — 1' 1 — '''• 

Es sind also die sechs Doppelverhältnisse aus den vier Punkten 
linear durch eines unter ihnen ausgedrückt. 

Wenn die rr^, ^21 -^'35 ^4 untereinander permutiert werden, so 
werden die a, b, c untereinander permutiert und ändern ihre 
Vorzeichen, jedoch so, daß entweder alle drei Vorzeichen gleich- 
zeitig geändert werden oder ungeändert bleiben. Beispielsweise 
geben die Transpositionen 

(u) und (23) (_:_*_:) 



(24) und (31) (_;; J _i) 

(34) und (12) 



a 


b 


c 


a 


— c 


— b 


a 


h 


c 


c 


— b 


— a 


a 


b 


c 


b 


— a 


— c. 



Wenn x-^^ i\^ x^, x^, reell sind, so wird x^ dann und nur 
dann ein positiver echter Bruch, wenn a- und 1 — %^ positiv, 
also entweder a und c positiv und b negativ oder a und c negativ, 
b positiv ist. Dies findet statt, wenn i\, x^, x^, x^ in dieser 
Reihenfolge der Größe nach aufsteigend einander folgen und bei 
allen den Anordnungen, die daraus durch solche Permutationen 
entstellen, die b ungeändert lassen. Dies sind die folgenden acht: 

12 3 4 



2 


3 


4 


1 


3 


4 


1 


2 


4 


1 


2 


3 


1 


4 


3 


2 


4 


3 


2 


1 


3 


2 


1 


4 


2 


1 


4 


3 



8 Erster Al)S(!litiit,t. § H. 

Denkt man sidi also Xj, a^g, ä's, x^ in dieser Kcihenfolge auf 
eine Krei8peri|)hene ^^esetzt, so erhält man immer dann ein jjosi- 
tives echt gebroclienes x^, wenn die Xi so der Größe nach auf- 
(änandor l'olf^cn, <hiß man mit einem beliebi}i:en als kleinstem an- 
i\\uis,i und dann auf dem Kreise entweder nach rechts oder nach 
liid<8 weiter zählt. Wir drücken dies so aus: 

Damit x''' ein i)ositivor echter Bruch sei, müssen die 
(jirößcn it'i, .Ta, ic's, X4 der Größe nach zyklisch aufeinander 
folgen. 

{5 3. Lineare Transformation des elliptischen Differentials. 

Wenn sich die beiden Punkte Xj und .i^ einem und demselben 
l'uidite X annähern, so nähern sich .r'^ und .r!, dem entsprechenden 
l'iinkto .1' an. Wir setzen dann {xsX^):{x[iXi) = dx'.dx' und 
erhalten aus (.'{), t^ 2, die Heziehunn /wischen den Differentialen 
d r, d x' : 

, . {x-i^x,^dx {x\x'c^dx' 

^ ^ (.r,,r)(x,,r) - {x\ x') {v'.x')' 

Kbenso ergibt sich, wenn man an Stelle von .Tj , x^ zwei 
andere Punkte a^^;„ x^ setzt: 
^^N {x^Xi)dx __ {xzx'i)dx' 

{x^x){x^a) ~~ {x'zx'){x'iX'y 

und wenn man multipliziert und die Wurzel zieht; 
/jjN i{XiX^){xzXi)dx __ ^ {x\£i){XiX'i)dx' 

V (-^1 *■) (-^a ^) (^3 ^) (^4 ^) V (^i ^') (^2 ^0 (^s x') {x'i x') ' 
also eine Transformation des elliptischen Differentials 
durch eine lineare Substitution: 

_ ax' + /3 
'^- yx'^8' 

Diese Substitution ist vollkommen bestimmt, wenn zu drei 
beliebigen Puidvten ,r,, .j'g, .<•;., die zugehörigen Werte x\^ .r'i-, oc'z 
willkürlich gegeben sind, und man erhält sie aus der Gleichheit 
des 1 )opi)el Verhältnisses : 

,^^ {x^x^){x^a^ _ {x\Xi){xzx') 

{xyXi){x^x) {x\x'^{.v'iX'y 
durch Auflösung nach .r, und den vierten zu x^ gehörigen Wert 
x\ erhält man aus 



§ 3. Lineare Transfurmatiou des elliiitiscbeu Differentials. 9 

y^Xi Xi^j yX2X^j \p'i X3J {^X^ Xij 

Wenn die Funktion f\x) in dem elliptischen Differential 

, dx 

du = -= 

gegeben ist, so sind damit auch die Xi, x^, Tg, Xi gegeben, und 
durch die lineare Transformation (3) kann man das Differential 
auf eine andere Form bringen, bei der drei der Größe x'i, X2, 
x's, x\ beliebig gegebene Werte haben. Man erhält die Normal - 
form, wenn man 

1 

X = ^, Xx ^=- 0, Xi ^=1, Xi ■=^ —. iTi = 00 

annimmt. Die Größe v. heißt bei Legendre der Modul des 
elliptischen Differentials und y 1 — yC^- :=n v! das Komplement 
des Moduls. Ordnet man also die Punkte in folgender Weise 
einander zu: 

^' 0, 1, — , CO, 

/y» /v» />! /y^ /Y 

SO ergeben sich aus der Gleichheit der Doppelverhältnisse leicht 
die Relationen: 



(6) \-z = 



\JLf X^j \X^ ^1 / 
yXXi) \Xi S'^) 



vP-z 



O^'^a) V'^i ■^4) 



(") 



7 (3:4 a^j) {x^Xcj) dx 

- {x,x,) {xx,r 



iQ\ 2 ^^ (•^:i ^4) (^1 ^2 ) ^2 -^ (-^a^sjC^i ^4) 

yXi X^) (jTa ^4) y^2 •^i) (-^i ''^3) 

und aus (3): 



,Qv ^(XiX i){xJi)2Jdx _ ch 



V {XiX){X2X){X3X){XiX) V'S^(1 — '2')(1 — ^^^) 

Nach i^ 2 wird x^ ein positiver echter Bruch, wenn die a^,, 
.Tj, ^3, Xi, reell sind und der Größe nach zyklisch aufeinander 
folgen. Dies gibt also acht verschiedene solche Transformationen, 



IQ Erster Abschnitt. § 3. 

und mau kann darunter je zwei auswählen, bei denen das Intervall 
^ = bis ^ = 1 einem gegebenen der Intervalle (x^x^), (^2^3)5 
(x^Xi)^ ('^4^1) entspricht; dem wachsenden z entsprechen bei der 
einen dieser Transformationen die wachsenden jc, bei der anderen 
die abnehmenden x (mit dem Durchgange von -f- x zu — x ). 
Im ersten Falle haben die Quadratwurzeln in (9) beiderseits das 
gleiche, im zweiten das entgegengesetzte Zeichen. 

Wenn man nicht darauf besteht, daß x^ ein positiver echter 
Bruch ist, so kann man die Punkte x^, x^^ .Tg, x^ auf alle Arten 
permutieren und erhält 24 verschiedene lineare Transformationen 
in die Normalform, von denen je vier dasselbe vfi ergeben; man 
erhält im ganzen sechs verschiedene Modulen, die nach § 2, (6) 
auseinander abgeleitet werden. 

Man übersieht am leichtesten die Gesamtheit dieser Trans- 
formationen, wenn man annimmt, das zu transformierende Integral 
habe bereits die Normalform: 

dx 
ya;(l — ^)(1 — A2,r)' 

man hat dann in den Formeln (6) bis (9) die ^1, x^^ .Tg, x^^ 
auf alle möglichen Arten durch 0, 1 , 1 : A^, x zu ersetzen. Wir 
nehmen als Beispiel die folgenden Zuordnungen : 

lyt /y> /v» /VI 

U-i , .X/2 5 -^-S 5 -^4 1 





1) 


0, 00, 1, 


1, 






2) 


0, 1 1, 


00, 






3) 


1, 0, 


1 

A2' 




Man erhält 


dann 


aus (6) und (8) 






1) 


z = 


~ ''■ X' — 1 


A2 = 


A'2, 


1 -x' '' - ^ 


2) 


z = 


k^X, X2 = 1, 






3) 


z = 


1 ~ -^ ■> 10 






für das Differential 










dz 







V^(l — ^)(1 — X2^) 



§ 4. Die Legendresche Normalform. 11 

ergibt sich in den drei Fällen: 

dx 

•^ ]/ — x{l — x){l — A2x)' 

kdx 
^ }/x{l — x){l — ^^x) 

dx 
^ ]/x{l — x){l — l^x) 

§ 4. Die Legen dresche Normalform. 
Wenn die Funktion /(x), die in dem elliptischen Differential 
unter dem Wurzelzeichen steht, reelle Koeffizienten hat, so sind 
drei Fälle möglich: 

1. f{x) hat vier reelle Wurzeln x^, x^, x^, x^\ 

2. f{pc) hat zwei reelle Wurzeln rTj, x^ und ein paar kon- 
jugiert imaginäre Wurzeln .Tg, x^\ 

3. f{^c) hat zwei Paare konjugiert imaginärer Wurzeln x^, x^ 

und .rg, x^. 

In allen drei Fällen läßt sich das elliptische Differential durch 
eine reelle lineare Transformation auf die Form bringen: 

dz 

worin a und ß reelle (positive oder negative) Konstanten sind. 

Wir bestimmen die lineare Abhängigkeit zwischen den 
Variableu x und 2 so, daß sich folgende Werte entsprechen: 

X, X,^ X2_, ^3^ ^4^ 

^'■^^ .', V«, -V«, V/5, -V^, 

und erhalten eine Substitution der Form: 

-, X — X-, z — V« 
(o^l /i = T" • 

^ ' .a; — ^2 ^ -f- y« 

Um /i zu bestimmen, setzen wir x =^ x., x ^= x^ und ent- 
sprechend z = V^, z = —iß, und erhalten 

(^3^2) V/i -f V«' (-^4^2) V/3 — ^ 

Daraus durch Multiplikation und Division 



,.. . _ \\ {x,x,){x,x^) yja - Vg ^ l/ (^3^i)(n^2) 

^*^ '' - ^^ (^■.^i)(^4^'i)' V« -f V^ ^ ^""^^^^ ^^^^''^^ 



Y2 Erster Abschnitt. § 4. 

Setzen wir, wie in § 2 

tt == (^^2 •^■0 i"^ 1 "^i) 1 
c = (^1 '^'2) (-^n -^4)1 

« + fc + c = 0, 
so könnnen wir, da es nur auf das Verhältnis von « zu /3 an- 
kommt, die letzte der Gleichungen (4) dadurch befriedigen, daß 
wir setzen: 

(6) yä = i'±^ + vf^, V? = V±^ - V?^, 

und aus (3) ergibt sich für z der Ausdruck 
/7^ ^ ^ /- {xx^) i{x^ x^) (.X4 a:, ) + {xx^) ^|{x^ x^) {x^ cc^) 
(x x^) ]'(X3 X,) {x^ X,) — (xxi) \(Xs x^) (Xi x^) 
Stellt man neben (3) noch die daraus folgende Gleichung: 
j^, X — X3 _ ^ — iß 
^ x — x^ ~~ z ^^ 
auf, so ergibt sich durch logarithmische Differentiation: 

{x-i^x.^dx l^adz {x^x^dx l^ßdz 

{xx-^{xx^ z"^ — a ' {xx^{xx^ z'^ — /3 ' 
und daraus durch Multiplikation mit Rücksicht auf (5) und (6): 
dx ^dz 

Wenn nun die vier Wurzeln von /'(a;) reell sind, so gibt es, 
wie wir im § 2 gesehen haben, acht Arten, diese Wurzeln den 
Zeichen .rj, .Ta, .rg, x^ so zuzuordnen, daß a und 6 entgegen- 
gesetzte Zeichen haben, und wenn also ib«, +6 positiv sind, so 
werden l'ä, >[ß reell, also w, /3 positiv, und nach (7) wird dann 
auch z reell. 

Sind zweitens .r^, .a;^ reell, ,^3, .«4 konjugiert imaginär, so sind 
a und — h konjugiert imaginär, also wird, wenn die Vorzeichen 
der Quadratwurzeln y+ a, y^p 6 passend bestimmt werden , y« 
reell, y/3 rein imaginär, also « positiv, /3 negativ und ^ reell [weil 
{x^x-^ixs^x^ und (.r3a';2)(,r4a;2) als Produkte konjugiert imaginärer 
Größen positiv sind]. 

Sind endlich .«i, x^ und .«g, ^4 zwei konjugiert imaginäre 
Paare, so sind a und — h beide positiv. Nehmen wir also in (6) 
die unteren Zeichen, so werden |^, y^ rein imaginär, also a 
und /3 negativ, und aus (7) ergibt sich für z ein reeller Ausdruck. 



§ 5. Die Weierstrasssche Normalform. 13 

Setzt man dann 

(9) ^2 = y, 

so ergibt sich 

(10) ^^' = '^y 

und man hat also durch die quadratische Substitution (9) 
ein elliptisches Differential erhalten, bei dem unter dem Wurzel- 
zeichen eine Funktion dritten Grades mit reellen Wurzeln steht, 
das man nach § 3 durch lineare Substitution auf die Normalform 

bringen kann, und darin können ^ und x als positive echte 
Brüche angenommen werden. 

Die Legen dresche Normalform ergibt sich daraus, wenn man 

^ = sin^qp, d^ = 2 sin cp cos cp d cp 



setzt: 
(11) 



dt 2d(p 



V^l — 0(1 — ^-e) yi — ^'sin2(jp 



§ 5. Die Weierstrasssche Normalform. 

Eine andere Normalform des elliptischen Differentials hat 
Weierstrass seinen Untersuchungen zugrunde gelegt, nämlich 
die Form 

(1) du = 

in der (/21 Oz Konstanten sind, die die erste und zweite In- 
variante des Differentials genannt werden. Das allgemeine 
elliptische Differential 

(■2) — - 

worin 

(3j f{x) = ttoo;^ -\- «1 x^ -|- a^x^ -\- a^x -\- «4 

ist, kann durch eine lineare Transformation auf die Weier- 
strasssche Normalform gebracht werden, wenn die Wurzeln 
Xi, ^21 ^31 ^4 von f{x) bekannt sind. Am einfachsten geschieht 
dies auf folgende Weise. 



14 Erster Abschnitt. § 5. 

Die Wurzeln der kubischen Funktion 

mögen mit e^, e^^ e^ bezeichnet sein. Dann ist 

(p{z) = 4{z — e,){z — e2){^ — e,) 

und ei -\- 62 -\- e-i = 0. 

Wir lassen die Werte von x und s einander folgendermaßen 
entsprechen : 

X , Xj , X^ 1 x^ , x^ , 

und es ergibt sich, wenn wir mit m einen konstanten Faktor 
bezeichnen, der willkürlich angenommen werden kann: 

m{xxo) / 1 1 
^ — ^1 = 7 \ — . = '" 7 ^ — 7 c 

{x^x^){xx^) \{XiX^) [x^x)J 

m(xxi) / 1 1 \ 

^ — e-i = \ — ^^ = in , : • — ) 

(ic, x^ (.r x-^ \(Xi X4) {Xy^ x)J 

Der Faktor m muß in allen drei Gleichungen derselbe sein, 
damit die Differenzen {s — e.^) — {z — e^ = ^2 — ^3 usw. von x 
unabhängig werden. 

Bildet man diese Differenzen und setzt wie in Algebra 
Bd. 1, § 70 

\X-^ Xti) {^Xg Xi) = L , 
{^1 ^3) (j^ i '^2) ^^^ '1 

(X]^ X^j V"^ 2 '^^) ''5 

so folgt 

_ — m?7 

2 "" ^ ^3 / / / \ ' 

Führt man einen neuen willkürlichen Faktor ^ ein, indem 
man 

(5) m = 3 ^ao{xiX.2){XiX^){XiXi) 

setzt, so folgt 

€.2 — Cg ^ — o^aoüi 63 — f 1 ^= — 3 JA f?o ^» ^1 — ^2 '= — 3 ^ «0 W 

und daraus wegen ^i -|- 63 -f- ^ 3 = 0» 

ßi = ^ao{V — TV), 

62 = ^ao(Tf — (7), 

€3 = ^ao(U — V). 



§ 5. Die Weierstrasssche Normalform. 15 

Die in Algebra I, § 70 eingeführten Gröi3en ?/j , y^, y^ sind 
also gleich e-^:^^ ^2-f*5 (^i'-i^t u^nd mau erhält nach der dortigen 
Formel (11) für die e^, e^, e^ die kubische Gleichung: 

s^ — ^A^^z + ^'B = 0. 
Es wird also, wenn (p{2) = z'-> — g^z — g-^^ 

Cpiz) = 4(0 — e,){2 — e^){S — 63) = 4^-3 _ g^g _ g.^ 

sein soll, 

(6) g^ = 12fi-^^, g, = —4.}i^B. 

Hierin sind 

J. = «I Ortirtg + 12 «0 «4 

^ 5 = 27 af «4 -|- 27 «0 «I + 2 a| — 72 öq «2 "4 — 9 aj «2 «3 
die erste und zweite Invariante der biquadratischen Form f(oc). 
Die logarithmische Differentiation der beiden ersten Glei- 
chungen (4) ergibt 

dz- dx^ (./'i X2 ) (xi X3 ) 

{z — ei)(^ — ea) ~ {xxiy{xx2){xx3)' 
und mit Hilfe der letzten Gleichung (4) nach (5): 

/ ry\ (A/ Z (t Ob 



^4z^ -g^z — g^ yi2^/-(r) 

Wollen wir diese Resultate auf den Fall anwenden, wo f{:£) 
die Normalform 

f{x) = x{\ — x){\ — n^x) = a? — a:2(l -f- 3c2) 4- %^x^ 

hat, und der Punkt z = cc dem Punkte x ^= entspricht, so 
lassen wir üq in Null, x^ in Unendlich übergehen, aber das 
Produkt üqX^ in einen endlichen Wert, den wir = 1 annehmen 
können. 

Es wird dann 

üoXi = 1, rto = 0, «1 = X2, 

«2 = — (1 -4- >«'-), «3 = 1> «4 = 

und folglich 

Ä = (1 -{- X2)2 _ 3 x2 r= 1 _ x2 — X* = 1 _ ^2 x'2 

5 = —(1 4- X2)[2(l + X2)2 — 9^2] 

== _(1 4_ x2)(2 — X2)(l — 2X2) 

= (1 -f X2)(l -f X'2)()t2 — X'2) 

= (2 + X2X'2)(X2 — X'2), 

wenn x'2 = 1 — x2 gesetzt ist. 



IQ Erster Abschnitt. § 5. 

Es wird also, wenn wir noch die Diskriminante 

zJ = 16.21 }i^ {4 A^ — B-^) 
beifügen 

(9) ^3 = — 4 i^H2 + '^' ^"') i^' — ^") , 

zl = (jI — 21 cjI = 27M6^'^x*x'S 

und man erhält aus (6) die Transformation 

d ^ dx 

^ ^ V4 ^3 _ fj^ z — g-i "" yi2^a^(l — x){\ — y-^x)' 

um die Substitution zu linden, setzen wir rr, = 0, x^ ^= 1, 

x^ =^ 1'. x2, Xi = Go , «0 Zi ^= \ und erhalten 

. .\ x'2 

«of/ ^ 1, üqV = -—-, cioW = -— , 

folglich 

3C2 — 2 1 — 2 X2 1 -1- X2 

^1 = ^^^^' ^2 = ^ -^ , 63 = ^-^^^ 



Bei dieser Transformation des elliptischen Differentials in der 
Weierstrassschen Normalform wird die Zerlegung der Funk- 
tion fix) in ihre linearen Faktoren, also die Auflösung der bi- 
quadratischen Gleichung fix) = 0, vorausgesetzt. Eine andere, 
freilich nicht lineare Transformation, die ohne diese Voraussetzung 
den gleichen Zweck erreicht, hat Her mite gegeben (Grelles 
Journal, Bd. 52). Um sie darzustellen, benutzen wir die homogene 
Form des elliptischen Differentials 
,,_. ^dx — xdn 

worin 

(13) f(xy) = üox* 4- a^x^ij -f a-jX^ß -f aoxy^ -f- a^y*. 

Diese biquadratische Form hat außer den beiden Invarianten 
A,B noch zwei Kovarianten: 

1 [d'-f d^f ( d'-f 



H 



~ 3 Idx^ dy^ 



(14) - J J -i 



12V8a; dy dy dx) 



§ 5. Die Weierstrasssche Xormalform. 17 

WO H und T Formen vierten und sechsten Grades sind, deren 
Koeffizienten sich rational und mit ganzzahligen Zahlenkoeffizienten 
aus den Koeffizienten von f zusammensetzen. Zwischen diesen 
Formen besteht dann noch die Relation 

(15) H^ — ASAHp — ß4.Bfs = —21 T^ 

(Bd. I, § 70, 72). 

Es ist aber nach dem Euler sehen Satz über homogene 
Funktionen 

df = ^dx 4- -^cUi, 

ex cy 

dH = - — dx 4- - — dy, 
ex ' dy 

fdH— Hdf = —ST{ydx — xdy), 
und wenn also nach (15) 





4/- 


=z 


r-'-X 

ÖX 


+ 






4ß 


= 


dB 

- — X 

ex 


4- 


dH 

^y' 


v'oraus 













(16) 3^3 T = ]/—H3 -\- 48Af'-H^ 64Bfo 

gesetzt wird: 

ydx — xdy _ —}ß[fdH— Hdf) 

V7 ~ i—{m—4:8ÄpH—64:Bp)f' 

Macht man nun die Substitution 

mit einem unbestimmten Faktor f(, so ergibt sich 
,. ydx — xdy d s 

wenn wie früher 

(19) g, = \2ii^A, g, = —^ii^B. 

Man kann diese Transformation auf ein Differential anwenden, 
das schon die Xormalform hat. Setzt man 

f{x,y) = 4x^y — g^xy^ — QzV^ 
so hat man 

tto «1 ttg «3 a^ 
durch 

4 —^2 —^3 

zu ersetzen, und es ergibt sich aus (7) 

A = V2g^, B = -27.16(/3. 

Weber, Algebra. III. 2 



]3 Erster Abschnitt. § 6. 

Wenn man also ^ = y2 setzt, so gehen die Grleichungen (19) 
in die Identitäten g^ = ^25 [Is = ili v^qy. 

Wenn man dann ^ = 1 setzt, so ergibt die Transformation (18) 

,^ ^ 2dx dz 

(20) — ^ = , — -• 

y4 ^:^ — cjiX — g^ y 4 ^3 _ ^y^ ^ — (/3 

Diese Transformation wird nach (16) durch 

_ —H 

' - 48/- 

vermittelt. Es ergibt sich aber aus (14): 

i3 =-■ - 48 [{x^ + \g,y + 2 i/3 :i], 

und folglich erhalten wir 

.21) , = {x^--hy,y-^2g,x 

^ " 4:x3 — g.x — ^3 

Weiter ergibt sich noch aus (14) 

T= 64: x<^ — 80 g^x^ — S20 gsX-^ — 20 g^ x^ — 16 g^g^x -^ g^' — 32 g.^ 

und dann nach (16) 



(22) 4.i4.x^ -g,x-g, )/iz-^ — g,^ — g, = T. 

Durch (20), (21), (22) ist die Multiplikation des ellipti- 
schen Differentials mit 2 geleistet. Es ist dadurch nicht nur 
^ als eindeutige (rationale) Funktion von x dargestellt, sondern 
auch die eine Quadratwurzel eindeutig durch die andere, d. h. es 
ist einem Punkte x eindeutig ein Punkt £ zugeordnet. 

§ 6. Elliptisclie Kurven. 

Jede algebraische Abhängigkeit zwischen zwei Veränderlichen 
X, y wird ausgedrückt durch eine Gleichung der Form 

(1) F{x,y) = 0, 

worin i^(.r, y) eine ganze Funktion der beiden Veränderlichen x. y 
bezeichnet. Betrachtet man x und y als Cartesische Koordinaten 
eines Punktes in der Ebene, so ist (1) die Gleichung einer Kurve 
wten Grades, wenn F in bezug auf x und y zusammengenomnien 
von der wten Dimension ist. Diese Kurve ist dann das geome- 
trische Bild der algebraischen Abhängigkeit, wobei indessen auch 
imacjinäre Punkte mit berücksichtigt werden müssen. 



§ 6. Elliptische Kurven. \2 

Ist dann {d\ y) eine ganze oder gebrochene rationale Funk- 
tion von ,/• und y, und y von x durch die Gleichung (1) abhängig, 
so sind 

(2) 0{x,y)dx, f0(x,y)dx 

die zu der Kurve F gehörigen algebraischen Differentiale 

und Integrale. 

Beisi^ielsweise ist, wenn f(x) eine Funktion dritten oder 
vierten Grades von x ist, 

die Gleichung einer Kurve dritten oder vierten Grades, zu der 
die mit der Irrationalität ^ fix) behafteten elliptischen Diffe- 
rentiale und Integrale gehören. 

Wir wollen hier alle Kurven, deren Differentiale und Inte- 
grale auf elliptische reduzierbar sind, elliptische Kurven 
nennen. Wie das Beispiel zeigt, kommen darunter Kurven dritten 
und vierten Grades vor. 

Kegelschnitte gehören nicht zu den elliptischen Kurven, weil, 
wenn zwischen x und y eine Gleichung zweiten Grades besteht, 
X und y als rationale Funktionen eines Parameters t dargestellt 
werden können, wodurch das algebraische Differential auf ein 
rationales nach t zurückgeführt werden kann. Solche Kurven 
heißen rationale Kurven. 

Wir werden sehen, daß alle Kurven dritten Grades ohne 
Doppel- oder Rückkehrpunkt zu den elliptischen gehören, Kurven 
höheren Grades können nur dann dazu gehören, wenn sie eine 
gewisse Anzahl singulärer Punkte haben. Dies ist ein fundamen- 
tales Kapitel in der allgemeinen Theorie der algebraischen Funk- 
tionen, das nicht in den Plan dieses Werkes gehört '). 



^) Die wichtigsten diesen Gegenstand betreffenden Arbeiten sind: 

Riemann, Theorie der Abelschen Funktionen [Grelles Journal, 
Bd. 54 (1857)]. Mathematische Werke, 2. AuÜ., S. 88, 487. Nachträge, 
herausgegeben von Noether und Wirtinger (1902). 

Ar on hold, Monatsberichte der Berliner Akademie vom 25. April 
1861. 

Clebsch, Über die Anwendung der Abelschen Funktionen in 
der Geometrie (Grelles Journal, Bd. 63). 

Glebsch, Über diejenigen ebenen Kurven, deren Koordinaten 
rationale Funktionen eines Parameters sind (ibid., Bd. 64). 

Glebsch, Über diejenigen Kurven, deren Koordinaten sich als 
elliptische Funktionen eines Parameters darstellen lassen (ibid., Bd. 64). 

9* 



20 Erster Absclmitt. § 6. 

Für die Untersuchung algebraischer Differentiale von diesem 
Gesichtspunkte ist die Einführung homogener Variablen zweck- 
mäßig. Wir setzen x = x^'.Xs, y = x^'.Xs, x^F{sc,y) = f{oci^X2,Xs)\ 
dann ist /'(.'»i, ^21 ^3) ^^^^ homogene Funktion i^ter Ordnung 
der drei Veränderlichen a\^ .Tg, x^ und 

die Gleichung einer Kurve wter Ordnung in homogenen Koordi- 
naten. Es wird 

dx = — ^ — :r^ 

xi 

und 

(4) dSl = <X>(x,y)dx = — a>(:^,^) {^t,dx, — x^dx^). j 

Nun ist aber nach dem Eul er sehen Satz über homogene 
Funktionen, wenn wir mit /"i, f^, f.^ die partiellen Ableitungen 
von f nach rr^, x^-, x^ bezeichnen, 

/ 1 ^1 ~r / 2 ^'2 ~r / 3 ^d ^^^ ^1 
fidx^ + hdA^ -\- fsdxs = 0, 

daher, wenn q einen Proportionalitätsfaktor bedeutet, 

/i = Q (.^'2 d x^ — Xs d ./'a) , 

12 ^~ Qyx^üXx XiClXg), 

fs = Qixidx^ — ■r.dxi), 
und wenn man mit r^, C2, c^ ganz willkürliche Größen, z. B. Kon- 
stanten, bezeichnet: 

Ci A + C2 /"a + C3 /; = qi:± Ci X2 dxs, 

wenn Z' Hh Cj rg (i .^g in üblicher Weise die Determinante 

^1 ^2 ^3 

/y» /v> /v« 

^j ^C2 "^3 

dxi d X2 d X3 



/a 2; + (\ x^ dx3 



bedeutet Es folgt also: 

X3 Cl X-^ X-^^ Gf X3 ^^ ^'1 j.'' i ^ ^ 

^1 / 1 T~ ^2 / 2 "T ^3 / 3 

und wenn man 

X.^ \X^ X3 / 

Brill, Über diejenigen Kurven, deren Koordinaten sich als liyper- 
elliptische Funktionen eines Parameters darstellen lassen (ibid., Bd. 65). 

Clebsch und Gordan, Theorie der Ab eischen Funktionen 
(Teubner, Leipzig 1866). 



§6. 



Elliptische Kurven. 



21 



setzt, so ergibt sich aus (4) der Ausdruck für das allgemeinste 
zu der Kurve f gehörige algebraische Differential: 

^1/1 ~r <^2/2 ~h ^3/3 

worin ^ eine ganze oder gebrochene homogene Funktion der 
{n — 3)ten Ordnung ist. Die willkürlichen Größen c^ , Cg, Cg 
kommen nur scheinbar in diesem Ausdruck vor. In Wirklichkeit 
ist er davon ganz unabhängig. 

Wir betrachten wieder den Fall n = 3. Dann ist der ein- 
fachste Fall der, daß IP" eine Konstante ist, und (5) geht dann 
in das elliptische Differential erster Gattung über: 



(6) 



du = 



^itl ~r ^■212 ~l ^3/3 

Dieses wollen wir nun mit Hilfe der Kovarianten der ternären 
Form dritten Grades auf die Weierstrasssche Form trans- 
formieren. 

Wir haben Bd. II, § 107 die fundamentalen Kovarianten der 
kubischen Form kennen gelernt. Es waren dies außer /' selbst: 

j/ll5 1121 /13 5 ^1 
1 j /211 /22 5 123t ^2 
^t* ; /3i, /32i /33l 

|z/i, z/a, z/g, 



J 



63 



Ai, 


1121 


fiz 


/211 


1221 


/23 


1311 


1321 


/33 



J = 



^3 





^=9 



fll ^11 Jl 

121 ^2 1 ^2 

/ 3 1 ^3 1 "3 

wobei die Indizes 1, 2, 3 die Differentiation nach den Variablen 
A'i, X21 x^ bedeuten. 

Es folgt aus dem Multiplikationssatz der Determinanten, da 
/" und df ^= sind: 



^1 , C2 , C3 

/y> -yi /v> 



fll 


f2l 


f3 


1 


Ai 


z/„ 


z/., 


= 


J11 


J2, 


^3 





2JxizJi, dzi 

2^ X i t/j, Cl t/ 



2:c,/, 



und daraus 

(7) 



= ?,2:cifi{^dJ — 2JdJ), 
zJdJ — 2Jd^ 



du = 3- 



^ 



22 .Erster Abschnitt. § 6. 

Mit Hilfe der Ko Varianten haben wir die Form f\x) auf die 
kanonische Form 

<P (^) = 2/f + ^2^ + ?/| + 6 mtji y^y. 
reduziert. 

Wir haben, wenn r die Substitutionsdeterminante bedeutet: 

p _ (2 + m^)m^p 4- (2 — bm^)mr^fzl -f Sm^r*^^ — r'^J 



(1 -f- 8^3)2 
— 6mr2. 

1 + 8 m- 



_ (1 -f 2m3)f — Qmr'-J 

„,.9 /■ I 

R = 



gesetzt und erhielten ^f, ?/|, ?/| als Wurzeln der kubischen 
Gleichung 

„3 _ ()m2 -f- Fu — R3 = 0, 

und die Diskriminante dieser kubischen Gleichung ist 

^' ^ (1 + 8m3)6' 

Drückt man diese Diskriminante durch 1\ Q^ U aus, so erhält 
man K'^ rational durch /", z/, / dargestellt. Wir haben an der 
erwähnten Stelle der Algebra diesen Ausdruck nicht explizite an- 
gegeben. Jetzt müssen wir ihn aber bilden, wenn auch nur unter 
der Voraussetzung /" == 0, d. h. nur für die Punkte der Kurve. 
Es ist aber [nach Bd. I, § 50, (10)] 

By = P2()2 j^ 18 PQR^ _ 4P3 _ 4^32^3 _ 27iit5. 
Darin hat man zu setzen: 



und man erhält durch eine nicht schwierige Rechnung, wenn man 
mit S und T die beiden Invarianten der Kurve dritter Ordnung 
bezeichnet (Bd. II, § 108), 

(1 + 8m3)6D^ = ri8(4/:> + 108SJ"z/4 — 27 T^'')' 

und folglich 

(8) Z'ä = 4 J's -j- 108 SJ/1* — 27 T^ö. 

Diese Gleichung ist aber nicht identisch, sondern nur unter 
der Voraussetzung f = befriedigt. Der vollständige Ausdruck 
von K^ durch J, z/, f wird sehr viel komplizierter. 



i 



§ 7. Elliptische Raumkurveu vierter Ordnung. 23 

Setzt man 

J ^ , 1 /!ü'J — 2Jdz] 

(9) Z^ = 3., ä.= - ^, , 

so ergibt sich aus (8) 

K^ = 27^'{A£3 + 12S^ — T) 
und aus (7) 

/, „\ -, 1 f ' "* 

(10) (^i( = -= , 

und dies ist die Weierstrasssche Normalform für f/2 = — 12 S, 

§ 7. Elliptische Raumkurven vierter Ordnung. 

Man kann algebraische Funktionen einer Veränderlichen auch 
durch Gleichungen zwischen mehreren Variablen darstellen, wenn 
man die Anzahl der Gleichungen entsprechend vergrößert. Nimmt 
man z, B. drei Variable ,r, ?/, 2 und läßt zwischen ihnen zwei 
Gleichungen 

(1) <3P(^,^,^) --= 0, rp{x,y,s) = 

bestehen, so kann man aus diesen beiden Gleichungen z. B. x 
eliminieren und erhält eine Gleichung zwischen y und £, durch 
die y als algebraische Funktion von z definiert ist. Es kann 
dann, wenn man gewisse Ausnahmefälle ausschließt, x und jede 
rationale Funktion von x, y^ z rational durch y und z dargestellt 
werden. Die Integrale der Form 

(2) \F{:x,y,z)dz, 

in denen F eine rationale Funktion bedeutet, gehören dann zu 
dem durch (1) dargestellten algebraischen Gebilde. Nimmt man 
it", ?/, z als Cartesische Koordinaten im Räume an, so stellt (1) 
eine Raumkurve als den Durchschnitt zweier Flächen ^ = 0, 
t/^ = dar, und die Integrale (2) gehören zu dieser Raumkurve. 
Die Kurve heißt wieder elliptisch, wenn diese Integrale ellip- 
tisch sind. 

Wir wollen diese Betrachtungen auf die Raumkurven vierter 
Ordnung erster Spezies anwenden, d. h. auf die Kurven vierter 
Ordnung, die sich als vollständiger Durchschnitt zweier Flächen 
zweiten Grades darstellen lassen. 



24 Erster Abschnitt. § 7. 

Wir führen wieder homogene Koordinaten Xj, x<^^ .Tg, o^ ein 
und nehmen die Gleichungen zweier gegebenen Flächen zweiten 
Grades in der Form an: 

/o\ 9^ V-^'n -^2 5 '^Zl '^ij ^^ ^ dik^i^kj 

^(^15 ^2 1 ^3 5 ^i) =^ ^ OihXiXk' 

Die beiden Flächen bestimmen ein Flächenbüschel zweiter 
Ordnung ^q) = yjiIj. Alle Flächen des Büschels schneiden sich 
in einer Raumkurve vierter Ordnung, die wir die Grundkurve 
nennen. Man erhält dieselbe Kurve und dasselbe Büschel, wenn 
man die Funktionen qp und t durch ^', t^' ersetzt, die aus 90, i^ 

mittels der linearen Substitution ( ), also durch 

\P (iJ 

/^N (p' = nicp ^ nt, 

abgeleitet wird , deren Determinante r == m q — n^y von Null 

verschieden ist. Dadurch ergibt sich die Identität 

(5) Igp + t^z/; = |>' + r/t^-', 
worin 

(6) ^ = «'^' + PV\ 

rj = n^' -]- qrj' 

eine lineare Transformation der Variablen |, r] darstellt. Auüer 
dieser binären Substitution kommt noch eine lineare quater- 
näre Substitution der Variablen x^, iTg, x^, x^ (Koordinatentrans- 
formation) in Betracht, deren Determinante wir := 1 annehmen 
können. 

Jede quadratische P'orm besitzt diesen letzteren Transforma- 
tionen gegenüber eine Invariante, nämlich die Hessesche 
Determinante (Bd. I, § 62, 63, 66), und wir erhalten also als 
Invariante der Form (5): 

^±(l«ll+^6ll)(^«-22 + '^M(^«33 + ^&3:0(b«44 + ''?&44)- 

Dies ist eine binäre biquadratische Form der Variablen |, rj, 
die wir, entwickelt, so darstellen: 

(8) fi^.V) =-- «ol^ + «1^3^ + a^^'r]^' + «sl»?-' + a.rjK 

Die Koeffizienten dieser biquadratischen Form «o, «n «21 ^ht ^i 
ändern sich nicht bei einer Koordinatentransformation. Sie heißen 
daher simultane Invarianten des Formenpaares (5p, i' («0 und 
«4 sind die Determinanten von (p und von rp). 



§ 7. Elliptische Raumkurven vierter Ordnung. 25 

Die rtj ändern sich, wenn man die |, yj einer Substitution (6) 
unterwirft. Bildet man aber die Invarianten der Form (8) (nach 
Algebra, Bd. I, § 70), so erhält man Funktionen der Koeffizienten, 
die auch diesen Substitutionen gegenüber invariant sind, die also 
nicht zu den individuellen Formen cp, t^, sondern zu dem ganzen 
Büschel und also auch zu ihrem Durchschnitt, der Grundkurve, 
gehören. Wir nennen sie Invarianten der Grundkurve. In 
bezug auf das Formensystem qp, z^ werden sie auch Kombinanten 
genannt. Die Grundkurve hat also zwei Invarianten: 
. Ä =^ a^ — Sa^a-y -\- 12 «0^4, 

^ ^ B = 27 «2 «4 4- 27 «0«! + 2«! — 72crof*2«'4 — 9rti«2«3, 
aus denen man die Diskriminante D nach der Formel 

(10) 21 D = 4:Ä^ — B^ 

ableitet. In bezug auf die Koeffizienten von cp und i^ sind die 
Invarianten A, i?, D von den Graden 8, 12, 24. 

Das Formensystem cp, t hat zwei simultane quadratische 
K Ovarianten, die man ebenso wie die Kovariante C (in Algebra I, 

S 65) ableitet. Die erste von ihnen ist, wenn wir li-, = — -r — , ... 
setzen : 

I ^IH '^'12 i f*l3 5 ^'14 5 '^'l 

I «21 5 ^22 5 f*23 ? %4 1 ^'2 

(11) ^ = ,«31, «32, «33, «34, tz 
<^41, «42, «43, «44, ^4 
^1, 1^2, l^S, ^'4' 

und die zweite ^ erhält man daraus, indem man Oi^ mit ta- 
und ^ mit q) vertauscht. 

Die Gleichung <S = drückt eine Fläche zweiten Grades 
aus (die nicht zum Büschel gehört), die der geometrische Ort 
der Punkte x ist, deren Polaren in bezug auf t/; die Fläche (p 
berühren. 

Wir nehmen jetzt an, daß die Diskriminante D von Null 
verschieden ist. Dann lassen sich die beiden Funktionen cp , ip 
simultan in die Summe von vier Quadraten transformieren: 

^ ^^ ^ = ßiVi + ß2yi + ß^y^ + ß^v!, 

worin die i/i lineare Funktionen der Xi sind. Dies ist die 
kanonische Form des Funktionenpaares. Es wird dann: 

(13) f{^,n) = a^M + ^/3i)(.^a2 + t,/3,)(,t«3 4-7j/33)(|«, + i?/3,), 



26 Erster Abschnitt. § 7. 

und die Funktionen 0, 'F erhalten die kanonische Form: 

Die Determinante des Systems (12), (14), als lineare Gleichun- 
gen für ^f, ])% i/|, yl betrachtet, ist 



(15) 



«f/52^3/34, s'A/^3/34, «|A/3,/3„ «f/3,/3,/33 
/3^-a2«3«4, ß'la^a^oi^, ß^u^a^oc^, ßlu^a^tz-z 

/5i, /32, /33, /34 



Sie verschwindet, wenn a^'.a.^ = ßi'-ß^ wird, weil dann die 
beiden ersten Kolonnen miteinander proportional werden, und 
ebenso wenn a,:«;, ^= ßr-ßk wird. Es ist daher (15) als ganze 
Funktion der k, ß betrachtet, teilbar durch 

(IG) Kißu — Cf-ußi = {dißk), 

und folglich auch durch das Produkt aller dieser Faktoren 

(17) (c^,ß2)i^rßs)(c^iß,){(^2ßs)(.c^2ßdi<^sßd = ^^ 

Aus der Vergleichung der Grade ergibt sich, daß sich die beiden 
Funktionen (15), (17) nur durch einen Zahlenfaktor unterscheiden 
können, und dieser ergibt sich aus der Annahme /J^ = 0, «j = 0, 
0C4 = gleich 1. Die Determinante (15) ist also dem Produkt z/ 
gleich, und das Quadrat von z/ ist die Diskriminante D der 
Funktion /"(!, ^), also gleich der Funktion D, von der wir an- 
genommen haben, daß sie von Null verschieden sei. Es lassen 
sich also die y{, ^|, y^, ?/| linear durch 9?, t^, 0, *P" darstellen. 



Die Kovarianten O, ^ ändern sich, wenn cp und tl) nach (4) 
durch qp', ^' ersetzt werden. Sie gehören also nicht zu der Grund- 
kurve, sondern zu dem Formenpaar 95, i\ Aber es gehen bei 
dieser Substitution und ^F als lineare Funktionen von y(, y'}. 
2/|, yl in lineare Funktionen von g?, t^, 0, ''F über. Diese Aus- 
drücke sind ziemlich kompliziert. Wir brauchen sie hier aber 
nur für die Punkte der Grundkurve, also für 9) = 0, t|' = 0, 
und unter dieser Voraussetzung werden sie sehr einfach. Es ist 
da nämlich 

. O' ^U{pa^ J^qß^y(.yna.2-J^nß.2){nms + ^iß3){}nai^7iß^)y-^, 
^ 'F'-=2:{ma,-{-nß,y{pa,^qß,){im,^qß,){pa,-{-qß,)yl 



§ 7. Elliptische Raumkurven vierter Ordnung. 27 

und daraus ist nach (12) und (14) abzuleiten: 
0' = MO + NW, 

worin die Koeffizienten 31, N, P, Q noch zu bestimmen sind. 
Wir können dies durch Rechnung ausführen. Ohne Reclmung 
ergibt sich das Resultat auf folgendem Wege: 

Die 31, N sind ganze Funktionen zweiten Grades von p, q 
und dritten Grades von m, n. Nimmt man p\q ■= m:n, also 

r = mq — np = 0, so gehen O' und — — nach (18) in lineare 

Verbindungen von ^ und t über und verschwinden also. Daraus 
folgt, daß M und N durch r'^ teilbar sind, und die Quotienten 
sind lineare Funktionen von m und iL Da aber für die beiden 

Fälle ( \ = ( \, ( \ 0' in <X> und in W übergehen muß, 

und da man dieselbe Betrachtung auf W anwenden kann, so folgt: 

^^ W = r'-(pO -}- qW). 

Es werden also (von dem Faktor r^ abgesehen) die Funk- 
tionen O, W mit den cp, xp kongre dient transformiert. (Über 
die strenge Begründung dieser Schlüsse sehe man Bd. I, § 20.) 

Aus diesen Ergebnissen können wir auf einfache Weise, immer 
unter der Voraussetzung g? = 0, ^ = 0, die yl durch und 'J"" 
ausdrücken, also die linearen Gleichungen (12), (14) auflösen. 
Wenn wir nämlich die Formeln (19) auf die Substitution 

''"' ^'^\ = (^^' ~ "i' 
J5, q) \0, 1 

anwenden, so ist r =: /3j, die Funktion i^' bleibt ungeändert = i) 
und <jp' geht aus (p hervor, wenn 

«1, «2, «3, «4 

durch 

0, («,/30, («3/3i), («4/30 
ersetzt werden. Es wird also nach (14) 

und folglich nach (19): 

(«2/5i)(«3/5i)(«W5i)2/;- = u,Q- ß,W, 

(«1 ß-2) («3 ^2) («4 ^2) vi = «. ^ - ß-2 ^, 

^ ^ («, ß,) (a, ß,) (a, ß,)yl = a,0 - ß,W, 

iu,ß,){a,ß,){a,ß,)tj^ = a,0~ ß,W. 



Erster Absclinitt. 



^ '■ 



Das Produkt des konstanten Faktors auf der linken Seite ist 
die Diskriminante Z), und man erhält also nach (13) 

und die yt sind also die linearen Faktoren dieser biquadratischen 
Form. 



(21) 



Es gibt noch eine weitere simultane Kovariante der Form gp, t/^, 
nämlich die Jacobische Fuuktionaldeterminante der vier Funk- 
tionen qp, i\ ^, '*F. Wir bezeichnen sie so: 



(22) 



K = 



<Pn 


9^2, 


9^3, 


<P4 


^•i, 


i'2, 


i'3, 


^'4 


^1, 


^2, 


^3, 


^4 


^,, 


^^2, 


'J's. 


yp-^ 



Bildet man sie für die kanonische Form, so ergibt sich nach 
(12), (U), (15) 

^ = —^yi.'/oysyi, 

und da z/2 = D ist: 

K' = By^ylylvl 
also haben wir nach (21) 
(23) K, = fiO, - W). 



Die biquadratische Form /'(0, — ''F) hat zwei Kovarianten, 
die wir wie in Bd. I, § 70 so bezeichnen: 



H = 



(24) 



C02' 



d^f 



dQdW 



T = l 



f'{Q), n-w) I 

12 H'iQ), H'{—W)\' 

Sie sind vom vierten und sechsten Grade in der O, "F, also 
vom achten und zwölften Grade in den Xi. Es sind Kovarianten 
der Grundkurve (Kombinanten von (p und i^-), und es besteht 
zwischen ihnen die Relation : 
(25) H^ — 4:8ÄHp — 64:Bf^ = —21IK 



§ 7. 



Elliptische Kaumkurven vierter Ordnung. 



29 



Das allgemeinste zu der Grundkurve gehörige Integral (2) 
geht durch Einführung homogener Variabler s :=: x^:x^ in fol- 
gende Form über: 



oder wenn man 



setzt, in 



F{x,y,z) 



F{x,if,s) = X, 



XT 



-C (J?li ^21 "^31 -^4) 






XiClx^ 



(Pii'2 — V2i\ 

worin F eine homogene Funktion Oten Grades ist. Der einfachste 
Fall ist F ^ 1 , und wir betrachten also das Integral erster 
Gattung : 
(26) .. _ f ■*3^^4 



~~ J fPii'2 



Ji A (-1 t//q 



Nun bilden wir nach dem Multiplikationssatze der Determi- 
nanten das Produkt K^x^dx^ — X2dXi), also wegen g) ^= 0, i^ = 0: 



I <Pn 9^2, 93, (P4 

! 1^1, ti, i'3, i'i 

?rf ?rf vre nr 

1 -'^li ^21 ^3i -* 4 



1, 0, 0, 
0, 1, 0, 

^1? ^2l '^3'} ^4: 

et r/Zj ^ W ^2 ^ ^ "^3 5 ^^ ^4 

und folglich ergibt sich aus (26) und (23) 

(27) .^äW-W,„ C^ä^,-Wä^ 



9)1, (jP2, 0, 
^1, ^25 0, 



=.( 



iC 



V/'(0, - w) 

Wendet man hierauf die Transformation des § 5 an, indem 
man rr, y durch O, — 'P" ersetzt, so folgt 

„. _ ;- r fdH - Edf - 

und wenn man in § 5, (17) fi = 3, also 



g = — 



setzt: 



u = 3 



4/' 



\4:s3 —g^s — (/3 
^2 = 12.9^, g, = ~4.21B. 



30 Erster Abschnitt. § 8. 

§ 8. Das Jaeobisohe Transformationsprinzip. 

Die Jacobische Transformationstlieorie stellt sich im all- 
gemeinen die Aufgabe, ein elliptisches Differential durch eine 
algebraische Substitution auf ein anderes elliijtisches Differential 
zurückzuführen. Indem wir hier die Grundlagen dieser Theorie 
auseinandersetzen, bedienen wir uns der Darstellung des ellipti- 
schen Differentials in homogenen Variablen [§ 1, (4)]: 
, xdy — ydx 

und substituieren darin für .r, y zwei teilerfremde ganze homo- 
gene Funktionen gleichen, aber beliebigen Grades n zweier neuer 
Variablen ^, rj: 

(2) x=t/(|,7?), y=V{^^,r}). 

Aus den Gleichungen 

TT t^U I ^^ 7TT 7t^^ i 7 ^^ 



dV , cV dV . .'dV 



folgt sodann 

(3) VdV— Vdü = HQdy] — r]d^\ 

wenn H die Funktionaldeterminante 

1 fdV dV dV ^t^^ 



n \d^ orj et, Cr] 

bedeutet. 

Danach geht das elliptische Differential (1) in das folgende 
über : 
(.0) ^ gf^T? — y]dt , 

Damit nun dieses Differential wieder die Form eines ellipti- 
schen erhält, ist erforderlich, daß von der Funktion /"(f/, F), 
deren Grad der 4 Hte ist, sich ein quadratischer P'aktor T- vom 
Grade 4 « — 4 absondern lasse, also, wenn cp (^, rj) eine Funktion 
vierten Grades bedeutet, daß 

(6) /Xf/,F)= 2X1,7?) 
werde, wodurch, wenn 

(7) S" = ^^ 



§ 8. Das Jacobische Transformationsprinzip. 3X 

gesetzt wird, das Differential (5) in 

Übergeht. Es läßt sich nun nachweisen , daß , sobald die Bedin- 
gung (6) erfüllt ist, H durch T teilbar, und also, da der Grad 
beider Funktionen derselbe ist, M eine Konstante wird. Diese 
Konstante heißt der Multiplikator der Transformation. 

Bemerken wir nämlich, daß, da f{x,y) keinen quadratischen 
Faktor enthält, die beiden Funktionen 

cf df 

dx"" dy 
keinen gemeinschaftlichen Teiler haben, und daß infolgedessen, 
weil U und V teilerfremd sind, auch 

dl dl 

dV dV 
keinen gemeinschaftlichen Teiler (in Beziehung auf |, rj) haben, 
so lassen sich zwei Funktionen c«, ß von |, rj so bestimmen, daß 

zu einer beliebig gegebenen Funktion T teilerfremd ist. Man 
kann z. B. a teilerfremd zu T und ß durch die in -j-j nicht 
aufgehenden Teiler von T teilbar, dagegen durch die gemein- 

schaftlichen Teiler von T und —77 unteilbar annehmen. Wenn 

ÖU 

wir nun die Gleichung (6), die wir als erfüllt voraussetzen, nach 
I, Y] differentiieren, so folgt: 

■dl d^ '^ dV d^ ~ ' 

dldU dldV _ 

du dr} "^ dV dn " \ 

und daraus durch Auflösung in bezug auf -y-, — ^: 

worin X, Y, Z ganze homogene Funktionen von ^, y] sind. Aus 
der letzten Gleichung aber schließt man, daß H durch T teilbar 
sein muß. 



32 Erster Abschnitt. § 9. 

Demnach ist unser ganzes Problem enthalten in der Glei- 
chung (6), die nichts anderes besagt, als daß die Funktion Anten 
Grades /"(t/, F), 2n — 2 quadratische Faktoren enthalten soll. 
Zur Befriedigung der hieraus folgenden (2 ii — 2) Bedingungen hat 
man die 2 n -)- 2 in f/, F enthaltenen Koeffizienten zur Verfügung, 
so daß vier von diesen unbestimmt bleiben. Dies war vorauszu- 
sehen, da für I, rj beliebige homogene lineare Funktionen von |, »? Ä 
eingeführt werden können. Man kann diese vier überzähligen ■ 
Konstanten dazu verwenden, um das Differential (8) in eine 
Normalform zu bringen. Da aber die Bedingungsgleichungen für 
die Koeffizienten von b\ V nicht linear sind, so gibt es für einen ■ 
gegebenen Transformationsgrad mehrere Transformationen. • f 

Wir werden diesem Transformationsproblem später von einer 
ganz anderen Seite her wieder begegnen und weit tiefer darauf 
eingehen müssen. Es soll daher auf die Einzelheiten des alge- 
braischen Problems hier nicht näher eingegangen werden; dagegen 
wollen wir durch zwei Beispiele das Gesagte veranschaulichen. 

§ 9. Die Transformation zweiten Grades. 

Wir setzen, um die elliptischen Differentiale in der Normal- 
form zu erhalten: 

f{x,y) = xy{x — y)(x — k^/), 
fp{^,V) = ^v{^ — V){^ — ^'^)^ 
und es seien f7, F vom zweiten Grade. 

Die Gleichung (6), § 8, wird jetzt, da T vom zweiten Grade ist 

und es müssen zwei der vier Faktoren zweiten Grades auf der 
linken Seite dieser Gleichung Quadrate sein. Die große Zahl 
der hierin liegenden Möglichkeiten wollen wir dadurch noch 
beschränken, daß wir voraussetzen, tj und y sollen gleichzeitig 
verschwinden, also F durch rj teilbar sein. Dies gibt (von einem 
konstanten Faktor abgesehen) für F die folgenden drei Möglich- 
keiten : 

1. F= 1^, 2. F= rji^-V), 3. V= n{^ — ^^r]). 

Jeder dieser drei Fälle umfaßt nun wieder drei Unterfälle, indem 
von den drei übrigen Faktoren [/, ü — F, U — A2 F irgend zwei 
^als Quadrate angenommen werden können. Von diesen letzteren 



§ 9. Die Transformation zweiten Grades. 33 

drei Fällen gehen zwei ineinander über durch Vertauschung von 
T; V- mit F: V-, 1 : A2. 

Wir wollen zwei für die Folge besonders wichtige unter diesen 
Transformationen vollständig durchführen. 



1. Die Gausssche Transformation. 

Wenn nun noch U — k^V ein Quadrat sein soll, so ist 
A2 = 4 ab 
zu setzen, und es wird 

U— K^V= {a^ — briy. 
Da U — V sodann durch | — • i] und durch ^ — %-rj teilbar sein 
muß, so ergeben sich, wenn man | = ij, ^ = x^rj setzt, aus 
Z7 = F die Bedingungen 

a -\- b = ±1, aa'2 -\- b = ±x, 

woraus, wenn die oberen Zeichen genommen werden, 
1 > ^ . _ 2]'k 



b = :— — , A = 



1 + x' 1+x' T^^' 

TT_r- i'-v)i^~^'n) 

(1 -f X)3 ' ^ - (l + ;,)2 ' 

1 -[- X 

Setzt man also wieder 

^ = -■ 1 = 5. 

so haben wir das Resultat, daß durch die Substitution 

die Transformation 

(3) Q^^ ^ (1 + ^■)(U 

i,{l - ,){l - k-2,) Ve(l-^)(l -X2g) 

geleistet wird. 

Weber, Algebra. III. o 



34 Erster Abschnitt. § 9. 

2. Die Landensche Transformation. 

Die Bedingungen, daß XJ — F, TJ — l^V Quadrate sind, lauten 

4a = (x^ 4- «)2, 4«A2 =:.- (x2 4- aA2)2, 

woraus 

A(x2 4_ ft) — y,2 _j_ rt;,2^ 

oder durch l — 1 dividiert 

al = }c2; 

dies in eine der obigen Gleichungen eingesetzt, gibt 

4/1 = x2(l -f A)^ 

und durch iVuflösung dieser quadratischen Gleichung, wenn 

x' = yi — x^ gesetzt ist; 

A=J-^;, a = (l + x')^ 

f7-F= [|-(l + x')iyp, 
J7 _ A2F= [I — (1 — X')7?]2, 

Ä^ = (l + x')^[| - (1 + ^>][§^ - (1 - ^')nl 
T={\ +x')[(|-»?)^-x'2|j2], 

also durch die Substitution 

(4) ._(!-+- ^')^^(1 - e) , _ 1- >c' 

die 
(5) 



-^ — 1 — x^e ' 1 + x" 

die Umformung: 

dz (1 + x')rf^ 



Wendet man auf die linke Seite dieser Gleichung wieder die 
Gausssche Transformation an, indem man in den Formeln (2), (3) 
^, X durch >, X und z durch eine Variable r] ersetzt, so ist, wie 
aus (2) und (4) folgt, A in (3) durch x zu ersetzen, und durch 
Kombination von (5) und (3) findet man: 

(6) ^^^ ^ 2rZe 

y^(l — ^)(l - y^^ri) )t(l - t)(l - J^^O' 

und die Verbindung von (2) und (4) ergibt zwischen den 
Variablen t] und t, den Zusammenhang: 

(7) H{i-l){i--H) 
^ ~ (1 - y^H'Y 



jj 10. Die Transformation dritten Grades. 35 

Die Kombination der beiden Transformationen zweiten Grades 
gibt also die Multiplikation mit 2. 

§ 10. Die Transformation dritten Grades. 

Als zweites Beispiel betrachten wir die Transformation dritten 
Grades. Die Gleichung 

(1) üV(U—V){U— i-^V) = inni^ — n)i^ — ^'n) 

fordert, daß jeder der vier Faktoren dritten Grades C/, F, ?7 — F, 
U — k~V durch einen der Linearfaktoren |, ^?, | — ■>?, | — x^j^ 
teilbar und daß der Quotient ein Quadrat sei. Wir setzen also 

(2) U= |(a| + hn)\ v= r]{cn -f Vn)\ 

und verlangen noch, daß 

V — V ü— l^V 
I — rj ' I — x^T? 

die Quadrate linearer Funktionen werden. 

Von den beiden letzten Forderungen folgt die eine aus der 
anderen, wenn wir fJ, F so einrichten, daß, von konstanten 
Faktoren abgesehen, V und F ineinander übergehen durch die 
Vertauschung von |, ri mit x^jj, |. Durch diese Vertauschung 
geht aber 

^(«^ + 57?K riicn + h'nY 

über in 

und unsere Forderung ist erfüllt, wenn 
-^ aa 



ist. 


Wenn dann 


(5) 


---m 


ist, 


so geht durch diese Vertauschung 


(6) 


ü — V . b'^ u— v-v 

-TT lU 7 7, 



über. Nachdem dies festgesetzt, ist nur noch die Bedingung zu 
erfüllen, daß die erste der beiden Größen (3) das Quadrat einer 
linearen Funktion wird, die wir mit {ofi^ — /32|^) bezeichnen, also: 
(7) C/' — F = (^ — n) («2| — /32t?)2 

oder 

C7 — !(«%' — /5'^)- = F— tj(«2§ — /i^7?H 

3* 



gg Erster Absclinitt. § 10. 

und da U durch |, V durch rj teilbar ist, so muß diese Funktion 
durch I J? teilbar sein ; setzen wir sie = 1 1? (jh ^" -f w r?), so ergibt 
sich aus (2) 

(a'l + b'nY = {an — ß-n? + I ('»^ + ^^^/)- 

Die Vergleichung der Koeffizienten ergibt 

« ^ ^2, 6 = -ß^- + ^„ 6^ = /3^ 4- ^^ 

und aus den beiden letzten Gleichungen jeder Reihe: 

w2 = 4/32(^ia2 -f ju/32). 

Wenn man also 

m = ha, n = A/i 
setzt, so wird 

h = 4=aß (« + ß). 

Hiernach lassen sich a, 6, a', J»' durch die beiden Größen a, /3 
ausdrücken in der Weise: 

a = «2, b = ß-^ + 2aß, 
^^^ u' = a'- -]- 2aß, b' = ß^, 

und danach aus (4), (5) 

^ _ ßi ß -^ 2 a ^ _ a /3 + 2 K 
^^^ ""' ~ ^ w+ 2/3' % ~ /i « + 2/3' 

oder durch Multiplikation und Division dieser beiden Gleichungen: 
, — /3 /3 4- 2 « K=i /3* 

Durch Elimination von ß:a erhält man eine Gleichung zwi- 
schen jc, A, die man die Modulargleichung nennt, deren Grad 
die Anzahl der verschiedenen Transformationen dritten Grades 
angibt. Sie nimmt die einfachste Gestalt an, wenn man setzt: 

(11) fx = u, fJ=v. 
Dann werden die Gleichungen (10) 

^ ^ _ ß /3 4- 2« «_- _ ß 
a cc -|- 2 /3 V a 

also durch Einsetzen des Wertes von ß:a in die erste Gleichung 
und Beseitigung des Faktors u-: 

(12) 4;4 _ 4^4 _^ 2^3 r3 _ 2 UV = 0, 

eine Gleichung vom vierten Grade. 



j:; 10. Die Transformation dritten Grades. 37 

Man erhält ferner [ohne weitläufige Rechnung durch Ver- 
gleichung der Koeffizienten der höchsten Potenz von | in (f)] 

H — h(^ ^ — ir^\ — ÜL T 
^ 5\dt drj d^ drj) ~~ a ' 

woraus man leicht nach (8) findet: 
(13) M=^= "" 



a' cc + 2/3 y + 2m3 
ergebe 
2u-M 



Setzt man den hieraus sich ergebenden Ausdruck 



^ l—M 
in die Gleichung (12) ein, so ergibt sich für 31 eine Gleichung 
vierten Grades, die Multiplikatorgleichung, die die Modular- 
gleichung ersetzen kann. Man erhält aber diese Gleichung ein- 
facher auf folgendem Wege. Nach (13) ist 

1 1 _ 9/^ 1,0 _ 2(^ + 2«) 

also nach (9): 

und folglich nach (13) 

oder geordnet 

Drücken wir also unsere Formeln durch «, v aus, so ist das Er- 
gebnis dieser Betrachtung das folgende: 
Durch die Substitution 

_ ^[{V^ + 2vu^) -\- n<^tf 

wird die Transformation bewirkt 

dz _ y 4- 2m3 d^ 

V-^(i-^)(i -v^s) ~ ^ ve(i -0(1 - **^o' 

falls zwischen n, v die Modulargleichung (12) besteht. 

Zu einem gegebenen u ergibt die Modulargleichung vier Werte 
von i\ also vier verschiedene Transformationen dritten Grades. 



38 Erster Abschnitt. § 11. 

§ 11. Die drei Gattungen elliptischer Integrale. 
Es sei jetzt 

(1) f{x) = ciqX^ 4- a-^oc^ -|- a^.x'^ -{- a^x -\- a^ 
eine ganze Funktion dritten oder vierten Grades, und 

(2) ^(x) = { ^Mi£ = \E(x)dx, 
wenn zur Abkürzung 

(3) B{x) 



]lf{x) 

gesetzt ist, ein elliptisches Integral. Es bedeutet darin x eine 
unbeschränkt veränderliche (auch komplexe) Größe, und ]^ f{x) 
hat für jeden Wert von x, für den f{x) nicht verschwindet, zwei 
entgegengesetzte Werte. Wir verstehen unter einem Punkt 
nicht einen Wert von x allein, sondern ein zusammengehöriges 
Wertepaar von x und \ f(x), also einen Wert von x mit einem 
bestimmten Vorzeichen von \ f(x). Ist daher Xq irgend ein Wert 
von ,r, so gibt es zwei Punkte Xq, wenn f{xQ) von Null ver- 
schieden ist, aber nur einen, wenn f(xo) = ist. Für ,2; r^r co 
bestimmen wir die Punkte nach dem Vorzeichen von '^f{x):x-, 
und wir haben also zwei Punkte a; = od, wenn f{x) vom vierten, 
und nur einen, wenn f(x) vom dritten Grade ist. 

Nach bekannten Sätzen der Funktionentheorie gibt es, wenn 
f{xQ) von Null verschieden ist, eine in einem gewissen Bereich 
konvergente Entwickelung nach dem Taylorschen Lehrsatz: 

(4) R{x) = A,n(x-XoY'^A,n + i{x-XoY'+''i-Ä„, + 2{x-Xoy" + -'^-. 

worin m eine positive oder negative ganze Zahl oder auch Null 
ist, während Am, A^ + i-, Am + 21 ••• Konstanten bedeuten, von denen 
Am nicht verschwindet. Dies ist eine Entwickelung nach steigen- 
den Potenzen. Ergänzend tritt hinzu, falls f{x) vom vierten 
(nicht vom dritten) Grade ist, die Entwickelung nach fallenden 
Potenzen 

(5) R(X) = CmX-^^'-' + Cm + iX—^-' + an+2.r— * + •••, 

von der wir sagen, daß sie in der Umgebung eines unendlich 
fernen Punktes gilt. 



§ 11. Die drei Gattungen elliptischer Integrale. 39 

Wenn aber f{Xo) verschwindet, so erhält die Entwickelung 
von R(x) die Form: 

(6) B{X) = A,n{x — Xo)'"-''-^ + ^m + l{x — X^^'-'k"^^ 

und wenn /"(rr) vom dritten Grade ist, so gilt in der Umgebung 
des unendlich fernen Punktes die Entwickelung 

(7) n{x) = Cna:-«-''-^ + a,+i.T-— % + c,„ +.*■—% + ••• 

Aus den Entwickelungen (4) bis (7) können wir die Ent- 
wickelungen von Si ableiten, wobei eine additive Konstante un- 
bestimmt bleibt. 

Die Entwickelung von Sl ist dann ebenfalls eine Potenzreihe, 
wozu, wenn m negativ ist, in den Fällen (4) oder (5) noch ein 
Glied ^_ilog(A; — Xo), C_ilog;r tritt. 

Wir nennen nun Xo einen Punkt erster Gattung von 
ß, wenn m in diesen Entwickelungen nicht negativ ist. 

Dann ist £i im Punkte Xq endlich (auch im Falle Xo = co). 

Der Punkt Xq heißt ein Punkt zweiter Gattung von ß, 
wenn in den Entwickelungen (4), (5) m negativ und J._i = 0, 
C'_i = ist, und in dem Falle der Entwickelung (6), (7) mit 
negativem m. 

Endlich heißt Xq ein Punkt dritter Gattung, wenn in 
den Entwickelungen (4) oder (5) A^i oder C_i von Null ver- 
schieden ist, wenn also in der Entwickelung von i^ ein logarith- 
misches Glied vorkommt. 

Die Nullpunkte von f{x) können bei dem Integral (2) nicht 
von der dritten Gattung sein; sie können aber von der dritten 
Gattung werden, wenn wir das elliptische Integral in der all- 
gemeinen Form l 0(,r, y /'(^))cZx betrachten. 

Das Integral Sl heißt ein Integral erster Gattung, wenn 
es nur Punkte- erster Gattung hat. Ein solches Integral hat 
dann für alle endlichen und unendlichen Werte von x einen 
endlichen Wert. 

Sl heißt ein Integral zweiter Gattung, wenn es nur 
Punkte erster und zweiter Gattung hat, und 

Si heißt ein Integral dritter Gattung, wenn es neben 
Punkten erster und zweiter Gattung auch Punkte dritter Gat- 
tung hat. 



40 Erster Abschnitt. § 12. 

§ 12. Darstellung der elliptischen Integrale durch die 
einfachsten Grundintegrale. 

Um das Integral Si (.r) durch Integrale von möglichst ein- 
fachem Typus darzustellen, zerlegen wir die rationale Funktion 
cP(,r) in eine ganze Funktion und in eine Summe von Partial- 
brüchen, d. h. wir stellen 0{.r) dar als eine Summe von Aus- 
drücken der Form 

1 

•^' U-ar 

mit konstanten Koeffizienten, worin n eine ganze positive Zahl 
(auch Null) und oc einen konstanten Wert bedeutet, für den tP (,r) 
unendlich wird. 

Setzen wir dann für positive und für negative oder ver- 
schwindende n 



(1) S,,(a) 

J \f{^) 

so wird ^{x) eine Summe der Form 

WO sich die Summe auf mehrere verschiedene Werte von n und 
von a erstrecken kann und die M Konstanten sind. 

Die Funktionen Ä« lassen sich durch Vermittelung algebrai- 
scher Funktionen auf eine geringe Anzahl zurückführen. Zu dem 
Ende bilden wir 

d{x - ay iW) = n(x-ar-^f(x>^(x-a)^f'(x)^ 

und wenn wir darin setzen 

^(,^0 = /x^) + (-^ - «)r(«) +-^^^^=^f'(^) 

fix) = ^'(«) + (^--a)r(«) + ^-^^^V'"(«) +-^^V""(«), 
so folgt 

(x - ay ^Jix) = n f(a) S„_, + (,, + ^) f (a) S,, 

c^) + '-^r(«) s.+i + (I + 1) ric.) s,.^. 



§ 12. Die einfachsten Grundintegrale. 41 

Wir unterscheiden vier Fälle: 

1. /■""(«) und f{a) nicht = [d. h. f{x) vom vierten Grade 
und a keine Wurzel von f{3c)\ 

In diesem Falle läßt sich durch die Formel (2) für w = 
S^ durch /So? '^j, S^ ausdrücken, und daher Sn für jedes positive n 
durch Äo, /Si, S.^. Setzt man aber n ^^ — 1, — 2, ..., so erhält 
man S_2, S— 3, ••• ausgedrückt durch S_i, Äq, Äi, Sg. Also 
bleiben in diesem Falle die vier Grundintegrale 

0_i, Äo, aSj, ^2- 

2. /'""(«) nicht = 0, /"(«) = 0. In diesem Falle kann man 
noch S-i durch Sq^ /Sj, S2 ausdrücken und erhält als Grund- 
integrale 

5oi »Si, *S2- 

3. /"""(«) = 0, f{a) nicht = 0. Hier sind die Grund- 
integrale 

4. /'""(«) = 0, /"(«) = 0. Hier sind die Grundintegrale 

Das Resultat hiervon ist also: 

I. Ist f{x) vom vierten Grade («o = 1), so lassen sich alle 
Integrale Sl{x) ausdrücken durch Integrale der Form 

Q, i it Ju ^ \ oc et Oß ^ 1 il' et Oß 



\f(x) ^^ J V^(^)' jV/-(^)' 

"' ~ J(,r-«)V7(^' 
worin >S'_i noch von dem Parameter « abhängig ist. 

II. Ist aber f(x) vom dritten Grade, so genügen die drei 
Integrale 



'^0 — T7=77=T' ^1 



o_i 



In beiden Fällen ist Sq von der ersten Gattung. Ist f(x) 
vom dritten Grade, so ist S^ von der zweiten und S—i von der 
dritten Gattung. Ist dagegen f{x) vom vierten Grade, so sind 
^\, ^2 und -S^— 1 ^on der dritten Gattung. Man kann aber aus 
S, und S.2 ein Integral zweiter Gattung zusammensetzen. Denn 
es ist 



42 Erster Abschnitt. § 12. 

= {x^ -\- a^x'^ -\- a, .t2 -4- «3 rr2 -|- a^y^-^ 



und in der Entwickelung von ix- -|- -^ xy.yj f{x) nach fallenden 

Potenzen kommt kein Glied mit ./ " ^ vor. Folglich ist Ȥ2 -|- -^ S^ 

ein Integral zweiter Gattung. 

Durch Vermittelung einer logarithmischen Funktion kann 
man aber auch noch die vier Integrale des Falles I auf drei 
reduzieren. Zu dem Ende bringe man f{x) auf die Form 

x"^ -\- eil x^ + «2 ^'^ + ^^3 ■* H~ «4 = P'^ -\- ax -\- h, 

worin P =r a^ -f- P ."^ + 9 eine quadratische Funktion und a 
und Zj Konstanten sind. Es ergibt sich: 



a, a 






8 ' * \2 8 

Nun ist: 

rs^ .7 1n^ Vf - ^ _ f 0-) P - ^ /'(■-O -P^ (^0 dx 

(3) ^^l^Sy^Ijr^ f^r^. yp^' 

f — P-i = a X + ^ 
f (.r) = 2PP' 4- a 
und folglich 

/•'(a;)P _ 2/'(.r)P'0r) = rt(P — 2.rP') — 2bP'==Q 

eine quadratische Funktion von a^, und demnach ergibt sich aus (3) 



(4) log 



V/ — P _ r () (?;r 



Die rechte Seite ist aber eine lineare Funktion von /So, /b\ 
und S—i (filr a = — b/a). In dem besonderen Falle, wo a = 
ist, wird ^ vom ersten Grade, und man kann eine lineare Ver- 
bindung von ■ (So und.S_i durch eine logarithmische Funktion "" 
ausdrücken. 

Nehmen wir Uj und 03 = an, worauf wir den allgemeinen 
Fall nach § 4 durch lineare Transformation zurückführen können, 
so erhalten wir als die Grundintegrale 



■§ 13. Das Additionstheorem. 43 



VA^O' JV7'(^) JC^'-«)V/(^) 

i X cl X 
■während Ä =^ " durch die Substitution x"^ = ii auf das 

nicht elliptische Integral 

1 f fZ^ 



zurückgefühi't wird. Hier ist Äq von der ersten, Äg von der 
zweiten, »S_i von der dritten Gattung, Für die Legen dresche 
Normalform setzen wir f{:c) = (1 — x'^) (1 — %^x^) und nehmen 
als Normalintegral der zweiten Gattung nicht Sg selbst, sondern 
So — ^2 S^. Dadurch ergeben sich die Normalintegrale der drei 
Gattungen : 



äx f^/i-_;^2^2 f dx 

■ax, 



Jy(l_^2)(l_x2^2yj [/ 1_A'2 '*^'J(.^_oj)y(l_.r2)(l_;t2^2) 

und wenn man a; = sin g? setzt : 

( dcp c , r d^ 

Jyi— x2sm2g) j* ^ ^' J (sm^ — «) yi — 3t2sm2^ 

Dasselbe erhält man, wenn man das elliptische Differential 

in der Normalform 

dz 



V^(l — ^)(1 — X2.^) 

annimmt und nach dem Falle II verfährt. 

§ 13. Das Additionstheorem. 

Das von Euler entdeckte Additionstheorem der elliptischen 
Integrale besteht in dem Satze, der für die ganze weitere Theorie 
von fundamentaler Bedeutung ist, daß, wenn von den drei Wert- 
paaren 

a^i, V/"(-^^i); ^2, i f{^\)\ ^3, ifi^i) 

zwei als gegeben vorausgesetzt werden, man auf algebraischem 
Wege das dritte so bestimmen kann, daß die Differentialgleichung 

VTPo V7(^) V7(^ " 

befriedigt ist. Darin ist f{x) eine gegebene Funktion vom dritten 
oder vierten Grade. Es ist dies ein spezieller Fall des großen 



44 



Erster Abschnitt. § 13. 



Ab eischen Theorems iiüd soll auch in dieser Weise hier auf- 
gefaßt und abgeleitet werden i). Dem Beweise schicken wir fol- 
genden elementaren algebraischen Satz voraus: 

Ist F{.r) eine ganze rationale Funktion nien Grades 
ohne mehrfache Faktoren, F' (fi) ihre Derivierte, sind 
ferner i\, x^, ..., .r„ die Wurzeln der Gleichung F(.r) = 
und (p{x) eine ganze Funktion von ^, deren Grad höch- 
stens = n — 2, so ist 

^^^ T^) "^ F'{x,) ^ F'{x„) 

Der Beweis dieses Satzes ergibt sich unmittelbar aus der 
Zerlegung des rationalen Bruches 

x^_(x) 
Fix) 
in Partialbrüche 

F' {X,) {x — X,) '^ F' (x,) {x — x,)'^ ^ F' {x„) (X — x,,) ' 
wenn darin x = gesetzt wird [Bd. I, § 15 (9)]. 

Es sollen nun P, Q ganze Funktionen von x von den Graden 
in und m — 2 bedeuten, und wir fragen nach den Werten von 
2-, ^ fix), für die die Funktion 

(3) F-\-Q im 

verschwindet. Solcher Wertpaare (Punkte) gibt es 2 m, und zwar 
findet man die Werte von x als Wurzeln der Gleichung 2mten 
Grades : 

(4) Fix) = P^ — Q'fix) = 0, 
und die zugehörigen Werte von )l fix) aus 

(5) F^ Q iW) = 0. 

Wir nehmen nun an, die Koeffizienten in den Funktionen 
P, Q seien veränderlich, entweder unabhängige Veränderliche 
oder in irgend einer Weise von anderen Veränderlichen abhängig. 

') Dieses weitumfassende Theorem findet sich in großartiger Einfachheit 
abgeleitet in einem kaum zwei Seiten umfassenden Aufsatze im vierten Bande 
von Grelles Journal „Demonstration d'une propriete generale d'une certaine 
classe de fonctions transceudentes" ; Oeuvres completes de N. H. Abel. 
Nouvelle edition, T. T, p. 515. Ausführliche Darstellung und Anwendungen 
in der nachgelassenen großen Abhandlung: „Memoire sur une propriete 
generale d'une classe tres etendue de fonctions transcendentes". 



§ 13. Das Additionstheorem. 45 

Es werden dann auch die durch (4), (5) bestimmten Werte x 
und ] /"(..r) Funktionen dieser Veränderlichen, und (5) läßt sich 
differentiiereu. 

Bezeichnen wir mit Ö die Differentiation nach den in den 
Koeffizienten von P, (^ vorkommenden Veränderlichen , wobei x 
als konstant gilt, mit dx das entsprechende Differential von ^, 
wenn x durch (4) oder (5) als Funktion dieser Koeffizienten 
bestimmt ist, so ergibt die Differentiation von (4) 

2PÖP— .2gdg/'(x) + F'(^)f^^' = 0, 
woraus mit Benutzung von (5): 

^6P- FbQ _ dx 
^ ^ ^'{^) ~~ 2iJ{x) 

und da der Zähler auf der linken Seite vom Grade 2 m — 2, 
P(.?) vom Grade 2 m ist, so läßt sich die Formel (2) anwenden, 
und es folgt 

(7) V -i^ = 0' 

^ V/-(x) 

wenn die Summe auf sämtliche Wurzeln der Gleichung (5) er- 
streckt ist. 

Wir wenden dieses Theorem auf den einfachsten Fall, näm- 
lich m = 2, an und erhalten dann folgenden Satz: 

Wenn 

(8) .ri, \f{x,)\ X.2, ]'f(x,)- Xs, V/C^a); ^4, Wi^'i) 

vier Wertepaare sind, für die irgend eine Funktion der 
Form 



(9) a + 6a- -j- c.t2 4- ]' f\x) 

verschwindet, so sind diese Wertepaare nicht gänzlich 
voneinander unabhängig, sondern es besteht zwischen 
ihnen die Differentialgleichung 

V/K) V/X^) V/X^ VÄ^)~ 

Die Abhängigkeit dieser vier Wertepaare, also eine Inte- 
gration der Differentialgleichung (10), kann aber auch in alge- 
braischer Weise ausgedrückt werden, indem man die Funktion 
(9) für X = ,^1, a?2, ^"3, Xi gleich Null setzt und dann a, b, c 
eliminiert. Man erhält so die Determinantengleichuncj: 



46 



Erster Abschnitt. 



§ 13. 



(11) 



1, a^i, ^f, V/X'»i) 

1, .^3, xi if{xs) 



= 0. 



1, X,, x\, if{x,) 
Aus dieser Gleichung kann man x-i und if(Xi) rational 

durch X2, if{x2)] ^3: V/'C'^'s); '^'4, V/"('^4) ausdrücken; denn 
Xi ist die Wurzel einer biquadratischen Gleichung, deren drei 
andere Wurzeln Xc^, x^, x^ sind, und deren Koeffizienten rational 
von x^, i f{3Ci)\ x^, V/'C^s); ^4, V/'(^4) abhängen, und if{x^) ist 
mittels (11) rational durch x^ darstellbar. Setzt man x^ einer 
beliebigen Konstanten gleich, so geht die Differentialgleichung 
(10) in (1) über und (11) ergibt ihr Integral. 

Wir wenden dies Theorem zunächst auf die Normalform an 
und setzen 

f{x) = x{\ — «)(1 — y.'-x). 

Nehmen wir in (11) .i'^ = an, so reduziert sich diese 
Gleichung durch Division mit y^ x^x^x^ auf: 

x^) 

12) Vrr,, X^ V-^'2, V(l — ^2)(1 — 5t' ^2) = 0, 



|/^, x^ y.^, V(i — x^{\ — x2.to 
y^^, x^ y^^a, y(i — •^2)(i — 't'^2) 
ya:'3, x^ ya?3, y(i — .t3)(i — v.'^x^ 



oder wenn wir die Determinante nach den Elementen der ersten 
Zeile entwickeln: 



(13) y.ri (« + }) x^) 4- c iiy — X,) (1 — y.'^-x,) = 0, 

worin zur Abkürzung gesetzt ist: 



a = X, y^ y(l — a^3)(l — x2.r3) — ^3 yä^ y(l — .r2)(l — x^ag , 

(14) h = — y^ y(i — ^3) (1 — Ti^xs) + y^y(i— ^■2)(i— x^Ä",), 

c = — (.ra — Xs) ix.2 ]lxs. 

Wenn wir (13) rational machen, so erhalten wir die kubische 
Gleichung : 

x{a 4- bx)^ — c'-{l — .r)(l — x^.r) = 0, 

deren drei Wurzeln it'i, X2, x^ sind. Es ist demnach identisch 

(1 .5) &2 (.X. _ ^j) (,x- _ X2) {x — Xs) = X (a + 6.r)2 — c^ (1 — x) (1 — x2 r), 



§ 13. 



Das Additionstheorem. 47 



und indem wir in dieser identischen Gleichung x = 0, 1, 1:k^ 
setzen, so folgt: 



c 



y Xi X2 Xs — . 
(16) V(l-,r0(l-.r,)(l-.r3) = ^^ 



h -\- ^2« 



y(l _ x2.ri)(l — %'x,){l — %^x,) = L_ 

Zur Bestimmung der Vorzeichen in diesen Gleichungen er- 
halten wir noch aus (13), wenn wir x^^ durch x^ und x^ ersetzen 
und die Ergebnisse multiplizieren: 

x^Xr,x^{a J^hx,){a-\- hx,){a + hx,) = - c"- V/'(^,) ]'f{:r2) ifi^^s) 
und (15) ergibt für x = '■ — cr.b 

{a + hx,){a + i.ro)(« + hx^ = ^(6 -f- a)(& + x^«). 

Benutzt man noch das Quadrat der ersten Gleichung (16), 
so folfft hieraus 



c 



VfC^i) V/X^2) V/X^s) = -p(^ + «)(^ + '^^«)- 

Dasselbe Resultat ergibt aber die Multiplikation der drei 
Gleichungen (16), und die Vorzeichen sind also in diesen Formeln 
so gewählt, daß das Produkt der linken Seiten den durch die 
Differentialgleichung (1) geforderten Wert von V/"(^i) ergibt 
Eine weitere Bestimmung der Vorzeichen ist in (16) der Natur 
der Sache nach nicht möglich, und diese Gleichungen dienen zur 
eindeutigen Definition von ylx^^ yi — ■ %, "j/l — x^ic^, wenn die 

ya-'a, Vi — "«'25 Vi — 5*^^2 5 V'^'si Vi — ^31 Vi — ^^^^3 als gegeben 
vorausgesetzt werden. 

Um die Gleichungen (16) in die gebräuchliche Form zu 
bringen, machen wir zunächst in (14) den Zähler von h rational 
und erhalten 
, {JC2 — ■^'/)(1 —jfx^x^) 

~ V^ V(i — •'•3)(i — ^-^^3) + V^ V(i — ^''2){^ — ^''-^ 

ferner nach (14): 



y(l-.r2)(l-^-3) I V:r2(l-.r2)Vl-^'-^'3-V^3(l-^'3)Vl->'--^'2! 



%'Hi 



— V(l-x2.r2)(l-K2^3) I ix2{\-^'-X2)i\-x^-y!x^{i-%''x^)il-X2]y 



48 Erster Abschnitt. § 16. 

wodurch die Gleichungen (16) leicht in die Form gebracht werden: 



Mxi = - 



jx, V(l — a-a) (1 — x^^g) + ]lx, V(l — X,) (1 — X^X,) 



1 



{11)^1 -x,= 



:_ VI 



vr 



^X^X,i{l—7C^X,){l — X^Xs) 



1 X^XoX- 



yi-x2,ri = 



il—ü'-x,]/l~x-^xs 



x2 ^x.2 Xs V(l — x^) (1 — a-g) 

2 --■ ' ' 



und unsere Betrachtung lehrt, daß, wenn x^ und die Wurzeln 
y^'i, yi — X2, Vi — x^^i durch diese Gleichungen als Funktionen 
von X21 X3 bestimmt werden, die Differentialgleichung (l) identisch 
befriedigt ist. 

Um auch für die Weierstrasssche Normalform das Additions- 
theorem in möglichst einfacher Gestalt zu erhalten, setze man 
f{x) = 4a;3 — g^x — (/g, 

und lasse in der Gleichung (11) (nach Division mit xf) Xi un- 
endlich groß werden. Es ergibt sich alsdann das Integral der 
Differentialgleichung (1) 

dxs 



+ 



+ 



in der Form 

(18) 

oder 
(19) 
wenn 

(20) 



1, Ä'i, V/"(^i) 







1, ^2, V/'C^'ä) 

1, Ä's, if{x^) 



0, 



a^hx, J^cif{,r,) = 0, 



a = .T2 V /X-rg) — -^3 V/Xf2) ■ 
h = V/X.-,) - ifix,) 

C — 00^ '^2* 



Es werden dann x^ , ä'2 , x^ die Wurzeln der kubischen 
Gleichung 

(a -^ 6.r)2 — c^f(x) = 0, 

und wenn man hierin den Koeffizienten von x"^, geteilt durch 
den von x" gleich der negativen Summe der Wurzeln setzt, so 
«rhält man 



§ 14. Ursprung der elliptischeu Funktionen. 49 



(21) .-, + ., + X3 = - {UXjL_l!±jl) , 

und aus (19) 

_ 1 (yfM-M^ r. , . ^ v7v3 - ifW) 



r22) V/'(.r:) = 7 r^\. \r ' - (•*'2 + *-3) 



4 \ .? o .< :-! / Ä/'o X-i 



'^'3 V/(a^2) — -^2 ]'f{x^) 

§ 14. Ursprung der elliptischen Funktionen. 

Wenn in dem elliptischen Differential erster Gattung in der 
Legendreschen Normalform 

1_ cU 

2 V^(l —z){l — x^z) 
die Substitution 

(1) z = sin^q) 

gemacht und sodann die Integration von (jp ::= an ausgeführt 

wird, so entsteht das elliptische Integral erster Gattung 

<p 
C cl(p 

■ J yi — x2 sin2 (p ^ ^' 



Jacobi nennt die obere Grenze (p dieses Integrals seine 
Amplitude und schreibt 
(3) fp = am n. 

Die trigonometrischen Funktionen dieses Bogens 



(4) sin qp, cos ^, yi — v.'^^in'^fp = ^ q) 

sind es mm, die, als Funktionen von u betrachtet, elliptische 
Funktionen genannt und von Jacobi mit 

sinam u , cosam u , z/ am w, 

oder, nach Gudermann, kürzer mit 

(5) snw, cn H, dnu 

bezeichnet werden. Diese Funktionen hängen von den zwei 
Argumenten u und k^ ab, und wenn eine genauere Bezeichnung 
notwendig ist, wird dafür auch 

sn (h, jc2) , cn (m, x^) , dn (w, x-) 
gesetzt. 

Weber, Algebra. III. A 



50 Erster Abschnitt. § 14. 

Wenn in der Formel (1) ^ in — (p verwandelt wird, so geht 
«in — u über, es ist also am ( — n) = — am h und folglich 

sn( — ii) = — snu, cn( — ti) = cnu, dn( — u) = dnu, 

d. h. es ist snu eine ungerade, cn«, dnu sin gerade Funktionen. 
Setzt man also 

d(p2 j dcps j d(pi 7/ I A 

—-f-^ = du, -7-^ = dv, -r^ = —d{u -f- v), 

so lassen sich die Formeln (17), § 13 anwenden, und mau erhält 
die Additionstheoreme: 

, 1 - sn M cn y dn t; -1- sn v cn ii du u 
sn{u -\- V) = 

(6) cn(u -\- v) = 

dn(H -j- v) = 



1 — K^sn^usn^v ' 

cn u CUV — sn m sn v du u dn v 

1 — x2 sn^w sn^v ' 

dn II dn v — x^ sn w sn ■y cn w cn v 
1 — K^sn^usn^v 



Man kann daraus die drei elliptischen Funktionen für beliebige 
Werte des Arguments eindeutig berechnen, wenn sie für irgend 
ein noch so kleines Gebiet um den Nullpunkt bestimmt sind. 
Diesen Satz nimmt Weierstrass zum Ausgangspunkt der Theorie 
der elliptischen Funktionen. 
Setzt man 

TT 
) ^ (p 



so ist sn jE = 1 , CB.K = 0, duÄ" = yi — x^ = j<', und es 
ergeben also die Formeln (6), indem man v = K setzt: 

sn (u 4- K) = T , 

^ ' ^ dn u 

. , -r.s. — x' snu 

(7) cn(„ + Ä) = ^^^, 

dn (u -\- K) = -r: , 

^ ' ^ dn if 

und wenn man diese Formel noch einmal anwendet: 

sn (m -|- 2 K) = — sn u, 

(8) cn(u -^ 2K) = — cn u, 
dn{H -i- 2K) = dn«. 



§ 14. Ursprung der elliptischen Funktionen. 51 

und abermals angewandt: 

sn(n -|- 4:K) = sntf, 

(9) cn (n -\- 4: K) = cn tt, 
dn(n -j- 4:K) = dn«. 

Es haben also die elliptischen Funktionen die Eigenschaft der 
Periodizität mit den trigonometrischen Funktionen gemein. Sie 
haben die Periode 4 K (dn u auch die Periode 2 K). 

In § 3 haben wir als Beispiel die Transformation, die 
Formel (1), abgeleitet: 

(10) '^' — = ^^ 

V^ (1 — ^) (1 — ic-'z) i ix (1 — X) (1 — v!^x) ' 

wenn 

(11) z = -P^ 

^ ^ 1 — X 

war. Setzt man also 

dx . , 

yx(i — x){i — k'^x^ 

so ist, wenn x und u zugleich verschwinden, x = sn2(i«, x'), 
1 — X ^= cn2(iM, x'), und aus (10) folgt: 

dz , 

= du. 



y„^(i — ^)(i — x2^) 

also 

^ = sn^ (m, x). 

Demnach ergibt (11) 

/io\ r \ — ^■sn(^n, x') 
(12) sn(«,x) = -^ — ^ 

(worin das Vorzeichen aus dem speziellen Wert i( = zu be- 
stimmen ist). 

Setzt man nun 



2 

J 



d(p __ j^, 



yi — 3f'2 sn2 g) 



so ergibt sich aus (8) 

sn {iu -[- 2 iT', x') =:= — sn («' w, x'), 
cn(i?t -|- 2^"', x') = — cn(iif, x'), 
und folglich aus (12) 

sn (ii — 2 iK\ x) = sn (h, x) 

4' 



52 Erster Abschnitt. § 14. 

oder auch, indem man u in n -f- 2iK' verwandelt und die Be- 
zeichnung ü wieder wegläßt: 
(13) sn {u -j- 2iK') = sn«. 

Es hat also die Funktion sntt eine doppelte Periodizität. 
Die eine dieser Perioden, 4^, ist reell die andere, 2iK, rein 
imaginär (wenigstens wenn der Modul x ein j)ositiver echter 
Bruch ist). Diese doppelte Periodizität ist eine Eigenschaft, die 
in dem Gebiete der elementaren Funktionen nirgends vorkommt, 
und so am deutlichsten zeigte, daß mau es hier mit einer neuen 
Fuuktionenart zu tun hat. Die aus der doppelten Periodizität 
abgeleiteten Folgerungen sind es zugleich, die, wie die Erfahrung 
gezeigt hat, weitaus am schnellsten mit befriedigender Strenge 
in das Innere der Theorie einführen, so daß hier der zweck- 
mäßigste Ausgangspunkt für eine methodische Eutwickelung zu 
suchen ist. Unsere nächsten Betrachtungen werden daher den 
doppelt periodischen Funktionen im allgemeinen gewidmet sein 



Zweiter Abschnitt. 

Tlieta - Funktionen. 



§ 15. Voraussetzungen aus der Funktionentheorie. 

Der Begriff der doppelt periodischen Funktionen kann nur 
dann richtig aufgefaßt werden, wenn man sie als Funktionen 
eines komplexen Arguments u = v -\- iw betrachtet, worin i wie 
gewöhnlich die Bedeutung von y — 1 hat. Die Variable u gilt 
uns als unabhängige und unbeschränkt veränderliche Größe, die 
nach dem Vorgange von Gauss durch die Punkte einer Ebene in 
der Weise geometrisch veranschaulicht wird, daß der Punkt, 
dessen Koordinaten in einem rechtwinkeligen System v, iv sind, 
als Träger des Wertes u = v -\- iiv angesehen und kurz als der 
Punkt u bezeichnet wird. 

Wir beschränken unsere Betrachtung hier auf eindeutige 
analytische P'unktionen (p{u), die im Endlichen keine wesent- 
lich singulären Stellen haben. Was im Unendlichen geschieht, 
lassen wir dahingestellt. Wir setzen also von den betrachteten 
Funktionen folgendes voraus: 

1. In jedem endlichen Flächenstück liegt eine endliche An- 
zahl von Punkten, in denen die Funktion (p{u) unendlich wird; 
diese Punkte heißen ünstetigkeitspunkte. 

Die Anzahl der Ünstetigkeitspunkte überhaupt, d. h. in der 
ganzen unendlichen Ebene, kann natürlich auch unendlich groß 
sein. 

2. Ist Ho ein nicht zu den Unstetigkeitspunkten gehöriger 
Punkt, so ist die Funktion entwickelbar in eine nach ganzen auf- 
steigenden positiven Potenzen von u — ■ Mq fortschreitende Reihe, 
die konvergent ist in einem Kreise, der den Punkt Uq zum Mittel- 
punkte hat und bis zum nächstgelegenen Ünstetigkeitspunkte 
reicht. Man sagt, die Funktion habe in der Umgebung des 
Punktes Uq den Charakter einer ganzen Funktion. 



54 Zweiter Abschnitt. § 15. 

3. Ist Wo ein Unstetigkeitspunkt , so gibt es eine ganze 
positive Zahl m von der Art, daß {u — t<o)'" «p («) in dem 
Punkte Uq endlich, stetig und von Null verschieden bleibt und 
daher nach ganzen positiven Potenzen von u — Uq entwickelbar 
ist. Der Unstetigkeitspunkt wird in diesem Falle von der «nten 
Ordnung genannt. Es ergibt sich daraus eine Entwickelung 
von (jp(M)nach steigenden Potenzen von u — Uq, die mit (« — ?'o)~"' 
anfängt und in einem um Wo beschriebenen Kreise, der bis zum 
nächstgelegenen Unstetigkeitspunkte reicht, konvergiert. Der 
Koeffizient von (u — Uo)~^ in dieser Entwickelung heißt das 
Residuum dieser Funktion für den Punkt Uq. 

4. Der Cauchysche Satz. Das Integral 



(OD (u) d u , 



2 

in positivem Sinne über die Begrenzung eines endlichen Flächen- 
stückes erstreckt, das auf der Randlinie keine Unstetigkeitspunkte 
enthält, ist gleich der Summe der Residuen für die im Inneren 
des Flächenstückes liegenden Unstetigkeitspunkte. Als positive 
Integrationsrichtung ist dabei diejenige anzusehen, die gegen das 
Innere des Flächenstückes so liegt, wie die v -Achse zur «• -Achse, 
so daß bei der üblichen Bestimmungsweise dieser Achsen beim 
positiven Durchlaufen des Randes das Innere der Fläche zur 
Linken bleibt. 

5. Die Funktion 

^ cnogfpjii) ^ J._ d(p{u) 
du (5p(m) du 

hat nur Unstetigkeitsi^unkte erster Ordnung, und wenn in einem 
Punkte Wo das Produkt (u — i<o)~"' <p (u) endlich und von Null 
verschieden ist , so ist m das Residuum von i' («) für diesen 
Punkt. Ist m positiv, so heißt Uq ein Nullpunkt niter Ordnung 
von qp (m). 

Hiernach ist eine unmittelbare Folgerung des Cauchyschen 
Theorems : 

6. Das Integral 

2^j^nog(p(.), 

ausgedehnt in positiver Richtung über die Begrenzung eines 
Flächenstückes, ist gleich der Anzahl der Nullpunkte, vermindert 
um die Anzahl der Unstetigkeitspunkte, die im Inneren dieses 



§ 15. Voraussetzungen aus der Funktionentheorie. 55 

Fläclienstückes liegen, wobei Nullpunkte und Unstetigkeitsi^unkte 
mter Ordnung wie m solche Punkte erster Ordnung zu zählen sind. 
Hieraus folgt, daß im Inneren eines endlichen Flächenstückes auch 
nur eine endliche Anzahl von Nullpunkten liegt. 
In gleichem Sinne ergibt sich 

7. Das Integral 

2^ 1 udlog(p{u) 

ist gleich der Summe der Werte von ;r, für die (p(n) verschwindet, 
vermindert um die Summe der Werte von ti, für die qp (h) un- 
endlich wird. 

8. Eine Funktion, die im Endlichen gar keine Unstetigkeits- 
punkte besitzt, heißt eine ganze Funktion. Eine ganze 
Funktion, die auch im Unendlichen endlich bleibt, 
ist eine Konstante. Eine ganze Funktion, die auch im Un- 
endlichen keine wesentlich singulare Stelle hat, für die es also 
einen Exponenten m derart gibt, daß m~'" q) (ti) für it = co nicht 
unendlich wird, ist eine rationale Funktion. 

9. Eine ganze Funktion, deren Reziproke gleichfalls ganz 
ist, heißt eine Einheitsfunktion. Eine solche Funktion wird 
im Endlichen weder Unendlich noch Null. Ihr Logarithmus ist 
daher ebenfalls eine ganze Funktion, und es folgt daraus, daß 
jede Einheitsfunktion in der Form es'^") dargestellt werden kann, 
worin g (w) eine ganze Funktion ist. Umgekehrt ist jeder Aus- 
druck von dieser Form eine Einheitsfunktiou. 

10. Nach den grundlegenden Untersuchungen von Weier- 
strass über die eindeutigen analytischen Funktionen (Abhand- 
lungen der Berliner Akademie von 1876) gibt es immer eine 
ganze Funktion G^(m), die in den Unstetigkeitspunkten einer 
Funktion q){u) und nur in diesen verschwindet, und diese 
Funktion G (u) ist durch die Unstetigkeitspunkte von cp (h) bis 
auf eine Einheitsfunktion als Faktor bestimmt. Es ist dann 
(f {u) G (u) = Gl (u) gleichfalls eine ganze Funktion , und man 
kann also jede Funktion cp (u) als Quotienten zweier ganzen 
Funktionen 

darstellen, worin G (w) und G-^ (a) keine gemeinschaftlichen Null- 
punkte haben. 



56 Zweiter Abschnitt. § 16. 

11. Zähler und Nenner dieser Darstellung sind 
durch 7? (tt) selbst, abgesehen von Einheitsfaktoren, ein- 
deutig bestimmt. 

Die Funktionen 6r(M), Gi(u) können in Primfaktoren, d. h. 
in Faktoren zerlegt werden, die nur in einem Punkte Null 
werden. Verfolgt man diesen Weg bei den doppelt periodischen 
Funktionen, so gelangt man zu den Weierstrass sehen ö- Funk- 
tionen. Wir werden aber einen anderen Weg gehen, auf dem 
wir den ö- Funktionen erst an einer späteren Stelle begegnen. 

§ 16. Periodizität. 

Eine Funktion (p(ti) von «, welche die Eigenschaft hat, daß 
für ein konstantes (o und für jeden W^ert von u 

(1) cp{u 4-0) = (p{u) 

ist, heißt periodisch und co heißt die Periode. 

Der Gegenstand unserer Untersuchung sind Funktionen <3p((() 
mit zwei Perioden öj, co^^ von denen wir ein für allemal voraus- 
setzen wollen, daß ihr Verhältnis «2 '■ Wi nicht reell und daß der 
imaginäre Teil dieses Verhältnisses positiv sei. In der letzteren 
Annahme liegt nur eine Festsetzung über die Bezeichnung 
03^, a>2. Denn wenn tOg : «1 einen negativen imaginären Teil hat, 
so ist der von cj^ : Wg positiv. 

Jede Kombination 911 ico^ -\- 1)12(02 ist, wenn ni^, m^ ganze 
Zahlen sind, gleichfalls eine Periode. 

Wir nehmen in der Ebene u einen beliebigen Punkt ii^ an 
und bezeichnen die vier Punkte 

«0, Mo + »1, Mo + "1 + '^'2, Mo 4- «2; 

verbinden wir diese vier Punkte der Reihe nach durch gerade 
Linien, indem wir vom letzten zum ersten zurückkehren, so er- 
halten wir ein Parallelogramm, welches das Periodenparallelo- 
gramm genannt wird. Es können die geradlinigen Seiten des 
Periodenparallelogramms auch durch krummlinige Züge ersetzt 
werden, wenn nur die gegenüberliegenden durch Parallelver- 
schiebung zur Deckung gelangen und die einzelnen Züge keine 
Schleifen bilden. 

Ist «1 = «1 -[- /3i*, W2 = «2 -|- ßii und «1, «2, /3i, ß^ reell, 
so ist nach der Voraussetzung («j /^g — «2/^1) positiv, und die 
geometrische Pedeutuug dieser Größe ist (nach bekannten Sätzen 



^ 16. 



Periodizität. 



57 



der analytischen Geometrie) der Flächeninhalt des Perioden- 
parallelogramms. 

Durch Aneinanderreihen kongruenter Periodenparallelogramme 
läßt sich die ganze «t- Ebene einfach und lückenlos überdecken. 
Entsprechende Punkte zweier verschiedener dieser Parallelogramme 
sind die Repräsentanten von tt- Werten, die sich um ganzzahlige 
Vielfache der Perioden unterscheiden, und die nach dem Modul 
(cjj, (O2) kongruent oder, wenn kein Zweifel möglich ist, kurzweg 
kongruent genannt werden. Das Zeichen der Kongruenz ist 
u ^ i(' (mod ft),, «2), 

und besagt, daß u' die Form n -|- m^ Wj -|- ^2(02 ^^^1 wenn Wj, »Wg 
ganze Zahlen sind. 

Fiff. 1. 



U9+2a»j+2(üj 




Un + 2CiJ,+ tu. 



u„+2a)i 



So stellt die Fig. 1 vier aneinander gelagerte Periodenparal- 
lelogramme dar; die Punkte «1, -2(21 ^'31 ''4 sind kongruent: 

?(2 = tti -j- tOi, t«3 =r Hj -|- COj -(- 032, "4 = ^'l H~ "2 ' 

und Ui, 'II21 «3, Ui bilden ebenfalls die Ecken eines Perioden- 
parallelogramms. 

Die doppelt periodische Funktion (p («) hat in allen 
kongruenten Punkten denselben Wert, und der ganze Wert- 
vorrat dieser Funktion erschöpft sich also in einem Perioden- 
paralielogramm , wenn von zwei gegenüberliegenden Seiten nur 
die eine mit zum Parallelogramm gerechnet wird. 

Wir ziehen aus unseren allgemeinen Voraussetzungen die 
Folgerung : 

1. Es existiert (außer der Konstanten) keine doppelt 
periodische Funktion, die im Periodenparallelogramm 
frei von Unstetigkeitspunkten ist; denn eine solche Funk- 



58 Zweiter Abschnitt. § 16. 

tion wäre in der ganzen n-Ebene endlich und müßte also nach 
§ 15, 8 eine Konstante sein. 

Ist (p{ti) eine doppeltperiodische Funktion mit den Perioden 
«i , cj.j , so ist das über die Begrenzung des Periodenparallelo- 
gramms genommene Integral [wegen (1)] 

[ d log (p(u) ^= I [d log q) (ii) — d log cp (n -|- Wg)] 

"0 

— \[d\ogq){ti) — d\ogcp(u -\- co-J] = 0. 

"0 

Daraus folgt nach § 15, 6. der Satz: 

2. Eine doppeltperiodische Funktion wird in einem 
Periodenparallelogramm in ebenso vielen Punkten Null 
wie unendlich. Ist 7)i diese Zahl, so heißt ni die Ordnung 
der doppeltperiodischeu Funktion. Nach 1. gibt es keine 
doppeltperiodischen Funktionen von der Ordnung Null. 

Ersetzt man in dem Beweise die Funktion (p (u) durch cp [u) — c, 
so folgt, daß eine doppeltperiodische Funktion wter Ordnung 
jeden beliebigen Wert c in gleich vielen Punkten annimmt. 

Wenn wir das Integral der Formel in 7., § 15 über die Be- 
grenzung des Periodenparallelogramms nehmen, so ergibt sich: 

\ud\ogq){u) = 1 [ud log q)(u) — (u -|- co.2)d\ogcp(ti -\- o,)] 

Mo 

— I [ud\ogcp(ii) — (u -\- cOi)dlogq)(u -f- «i)] 

"0 

!(0+ Wg "u+ "^1 

= W] I c^loggD(u) — «2 \dlogq)(;H). 
Nun ist wegen der Mehrdeutigkeit des Logarithmus 

I dlog(p(u) ^= \ogq)(u -\- C0.2) — log^(w) = 2 7tini^ 

\d\ogrp(u) = log (p(u -j- coi) — logcp(u) = — 2 7r?«?2> 

worin wj^ und »»2 unbestimmte ganze Zahlen sind. 

Wenn daher die Funktion q) (u) in den Punkten «j, «2, . . ., «m 
unendhch, in den Punkten /?j, ß.^, ..., /3,„ Null wird, so ist nach 
i^ 15, 7.: 

2J«j ^; U ßi (modwj, coo). 



§ 16. Periodizität. 59 

Ersetzt man cp(u) durch cp(u) — c, worin c einen beliebigen 
Wert bedeutet, so folgt der wichtige Satz: 

3. Die Summe der Argumentwerte, in denen eine 
doppeltperiodische Funktion im Inneren eines Perioden- 
parallelogramms einen und denselben Wert c annimmt, 
ist von c unabhängig oder ändert sich bei stetiger Ver- 
änderung von c höchstens sprungweise um eine Periode. 

4. Hieraus folgt, dal) es auch keine doppeltperiodi- 
sche Funktion erster Ordnung gibt. 

Denn eine solche Funktion müßte jeden Wert c in einem 
Punkte u annehmen. Ist sie also gleich c' in einem Punkte w' 
und gleich c" in einem davon verschiedenen Punkte m", so würde 
aus 3. u' ^ u" folgen, gegen die Voraussetzung. 

Unter einer doppeltperiodischen Funktion der zweiten 
Art versteht man nach Hermite eine Funktion t(u), die den 
Perioden «i, «2 gegenüber sich den Gleichungen gemäß verhält: 

worin a^, ag Konstanten sind. 

.'). Auch für eine doppeltperiodische Funktion der 
zweiten Art gilt der Satz, daß sie in gleich vielen 
Punkten des Periodenparallelogramms Null und unend- 
lich wird. Ist die Zahl dieser Punkte w», so heißt auch hier die 
Funktion von der mten Ordnung. 

Der Beweis ist derselbe wie der des Satzes 2. Es gilt aber 
hier nicht mehr die Erweiterung, daß die Funktion J/'(?') jeden 
Wert gleich oft annimmt, weil i' (u) — c jetzt nicht mehr perio- 
disch ist. 

6. Eine doppeltperiodische Funktion i'(u) von der 
zweiten Art und der Ordnung Null ist notwendig eine 
Konstante oder eine Exponentialfunktion. Denn wenn tp{u) 
nicht Null wird, so ist 

eine doppeltperiodische Funktion von der ersten Art, die nicht 
unendlich wird, also nach 1. eine Konstante a. Daraus folgt: 



ö' 



worin Ä eine neue Konstante ist. 



60 Zweiter Abschnitt. § 17. 

§ 17. Die Punktionen T. 

Wenn doppeltperiodische Funktionen (p{}C) von der miew 
Ordnung existieren, so müssen es gebrochene Funktionen sein. 
Setzen wir sie also nach § 15, 10. in der Form 

(1) <Piu) = -^, 

wenn Cri{u) und G(w) ganze Funktionen ohne gemeinsamen Null- 
punkt sind, so ist 

G-{n 4- wi) ~ G{u + «2) " (^(m) ' 
und darin haben die drei Funktionen G{u)-, G(ii-\-g)i)^ G(u-{-(02) 
dieselben jm Nullpunkte, nämlich die Unstetigkeitspunkte von (p(u}. 
Ihre Quotienten sind also Einheitsfunktionen, und nach § 15, 9. 
ist also, wenn gi{ti), [/ii") ganze Funktionen sind: 

G^(m + «1) = c^^(-^G(u), 
^ ' G{u -f «2) = c?-^^«>G^OO, 

und die Funktion G^ {u) genügt den nämlichen Gleichungen. 
Ist 

(3) ^(«) = §,g 

eine zweite Darstellung von <5P(n) von der Form (1), so ist 

(4) T{u) = c^(^^^G{u), 

worin g(u) wieder eine ganze Funktion ist, und wenn also nach (2) 

^ ^ T(u + o.) = c'2(") T(n) 

ist, so ist 

(Ji{u) = 1i{u) + g{ii) — g{}i + «1), 
^2(w) = hiu) + 9iu) — (j{u + «2). 
Es kommt also alles darauf an, daß wir unter irgend einer 
passenden Annahme über die ganzen Funktionen 7i(m), /2(^0 ganze 
Funktionen T(u) bilden können, die den Bedingungen (5) genügen 
und in 111 beliebig gegebenen Punkten des Periodenparallelogramms 
verschwinden. Durch die Quotienten zweier solcher Funktionen 
mit denselben li{u), l.2{u) können wir dann alle doppeltperiodi- 
schen Funktionen cp («) darstellen , und die allgemeineren Funk- 
tionen G(u\ die dasselbe leisten, erhält man nach (4) durch Hinzu- 
fügung eines willkürlichen Einheitsfaktors. 



S 17. Die Funktionen T. 61 

Wollten wir /](u), /2('0 ^-Is Konstanten annehmen, so wäre 
T(m) eine ganze dopiDeltperiodische Funktion der zweiten Art 
und folglich nach § 16, 6. eine Exponentialfunktion, aus der sich 
keine dopj^eltperiodischen Funktionen bilden lassen. Die ein- 
fachste Annahme, die uns hiernach bleibt, ist die, daß /i(»), 72(^0 
lineare Funktionen von u sind, worunter als Spezialfall auch 
der enthalten ist , daß eine der beiden Funktionen /j , 7, kon- 
stant ist. 

Wir stellen also die folgende Definition auf: 

1. Eine T-Funktion, T(i(), ist eine ganze Funktion 
von w, die den folgenden beiden Gleichungen genügt: 

\^) T (tt -f- (02 ) = e- '^ «■ ["2 (2 u + w,) + 6,] J (m). 

Hierin sind «i, ft^, a^^ h^ Konstanten, d. h. von u unabhängige 
Größen. Die Perioden co^^ co^ gelten hier durchweg als ein für 
allemal gegebene Konstanten, deren Verhältnis w, : to^ einen posi- 
tiven imaginären Teil hat. 

Die Faktoren 

heißen die beiden Periodizitätsfaktoren der Funktion T. 

Die Periodizitätsfaktoren ändern sich nicht, wenn b^, 1)2 um 
gerade ganze Zahlen verändert werden. Daß es Funktionen 
dieser Art wirklich gibt, wird sich erst im weiteren Verlaufe der 
Untersuchung ergeben. 

2. Wenn die Funktion T{u) in irgend einem Punkte 
verschwindet, so verschwindet sie auch in allen kon- 
gruenten Punkten. Verschwindet sie in m Punkten des 
Periodenparallelogramms, so heißt sie von der mten 
Ordnung. 

Aus dieser Definition ergibt sich sofort: 

3. Durch Multiplikation zweier T-Funktionen T, T' 
der Ordnung ni^ m' erhält man eine T-Funktion der 
Ordnung m -f- m'. Die Periodizitätsfaktoren des Pro- 
duktes T, T' sind die Produkte der Periodizitätsfaktoren 
von T und T'. 



Q2 Zweiter Abschnitt. § 17. 

Wir fragen zunächst nach der Möglichkeit von T- Funktionen 
nullter Ordnung: Ist L(u) eine solche und L'{u) ihre Ableitung, 
so folgt durch zweimalige Differentiation von (6) 

d L'{u-{- (Ol) _ d L'{u) 
du L{u -[- 03,) du L{u) ' 

und entsprechend aus der zweiten Gleichung (6). Danach ist 
d^\ogL{i()!du'^ als ganze doppeltperiodische Funktion eine Kon- 
stante, und folglich logL(M) eine ganze Funktion zweiten Grades 
von u. Wir erhalten also: 

4. Eine T-Funktion nullter Ordnung ist von der Form 

(7) L{u) = (7fc-'^*'(^-"' + •"">, 

worin A, ^^ C Konstanten sind. 

Daß jede Funktion dieser Form eine T- Funktion nullter 
Ordnung ist, ersieht man ohne weiteres. 

Das Produkt 

(8) T'(h) = L{u)T{n) 

ist ebenso wie T(u) eine T- Funktion mter Ordnung und ver- 
schwindet in denselben Punkten. 

Die Periodizitätsfaktoren von T' erhält man aus denen von 1] 
wenn man die Exponenten %, ctg? ^n ^2 durch 

ersetzt, worin die 6, b' jedoch nur bis auf additive gerade ganze 
Zahlen bestimmt sind. 

5. Nach (9) kann mau (.t immer und nur auf eine 
Weise so bestimmen, daß b\, b'2 reell werden. 

Denn setzt man die imaginären Teile von b'i, bö gleich Null, 
so erhält man für den imaginären und reellen Teil von ^ zwei 
lineare Gleichungen, deren Determinante nach § 16 der Flächen- 
inhalt des Periodenparallelogramms, also von Null verschieden ist. 

Die Periodizitätsfaktoren und die Nullpunkte einer T- Funk- 
tion mter Ordnung stehen in einer gewissen Abhängigkeit von- 
einander, die wir leicht aus den Sätzen des § lö erhalten. Zu- 
nächst ergibt sich die Ordnung «2, wenn man das Integral 



— : Mlog T(i() = m 



§ 17. Die Fuuktioneu T. 63 

Über die Begrenzung des Periodenparallelogramms ausdehnt. Legt 
man der Einfachheit halber die Ecke Uq (Fig. 1) in den Koor- 
dinatenanfangspunkt, so kann mau dieses Integral so zerlegen: 

2 7cim = j'c/[logT(a) — log T(n -f- a^)] 



- jf?[logT(i()-logT(n + «0] 



und nach (6) ist 

d[[ogT(H) — logT(M 4- «2)] = 2 7iia^, 
d[[ogT{u) — logT(« + 03i)] r= 2 7tiai. 

Daraus ergibt sich 

(10) «2«! — «itOa =^ m. 

Bezeichnen wir weiter mit «j, «21 •••1 '^m die Nullpunkte einer 
T- Funktion im Innern eines Periodenparallelogramms, so erhalten 
wir aus § 15, 7. 

2 7ciZ!a = [udlogTu, 

wenn das Integral wieder über die Begrenzung des Parallelo- 
gramms erstreckt wird. Es ist aber 

{udlogTu = I [ud log Tu — ■ (« -\- a2)dlogT(ti -]- «2)] 


— {[udlog Tu — (ii -\- co^)d\ogT{u -j- «1)], 



und das erste dieser beiden Integrale ist nach (6) 

— «2 j r/log T(u) -\- 2 7cia2 I (?' -|- co^jdu 



= — a92[logT(oi) — log J(0)] -\- 7ti((.2G>i{o3i -{- 2 «2) 

= 7tio32(ai^i -\- ^1) -f- ytia^ia^ -\- 2 cjjfOa) -|- 2 Jr^iV2M2, 

worin N^ (wegen der Vieldeutigkeit des Logarithmus) eine nicht 
näher bestimmte ganze Zahl ist. Ebenso ergibt sich für das 
zweite der Integrale: 

— 7iia)^{a2C02 -\- ^'2) — nia-^ia'^ -f- 20^032) -[- 2 7iiNi03i, 

und folglich (als Kongruenz geschrieben) 

1 All 

(11) Ua = -^ih,(02 — h^co,) + -^-(031 + co^). 



ß4 Zweiter Abschnitt. § 17. 

Diese Summe oder vielmehr die Gesamtheit der damit nach 
dem Modul (oj, co^) kongruenten Zahlen heißt der Charakter 
der T- Funktion. 

Der Charakter der Funktion T ändert sich nicht, wenn man T 
durch eine der Funktionen L T ersetzt (nach 8.). Man kann also 
nach 5. den Charakter auch in der Form darstellen: 

1 ^)l 

(12) Ua = -^{(hcoi — cjico,) + y ((Ol 4- «2), 

worin (/j, y^ reell sind. Diese reellen Zahlen sind durch den 
Charakter bis auf Vielfache von 2 bestimmt und können jeden 
Wert zwischen und 2 haben. Das Symbol ((/i, (/a) heißt die 
Charakteristik der T-Funktion. Aus der Charakteristik wird 
der Charakter der T-Funktion nach (12) bestimmt. 

Ist y der Charakter einer Funktion T{u) von der Ordnung m 
und V eine beliebige Konstante, so hat I{ii -)- v) den Charakter 

y' ^ y — vm. 

Hiernach lassen sich, wenn m >- ist, die ver- 
schiedenen Charaktere aufeinander zurückführen. 

Mit Hilfe der Gleichung (10) kann man die beiden Glei- 
chungen (6) in eine allgemeine zusammenfassen: 

Wenn man in der ersten Gleichung (6) wiederholt n in 
u -\~ Ml verwandelt, so erhält mau das System: 
T{u -f (öl) = e-«»'[«iC2" + coi) + 6i] j(^,,,,,)^ 
T{ii 4- 2(ai) = e-7rt[ai(2M + 3«)i) + Z'i] T{u -f- (Oj), 

T{u 4- WiOJi) = e-^'[«i(2« + (2«i-i)'^i) + ?^i]T[n-f-(«i — l)coi], 
und durch Multiplikation aller dieser Formeln: 

(13) T{u + n^co^) = e-^»[«i(2"i" + "i'"'i) + "i&i] T(^«.). 

Diese Formel ist zunächst für ein positives ganzzahliges «i 
abgeleitet. Ersetzt man aber darin u durch u — n^co-^^ so ergibt 
sich ihre Kichtigkeit auch für negative «,. 

Ebenso ergibt sich: 

(14) T{n -f n^coo) = ß--''-''[«-2(2»'.2" + ".>2) + "2''2] 2'(h-), 

und wenn man in dieser Formel u m u -\- n-^a^ verwandelt und 
wieder (13) anwendet: 



§ 18. Kelationen zwischen verwandten T- Funktionen. 65 

Es ist aber nach (10) 

und demnach wird diese letzte Formel: 

Und hierin sind n^ und «2 beliebige ganze positive oder 
negative Zahlen. 

Wenn man zwei T- Funktionen der Ordnung m und m' von 
den Charakteren 7, y' miteinander multipliziert, so entsteht eine 
neue T- Funktion, deren Ordnung ni -\- m' und deren Charakter 
7 -f- y' ist. Sind (ßi, 02) und {g\^ g'o) die Charakteristiken der 
beiden Faktoreu, so ist (r/^ -\- .r/i, g^ -|- g'o) die Charakteristik des 
Produktes. 

§ 18. Relationen zwischen verwandten T- Punktionen. 

Zwei T- Funktionen von den gleichen Perioden, derselben 
Ordnung und demselben Charakter wollen wir verwandt nennen. 
Ist T'{ii) eine mit T{ii) verwandte T-Funktion und haben «i, a2, 
b\^ h'2 dieselbe Bedeutung für T\ wie (i'i, «2? ^11 ^h für T, so ist 
infolge der vorausgesetzten Verwandtschaft [§ 17, (10), (11)]: 

(1) «i«2 «2K)i = «i«2 f*2'*'l1 

(2) h\(02 — h'^o^ =^ h-^co^ — h2Cii -\- ^n-^^co^ — 2)12^1^ 
worin w^, n^ ganze Zahlen sind. 

Daher lassen sich A und ^ nach § 17, (9) so bestimmen, daß 
die Periodizitätsfaktoren der Funktion 

dieselben werden wie die der Funktion T'{u)^ und daher haben 
wir den Satz : 

1. Verwandten T-Funktionen können durch Hinzu- 
fügung einer T-Funktion nuUter Ordnung: 

Ij -_. (Jß—ni{?.u-^+iiu) 

als Faktor dieselben Periodizitätsfaktoren gegeben 
werden. 

Ferner folgt unmittelbar aus der Gleichheit der Charaktere: 

2. Wenn verwandte T-Funktionen mter Ordnung 
m — 1 gemeinsame Nullpunkte im Periodenparallelo- 
gramm haben, so haben sie auch den mten gemeinsam; 
und hieraus: 

Weber, Algebra. III. k 



56 Zweiter Abschnitt. § 18. 

3. Zwischen höchstens m -{- 1 verwandten T-Fuuk- 
tionen mter Ordnung T, Tj, ..., T,„ besteht eine identische 
Gleichung von der Form 

LT-^L,T, H h A„r„, = 0. 

Denn besteht diese Relation nicht bereits für L = 0, so kann 
man von den in L^, L^-, • . ., L^ verfügbaren Konstanten zunächst 
Aj, Xo, ..., 'Im, f*!, ^1 •••, ju„j so bestimmen, daß die sämtlichen 
Produkte L^T^, L^T^, ..., L^T^ dieselben Periodizitätsfaktoren 
erhalten, und dann die Cj, Cg, . . ., C,« so, daß w — 1 und folglich 

alle Nullpunkte der Funktion L^T^ -|- Lg ^2 H h ^m T„i mit den 

Nullpunkten der Funktion T zusammenfallen. Daraus aber folgt, 
daß das Verhältnis von Li2\ -\- L.2 T2 -\- •■■ -\- L,h T,n zu T gleich 
einer T"- Funktion — L ist, was zu beweisen ist. 

4. Die Quotienten verwandter T-Funktionen können 
durch Hinzufügung eines Faktors L in doppeltperiodische 
Funktionen verwandelt werden. 

5. Setzen wir die Existenz einer T-Funktion erster 
Ordnung t{ii) voraus, so läßt sich daraus jede T-Funktion 
>»ter Ordnung ableiten. 

Es sei nämlich y der Charakter von t{u) und «j, «2, ..., «„, 
beliebig gegebene Werte. Es verschwindet dann die Funktion 

tili — «i -|- y) = ^j(«j, i = 1, 2 . . . )/! 

in dem Punkte a,- und allen mit Wj kongruenten Punkten, aber 
in keinem anderen. 

Das Produkt 

T{u) = t^{u)t^{u) ... t„^{u) 

ist also eine T-Funktion »iter Ordnung mit den beliebig ge- 
gebenen Nullpunkten «j, a^, . . ., «,„. 

6. Hieraus läßt sich leicht beweisen, daß jede 
doppeltperiodische Funktion, die in einem Perioden- 
parallelogramm nur eine endliche Anzahl von Unstetig- 
keitspunkten hat, als Quotient zweier T-Funktionen 
darstellbar ist. 

Es sei nämlich (p{ii) eine doppeltperiodische Funktion mit 
den Perioden öj, co^ und den Unstetigkeitspunkten «j, «2, ..., w,„, 
die auch teilweise in Unstetigkeitspunkte höherer Ordnung zu- 
sammenfallen können. 



§ 19. T- Funktionen erster Ordnung. 67 

Bestimmt man nach 5. eine Funktion T(n) mit den Null- 
punkten «1, «21 '•■1 ^mt so ist: 

T{u)<p{ii) = T^{u) 
eine I'- Funktion mter Ordnung, und 

T{u) 

Die Funktionen T(h)^ ^i(w) sind .verwandt, da sie die- 
selben Periodizitätsfaktoren und also auch dieselbe Charakteristik 
haben. 

Die Nullpunkte von Ti(n) sind zugleich die Nullpunkte von 
9p(m), und die Summe dieser Null werte ist also kongruent mit 
der Summe der Unstetigkeitswerte. 

§ 19. T- Punktionen erster Ordnung. 

Wir gehen nun dazu über, die T- Funktionen erster Ord- 
nung, die wir mit t(ti) bezeichnen, aus denen sich die übrigen 
I- Funktionen, wie wir gesehen haben, ableiten lassen, näher zu 
bestimmen. 

Aus 3. des vorigen Paragraphen folgt, daß zwei ^-Funktionen 
derselben Charakteristik sich nur durch einen Faktor von der 

voneinander unterscheiden, und wir wollen nun durch eine Er- 
weiterung der Definition diesen Faktor noch näher bestimmen. 

Dies soll, was nach § 17, (9) ohne Beschränkung der All- 
gemeinheit möglich ist, so geschehen, daß in den Periodizitäts- 
faktoren 

wird, wenn ((/i, (J2) die Charakteristik ist; wegen der Relation 

«2 »1 — ffi »2 = 1 
ist dann 

1 

«2 = — , 

und die Bedingungen für diese ^-Funktion lauten alsdann (§ 17, 1.) : 

(1) _^;2_u + «^ 

t{ii -f- W2) = e '"' e-^»>2^(M), 

und hierdurch ist die Funktion t{ii) bis auf einen von u unab- 
hängigen Faktor bestimmt. Um diesen Faktor noch näher zu 



6g Zweiter Abschnitt. § 19. 

bestimmen, fassen wir die Abhängigkeit der Funktion t auch 

von cjj, «a ins Auge und bezeichnen sie, indem wir g-^, g^ als 

gegebene von cji, a^ unabhängige Zahlen betrachten, mit 

^(m, «1, a^. Es zeigt sich dann, daß, wenn li ein willkürlicher 

Faktor ist, 

t{hu, hco-^, hcoo) 

gleichfalls den Bedingungen (1) genügt, und daß demnach 

l(ll, (»1, 092 ) 

von II unabhängig ist. 

Die Funktion /"(wj, cog) kann aber immer in die Form ge- 
setzt werden: 

man hat nur, wenn t{ii) für u = nicht verschwindet: 

(5p («1, «2) = ^(0, CJi, Mg), 

und wenn i(0) = ist, etwa 

zu setzen, wenn t' die Derivierte von t nach it bezeichnet. Indem 
man also jetzt 

qp((öi, oja) 
wieder mit <(h, coi, 032) bezeichnet, kann man den Bedingungen (1) 
noch die hinzufügen, daß für ein beliebiges h 
(4) t{ii^ (Ol, CO2) ^= t(hu, hcoi h(o^. 

Die Funktion t hängt also jetzt nur noch von zwei Veränder- 
lichen, nämlich den Verhältnissen u-.co^: co^-, ab. Wir setzen in (4) 







1 


tt 


«0 




h - 


— — 




-^ = a, 






«1 


^ "" ^' 


«1 


und erhalten 











(5) t{u, Wj, «2) = t(—, 1, ^} = -^(t',«), 

\Oi (Ol/ 

worin -O' ein neues Funktionszeichen ist. 

Hierdurch ist also eine neue Funktion ^{v) definiert von nur 
zwei Variablen y, co, deren erste unbeschränkt veränderlich ist, 
während co nach der im § 16 gern achten Voraussetzung einen 
positiven imaginären Bestandteil hat; v heißt das Argument, 
CO der Modul der 0-- Funktion. 



§ 20. Die 5- -Funktion. 69 

§ 20. Die ^-Punktion. 

Die Funktion 'O-(y) ist eine ganze Funktion von r, die den 
Bedingungen genügt: 

#(v+ 1) = e—''n»(v), 

d-{v + w) = e-^^^-^^ + '"'>e-''^s-2^(v), 

und ist dadurch bis auf einen von v unabhängigen Faktor 
bestimmt. Sie ist also unter den ^-Funktionen als Spezialfall 
enthalten, während andererseits die allgemeine i- Funktion durch 
die ^--Funktion ausgedrückt werden kann in der Weise: 

«W = c.-"-— '*(^, ^), 

worin C, A, ^ beliebige konstante oder von cö,, co^ abhängige 
Größen sind. 

Die Funktion d" ist noch von den in der Charakteristik vor- 
kommenden Zahlen r/,, (/a abhängig, und wenn eine Bezeichnung 
dieser Abhängigkeit erforderlich ist, so soll für '9-(r, a): 

gesetzt werden, es können dabei ^j, r/2 beliebige Zahlen sein. 
Nach dem früheren genügt es, wenn wir sie reell und zwischen 
und 2 annehmen. 

Entsprechend den T- Funktionen höherer Ordnung werden 
wir auch 0- Funktionen mtev Ordnung einführen und verstehen 
darunter eine ganze Funktion von v, die den Bedingungen genügt: 

&{v -^ a) = 6;-'"'^'(-« + '^)e-'^'f'2 0(r). 

Auch hierbei kann die Charakteristik ^1, ^2 ^^ die Bezeich- 
nung mit aufgenommen werden: 

Diese Funktionen sind als spezielle Fälle unter den T-Funk- 
tionen enthalten, und man kann allgemeine T-Funktionen in der 
Weise bilden: 

(3) Ce-''^^'^'' + "") (—, ^) . 

Es ergibt sich also aus § 18, 3. der Fundamentalsatz für 
die 0-Funktionen, den wir folgendermaßen aussprechen: 



70 Zweiter Abschnitt. ^ 20. 

Nennen wir 0- Funktionen mit denselben Perioden gleicher 
Ordnung und gleicher Charakteristik verwandt, und bezeichnen 
wir ferner ein System von Funktionen als linear abhängig 
oder unabhängig, je nachdem eine homogene lineare Relation 
mit konstanten (nicht sämtlich verschwindenden) Koeffizienten 
zwischen diesen Funktionen besteht oder nicht besteht, so gilt 
der Satz: 

m -j- 1 verwandte 0-Fuuktionen mtev Ordnung sind 
immer linear abhängig; 
oder : 

Aus m linear unabhängigen verwandten ©-Funktio- 
nen mter Ordnung läßt sich jede andere verwandte 
0-Funktion linear (mit konstanten Koeffizienten) 
zusammensetzen. 

Dieser Satz ist für unsere folgenden Betrachtungen von der 
fundamentalsten Bedeutung; es ergibt sich daraus nach § 18, 3., 
daß jede T-Funktion iiiter Ordnung mit Anwendung der Formel (3) 
aus m linear unabhängigen & - Funktionen zusammengesetzt 
werden kann. 

Nach § 17, (11) ist die Summe der m Argumentwerte, für 
welche die Funktion ö^i, (/^(y) im Periodenparallelogramm ver- 
schwindet, nach dem Modul (1, «) kongruent mit 

1 -\- CO g-^a — 02 

m —I— + ^ • 

Die bis jetzt gegebene Definition der Funktion Q- läßt einen 
Faktor, der eine Funktion von o sein kann, unbestimmt. Wir 
können aber durch einen Zusatz zur Definition diesen Faktor 
noch näher bestimmen. 

Wenn man die Definitionsgleichungen (1) zweimal nach v 
und einmal nach co differentiiert, indem man r/^, g2 als konstant 
ansieht, so ergibt sich nach einfacher Rechnung, daß die Funktion 

— "■ , ^ — im :^ '- 

OV^ CG) 

selbst den Bedingungen (1) genügt und also die Form 

qp (cö) & (y, co) 
hat, worin (p (co) in bezug auf v konstant, also eine Funktion von o 
allein ist. Wenn man jetzt 

1 ((O) (? tu 

»(|.,ra) 



-li^l'« 



yj 21. Hauptcharakteristiken. 71 

gleich einem neuen 0- setzt, so ergibt sich für dieses die partielle 
Diff erentialgl eichung 

^ cv^ da 

und durch (1) und (4) ist jetzt die Funktion ^ bis auf 
einen von v und a unabhängigen, also nur noch von (/j, g^ 
abhängigen Faktor definiert. 



5^21. Die Theta - Funktionen verschiedener Charakteristiken. 
Hauptcharakteristiken. 

Wir wollen jetzt, ehe wir an die Bestimmung des noch 
übrigen von v und co unabhängigen Faktors in den -O'-Funktionen 
gehen, die verschiedenen Charakteristiken aufeinander zurück- 
führen, was nach § 17 immer möglich ist. Bezeichnet man mit 
^{v) die zur Charakteristik (0, 0) gehörige -O^-Funktion, so ist 

(r, CO) = (r-^^9.v ^ (^y _ 0. ^ — fh ^ 

eine den Bedingungen (1) § 20 genügende Funktion. Es ist aber 
nun mit Rücksicht auf die Differentialgleichung (4): 

-^— 4 712—- = — ;r2^/cD, 

d v^ da ■Ji 1 

und wenn wir also 

niojgi' . , Ol 01,711 

(1) »,„„(«) = . * ' *(,_»Li^ 

setzen, so ist die Differentialgleichung (4) § 20 durch alle 
diese Funktionen befriedigt. Hierdurch also sind die Funk- 
tionen ^g^^g.^ bis auf einen allen gemeinschaftlichen numerischen 
Faktor bestimmt. 

Aus der Formel (1) läßt sich eine allgemeinere ableiten, 

indem man v durch r — — — - — ~ ersetzt. Man erhält so 



j- g^^ + ^ i r/j v—nigi (i.-,~ — gi (g.2 + g^) 



72 Zweiter Abschnitt. § 21. 

Aus (2) ergibt sich noch, mit Benutzung von (1) § 20, wenn 
man g'i = 2, (/2 = 0, oder g[ = 0^ g'2 = 2 setzt: 

/ox . ^.1 + 2,,, (r) = e'"'^^K,9Ä^), 

und durch (2) ist also zugleich die Periodizität der Funktionen 
^gi,g^(v) vollständig ausgedrückt. Beispielsweise ergibt sich, wenn 
^ und V ganze Zahlen sind: 

'^7^00 l y — 7)' 

(4) 

= {-\)^\ e * e ^,,{1^. 

(5) '9-1 1 (i' — vco — fi) ^= (-1)'" + ^ e- '^^ ^"^' e'^"''' " O-u (??). 

Die Formel (2) ist gültig für ganz beliebige, selbst komplexe 
Werte von g^^ g^. 

Wenn man in den Definitionsformeln der -d- - Funktionen 
[§ 20, (1)] V durch -v—\, und durch -v-co, ferner (/j, g^ durch 
-9i-, —9i ersetzt, so zeigt sich, daß ^—g^^-.g,^{—v) denselben Be- 
dingungen genügt, wie '9'^„£,j(v), und daß sonach 

bis auf einen konstanten Faktor identisch sind; es ist also ins- 
besondere, wie aus v = hervorgeht: 

'9"o,o(v) = ^(i,i)(-v), 
und danach ergibt die Formel (1), wenn man v^ g^, g^ durch 
-^» -9i^ -y-2 ersetzt: 

Sind die Elemente g-^^ g.^ ganze Zahlen, so heißt (^1, ^2) 
eine Hauptcharakteristik. Es gibt deren vier wesentlich 
verschiedene, nämlich : 

(0,0), (0,1), (1,0), (1,1), 
und demnach auch vier wesentlich verschiedene Haupt --9^ -Funk- 
tionen : 

0) ^00 (^'O, ^01 (y), ^10 (i'), ^11 (^). 

von denen die erste auch mit %■ {c) bezeichnet wird. 

In der Folge werden unter Charakteristiken und 
o)- - F u n k t i n e n nur noch H a u p t c h a r a k t e r i s t i k e n und 
Hauptfunktionen verstanden. 



^ 21. Hauptcharakteristikeu. 73 

Die Formel (2), auf dies Fuiiktionensystem angewandt, ergibt 
die folgende, häufig benutzte Tabelle: 

(8) \ ^/ \ 



2 
1 + « 



2 
worin zur Abkürzung 

+ TTa u 

6 = e * 
gesetzt ist. 

Nach (3), (4) ist 

^ ^ ^10 HO = ^10 OO, '^n (-0 = -^n (r), 

d.h. es sind O-oo^y), ■ö'oiCy)? '^io(^') gerade Funktionen, 
-O"!! (f) ist eine ungerade Funktion. 

Nach § 17 (12) verschwinden die vier Funktionen (7), bzw. 
für die folgenden Werte des Arguments 

1 + » ^ 1 

also für gewisse halbe Perioden. Von Wichtigkeit sind die Werte, 
welche die sämtlichen Funktionen (7) für diese Argumentwerte an- 
nehmen, und diese lassen sich mittels der Tabelle (8) auf die drei 

^oo(0) = ^oo, '^oi(0) = ^oi, '^io(0) = '^io 

zurückführen. Man erhält so aus (8) das folgende System von 
Formeln : 

-^00 = '^01 ( 2 ) ~ ^» '^10 ("2 ) ~ ^'^ ^^^ \ — 2^ ) ' 
(10) ^01 = ^aoQ) =-^'fo^n(f) = ^•£o^io(^^)- 



74 Zweiter Abschnitt. § 21. 

worin nii^j 

und 

(11) ^„ (0) = 0, ^,0 Q) = 0, ^01 (I) = 0, ^00 (4^) = 0. 

Die Quadrate der Funktionen (7): 

(12) ^0^0 (^0. ^01 (^0, ^fo(''). ^n('0 

sind ©00 - Funktionen zweiter Ordnung, und folglich besteben 
zwischen ihnen zwei lineare Relationen. Nehmen wir diese Rela- 
tionen in der Form an: 

so kann man die Koeffizienten auf Grund der Formeln (10), (11) 
leicht bestimmen, wenn man v = und v = — setzt. Man 

erhält so 

... ^(Ti ^fo ('•) = '^fo ^U (r) - ^0^0 ^fi (r), 

' ^ ^l &Ö0 ('•) = ^lo ^,?i (0 - ^lo ^fi (r) , 

und daraus noch, indem man r = ^ setzt: 

(14) -^O'o = ^01 + '^1^. 

Durch zwei beliebige von den Quadraten (12) können alle 
Funktionen 0qo c^ei' zweiten Ordnung linear dargestellt werden; 
aber auch die übrigen 0-Funktionen zweiter Ordnung lassen sich 
aus den Funktionen &r,^,g.2 zusammensetzen, denn man erhält für 
jede Charakteristik zwei linear unabhängige Produkte, von denen 
das eine eine gerade, das andere eine ungerade Funktion ist, 
nämlich : 

^00 (y) -ö-oi (v), ^10 (v) ^11 (v) Charakteristik (0,1) 

(15) ^oo(y)^ioO0, ^01 00 ^11 (^') . (1^0) 

Nach demselben Prinzip lassen sich nun alle 0- Funktionen 
beliebiger Ordnung und beliebiger Hauptcharakteristik aus den 
Funktionen -O- bilden. Um dies nachzuweisen, bezeichnen wir mit 
©„, 6>i irgend zwei der ■»■-Quadrate (12) und mit i*»(0o, ©j) eine 
ganze rationale und homogene Funktion wter Ordnung der beiden 
Argumente &q^ S^. Man erhält hiernach für die 0- Funktionen 
wter Ordnung 0(»»)(r) folgende Ausdrücke: 



§ 21. Hauptcharakteristiken 

m gerade gerade Funktionen 

0<-Hi') = i^® (00, ©0 



75 



(16) 

0^0'oHO = ^00 

0(-)(.) = ^0. 
0(-)(^;) = ^00 
m ungerade 

(17) 

0^'o1(O = ^oi 

00») (r) = &,, 



r)^,o(^0^^^~'^ (00,00 

r) ^01(^0^^^"'^ (00, 0i) 
ungerade Funktionen 

^10 (^-j ^01(0 ^11 (0 F^^^ (00, 0.) 
r)^n(^-)^^^'"'^ (00,00 
r).%,{i-)F^^~'^ (00, 0i) 

gerade Funktionen 

r) F^ 2 J (00, 00 
.') F^ ^ >* (00, 00 
v) F^ 2 >* (00, 00 

/ »u — 3 \ 

^') ^01(^0 ^10 ('0^^^"^ (00,00 
ungerade Funktionen 

^0 ^10(^0 ^11 (^O^^"^^ (00,00 

/m— 3\ 
^0^io('O^n(^0^^~^^ (00,00 



/OT— 3\ 

*0 ^0.(^0^11(^0^^"^^ (00,01 



.Oi" 



(00, 00- 



Daß in dieser Form alle 0- Funktionen darstellbar sind, 
ergibt sich auf Grund von § 20 aus folgenden drei Erwägungen. 

1. Zwischen geraden und ungeraden Funktionen kann keine 
lineare Abhängigkeit bestehen, wenn nicht schon zwischen den 
geraden Funktionen für sich oder den, ungeraden für sich eine 
lineare Abhängigkeit besteht. 



76 Zweiter Abschnitt. § 22, 

2. Da zwei der o)-- Quadrate (12) nicht in konstantem Ver- 
hältnis stehen, so besteht auch keine Gleichung von der Form 
Fi'H&,, 0,) = 0. 

3. I)ie Gesamtzahl der Konstanten, die nach (16), (17) in 
den zu einer und derselben Charakteristik gehörenden geraden 
und ungeraden Funktionen auftreten, ist genau gleich der Ord- 
nung m. 

§ 22. Das Additionstheorem. 

Sind u, V zwei Veränderliche, so gehören die Produkte 

zu den 0- Funktionen zweiter Ordnung, mit der Charakteristik 

und zwar für jede der beiden Variablen ?(, v, sie sind also als 
Funktionen von r linear darstellbar durch die Funktionen (12) 
und (15) in § 21, so daß die Variable n in den Koeffizienten 
vorkommt. Diese Darstellung ist, wenn die Charakteristik (0, 0) 
ist, auf mehrfache Art möglich, da man zwei beliebige der Funk- 
tionen (12) wählen kann, in den anderen Fällen nur auf eine 
Art. Man erhält so 16 Formeln, von denen aber 6 durch bloße 
Vertauschung von v mit — v aus den anderen herzuleiten sind, 
so daß nur 10 wesentlich verschiedene bleiben. Man leitet diese 
Formeln sehr leicht ab, indem man sie zunächst mit unbestimmten 
Koeffizienten ansetzt und diese dann dadurch bestimmt, daß man 
für V solche spezielle Werte setzt, für die je eine der Funk- 
tionen d- (y) verschwindet. So ist z. B. : 

^00 (w + '•) ^00 (^' — v) = J.^,/, {r) + B^-^, (y), 

1 -I- CO 
und wenn man v = und v = — ^ — setzt, so erhält man mit 

Benutzung der Formeln des § 21 : 

also 

(1) ^(T. ^00 {u + .0 ^00 (u - v) = ^|„ {u) ^^, (r) + ^f , (^0 ^f 1 (0: 
und wenn man hierin 11 durch 

I 1 , ö , 1 -f- a 

''+2^ ^^ + T' ^ + -2— 

ersetzt, so bildet man drei weitere Relationen, die man auf dem- 
selben Wege wie (1) auch direkt hätte ableiten können: 



§ 22. Das Additionstheorem. 77 

(2) ^,fi ^01 (" 4- v)&,, (u - v) = ^,fi (h)^„^j (r) — ^/^ {ti)^;\ (v). 

(3) ^f„ '^.oC« + ^')^io('^ - v) = ^,^„ iu)d;% (r) - ^f, (n)^f, (4 

(4) ^,f, '-^ai {n + r)^n(H - r) = ^,\ (H)^,f, (.) - ^,fj (M)^fi (^')- 
Diese vier Gleichungen können, wie schon erwähnt, durch 

Anwendung der Formehi (13) des vorigen Paragraphen in mannig- 
facher Weise umgeformt werden. Die folgenden sechs Formeln 
haben nur eine Form. Es ist, um wieder mit einem beliebigen 
Beispiel zu beginnen: 

^00 (« 4- r) &,, {II -^v) = A ^01 (v) ^10 ('0 + S ^00 (^0 ^1^ (^0, 
und wenn man v = setzt: 

daraus erhält man B durch Vertauschung von ii mit r. So sind 
die drei folgenden Formeln abgeleitet: 

(5) ^oi'^io'^ooC« + v)d-^,{u — v) 

(ü) ^oü^oi^io(" -f ^)^n(w — ^) 

0) ^oo'''^io'^oi(« + v)d-^^{ll — v) 

die sich unmittelbar verifizieren lassen, indem man erst u^ dann 
V = setzt. Hieraus folgen die drei anderen durch Vermehrung 
von n um 

1 ö 1 

2' 2' 2' 

(8) ^oi^io-^oiCw + ^j^ioO* — v) 

(9) ^00^01 ^.o(m + r)»oiii^ — v) 

(10) ^too^io^ooC« + ^^)^io(^* — ^0 

= ^oo(w)^io(w)^oo(^)^io(^) + '^oiC'O^uC^O^oiCiO^nC^ 
Es lassen sich diese Formeln, deren Gesamtheit mit dem 
Namen des Additionstheorems bezeichnet wird, in mannigfacher 
Weise verallgemeinern, wovon das folgende als Beispiel dienen 
möge. 

Sind vf, V zwei Variable, so sind die vier Produkte 

'9-oo(«)^oo(m + v\ '9'oi('0^oi(« + v\ 

'^io(«0^io(« + ^). '^n(«0^ii(*f + ^'X 



78 Zweiter Abschnitt. § 22. 

als Funktionen von ii betrachtet, verwandte T-Funktionen zweiter 
Ordnung mit den gleichen Periodizitätsfaktoren, und daher sind 
je drei von ihnen linear abhängig. Es ist also 

^^oo(")^oo(" + ^) + 5^,o(«)^io(n + ^) + C&,,{lf)^u{u + V) 

= 0, 
woraus für u = 0, u = \: 

und daraus: 

(11) ^io^io(«^)^oo(w)^oo(w + ^) — '9-oo'9'oo(y)^io(w)^ioO^ + '•» 

Ebenso sind nun auch, wenn iv eine dritte Variable ist, die 
in der Form 

enthaltenen Produkte, als Funktionen von u betrachtet, verwandte 
T- Funktionen zweiter Ordnung mit den gleichen Periodizitäts- 
faktoren, so daß zwischen je dreien unter ihnen eine lineare kh- 
hängigkeit besteht. Die Koeffizienten bestimmt man wie oben 
durch spezielle Werte von u. So folgt das Formelsystem: 

^oo-ö-ooCy + «O'^oo(" + V)^^^{U + W) 

(12) = ^oo(w)^oo(y)^oo(?(^)^oo(M + ^ + IV) 
- ^ii(w)^ii(^)^n('")^n(^^ + V 4- w). 

'^oi^oi(^ + ?(0^oi(m + 0^oi(« + ?'0 

(13) = ^01 («) ^01 (0 ^01 (^'0 ^V {u^-v-{- IV) 
+ ^n(«)^ii(^')'^n(^f^)^n(w + V + H')- 

^10 -^1 (y + W)&M) {u + ^0 ^1 (« + *«^) 

(14) = ^io(w)^io(t^)^io(^t^)^io(t* + ^' + IV) 
+ ^u (w) ^1. (^0 ^n (^f^) ^11 (^t + V + yc)- 

Alle diese Formeln können als spezielle Fälle einer all- 
gemeinen Formel aufgefaßt werden, die Jacobi aus den Reihen- 
entwickelungen abgeleitet und zur Begründung der Theorie der 
elliptischen Funktionen verwandt hat^). Diese Formel läßt sich 
auch folgendermaßen aus dem Begriffe der Thetafunktionen ge- 
winnen. 



') Theorie der elliptischen Funktionen , aus den Eigenschaften der 
Thetareihen abgeleitet. Jacobis gesammelte Werke, Bd. I, S. 497. 



>j 22. Das Additionstheorem. 79 

Die vier Funktionen 

(15) ^oo(2r), ^01 (2*0^ ^loi'^v), ^u(2f}, 

sind fc>oo- Funktionen vierter Orduimg von v, und da sie linear 
unabhängig sind, so lassen sich alle ©oq- Funktionen vierter 
Ordnung Hnear durch sie ausdrücken. Eine solche Funktion ist 
aber auch das Produkt 

(16) »{v + a,)»{v + a,)^{v^ a,)&{v + a,), 
vorausgesetzt, daß die Größen a der Bedingung 

(17) «1 + «2 -f- «3 + «4 = 

genügen. Wir erhalten also, wenn wir mit J.^, A21 ^3, Äi Kon- 
stanten (in bezug auf v) bezeichnen: 

= A,^,,{2v) + A^o.(20 + ^3^10(2^0 + A^n(2r), 

und daraus erhält man durch Vermehrung von v um |(^i«H-^2) 
vier Formeln: 

= ^i'^oo(2 ^0 + (- 1^^2^oi(2 r) + (- 1)^1 Ä,&,,(2 V) 

+ (-l)^i + ^.^,^n(2^). 
Wenn man diese vier Formeln addiert, so folgt: 

(10) 91,9-2 

= 2 ^31,9,0' + 'h)^9u9,{^' + «2)^^1,5. 0' + «:0^Pl,.'7.(^" + «4), 

WO in der Summe für g^ und .(/g alle Kombinationen von und 1 
zu setzen sind. 

Wir führen jetzt eine etwas andere Bezeichnung ein, indem 
wir setzen: 

V -\- a-y = t)'i, t; -[- «2 = v'2, V -\- «3 = rs, r -\- «4 = v\^ 

also wegen (17) 

4y z= v'i -[- v'.2 -^ v's -{- i'4, 

und definieren jetzt die vier Größen i\^ Vg, i's, i'4 durch die 
Gleichungen 

Vi = \ (v'i -t- r'i 4- vg 4- v'i) , 

^19^ ^2 = f (ri + r'o — v's — v[), 

V3 = I (V[ — ^^2 + V's — V'i) , 

Vi =^ l(v'i — V2 — r'3 + v'i)- 



30 Z^Yeiter Abschnitt. § 22. 

Hieraus erhält man aber: 

vi = f ('^'i + ^'2 + ^"3 + i'4), «1 -- |( r^ + V3 + '^'4). 

^" ^ V3 = i (l'l — i'2 + ^3 — ^'4)5 «3 = K- ^"2 + ^'3 — V4), 

^i = K^'l — ■^"2 — '^"3 + ^"4), O4 = |(— '"2 — ^3 + ^'4), 

und danach ergibt die Formel (18): 

4 A^ d-^o M = 2 ^9u 9, (^'i) K, rA2 (^2) ^.,1, ff, (4) ^ff„ ,, (y;), 

worin nun entweder die Vi oder die v'i als unabhängige Variable 
angesehen werden können. 

Betrachtet man die Vi als unabhängige Variable, so ist in 
dieser Formel A^ von i\ unabhängig, wohl aber noch von r,^ 
^3, t'4 abhängig. Setzen wir daher 4 ^.j = C'9-oo(r^)'9"oo(?^3)'^oo(i"4X 
so ergibt sich 

C^O0('l)^0o(^"2)'^0o('"3J'^00(^'4) 

und darin ist c jedenfalls von t\ unabhängig. Da nun aber die 
rechte Seite dieser Formel bei beliebigen V^ertauschungen von 
t-'ii ^21 ^-'35 ^4 ungeändert bleibt, so ist c von allen r, unabhängig, 
und man erhält seinen Wert, wenn man alle Vi = setzt: 

woraus nach § 21, (14) c = 2 folgt. 
Wir haben also die Formel: 

2^Oo(^l)^00(^'2)'^00('-3)^0o(*"4) 
= ^^9u gM) ^9u 9^ {^d K, 9. (i's) ^g„ g, (v'i). j 

Wenn man darin jede der Variablen v^, V21 t's, t'^ um eine 
halbe Periode — | (g'i co^ — g'2) vermehrt, so wird v'i um eine ganze 
Periode — (.^i«i — g'2) vermehrt, während v'2, v's, v'i ungeändert | 
bleiben, und demnach erhält man mit Hilfe von § 21, (2) und (3) 
ein System von vier Formeln: 

(21) 9i,9., 

Dies sind die Jaco bischen Formeln. 
Setzt man z. B. 

Vi = 0, ^2 = V ^ IV, V3 = u -\- V, Vi = II 4- w» 

v'i = u -[- V -\- IV, v'2 = — u, V3 = — w, v'i = — r. 



§ 23. Die Derivierten der .'^-Funktionen. 81 

SO ergibt sich aus (21) für (i\^ (/ä = 1,1 : 

und hieraus erhält man dann, wenn man in (21) für g'i^ g'^ die 
drei anderen Charakteristiken setzt, die Formeln (12), (13), (14). 

§ 23. Die Derivierten der -9'- Punktionen. 

Wir bezeichnen im folgenden durch ^'g^^g^^i^o)^ ^LgA^) die 
nach genommenen Derivierten der Funktion ■O'^i, 92(^)5 und mit 
^'91,0^2^ ^9-, 92 die Werte dieser Funktion für v ^= 0. Es ver- 
schwinden dann O'öi, -O-lo, -O-Öo, weil '9-oi('")' ^loC'O» '^00 (*0 gerade 
Funktionen von v sind, und ebenso verschwindet ■0'^. 

Die sechs Funktionen 

^9^9-2 (0 ^W 9'-2 (^') — -^^'l, 9', (V) ^g„ g, (v) 

sind, wie aus den Fundamentalgleichungen § 20, (1) hervorgeht, 
-O-- Funktionen zweiter Ordnung mit der Charakteristik 

(5^1 + 9i^ 92 + gd^ 

und zugleich entweder gerade oder ungerade Funktionen, wonach 
sie sich nach § 21 durch ■9'- Funktionen darstellen lassen. Ein 
konstanter Faktor wird durch einen speziellen Wert von v(v ^= 0) 
bestimmt. So ist 

(1) ^n {v) ^01 (^0 - -^01 (v) ^„ (v) = A^,, (■v) ^00 (v). 

(2) A = ^''^'' 



"^10 "^00 

Dieser Ausdruck für Ä läßt sich aber noch vereinfachen. 

Diöerentiieren wir (1) zweimal nach v und setzen dann v = 0, 
so folgt 

und wenn man für Ä den Wert (2) einführt: 

^11 '^01 -^10 "^00 

Nun genügen aber [nach § 20, (4)] die vier Funktionen O^n, 
^o]i ^'lo, '9'oo der Differentialgleichung 

(4) ^" = 4;ri|^. 

da 

und danach läßt sich (3) so schreiben: 

^log^n ^ (^ log »00 ^10^,, 
da da ' 

Weber, Algebra. III. a 



82 Zweiter Abschnitt. § 23. 

oder durch Integration: 

worin c von co unabhängig ist. Durch § 20, 21 waren die 
-9- -Funktionen bestimmt bis auf einen von v, ca unabhängigen, 
allen gemeinschaftlichen Faktor. Über diesen Faktor soll nun 
so verfügt werden, daß die Konstante c den Wert n erhält, 
also die Formel besteht: 

(5) d-'u = :;rO-oo'9'io'8oi5 

und dadurch sind jetzt die ■O'-Funktionen bis auf das 
gemeinschaftliche Vorzeichen +_ vollständig definiert. 
Durch Anwendung von (5) läßt sich der Formel (1) die Gestalt 
geben: 

(6) ^n(^')^oi(0 — ^oi(t0^ii(^) = Jr^c?i^:o(^O^oo(^'X 
und ebenso erhält man mit Benutzung von § 21, (8): 

(7) ^n(y)^oo(^) — ^;o(i0^ii(^-) = ;r^|o^io(y)^oi(4 

(8) ^n(l-)^io(^0 - ^io(O^u(^0 = ;r#fo^oiO')^ooO-), 

(9) ^[o{v)&oi{v) — &or(v)^,,{v) = —7t&lo^oo{v)d;,(:ü), 

(10) ^oo{v)^oi(v) — '9öi(y)^üo(r) = — ;r^fo^io(^)^nO'). 

(11) &oo(v)&,o{v) — '^lo(y)^oo(i') = Jr^|i^oi(y)^n(4 

Differentiieren wir die Gleichungen (9), (10), (11) nach v und 
setzen v = 0, so erhalten wir mittels (4) und (5) die Relationen 

— log^ 
d CO ^ -^oi 

d , -1^0 



(12) 4;7Tlög^ -^^Oo% 



(13) 4-^log^^ = ..n, 



(14) 4.^\og^ = in^ 



— log^« 
d CO O'oo 



'Ol. 



Wenn man die Fundamentformeln für die '9 -Funktionen 
zweimal logarithmisch differentiiert , so erkennt man, daß die 
Funktionen 

^,^^^dAo0v) _ ^„^^^ _ ^.(,)^/(,) 

0- Funktionen zweiter Ordnung mit der Charakteristik (0, 0) sind, 
und man kann sie daher durch die Funktionen ^'^(r) linear aus- 
drücken. Auf diese W^eise ergibt sich 



§ 24. Darstellung der fl^ - Fimktionen durch unendliche Produkte. 83 

( 16) ^2^^2^(,)^iÜ^M!:) =. &,,&'^,&i,{v) - d-[]&h{vi 

(17) ^f,^2^(,)^Ül^^lfc) =: ^.o^^foC^O - ^it^?l(^), 

(18) »lo^h(v)'^^^^§^P^ = ^oo'^öo^?i(i-) - ^;!^?o(t')- 

Hieraus lassen sich noch weitere Relationen herleiten durch 
fortgesetzte Differentiation. Wir führen noch eine dieser Formeln 
an, die sich ergibt, wenn man (15) noch zweimal nach v diffe- 
rentiiert und dann y = setzt. Drückt man die Differentiationen 
nach V durch solche nach co aus mittels der partiellen Differen- 
tialgleichung (4), so folgt: 



^' log ^00 ^/ rHog^on V^ ""'d-f^K. 



oder 
(19) 



da^ \ da 

d ( 1 dr^,\ 712 ^4^ ^4^ 



d CO \d'L d a 



^ 24. Darstellung der O'- Funktionen durch unendliche 

Produkte. 

Die Theorie der O'-Funktionen ist nun so weit gefördert, daß 
sich ihre Darstellung sehr leicht ergibt. Damit wird dann die 
Existenz dieser Funktionen nachgewiesen und die bisherigen Be- 
trachtungen erhalten erst ihren sicheren Boden. Zwei Wege zu 
diesem Ziele stehen uns offen. Der erste geht aus von den uns 
schon bekannten Nullpunkten der -^'-Funktionen und setzt daraus 
unendliche Produkte zusammen. 

Die Funktion '9'oo('^') verschwindet nach § 21, wenn 
2v = (2 V — 1) to -f (2 ft — 1) 
ist, worin v, fi ganze Zahlen sind, oder wenn 

ß±27iiv —— ß7iia>{2v—l) 

worin wir nun v auf positive Zahlen beschränken können. 
Setzen wir also zur Abkürzung 

6* 



84 



Zweiter Abschnitt. § 24. 



SO ist 2 eine Größe, deren absoluter Wert ein echter Bruch ist. 
Das konvergente unendliche Produkt 

P(V) = JT(1 -f 5'^'''e2^*'^)(l + 52r-le-2^»>) 

1,00 

verschwindet also in allen und nur in den Punkten, in denen 
'9'oo(y) verschwindet, und es ist überdies 

P(v + 1) = P(^) 

Dies ist aber nach § 20, (1) die Periodeneigenschaft der 
Funktion -O-ooCO' ^^^^^ "^^^* haben daher: 

(1) ^,,{v) = Qn{l + g2v-ie2^^.)(i _f ,^2 v_ie-2 :.,-.), 

l,co 

worin ^ ein von v unabhängiger Faktor ist. Nach den Formeln (8) 
des § 21 erhält man hieraus, indem man v durch 

1 a 1 -[- oj 

^+2' '^'+2' ^ + -2~ 

ersetzt: 

(2) ^oj('y) = (^77(1— 52v-ig27rr,;)('l_^2v-lg-27rit,)^ 

1,00 

(3) ^io(y) = (23*(e«'^-[-e-^*'^)i7(l+52».g27r»t,)(l_j_^2rg-2^,>)^ 

1,0) 

(4) ^ii(r) = — i^gi(e'^»'^— e-''''^)77(l— g2rg27rii;)(l_g2vg-27rif), 

1,00 

Setzt man in diesen Formeln t? = 0, in der letzten nach 
einmaliger Differentiation, so folgt 

l,co 

^01 = Qn{\ -g2v-i)2, 

(5) 

^,0 = 2(2^4/1(1 4-r/')S 



1,00 

1 



1,00 

Hiernach läßt sich mittels (5), § 23: 
•^11 = ^T'O'oo'^oi^io 



§ 24. Darstellung der ^-Funktionen durch unendliche Produkte. 85 

der Faktor Q bestimmen. INIan erhält zunächst 

^ - ^ ^^ (1 - g2.)2 ' 

oder, indem man über das noch unbestimmte Vorzeichen von Q 
und damit über die Vorzeichen der ■^'-Funktionen verfügt: 

(1 — q^^) 

^ "'i^ (1 + r){l + ^^^-^)(1 - Ö^^-O ■ 
Im Nenner kann man für 77(1 -j- g-')(l -|- g^v-i^ setzen 
77(1 -|- g'), und der Zähler 77(1 — q^^') läßt sich zerlegen in 

7T(1 — q')(l -f g") = 77(1 — 22v)(l _ g2».-l^(l _j_ gv^^ 

Dadurch ergibt sich endlich 

(6) (?= 77(1 -r/'). 

Die Ausdrücke (l), (2), (3), (4) lassen sich in reeller Form 
darstellen, wenn man die Multiplikation der konjugiert imaginären 
Faktoren ausführt. Man erhält so: 

^oo(y) = ^(1 — q^''){l + 2g2v-icos2:ry -f q^'-% 

l.OD 

^01 (y) = 77(1 — 52.)(i _ 2r/2v-icos2;ry 4_ q^^-^)^ 
(7) 

^10 (ü) = 2 4icosjtr77(l — g^")(l + 2q^'(io%2 7Cv + g*^), 



1,30 



-9-j,(y) = 224sin;ry77(l — q^'){\ — 2q^'cos27iv + g*"). 

1,00 

Führen wir den Ausdruck (6) in die letzte Gleichung (5) 
ein, so ergibt sich 

■^ii = 2 TT 54 77(1 — q^% 
und wenn wir also 

(8) ri{c3) = gT2 77(l— q^') 
setzen, so wird 

(9) ^n = 2 7t7]{(X)Y. 

Indem wir Q mit Hilfe der Relation 

Q = q-T2rj{co) 
aus (5) eliminieren, setzen wir 

^00 = ^(ö)/'(a))2, 

(10) &,, = >?(«)A(co)2, 

^10 = '?(C5)/2(«)^ 



86 Zweite!' Abschnitt. § 25. 

worin die Funktionen /"(«), /i(w), /g («) folgendermaßen defi- 
niert sind: 

1,00 

(11) /;(«)= g"Ä77(l-(/2.-i), 

l,x 

1,00 

Die Funktionen j?(ci)), /'(«), /"i(«), Ai*^) werden in unseren 
späteren Betrachtungen eine wichtige Rolle spielen. Aus § 21, (14) 
ergibt sich nach (10) die Eelation 

(12) f(co)s = f,(a>y -^ f,(oyy, 

und aus § 23 (5) nach (9) 

(13) f{co)f,(co)f,{co) = p. 

Die letzte Formel ergibt sich auch aus (11) mit Benutzung 
der identischen Relation: 

§ 25. Darstellung der -S^-Punktionen durch unendliche Reihen. 

Der zweite Weg, um zur Darstellung der '&• -Funktionen zu 
gelangen, besteht darin, daß man eine den Fundamentalgleichungen 
genügende konvergente unendliche Reihe zu bilden sucht. 

Bemerken wir zunächst, daß wegen der Bedingung 

die Funktion 'S'ooCy) als eindeutige Funktion von gä^/i) angesehen 
werden kann, und setzen demgemäß 

— 00 ,00 
so ergibt die Differentialgleichung § 20, (4): 

-— — 4:711—- = 

CV^ CG) 

für Av die Bedinguug 

dA 

-^ = Tiiv^A,, Ar = c^e^ »■""■' r= c^(f\ 
cico 

worin Cv in bezug auf ca konstant ist. Es wird also 



§ 25. Darstellung der 5-Funktionen durch unendliche Reihen. 87 

und daraus: 

-^ooC'" + «) = 2:cvg'' + 2''e2«tfv 

Da V von — oo bis -|- co geht, so ist es gestattet, in dieser 
Formel v — 1 an Stelle von v zu setzen, und wenn man dies 
tut, so ergibt sich 

■9-00 (y + «) = g-ie-2'^*^2:c,_i(2'''e2''''^*. 

Nach der zweiten der Fundamentalgleichungen [§ 20, (1)] 
müssen also die beiden Reihen 

miteinander übereinstimmen, d. h. es muß 

sein. Die Cv sind also alle einander gleich; daß sie den Wert 1 
haben, ergibt die Vergleichung der beiden Entwickelungen 

00, X 1,00 

für den Wert g = 0. 

Der hiermit für ^oo(*^) gefundenen Entwickelung kann man 
auch die beiden Formeln geben: 

= 1 -|- 2 (2 cos 2 TT r -|- 2 (7* cos 4. T^' -|- 2 q'^ cos 6 7t v + ••'• 
und daraus erhält man nach § 21, (8) durch Vermehrung von r 
um ö , "ö" ? —T) — c^iö Entwickelungen für die drei übrigen 
-9'- Funktionen: 

(2) d-^^{v) = 2J{—iy(fe'-'''i^ 

= 1 — 2 5 cos 2 JTV -f 2 q^ cos 4 tt y — 2 r/9 cos Gnv -{- ••• 
(2>+ir^ 

(3) ^10 (0 = ^5 * (><-^y + i)niv 

= 2^4 cos 7t V -\- 2qi cos 3 ;r y -f- 2g* cos 5 ;r y -[- • • • 

(2i' + l)g 

(4) ^jj(^,) =rr _^•^(— l)^g * ^(2v + l);ri. 

1 . i . 2 5 

= 2 g* sin ITT y — 2 g* sin 3 jcy -f- 2 g * sin 5 7tv -\- •• • 

Wir ziehen für spätere Anwendungen aus diesen Entwicke- 
lungen die Schlüsse: 



gg Zweiter Abschnitt. § 26. 

Wenn der imaginäre Teil von a ins Unendliclie wächst, so 
daß der absolute Wert von q verschwindet, so wird 

^00 (i-) = 1: '^01 00 = 1, 5~*^io(^-) = 2cos%i-, 

i 

q i -^11 (^O = 2 siUTcv. 

Nehmen wir co rein imaginär, also q reell, positiv und echt 
gebrochen an, so sind für ein reelles v: 

1. 0-Qo{v), ^oi{v), ^io{r), •O-ii(r) reell, und wenn v zwischen 
und l liegt, positiv [nach § 24 (7)], folglich auch i^oo, '9"on '^loi ^n 
positiv ; 

2. -^ooC*^')' ^'^oiO^O' '^loO^")' —^^ii{^>') reell, und solange v 

1 CO 

zwischen und — ~ — liegt, positiv; ferner mit Zuziehung der 
Formeln § 21, (8) 

— i CO . 

reell, und solange v zwischen und — - — liegt, positiv; 

reell, und solange v zwischen und \ liegt, positiv. 

§ 26. Entwickelung von 0^- Quotienten. 

Bedeutet v eine Variable und a eine beliebige Konstante, so 
sind die Quotienten 

doppeltperiodische Funktionen zweiter Art und erster Ordnung 
mit den Periodizitätsfaktoren (—1)31 + s'i, (_ i),9. + .9'2e-2'?/«^ und 
wenn man einen Exponentialfaktor e^'" hinzufügt, so kann man A 
und a so bestimmen, daß die Periodizitätsfaktoren beliebig ge- 
gebene Größen werden. Indem man die Hauptcharakteristiken 
{9ii9<i)-, (ß'i^g'i) aiif alle mögliche Arten wählt, erhält man 16 solcher 
Funktionen. Wir gehen aus von einer unter ihnen, für die wir 
unter Hinzufügung eines konstanten Faktors 

(U j?— ^n 0-11 (^4-^0 



§ 26. Entwickelung von ^-Quotienten. 89 

wählen. Dies ist eine eindeutige Funktion F{s) der Variablen 

V — plniv 

^ o ^ 

und Avenn wie früher ({ = e^^"" ist, so hat sie die Perioden- 
eigenschaft: 

(2) F{tz) = e-2'^»'«F(^), 
woraus für jedes ganzzahlige v folgt: 

Die Funktion F(£) wird für ein endliches nur dann un- 
endlich, wenn einer der Faktoren q^''2 — 1 verschwindet, und es 
ist insbesondere 

(3) (z — l)F{z) = 1 (für z = 1). 
Nach (2) ist aber 

(q^'2 — l)F(q^'s) = e-2'^^'«''F(^)(32''^ _ 1) 
und folglich ist nach (3) 

(4) i^(^)(g2r^ — 1) = e^'^'«^ (für 2 = q-^"). 

Setzen wir unter der gleich noch näher zu prüfenden Vor- 
aussetzung der Konvergenz 

. (5) sw = 2 „-iTT^n- 

I 00,00-^ 

so ergibt sich, indem wir ^ durch q^2 und v durch v — 1 er- 
setzen : 

(6) S((i^2) = e-'-^i"S{s), 

und die Differenz F(0) — S(z) wäre also, als Funktion von v 
betrachtet, nach (3) und (4) eine ganze doppeltperiodische Funk- 
tion zweiter Art. Eine solche muß aber nach § 16, 6. eine Expo- 
nentialfunktion sein, und es ist also 

worin m eine ganze Zahl und C eine Konstante ist. Aus (2) und 
(6) aber ergibt sich, wenn nicht C = ist: 

g — inimio g — 2 nia • 

also a = mcj -(- «, worin »n, n ganze Zahlen sind. Ist aber a 
eine Periode, so reduziert sich F(ä) auf eine Konstante oder eine 
Exponentialfunktion. Anderenfalls muß C = sein, und es folgt 
die Entwickelung: 






C», +CX3 



90 Zweiter Absclmitt. § 26. 

Wir haben die Konvergenz dieser Reihe für alle Werte von v 
vorausgesetzt; um diese zu beurteilen, bemerken wir, daß das all- 
gemeine Glied dieser Reihe 

für V :=z ~[- CO gleich ß'^^i^a 

„ V = X) „ ß-2nivß-27tiviü,~a) 

wird. Es wird also Konvergenz stattfinden, wenn der imaginäre 
Teil von a und von co — a positiv ist. Setzen wir daher 
o = co' -\- i w", a = a' -\- i a", so ist die Bedingung der Kon- 
vergenz 

(8) < a" < co". 

Wenn man in (7) a durch a -\- l ersetzt, so ergibt sich die 
Entwickelung für eine zweite der 16 Funktionen: 

und wenn man in (7) und (9) a in a -j- | co verwandelt: 

wobei jedoch zu bemerken ist, daß in den letzten beiden Formeln 
die Konvergenzbedingung geändert ist, nämlich: 

-T<''"<T- 

Aus den vier Formeln ergeben sich die übrigen zwölf, wenn 
wir V durch v -\- \, v -\- ^co, v -\- \(l -{- ca) ersetzen, wobei die 
Konvergenzbereiche nicht weiter geändert werden. Auf diese Weise 
sind die Formeln der Tabelle I am Schlüsse des Bandes abgeleitet. 

Die so gewonnenen Reihen konvergieren für reelle Werte 
von a nicht alle, z. B. tut es nicht die Reihe (7), worin der nach 
der Seite der positiven v verlaufende Teil 

(12) i; 



2 V lÄ Ttiv 



(f ' e 



aufhört zu konvergieren, wenn der imaginäre Teil von a gleich 
Null wird, während der andere Teil auch da noch konvergent 



§ 26. Entwickelung von .9-Quotienten. 9i 

bleibt. Man erhält aber aus (12) einen Ausdruck, der auch für 
ein reelles a noch konvergiert, wenn man die Summe 

(13) S^'"'^" = -e^^F7^r=T 

1,00 

hinzufügt. Dadurch geht er nämlich über in 



(f ' e^ 



1,00 



q2v piniv 2 ' 



und diese Reihe bleibt konvergent, solange der imaginäre Teil a" 
von a zwischen — ■ a" und -|- «" liegt. 

Demnach ergibt sich aus (7), wenn wir das dem Werte v = 
entsprechende Glied absondern und die negativen v durch — v 
ersetzen : 

-0-;i^„(r + g) _ 2i 2 /e^^'« 

7r-&ji(r)^ii(a) " e^^''-' — 1 "^ e^^*« — 1 

p—2 7tiva /72f p2niv a o'iTtiv 

_|_ 2 * X^ k 2 i V -^ . 

1,00 ^ 1,00 -^ 



Es ist aber 

2i e-7ziv 



oinxv — . j^ sin;;rv 



=^ cotg:7ry — «', 
= cotgjra -[- «', 



g27ria — i sin:;ra 

und demnach läßt sich diese Entwickelung auch so darstellen: 

^ii^ii(i' + «) , I 

c. ' \ o. / ( = cotg 71 V -4- cotg Ä a 

(14) iiw lU ; 

_ 2 ?■ V ( ^ ^ 



worin w» die Reihe der geraden Zahlen 
m = 2, 4, 6, 8, . . . 
durchläuft. Der Gültigkeitsbereich dieser Entwickelung ist 
— co" < a" < «". 

In der Tabelle II sind diese 16 Entwickelungen zusammen- 
gestellt. 

Aus diesen Formeln sind drei andere ableitbar, indem man 
V oder u oder beide um | vermehrt. Drei andere aber, die der 
Vermehrung von v und a um | co entsprechen, müssen direkt ab- 
geleitet werden. Sie zeigen reelle Form, wenn q, a, v reell sind. 



92 Zweiter Abschnitt. § 26. 

Eine dritte Art der Entwickelung, in der die Symmetrie der 
Funktionen in bezug auf die beiden Variablen w, a zum Ausdruck 
kommt, ergibt sich, wenn man die Brüche, die in den vorigen 
Entwickelungen auftraten, nach Potenzen von q entwickelt. So 
erhält man 



= 2Jq 

- qin J- 



m V p1 nivv 



:i+2 7tiv 



q" 

V = 1, 2, 3, ... 
und diese Entwickelungen gelten, solange der absolute Wert 
von (j'e^TTit. gjjj echter Bruch ist, also, wenn v = v' -\- iv" gesetzt 
wird, solange 

— co" < i < co" 

ist. Hiernach ergibt sich aus (14) 



jr'0'ii(v)^„(a) 



= COtg % V -\- COtg TT a 



-|- 4 2^5 2 sin(?«a -|- m'v)7t, 

worin m , m' voneinander unabhängig die geraden Zahlen 
2, 4, 6, 8, ... durchlaufen. Diese Formel ist gültig für reelle 
a und V und gilt darüber hinaus noch, solange der imaginäre 
Teil, sowohl von v als von o, absolut kleiner ist als co". 

In der Tabelle III sind die 16 Formeln dieser Art zusammen- 
gestellt 1). 



^) Solche Entwickelungen sind von Jacobi (sur la rotation d'un corps) 
(ges. Werke Bd. II), hierauf von Her mite (Annales de Fecole normale 1885) 
und von Krön eck er (Berliner Akademie 1885) betrachtet. Vgl. auch die 
Straßburger Dissertation von L. Vockerodt (1905). 



Dritter Abschnitt. 

Transformation der Tlieta- Funktionen. 



§ 27. Das Transformationsprinzip. 

Wir kehren zurück zu den in § 17 gegebenen Definitions- 
gleichungen der T-Funktionen witer Ordnung und versehen darin 
aus einem gleich ersichtlichen Grunde die Buchstaben to, «, &, m 
mit Akzenten, so daß diese Gleichungen lauten: 

(2) a'2 co'i — a'i 032 = ni'. 

Sind rt, c irgend welche ganze (positive oder negative) Zahlen, 
so ergibt sich, wenn man in § 17, (16) Wj, «2 durch — c, a ersetzt: 
/q\ ^('f — cco'i -\- aa'o) 

^ ^ — -^ ß—7ti( — c fi'i + n a'g) (2 u — ccu'i + n üj'g) — 7rj( — c6'i + ab'^ — «i'ac) T'A^A 

eine Gleichung, die auch aus einer der Gleichungen (1) hervor- 
geht, wenn man darin «', h', co' durch 

— ca'i -\- aa^t — ch'i -\- ah'2 — m'ac^ — cco'i -\- aGi'2 
ersetzt. 

Hierin ist das Prinzip der Transformation der T-Funktionen 
enthalten. 

Es seien &, d zwei andere ganze Zahlen, für welche die 
Determinante 

(4) n = «3 — hc 

einen positiven Wert hat. Wir setzen 

CO2 = — c co'i -^ a a'i ^ 
imd folglich 

n Wa = c tOi -|- 8 033. 



94 Dritter Abschnitt. § 27. 

Es hat dann, wie man aus 

co'2 c«! -\- 8 »2 
co[ aojj -\- bcj.2 

durch Trennung des reellen vom imaginären Teil erkennt, der 
imaginäre Teil von co^ : «j dasselbe Vorzeichen , wie der von 
C02 : lo'i (das positive). 
Setzen Avir 

eil = da'i — ba2 
' «2 = — ^f'i ~\~ <^'^2 

hl = dl)\ —hh'2 — m'bd 
^ ^ 1)2= — c h\ -\- ab'2 — m' a c ? 

so schließt man aus (3), daß die Funktion T{u) nicht nur den 
Bedingungen (1), sondern auch den aus (1) durch Vertauschung 
von wi, 039, rtl, «2? ^^15 b'2 mit aij, «2, «1, «2? ^n ^h hervorgehenden 
Gleichungen, d. h. den Gleichungen (1), § 17, genügt. Sie ist 
also gleichzeitig eine T- Funktion der Perioden co\, cog und der 
Perioden «i, cog, was wir durch folgende Gleichung andeuten: 

(9) T' (/f, co\ CO2) = T{u, Wi, CO2). 
Es ist aber nach (5) und (7) 

a2 «1 — ci\^2 = (^*2 05i — tt\ too) {ad — b c), 
also, wenn m die Ordnung von T ist, 

(10) m = m'n. 

Nach (8) ist die Charakteristik (^1, (/g) von 1\ wenn {g\, g'2) 
die von T' ist (§ 17), 

(11) (^1. (J2) = {dg'i — ^ig'i — m'bd, —cg\ + a(j'2 — m'ac). 
Unter der Transformation der T-Funktionen versteht 

man die Darstellung der Funktionen T mit den Perioden 
toi, <ö2 durch l'-Funktionen mit den Perioden Wj, «2. 

Die Zahlen «, b, c, d heißen die Transformationszahlen 
und n =-- ad — bc der Transformationsgrad. 

Um die Form dieser Darstellung deutlicher zu übersehen, 
wollen wir die Bedingungen aufsuchen, unter denen T(i/, «i, w^) 
eine ©-Funktion der mieu. Ordnung &{ii, co) wird (§ 20). Wir 
nehmen b'i, b'2 und folglich auch b^, b^ als ganze Zahlen, so daß 
^h 1 ^hi ^'ii ^A durch g^ , ^2 1 O'i i 'j'i ersetzt werden können. Es 
ist dann 

«1 = 1, O2 ^= CO, tti = 0, (fg = *^* 



§ 27. Das Transformationsprinzip. 95 

ZU setzei], und demnach wird [nach (6), (7), (10)] 

a -\- b CO , c -\- da 

n n 

u[ = m'b^ «2 = m'd. 

Die Funktion .T'(y(, Qj, CO2) genügt a^iso den Bedingungen (1): 

T{tt -f- »2) = (— l)»''2e-«""'^M2« + c«',) j^^t)^ 
und daraus ergibt sich, daß das Produkt 

eine 0- Funktion der Ordnung i)i' ist, mit den Argumenten 

u_ co'2 
w'i ' co'i 

und der Charakteristik ((/i, g'2). Wir können dies in der Glei- 
chung ausdrücken: 

TT im' nbu^ , | ^ \ 

worin die Charakteristiken durch (11) bestimmt sind. Die Mittel 
zur Darstellung dieser Funktionen sind in § 21 enthalten. 

Wir bezeichnen die Transformation von T und T durch 
einen einzelnen Buchstaben Ä oder durch (T', T), also: 

S = (T', T). 

Bedeutet *S' eine zweite Transformation, durch die T' in T" 

übergeht, also 

S' = (T", 1% 

so können wir daraus eine neue Transformation S" ableiten, 
durch die T in T" übergeht. Diese heißt aus S und S' zusammen- 
gesetzt und wird so bezeichnet: 

S" = S'S 
oder 

(T", T) = (T", T){T\ I). 

Bei dieser Zusammensetzung gilt im allgemeinen nicht das 
kommutative Gesetz; es ist also SS' von S' S verschieden. Es 
gilt aber das assoziative Gesetz, das sich in der Formel aus- 
spricht : 

(T'", T") [{T'\ T) {T\ T)] := [(T'", T") {T'\ T')] (T', T) = ( J'", T). 



96 Dritter Abschnitt. § 28. 

§ 28. Zusammensetzung der Transformationen. 

Eine Transformation [§ 27, (9)] ist vollständig bestimmt 
durch die Transformationszahlen a, &, c, d, und diese vier ganzen 
Zahlen können beliebig gegeben sein, wenn nur ihre Determinante 
n = ad — hc positiv ist. Gibt man diesen vier Zahlen das 
entgegengesetzte Zeichen, so gehen «i, fo'2 nach § 27, (6) in 
— co'i, — (02 über, und ersetzt man a, h, c,d durch mo, nib, nic^ md^ 
worin m eine beliebige natürliche Zahl ist, so gehen toi, »2 in «l/j», 
fOa/m und n in m^n über. Das Periodenverhältnis co' ■= a'i/coi 
bleibt in diesen beiden Fällen ungeändert. Einstweilen wollen 
wir aber zwei Transformationen immer als verschieden betrachten, 
wenn die Transformationszahlen verschieden sind. Nach dieser 
Festsetzung können wir eine Transformation unzweideutig durch 
eine Matrix 

darstellen. Die Determinante 

(2) n =: ad — hc 
ist der Transformationsgrad. 

Nach dieser Bezeichnung stellen wir die Relationen (6), § 27 
auch so dar: 

(3) n(toi, ojy = Q d)^^^' ^'^^' 
Setzt man 

S' = (",''g!), a'd'-h'c'=n', 

so ist 

(4) n'(«i', 02') = Q' .^,)k, 02), 

und wenn man in (4) wi, co'2 nach (3) durch csj, «2 ausdrückt, 
so erhält man 

/Kx ,/ „ „N /a'a-}-h'c, a'b-\-h'd\. . 

(6) nu («., 0,0 = 1^^,^ ^ g,^^ ^,j ^ g,gj (»„ 0,,). 

Setzen wir also 
(6) S" = S'S, 

80 ist 

^„ _ fa'a + ö'c, a'b + &'8\ _ /«", Z>"\ 
~~ \c'a + 8'c, c7> + d'd) ~ Vc", c'7' 
a"8"— h"c" = n" = nn'. 



>^ 28. Zusammensetzung der Transformationen. . 97 

Die Transformationen S setzen sich also nach derselben 
Regel zusammen wie die linearen Substitutionen und Matrizes, 
die wir im sechsten Abschnitte des zweiten Bandes betrachtet 
haben. Der Grad einer zusammengesetzten Transformation ist 
gleich dem Produkte der Grade der Komponenten. Diese Matrizes 
sind hier an die Voraussetzung gebunden, daß ihre Elemente 
ganze Zahlen und ihre Determinante positiv ist. 

Diese Eigenschaften bleiben bei der Zusammensetzung der 
Transformationen erhalten. Trotzdem bildet die Gesamtheit © 
der Transformationen S keine Gruppe, so wenig wie die Gesamt- 
heit der natürlichen Zahlen bei der Komposition durch Multi- 
plikation eine Gruppe ist; denn es läßt sich bei gegebenem S\ S" 
nicht immer ein S bestimmen, das der Bedingung (6) genügt, was 
doch (nach Bd. II, § 1, 4.) für eine Gruppe erforderlich wäre. 

Durch die spezielle Transformation vom Grade m^: 



0, + m 

gehen die Perioden cji, ojg in co'i = co-^/m, a^ = (ojm über, und 
das Periodenverhältnis (o = 095 «i bleibt ungeändert. Diese 
Transformationen heißen Multiplikationen (Ähnlichkeits- 
Transformationen , Bd. II, § 41). Es ist darunter die identische 
Substitution 

1, 0-- 



enthalten, die alles ungeändert läßt und bei der Komposition die 
Rolle der Einheit spielt. 

Die Multiplikationen sind bei der Zusammensetzung 
mit jeder Transformation S vertauschbar: 

(7) SM = MS. 

Hält man in SM oder MS die Transformation S fest und 
läßt M die Gesamtheit DJi der Multiplikationen durchlaufen, so 
erhält man ein System ^3Jä, das man nach Bd. II, § 46 als eine 
Kollineation zu bezeichnen hätte. Gehören S^ und S^ einer 
Kollineation C an und S[ und So einer Kollineation C", so ge- 
hören auch S'i Si und ^'2 S^ derselben Kollineation C" an. Man 
kann so, indem man C" ^^ C C setzt, die Kollineationen zu- 
sammensetzen. Bei dieser Zusammensetzung spielt die Kolli- 

Weber, Algebra. III. j 



98 • Dritter Abschnitt. § 28. 

neation ^Hi die Rolle der Einheit. Ist S = ( ' j eine beliebige 
Transformation, so ist 

\c, d) V— c, a ) Vo, n) 
eine Multiplikation. Die beiden Kollineationen 



geben also bei der Komposition ÜC~^ = C^C = ^3? und sind 
also zueinander reziprok. 

Demnach bildet die Gesamtheit der Kollineationen 

eine Gruppe. 
Die Transformationen vom Grade 1 heißen lineare Trans- 
formationen. Wir bezeichnen bei diesen die Transformations- 
zahlen zum Unterschiede mit den griechischen Buchstaben a, ß, y, d. 
so daß 



C;^ "^-^^ = > 



eine lineare Transformation bedeutet. Das System 2 der linearen 
Transformationen ist eine in <5 enthaltene Gruppe, denn sind 

so ist 

^ — ^^ — V« + ö'y, y'ß + d'd) ~ V/', d"J 

gleichfalls linear, und man kann L bei gegebenem L', L" aus 
den Gleichungen 

aV. + ß'y = «", a'ß + ß' ö --= ß'\ 

y'a + 8'y = /', y'ß -f ö' d = d" 

eindeutig bestimmen. Die Einheit der Gruppe 2 ist die identische 
Substitution ( ^' , ) und jede Substitution L hat ihre Reziproke L~\ 
wie aus der Zusammensetzung 

'cc, ß\/ d, —ß\ /l, 0^ 



\y, Sj\—y, a J Vo, 1 

hervorgeht. Die Gruppe 2 ist unendlich und ist nicht kommu- 
tativ. 



r 



§ 29. Zusammensetzung der Transformationen. 99 

Aus der GleichuDg 

(8) wo — ßy = l 

folgt, daß weder «, ß noch w, y, noch d, /3, noch ö, y einen gemein- 
schaftlichen Faktor haben können. Hat man aber a, ß beliebig 
ohne gemeinschaftlichen Teiler angenommen, so kann man y, Ö 
noch auf unendlich viele Arten aus (8) bestimmen. Ist y, d eine 
dieser Bestimmungen, so sind sie alle in der Form 

(9) y + A«, d + Xß 

enthalten, worin A eine beliebige ganze Zahl ist (Bd. I, § 126). 

§ 29. Zusammensetzung der Transformationen aus einfacheren. 

In dem System © aller Transformationen S ist ein System (Sq 
enthalten, das aus allen den Transformationen So besteht, deren 
zweite Transformationszahl ^ = ist, während a und d positiv 
sind: 



(^> «« = V, 

Bei der Zusammensetzung zweier So entsteht wieder ein So, 
aber doch ist ©o so wenig eine Gruppe wie ©. 
Man kann jede beliebige Transformation 

S = C^' '^' 

durch eine Zusammensetzung LS auf ein Sq zurückführen. Soll 
nämlich 



\y, dj \r, sj \c, d 
sein, so muß «, ß der Bedingung genügen: 

ccq -^ ßs = 0, 
und wenn also d der größte gemeinschaftliche Teiler von q und s 
ist, so setze man 

da = s, dß = — q, 

und bestimme, nachdem cc und ß hierdurch als relative Primzahlen 
ermittelt sind, y und 8 aus der Formel (8), § 28. Dann ist (2) 
erfüllt, wenn 

ad = w, c = yp -\- dr 

gesetzt wird; a und d sind hierdurch eindeutig bestimmt, c kann 
aber bei anderer Wahl von y und d durch c -{- ka ersetzt 
werden. Man kann daher über A so verfügen, daß c in der Reihe 

7* 



100 Dritter Abschnitt. § 29. 

der Zahlen 0, 1, 2 ... a — 1 enthalten ist, und dadurch ist dann 
die Substitution S^ vollständig bestimmt. 

Wenn die vier Transformationszahlen einen gemeinsamen 
Faktor haben, so läßt sich dieser mittels der Formel 

/m, 0\ /a, b\ />»«, tnb\ 

\0, mj \c, dj \m c, m dj 
durch Zusammensetzung mit der Multiplikation absondern, und 
wir setzen demnach jetzt voraus, daß a. h, c, d keinen gemein- 
schaftlichen Teiler haben. Man kann dann immer die zwei 
ganzen Zahlen |, yj so bestimmen, daß 

arj — c^ = cc 

ohne gemeinsamen Teiler sind. 

Um dies einzusehen, setzen wir zunächst ^, t] relativ prim 
voraus. Dann ist jeder gemeinsame Teiler von (t, ß notwendig 
Teiler von n, wie man aus den Auflösungen von (3) 

. h| = ha — aß 

^ nr] = da — cß 

erkennt. Nimmt man also | nicht teilbar durch alle in a 
und b zugleich aufgehenden Primzahlen, dagegen | teilbar, 
f} unteilbar durch alle anderen in n i^auf gehenden Primzahlen, 
und überdies |, r} relativ prim, was stets möglich ist, so haben 
K und ß keinen gemeinsamen Teiler. Hierauf bestimmt man 7, d 
so, daß 

ad — ßy = 1, 

Es ist dann nach (3) auch 

(ad — by)vi — (cb — dy)^ = 1, 
und es ergibt sich die folgende Zusammensetzung, wie leicht mit 
Benutzung von (4) erkannt wird: 

r^\ /«' ^\ ^ /«^ — ^r, l\ /i, o\ /«, ß\ 

^' ^ Vc, d) \cd — dy.rjj VO, nj \y, öj ' 

Nennen wir also 

^^) G; :) 

die Haupttransformation .vom Grade w, so ist damit bewiesen, 
daß sich alle Transformationen vom Grade n aus einer 
Multiplikation, einer Haupttransformation und linearen 
Transformationen zusammensetzen lassen. 

DEPARTMENT OF MATKEMATTCS 
UNIVERSITY OF TORONTO 



§ 30. Die linearen Fundamentaltrausformationen. 101 

Aus der Zusammensetzung 
/l, OWl, OX /1,0 X /l, OW., 0^_/n, 

können wir noch weiter schließen, daß sich jede Transformation 
vom Grade n aus solchen zusammensetzen läßt, deren 
Grad eine Primzahl ist. Zerlegt man n = pq in zwei Fak- 
toren p und g, die zueinander relativ prim sind, so ergibt sich, 
indem man die Zahlen /3, ö aus 

pd — qß = l 
bestimmt, die Zusammensetzung 

'P. ß\{h 0\/pd, —qß\ ^ />, ON 
.q, ö) VO, n) V— 1, 1 y \0, q, 
woraus zu ersehen ist, daß man statt der Haupttransformation 

auch jede dieser Transformationen (^' ) zur Ableitung aller 

\0, qj 

anderen benutzen kann. 

§ 30. Die linearen Fundamentaltransformationen. 

Die ganze Gruppe 8 der linearen Transformationen läßt sich 
durch Wiederholung von zweien unter ihnen, die wir die linearen 
Fundamentaltransformationen nennen, ableiten. 

Ist 

eine beliebige lineare Transformation, so ist 

« C;^)(-;r/)-G;:)' 

und da die identische Transformation die Einheit in der Gruppe L 

ist, so ist 

V— 7, a 
die zu L reziproke Transformation. 

Wir bezeichnen durch die Potenz L"'" das, was durch i^malige 
Wiederholung von L oder L~^ entsteht, und wollen nun nach- 
weisen, daß sich durch die Potenzen der Fundamentaltrans- 
formationen 



IQ2 Dritter Abschnitt. § 30. 

jede Substitution L der Gruppe 2 zusammensetzen läßt. Es ist 
zunächst 

(3) -=(-'.,:)• - = C;i; 

(für jedes ganzzahlige positive oder negative l) 

w ^—(tv)' -=("o:'-i)' ''-'- 

Wir setzen noch 

ü ist also aus Ä und i? ableitbar. 

Nun sei L = ( ' v! I eine beliebige lineare Transformation. 
Wir leiten daraus die Reihe ab: 

L' = LA\ L" = L'C''\ L'" = L"A'\ L"" = L'" C''"\ 
deren erste und zweite Elemente so gebildet sind: 

w' = « + /1/3, ß" = /3' — A'«', «"' = «" + ?J'ß", 
ß"" = /3"'— l"'a"\ ..., 

und man kann über A, A', A", A'", ... so verfügen, daß, dem 
absoluten Werte nach 

«'^1^, ß"^-2< ^'"^Iß"^ ß""^\ryj"..., 
solange keine dieser Zahlen verschwindet. Die Zahlen 

/3, a\ ß'\ «'", ß"'\... 
bilden daher eine dem absoluten Werte nach abnehmende Zahlen- 
reihe, und nach einer endlichen Anzahl von Zusammensetzungen 
dieser Art muß eine Zahl dieser Reihe verschwinden. 
Ist /3(") = 0, so ist 



Y^"\ ±1/ V 0, + 1 
und ist aC) = 0, so ist 

und da 

L = L'A-^ = L"C~^'A-'- 
= L"'Ä-'"G-^'Ä-' = L""C-^"'Ä->"C-^'Ä-\ 
ist, so ist der Satz gewiesen. 



^ 31. Die linearen Fundamentaltransformationen der /^-Funktionen. 103 

§ 31. Die linearen Pundamentaltransformationen 
der -i^- Funktionen. 

Bei der Anwendung auf die Transformation der ©-Funktionen 
[§ 27, (12)] kommt zunächst der transformierte Modul 

c ^ da 
co' = — ^^— 

in Betracht. Dieser ändert sich nicht, wenn die vier Trans- 
formationszahlen einen gemeinsamen Faktor m bekommen. Die 
Transformation heißt eine eigentliche, wenn a, h, c, d keinen 
gemeinsamen Faktor haben. 

Das transformierte Argument 

, nii 

geht über in nii(\ wenn «, 6, c, "ö durch ma, mb, mc, m3, also n 

durch m^ n ersetzt wird. Die Multiplikation ( ' j läßt den 

Modul CO ungeändert und verwandelt n in mu. 

Nach den Resultaten der beiden vorigen Paragraphen läßt 
sich das ganze System der eigentlichen Transformationen her- 
leiten durch wiederholte Anwendung der drei Transformationen 

/l, 0\ / 0, 1\ fu, 0\ 

\l, ij' V-1, 0/ \0, ij' 
und wir betrachten also zunächst die linearen Fundamental- 
transformationen der 0'- Funktionen. 

I. (]' ^"j oder («, M 4- 1). 

Nach § 27, (11), (12) ist 

(1) ^11 (W, « -f 1) = ^^n(Wi «), 
worin Ä von u unabhängig ist. Ersetzt man u durch 

1 CO 1 + (0 

so ergeben die Formeln § 21, (8) 

(2) ^10 (w, « + 1) = Ä.%,{u, CO) 

Tri 

(3) e* ^00 (w, ö 4- 1) = Ä»oi(% ö) 

(4) e* ^01 («5 « + 1) = ^'9-oo(w, «)• 



104 Dritter Abschnitt. § 31. 

Zur Bestimmung der Konstanten Ä wenden wir, wie in der 
Folge häufig, das Mittel an, daß wir u = setzen, in (1) nach 
der Differentiation, und dann rechts und links von der Formel (5j, 
§ 23 

(5) ^'n "= J'f^oo'i^io'^oi 

Gebrauch machen; so folgt 



TT l 



J.2 = e ^ , Ä — e^] 

daß bei Ä das positive Zeichen steht, ergibt sich aus einer der 
Formeln (3), (4) nach der Schlußbemerkung von § 25, wenn man 
CO unendlich werden läßt. 
Sonach erhält man 

7t i 

{^„(m, a + 1) = e^^uOO 

71 i 

(G) ö-io(w, oj 4- 1) = e^^ioO') 

^oi(«, w + 1) = '^oo(«) 
0-00 (h, « + 1) = -^01 00- 

Es ist wieder nach § 27, (12) 

(7) '^""^^"(1' -l) = ^^'^(^'' ")' 

und durch Vermehrung von tt um - , -, — - — 



(8) e - '^oi(,^, — rJ = iÄ&.oiu. «), 



71 i ifi 

s^a CO 

' u 1 



71 i it'^ 



;t i u^i 1 ^ 

(10) e ^^o^'(«' ~~^) = ^'^^ooC^', 09), 



woraus man wie oben erhält; 



A ^^ ^i y — i CO. 
Aus II z= und einem rein imaginären co schließt man, daß, 
wenn y — ia so genommen wird, daß der reelle Teil positiv 
ist, das untere Zeichen stehen muß, und es ergibt sich daher: 



ij 32. Haupttransformatiouen zweiter Urduung. 105 

TT i u- 



C 

n i ifi 



(11) 






TT l U" 

e 



so (O 

TT i II- 



e "' -^00 -, = V— ^ ö t%o («0- 

\C0 (0/ 

§ 32. Die Haupttransformationen zweiter Ordnung 

der -9^ -Punktionen. 

Die beiden Haupttransformatioueu >^ter Ordnung 

/l, 0\ n^Q^ 

\0, nj' VO, 1,/ 

verwandeln nach § 27, (11) die Charakteristik (^i, (/o) in 

d. h. bei ungeradem n bleibt die Charakteristik ungeändert, bei 

geradem n geht sie über in 

(1) (0,^2) oder {g,,0). 

Da sich hiernach die Transformation geraden Grades wesent- 
lich anders verhält als die ungeraden Grades, so betrachten wir 
zunächst den Fall n = 2. Die erste und zweite Haupttrans- 
formation zweiten Grades werden die Landensche und die 
Gauss sehe Transformation genannt. 

Nach § 27, (12) sind 

,^. ^in.'j.y^^ I) = ®7i,o(«, «) 

^31, ,7-2 (2 *^ '-^ ^) = ®0, 9, (M, ö) 

0- Funktionen zweiter Ordnung von m, gj, die sich nach § 21 
darstellen lassen. 

Wir erhalten zunächst die zwei Formelpaare, in denen A^ B 
von u unabhängig sind: 

^^11 ("1 ") = ^%i(Wi «)^u(«, ö), 

(3) ; ;( 

.4^,o(«, -)) = ^oo(«, «)'^io(«, «). 

/^x 5'^ii(2m,2cj) = i%o(«i »)^ii(«, ö), 

^ ^ iiO-oi(2M,2w) = 0-oo(«, oo)^oii>U «), 



106 Dritter Ahschnitt. § 32. 

wovon jedesmal die zweite aus der ersten abgeleitet werden kann 
durch Vermehrung des Arguments um eine halbe Periode. 
Setzt man in diesen Gleichungen ii = 0, so folgt 

^^n(0, ^) = ^01 ^u, 25^n(0, 2«) = ^lo^n, 
(5 

woraus durch Division, mit Benutzung der Relation 

(6) ^00(0, 1)^01(0, ^) = n, 

(7) 2^00(0, 2«) ^10(0, 2«) = ^f'o, 

und wenn man in (6) co durch 2cö, in (7) co durch ca : 2 ersetzt: 

(8) ^01(0, 2«)2= ^00^0:, 

(9j ^:o(o, I)' = 2^00^10. 

Nach (8) und (9) ergibt sich aus den zweiten Gleichungen (5) : 
2ä = ^jo(o, I), B = ^oi(0, 2«), 
und man erhält also für die Gausssche Transformation: 
^10(0, |)'^ii(**, ^) = 2^oiO', ")^„(ti, «), 

^10 (0, -J -^10 U, 2) = 2^oo(w, Cj)'^ioO', «)' 

und für die Landensche Transformation: 

^01(0, 2 (0)^,1 (2 ii, 2«) = ^,,(u, «)^llO^ CO), 
'^ ' ^01(0, 2(ö)'0•o^(2^^ 2w) = -^00 (w, «)'^oi(w, «)• 

Es bleiben für jede der beiden Transformationen noch zwei 
1% Funktionen auszudrücken. Man kann diese Ausdrücke aus 
(10), (11) herleiten nach § 21, (13), gelangt aber auch direkt dazu 
auf folgende Weise. Die Funktionen 



(12) 


^ox(w, 2)' 


^10 (2 w 


verschwinden für 


\ ^/ 








1 

"=4 



§ 32. Haupttransformationen zweiter Ordnung. 2Q7 

Andererseits ergibt sich aus den Formeln (8) des § 21, wenn 

CO 1 

dort V = — — und = gesetzt wird, 

4 4 

und demnach sind die beiden Funktionen (12), die linear durch 
zwei '9'- Quadrate ausdrückbar sind, von konstanten Faktoren ab- 
gesehen, übereinstimmend mit 

^o'i (w) + ^n (w) , ^{o («) - ^'^/i (u)- 

Die konstanten Faktoren ergeben sich unmittelbar durch m = 
aus den Relationen (6), (7): 

(13) ^00 (O, ^) ^o:. (w, ^) = ^0^ 00 + ^A (^0, 

(14) 2 f^oo (0, 2 CO) f^io (2 u, 2 co) = {>/„ (u) - ^f, (u). 
Daraus erhält man die beiden letzten Formeln, wenn man u 

1 03 

in u -\- — und u -\- -^ verwandelt [oder auch auf demselben Wege 
wie (13), (14)]: 

(15) ^00 (o, I) ^00 (^', I) = ^o'o W + ^Vo ("i, 

(16 ) 2 ^00 (0, 2 « ) ^00 (2 i(, 2 ö) = ^,f, (^0 + '^■'i (u). 

Hieraus lassen sich mannigfache Relationen zwischen den 
Nullwerten der -9" - Funktionen herleiten, von denen wir nur die 
drei folgenden anführen, deren beide ersten aus (8), (9) fließen, 
während sich die letzte aus der ersten Gleichung (11) ergibt, 
wenn man co durch co : 2 ersetzt und u = V4 annimmt und be- 
rücksichtigt, daß '0-ii(V4) = ^loi^/i) ist. 



V^oo^oi = ^01(0, 2 CO), 
(17) V^oo^io = yf ^10(0, I), 

Diese Formeln sind darum von Interesse, weil sie die Quadrat- 
wurzeln als eindeutisre Funktionen von co darstellen. 



108 Dritter Abschnitt. § 32. 

Wir machen von der Transformation zweiter Ordnung noch 
eine Anwendung auf den Beweis einer Formel, die für die Trans- 
formation ungerader Ordnung notwendig ist. 

Wir ersetzen in der zweiten Gleichung (10) co durch 2«, also: 

2^oo(m, 2o3)0-,o(t<, 2 CO) = '9-10 '9-10 (w). 

Hiermit multiplizieren wir die zweite Gleichung (11), so daß 
wir erhalten 

2 ^01 (0, 2 CO) ^01 (2 u, 2 a) ^oo («, 2 a) &io{u, 2 a) 

= ■^l ^1 (W) ^00 (m) ^01 (^*)- 

Dies dividieren wir durch das Produkt der beiden Gleichungen 

(7), (8): 

2^oo(0, 2(o)^io(0, 2 03) ^01 (0, 2 m)« = ^f.^oo^oi 
und erhalten 

- »00 (m, 2c3)^io(m, 2o3)#oi(2m, 2 m) ^ ^Oo(i<)^io(i0^oi(H) 
^ ^ ^oo(0, 2to)^jo(0, 2ö)^oi(0, 2ö) ~ ^00^10^01 

Wenn nun n irgend eine ungerade ganze Zahl bedeutet, 
so bleibt die Funktion 



^. 



4^)' 



wenn v um ein Vielfaches von n wächst, ungeändert, und folg- 
lich ist das Produkt 

"*»■(¥ 

wenn es über ein volles Restsystem nach dem Modul n genommen 
wird, unabhängig von der besonderen Wahl dieses Restsystems. 
Daher ist, da 2 v zugleich mit v ein solches Restsystem durch- 
läuft, 

Wenn wir also in (18) ii = v:n setzen, das Produkt bilden 
und im letzten Faktor der linken Seite von der Formel (19) 
Gebrauch machen, so ergibt sich, daß das Produkt 

.i>(^)-.»(^)-»-a) 

^ ^ (\n — 1 n,n — 1 a." — 1 

, 00 10 Ol 

ungeändert bleibt, wenn co durch 2 co ersetzt wird. 



§ 32. Haupttransformationen zweiter Ordnung. 109 

Die in (20j vorkommenden Werte von v lassen sich in Paare 

anordnen derart: 

n — 1 
V, n — V, V = 1, 2, ••• — ^ — , 



und da 



^oo(— ) = '9"oo( — — -), '^io(— ) = —-^10 



n/ \ n / \ti/ \ >^ 

so stimmt (20) bis auf das Vorzeichen überein mit dem Quadrat von 

(21) '-i: 



n — 1 n — 1 »1 — 1 
^00 '^lo" '^Ol" 

Der letzte Quotient, der eine stetige, von Null verschiedene 
Funktion von co ist, solange der imaginäre Teil von a positiv 
ist , bleibt also gleichfalls ungeändert , wenn co durch 2 a , also 
auch durch 4 w, S co, ... ersetzt wird. Man kann den Wert dieses 
Ausdruckes dadurch bestimmen, daß man den imaginären Teil 
von CO unendlich, also q = annimmt. Für g = ist aber 
(nach § 25): 

^oo(t') = 1, ^oi(^) = 1, ^^ = COSTtV, 

und daher der Wert von (21): 

TT ^^ 

(22) """IT- 

' 2 

Da hierin v n/n kleiner als In ist , so hat dieses Produkt 
einen positiven Wert. Es ist aber 

V7T (n — v)7i 

cos — = — cos — 

n . n 

und nach Bd. I, § 144 ist 

2 2 77 cos— =r 1. 

1 ÜZli '' 

2 

Dadurch ist die Formel bewiesen: 

(23) 2~^ fi,^«<>(7f) ^^" (i) ^'' (^) = ^'"^ ^'"^ ^'"^ ' 



1, • 



2 



110 Dritter Abschnitt. § 33. 



Mit Rücksicht auf die Formel Bd. I, § 145, (3) kann man 

m geben : 

2v\ ^ /2v\ ^ /2v' 



dieser Relation noch die Form geben 
(•24) '- — 

?i- — 1 n — 1 li — 1 n — 1 

= (-1)^^ ^oo"^ ^io~ ^oi~- 

§ 33. Die Haupttransformationen ungerader Ordnung. 

Die zuletzt bewiesene Formel ist uns von Nutzen bei der 
Durchführung der Transformation ungerader Ordnung n. Wir 
betrachten zunächst die erste Haupttransformation. Nach 
§ 27, (12) ist 

(1) '9'ii(wi(, nco) 

eine ©jj-Funktion wter Ordnung von u und co, und diese läßt 
sich aus ihren Nullpunkten leicht bilden, deren es im Perioden- 
parallelogramm n gibt. Die Nullpunkte von (1) sind die Werte 

V -\- unco V , 
u = == h i^to, 

n n ' 

wenn v und ^ ganze Zahlen sind, und man erhält alle inkon- 
gruenten unter diesen Werten, wenn man ^ festhält und v ein 
volles Restsystem nach dem Modul n durchlaufen läßt. Wir 
wählen das Restsystem 

0, ±1, ±2,..., +^-^^-=^\ 

und erhalten demnach, wenn C einen von u unabhängigen Faktor 
bedeutet, 

(2) C&,,{nn, nco) = ^,,{u) fl ^,, (^ + u\ ^,, (^ - «), 

' 2 

eine Formel, die sich nach § 22, (4) in folgender Weise auch 
durch die Funktionen '^•^(it), Q'oi{u) ausdrücken läßt: 

C»:-'^,,{ni,,nco) 



^nOO n 



' 2 



^i\(^)^o^(^0-^o^(-^)^?iW] 



Wir ersetzen (( durch 



I 1 , (O ,1-1-0) 

"+2' "+2' ''+~2~ 



§ 33. Haupttransformationen ungerader Ordnung. Hl 

und erhalten aus (8) (§ 21): 

(3) C'^oi ('' ^', n CO) = ^01 (w) ^^^ ^o: (^ + «) ^«i (^ - h) , 

C»oo{>iiU "«) = ^oo(") ^ ^00 (^ + " ) ^00 (77 — «V 

)i — 1 \ '< / ^- '«^ / 

' 2 

Daraus aber ergibt sich für ;( = nach der Formel 
O-Ji = :fr'9-oo'9'oi'^io: 

■''2 ''2 

oder mit Benutzung von (23) des vorigen Paragraphen : 

«-1 ,, , "iizl ^zii lnl 

(5) C2 2 ^^^„(-^j = V^^^oo' V V • 

Das Vorzeichen ergibt sich aus dem Umstände, der aus einer 
der Formeln (3) folgt, daß C = 1 wird für q = 0. 

Nach dieser Bestimmung von C lassen sich die Formeln (2), (3) 
so schreiben: 



n — 1 n — 1 H — 1 
2 



(6) Hill 



' 2 

n — 1 n— 1 M — 1 



(7) "-^ 



= 2 ^ ^,o(H)^ ^77^^^,, (^) ^0. (^ + ^^) ^0. (^ - ^i) 

' 2 

M — 1 n — 1 n — 1 

yn^oi(w^'i wo) -^00^ -ö-io^ -^01^ 



(8) üml 



= 2 T ^0. (^0^ £_^^. (^) ^0. (^ ^ ^^) ^0. (^ - -) 

' 2 

»i — 1 n — 1 n — 1 



(9) 

= '^ ^ ^00 (w 



= 2""»..(«) n/..(^) »..(^ 4- «)*.o(i - «) 



112 Dritter Abschuitt. § 34. 



§ 34. Die Punktionen r){(o), /"(«), /"i(co), ACß^)- 

Es sind bereits im § 24 die Funktionen ^(ö), f {(*}), fi{(^), 
f^icJ) erwähnt, die sich dort als einwertige Funktionen von oj 
bei der Darstelhmg der -^'-Funktionen durch unendliche Produkte 
fast von selbst einstellten, die sich aber nicht ergaben bei der 
zweiten Darstellung durch unendliche Reihen. Damit im Zu- 
sammenhange steht ein bemerkenswerter Umstand, daß viele 
unserer Formeln, z. B. die zur Transformation zweiter Ordnung 
gehörigen (17), § 32 oder die Formel (23), § 32, leicht verifiziert 
werden können durch die unendlichen Produkte, dagegen schwer 
oder gar nicht durch die unendlichen Reihen. Darum war es für 
uns von Interesse, diese Resultate ohne die Benutzung des einen 
oder anderen dieser Ausdrücke aus der Transformationstheorie 
herzuleiten, und ebenso sollen nun auch aus dieser Quelle die 
Funktionen iq (o)), /"(co), fi (oj), f^ (w) uud ihre Grundeigenschaften 
gewonnen werden. 

Die Formel (6) des vorigen Paragraphen ergibt für w = 3: 

V3^ii(3w, 3«)^oo'^io^oi = 2^,i(|)^n(w)^uG + w)^nG-w)> 
und wenn man differentiiert und dann u = setzt nach (4): 
3V3^n(0, 3«) = 2 7i^,,{\)\ 

oder indem man co durch -— ersetzt, 

o 



3V3^n = 2jt|^^„(^^, 



Setzt man also 



(1) ,H = ^*„(i,2), 

so folgt in der Bezeichnung übereinstimmend mit § 24 (9): 

(2) ^li = 7t ^00 ^01 ^10 = 2;r^^(«)3 

und aus § 2.5, (4) erhält man für riia) die Reihenentwickelung 

(3) ri{co) = 5^ i (-l)Vr^^+'. 



CO , 00 



Die Funktion ^(ca) ist für ein rein imaginäres a (reelles q) 
reell, und für ein unendlich großes co (d.h. verschwindendes q) ist 

g"^^(«) = 1. 



I 



§ 34. Die Funktionen ?j(a)), /'(w), t\(w), f^{w). 113 

Hiernach findet man, wenn man in (2) die Formeln § 31, 
(6), (Uj anwendet, für die linearen Fundamentaltransformationen 
von riico) 

(5) ^\ w) "^ V— *■«»?("), 

von denen die erste auch unmittelbar aus der Reihendarstellung (3) 
folgt, während die zweite nicht so leicht durch direkte Umformung 
der Reihen bewiesen werden kann. 

Wir gehen über zur Betrachtung der beiden Haupttrans- 
formationen zweiter Ordnung der ij-Funktion. 

Aus § 32, (11) erhcält man durch Differentiation und Null- 
setzen von u 

2,V(0, 2«),?(2ö)3= ^lo>?(«)^ 
also wenn man ins Quadrat erhebt und § 32, (8) anwendet: 

4^0)^10^01^(2«)'^= n>?(«)S 
und mit Anwendung von (2) und Ausziehen der Kubikwurzel: 

(6) 2>j(2«)2= ^10 >?(«). 

Ersetzt man in (6) co durch — , so folgt 

und wenn man quadriert und die Formel § 32 (9) anwendet: 
2riisoY= ^(ly^oo^io- 
Multipliziert man beiderseits mit O-qj, so folgt nach (2): 

(7) 7j(iy = ^oi^(«) 

und durch Verwandlung von w in a -\- \ [(4) und § 31, (6)]: 

Webe r, Algebra. III. o 



114 






Oritter Abschnitt. 








Hiernach führen 


wir 


die 


drei Funktionen 


ein 






/"(«) 


= 


r-.r + 


-) 






y]{(o) 






(9) 




f (cn\ 




Hl) 







§ 34. 



Dann ist nach (6), (7), (8) 

-^oo = ^K«)/X")^ 

(10) ^01 = >K«)/'i(")S 

^10 = ^(w)/,(«)2, 

und aus (8) und (9) folgt, daß /T«), /'i(m), f\{(y)) für ein rein 
imaginäres a reell und positiv sind. (10) stimmt überein mit 
§ 24, (10), und die dort eingeführten Funktionen f\ /"i, f\ sind 
dieselben wie diese. Aus (10) folgen aber leicht die Relationen 
[(2) und § 21 (14)]: 

V2 = /X«)A («)/,(«). 

Mit Hilfe dieser Formeln kann man durch Quadratwurzeln 
jede der drei Funktionen /'(ß3)^ /i(fa)^ fii^Y durch jede andere 
ausdrücken. Dazu führt die aus (11) fließende Formel: 



(12) [/•(«)s-f /;(«)s]2 = ;;(a,)i._^_ 



fioyy ' 

64 



64 



/2(«)^ 

Für die linearen Fundamentaltransformationen der 
Funktionen f erhält man zunächst aus (4) und (9): 



/X« + l) = e -^VU«), 
^,(« + 1) = e~^f(co- 

n i 

A(ö4-1) = e^ /;(«). 



(1^) fi(« + l) = e ^VT«), 



§ 34. Die Fuuktionen ?;(w), /'(a»), /", (w), f^ioj). 115 

Ferner ergibt sich aus (5) und den beiden letzten Glei- 
chungen (9): 

(1^) A (- ^) = A («), /2 (- ^) = /: («), 

und wenn man hiervon in der zweiten Gleichung (11) Gebrauch 
macht : 

(15) f(-^) = /■(")■ 



CO ^ 

Für die Transformation zweiter Ordnung folgt unmittelbar 
aus den beiden letzten Gleichungen (9): 

(16) f,(2c3)f,(co) = \l 

woraus sich noch durch Anwendung von (12) ergibt: 

(17) f,(a^y[f{2cöy + f,(2coy] = 2[f{coy + f,(coyi 
Setzt man in (16) nach (13), (14) 

/•,(2«) = r?^/'(2«-i), 

so ergibt sich: 

/'(l-l)/-(2«-l) = V2, 

und indem man 2 « — 1 gleich einem neuen co setzt : 

(18) «"^Ks^) = '^- 

Ersetzt man in (16) a durch — und — ^ — , so folgt: 



/,(«)/, (I) = v^, 



(19) 

/■(")f.('^) = «"V2. 

Wir stellen endlich noch für ein ungerades n die Formeln 
für die Haupttransformation wter Ordnung der Funktionen ?j, f 
auf. Für 7] (n co) ergibt sich leicht, wenn man in den Formeln (6), 
§ 33 nach der Differentiation ii = setzt, und die dritte Wurzel 
zieht : 

(20) ]n n {n «) n («) 2 ^ n^^ ^^^ ^_ j . 

' 2 

8* 



X16 Dritter Abschnitt. § 35. 

Setzt man ferner h = in (7), (8), (9), § 33, benutzt als- 
dann die Relationen (10) und (20) und zieht die Quadratwurzel, 
so tindet sich 

f(:nco)r}(oy)~ = fioy) 77^^oo(^), 

' 2 

(21) /U»«)»?(») ' = ^i("^ fLi'^^'V« 

Die Vorzeichen ergeben sich hier aus der Annahme eines 
unendlich kleinen q. 

§ 35. Die Weierstrassscho ö-Punktion. 
Durch die allgemeine lineare Substitution 

angewandt auf die Variablen «i, co^^ geht jede ^Funktion wieder 
in eine ^-Funktion über, wobei die Charakteristik sich geändert 
hat. Ist (^1, r/2) die Charakteristik der ursprünglichen, {y\, g'2). 
die der transformierten Funktion, so ist nach § 27, (11) 

iOi, 92) = i^ih — ß'j2 — ßS, —yg'i -}- ag'^ — ay). 

Löst man die beiden darin enthaltenen linearen Gleichungen 
für ^1, g'2 auf und beachtet, daß (Aß{y -\- 8 ^ 1), y 8 {a -\- ß -^;- \) 
notwendig gerade Zahlen sind, und daß eine Charakteristik sich 
nicht ändert, wenn sich ihre Elemente um Vielfache von 2 ändern, 
so kann man dafür auch setzen: 
(1) {g'i, «72) = («^1 + ßOi 4- «/5, yg, + 8g^ -f y8). 

Die -O- - Funktionen gehen also, abgesehen von Exponential- 
faktoren, ineinander über. Von Wichtigkeit ist es aber, eine 
Funktion zu bilden, die den linearen Transformationen gegenüber 
absolut invariant ist, und eine solche Funktion ist die von 
Weierstrass in die Theorie eingeführte ö-Funktion, zu deren 
Definition wir jetzt übergehen. 

Wenn wir die Formel (1) auf die vier Hauptcharakteristiken 
(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) anwenden, so gehen diese der Reihe 



§ 35. Die Weierstrasssche ff-Funktion. 117 

nach über in {aß, yd), [(«-f-l)/3, (y + l)ö], [«(/3 4-1), r(ö+l)], 
[(« + l)(/3 4- 1) _ 1, (y + l)(d 4- 1) _ 1) = (1, i;,]. Es bleibt 
also nur die letzte Charakteristik (1, 1) bei allen linearen Trans- 
formationen ungeändert, da weder a und ß noch y und Ö zugleich 
gerade Zahlen sein können. Es sei also t(u, co^, co^) eine ^Funk- 
tion von der Charakteristik (1, 1), die nach § 17, (12) für u = 
verschwinden muß. 

so sind nach unserem Transformationsprinzip 

t(ti, öj, «2) und t(ti, (o[, «2) 
verwandte T- Funktionen erster Ordnung, und folglich ist, wenn 
0, A, ^ von w unabhängige Größen sind, 

(2) t{ii, c}[, Wä) = C'e^«' + ^"f(w, cji. tOg). 

Es ergibt sich hieraus durch logarithmische Differentiation 

(3) 2An + ft = ^^^ ^^- 

Nun ist, wenn wir nach Potenzen von u nach dem Taylorschen 
Lehrsatz entwickeln und mit t\ t", f" die erste, zweite, dritte 
Derivierte von t nach u für u = bezeichnen, 

cnog^(M, Ml, gja) _ L I il I /^^ _ ^\ I 

^z^i^ ~~ « + 2f "^ "U^' ~ rrs/ "^ ' 

woraus sich durch Vergleichung mit (3) ergibt, daß l und fi in 
die Form gesetzt werden können: 

l = q){co'^, co',) — (f{co^, W2), 

worin 

(4) 9(c3i, «2) = g^ — g^, t^'(a3i, Mg) = 2f • 

Bestimmt man ferner noch den Faktor C in (2) durch den 
speziellen Wert n = 0, so folgt 

Hiernach läßt sich die Formel (2) in folgendem Lehrsatz 
aussprechen : 

Die Funktion 

(6) ö («, CO,, «2) =. r'" (5 - S) - " Ä ^^^'' ^/- "^^ 



27li^ = —TT, 



118 Dritter Abschnitt. § 35. 

bleibt iingeändert, wenn man «i, »2 durch «i, 0)2 ersetzt, 
d. h. wenn man irgend eine lineare Transformation an- 
wendet, oder: 

(7) ö(h, «;, Wo) = ö(;(, cji, «2). 

Die durch (6) definierte Funktion bleibt, wie eine einfache 
Rechnung zeigt, ungeändert, wenn man t durch irgend eine ver- 
wandte ^-Funktion ersetzt. 

Die Funktion t{i() hat nach Voraussetzung die Charakteristik 
(1,1) und ihre Nullpunkte sind also kongruent mit 0. Demnach 
hat t ( — u) dieselben Nullpunkte und daher auch denselben 
Charakter wie t (u). Beide Funktionen unterscheiden sich also nur 
durch einen Exponentialfaktor voneinander, und es ergibt sich 
leicht, wenn mau einen konstanten Faktor aus tt = bestimmt: 
t{—u) = —e^"i^'^t{u), 

worin [i eine Konstante ist. 

Differentiiert man diese Gleichung zweimal nach u und setzt 
dann u = 0, so folgt 

t' 

und daraus ergibt sich nach (6), daij die Funktion ö(«) der 
Bedingung 

(8) ö(— ;() = —6{u) 

genügt, also eine ungerade Funktion von n ist. 

Da ö(h) eine ^-Funktion erster Ordnung ist, so genügt es 
den beiden Bedingungen: 

ö(m + (öl) = qe''i(-" + "i)ö(((), 

6(11 -f- «2) = C2e''-2^^" + '"-^6{ii), 

worin c^ , C2 ? ^n V2 Konstanten sind. Die Funktion ö («) ver- 
schwindet für ^(, = 0, aber nicht für u =r i «j , u = |a)2, und 
wenn man also in den vorstehenden Formeln u = — | «j, 

— lo)., setzt, so ergibt sich nach (8) Cj = — 1, C2 = — 1, also 
die Formeln: 

(3{U -f CO,) = — e'a(2" + c.i)ö(/,), 

^ ^ 6{n -\- oja) = — e'-2(2H + '".2)ö(;(). 

Die hierdurch eingeführten iji, rj^ sind Funktionen von caj, «2, 

die nach der Relation § 17, (10) (worin nia,^ '^itt^i '''' durch 

— >?i, — >?2i 1 zu ersetzen ist) die Gleichung befriedigen: 
(10) f?i«2 — riiCO, = ni. 



§ 36. Die Fixnktionen ffp^, ö-„i, g^^. WQ 

Durch wiederholte Anwendimg von (9) ergibt sich, wenn a, b 
ganze Zahlen sind [vgL § 17, (16)]: 

6{u + aco, + bio^) 

Wenn man die Funktion ö(?<), wie sie durch die Formel (6) 
gegeben ist, nach Potenzen von u entwickelt, so findet sich, daß 
nicht nur die zweite, sondern auch die dritte Potenz von u in 
der Entwickelung nicht vorkommt, und man hat also: 

(12) ö(0) = 0, ö'(0) = 1, ö"(0) = 0, 6"'(0) =-- 0. 
Wenn auf coi, Wj eine lineare Substitution 

(13) {co[, CO'.) = (^^^ ö)("i' ^2) 

angewendet wird, so erfahren die Größen rj^, iq^ die entsiDrechende 
Substitution 

(14) (rh, ^;o) = {"^^/^{nu n.l 

wie man unmittelbar aus den Relationen (7j und (11) folgert. 

Differentiiert man die Formeln (9) logarithmisch nach it, so 
folgt 

ö(m + «1) ~ 6(n) "^ ^^' 
■ ^ ö'(n + «,) _ 6'(.) 



6 (tl -\- OJo) ö {h} 



CO, 



und indem man in der ersten n = ^, in der zweiten 

'( = ^ setzt , und beachtet , daß (u) eine ungerade und 

folglich 6'(u) eine gerade Funktion von u ist: 

(16) ni = Ai^- n-2 = 



§ 36. Die Funktionen öooi ^o\i ^lo« 
Es bleibt uns noch übrig, die analogen Resultate für die 
übrigen Charakteristiken zu gewinnen. Wir gehen aus von der 
folgenden Bemerkung: Sind i\^ x^; Pi, y.2 irgend zwei Paare von 
Größen, welche durch dieselbe lineare Substitution S in oc'i, x'o\ 
y'\, y'i transformiert Averden, ist also: 



120 Dritter Abschnitt. § 36. 

(x[, 0C2) = n y) (*'i, a^s); {y'i^ yd = Q ^.) (^i, ^/2), 

so ist auch 

•'^i^/o — ^iVi = x'iy'i — ^2yi, 

wie aus der Multiplikation der Determinanten hervorgeht. Dem- 
nach ist, was auch x^, a^ sei, nach (7), § 35: 

(1) ö(n-[-^"2Ci — x-yO^i «1, M2) = (3{n-\-x'^2Co\ — x'xco'-j^ «i, «2). 

Diese Funktion ändert sich der Formel (11) des vorigen 
Paragraphen gemäß, wenn ^1, x^ um ganze Zahlen geändert 
werden. Diese Änderung kann man aber vermeiden, wenn man 
statt dessen die Funktion 

g— 2 (iji arg — »lü xx) u !!: ! £ l i il 

6{x^co^ — x^a^) 
betrachtet, die wir (für den Augenblick) mit ö(?/, ^i, x^t «1, «2) 
bezeichnen wollen. Diese Funktion genügt den Bedingungen: 

(2) ö(«, x'i, x'i, «1, cja) = ö(m, Ä-'i, 572, «1, «2)1 
(J(t<, .Ti-f 1, 5:2, «1, «2) = <5(?(, a?i, ^2, «1, Ö2). 

^ ^ (J(m, a'i, ^-2 + 1, Wi, Ö2) = ö(«, :ri, .Tg, C3i, 032)1 

Ö(« 4- «1) = _e-2 7rtxig.ji(2« + aii)(j('^)^ 

und bleibt also ungeändert, wenn x-^^ und X2 um ganze 
Zahlen geändert werden. 

Indem wir uns nun wieder auf die Hauptcharakteristiken 

beschränken, setzen wir {x^^ x^) =^ i — 95 9)5 \^i ijji ( — 91 ^j 

und erhalten so die folgenden drei Funktionen: 

/ OJi + «2 

/ 1 1 \ ^'V"^ 2~ 

(Joo(n) = ö(^n, — -, -, öi,a32J = e-0;i + 'i-2)-_A^ 



(5) 010 (w) = ö (tf, 0, ^, «1, «2 = e-'ii" 7T-v^^ 



03.3 



§ 36. Die Funktionen a^^, a^i, ö-j„. 221 

und die Funktion 6 {ii) selbst kann entsi)recliend auch mit (3ii{h) 
bezeichnet werden. 

Für diese Funktionen ergeben sich nach (4) die charakteristi- 
schen Periodengleichungen 

(6) <^9U9A^^ 4- CO,) = (- l)^.e'i.(2« + a,,)ö^^^^^(,,), 

Durch Anwendung einer linearen Transformation werden die 
drei Funktionen öqo, ^oj, öio untereinander permutiert, wie die 
Formel (2) lehrt [oder § 35, (1)]. Je nach dieser Permutation 
zerfallen die linearen Transformationen in sechs Klassen, deren 
erste alle die Transformationen umfaßt, die die Funktionen öqoi 
öoi, öjo ungeändert lassen. Diese sind dadurch charakterisiert, 
daß «, d ungerade, /3, y gerade Zahlen sind, was wir kurz so 
schreiben ; 

'a, ß\ _ /l, 0^ 

Hiernach sind die sechs Klassen der linearen Transforma- 
tionen folgendermaßen zu charakterisieren: 



C;Ö-G;>"->- 



I- C,i)= (J;°)(mod2)(00,01,10), 
II. „ =( ?' l) „ (00, 10, Ol), 



(■?) 



'«, ß\ 




/l, 0' 


y. s) 




\0, 1, 


J5 


/ 


/ 0, 1 
V-1, 0, 

/ 1, r 


J1 




v-i, 0, 


5? 


= 


/i,r 
Vo, 1. 


W 


= 


/i, 
VI, 1 


J? 


= ( 


^ 0, r 

v-i, 1 



III. „ =[_{^q) . (10,00,01), 

IV. „ = (l;]) „ (10,01,00), 



V. „ = (^^1 jj „ (Ol, 00, 10), 

VI. „ =f ^' ]) „ (Ol,. 10, 00), 



wo in der letzten Kolumne die jedesmalige Permutation der 
Charakteristiken 00, Ol, 10 aufgeführt ist. 

Die Transformationen der ersten Klasse bilden eine in der 
Gruppe aller linearen Substitutionen enthaltene Gruppe 51, also 
einen Teiler der Gruppe 2 (§ 28). Setzen wir 



122 Dritter Abschnitt. § 37. 

"' = {0,1)' "^=(-i,o)' "» = (-1,0)' 

so sind «1^1, «a'iJl, «3 51, «^''^t, «g^l, a^'ä die Nebengruppen zu 'il 
und es ist 

und '*)( ist ein Teiler von 2 vom endlichen Index 6: 
(2, %) = 6 (Bd. II, § 2). 

Die Gesamtheit «^ % -\- a^ 51 ist ebenfalls eine Gruppe %\ 
und es ist 

2 = ai51'+ «3^1'+ ^4^1' 
und (2, 51') = 3. 

So wie sämtliche lineare Transformationen aus den 
beiden Fundamentaltransformationen, so lassen sich die 
Transformationen der ersten Klasse aus wiederholter 
Anwendung von 

(2,'i)' (0! 1)' \ i-\) 

ableiten, was sich auf dem Wege des § 30 beweisen läßt. 

§ 37. Darstellung der ö- Punktionen durch ^-Funktionen. 

Um die Funktion 6{\{) als 'O'- Funktion darzustellen, kann 
man einfach die Formel (6) des § 35 auf die Funktion 

anwenden, also 

(1) ff(», »„ a,) = ra,e «".■ »„ ^"; "'^ 

setzen. Es ist aber infolge der Differentialgleichung § 20, (4): 

da 
und also nach der Definition der Funktion y\{(.o) in § 34, (2): 

(2) ^' = ^.i'}}^ = 12:.ii!^^'. 



§ 37. Darstellung der a-Funktionen durch fl -Funktionen. 123 

Durch logarithmisclie Differentiation von (1) erhält man 
mittels (2): 

^ 1 a S- f ^^ ^2 

d\ogö(H) Aniu d\ogr}(co) * ^^\öi' «i 

du Of da du ' 

und wenn man hierin u = —i, — ^ setzt und die Formeln (8) des 

§ 21 anwendet nach § 35, (16): 

^■jii cZlog »^(oj) 

(3) '^'""^ ^^" ' 

1%ia^ d log r\ (co) Tii 

coj^ da oji 

Hiernach kann man für ö setzen: 

c. fu a^\ 

''!"' IM TT' TT) 
/ 1\ ^ \ — \Wi a-, / 

(4) 6(u) = a, e -1 y '- , 

und für die drei Funktionen ö^o, <?oii <^io ei'hält man nach § 36, (5), 
wenn man einen konstanten Faktor aus 

(5) öoo(0) = l, 001(0) = 1, (5io(0) = l 
bestimmt : 



öoo(w) = e 



^. 



(6) 



öoi(*o = e'"' — V — -^ 

öio(«)= e"' V -' 

Die Funktionen öooC'O» ^oi('0? <^io('0 sind gerade Funktionen 
von II, und durch zweimalige Differentiation der Logarithmen 
von (6) ergibt sich noch [nach (3) und § 34, (2)]: 

(7) (5oo(0) + (5oi(0) + öio(O) = 0- 

Die Ausdrücke (4), (6) lassen auf den ersten Blick eine 
wichtige Eigenschaft der ö- Funktionen erkennen, daß nämlich 
^00» <5oi, öjo nur von den Verhältnissen u:ai:a2 abhängen, 
während bei ö dasselbe, abgesehen von dem Faktor o^i, gilt. Es 
sind also ö, öqo, öqi, öjo homogene Funktionen der drei 



124 Dritter Abschuitt. § 38. 

Variablen m, Mi, «2 erstere von der ersten, die drei anderen von 
der nullten Ordnung, oder, in Zeichen, wenn A einen willkür- 
lichen Faktor bedeutet: 

(j(A«i, Aco^, AßJa) = Aö(t<, coi, «2), 
öoo('''«i, ''^Wi, Awg) = öoo(w, Wj, Ö2), 
(Joi(AMi, Awi, ?.cOc,) = Öoi(m, 0?!, oJa), 



§ 38. Lineare Transformationen der Funktion t}(co). 

Die Formeln (3), § 37 führen zur linearen Transformation 
der Funktion i] (co). Wird nämlich 

(1) (oi, C02) == Q y («1, «2) 

gesetzt, so geht (jji, r}^) über in 

(2) inuVd = {y/8)(Vi,V2) 
[§ 35, (14)] und cö = Wg:«! in 

(3) a' = ' — ^-^ . 

Nun folgt aus (2) mit Rücksicht auf (3) des vorigen Para- 
graphen : 

, 2ni d\ogri{Gi') 1ni(o\d\ogri{(o) reiß 

(o\ da' ~~ a'l dco a>, ' 

, 2 Tcia'o d log 7j{co') ni 2 7tiGi'2 d\og'Yi{co) 7t id 



a'i dco' «i cof da 

und diese beiden Relationen geben übereinstimmend 

d\ogYi{a') d\ogri{(ö) ß 

(o'idcx)' a'ldco 2wiwl' 

oder endlich, da nach (3) 

dlogrijoi') _ d log ri {a) ß 

I O 



CO, 



dco dco 2(a -\- ßco) 

Hieraus folgt durch Integration: 

(*) ''(^+11) = '''''+^ •'(">' 

worin s eine von co unabhängige, also nur von den Zahlen w, ß, 
y, d abhäugige Größe ist. 



§ 38. Lineare Transformationen der Funktion 'y (w). 125 

Die genaue Bestimmung dieser Konstanten £, namentlich 
auch mit Rücksicht auf das Vorzeichen ist ein bekanntes wichtiges 
Problem, das eigentümliche Schwierigkeiten bietet, dessen Lösung 
aber für uns unerläiilich ist. Lösungen haben auf verschiedenen 
Wegen Hermitei) und Dedekind^), neuerdings auch Hertens 
und Scheibner 3) gegeben. Wir wollen hier einen Weg gehen, 
der den Vorzug großer Einfachheit hat, dafür freilich nicht eine 
Ableitung, sondern nur einen Beweis der fertigen Formel enthält. 

Für zwei spezielle Fälle haben wir schon früher [§ 34, (4), (5)J 
diese Bestimmung ausgeführt und auf dies Ergebnis werden wir 
uns hier stützen. Es sind die Formeln: 

. n i 

(5) >?(« ± l) = e~^- yi{g}) 

und 

1 



(6) n[— — ) = V— iw/j(co), 



worin ^ — ia mit positivem reellem Teil zu nehmen ist. 
Wir setzen nun 



(7) "^Ka-^ ßcoj ^ ^(a,ß 



ri{(o) \y, 8' 

und haben den Wert dieses Symbols zu bestimmen. Nach (.5), 
(6), (7) haben wir: 

(10) ^{^^,'^-^- 

0, 1 



(11) ^V-i', 0' "j = v-^'«- 

') Liouvilles Journal, Ser. II, T. III, 185S. Oeuvres de Charles Her- 
mite, p. 487. 

'^) Erläuterungen zu Xr. XXVIII von Riemanns Werken, zweite Auf- 
lage und „Über die elliptischen Modulfunktionen", Grelles Journal, Bd. 83, 
S. 265. Vgl. auch des Verfassers Abhandlung ,,Zur Theorie der elliptischen 
Funktionen", Acta Mathematica, Bd. G, S. 341 ff. 

^) Hertens, Zur linearen Transformation der &- Reihen, Transactions 
of the American mathematical society. July 1901. — Scheibner, Zur 
linearen Transformation der Theta- Funktioren und elliptischen Modulfunk- 
tionen, Berichte der Sachs. Gesellschaft der Wissenschaften. Oktober 1906. 



;;^ 



126 Dritter Abschnitt. § 38. 

Wir betrachten jetzt zwei Substitutionen und die aus beiden 
zusammengesetzte, also: 

y\ b"J - \y\ d'J \y, dj ' 

Ist dann , ., 

_ y -}- da 

CO 7i — . 

a -^ ßco 
so ergibt sich aus der Definition (7): 

(12) ■ i.(«::;f„„) = £(;;;^,,..)^, 

und davon zwei besondere Fälle, indem man 
^«, ^\_/ 1, 0\ / 0,1 

j', ö) - V±l, U' V-1, 

setzt und an Stelle von a\ ß\ y\ ö' wieder a, /3, y^ d schreibt, also 
V, ß"\ _ /a±ß,ß\ /-/3, ^A. 
y, ö") - \y±d,dj^ \-d, y)- 

(u) E{z^^;,.^ =v^^(;;^,^ 

Es hat sich nun in § 30 gezeigt, daß sich alle linearen Trans- 
formationen durch wiederholte Anwendung der beiden Fundamental- 
transformationen 

G;:> (-^;:) 

und ihrer inversen Transformationen zusammensetzen lassen, und 
daraus folgt auf Grund von (12), daß durch die Formeln (8) 
bis (14) das Symbol E vollständig definiert ist. 

Wenn wir also einen diesen Bedingungen genügenden Aus- 
druck kennen, so muß dieser mit E übereinstimmen. Um einen 
solchen aufzustellen, unterscheiden wir zwei Fälle. Da a, /3 
relative Primzahlen sind, so ist eine von ihnen sicher ungerade. 
Wir setzen: 

1. a ungerade und positiv: 



(16) 



2. ß ungerade und positiv: 

1 — ß n i , 



^\y, d' "^J ^ \ß) ^ V— ^(«4-/5«), 



Lineare Transformationen der Funktion '/ (w). 127 



WOZU noch folgendes zu bemerken ist: Die Wurzeln \a-\-ßo}^ 
y — i(cc -\- ßco) sind mit positivem reellem Teil zu nehmen. 
Daß eine von ihnen rein imaginär sei, ist durch die Annahme, 
daß CO einen positiven imaginären Teil hat und cc bzw. ß positiv 
sei, ausgeschlossen, denn danach kann a -{- ßco oder — « (« -h ß f-^) 

nicht reell und negativ sein; ( — ) und f— j ist das Legendre- 

Jacobische Symbol aus der Theorie der quadratischen Reste, 

mit der Erweiterung, daß (yj und ( — j = 1 sein soll. Wenn 

im ersten Falle a oder im zweiten ß negativ ist, so müssen rechts 
die sämtlichen Vorzeichen von «, ß, y, 6 umgekehrt werden. Wenn 
sowohl w als ß ungerade sind, so kann sowohl (15), 1. als (15), 2. 
angewandt werden, und beides ergibt, wie man leicht auf Grund 
des Reziprozitätsgesetzes der quadratischen Reste nachweist, das- 
selbe Resultat. Es ist nämlich, wenn « und ß ungerade sind, 
a positiv angenommen wird, und das obere oder untere Zeichen 
gilt, je nachdem ß positiv oder negativ ist: 



aj\±ß 



TT l 



yqI^■(a -f ßa) =z e ^ \a ^ ßa 

und die Identität von (15), 1., 2. ergibt sich dann aus den Kon- 
gruenzen 

— 3a/3 + |3(a-^ö) — (/32 — l)ay =a(y— jS) — (a2_i)|3d(mod24), 
ay -^ aß = ßö (mod 8), 

von denen die zweite, wenn u und ß beide nicht durch 3 teilbar, 
also 04- ^ /32 ^ 1 (mod 3) sind, auch für den Modul 24 besteht. 

Daß durch (15) die Formeln (8) bis (11) befriedigt sind, ist 
unmittelbar einzusehen, und es bleibt noch zu zeigen, daß (13) 
und (14) erfüllt sind. Wir beginnen mit (14), wobei angenommen 
werden kann, daß a ungerade (und positiv) sei; denn vertauscht 
man in (14) « mit — l:cj, so vertauschen sich « und — /3, und 
diese können nicht beide gerade sein. 

Es ist 

yiTT^ ]/«- 1- = y-.-(-/5 + ««); 

denn setzen wir für den Augenblick 



128 Dritter Abschnitt. § 38. 

ß 
— IG) == re"P, oi — = ge^y" 

CO 

so ist, da die reellen Teile von — ia, — i{ — ß -\- aa) positiv sind, 
— -<(jp<-, — 7r<4'<3r, — -2<9' + ^<^, 

_ if / 'ß ijt 

y_i„ = Vre 2, V/a —^ = yQ e\ 
und der reelle Teil von 

V— ioj 1/a ^ = V— i(— /3 -f «w) = Vr^ e ^ 

positiv. Demnach ergibt sich aus (15), 1: 

= ( — je 2 e^2 y — ?( — -p -f- '^")- 

Dieselbe Formel aber erhält man, da ( — -) = «("— ^M— j, 
aus (15), 2. für 

-(=f;:-)- 

und damit ist (14) bewiesen. 

Es bleibt noch die Formel (13). Es genügt, die oberen 
Zeichen allein zu berücksichtigen, also die Formel 

zu beweisen, da der andere Fall durch Vertauschung von w, y, to 
mit CK -\- ß, y -\- 8^ CO -\- l auf diesen zurückkommt. Ist zunächst 
ß ungerade (und positiv), so ergibt sich (13) aus (15), 2. auf 
Grund der Kongruenz 
(/32— 1)(1 — /3y — aö — /3ö) = — /3(/32— l)(2y + ö) = 0(mod24). 

Ist ß gerade, so ist « ungerade. Nehmen wir a positiv, so 
kann oc -\- ß positiv oder negativ sein. Gelten im ersten Falle die 
oberen, im zweiten die unteren Zeichen, so ergibt uns (15), 1: 

M^/<^^ß 



(16) ^^' ^ 



^ji 2 ei2 ^c^^ ß j^ ßa^ 



§ 38. Lineare Transformationen der Funktion i] (w). 129 



(17) \r + *: ^' 



Nun ist, wenn die unteren Zeichen gelten, ß negativ, und 

wenn also , , -, , n ^ 

— (ci ->^ ß -j- ß a) = re"P 

i{a J^ ß J^ ßco) = re'v ~t) 
gesetzt wird, so liegt -^ und -^ — - zwischen — - und 4"-^, und 
daraus folgt, daß wir zu setzen haben: 

V-(« 4-/3 + ^«) = *V« + /3 + /3«, 
ferner nach dem Reziprozitätsgesetz der quadratischen Reste: 

i (a + 1) 



(M - <-' • © 



(=^,) -<-.-<- .."^(!)-.. 

und daraus folgt die Übereinstimmung der beiden Ausdrücke 
(16), (17) und mithin die Richtigkeit der Formel (13) nach der 
Kongruenz 

/3(3a — 2^^ + /3 — ö 4- /32d -f 2«/3d) = (mod 24), 
die sich, da ß gerade vorausgesetzt ist, aus «d — ßy z= l ergibt. 

Somit sind also die Formeln (15) als richtig erwiesen. 



^) Nach dem Reziprozitätsgesetz ist, wenn ß = ±2/3' gesetzt und ß' 
ungerade und positiv angenommen wird, wenn et -\- ß positiv ist 

; (a -t-,i— l)fß' — 1) 

(!) = (^)(?)(-)-^— ■ 

Ist A > 2, so sind diese beiden Werte einander gleich, ist A =: 1, so 

« -h 1 
unterscheiden sie sich durch den Faktor ( — 1) 2 , in Übereinstimmung 
mit der ersten der obigen Forraehi. Die Richtigkeit der zweiten Formel 
ergibt sich, wenn (( -\- ß negativ ist, aus 

„A (a + (i — l)(ß' — l) 

(- (« + ß)) = (- (« -f ß)) \f) ^- ^^ 

a — i (a — i)(ß' — i) 



(() = (l)©(-»^<-') 



Weber, Algebra. III. 



130 Dritter Abschnitt. § 39. 

Setzen wir 
(18) £^(^^'^, «) = .V« + /3«, 

so ist £ eine 24ste Einheitswurzel, deren Produkt mit \cc -\- ßo 1 
durch (15) vollständig bestimmt ist, und es ergibt sich die Trans- 
formation der ?j- Funktion 

(^»> ''C-tS) = '^"+^''^"'- 

Für £i2 findet man 

(20) f'2 = ( \yß+Y^+ßY, 

§ 39. Lineare Transformation der t)^- Funktionen. 

Die Transformationsformeln der 0' - Funktionen sind Folgen | 
der Grundeigenschaften der ö-Funktion, durch die Substitution 

^«, ß^ 



(wl, Ma) = Ql ^) («1, CO,) 



ungeändert zu bleiben. Aus § 37, (4) ergibt sich hiernach, wenn 
man co^, co,, Yji durch coi, Wo, »?i ersetzt: 

«1 e "1 ^11 — , — ) « f^ " > -^11 — ' — ' ) 



*"(°-S) 


^K°-S|) 


oder, weil nach § 35, (10), (13), 


(14) 


^ ^ coi co'i Wi Wl 


_ ^«2»?l — «1»?2 _ ^'75 

o?! co'i <^i oo'i 


ist, wenn wir: 




u 

CO. 

(2) 


COi 

, «2 y -j- ÖGJ 
OJl o( -)- poj 


co{ oi -\- ßco ' 
setzen : 


^ii(v\ CO') _ e 


''»,*^«' '9-11 (v, tö) 



^n (0, ca') a -^ ßco ^'n (0, ta) 
Es ist ferner 

^;i(0, o) = 2;r7j(G9)3, -^11(0,00') = 2nYi{co')\ 

woraus nach § 38, (19): 

^;i(0, ö') = £3ya + ßco ^ii(0, oj), 



§ 39. Lineare Transformation der .^-Funktionen. 131 

und daraus endlich: 



Die Transformationsformeln der drei übrigen Funktionen 
^001 "^oii ^10 sind verschieden in den sechs Klassen des § 36 und 
können aus den Formeln (5), § 36 in derselben Weise hergeleitet 
werden. Man kann die sechs Fälle aber auch in ein einziges 
Formelsystem zusammenfassen, das man aus (3) erhält, wenn 
man v ersetzt durch 

^ 2 

und dann auf der rechten und linken Seite von (3) die Formeln 
(2), (3), (8) des § 21 anwendet. So kommt: 



1 " 


2 ' 




V 


+ 


y + dco 
2 


also v' 


durch 

v' 


+ 


1 

2' 




, , CO' 



(4) 






(6) 



(5) _niy_d 

Die vierten Potenzen dieser Funktionen lassen sich einfacher 
ausdrücken durch 

worin in den sechs Klassen die zu den Charakteristiken 
(^j, g^ = (00), (Ol), (10) gehörigen Charakteristiken (g'i, g'^) aus 
der letzten Kolumne der Tabelle in § 36 zu entnehmen sind. 

Eine einfachere Transformationsformel erhält man aus den 
ö- Funktionen für das Produkt der drei -O^- Funktionen (4), (5), (6). 
Es ist nämlich, wenn man das Produkt der drei Funktionen 
§ 37, (6) bildet: 

<Joo(^0<5oi(^0<^io(^0 



3'iiu-^ 'Ö'OO ( — 1 — ) ^01 ( — 5 — ) '9"i0 { — , — 

"^00^01 '^10 

9* 



132 Dritter Abschnitt. § 40. 

eine Funktion, die nach § 36 bei linearer Transformation völlig 
ungeändert bleibt. Macht man noch Gebrauch von der Relation (2): 

rj[(Oi — fjioj'i = — Tiiß, 
so folgt 

^oo(?;, aj)-»oi(r, M)-»io(r, a) 

— ^ '^oo(0, «')^oi(0, ö')^io(0, CO') ' 

worin man noch nach (19) des vorigen Paragraphen 



^00 (0, co')^oi(0, «')^io(0, CO') = a3]U-^ ßco ^oo^oi-^io 
setzen kann. 

Wir ziehen aber aus (8) einen anderen Schluß: Setzt man 

nämlich 

, h h (a, -\- ß co) 

V = — , V = — ^^ ■ — - — - , 

n n 

/vr 1 

und nimmt das Produkt für h = 1 , 2, • • • , — - — , so ergibt sich 
mittels der bekannten Relation (Bd. I, § 11) 

h ^i2 1 

wenn man auf der rechten Seite von (8) die Formel (23), § 32 
anwendet : 

(9) 2'^' h *.,f'ife+MV/M?i+MV,/M^+M 



n-i \ n 

Tli rfi — 1 . n — 1 n — 1 n — 1 
e ^'00 ^01 ^01 1 

worin nun a, ß irgend ein Paar relativer Primzahlen sein kann. 



§ 40. Iiineare Transformation der Punktionen 

/•(«), /■i(w), /^(w). 

Die Formeln für die lineare Transformation der /"-Funktionen 
sind nach § 34, (9) eine einfache Folge der Transformation der 
»^-Funktion. 

Setzen wir in der linearen Transformation 

'«, ß' 
.7, ^y 



§ 40. Lineare Transformation der Funktionen /"(w), f\{(a), /"j (w). 133 

zunächst ß als gerade und folglich w, 6 als ungerade voraus, 
so ist 



^^^ VO, 2J Vy, dV ~~ UV! ö; VO, 27' 

d. h. 

y -\- 8 a 1y -\- ö .2(0 

K-\- ßa ~~ a -\- 1/3. 2m* 
Es ist aber nach § 34, (9): 

und wenn wir also die Substitution 

y -\- 8 CO 
"^^ a^ ßco 
macheu, so ergibt sich, mit Benutzung der Bezeichnung des § 38 

(Q\ f ( y + ^to \ _ V2y, d j 



7, d 

Hier sind die £'-Funktioneu nach § 38, (15), 1. zu bestimmen, 
woraus sich ergibt: 



a, ß \ \a 






Es ist aber ^ = | — | und 

= «(y — /3j — («2 _ l)/3ö (mod3), 
und wenn wir also zur Abkürzung 

(3) Q = e-^*[«(/-i*)-(«^-i)/*<'] 

setzen, so ergibt sich aus (2): 

In derselben Weise lassen sich alle anderen Formeln dieser 
Art herleiten; man erhält sie aber einfacher aus (4) selbst mit 
Benutzung der Fundamentaltransformatiouen § 34, (13), (14), (15). 
So ergibt sich , wenn man in (4) co durch — 1 : « ersetzt und 
dann a, /3, y, d mit ß, — or, ö, — y vertauscht (wodurch q un- 
geändert bleibt): 



134 Dritter Abschnitt. § 40. 

(^) ^^(^) = (|)^^'^""-'/'(")- ^-0(.od2), 
und ersetzt man hierin w durch cj -f- 3 und y, a durch y — 3 ö, 
a — 3/5, so folgt 

Setzt man in (4), (5), (6) 



f< 



y -\- d G)\ ^^ a -\- ß CO 

— /i 



und vertauscht dann a, /3, y, ö mit — y, — d, a, /3, so ergibt sich 

(8) = (^_j p e 8 ^ - >' /^(«), y = (mod 2), 

_iZLf',)(2^+y) 

(9) = — Qe ^ ' /"(«), r— ö = (mod2). 

Aus (9) und (6) erhält man, indem man oj durch — ^-^- — -j — 
und dann a, /3, y, d durch ö, — /3, — y, « ersetzt: 

(!') <S|S) = -^^"^ ''""'" f^(-)' fi-' ^ ("-12), 

und wenn man endlich in (10) co durch oo -\- 9 und y, a durch 
y — 9 ö, oc — 9/3 ersetzt : 

«4-/3 + y — Ö = (mod 2) !)• 



') Die von Her mite (Sur la theorie des equations modulaires, Paris 
1859) eingeführten Funktionen </ (w), »/'("j)i /('t') hängen mit den Funktionen 
A"^)) fi{^)i AC*^) durch die Gleichungen 

zusammen. Die Transformationsformeln der /"-Funktionen lassen sich mit 
Benutzung der Relation ad — ßy = 1 auf mannigfaltige Weise umgestalten. 
So sind die von Her mite a.a.O. angegebenen Formeln nicht ohne weiteres 
mit den unserigen als identisch zu erkennen. Eine einfache Rechnung zeigt 
aber ihre Übereinstimmung. Die oben gegebenen Formeln haben den Vorzug, 
daß sie, ohne an Einfachheit zu verlieren, je zwei der sechs Transformations- 
klassen in einen Ausdruck zusammenfassen. 



Vierter Abschnitt. 

Die elliptischen Funktionen. 



§ 41. Zusammenhang der i>- Funktionen mit den elliptischen 

Integralen. 

Nach § 21 bestehen zwischen den Quadraten der vier -O'-Funk- 
tionen zwei voneinander unabhängige lineare Gleichungen, und 
man kann also zwei von diesen Quadraten durch die beiden 
anderen oder auch alle vier durch zwei unabhängige Variable |, r] 
ausdrücken. Indem wir das letztere tun, bezeichnen wir mit 
In ^i; ^25 Vi': t3i Vs'i ^41 ^4 Konstanten und setzen, indem wir 
an die Bezeichnungsweise Bd. I, § 67 anknüpfen: 

^?a(w) = ^?l->;l, = (1^0, 

/,X ^lliu) = tV2 — Vt2 = (1^2), 

^ ^ ^?oW = 1^3- Hz = (l^s), 

^00 W = ^Vi — vL = (1^4)- 

Zwischen den Konstanten |,, r]i und den Werten -O'm, 'O'io, 'ö'oo 
bestehen vier Relationen, die sich aus den Gleichungen (13) des § 21 
herleiten lassen. Diese Gleichungen können wir nach der Be- 
zeichnung (1) in der Form schreiben: 

Man kann diesen Relationen, indem man in (2) |, ^ = ^i, tji 
und = ^25 ^2 setzt, die Form geben: 

wozu man noch fügen kann, indem man in (2) ^, 7] = 1^, tji 
setzt und (3) und § 21, (14) benutzt: 

(4) (Lris) = (t2Vi)' 



136 Vierter Abschnitt. § 41. 

Aus (3) und (4) folgt für die Doppelverhältnisse: 
/x^, (I2 Vs) (li Vi) ^ ^ 

^^ {^l%)(i2Vi) ^0%' 

^^ (Il'?3)(l2^.) ^^o' 

Wenn wir nun zwei der Gleichungen (1), etwa die beiden 
ersten, differentiieren,* so folgt: 

S^iiC'O'^nW^^* = V2(H — ^2dt] = {%d^), 
und daraus mit Benutzung von (1) 

2 ^01 (u) ^n (u) [^;i W ^11 (w) — -^ii (u) Ooi (w)] dw 

= inid^)^,{u) - {v2cU)nA^^) 

Den letzten Ausdruck kann man ohne Rechnung dadurch 
ableiten, daß man den vorletzten als lineare Funktion von ^|, dt] 
betrachtet, die für d^:drj = ^-.y] verschwindet und daher durch 
(|f?^/) teilbar ist. Den Quotienten (l2*?i) erhält man, wenn man 
d^'.drj = ^o:i]2 setzt. Mit Benutzung von § 23. (6) erhält man 
dann 

(7) 2:tö2^^^o(^O^i.O')^ioO')^oi(«)c7w = (I, yh)(tdy]). 

Führt man hierin nach (3) (erste und letzte Formel) 

(8) (ii^2)^o% -= ]'(h%)(hn7) ni 

ein, und setzt für die ^-Funktionen die Ausdrücke (1), so folgt 
schließlich 



(9) 2»»g„ci«= \(^"h)(i,>l.)i^d>l) 

V(I'J.}(|'/»(I'/3)(J'/,) 

wodurch du als ellii^tisches Differential erster Gattung 
in homogenen Variablen [§ 1, (5)] dargestellt ist. 

Es ist durch (1) das Verhältnis | : >; als doppeltperiodische 
Funktion von h bestimmt. Desgleichen sind aber auch die 
Verhältnisse der Quadratwurzeln 



(10) V(l'?0: va^2), n%h V(l>?4) 

als eindeutige doppeltperiodische Funktionen erklärt, und das 
Vorzeichen der Quadratwurzeln in (9) ist hierdurch und durch 
(8) ebenfalls eindeutig bestimmt. 



U = i ö, 


|:j? = ^,:r)y 


u = 0, 


1 : ^/ == I2 : '?2 


H = I, 


|:i; = ^s'-m 


1 +09 


^'•V = L'-^h 



§42. Jacobis elliptische Funktionen. 137 

Ist CO der Modul der 0' - Funktionen , so gehören, wie sich 
nach (1) aus dem Verschwinden der vier -^ - Funktionen ergibt, 
die folgenden Werte zusammen: 



(11) 



§ 42. Jacobis elliptische Punktionen. 

Da man die Variablen |, rj mittels einer linearen Substitution, 
in der vier Koeffizienten disponibel sind, durch zwei neue Variable 
ersetzen kann, so kann man vier von der Größe 1/, rji oder drei 
von ihren Verhältnissen beliebige Werte erteilen, ohne die All- 
gemeinheit zu beeinträchtigen. 

Wir wollen setzen 

(1) li = 0, y], = 0, ^3 = ^/3, 
und führen noch x2, x'^, ^ durch die Gleichungen an: 

(2) ^, = >c'ru, x'2 = l-x2, 4 = ^ 



(3) 



(4) 



(5) 



Aus 


§41 


,(3), 


(5), (6) ergibt sich dann 










" 


»So' 




^?0 

|9 = 




• " 


^^0 


aus 


(1), 


(9), § 


41 findet sich: 


















^01 00 


•v^ 














^01 
^10 


^10 00 
^01 00 












yi - 


t; 










^01 
-^00 


^00 ('0 _ 

^01 00 












yi- 


x^^ 








2;r 


^;io« 


^ 


dt 










^. ve(i 


-e)(i 


X- 


^ 


) 



worin der Integrationsweg und die Bedeutung der Wurzelzeichen 
durch die Formeln (4) selbst bestimmt ist, wenn der Übergang 



138 Vierter Abschnitt. § 42. 

von zu u in der it- Ebene gegeben ist. Es darf aber dann 
auch der Integrationsweg in (5) geändert werden, wenn dabei nur 

keiner der singulären Punkte oo, 1, — überschritten wird. 

Die Gleichung (5) läßt sich in folgenden drei Formen 
schreiben : 



(6) dil -S =— ;r^2^V^i;i-xn)^M, 

c?yi — x2^ = — Tr^^.x^yed — g)f?H. 

Führen wir eine neue Variable v ein durch die Gleichung 

(7) Ttd-I^U =z V, 

«0 werden die Gleichungen (5), (6): 

(8) V = - { ^^ 



ötyf = y(i_^)(l_xn)rfr, 

(9) fZ yi — e = — mi- x2e)fZ V, 

d yi — jc^ = — 3<2 vt(i — b) (^ ^•, 



und nun betrachten wir die drei Größen y^ = a, \ 1 — ^ = «/, 
yi — x2^ =r ^ durch (4) und (7) als Funktionen der Variablen v 
definiert. Nach (4) sind es eindeutige, doppeltperiodische 
und, abgesehen von einzelnen Punkten, in denen sie unendlich 
werden, stetige Funktionen von r. Sie werden nach Jacobi • 
sinus amplitudinis , cosinus amplitudinis, z/ amplitudinis von v 
genannt und mit sinam v, cosam v, z/ am v bezeichnet. Wir wollen 
uns hier der schon in § 14 erwähnten kürzeren Gudermann- 
schen Bezeichnung sn r, cn r, dn v bedienen, wonach 

^Ol(") 
/1A\ ■^10 W l/^ 



■9-00 (tt) _ _1_ 



dn 



§ 42. Jacobis elliptische Funktionen. 139 

Diese Funktionen genügen nach (9) den Differentialgleichungen 
dx 

= 112. 

av -^ ' 

(11) -f- = —zx, 

dz 2 

— _ — X xy, 

und den Nebenbedingungen: 

(12) snO = 0, cnO = 1, dnO = l. 
Es bestehen zwischen ihnen die Relationen 

(13) iß = \ — x\ z"- = 1 — Z2;r2. 

Aus den Fundamentaleigenschaften der ■O'-Funktionen ergeben 
sich die ersten Eigenschaften der elliptischen Funktionen: 

sn V = — sn ( — I'), cn v = cn ( — v), dn v ■= dn ( — v), 

d. h. sn V ist eine ungerade, cn c-^ dn v sind gerade Funktionen. 
Setzen wir noch 

(U) n^\^ = 2^, n%l^ci = 2iK\ 

und folglich 

(15) ir^l, = 2yi'K, 7r^2^ = 2xÄ', « = '-^': 

so erhält v die Werte K^ iK', K-\- iK\ wenn 2t = -, — , —^ — 
wird, und es folgt aus (4) mit Rücksicht auf (3) und § 21, (10): 

snZ = 1, sn(^-f-i£') = -' 

(16) cn5:=:0, cn(^-f «^') = — — ' 

dnZ = 3c', dn(Z -f iK') = 0, 
sni^', cni/i', dniK' = oo. 

Nun lassen sich K^ K' vermittelst (8) durch bestimmte 
Integrale ausdrücken, und man erhält, wenn man c von einem 
Eckpunkte des Parallelogramms 0, 7v, K -j- iK\ i K' bis zum 
folgenden längs der Peripherie verschiebt, also u längs 



0, ö 



1 \ ^ CO a 



2 2^2 



140 Vierter Abschnitt. § 42. 

(-) ^ = if " 



i_ 
(18) '-^' = 11 



(19) - -f«^ = ^ 





-0(1- 


^H)' 


ua- 


-0(1- 


^n)' 



2 I V^l_e)(l-xn) 



(20) - iK' = l 



dl 



2J Ve(l-e)(l-xn) 



Die Werte von |^, Vi — g, Vi — x2g sind bei diesen Inte- 
grationen durch die Formeln (4) bestimmt. Wenn aber a rein 
imaginär und infolgedessen x^ ein positiver echter Bruch und 
K^ K' reell und positiv sind, so sind die Wege für v der reellen 
und imaginären Achse parallel, und mit Rücksicht auf die Be- 
merkungen am Schluß des § 25 zeigen die Formeln (4) folgendes: 



In (17) sind V^^ Vi— ^^ Vi — '«H reell und positiv, 
„ (18) „ iT^ij l-t, ^ l-x^t „ „ 

„ (19) „ v^M' i-g. '^'Vi-^H „ „ 
„ (20) „ -M^ Vi-.'. Vi-^^? „ . 

und V^ ^^^ ^uf keinem der Integrationswege ein Maximum oder 
Minimum. Es können daher K, K' durch die vier folgenden 
reellen Integrale mit positiver Quadratwurzel erklärt werden: 

^ . 1 r dl _ 1 f dl 

2j v^(i - 0(1 - ^'i) ^1 \Ut - i)('^H - 1)' 

1 



x> = i( f^^ - 1 r dl 



2 1 V-^l-e)(l-^^0 2J ye(^-l)(l-x2t) 



§ 43. Die Jacobischen Funktionen &{v), H(v). 141 



§ 43. Die Jacobischen Funktionen 0(i), H(y). 

Wenn mau die ■^'-Funktionen der Variablen ii als Funktionen 
von V betrachtet, so erhält man die Jacobischen 0- Funktionen. 
Wir setzen 

Es sind dann 0(y), H{v) als Funktionen t(v, 2K, 2 K') zu be- 
zeichnen, und nach § 25 ist 

&{v) = 1 — 23 cos -^= — |- 2 g* cos —^ 2 q^ cos — ^^ 1 

(2) 

if(v) = 2 gl Sin 2"^ — 2g4sm-2-^ + 2g * sm-^-^ 



q = e 
Nach § 21 (8) ist 



TtK' 

K 



TlK' TCiv 



(3) 
Ferner ; 

(4) 



H{v) = —ie '^ ^^ @Cv -f iK'), 

TtK' niv 

&{v) == —ie~^^^^^H{v-\-iK'). 



^00(2^,«) = @{y^K), 
^10 (2^, ") = ^(^ + ^), 



wonach, mittels der Formeln (3), (10), (15) des vorigen Para- 
graphen und (5), § 23: 

^ ~ @{Ky ♦ ~ ®{Ky 

,5) ,0(i^)=|/?|, ^(0)=y^, EiK)=]/^, 

'^^ ~ 0(^) ~ ^ ;r ' 
endlich die Darstellung der elliptischen Funktionen: 



142 Vierter Abschnitt. § 44. 

H(v) 



®(v) 



Yii 



snv. 



(«) ^^^ = V^-- 



K 



& (v -^ K) 1 , 

— V>/ X — - = -^ an V. 

Die Funktion eu 0, H haben, wie aus (3) leicht folgt, die 
durch die folgenden Gleichungen ausgedrückte Periodizität: 

&{v ^ 2nK) = 0(y), 
(7) 

(8) 



n'^ n K' 



0(y -f- 2wiX') = (— l)"e ^ ^ &(v), 

H{v -f 2nZ) = (_l)"Ä(y), 



>i- n K' 



H{v -^ 2niK') = {—lye ^ k h(v). 

Es ist bisweilen nützlich, die Gleichungen (3), (7), (8) 
folgendermaßen zusammenzufassen : 

n'^niK' ninv 

(9) 0{v + niK') = ine~^'K~TK- w{v), 

worin, wenn n gerade, O und W beide gleich ® oder beide 
gleich U^ wenn n ungerade, ^ ==: 0, W =^ H oder <? = //, 
^ = zu setzen ist. 

Aus § 22 (2), (4) ergeben sich die Additionsformeln: 

02 (0) (m -f- v) &{U — V) = 02 (m) 02 (y) _ ij2 (^) ^2 (^)^ 

^ ^ 02(O)fi(M 4- v)hIu — t') = H^(u)®^(v) — 02(w)fi2(\-), 

wofür man auch schreiben kann: 

rin ®HÖ) ®(^ + v) 0(m — y) = 02 (^() 02(r)(l — x^sn«« sn2y), 
^ ^ 02 (Oj //(tt 4- r) H{u — v) = 02 (^,) 02 (r) ^ (sn2 yf _ sn2 v). 

Wir gehen nun dazu über, die Sätze über die -d'-Funktionen 
auf die elliptischen Funktionen zu übertragen und beginnen mit 
dem Additionstheorem. 

§ 44. Additionstheorem der elliptischen Funktionen. 

Aus den vier d- - Funktionen lassen sich im ganzen zwölf 
Quotienten bilden, die nach § 42 durch elliptische Funktionen 
ausdrückbar sind. Bildet man diese Quotienten für das Argument 
u -\- v^ so kann man diese nach § 22 durch -O'-Funktionen von u 
und von v einzeln, also auch durch die entsprechenden ellipti- 
schen Funktionen darstellen, und zwar immer so, daß der Nenner 



§ 44. Additionstheorem der elliistischen Funktionen. 143 

nur Quadrate von -9' enthält, also rational durch sn^ ;(, sn^ v aus- 
gedrückt wird. Nehmen wir, um ein Beispiel durchzuführen, die 
Formel (5j, § 22, und dividieren sie einmal durch (1) und dann 
durch (4) (indem wir das erste Mal in (5) v in — v verwandeln), 
80 folgt: 

&l, ^oo(w+y) 

^ »00 ('< ) ^11 (u) ^01 (v) »10 (v) — .%, ju) ^10 (u) »00 (ü) ^„ (v) 

und wenn man n, v ersetzt durch u:2K, v:2K, so kann man 
nach § 42 (10) alles durch elliptische Funktionen ausdrücken. 
Man erhält so 

, . sn (u -\- v) dmisniiGiiv -f- dnysni;cnw 

^ '^ dn (m -|- v) dn2 u dn^ y -\- x^ x'^ sn^ u sn^ v ' 

, . dn (u -[- y) dn tt sn n cn y — dn v sn y cn h 

^ ^ sn (« -^ y) sn^M — sn^t^ 

Auf demselben Wege erhält man aus den Formeln (6), (3), 
(4); (7), (2), (4); (8), (2), (3); (9), (1), (2); (10), (1), (3) des § 22: 

sn (u ~\- y) cn M sn tt dn v + cn v sn v dn ii 

cn2 u cn^ y — x'2 sn^ u sn- y ' 

cn u sn w dn y — cn v sn y dn tt 
sn2 H — sn2 y ' 

sn u cn y dn v -\- sn ^; cn m dn u 
1 — xäsn^Msn^t' ' 

sn u cn y dn y — sn y cn it dn ti 
sn^u — sn2y 

cn M cn y — sn w sn v dn m dn v 
1 — x^sn^ttsn^v ' 

cn u cn y -|- sn ii sn y dn u dn y 
cn* if cn2 y — x'- sn^ h sn^ y ' 

dn M dn y — x^ sn tt sn v cn m cn y 
1 — x^sn^Msn^y 



(y) 


cn («. -)- y) 


(4) 


cn (m -j- v) 
sn (w -j- y) 


(5) 


sn (u -\- y) = 


(6) 


1 


sn (u -\- v) 


(7) 


cn(tt -\- y) = 


(8) 


1 


cn (ii -j- y) 


(9) 


dn(it -j- y) = 



144 Vierter Abschnitt. § 44. 

1 dn u dn v -\- x^ sn u sn v cn ti cn v 



(10) 

(11) 
(12) 



dn (m -j- v) dn2 « dn2 v -\- k^jc'^ sn2 « sn2 y ' 

dn(it -|- v) dn u dn v cn tt cn ij -j- x'2 sn it sn v 

cn (ii -\- v) cn2|tcn2y — x'2sn2«sn2i' ' 

cn (u -\- v) dn w dn v cn w cn v — n'^ snusnv 

dn(w -|- v) dn2itdn2t! -|- }c2x'2sn2Msn2v 

Man kann noch mannigfache andere Formeln auf dieselbe 
Weise herleiten, unter denen wir die folgenden drei anführen, die 
sich durch Division von § 22 (4), (3), (1) durch (2) ergeben. 

/,ox / I A / ^ sn2|* — sn2r 

(13) sn (u -f- V) sn (u — v) = — r-, 

^ ^ V I / V / i — j{2ns-wsn2y' 

^, ,, . , X / N cn2t<cn2?; — >c'2sn2Msn2v 

(14) cn(« + V) cn(M — v) = — , 

\ y \ i y \ j Y — x2sn2nsn2v 

,,^- T / , N 1 / N dn2itdn2r -f- x2x'2sn2ttsn2i; 

(15) dnut -\- v) an{u — v) = '- 

^ -' V n^ / V / 1 — x2 sn2 1( sn2 v 

Die wichtigsten unter diesen Formeln sind (5), (7), (9), aus 
denen sich, wenn auch durch weitläufige Rechnungen, die übrigen 
alle herleiten lassen. Der Übersicht halber setzen wir sie noch 
einmal her: 

. sn M cn V dn v -\- sn v cn u dn u 

sn (m -|- V) = — 



(16) cn (ii + v) = 

dn(M -j- v) = 



1 — %'^sn^usn'^v 

cn ucnv — sn u sn v dn m dn v 
1 — x2 sn2M8n2t' ' 

dn u dn v — x- sn u sn v cn u cn v 
1 — x- sn2 n sn2 v 



Indem man je zwei dieser Gleichungen kombiniert, kann man 
ihnen unter anderen die Formen geben: 

cn(u -f- t')dnMdnr — dn(i< -|- r)cn»cnt' = — x'^smisnv 
dn(u -|- v)snu cnr — sn (m -|- i;)dnH = — cn^<sn^', 

sn (m -]- v)cnu — cn(M -\- v)snHänv = dnwsnv, 

cn (t( -\- v) cn u -\- sn {u -\- v) sn u dn v = cn v. 

Wir wenden die Formeln (16) zunächst an zur Feststellung 
der Periodizität der elliptischen Funktionen, die sich natürlich 
auch aus § 21 herleiten läßt. Setzt man in (16) r = +^, 
V = K ^ iK\ so folgt aus § 42 (16): 



§ 44. Additionstheorem der elliptischen Funktionen. 145 

cnu 



sn (« + ^^) = i 

X' sn ti 



du u ' 



(18) cn(u i Jf) = 4: 



dnw ' 



du(w 4- /t) ^ -i , 

^ ~ du H 

sn (/( -|- Ä -f- ^-''^ ) = — 



V, cn M 



(19) cn(« + iL + «Z') = ^-4- ^ 



Q (19) i< in w — 
sn (?( -|- ^'Ä"') = 



'/. cn « 

/ x' SU if 



cn ?t ' 
und wenn man in (19) u in w — K verwandelt: 

1 1 



(20) cn(t(. -f iK') = 



% sn y( 
i dn H 



Jt SU u 



Q.n{n -\- iK) = — i • 

^ snt( 

Die Formeln (20) zeigen, daß die drei Funktionen sn«, cn h, 
du« für u = iK' unendlich werden. Bildet mau die Quotienten 
je zweier von ihnen, so folgt: 

1 . sn « 

hm = i 

(21) . für u = iK'. 

,. SUM 

lim -^i — = t 
dn u 

Mit Hilfe der Relationen (18), (19), (20) kann man aus jeder 
Additionsformel drei andere ableiten, indem man u durch tt -|- K, 
u-\-K-[-iK\ u-{-iK' ersetzt, also die Vertauschungen macht, 
die in folgender Tabelle zusammengestellt sind: 

snw, CUM, dn^t, 



cn u 


%' SUH 


%' 


Ann ' 
1 Anu 


Ann ' 
iy.' 


dnit ' 
i X ' sn u 


V. cn u ' 
1 


%Q,nn ' 
— i dn u 
xsntf ' 


cnw ' 
— i cn w 


V. sn u ' 

reber, Algebra. III. 


sn u ' 
10 



146 Vierter Abschuitt. § 44. 

und dieselben Vertauschungen auch auf sn (u + w) , cn (u + ü), 
dn (u + v) anwendet. So ergeben sich z. B, die zwölf Formeln 
(1) bis (12) aus den drei Formeln (16). 

Wendet .man diese Vertauschungen auf die Relationen (18), 
(19), (20) selber an, so ergibt sich: 

sn(u -{- 2K) = — mi(, sn(u -\- 2iK') = snii, 
(22) cn(it -{- 2K) = —cnu, cn {ii + 2iK') = — cn«, 
dn(« -{- 2K) = dnw, dn(^* + 2iK') = — dn«. 

Die gemeinschaftlichen Perioden dieser drei Funktionen sind 
also 4:K, 4:iK'; außerdem hat aber snu die Periode 2iK\ 
dnu die Periode 2K, cum die Periode 2K -\- 2iK'. 

Wir geben nur dem Satz über 0- Funktionen (§21) einen 
anderen Ausdruck, indem wir den folgenden Satz aussprechen: 

Jede doppelt periodische Funktion von v mit den 
Perioden 2 Z", 2iK' (die überall den Charakter einer 
rationalen Funktion hat) ist, wenn sie eine gerade 
Funktion ist, eine rationale Funktion von sn^y, und 
wenn sie eine ungerade Funktion ist, das Produkt von 
snf cnydnv mit einer rationalen Funktion von sn^v. 

So kann man jeden Satz, der sich auf homogene Funktionen 
nuUter Ordnung von -ö- - Funktionen bezieht, in einen Satz über 
elliptische Funktionen verwandeln, und erhält daraus wieder ent- 
sprechende Sätze über elliptische Integrale. Man erkennt sofort, 
daß die Additionsformeln (16) keine anderen sind, als die For- 
meln (17) des § 13 im ersten Abschnitt. In derselben Weise liefert 
uns die Transformationstheorie der O'-Funktionen eine Lösung des 
Jacobischen Transformationsproblems der elliptischen Integrale, 
wie wir es im § 8 dargelegt haben. 

Wir wollen dies an den beiden Haupttransformationen zweiter 
Ordnung nachweisen, die wir im § 32 ebenso wie im § 9 als 
Gau SS sehe und Landen sehe Transformation bezeichnet haben. 
Nach § 32 ist für die Gausssche Transformation 

fr.o(o.|)»n(»,f) ^ 2 »„.W »..(,.) 



(24) 



2 
2 »,„*„„ 2Vx 



*..(o,|J 



§ 45. Die lineare Transformation der elliptischen Funktionen. 147 

(25) ^00 (o, I)' = no + ^ro = (1 + ^)no- 

Nach § 42 erhalten wir also eine Beziehung zwischen ellip- 
tischen Funktionen mit zwei verschiedenen Moduln, und es ist, 

wenn A, L, L' aus x, K, K' durch die Vertauschung [oj, —\ 

hervorgehen, nach (23), (24), (2.5) 

(26) ^=1^, L = (l+x)Z, L' = (l + x)Z' 

(27) sn[(l + x)., A]=ililiÖ^^ 

wenn der Deutlichkeit halber der Modul unter dem Funktions- 
zeichen sn als zweites Argument mit aufgeführt ist. 
Für die Landensche Transformation ist 

»n(2M, 2(a) ^ ^io(«)»n(^0 
'&oi(2«, 2«) ö-oo(n)'^oiOO' 
^01 (0, 2 03)2 _ 2>»oo-»oi _ 2yV 



^oo(0, 2«)2 ^io+^o'i l + 5f" 

2^2^(0,2«) = (l-f-x')^2^, 

daraus, wenn A, A', L, L' durch die Vertauschung (co, 2«) aus 
X, x' Z, ^' entstehen: 

2L = (1 + x')i:, Z' = (1 + x')/!', 

/0Q\ r/1 I i\ -n (1 + J«')snycnv 
(29) sn[(l + x)v, A] = ^ — —^ ' 

und in (26) bis (29) erkennt man nach § 42 die Formeln (2) 
und (4) des § 9. 



§ 45. Die lineare Transformation der elliptischen Funktionen. 

Die Einwirkung der linearen Transformation auf die ellip- 
tischen Funktionen übersieht mau am besten aus der Darstellung 
durch die ö-Funktionen. Man erhält aus (4) oder (10), § 42 und 
den Formeln (4), (6) des § 37: 

10* 



148 "Vierter Abschnitt. § 45. 

«1 2Ku 6(u) 

sn — 



(1) cn 



2K «1 öoi (w) 

2Kn _ öioOO 



CO, 



«''oi (") ' 



, 2Zh 000 (") 

an = — M 5 

oder auch, indem man von der Honiogeneität der ö- Funktion 
Gebrauch macht [§ 37 (8)]: 

_ 6{v, 2/C 2iK') 

(2) cn. - '^oi^r^^^^^^') 

~ öoi(v, 2K, 2 iE') 
Die auf der rechten Seite von (2) vorkommenden ö- Funk- 
tionen hängen nur von den beiden Variablen «;, w ab und es 
kommt zunächst darauf an, die Änderung dieser Funktionen bei 
Anwendung der Fundamentaltransformationen 

(«, ö + 1), (^ö, — -) j 

zu bestimmen. Wegen ' 

TTd-^^ = 2K, 2iK' = 2ciK j 

erhält man aus § 31 (6) und (11) die entsprechenden Änderungen: 
w, 2K, 2iK', 

03 -f- 1, 2yi'K, 2x'(^4-«'Z'), 

— — , 2K\ 2iK, jc', X. 

Setzt man für den Augenblick: 

f{ü, co) = 6{v, 2K, 2iK'), 
so ergibt sich: 

/•(y, ö -[- 1) = ö[y, 2x'K, 2x'.{K ^ iE')] 

= ö(y, 2k'E, 2%' iE') [nach § 35 (7)] 

= x'ö (-,, 2E, 2 iE') [nach § 37 (8)], 

/•(^', -^) = ö{v,2E\2Uq 

= ö(y, —2iE, 2E') [nach § 35 (7)] 
= —i6{iv, 2Z, 2 iE) [nach § 37 (8)], 



Jt, 


JC' 


^■3f 


1 


x" 


JC' 



§ 45. Die lineare Transformation der elliptischen Funktionen. 149 

und wenn man für die drei übrigen ö - Funktionen das ent- 
sprechende macht und § 36 (7) berücksichtigt, so erhält man die 
folgenden zusammengehörigen Vertauschungen : 

03, ö{v), (Jo„(t;), <?oi(v), öio(^), 

(3) « + 1, .'ö{^), öo.(^), <^oo(^), ö.o(^), 

— — , —i6(7v), öoo{tv), öio(ry), (Joi(«>), 

worin die Perioden 2K, 2iK' sind. Daraus folgen nach (2) die 
beiden ersten linearen Transformationen der elliptischen Funk- 
tionen : 

sn y 



sn(x'.,i^:) =:X' 



dn y 

ty.\ cn y 



sn (^ y, ■/.') = i 
(5). cn (i y, x') = 



\ ' x'/ dny 

sn y 
cn y ' 
1 



dn (^ y, x') = 



cn y 

dn y 



cn y 

Die erste Formel (5) zeigt nach § 44 (21), daß sn(y, x') = 1 
wird, wenn y = K' wird. Daraus ergibt sich nach § 42 (17) die 
zweite häufig gebrauchte Darstellung für K': 

(6) i"=l^ « 



2JV6(i-5)(i-x'H) 



Aus (4), (5) erhält man die übrigen Fälle der linearen Trans- 
formation durch wiederholte Anwendung. Setzt man in (4) iv, x' 
an Stelle von v^ x und wendet (5) an, so folgt: 

/ . I x' \ . sn y 

sn I * X y, — ] = tx. -r: , 

\ X / dn y 

^^^ cn(.xy,^)^ -^1^, 

, / . i%'\ cn y 

du i X y, 



X / dny 



150 Vierter Abschnitt. § 46. 

IK 1 

Ersetzt man umgekehrt in (5) v, x, x' durch tc'v, — ^, — ^ und 

wendet (4) an, so folgt: 

1 \ . , snv 



(8) cn ii'A'v, 



% / cn r 

1 \ dnv 



X / cn -y 

dn ( i x' r, — r ) = i 

\ X / cn V I 

Ersetzt man hierin wieder v durch iv und x, x' durch x', x i 
und wendet (5) an, so findet man: 

sn (x^;, — j = X sn V, 
(9) cn(xi', — j = dnv, 

dn ( xf, — j = cn V, 

womit die sechs Klassen der linearen Transformationen erschöpft 
sind, da eine noch häufigere Wiederholung zu keinen neuen i 

Formeln Anlaß gibt, I 

1! 

?l 
§46. Die Weierstrasssche ^-Punktion. i 

Die linearen Transformationen der elliptischen Funktionen 
legen es nahe, eine elliptische Funktion zu suchen, die, wie die 
-Funktion selbst, den linearen Transformationen gegenüber un- 
veränderlich ist. Um eine solche Funktion zu bilden, setzen 
wir zunächst die Gleichungen (1) des vorigen Paragraphen in 
folgende Form: 

(5io(tt) 2K cnv 

6 (u) Ol sn V ' 

(?oo (u) _ 2K dnv 
^ ^ 6 (i() «1 sn V ' 

(5o>) ^ 2K 1 
ö (u) «1 sn V ' 

worin zur Abkürzung 

(2) .= ^ 

gesetzt ist. Hieraus schließt man mit Hilfe der Relationen 



§ 4G. Die Weierstrasssche p -Funktion. 151 

cn2y = 1 — su2y, dn^v = 1 — n^sn^v, 

Ö2(h) ü2(w) Ojf ' 

Es lassen sich daher drei von u unabhängige (also nur von 
cj^, 032 abhängige) Größen e^, 6^21 ^s so bestimmen, daß 

'^'^^ ö2(h) ^ ^^ ~ ö2(^) -^ ^2 - ^2 (4t) ^ ^3 - p{^ih 

worin « (h) eine durch (3) neu definierte, doppelt periodische 
Funktion ist. Die Größen e^^ e^^ e^ können irgend welche sein, 
wenn sie nur den Bedingungen 

(4) Ci — 63 = —.-, 62 — 63 = — -j- >£' 

genügen. Es steht uns also frei, zur völligen Bestimmung der- 
selben noch die Bedingung 

(5) e^ 4- 62 + 63 = 

hinzuzufügen. Dann ergeben sich für ßj, gg, 63 folgende Aus- 
drücke : 



(6) 



Die Funktion p (w), welche die Perioden «j, cjg besitzt, wird 
hiernach durch (1) ausgedrückt: 

/ N 4Ä^2 / 1 1 + X2\ 

Die Funktion (tt) hat die gewünschte Eigenschaft der Un- 
veränderlichkeit bei linearen Transformationen, wie man aus dem 
Ausdruck 

(8) p («) = ^ «;.(") + oiM + ou«) 

erkennt. 

Infolge von (3) vertauschen sich die e^, e^^ e^ bei einer linearen 
Transformation in derselben Weise wie die (J^o, öooi ^o\ j ei^ie sym- 
metrische Funktion derselben ist daher bei einer linearen Trans- 



^1 


= 


4rK' 1 


4- 
3 


X'2 

1 






= 


4Ä2 

«1' 


x' 


2 


X2 


C2 




3 




p. 




4^2 


1 


+ 


X2 



]^52 Vierter Abschnitt. § 46. 

formation ungeändert und wird eine Invariante genannt. Es 
gibt deren zwei fundamentale, die wir mit (/g, (j^ bezeichnen: 

(9) r/2 = —4(^2^3 + e,e, + e,e.^ = 2(ef + e| + e|) 

(10) ^3 = 4e.p,e3 = 1^ ^(2 + x2x'2)(x'2 - x2), 

und wir fügen noch die unter dem Namen der Diskriminante 
bekannte Funktion bei: 

(11) G = (e, - esYie, - e.yie, - e,)^ = ^(g,^ - 27 (/|) 

(2Z)i2 

wofür nach § 43 (3), (15) und § 34 (2) auch gesetzt werden kann: 

(12) G = ^'-'^nCo^" 



a 



p(u)^ (/o, r/g, G sind homogene Funktionen, wie folgende Rela- 
tionen zeigen, worin A ein willkürlicher Faktor ist. 

^^(Ait, AoJi, Awg) = ''■""^^(w, tt>i, cja), 
^<?'(Atf, Ao3i, Awi) = l-^p'{u, C3i, Wg), 

(13) 6^2 (^«n ''■"2) = 'l-~\^/2(öli «2)1 

(73(Awi, Aoja) = A-ef/3(a3i, cöj), 
6r(Ac3], Aojo) = A— ^2 (7 (ajj, «a)- 

Setzen wir, wie in § 45 (2) 

«1 = 2K, CD2 = 2iK', 
so wird 

1 + X2 



1 + x'2 

3 ' ^^ " 


=r 


X'2 — 3<2 


3 


|(1--^^'/^) 




i/3 = ^(^ 




G 


= x4x'■^. 



3 ' 

^^^^ ^, = |(l--/2^/2), ^3 _^(;,'2_.^2)(2 + X^x'2), 



Wenn wir co^ aus den allgemeinen Ausdrücken (9), (10), (11) 
für ^0, gsi G- eliminieren, so erhalten wir homogene Funktionen 
nullter Ordnung, also Funktionen von oa allein, die bei linearen 
Transformationen ungeändert bleiben. Solche Funktionen 
sind (j'^-.G^g^-.G. Wir heben unter diesen Funktionen, die sich 
alle aufeinander zurückführen lassen, eine hervor, die wir mit 



^ 47. Die elliptischen Transzeudenteu zweiter Gattung. 153 

j(g)) bezeiclmeu und schlechtweg die Invariante nennen und 
so definieren: 

(lo) 1(G)) = 2^ ; — ^—, 

woraus wir erhalten; 

— ^=^(«), 

^■^^^ 4.27.27^1 ., ^ ^„ ^^ 64.(2 + x2 ^'2)2 (z'2_x2)2 
— ^ = y(a>) — 2< .64 = !^ —-4-^^ ^-^ 

Als Funktion von x^ betrachtet, hat die Funktion i(«) die 
Eigenschaft, ungeändert zu bleiben, wenn x^ durch einen der 
sechs Werte 

,,,11 X2 X'2 

' ' X2' X'2' X'2' ^ 

ersetzt wird. 

Wenn wir nach (7) den Differentialquotienten der Funktion 
(0 (n) bilden, so erhalten wir 

^7^ . ' (u\ = ^^^' ^^ ^ ^^ ^ _ o <?oo (^0 ^1 (^0 »^01 00 
^ ^ P ^ J cy^ sn3y " ö(h)3 

und daraus nach (3): 

(18) ^o'{u)^ = ^[p{^^) - e^][p{^^) - e2]Uo («) - e,] 

= 'ip (ity — (ji p {u) — i/3 , 

oder endlich 

(19) du _ ^ P 



woraus man ersieht , daß die Funktion p (ii) in derselben Be- 
ziehung zur Weierstrass scheu Normalform des ellij)tischen Diffe- 
rentials steht, wie die Funktion snt? zu der Legen dreschen. 

§ 47. Die elliptischen Transzendenten zweiter Gattung. 

Jacobi hat als Transzendente zweiter Gattung die Funktion 

_ &'{v) _ d\og@{v) 
^^^ ^^'^ - -@{v)- dv 

eingeführt. Die Beziehung dieser Funktion zu den elliptischen 
Integralen zweiter Gattung ergibt sich aus der Formel (16) des 
§ 2.3, wobei gleich bemerkt sei, daß ganz ähnliche Betrachtungen 
an die dortigen Formeln (15), (17), (18) anzuknüpfen wären, die 
aber nicht zu wesentlich neuen Resultaten führen. 



154 Vierter Abschnitt. § 47. 

Setzen wir dort v:2K au Stelle von v , so ergibt sich aus 
§ 42 und 43: 
^2^ ^^log0(^) _ 1 ^01 ,,,,,,,,. 

Wir setzen 
(3) 



dv'^ 


- 4Z^ ^oa 




-4x4: ^+^^^^^ 




, ^ö'i £' 




4^2^01 ~~ X' 



und erhalten durch Integration von (2) 

d\og®{v) .,, , E 1 f 1 „ , 

^ — ^^^ = z(v) = — itV -[- \ (m^vdv. 

dv ^ ^ K ^ j 



oder indem wir 

V 

(4) E{v) = [ dn^vdv 



setzen : 

(6) Z(.) = £(.)_|., ^ = dnH.-|. 

Die Funktionen ©(^i) und @{v -j- X) sind gerade Funktionen 
und daher ist 0'(O) und @'{K) =r 0. Wenn wir also in (5) 
V = K setzen, so folgt: 



(6) ^ "= f ^^^^' 



K 

'dv. 
b 

Führt man noch für dv das Differential 
1 dt 



2 V^l_e)(l-x2e) 
ein [§ 42 (8)], so erhält man für E(v) ein elliptisches Integral 
zweiter Gattung (§ 11): 

(7) m = U. "^^'-"'^^ , 

2 J i/g(i_s)(i _x=5)' 



(8) £ = i f dt(l-.H) 

^1 VS(i-£)(i-''-n) 



WO letzteres Integral in demselben Sinne zu nehmen ist, wie 
^ 42 (17). 



§ 47. Die elliptischen Transzendenten zweiter Gattung. 155 

E(v) und Z(^v) sind ungerade Funktionen des Arguments. 
Aus dem Additionstheorem der 0-Funktion [§ 43 (11)] ergibt 
sich durch logarithmische Differentiation: 

(9) Ziu + v) + Z(u - V) = 2 Ziu) - ^_,,,^,„,^,, . 

(10) Z(u + v) - Z(u-v) = 2Zic) - 2x«-sn^«sn»cnrdEr 



1 — x2 sn2 u sn2 r 
Hierin kann Z auch durch E ersetzt werden und durch 

Addition ergibt sich [§ 44 (16)]: 

(11) E(u) -f- E(v) — E(u -\- v) = jc2sntfsnvsn(w -f- v). 

Hieraus erhält man die Periodeneigenschaften der Funktion 

E(ii), wenn man v = +-2, K -\- iK' setzt. Man kommt aber 

auch auf folgendem Wege dazu. 

Aus der ersten Gleichung § 43 (3) folgt: 

rfM£) = z(, + iK') + i|, 

und demnach aus § 43 (6) und § 42 (11): 

v/ I -x-A -7^ \ I cnvdnt? \in 

Z(V -f iE') = Z(V) -\ jr-^, 

(12) 

v^ \ jr\ ry( \ Ji-snvcnr 

und wenn man in der ersten dieser Formeln v = IL setzt: 

(13) Z{K-^iK') = -^^ 

Durch zweimalige Anwendung der Formeln (12) [mit Rück- 
sicht auf § 44 (18), (20)]: 

(14) Z{y ^ ^iK') = Z{v) -'^, 

Z{v-^1K) = Z{v). 
Überträgt man diese Gleichungen auf die Funktion E(r\ 
so folgt: 

r-/ I ■ T^,\ 77/ \ I cnfdnr lEK' in 



(15) 
(16) 



E{y -\- K) = E{v) + E ^— — 

E{v + 2.7.-) = E{r) + ^^' - % 
E{v + 2/Q = ^(r) + 2E. 



156 Vierter Abschnitt. § 48. 

Wenn wir in (15)^ = K setzen und eine Größe E' durch 
die Gleichung definieren: 

(17) E{K + iK') = E -^ i{K' — E'), 

so erhält man die unter dem Namen der Legendreschen Rela- 
tion bekannte Formel 

(18) EK' + KE' — KK' = j- 

Die Bedeutung der hier eingeführten Größe E' erkennt mau, 
wenn man die Legen dresche Relation auf einem zweiten Wege 
ableitet, mit Benutzung einer der linearen Transformationen. 

Es ergibt sich, wenn man in § 31 (11) setzt: 





» - 2A-' " 


~ K 


M ?' 




CO — 2iK" 


nach § 43 


(1), (i)-- 

71 V'^ 






(19) 


fKe ''''" 0(? 


r, ■/) -- 


= \K'H{o-^ iq, 


und daraus durch logarithmische Differentiation 


(20) 


iZ('n\'/) = 


71 r 
2KK' 


H'{v + K) 
-^ H{v + K) 


oder nach 


§ ^3 (6) 






(21) 


i Z{i t\ '/.') = 


TtV 


4-z(.)+'^:r^ 


2KK' 


Es ist 


aber nach (5) 








.dZ{iv,K') _ 


- — dn 


2(ir. 'a'\ 4- -^' 



I 



" dv " ^ ' ' ' K' 

wenn jetzt E' die Bedeutung hat: 



E' 



(22) ^' ^ \ d»H^''^')<^y' 

V 

alßo aus E durch Vertauschung von z mit jc' hervorgeht. Setzt 
man aber in (21) v = 0, nachdem man zuvor differentiiert hat, 
so ergibt sich wiederum die Relation (18), woraus folgt, daß E' 
beide Male dieselbe Größe ist. 



§ 48. Die elliptischen Transzendenten dritter Gattung. 

Wenn wir die Formel (10) des vorigen Paragraphen: 
&'(u -\- v) S'{u — v) __ y, 2x2sn2?(sn?7cnrdn/; 



§ 48. Die elliptischen Transzendenten dritter Gattung. 157 

in bezug auf « integrieren, so folgt: 






^sn^ttsn^v 





(?t(, 



und wir können noch die auf gleiche Weise [aus § 48 (U)] her- 
zuleitende Formel: 

n 

,„. 1 1 i/(if^ — u) , ry, ^ r sn y cny dn-ütZw 

(2) - log -777 — i { -4- ^iZ(v) = 



hinzufügen, die übrigens auch aus (1) abgeleitet werden kann. 
Wir setzen nun mit Jacob i 

(3) ^Hit, n = ^ du. 

^ ■ ^ ' ^ J 1 — x2sn2wsn2y ' 



und nennen /7(«, r) die Transzendente dritter Gattung mit 
dem Argument u und dem Parameter v. Ersetzt man dn durch 
den Ausdruck: 

und sn2« durch ^, so ergibt sowohl (1) als (2) ein elliptisches 
Integral dritter Gattung, wie wir es in § 11 kennen gelernt haben. 
Aus (1) folgt zunächst 

(4) // (h, V) — u Z{v) = n {v, «) — V Z{it), 

oder der Jacobische Satz über die Vertauschung von Argu- 
ment und Parameter. 

Die Funktion 77 («t, v) verschwindet, wenn v = K oder 
V = K -{- iK' ist , weil für den ersteren Wert cn v , für den 
zweiten dn?; gleich Null ist. Setzen wir daher diese Werte für n 
in (4) ein, so folgt 

77 (Z", v) = KZ{v) 

^""^ n{K + iK\ ,) = {K + iK')Z{r) + ^ [§47, (13)], 

wodurch die vollständigen Integrale dritter Gattung auf die 
zweite Gattung zurückgeführt sind. 

Wir wollen noch das Additionstheorem der 77- Funktion ab- 
leiten, das Jacobi in den Fund, nova art. 53 — 55^) in ver- 



') C. G. J. Jacobis gesammelte Werke, Berlin 18S1. Bd. I, S. 204. 



158 Vierter Abschnitt. § 48- 

schiedenen Formen gibt, die nur mühsam aufeinander zurück- 
führbar sind. Zunächst erhalten wir aus der Definition (1), wenn 
wir den Parameter jetzt mit a bezeichnen: 

n{ii -f- v^ a) — /7(«, a) — 7T(v, a) 
(6) __l. & (n -\- V — a) (ii 4- a) {v -\- a) 

— 2 ^^0 {n 4- y + a) &{n — a)0{v — a) ' 

und es handelt sich noch darum, den unter dem Logarithmus 
stehenden Ausdruck durch elliptische Funktionen darzustellen. 

Dies geschieht zunächst leicht, wie an der erwähnten Stelle 
der Fundamenta, mittels der Formel [§ 43, (11)]: 

02(O)0(m -\- v)0{(( — u) = 02(?<.)02(yj[i _ x2 sn2 if sn2 ^;], 

wenn man darin für tf, v setzt u i c/, y + a, dann + «, u -\- v :h a. 
Man erhält so: 

02(Oj 0(m -\- V ±2 a)0{u — v) 
= 02(?f ± a)0^{v ±a)[l — }f2sn2(M ± rt)sn2(ü + a)], 

02(0) 0(h -f y + 2a)0{u + v) 
= 02(a)02(^t -|- y + a)[l — x2sn2asn2(M + v ± a)], 

woraus folgt: 

0{ii -f y — a)0{u 4- a)0(v + a) 
/y\ 0(?« -[- V -\- u)0(u — a) 0(y — a) 

1 /[l — X- sn2 (tt — a) sn2 (y — «)] [1 — x2 gii2 ^^ g^s (^^ _j_ ^ _|_ q,,)] 

~ (^ [1 — x2 sn2 (ii -f- a) sn-' (y -f «)] [1 — x2 su2 a sn2 (« + y — a)] ' 

Einen zweiten Ausdruck erhält man aus der Additionsformel 
(13), § 22, die mau so darstellen kann: 

0(0) 0(« + «) 0(y ± a) 0(u + v) 
= (u) (y) (a) (u -|- -y dz a) [1 + x2 sn a sn u sn v sn (m -j- v dl a)], 

woraus durch Division: 

. 0(1^-]-^ — a)0(tt + a)0(y-|-'^) lH-x2snasn«snysn(«-|-y+a) 

^ ^ 0(ii-]-v-\-a)0(u — a)0(v — a) 1 — x2snasnMsn'ysn('H-|-'y — «) 

Jacobi gibt noch einen dritten Ausdruck für die ©-Quo- 
tienten in (6): 

^l-x2sn2^'*" 






§ 48. 



Die elliptischen Transzeudenten drittel' Gattung. 



159 



Die direkte Überführung der drei Ausdrücke (7), (8), (9) in- 
einander gelingt am einfachsten, wenn man von der von Jacobi 
zuletzt gegebenen Formel ausgeht: 

1 — x2 sn (ci -f- u) sn (a — u) sn {a -\- v) sn (« — v) 
(10) _ (1 — x2 sn* a) (1 — x2 sn2 u sn^ v) 

(1 — '/2sn2asn2j()(l — x2sn2asn2v)' 

Die Verifikation dieser Formel ist darum leicht, weil man 
mit Hilfe von § 44, (13) rechts und links rationale Funktionen 
von sn2|(, sn2v erhält, deren Identität unmittelbar ersichtlich ist. 

Ersetzt man in dieser Formel 



durch 



so ergibt sich 



II -j- V 



ib «1 



1 + x2sntt8n ysnasn(H -j- v i a) 



--(^•): 



1 — ^2 sn2 



sn^ 



ll-\^V 



1 — x2sn2 



') 



sni* 



u — V 



1 — x2sn2 



u-[-v\ o/w-f-v 



^)sn2(! 



2 y" V 2 — 

und wenn man die beiden hierin enthaltenen Formeln durch- 
einander dividiert, so ergibt sich die Übereinstimmung von (8) 
und (9). 

Setzt man in (10) v = «<, so ergibt sich: 

,,,, , / , N „/ N (1 — x2sn'*a)(l — x2sn'*t0 

(11) 1 — x2sn2(a4-i()sn2(a— ;() =^ — —^ —^ — -^. 

^ ^ \ I / V / (^ — )f 2 sn2 a sn2 i()2 

Ersetzt man hierin 



zuerst durch 



sodann durch 



2 



i «, 



±a, 





u 




n 


+ 


V 




2 




u 


— 


V 



so ergeben sich vier Formeln: 

1 — x2sn2asn2(u -[- y + o) 



b- 



x2 sn* I -^^— ± a 



1 — x2 sn* 



■?( -f- y 



1 — x2 sn2 1 —I— + (/ j sn2 ^— 



160 Vierter Abschnitt. § 49. 

1 — x2sn2(« ± u)sn^(v ± a) 
[l _ ,.sn. ('-i±i' + «)] (l - x'su-'-^') 

woraus sich die Übereinstimmung von (9) mit (7) ergibt. 

§ 49. Die Transzendenten zweiter und dritter Gattung 
von Weierstrass. 

Es sind nun noch die Transzendenten zweiter und dritter 
Gattung in der Weierstrass sehen Form aufzustellen. Zu der 
ersteren gelangen wir ähnlich wie in § 47 durch zweimalige 
Differentiation von logö(?<). Es ergibt sich so aus 

n\ 'ii »- 11 \7^ } 

^^^ öOO = CO, e -' -^ß^ [§ 37, (4)], 



rfMoggQO 2,. , '''^°g^"(ä) 



^ + 






uhd also, wenn man den '^■-Quotienten nach § 42 durch elliptische 
Funktionen und diese nach §46 durch die -Funktion ausdrückt: 

cP\og6{u) 



du^ 



= A — piu), 



worin A eine Konstante ist. Diese findet man aber, wenn man 
die Gleichung nach § 46, (8) so schreibt: 

6"{u)6{u) - 6'{u)6'{u) = Aö^(n) - I [61, 00 + öl, (u) + öl, (u)]. 
Wenn man hierin zweimal differentiiert und dann u = 
setzt, so ergibt sich .1 = [§ 35, (12), § 37, (5), (7)], und wir 
erhalten : 

(^) '-'^^^ = -.<'«. 

eine Formel, die bei Weierstrass zur Definition der 0- Funktion 
dient. 



§ 49. Die Transzendenten zweiter u. dritter Gattung v. Weierstrass. 161 
Wird also 

(3) "-?! = i{n) 

gesetzt, so ist %{%C) eine eindeutige Funktion von a, und zwar ein 
elliptisches Integral zweiter Gattung: 

(4) g(iO = -\^o{}^)du = -\-==£l£=^ [§ 46, (19)], 

worin die additive Konstante dadurch bestimmt ist, daß t,{u) 
eine ungerade Funktion sein muß. Die Periodizität der g-Funk- 
tion ergibt sich aus den Periodengleichungen der ö- Funktion 
[§ 35, (9)]: 
. . - ^(^ + öl) — ^(«) = 2»/i, 

^^ e(H + «2)-e(«) = 2.?,. 

Es sind also 2 r]^ und 2 r]^ als vollständige Integrale zweiter 
Gattung (analog den jE", E') dargestellt: 

(6) 2 r?i = —\p («) d W' 2 r/2 = — j ^o (m) ^ it 

u u 

mit der der Legendreschen Relation entsprechenden Gleichung 

(7) r],cö^ — rj^co, = Tti [§ 35, (10)]. 

Um die Additionstheoreme für die Weierstrass sehen 
Transzendenten zu bilden, gehen wir von der ö- Funktion aus. 
Für diese erhalten wir aus (l) mit Benutzung der Additions- 
formel für ^11, § 22, (4): 

daraus durch logarithmische Differentiation: 

e(w+y)-e(w-^)-2^iO- ^ 



(10) ^(H + ^) = ^n) + e(r) + 



1 ^^'(«) - p'i'') 



2 p(u)—p{v) 

Hieraus leitet man durch abermalige Differentiation das 
Additionstheorem für die ö- Funktion her. Man erhält aus (9) 
durch Differentiation nach « und v: 

Weber, Algebra. III. ii 



]^ß2 Vierter Abschnitt. § 50. 

2p{u + V) -2piu - V) =-[;^(,,)_^^(.)]2' 

und indem man addiert: 
Es ist aber 

woraus man erhält: 

(11) ^(„ + „) + j^(„) + ^(.) = j (S-L^—L^) , 

in Übereinstimmung mit der Formel (21), § 13. 

Endlich erhält man noch durch Integration der zweiten 
Gleichung (9) in bezug auf u: 

u 

1 , (J(y — h) , ^, . 1 (• p'iv)du 



wodurch ein Integral dritter Gattung vom Argument u 
und dem Parameter o durch die ö- Funktion ausgedrückt ist. 

Eine andere Form des Integrals dritter Gattung erhält man 
durch Integration von (10): 

^ ^ ° ö(H)(J(f) '^ ^ 2J jp(M)_p(y)' 

§ 50. EntWickelungen der elliptischen Funktionen. 

Setzt man in den Entwickelungen der Theta-Quotienten, die 
in § 26 abgeleitet und in der Tabelle II zusammengestellt sind, 
a = 0, so erhält man, wenn man zunächst die Formeln, die 
0-11 (a) im Nenner enthalten, wegläßt, die Partialbruchentwicke- 
lungen von zwölf elliptischen Funktionen: 



§ 50. Entwickelungen der elliptischen Funktionen. 163 



sn 2 K u , 


cn2K u , 


dn 2 ^^t , 


1 


cn2 Ku 
sn2Äw' 


dn 2 ^n 


^n2 Ku' 


sn2iL«' 


1 


sn2 Ku 
cn2 Ku' 


dn 2 iCit 


cn2 Ku' 


cn 2 Ku ' 


1 


SU 2 Ku 


cn 2 iiT^t 



dn 2 Ku' dn2 Ku' dn 2 Ku 

So ergibt sich aus der Formel (2), Tabelle II: 

^i'^^'^ = c^oig7tu-2i2:{-\fr(^r^ ^ ^ 

m 

+ I . • o ^ (— i)^r 

= cotff ;r w + 4 sm 2 :n^ M > ^--^^ ^-^-^ -. — s— , 

worin m die Reihe der positiven geraden Zahlen 2, 4, 6, 8, ... 
durchläuft. 

Es ist aber nach § 42, (4) 

•9'jo(w) d'QQGn2 Ku 

^u (ii) ~~ ^ sn2^it ' 
und daraus ergibt sich 

m 

.^.2Kcn2KH . , , ■ o ^ (— 1)V 

(1) TT-FT- = cotsiTtK 4-4sin2ÄH >, , —^ ^^-^ — ■ — -— • 

^^ :!t sn2 Ku ^ ' ^^ 1 — 2g"'cos:nrM + (^2m 

Wenn man in der Formel (2) der Tabelle III das gleiche 
Verfahren anwendet, so erhält man: 

2 K cn 2 Ku , , , ^^ . ^\~ -^ ■ 

^ „ = cotgTTt« + 4 > ( — 1)^ q ^ smTtmu. 

7t s,n2 Kn ° ^^-^ ^ 

Hierin durchlaufen 7)i und ni' voneinander unabhängig die 
Reihen der positiven geraden Zahlen, und es läßt sich die 
Summatiou in bezug auf m' noch ausführen: 

m' m m' „j 

also: 

,_, 2Zcn2^;f ^ . ^-^ q"' 

(2) — -r- = cotg^rit — 4 >,T-T — -^injtmii. 

^ ^ TT sn 2 Ku ^ ^^ 1 -|- g'" 

Während aber die beiden ersten Formeln für alle Werte 
von H konvergieren, ist die Konvergenz der dritten auf das 
Gebiet beschränkt, in dem der imaginäre Teil von u absolut 
kleiner ist als der imaginäre Teil von co. Die Formel ist also 
für reelle u jedenfalls gültig. 

11* 



164 Vierter Abschnitt. § 50. 

In der Tabelle IV sind die Eutwickelungen für die 12 Funk- 
tionen zusammengestellt. 

Unter den 16 Formeln der Tabellen II, III finden sich vier, 
die den Faktor ^n{a) im Nenner enthalten, in denen man also 
nicht ohne weiteres a =^ setzen kann. Es sind dies die 
Formeln (1), (5), (9), (13). Entwickelt man in diesen Formeln 
nach steigenden Potenzen von a, so fangen die Eutwickelungen 
rechts und links mit «~^ an, und wenn man die von a unab- 
hängigen Glieder beiderseits einander gleich setzt, so ergeben 
sich die gesuchten Eutwickelungen. 

Man kann etwa so verfahren, daß man in der Formel (1) 
a in — a verwandelt und das arithmetrische Mittel aus beiden 
Formeln nimmt. Dann hebt sich rechts das unendliche Glied 
1 : cotg 71 a heraus und links erhält mau : 

^ni^ujV -{- a) - »rrjo - «)] _ ^liQ^) .... ^ _ ^ 

auf der rechten Seite von (1) in Tabelle II ergibt sich: 

cotg 71 V — 4 i 'V' ( — - — % ■ ^r-^ ) 

, , , xn q'''sm2 7cv 

= cotg^r. + 4Si _23..cos2^« + 9''»- 

und auf der rechten Seite der Formel (1) der Tabelle III erhält man 

m 

cotg TT y -1- 4 "V] —^ sin m7tv, 

und wenn man noch die Jaco bische if- Funktion einführt, 
und u für v schreibt, erhält man 

(3) , ^ V^ ^=cotg:;r^(4-4sm2;rtt > ^-— ; 

= cotg Tcu -\- 4: V^ - — - — ^ sin m tt %i. 

Auf der linken Seite steht eine Transzendente zweiter Gattung, 
die sich nach § 47, (12) durch die Z- Funktion ausdrücken läßt: 

2K^.^^. , 2^cn2Ä'Hdn2 7t'H 

— Z (2 An) -\ ^-7n7 , 

7t ^ ^ ' TT sin2X« 

wofür man auch setzen kann: 

2K d log sin 2 Ku 

— z (2 Ku) H — = 

71 ^ ^ ' Ttd^l 



§ 50. Entwickelungen der elliptischen Funktionen. 165 

In der Tabelle V sind die vier Formeln, die sich auf diese 
Weise ergeben, zusammengestellt. Subtrahiert man die Formel (3) 
dieser Tabelle von den drei übrigen, so ergeben sich Entwicke- 
lungen für die logarithmischen Ableitungen der drei elliptischen 
Grundfunktionen, von denen wir die eine anführen wollen : 

,,.cl\ossn2Kn d\os,sm7iu , , . ^ >^ ( — iV'o'' 



TT chi Ttdu h^ ^ — 2 q''' cos 2 71 u-^ ff' 

fHog sin TT tt ^x^ q^'' &in 2 JiTcu 

" 71 du ■" ^ 1 + q'' 

Entwickelungen für die Transzendenten dritter Gattung 
ergeben sich, wenn man die Formeln der fünften Tabelle zwischen 
den Grenzen u -\- v, u — v integriert. Man erhält so z. B. aus 
der Formel (3) dieser Tabelle: 



(5) lw»I2 j:0.-^)] ^_,y^ 



2 ^ e\2 K{u -^ v)] ^^in(l — q"') 



sinniTtusm ninv. 



Setzt man in den Formeln der Tabelle IV und V n ^= 0, so 
ergeben sich die folgenden Entwickelungen : 

ni n — 1 

n n — Im 



^14-0» ^1 



m m n — 1 

71 '^^14- 5'" ^^ 1 -F 5" 

Endlich erhält man eine Entwickeluug für das vollständige 
Integral zweiter Gattung E aus der Formel 

Z{v) = E{v) — -^ V. 
Setzt man hierin nach der Differentiation ;; = 0, so folgt: 

Z'(0) = ^--^, 

und mithin nach der Tabelle V, Formel (3): 

m 

K — E = — ^ '^" = ~ ^ — ^ 
K -^ (1 — g")2 A' ^ 1 — g« ' 



Fünfter Abschnitt. 

Die Modiütiinktioiien. 



§ 51. Die elliptischen Differentialgleichungen. 

Die bisher definierten elliptischen Funktionen sind Funktionen 
der beiden Variablen y, «, und die Moduln Jf, x', ferner j{co), 
ii, K' sind von dem Periodenverhältnis ca, das einen positiv 
imaginären Bestandteil haben muß, abhängig. Ebenso ist die 
Funktion p (u) eine Funktion der drei Variablen u, co^, CO2 und 
die Invarianten (/2, ^3 sind von cji, 032 abhängig. Die Aufgabe 
der Umkehrung der elliptischen Integrale, wie wir sie in 
§ 14 formuliert haben, setzt aber voraus, daß in den elliptischen 
Funktionen k^ (oder bei der Weierstrassschen Normalform g^ifjs) 
beliebig gegebene Werte haben, und die vollständige Lösung 
dieser Aufgabe verlangt also, daß nicht 09, sondern x^ (bzw. r/a, g^) 
als zweite unabhängige Variable auftritt, und daß 03 durch diese 
ausgedrückt werde. Dieser Aufgabe werden die nächsten Be- 
trachtungen gewidmet sein. 

Wir gehen aus von der Aufgabe, ein System von Differential- 
gleichungen, welches wir das der elliptischen Differential- 
gleichungen nennen, zu integrieren: 

dx 

dv -^ 

^^ dv - ^■^' 

dz 2 

dv '^' 

unter den Nebenbedingungen: 

(2) für i' = soll ^ = 0, «/ = 1, ^' = 1 sein. 



§ 52. Die unabhängige Variable x^. 167 

Wir haben im vorigen Abschnitt gesehen, daß, wenn 

(S) .= = |il 

ist, diese Aufgabe durch die elliptischen Funktionen gelöst wird, 
und zwar in der Weise, daß x, y, z in der ganzen v- Ebene ein- 
deutige und, außer wo sie unendlich sind, stetige Funktionen 
von V werden. Ist nun aber x^ gegeben, so entsteht die Frage, 
ob es zu jedem Wert von x^ einen der Bedingung (3) genügenden 
Wert von gj gibt und ob es mehrere solche gibt. 

W^ir beweisen zunächst, daß durch die Differentialgleichungen (1) 
mit den Nebeubedingungen die Funktionen x^ y^ z eindeutig 
bestimmt sind. 

Es ergibt sich zunächst aus (1), daß x"^ -\- y^, a^x^ -[- z^ 
konstant sind, und aus den Nebenbedingungen folgt: 

(4) 7/2 = 1 _ ä-2, ^2 == 1 _ ;(2^2. 

Angenommen, es existiere ein zweites System denselben Be- 
dingungen genügender Funktionen Tj, y^, z^, so ist zunächst 

y'^ = \ X^, ^ 2 __ J jj2 x^^ 

und eine einfache Differentiation ergibt, daß 

xy^z^ — .^ly^ 
1 - %^x^xl^ 
konstant ist. (Das Additionstheorera der elliptischen Integrale, 
aus dem man die Form dieses Ausdruckes erhält, wird unmittelbar 
durch Differentiation bestätigt.) Aus den Nebenbedingungen folgt 
aber, daß diese Konstante verschwindet, also: 

xy^Zi = x^yz, 
woraus man leicht schließt, indem man beiderseits quadriert: 
X = x-y^ :y = y^^ z = Zy. 

§ 52. Die unabhängige Variable %'^. Lineare Diflferential- 
gleichung für K. 
Wir zeigen nun zunächst, daß und wie man zu einem be- 
liebig gegebenen Wert von x^ wenigstens einen der Bedingung 

1) ^' = ^ 

-^0 

genügenden Wert von ö finden kann. Diese Frage wird am 
vollständigsten beantwortet durch Zurückführung auf eine lineare 
Differentialgleichung zweiter Ordnung. 



168 Fünfter Abschnitt. § 52. 

Eine solche Differentialgleichung ist aber in den Formeln 
des § 23 bereits enthalten. 

Es folgt zunächst aus § 23, (14): 

cZlog x2 z= iiix^lyda^ 
oder mit Rücksicht auf 

(2) 7t%l,= 2K, 7t^,= 2-^K, ;r^2^=2x'iC[§42, (3), (15)]: 

(3) 7icl{x^) = 4:iK^x'^K-dco, 
und aus § 23, (19): 

. v2 v'2 T< 3 

da K^dco ~ 7t^ 
Führt man vermittelst (3) für co die Variable xs ein, so folgt 

und dies ist die gesuchte Differentialgleichung. 
Setzen wir weiter 

(5) _ta3 = -^, 

(6) — iK^do = KdK' — K'dK, 
so ergibt sich nach (3) : 

0) '^^-'''(^-rnjö^—I^ 



d{ic^) d{x^)/ 4' 



also durch abermalige Differentiation: 

1 d ^,..'.lÄ\-±^l^f...'.^^^' 



K d{K'~)\ d{y.^)/ K' ä(oi'')\ d{x'-), 

woraus zu ersehen, daß K' das zweite partikulare Integral der 
Differentialgleichung (4) ist. 

Diese Differentialgleichung läßt sich durch hypergeometrische 
Reihen integrieren (Gauss, Disq. circa seriem infinitum Werke, 
Bd. III, S. 125). 

Setzen wir für den Augenblick x^ = i\ K :=^ y , so lautet 
die Differentialgleichung (4) 

(8) .(l-..)^^i+(l-2.)^-i, = 0, 

und sie geht aus der allgemeinen Gaussschen Differentialgleichung 

(9) {X - ^■^)^-^ -{- [y - {^ ^ ß -i-l)x]p-^- aßy = 



1\- 



§ 52. Lineare Differentialgleichung für K. 169 

hervor, wenn man cc =z ß z= }^^ y = l setzt. Das eine ihrer 
partikularen Integrale ist also 

(10) F(i, i, 1, .) = 1 + 2 (LM^ii^l^i) 
^ ^ n(2vy /x 

und diese Reihe ist konvergent, so lange der absolute Wert von x 
kleiner als 1 ist. Als das zweite partikulare Integral kann man 
wählen 

(11) ^(1, I, 1, 1-^), 

das aber einen anderen Konvergenzbereich hat. Denken wir uns 
X als komplexe Variable in einer Ebene dargestellt, so konvergiert 
(10) in einem mit dem Radius 1 um den Nullpunkt beschriebenen 
Kreise, (11) in einem gleichen Kreise um den Punkt 1 beschrieben, 
so daß der gemeinsame Konvergenzbereich aus einem Zweieck 
besteht, das den zwischen und 1 gelegenen Teil der reellen 
Achse enthält. Man kann aber auch , was für uns wichtig ist, 
das zweite partikulare Integral in einer Form aufstellen, die in 
demselben Kreise wie die Reihe (10) konvergiert. Dabei ist zu 
beachten, daß das zweite partikulare Integral für x =^ unend- 
lich wird. 

Dieses zweite partikulare Integral erhält man durch den 
folgenden Grenzübergang: Bezeichnen wir die hypergeometrische 
Reihe nach Gauss mit 

_ n{y - 1) ^ 77(c/. + r-l)77(/3+ v-1) 

so erhält man im allgemeinen die beiden partikularen Integrale 
von (9): 

?/i = F^{x) = F(c«, /3, 7, x), 

t/2 = F^(x) = x^-y{l—x)y-"-^'F{\—a, l — ß^2 — y, x). 

Da diese aber für a ^= /3 = i, 7 ^= 1 miteinander identisch 
werden, so setze man zunächst a:=^/3 = |, y = 1-|-^) •'^Iso 
?/i = i^(|, |, 1 + f, x), 



y, = (l—^F{^.ll-S,x). 



170 



Fünfter Abschnitt. 



S 52. 



Es ist aber 



ni±s) 



IL- V 



n{v — \y 



Vn{-\)f^^n{v±s)n(v) ' 

und man kann unter Hinzufügung eines konstanten Faktors als 
zweites partikulares Integral auch folgendes annehmen: 

2£'^^ n{v) in{v -j^ e)~^ \i — x) n{v — e)\ • 

Entwickelt man hier nach Potenzen von e und setzt dann 
£ := 0, so folgt: 

^n{v-iy^^^-n'{v) i, x 



n{v) 



— loo" 

2 °1— .r 



-^ n (v)2 

> =0 ^ ■' 

wofür man mit Benutzung der Gauss sehen Formel 

n{v-\)n{v) _ ,- ,. 

77(2^0 ~~ ^ 

mit Abwerfung eines konstanten Faktors auch setzen kann: 

Es ist aber für ein ganzzahliges positives v: 
und wenn wir also zur Abkürzung setzen: 



+ \- 



(18) 






-i^)=^t"-i0{^+i+i+-m 



so ergeben sich die beiden partikularen Lösungen der Differential- 
gleichung (8), wenn man für das zweite eine lineare Kombination 
von (10) und (12) nimmt: 

(14) y, = Fixl y, = ^ G^ (^) _ i log jg^Y^^ F(x). 

Um nun aber die partikularen Integrale K und K' durch 
diese Funktionen darzustellen, müssen wir das Verhalten von A', K' 
für q = untersuchen, wofür zugleich x^ = wird. 

Es ist aber für q = nach § 25 und § 42: 
g-lK2 = 16, 2K = 7t, 



§ 52. Lineare Differentialgleichung für K. 171 

also: / K- \ 

Lim (log — — i%a\ = 0, 

andererseits ist 2iK' r=r 7t%'\^^ci (§ 42) oder: 

2Z' + log^ = (log g - «;rto) + in^{\ - %l,\ 
woraus : 

Da nun K und Ä^' partikulare Integrale von (8) sind (für 
x = x2), so haben beide die Form: 

^ = «l2/l + Ö2!/2, ^' = «i^/l + «2^/2, 

worin «j, «gi öii? ^'2 konstant sind. Da K für a: = endlich 
bleibt und den Wert \'K erhält, so ist «2 = 0, (/j = i;r, und 
damit K' -f- \\Qgx endlich bleibe und [nach (15)] den Wert log 4 
erhalte, muß as = l und «j = sein. Also ergibt sich, wenn 
man x = x^, 1 — ;r = x'2 setzt: 

(16) K = |-F(x^), K' = 1 G^(x2) - -^log^F(x2) 
und 

(17) ,^_, iT =j^^e ^(-), 

worin, wie schon bemerkt, die Reihen G(ji^), F{y.'^) konvergent 
sind, so lange der absolute "Wert von x^ ein echter Bruch ist. In 
der Differentialgleichung (4) liegen nun freilich die Mittel, die 
gefundenen Ausdrücke für Ä", K'^ q über dies Konvergenzbereich 
hinaus fortzusetzen. Einfacher gelangt man dazu aber durch die 
Anwendung der Landenschen Transformation. 

Wir begrenzen die Ebene der komplexen Werte x^, indem 
wir längs der reellen Achse zwei Schnitte von bis — co und 
von 1 bis 00 legen. In der so begrenzten Ebene sind dann alle 
Wurzeln aus x^, x'2 eindeutig dadurch bestimmt, daß sie für 
positive echt gebrochene x^ reell und positiv sein sollen. Es 
ist nun nach den Formeln der Landenschen Transformation 
[§ 44, (28)], wenn wir mit x^, xi, JC[, K'i die Funktionen von w 
bezeichnen, die sich aus x, x', K, K' ergeben, wenn co durch 2 co 
ersetzt wird: 

_ 1 — '/ , _ 2V7 

(18) ""' — n^' ''' ~ rr^" 

2iii = (1 + x')7i, K\ = (1 -f k')K'. 



172 Fünfter Abschnitt. § 52. 

Wenn wir also in (17) co durch 2 w ersetzen und die Quadrat- 
wurzel ziehen, so folgt: 

(19) (/ = 4-4e •'^^"^-'^ ■ 

Hierin erstreckt sich nun der Konvergenzbereich über den 
in der Ebene x^ gelegenen Einheitskreis und dieser entspricht der 
ganzen Ebene x2. Denn der reelle Teil vom x' ist in der ganzen 
Ebene der x"^ positiv mit Ausnahme der beiden Ufer des von 
-j-l nach -|- 00 verlaufenden Schnittes, an denen x' rein imaginär 
ist. Daraus ergibt sich, daß der absolute Wert von x^ kleiner 
als 1 ist, und daß die Peripherie des Einheitskreises in der 
Ebene Xj den beiden Ufern dieses Schnittes entspricht. 

Man kann aber die Konvergenz dieser Ausdrücke noch ver- 
bessern durch eine abermalige Anwendung der Lan denschen 
Transformation. Bezeichnen wir das Resultat einer nochmaligen 
Verdoppelung von a durch den Index 2, so folgt: 

^^-i + iv' 

(20) 4 ^2 = (1 4- \U'yK, Z2 = (l + f/yK', 

worin nun der Konvergenzbereich die Ebene der x^ zweimal 
(mit einer Verzweigung im Punkte x^ = 1) bedeckt. 

Diese Operation kann man fortsetzen, indem man nach der 
Formel (17) aus Xg durch Verdoppelung von cj eine neue Größe Xg, 
daraus ebenso X4 usf. herleitet. Man bekommt dann eine Reihe 
von Ausdrücken für g, deren Konvergenz eine immer bessere 
wird. Für ein beliebiges v ist: 



■ 1 



(t 



(21) .^fl^yvJW). 

Die erste Gleichung (18) 



^ - (1 + xy 

zeigt, daß, so lange der absolute Wert von x- kleiner als 1 ist, 
und folglich der absolute Wert von l -{- x' größer als 1, der 
absolute W^ert von x^ kleiner ist als der von x^, und folglich 



§ 52. Lineare Differentialgleichung für K. 173 

nähert sich x,. mit unendlich wachsendem v der Grenze Null. 
Daraus erhält mau für (i die Darstellung: 

V — 1 1 —\_ 

die bei reellen Werten von x zur Berechnung geeignet ist. 

Aus jeder der Formeln (21) kann man eine Reihenentwicke- 
lung von g nach den steigenden Potenzen von x^ herleiten, deren 
Konvergenz mit wachsendem v zunimmt. Wendet man ins- 
besondere die Formel (20) an, so erhält man eine Entwickelung, 
die von Weierstrass in den Monatsberichten der Berliner Aka- 
demie vom Jahre 1883 mitgeteilt ist, deren Konvergenzbereich 
die Ebene x^ zweimal ausfüllt. 

Die Koeffizienten dieser Entwickelung berechnet man am 
einfachsten aus: 

/ooN w- _ ^io(Q. 4aj) _ 2g + 2g^ + 2g^5^--- 

^zö) ^''^- ^^^(o^^co)- l + 2g4 + 2gi6+... ' 

und erhält so nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten: 
(2.) . = f + .(f)%.5(f)'+.50(f)" 

+ 1707(3|?)"+-- 

Ebenso läßt sich nach (23) auch umgekehrt ^Xg in eine 
nach Potenzen von q fortschreitende Reihe entwickeln: 
(25) IV^ = g _ 2r/5 _[_ 5g9 _ i0gi3 J^ I8gi7 ..., 

die man auch durch Umkehrung der Reihe (24) erhält. 

Damit ist die am Anfang dieses Paragraphen gestellte Frage 
vollständig beantwortet. 

Bezüglich der Anwendung der hier entwickelten Formeln zu 
numerischer Berechnung von q sei noch bemerkt, daß, wenn v.- 
näher an 1 liegt, man ein besser konvergentes Verfahren erhält, 
wenn man x^ mit x'2 vertauscht. Die Rechnung ergibt dann zu- 
nächst nicht g, sondern 

71 i 

woraus man aber g aus der Formel erhält: 

logg logg' = %'^. 



174 



Fünfter Abschnitt. 



8 53. 



(1) 



§ 53. Die Lösungen der Gleichung j((o) =^ j(^'^')- 
Die Resultate von § 51 genügen zunächst, um die Beziehungen 
der verschiedenen Werte von co festzustellen, die zu demselben 
Wert von x^ führen. Sei also: 

^,t„(0, «') ^,to(0, 0.) 
Setzen wir 
(2) V = n Op-, (0, CO) u = 71 ^^\ (0, a') n', 

so genügen (nach § 42) sowohl die Funktionen 

^00 (0, rj)-9'ii(tt, 03) ^ot(0, cj)^in(^, co) ^pg (0, co) -»00 (u, co) 
^' -»lolO, «j^oiC«, «)' '»io(0, «)^oi(w, «)' »oo{0,co)^oi{'ii,co)' 
als auch 

^oo(0,o')^„(^t^co') ^o,(0,co')&,,{n\(o') &,,{0,co')doo{u\co') 
^ ^ ^io(0,«')^oi««')' »io(0,«')»oi««r '»oo(0,«')#oi«"')' 
für a:, y/, ^ gesetzt, den Differentialgleichungen (1) des vorigen 
Paragraphen, und die entsprechenden dieser Funktionen sind also 
identisch. Wenn nun u' = | ist, so verschwindet ^^^{u', co') 
und es muß dann auch '9"io(t<, co) verschwinden. Demnach folgt 
aus (2) mit Rücksicht auf § 21: 

(5) ^0-0 (0, "') = ^o'o (0, CO) (« + ^ co), 
worin a, ß ganze Zahlen sind, die der Bedingung 

(6) oc = 1, /3 = (mod2) 

genügen. Ist u' = w' : 2, so verschwinden ■O'oi (*'-'? co') und -ö-qi (w, co), 
und daher ist wie oben 

(7) 
worin 



#2,(0, «')«'= #2o(o, «)(r + ^«), 



(8) Y = 0, 

Daraus folgt: 

(9) 



CO 



d = 1 (mod 2). 
y -\- d CO 



a -\- ßco 

Da aber in gleicher Weise geschlossen werden kann: 
#0^,(0,«) = ^l,(0,co'){a'-\-ß'co'), 
#0^,(0, co)co = d;f,{Q, co')(y' + ö'co'), 
worin u\ /3', 7', ö' gleichfalls ganze Zahlen sind, so ergibt die 
Substitution (.5) in diesen Gleichungen: 

1 = (a + ßco)(a' -f- /3'co'), 
03 = (« -f /5 co) (y' + (V 03'). 



§ 53. Die Lösungen der Gleichung j (w) =: J (w'). 175 

Drückt man in diesen Gleichungen co' nach (9) durch co aus 

so erhält man 

1 = «'(a + /3«)-|- /3'(r + ö«), 

09 = /(« + /3w) -^ Ö'(y -f öoj), 
und da co nicht reell ist, so zerfällt jede dieser Gleichungen in 
zwei andere : 

««' -f yß' = 1, ßoc' -^ dß' = 0, 
a/-fyd'r=0, ßy'^dd'=l. 
Mithin ist 

{ccd — ßY)(a'Ö' — ß'y') = 1, 

und daher, da co, co' heide einen positiven imaginären Teil haben 
müssen, also nach (9) die Determinante ad — ßy positiv sein 
muß: 

Cid — ßy = 1, 
« = ö', d = a\ y = -y', ß = -ß'. 

1, Es hängen also co, co' durch eine lineare Trans- 
formation, und zwar [nach (6), (8)] durch eine der ersten 
Klasse (§ 36) miteinander zusammen. Daß auch um- 
gekehrt zwei solche Werte co, co' denselben Wert x- er- 
geben, ist bereits oben nachgewiesen. 

Ein ähnlicher Satz ergibt sich als unmittelbare Konsequenz 
hieraus, für die Invariante j{co) (§ 46). 

2. Die Gleichung: 

(10) J(co')=j(ay) 

ist dann und nur dann befriedigt, wenn co' mit co durch 
irgend eine lineare Transformation 

^«, /3^ 

zusammenhängt, wenn also 

a -j- ßco 
ist. 

Denn bezeichnen wir die zu co' gehörigen Werte von x-, x'^ 
mit A2, A'2, so kann die Gleichung (10) so geschrieben werden: 

(1 _ Au^2)3 _ (1 — x^x'^y 

und ist in bezug auf A^ eine Gleichung sechsten Grades, deren 
Wurzeln 

1 1 k'2 x2 

y2 y'2 

' ' X2' X'2' X2' JC'2 



176 Fünfter Abschnitt. § 54. 

sind. Es iinclet daher (mit Rücksicht auf § 45) eine der folgenden 
Beziehungen statt: 

A^ = x2(fo), ^^(-^), >^H« + i), y-'i^-^-^)^ 
1 



CO + ly VI — w, 

wonach aus dem ersten Satze die Richtigkeit des zweiten folgt. 

Die Variable to ist hier immer auf einen positiven imaginären 
Teil beschränkt, und wenn wir zwei durch eine Gleichung (II) 
zusammenhängende Zahlen w, co' äquivalent nennen, so haben 
alle mit w äquivalenten Zahlen einen positiven imaginären Teil. 
Wir können unseren Satz 2. auch so aussprechen: 

3. Die Funktion ;(o) hat für alle äquivalenten Werte o) 
und nur für diese einen und denselben Wert^). 

Zu jedem Wert von a gehört ein bestimmter Wert von j{co), 
und zu jedem Wert von j{(o) ein Wert von a und die Gesamt- 
heit der äquivalenten Werte co'. Wenn also eine einwertige 
Funktion (P(w) von « der Bedingung genügt: 

\a ^ ßcoj ^ ^ 

so ist 0(oo) eine einwertige Funktion von j(ci)), und wenn wir 
also annehmen, daß ^(co) nur für eine endliche Anzahl von 
Werten j(co) unendlich und nur in endlicher Ordnung unendlich 
werde, so folgt, daß 0(w) eine rationale Funktion vonj((o) ist. 
Die Voraussetzung trifft z. B. immer dann zu, wenn ^(w) 
mit j{co) in einem algebraischen Zusammenhange steht. 

§ 54. Die Modulfunktionen. 

Es sei ii^{co) eine eindeutige Funktion von co. Wendet man 
auf 09 eine lineare Transformation S ^= ( ' ^I] an, so geht i/^(m) 
in eine andere Funktion 
(1) ^r-±^^ 

über, die wir mit t/;|Ä bezeichnen wollen. 



') Dieser Satz ist zuerst von Dedekind bewiesen (Grelle, Bd. 8.S). 
Dedekind nennt danach die Funktion val(w) = S~^2~^j{(a) die Valenz 



§ 54. Die Modulf unktionea. 177 

Die Funktion i^(aj) kann möglicherweise bei gewissen Trans- 
formationen S ungeändert bleiben (z. B. immer bei der identi- 
schen Transformation). Alle Transformationen, die eine Funk- 
tion t^(w) ungeändert lassen, bilden eine Gruppe @. Denn ist 

SO ist auch 

Die Gruppe & ist ein Teiler der Gruppe 8 aller linearen 
Transformationen. 

Ist @ ein Teiler von 2 von endlichem Index (2, ®), und 
xIj(co) eine Funktion von co von der Eigenschaft, daß auch 
umgekehrt 

einen linearen Zusammenhang 

a -\- ß CO 
zur Folge hat, in dem ( ' ^ j eine zu © gehörige Trans- 
formation ist, so heißt i/^'(co) eine zur Gruppe ® gehörige 
Modulfunktion. 

Wir beschränken uns auf die Betrachtung solcher Modul- 
funktionen, die mit dem Modul x^, also auch mit i(cö), in einem 
algebraischen Zusammenhange stehen. 

Unter dieser Voraussetzung läßt sich der folgende allgemeine 
Satz aussprechen: 

Wenn t/^(w) zur Gruppe @ gehört und x(c3) durch die 
Transformationen von ® ungeändert bleibt, so ist x(co) 
rational durch T/'(ra) ausdrückbar. 

Denn zunächst ist x{(o) eine algebraische Funktion von i^(üj), 
und ^'(co) kann als algebraische Funktion von j{co) jeden Wert 
annehmen. Zu jedem Wert von i/^(m) gehört aber nach Voraus- 
setzung nur ein Wert von x{^)i ^^^ daher ist x((o) als ein- 
wertige algebraische Funktion von i'(co) rational. 

Das Studium der in 2 enthaltenen Gruppen und der zu ihnen 
gehörigen Modulfunktionen bildet den Hauptgegenstand des großen 
Werkes von Klein und Fricke: „Vorlesungen über die Theorie 
der elliptischen ]\Iodulfunktionen" (2 Bde., Leipzig, Teubner, 
1890, 1892). Wir betrachten hier nur einige ganz spezielle Fälle 
dieser Gruppen und Funktionen, auf die wir im Verlauf unserer 
Untersuchungen gestoßen sind. 

Weber, Algebra. III. 22 



(::^)-G; :)(-"") 



178 Fünfter Abschnitt. § 54. 

Eine große Klasse von Teilern der Gruppe 2 mit endlichem 
Index bilden die sogenannten Kongruenzgruppen, die, wenn 
m irgend eine ganze Zahl ist, durch die vier Kongruenzen 

C, ß-^ _ /l, 0^ 

charakterisiert sind. Die zu diesen Gruppen gehörigen Modul- 
funktionen heißen Kongruenzmoduln wter Stufe. Für m = 2 
ist dies die Gruppe 51 (§ 36). Wir werden von den folgenden 
Sätzen Gebrauch machen: 

1. Der Modul x2 ist nach § 52 eine zu dieser Gruppe ge- 
hörige Modulfunktion; da nach § 36 alle diese Transformationen 
aus den beiden 

1, 0\ /l, 2^ 



{iO' U l) 



zusammensetzbar sind, so können wir den Satz aussprechen: 

Jede Modulfunktion, die durch die beiden Ver- 
tauschungen 

(«, CO + 2), («, Yip2^) 

ungeändert bleibt, ist eine rationale Funktion von x^. 

2. Die Funktion x^x'^ gehört zu der aus der ersten und 
zweiten Klasse des § 36 gemeinschaftlich gebildeten Gruppe 5l'. 
Diese Gruppe läßt sich durch "Wiederholung der beiden Trans- 
formationen 

ableiten, und wir können daher den Satz aussprechen: 

Jede Modulfunktion, die durch die beiden Ver- 
tauschungen 

/ 1 



(«, CO + 2), («, --) 



ungeändert bleibt, ist eine rationale Funktion von x2x'2. 
Hieraus folgt noch: 

3. Jede Modulfunktion, die durch (cL>,fo-|-2) ungeändert 

bleibt und durch (ta, j ihr Zeichen ändert, ist das 

Produkt von (x'^ — x^) mit einer rationalen Funktion 
von x2x'2. 



§ 54. Die Modulfunktionen. j^jg 

4. Die Invariante j((o) gehört zur Gruppe 8 (§ 53) und 
daher der Satz: 

Jede Modulfunktion, die durch die beiden Ver- 
tauschungen 



(ö, oj 4- 1), fa, — — j 



ungeändert bleibt, ist eine rationale Funktion von j(co). 

Außer diesen führen wir noch zwei andere Modulfunktionen ein. 

Aus der Definition der Funktionen /"(«), /i(m), fji^^) [§ 34, 
(1), (10)] ergibt sich, wenn man die beiden Gleichungen § 42, (3) 
miteinander multipliziert : 



(2) f(c)=^, ^^(,)_^2^^, /.(co) = f2 l/^, 

Auf Grund von § 46, (15), (16) definieren wir zwei Funk- 
tionen y^ioj), 73(03): 

y,{co) = I7j/(w) = 172 



y3(«) = Vj CO) -27.64 = ^ ^ „j; ^, 

die nach (2) und (3) als eindeutige Funktionen von co folgender- 
maßen darstellbar sind: 

^■^-^ ^ /„^ _ [/•(co)^^ + 8][/;(c.)s-^,(co)8] 

wofür man nach den Grundformeln für die /-Funktionen [§ 34, 
(11), (12)] auch setzen kann: 

(6) 72 (co) = ficoy f, {coy + ficoy u («)^ - f. («)« h («)«, 

Es sind also x = p^ —ff, — fi die Wurzeln der kubischen 
Gleichung 

(8) a;3 — 72^ — 16 = 0, 

und 4y| ist die Diskriminante dieser Gleichung. 

12* 



130 Fünfter Abschnitt. § 54. 

Bemerkenswert sind auch die Differentialgleichungen: 

(9) dTi^ = — f7x'2 = 711^1^%^%"^ da [§ 52, (3)], 

(10) <:Zx2x'2 = _;r«ö'*o(x2 — x'2)x'^x'2c?(o, 



m 



(11) d ficof = - ^,% [f, (ö)3 - f, {Coy] d CO, 

o 

(12) dy^ (fo) = ö- Vs (") ^^ («)* ^« [nach (5) und § 34, (10)], 

(13) dj{co) = —2niy^{ioYy^{o3)iq{a,Yda. 

Man erhält sodann für die linearen Fundamentaltransforma- 
tionen aus § 34, (13), (14), (15): 

- — / 1 \ 

y^{(0 + 1) = e 3 y^(„)^ yl^_\ := ^2(09), 

(14) 

73 (ö + 1) = — 73 (W), 73 (^— _ j = — 73 (W), 

und aus § 40 findet man allgemein: 

worin q wie in § 40, (3) die Bedeutung hat: 

Q = e ^ 

Es sind dies also Modulfunktionen, und die Gruppen, zu 
denen sie gehören, sind durch die beiden Kongruenzen charak- 
terisiert : 

— aß^ay-^ßd — a^ßy = (mod 3), 
ay J^ ßy -j- ßd = (mod 2). 

Wir geben hiernach unserem Satz 4. die folgende Ergänzung, 
die sich aus den Formeln (14) ergibt. 

5. Eine Modulfunktion, die durch die beiden Sub- 
stitutionen 



(to, (o + 1), (ra, - -j 



das Zeichen ändert, ist das Produkt von 73(00) mit einer 
rationalen Funktion von j (g)). 



§ 55. Darstellung der elliptischen Funktionen durch v und x^. 181 

6. Eine Modulfunktion, die durch die Substitution 
(oj, ) ungeändert bleibt und durch (ö, co -\- 1) den 

Faktor e ^ annimmt, ist das Produkt von 73(0») mit 
einer rationalen Funktion j (co). 

7. Eine Modulfunktion, die durch die Substitutionen 

( ö, j das Zeichen ändert und durch (ra, o -^ 1) den 

T— . . ±1 

Faktor — e ^ annimmt, ist das Produkt von y2(^)73(^) 

mit einer rationalen Funktion von j {co). 

Eingehender werden wir uns mit den Modulfunktionen im 

zweiten Teil beschäftigen. 



§ 55. Darstellung der elliptischen Punktionen durch v und x^. 

Wenn wir das ümkehrproblem der elliptischen Integrale so 
wie in § 51 als die Aufgabe der Integration der elliptischen 
Differentialgleichungen fassen, so verlangt es die Darstellung 
der drei Funktionen sn y, cn y, dny durch die beiden unabhängigen 
Variablen y, x^. Diese Aufgabe ist durch § 42 gelöst, aber be- 
züglich der Variablen x^ nur implizite. Man kann alier auch 
Darstellungen finden, in denen k^ explizite vorkommt, und zwar 
durch Reihen, die nach Potenzen von y fortschreiten, deren 
Koeffizienten rationale Funktionen von x^ sind. Die 
Koeffizienten dieser Reihen können freilich nicht durch ein all- 
gemeines Gesetz dargestellt, sondern nur sukzessive berechnet 
werden. Diese Darstellungen verdankt man hauptsächlich Weier- 
strass^). 

Die ö- Funktionen können, da sie durchaus endliche und 
stetige Funktionen von u sind, in unbedingt konvergente Potenz- 
reihen nach u entwickelt werden, und wenn wir daher die in 
§ 45 , (2) vorkommenden 6 - Funktionen in dieser Weise ent- 
wickeln, so bekommen wir eine Lösung unserer Aufgabe. Wir 
setzen daher 



') Über die Weierstrasssche Theorie der elliptischen Funktionen vgl. 
man besonders die von H. A. Schwarz herausgegebenen „Formeln und 
Lehrsätze zum Gebrauch der elliptischen Funktionen". Über die Reihen- 
eutwickelungen vgl. man auch Königsberger, „Vorlesungen über die Theorie 
der elliptischen Funktionen", 25. Vorlesung, 



182 Fünfter Abschnitt. § 55. 



öooO', 2Z, 2iK') = U B, 



(1) 



0,00 (2 0^)!' 
öoi(t-, 2Z", 2 iE') = h Cr 



(2v)!' 

ö,oO', 2^, 2*^') = i;A^, 

0,00 \'^^)- 



(2) 



und die ^4», jl5,, C,, D» sind die zu bestimmenden Funktionen 
von x2 oder von co. Fassen wir sie zunächst als Funktionen von 
a aui, so ergeben die linearen Transformationen [§ 45, (3)]: 

a(-^) = (-i)'A(«), 
^^(-^) = (-iy^^(«)- 

x'2'^,((o + 1) = A,{(o), 
x'^'B,((o + 1) -- 6',(co), 

X'2- a(cO 4- 1) = 5,(W), 

x'2 '!),(« 4- 1) = B,{a). 

Ay{co + 2) = A(«), 
5,(aj + 2) = B^.{co), 
a(ö + 2) = Cv(oj), 
D,(a3 + 2) = Z).(«). 



(3) 



(4) 



Hieraus schließen wir auf die charakteristischen Eigenschaften 
dieser Koeffizienten als Funktionen von x^. Zunächst erhellt aus 
der Bedeutung der Koeffizienten, daß für jeden Wert von a^ mit 
etwaiger Ausnahme von x^ = 0, 1, co die Koeffizienten -4,(x2), 
-ßi(>'^)? C,(ii^), Bt(x^) endliche und stetige Funktionen von x^ sind. 

Aber auch für x^ = bleiben diese Funktionen endlich 
und man kann ihre Werte leicht finden, wenn man in den Dar- 
stellungen des ^ 37 r/ und mithin x^ in Null übergehen läßt. 



§ 55. Darstellung der elliptischen Funktionen durch v und x''. 183 

Man erhält dann aus den Entwickelungen in § 25 mit Rücksicht 
darauf, daß nach § 34 und § 42 für ein verschwindendes q 



1 



wird : 



(5) 



if V • ^'2 V + 1 

e6 = 2:5.(0) 

= i a(o) 



(2i')!' 
(2r)!' 



V^ . „2 . 



ü! V ,,2 » 

e6cosw = 2;Z),(0) 



(2v)! 
Die Formeln (2) ergeben nun: 

j,(jt'2) = (— lyAC^s), 

5.(X'2) = (-I)vi?,(x2), 

^^ a(x'2) = (-i)'D.(x2), 

i),(K'2) = (_1).6V(>C2), 

woraus folgt, daß auch für x^ = 1 diese Funktionen endlich 
bleiben, nämlich: 

A.{\) = (-1)M„(0), 

5.,(1) = (-1/2^.(0), 
^^ a(i) = (-iyA.(0), 

D.(l) = (-1)'6\(0). 
Das System (3) läßt sich ferner so schreiben: 



(8) 






woraus für ein unendliches x^: 

^,(X2) = X2'A(0), 

5,(X2) = k2v.X),(0), 

^^^ a(x2) = X2'5,(0), 

D„(x2) = x2'C,.(0), 



184 Fünfter Abschnitt. § 55. 

und hieraus wird geschlossen, daß die Koeffizienten A^ , jB, , C, , Uv 
ganze rationale Funktionen von x2 vom Grade v sind, und 
aus § 54, 2, 3, folgt überdies noch, daß Ay, B,. bei geradem v 
rational durch xs^'s ausgedrückt sind, während sie bei ungeradem 
V gleich dem Produkt von (x''^ — x^) mit einer rationalen Funk- 
tion von x2jt'2 siu(j^ 

Aus Bv findet man Cr mittels der Formel: 

(10) CriK^)==n'^^Br(=p) 

und Dv durch Anwendung von (6) und (8): 

(11) i)..(x^) = (- 1)^ a(x'^) = (- ly^^^B. (=^) . 

Da man aus (5) die Koeffizienten ^,(0), ^,.(0), 6V(0), D.(0) 
leicht bestimmen kann, so ergeben sich aus dem hier ent- 
wickelten Formelsystem die Koeffizienten J.,, i?,, C,, Dv ohne 
weitere Rechnung bis v = 3 einschließlich. 

Man findet: 



A = 1, 


A, = 0, 


^, = 


-|(1-X2;,'2), 


Bo = 1, 


B,= -i(x'^-x^), 


-^2 = 


](l-f 2X2X'2), 


C, = 1, 


c.= -^(1 + n 

o 


c,= 


l(x'4_2x^), 


Do = 1, 


A = -|(i + x'2), 


A = 


i (x-t _ 2 x'2). 




A = -|(x'2-x2)(2 


-f X2X 


^), 




B,= ^(x'2_x^)(5 


— 2x2 


x'2), 



Cs = ^(l + '<^)(5'''^ + 2x2), 

A = -i(l + >''^)(5x^ + 2x'2). 

Weitere Koeffizienten lassen sich auf demselben Wege, wenn 
auch weitläufiger berechnen, indem man die Ausdrücke für die 
ö- Funktionen in § 32 nach Potenzen von g entwickelt und, wie 
hier die niedrigste Potenz von g, so die höheren benutzt. Weier- 
strass bedient sich zur rekurrenten Berechnung der Koeffizienten 
gewisser partieller Differentialgleichungen, ähnlich der, die wir im 
nächsten Paragraphen für die Funktion 6 ableiten werden. 



§ 56. Potenzreihen für die Wei erstras s sehen Funktionen p{u),a(n). 185 



§ 56. Potenzreihen für die Weierstrassschen Funktionen 

Die Funktion ö(m), als Funktion von u betrachtet, läßt sieb, 
wie scbon bemerkt, in eine in der ganzen w-Ebene konvergierende 
Reihe nach Potenzen von u entwickeln, und nach § 35, (8), (12) 
hat diese Entwickelung die folgende Form: 

(1) 6(u) = U -\~ OIU'^ -\- KyU^ -(- «2^^ -\- ot^u'-> -\- • • • 

Die Funktion 

_ d^\0gö(u) _ Ö'(uy-Ö6"(u) 

{^) p (^) - j^^ - :^^ 

läßt sich ebenfalls nach steigenden Potenzen von u entwickeln, 
aber nicht mehr in eine immer konvergente Reihe, sondern diese 
Reihe hat einen Konvergenzkreis. Sie hat die Form: 

(3) p{u) = —-\- a ^ «1 1*2 + «2 w* + «3 w*^ H 

und man kann die Koeffizienten t/, c«,, ag, %, ... der Reihe nach 
aus der Differentialgleichung [§ 46, (18)] 

(4) p'w = ^p i'^y — fh p ('0 — ^3 

als Funktionen von r/g, yg bestimmen. 
Es ist zunächst 

2 

p'iuf = ±--^-^- Ua, + (4< - 2Aa,)u^ + -•, 

und da p' {uY kein Glied mit h"* enthält, während in piiiY 
das Glied 3a«i~* vorkommt, so muß a = sein. Danach er- 
gibt sich: 

PW = ^ + ^' + 3a, + 3(a3 + a^)u^ + ... 

■^ 1 

pi^)= ^ + «1*^' H — 

iv 

Und wenn man dies in die Gleichung (4) einsetzt, so folgt 
«1 — 20' ^ "" 28' ''' — 1200 



(5) 



186 Fünfter Abschnitt. § 56. 

Durch Integration von (2) findet man: 

und aus dieser Gleichung folgt: 



240 ' ^ 840 ' ' 161 280 

Daß a = ist, folgt auch aus dem in § 35 bewiesenen 
ö'" (u) = 0; indessen war dies dort auf ziemlich umständlichem 
Wege bewiesen. Wir haben sonach folgenden Anfang der Ent- 
wickelung von <}{u\ wobei der Übersicht halber die numerischen 
Nenner in ihre Primfaktoren zerlegt sind: 

(') «W = « - ärfTs«^ - jrfeT'" - ärfe'"— ' 

Zur rekurrenten Berechnung der Koeffizienten in der Potenz- 
reihe für 6(u) dient eine partielle Differentialgleichung, die als 
eine Umformung der partiellen Differentialgleichung für die 
'O'-Funktionen betrachtet werden kann. Wir leiten sie auf fol- 
gendem Wege her. 

Die Funktion ö(w) war durch die beiden Periodengleichungen 
§ 35, (9) 

(8) 6{u -\- W2) = — e';2(2« + "'«)ö(;(), 

bis auf einen von u unabhängigen Faktor bestimmt. Es ergibt 
sich aber durch Differentiation der letzten Gleichung (8): 

5 "2 — 5 "1 — »/2 = 0, 



also; 






ÖWl 02/ \ S«! 0(0.2 



und wir führen also eine Größe r ein, die wir so definieren: 



§ 56. Potenzreihen für die Weierstrass sehen Funktionen p{u),G(u). 187 

Nun weist man durch Differentiation der Periodengleichungen 
(8) nach, daß die Funktion 

^ ^ ött2 ' '^ d 03^ dco.2 ' 

den Periodengleichungen (8) genügt, und also gleich (7ö(n) ist, 
worin C von u unabhängig ist. Die Entwickelung von ö(t() nach 
Potenzen von « fängt aber mit u^ an, während ö(h) mit w an- 
fängt, und folglich muß (7=0 sein. 

Nach (7) beginnt die Entwickelung von dö/dcoi und d6/do32 
erst mit tt^, und die ersten Glieder von d^ö/du^ und A^ru^ö sind 
— r/a^'Vl^, 4ri«'\ woraus 4r = ^2/!^ folgt, und demnach erhält 
die Differentialgleichung für ö die Form: 

und nebenbei ergeben sich aus (9) die Relationen: 

Nun sollen in der Differentialgleichung (10) statt der Variablen 
fdj, «2 die Variablen (/g, (/g eingeführt werden, und wenn wir also 

d(3 8(5 3(/2 , 8(j d.gf3 

Bajj 8^2 dcoi' dys 8öi' 

8 «2 8^2 0^2 06^3 ^"2 

setzen, so erhält (10) die Form: 

/ION ^^<^ I 7 S<^ I 7 Sö I ^2 o^ n 



worin 






Die Größen /«g, /ts, durch f/^, (/g ausgedrückt, ergeben sich nun 
aus der Differentialgleichung selbst, wenn man für ö die Ent- 
wickelung (7) einsetzt. Danach ist bis zur 7ten Potenz von u: 



188 Fünfter Abschnitt. § 56- 





Fünfter Abschnitt. 






^'^ ^2^,3 


1-/; ''' 


3 „ iC' 




8 «2 — 12 


" ^-^='2*. 3. 5 


8^- 23.3.5 


7' 


d6 


H^ 






0^2 "" 


2^.3.5 




8ö 




1*7 




Öi/s 


23.3.5 


7' 


f^=-' = i»' 




7 , «7 




24^2 23.3.5 


.7' 



und wenn man dies in (12) einsetzt und die Koeffizienten von u^ 
und t(7 gleich Null setzt, so ergibt sich: 

/i2 = —12^3, /?3 = — li/l. 
und wir erhalten die Differentialgleichung: 

Setzt man die Reihenentwickelung für ö mit unbestimmten 
Koeffizienten an: 

so erhält man aus (13) die Rekursionsformel: 

(15) A _ l2^3-g^+3^2^^^ 12 ^2^'-^' 

woraus zu schließen ist, daß die Ay ganze rationale Funk- 
tionen von ^2 ui^<i 93 sind, deren Koeffizienten rationale Zahlen 
sind, die nur Potenzen von 2 und von 3 im Nenner haben können. 
Die Reihe (14) besteht daher aus Gliedern von der Form 

tt-^ + i 

^rn,n{l92y"'i^93y /2v 4-1)!' 

und aus der Homogenität der Funktion <5 [§ 37, (8), § 46, (13)] 
folgt: 

(16) 2 m + 3» = r, 

für die Koeffizienten cim^n ergibt sich dann aus (15): 

(17) am,n = 3(m -f l)a,„ + i, „-i + y (» + l)«m-2, ,. + i 

— -^('2iH -\- 3 n — 1)(4)H -\- 6n — l)a,„_i,„, 

worin Uqq = 1 und die «, bei denen einer der beiden Indizes 
negativ ist, gleich Null zu setzen sind. 



§ 56. PoteDzreihen für die W e i e r s t r a s s sehen Funktioneu p{u), a{u). 189 

Daraus läßt sich (/,„,„ linden, wenn die früheren «,„,«, d. h. 
die in dem 2 m -\- Sn kleiner als v ist, schon berechnet sind. 

Man sieht daraus, daß die a„i,„ nur Potenzen von 3 im 
Nenner enthalten. In den von H. A. Schwarz herausgegebenen 
„Formeln und Lehrsätzen zum Gebrauch der elliptischen Funk- 
tionen", nach Vorlesungen von Weierstrass (2. Ausgabe 1893), 
sind die a„i,„ bis zu v = 17 berechnet. Es zeigt sich dabei, daß 
diese Koeffizienten nicht nur ganze Zahlen sind, sondern daß sie 
auch mit v wachsende Potenzen von 3 als Faktoren enthalten. 
Einen Beweis hierfür vermag ich nicht zu geben. 



Sechster Abschnitt. 

Multiplikation und Teilung der elliptischen 
Funktionen. 



§ 57. Multiplikation der elliptischen Funktionen. 

Unter der Multiplikation der elliptischen Funktionen versteht 
man die Darstellung der Funktionen snnv, cnwy, dn^y für ein 
ganzzahliges n als rationale Funktionen von sn?', cn v, dnv, eine 
Aufgabe, die, wie aus dem Additionstheorem ersichtlich ist, immer 
gelöst werden kann. 

Die Form der Lösung ergibt sich leicht aus der Betrachtung 
der 'S" -Funktionen, 

Es sind, wie aus § 21 unmittelbar zu ersehen, die Funktionen 
'^gi,g^{'nu) 0- Funktionen der Ordnung n^^ deren Charakteristik 
bei geradem n gleich (0, 0), bei ungeradem n gleich ((/i, g^) ist. 
Überdies ist •O-ii(nM) eine ungerade, '8'oo(wtt), '9'io(wm), Q'^-^inu) 
sind gerade Funktionen von tt. Es lassen sich also diese Funk- 
tionen rational durch die 0'- Funktionen darstellen und die Sätze 
des § 21 ergeben die Form dieser Ausdrücke. Es wird, wenn wir 
wieder mit F^^'>(x^y) eine ganze, rationale, homogene Funktion 
vter Ordnung bezeichnen: 



(1) 



bei geradem n: 

n^ — i 

K,,Ä^^^^) = F^m: 00, ^oS («)], (Üi.g2) = (10), (Ol), (00), 
bei ungeradem n: 



■ 1 



(2) K,9.Ä^^'^^) = ^9.9MF ' RiC'O, ^;i,(")]- 



§ 57. Multiplikation der elliptischen Funktionen. 191 

Wenn wir diese Formeln durch ■O'oi (n)"^ dividieren , so lassen 
sich die rechten Seiten als ganze rationale Funktionen von den 
elliptischen Funktionen snv, cn y, dn y darstellen (§ 42). Wenn 
wir also 

(3) V ■= %^IqU^ sn y = .-r, cn y = y^ dn y = z 

setzen, so können wir die Formeln (1), (2), indem wir einen kon- 
stanten Faktor passend bestimmen, so schreiben: 
I. bei geradem n: 






= B(x^), i?(0)=l, 



^10 ^01 (w)" 

II. bei ungeradem n: 



" Ol 



worin A, B, C, D ganze rationale Funktionen von x^ sind, deren 
Grade sich aus den Formeln (1), (2) folgendermaßen ergeben: 

Ä(x^}, B{x^), C{x^), D(;r2), 

Grad: y — 2, y, -2, y w gerade, 

w2 — 1 h2 _ 1 ^^2 _ 1 ^2 _ 2 . 

— 2 — ' — 2 — ' — 2 — ' — 2 — ^ ungerade. 

Aus den Definitionen I., IL erhält man unmittelbar die Werte 
von ^(0), -B(0), C(0), D(0), d. h. die von n unabhängigen Glieder, 
wie sie beigefügt sind. 

Mannigfache Beziehungen zwischen diesen Funktionen ergeben 
sich noch auf folgendem Wege: 



192 Sechster Abschnitt. § 57. 

Ersetzt man, um ein Beispiel hier ausführlicher durchzuführen, 
V durch V -\- Jf, also u durch ^t -[- |, so gehen x^ y, 2 nach § 44, 
(18) in ijlz^ — %'x/z, %' I z über, und man erhält nach § 21, (8) 
aus der ersten Formel II für ein ungerades n: 

Andererseits ist die linke Seite nach der zweiten Gleichung II 
und nach § 42 gleich 

und folglich: 

Setzt man darin if = 1 , ^ == 0, ^ = x' oder .:*; = 0, ^ = 1, 
^ = 1, so folgt: 

. M — 1 n — 1 

j5 (1) = (- \y"n y7" ~ ', A (1) = (- \)^i^^ ~\ 

Man kann ein ganzes System solcher Formeln ableiten, indem 
man in I und II folgende Substitutionen macht: 



it, 




X, 


y-> 


^, 


^ + 1' 




y 

z' 


'ü'x 


x' 


z ' 


^' 


1 <^ 

«+ 2-' 




1 

xx'' 


— iz 


— iy 


KX ' 


X 


»+^t 


CO 


z 


ix' 1 


i v! X 


j 


ycij' 


^ y' 


y 


So erhält man: 











W) ^(ii) = ^-i)' ^(^')' ^4(1) = (-1)^ mV , 



(4)^ 



/:7y G(!^)= c(^^), c{\)= Vx'", 



^2 



Vxv \z\ 



Z)(g= i)(..^), i)(l)= Vx'", 

n gerade. 



I 



§ 57. Multiplikation der elliptischen Funktionen. 193 

(v?) ^(^) = (-^^ ' ^^^')' ^^^^ = (-1) ^ V'^' , 

(v^) ^(f^) = ^~^^ ' ^^'''^' ^^^^ = (-1) ^ »^V»^' • . 

«■-^ — 1 



^' i)(^W C{x% D(l)= Vx' 



w ungerade. 



/ 1 — IL '2 

(i^^r ^(i^) = (-i)' ^i.^% B(..) = {-ir v^", 

n gerade. 



n — 1 »1 — 1 



«2 — 1 



(Vx.:r-^ a(^) = (-1) ^ i)(^^), ^(^.) = (-1) ' f. 

) 



n— 1 



a/^^r-^D(^) = (-l) ' A(x^), D(^) = (-l) ^ >^|/^"''\ 

w ungerade. 

Hier sind unter J.(aj), B(cc), C(cc), D(<=o) jedesmal die 
Koeffizienten der höchsten Potenz von x in diesen Funk- 
tionen zu verstehen. In (7) können die beiden letzten Formeln 
aus der ersten durch Vertauschung von x mit 1/xx hergeleitet 
werden. 

Das dritte System von Formeln kann man entweder auf 
demselben Wege oder auch dadurch erhalten, daß man in den 
Formeln (4), (5) x durch 1/kx ersetzt und (6), (7) anwendet. 

Weber, Algebra. III. jg 



■n2 — i 



n'-i — 4 



n gerade. 

, — «"^ - i 



(9)/ ,_ 



294 Sechster Abschnitt. § 57. 

1/7)" ^(^)=(-')^^(''^^)' ^(i) =-- (-i)^yi 

n gerade 

w ungerade. 

Nach diesen Formeln kann man für den Fall eines ungeraden 
n die vier Polynome Ä{x^), B(x^), C{x^), B{x^) auf eines von 
ihnen, z. B. auf A{x% zurückführen. 

Wenn man von den Formeln I, II je die drei ersten durch 
die letzte dividiert, so erhält man die Multiplikationsformeln für 
die elliptischen Funktionen (§ 42). 

III. Bei geradem n: IV. Bei ungeradem n: 

xyzAix^) xA(x^) 

^^^^= i)(.xo - ^^"^ = -iJM'' 

C(x^) , 2C{x^) 

Die Koeffizienten von J., i?, C, D hängen noch von co oder 
von x2 ab. Über die Art dieser Abhängigkeit geben die Rekur- 
sionsformeln Aufschluß, die man zur sukzessiven Berechnung von 



n'^ — : 



§ 57. Multiplikation der elliptischen Funktionen. 195 

Ä, B, C, J) aus dem Additionstheorem folgert. Wenn wir den 
Wert des Multiplikators w, zu dem diese Funktionen gehören, 
durch einen Index andeuten, so haben wir zunächst 

(10) Ä, = 1, B, = 1, c\ = 1, A = 1; 

ferner aus den Additionsformeln [§ 44, (16), für u = v]: 

2 sn i; cn ?; dn v 



(11) 



sn2y 


— 


^ OJ-L 1/ V^XJ. t/ V4.i_i 1/ 


1 — x2 sn* i; ' 


cn2v 


= 


cn2y — sn^y dn^v 


1 — x2 sn* V ' 


dn2y 


= 


dn2y — x^sn^fcn^y 


1 — x2sn^v 


Ä, 


= 


2, 


B, 


= 


1 — 2.r2 + x2^*. 


C, 


= 


1 — 2x2x'2 -^ x2a;S 


D, 


= 


1 — ^^x\ 



(12) 



Wenn wir in (11) v durch nv ersetzen, so folgt: 

B2n = BlBl — x^y^z^Al Cl, n gerade, 

= ißBlBl — x^s'^AlCl, n ungerade, 

(13) Ca« = ÜIDI — %^x^y^ß^ÄlBl, n gerade, 

= ^^ClBl — %^x^y^AlBl, n ungerade, 

B2n = Bn — x^x^y^ß^Ä^, n gerade, 

= Bn — n^x^Äni '^ ungerade, 

und wenn man in den Additionsformelu des § 44 m = w y, 

V 1= (n -\- l)ü setzt : 

Ä2n + i = y^^^Ar,BnB„ + ^C„ + i^Ä„+iBn + iCnBn, fi gerade, 
= ÄnBnBn+iCn+i-\-tßz^An+iBn+iCnB„, u Ungerade, 

{14:) B2n + l=BnBn+iBnBn + l — X^ S^ AnÄn +i CnCn +i, 

C2n + l=CnCn+iBnB„+i — X^ X^ y^ An An+iBnBn+i, 

B2n + i = BlBUi — x^x^y^z^AlA^,^^. 

Aus diesen Formeln schließt man, daß die J., jB, C, B 
ganze rationale Funktionen von x2 sind, und daß die 
Zahlenkoeffizienten ganze rationale Zahlen sind. 

Denn nach (10), (12) hat diese Eigenschaft für w = 1, 2 
statt und folglich nach (13), (14) allgemein. 

13* 



■j^gg Sechster Abschnitt. § 58. 

Über den Grad in bezug auf x2 läßt sich nocli schließen, 
daß die Koeffizienten von x^^ den Grad v in bezug auf x2 nicht 
übersteigen. Denn ist diese Regel richtig für n und w + 1, so 
folgt ihre Richtigkeit für 2n und 2w + 1, und für w = 1, w = 2 
trifft sie zu. 

Aus den Grundgleichungen zwischen den drei elliptischen 

Funktionen : 

1 = cn^v -\- sn^^? = dn2^; -j- y.^^ji^x 

ergeben sich noch die Relationen: 

B"- = B"^ -\- x^y-z-A^ = C^ ^ x^x^ißz^Ä^, n gerade, 
^^^^ D2 _ y2]S2 j^ x^A^ = ^2^2 -|- x^ x^ A^, w Ungerade, 
mit deren Hilfe man nach (14) J52« und C^n durch A» und D„ 
allein so ausdrücken kann: 

5,, = D^ - 2x^y^,^Aim + ^^-xUfz^At | ^ ^^^^^ 
C,n = Dn — ^^'x^y^^'ÄlD'„^x^x^y^2^At4 

^ ^ B,n = Di — 2x^Aim + x^x^A'n \ . 

\ n ungerade. 
C,n = B'n — 2x^x^AlDl + xKv^Af,j 

§ 58. Multiplikation der Punktion p (ii). 

Eine sehr elegante Form erhält die Multiplikationstheorie für 
die Weierstrasssche Funktion ^ (u) mit den beiden Perioden 

Betrachten wir die doppelt periodische Funktion 

(1) p{nu) — p(u), 

worin n eine beliebige positive ganze Zahl sein mag. Diese 
Funktion wird unendlich für m = 0, und zwar so, daß 

fl2 l l 

(2) p{^^^)- pW + ^^^^7i 

für u = endlich bleibt. Außerdem wird sie aber unendlich 
für alle Werte u'* von u, die der Bedingung 
wtt* ^ (mod Wi, Wg) 
genügen, also von der Form sind: 

(3) «* = "■"'+''^'°\ 

worin Vi, i'g beliebige ganze Zahlen bedeuten. Wir erhalten alle 
in (3) enthaltenen inkongruenten W^erte, wenn wir i\ und v^ je 
ein vollständiges Restsystem nach dem Modul n durchlaufen lassen. 



§ 58, Multiplikation der Funktion p{u). 197 

Die Funktion (1) verschwindet für alle von Null verschiedenen 
Werte u^ von m, die der Bedingung 

+ wmo ^ u^ (mod 03,, CO2) 
genügen, also für 

(4) W = "■"■ + :""' , 

wenn wieder Vj, r^ beliebige ganze Zahlen sind. Die Nullpunkte 
sind von der ersten, die Unendlichkeitspunkte von der zweiten 
Ordnung. 

Wir führen daher jetzt eine Funktion i/'„(m) ein, die wir 
folgendermaßen erklären : 

(5) M«r = n^"n'[p (») - p C'"'t "'"' )] - 

wobei Vi, V2 je ein vollständiges Restsjstem nach dem Modul w, 
mit alleinigem Ausschluß des Wertepaares 0,0 durchlaufen, und 
fügen noch die Bestimmung hinzu, daß t/^j = 1 sein soll. 

Wenn n ungerade ist, so kommt in dem Produkt (5) jeder 
Linearfaktor zweimal vor, da die beiden inkongruenten Werte 

^ _ _^ ri 03i -f V^ (Jg 

"~ n 

den gleichen Wert von p («) ergeben. Ist aber n gerade , so 
kommen wieder in (5) alle Linearfaktoren zweimal vor, mit Aus- 
nahme der drei 

p 00 - p [yJ^ p W - p \-2p P W - p \ — ^ — > 

die nur einfach vorkommen. Beachtet man nun, daß nach § 41 

P'i-f =i& («)- p (^f)][p (»)- p {^)\9 («)- p {^)] 

ist, so ergibt sich das Resultat: 

,^. n ungerade: i^„ = P„, 

n gerade: ^n = p'(u)Pn, 

wenn P„ eine ganze rationale Funktion von (u) bedeutet, 
die bei ungeradem n vom Grade |(w2 — 1) und bei geradem n 
vom Grade -(n^ — 4) ist, und in der das Glied höchster Ordnung 
bzw. gleich 



198 SeeliBter Abselmitt. ^ 58. 

ist, wodurcli zugleicli das nach (ö) noch imbeBtimmte Vorzeichen 
bestimmt ist Bei dieser Bestimmung der Vorzeichen ist das 
Anfangsglied in der Entwickelung von tt'„(Mj nach steigenden 
Potenzen von u in beiden Fällen (§ 56): 

Erwägt man nun. daß die ünendlichkeitspunkte der Funk- 
tion (1) mit den Nullpunkten von ilfn(u) zusammenfallen und die 
Nullpunkte von (1) mit den Nullpunkten von i^«-i(wj: daß also 

eine überall endliche doppelt periodische Funktion und daher 
eine Konstante ist, deren Wert sich aus u = gleich — 1 er- 
gibt, so folgt: 

(9) p (nu) = ^ (u) :^^ ^. 

woraus sich die beiden folgenden Formeln ergeben: 
(lOj ^j(nu) = p(u) ""' ps' ^ « gerade, 

^= & ' '<^J — Tr. • ^ ungerade. 

Wir bestimmen zunächst die Funktion P„ in den ersten 
Fällen h = 1, 2, 3, 4. Dazu bilden wir nach dem Additions- 
theorem der ^-Funktion l'i 49, (11)]: 

indem wir w ::= f setzen und den Grenzwert rechts durch Differen- 
tiation bestimmen: 

oder 

3 ^ («)* — 1^2 ^^ (w>2 — 3^3 ^:> fw) — ll 

aij ^>(2.«) = p(u) -r^^ . 

so daß 



§ 58, Multiplikation der Funktion jo («). 199 

(12) P, = \, 1\=\, Pz-=^ip(^f-l02pW-^{hip{u)-^ 
wird. Wir erhalten ferner au8 der Additionsformel (§ 49): 

indem wir /; =^ 2 m setzen, nach (9): 

also: 

und wenn man aus (11) den Wert p'(2u) bildet: 

(13) F, = -2^ (up -^jg^p (^y 4- 10 g,p(uy 

5 1 fj'^ 

-h Qfh' p (Uf -f y.'/2,9:i p (U) -h ^:' — ^• 

für größere Werte von n leiten wir Kekursionsformeln ab. 
Zu diesem Zweck wenden wir die Formel (9) auf zwei verschiedene 
Zahlen w, n an und erhalten: 

p(u)-^(mu) = ^^ 1, 

p(u)-p(nu)= ^;(^^. ^ • 

woraus zu ersehen ist, daß die rechten Seiten einander gleich 
werden für solche Werte u'' von m, die von Null verschieden sind 
und der Bedingung genügen 

mu'^ ^ -j^nu'' (mod ojj, oj^j, 
oder 

(m 4: w)w* ^ (mod oj,, W;^); 

für dieselben WerUi u" verschwinden aber auch die Funktionen 
•<j daß die beiden Funktionen: 

1p„, + i (U) llJ„^ _ 1 (U) tn (uy — ll>n + i Cm) 1p „ - i (U) V'm (u)^ , 

die nach (ßj ganze rationale Funktionen von (p (u) sind, für die 
nämlichen endlichen Werte von ^j (u) verschwinden. Sie unter- 



200 Sechster Abschnitt. § 59. 

scheiden sich also nur durch einen konstanten Faktor voneinander, 
der sich aus (7) gleich 1 ergibt. Wir haben daher 

^ ^ = tm + l(u)tm-l (W) i'n (m)^ — i'n + l («) tn - 1 (w) t/^,„ (m)^. 

Diese Formel wenden wir auf zwei spezielle Fälle an, indem 
wir w -f- 1, n oder w -|- 1, n — 1 an Stelle von ni, n setzen, und 
erhalten so: 

i'2n + l{lf) = tn + 2{u)tn{uy — t/;„ + i (m)3 t/;„_i (m) 
p'(u)i^.2n{u) = — ^lJn{^t)[tn + 2iu)lpn-liuy — t^« ^ i(m)2 l/^,_ o (h)], 

und daraus erhält man nach (6) die Rekursionsformeln für P„: 

(15) P2n + i = p'{if)*Pn + 2Pn — Pn + iPn-u n gerade, 

= Pn + iPn — ^ ' (tt)* P^ + 1 P„ - 1 , n ungerade. 

(16) P^n = Pn{Pn + 2Pn- 1 Pn + lPn — 2)- 

Da sich die Funktionen P„ alle hiernach aus P^, Pg, P3, P4 
berechnen lassen, so folgt, daß die Koeffizienten von P„ 
rational aus ^21 9$ und rationalen Zahlen zusammen- 
gesetzt sind. 

Unsere ferneren Betrachtungen über die Teilung knüi^fen 
wir aber an die Multiplikationsformeln der Funktionen sn^^, cum, 
dnw, deren Vorzüge erst im vierten Teil vollständig zur Geltung 
kommen werden. 

§ 59. Die Teilung durch 2. 

Indem wir uns zunächst zur Betrachtung des einfachsten 
Falles wenden, setzen wir in den Gleichungen (5) des § 57 v an 
Stelle von 2 v. Dann ist, wenn wir 

(1) Ä; = sn-, y = cn—, ^ = dn- 



2 ' ^ 2 ' 2 



setzen ; 



(2) 



snü 


= 


2 

1 - 


xyz 


cny 


= 


1 - 


— «2^2 

- K^X^ ' 


rln n 




02 - 


— x^x^y^ 



1 — K2a;4 

Die beiden letzten dieser Gleichungen sind quadratisch in 
bezug auf x^., sie haben aber nur eine gemeinschaftliche 
Wurzel, denn die Wurzeln der zweiten der Gleichungen (2) sind 



§ 59. Die Teilung durch 2. 201 

sn2|, sn2(|-^-Z-|-^■Z'), 
und die der dritten 



sn2-^, sn^f^J^K). 



V 

2"' 



Man findet nun leicht aus (2): 

1 + cny == ^ — , 1 -H dny = — , 

2 ^2 ^2 2x2.r2w2 

1 — cny = — -, 1 — dny := ^^-, 

1 — x^x^' 1 — x2^4' 

2w2^2 

dn y -[- cn y = 



1 — X2a;4' 
also 



1 — cnü li/l — dny 



n + dn y ~ X f 



.g^ , . I ..^ ^ K 1^ 1 -|- cn y' 



dn y -|- cn V -i /dn t' -f- cn y 

^~ [/ 1 4-dny ' ^ — ^ 1 + cn y ' 

zwischen den Vorzeichen dieser drei Größen besteht nach der 
ersten Gleichung (2) noch eine Relation, so daß man nur vier 
verschiedene Wertsysteme erhält, welche folgende Bedeutung haben : 

sn(|), cn(l-), dn(|-), 

(|-+2Z), Cn(|+2X), dn(| + 2^), 

(\L^2iK'y cn(| + 2iZ'), dn(|+2i7r), 

sn('-| + 2Z-f 2iÄ"'\ cn(| + 2^+2i-^'\ dn(| + 2^+2iÄ"Y 

Wir führen noch die aus (3) sich ergebenden speziellen 
Fälle an: 



sn 



sn 



K 1 iK' i K-^iK 

sn -^ = , .. sn-— — = — =, sn -: 



' -ilx-^-iy,' 



^"o 



2 VT+^' 2 y^ 

K i/~^^ iR' i/r4^ K^iK' i/^^^^^77' 



dn^= - 



,- iK' , K+iE' ,/ x 



202 Sechster Abschnitt. § 60. 

Hieraus folgt nun, daß man die Teilung durch 2 und mithin 
auch durch jede Potenz von 2 durch eine Kette von Quadrat- 
wurzeln ausführen kann. Setzt man daher die Aufgabe der Tei- 
lung durch eine ungerade Zahl als gelöst voraus, so ist die Teilung 
durch eine gerade Zahl auf Quadratwurzeln zurückgeführt. Im 
folgenden beschäftigen wir uns ausschliei31ich mit der Teilung 
durch ungerade Zahlen. 

§ 60. Die Teilung durcli eine ungerade Zahl. 
Setzt man, wenn n eine ungerade Zahl ist, 

( 1 ) ^ = sn — , w = cn — , .0 = dn — , 

so erhält man aus den Gleichungen IV, § 57: 
I){x^)mv — xA{x^) = 0, 

(2) D {x^) cnv — yB (x^) = 0, 
D{x^)dnv — ^C{x^) = 0. 

Die erste dieser Gleichungen ist in bezug auf die Unbekannte 

X vom Grade n^; durch die zweite und dritte werden y und z 

rational durch x (und durch cnv, dn ?') ausgedrückt. Es ergeben 

sich also n^ Wertsysteme für die drei Unbekannten x, ?/, ^, deren 

Bedeutung ist: 

/v , 4.aK -^ Au'iK' 

Xu,u' = sn h 

(3) yu,u' = cn(j^ -\- 

2u,u' = dn( [- 

worin |u, ^' je ein vollständiges Restsystem (mod n) durchlaufen. 
Die erste Gleichung (2): 

(4) D(ic2)snv — xÄ{x'-) = 0, 

vom Grade n^ heißt die allgemeine Teilungsgleichung. Sie 
ist in dem Sinne irreducibel, daß sie nicht in Faktoren zerlegbar 
ist, die in bezug auf snv, cnv, dnr rational sind und beliebige 
von 'V unabhängige Koeffizienten haben. 

Denn zunächst sind die n^ Werte Xu,u' alle voneinander ver- 
schieden, und wenn irgend eine rationale Gleichung: 



n 




4:flK -^ 4^' 


iE' 


n 




AfiK ^ 4.(1' 


iX' 



i^ f sn — , sn V, cn v, dn v j = 



§ 60. Die Teilung durch eine ungerade Zahl. 203 

besteht, so kann darin die Variable v durch v -j- 4:^K -\- 4,^'iK' 
ersetzt werden. Wegen der Periodizität von snr, cnr, dnv folgt 
aber daraus, daß die Gleichung 

F{x^ snv, cn^;, dnw) = 
für alle Wurzeln der Gleichung (4) erfüllt ist. Um ihre Galois- 
sche Gruppe zu ermitteln, setzen wir zunächst den Rationali- 
tätsbereich fest. Er soll folgende Größen umfassen: 

1. rationale Zahlen, 

2. rationale Funktionen von x^, 

3. die drei Funktionen sn r, cn y, dn v. 



4. die Größen sn i— — — j 



Aus (2) folgt dann, daß auch 

\ n /' \ n 

zum Rationalitätsbereich gehören. 

Wir bemerken nun, daß nach dem Additionstheorem jede der 
Größen Xfi^u' durch jede andere unter ihnen rational ausdrückbar 
ist. Wenn insbesondere 

ist, so ist 

(6) -3?« + V, u' + v' = -t ix,u' \'fr,v') = -t* u + v,u' -\-v' \Xo,o)- 

Daraus folgt, daß die Galoissche Gruppe unserer Gleichung 
aus den n^ Vertauschungen S,.^v' besteht, die man erhält, wenn 
man in den Wurzeln Xu,u' die Indizes /tt, ^' alle um dasselbe 
Zahlenpaar v, v' vermehrt (wobei jeder Index nach dem Modul n 
zu nehmen ist). 

Denn nach (5) kann jede rationale Funktion der Wurzeln 
Xu,u' rational durch :ro,o in der Form 

^(^o,o) 
ausgedrückt werden und geht also nach (6) durch die Substitution 
S.^,' in 0(.r,.^,r) über; bleibt sie also durch diese Substitution 
ungeändert, so ist sie rational. Umgekehrt folgt aus der 
Irreduzibilität, daß jede rationale Gleichung zwischen den Wurzeln, 
da sie in die Form gesetzt werden kann: 

^(^o,o) = 0, 
und also 



204 Sechster Abschnitt. § 61. 

zur Folge hat, die Substitution ä,.,,' gestattet. Die Gruppe 
der Äv,t' ist aber wegen 

eine Ab e Ische, welche nach der Formel 

durch die Basis Äi,o, 5^o,i darstellbar ist, und also ist die all- 
gemeine Teilungsgleichung eine Abelsche Gleichung und 
mithin algebraisch lösbar (Bd. I, § 169 f.). 

§ 61. Die Teilung der Perioden. 
Die weiter noch zu lösende Aufgabe besteht nun darin, auf 
algebraischem Wege die Größen 

(1) Xu,u' = ^n(-^ — ^- ^ 

zu bestimmen. Man erhält alle Werte dieser Größe, wenn man 
fi, fi', voneinander unabhängig, je ein vollständiges Eestsystem 
nach dem Modul n durchlaufen läßt. Diese Werte sind aber 
auch alle voneinander verschieden, denn sn y kann nur dann 
= sn v' sein , wenn v' kongruent v oder kongruent 2 K — v 
modulo 4Ä, 2iK'^ und beides kann für zwei verschiedene der 
Argumente von (1) nicht eintreten. 

Die n2 Größen (1) sind die Wurzeln der Gleichung 

(2) xA(x^) = 0, 
und nach den Formeln 



können auch 



t/^„u' = cn 



4/iÄ+ 4.^'iE' 



,^,„, = an(*i*^±Mi^) 



rational durch x^i^^> ausgedrückt werden, wenn der Rationali- 
tätsbereich aus rationalen Zahlen und rationalen 
Funktionen von x^ besteht. 

Aus den Wurzeln x^ der Gleichung ^ = lassen sich nach 
?^ 60, (2) und § 44, (18), (19), (20) die Wurzeln von 5 = 0, 
C = 0, I) = rational ableiten; wenn nämlich x^ eine Wurzel 
von Ä = ist, so sind 



§ 62. Die Abelschen Relationen. 205 

1 — X^ 1 — X2 ^'ä 1 

1 — x2a:2' ü2{l — x^y x2a;2 

die Wurzeln von i? == 0, C = 0, i) = 0. Die Bedeutung dieser 
letzteren Wurzel ist aber 

n 

4^^+ (4/i' + i)?/i:Y 



sn 

und hiernach sind durch Auflösung der Gleichung A ^ alle 
Größen von der Form 

worin /«, ^' beliebige ganze Zahlen sind, rational bestimmt. 

§ 62. Die Abel sehen Relationen. 

Für eine nähere Untersuchung der algebraischen Natur der 
Periodenteilungsgleichung ist ein System von Relationen zwischen 
ihren Wurzeln von großer Wichtigkeit, zu dessen Ableitung wir 
jetzt übergehen i). 

Wir betrachten die Summe; 

. üi2ii*"("+ir) 



*-.(« + ") 



genommen nach v über ein volles Restsystem für den (ungeraden) 
Modul n. v' ist eine beliebige ganze Zahl und ^j, ^2 ©ine der 
drei geraden Charakteristiken (0,0), (0,1), (1,0). Diese Summe 
ist unabhängig von dem besonderen Restsystem, das man für v 
genommen hat. 



^) Diese Relationen rühren von Abel her (Oeuvres completes, Bd. I, 
S. 523 ; Bd. II , S. 251 der neuen Ausgabe). Der oben gegebene Beweis 
dieser Relationen schließt sich an Her mite an (Grelles Journal, Bd. 32, 
S. 283). Zu erwähnen ist noch Sylow, Christiania Yidenskabsselskabs 
Forhandlinger 1864 und 1871. Kronecker, Berichte der Berliner Akademie, 
19. Juli 1875. Engel, Berichte der Sächsischen Gesellschaft der Wissen- 
schaften, 31. Juli 18S4. 



206 Sechster Abschnitt. § 62. 

Der Hauptnenner der in (1) vorkommenden Brüche: 

ist nach den letzten Formeln des § 33, von einem konstanten 
Faktor abgesehen, gleich 

^g„g,{nu, na), 

und wenn wir also die Summe (1) gleich 

(U) 

setzen, so ist 0(n) eine ganze transzendente Funktion von u. 

Nun ist 



^ 



^■' (" + -1^) _ . ^,,.. ^"("+ n ) 

und V durchläuft gleichzeitig mit v -|- |(w -|- 1) ein volles Rest- 
system nach n. Daraus ergibt sich nach (1) und (2) 

(3) (^« 4- _ J = - e —0 (h) 

und cähnlich 

(4) 0{\i -f 03) = — e-««J(2" + '")^(M). 

Daraus ergibt sich, daß die Funktion 0(m) eine i- Funktion 
ist mit den Perioden l/w, w, die durch die Bedingungen (3), (4) 
bis auf einen von h unabhcängigen Faktor bestimmt und durch 
eine 0-- Funktion ausdrückbar ist (§ 19). Man sieht leicht, daß 
die Bedingungen (3), (4) durch die Funktion 
g— 4 7riv'M^^^ (^^,^( — 4v'o, nio) 

befriedigt sind, so daß sich ergibt: 
/ 2 7A 

(5) ^e " . ^ ^-^ = Ce-*'^*' "— M^ 7 ^^ 






n 

Die Bestimmung der Konstanten C kann man leicht aus- 
führen, wenn mau rechts und links mit 

multipliziert und dann 

^ ^ (l-ff.)+(l -^i)» 



§ 62. Die Abel sehen Kelationen. 207 

setzt. Die Formel (2) des § 21 ergibt dann: 

{a\ r — f ^^^3l + V(9.+l)'■^ &g„ g, (0, 03) »n (0, n 03) 

^^ "^ — ^'^ '>,^.,^(2v'o3, no3) ^;i(0,03) ' 

Die Ab eischen Relationen erhält man einfach, indem man 
in (5) nu = 2v'o3 setzt, wodurch die rechte Seite verschwindet: 

'2?^' 03 + 2v^ 



/ 2i^'o3 + 2v \ 



^ ^ ^^ /2v'o3 + 2v\ 

Wendet man auf die hier vorkommenden -^'-Funktionen eine 
lineare Transformation 

an, so erhält man nach § 39 die allgemeine Formel: 
^ /2(va + v'y) + 2(v/3 + i/'d)o3\ 

(8) Ye~^ V n y 

^^ -^ / 2{vu 4- v'y) + 2(i//3 + v'd)(o \ 

Diese Gleichungen gehen nun, wenn man gi, g^ = 0,1 setzt 
und die Bezeichnungen des § 42 einführt, unmittelbar in Rela- 
tionen zwischen den Wurzeln jc».,»' (§ 61) über: 

V 8 1' V' TT i 

(9) ^e " X^cc+^'y,^ß + ^'ö = 0, 

und den beiden speziellen Fällen: 

fa, /3\ _ /l, 0\ / 0, 1\ 

V/, öV - \o, 1/ v-1, o; 

entsprechend : 

V 8 V »■' TT i 

(11) ^e ^~:r,.,' = 0. 

Nach (5), (6) kann man auch den Wert dieser Summen be- 
stimmen, wenn darin die n^^ Einheitswurzel 

e~ 



208 Sechster Abschnitt. § 63. 

durch eine andere ersetzt wird, indem man in (5) v' durch ein 
anderes Zeichen, w, ersetzt und dann nu = 2v'co setzt. Be- 
schränken wir uns auf den Fall (91,^2) = (0? 1) und multipliziert 
(5) noch mit O'oot'O'io, so folgt: 

(12) ^' 



^^ (y J(y\f \f 



^ ^ 'O'io'^ii'9'oi (2wG), na))'9'oi (2 v'o), wo) ' 

wo die linke Seite dann, aber auch nur dann verschwindet, 
wenn m ^ v' (mod w) ist. 

§ 63. Die Galoissche Gruppe der Teilungsgleicliung. 

Im dreizehnten Abschnitt des ersten Bandes ist gezeigt, wie 
die algebraische Natur einer Gleichung ihren einfachsten Aus- 
druck in der Galois sehen Gruppe der Gleichung findet. 

Es sei hier kurz an die Definition der Galoisschen Gruppe 
erinnert. 

Nachdem der Rationalitätsbereich ß festgesetzt war, ist die 
Galois sehe Gruppe einer Gleichung F{x) = 0, von der nur 
vorausgesetzt wird, daß sie keine gleichen Wurzeln habe, definiert 
als die Gruppe G der Permutationen unter den Wurzeln dieser 
Gleichung, der die doppelte Eigenschaft zukommt: 

a) Jede rationale Gleichung in iß, die zwischen den Wurzeln 
von F{x) besteht, bleibt richtig, wenn die Wurzeln irgend 
einer Permutation dieser Gruppe unterworfen werden. 

b) Jede rationale Funktion in ^ von den Wurzeln von F{x)^ 
die sämtliche Permutationen der Gruppe gestattet, ist in 
il enthalten. 

Indem wir nun die Gruppe G der Teilungsgleichung zu be- 
stimmen suchen, setzen wir als Rationalitätsbereich zunächst den 
Inbegriff aller rationalen Zahlen und rationalen Funk- 
tionen von 3{2 voraus. 

Nach dem Additions- und Multiplikationstheorem (vgl. § 57, 
61) ist, wenn f und 9?,„ rationale Funktionen bedeuten, die von 
ft, fi' V, v' unabhängig sind. 



§ 63. Die Galoissche Gruppe der Teilungsgleichung. 209 

Ist nun S irgend eine Substitution der Gruppe Ö), durch die, 
wenn «, 6, c, d ganze Zahlen bedeuten, die nach dem Modul n 
genommen sind, 

^1, Ol -^"o, 1 m ^-\\^_c, A' — 6,0 

übergeht, so können wir S auf jede der Formeln (1), (2) an- 
wenden. Es ist aber nach (2): 

^,11,0 ^^^ 9^u (A"i^ Ojj 

woraus zu schließen, daß durch die Substitution S 
Übergeht. Ebenso findet man, daß durch S 

^0, u' m (fu' \X—h,a) =^^ ^ — hu', au' 

Übergeht. 

Wenden wir dies auf die aus (1) hervorgehende Gleichung 

an, so folgt, daß durch *S 

\^j "^'"j,"' •'^ '^0," — &,"', — cu-\-au' 

Übergeht. 

Hieraus schließen wir zunächst, daß die Zahlen «, h, f, d so 
beschaffen sein müssen, daß ihre Determinante 
(4) in = «8 — hc 

mit n keinen Teiler gemein hat. Denn wäre ein solcher Teiler 
vorhanden, so würden (x, ji', ohne daß beide durch n teilbar sind, 
so bestimmt werden können, daß 

oft, — h^' ^0, — c^ -\- u^' ^ (mod «), 
und es würden mehrere voneinander verschiedene Wurzeln ;ru,u' 
durch S in ein und dieselbe Wurzel übergehen, was unmöglich 
ist. Denn zunächst können weder a und b noch c und d einen 
Teiler mit n gemein haben, weil sonst, wenn afi', h^' oder cu, d^ 
durch n teilbar genommen werden, alle ;ru', o oder alle .To,u in 
iTn, übergehen würden. Setzt man dann mu = n (Ji a -\- h' h)^ 
ma' = n{kc -\- /i'8), und bestimmt h und h' so, daß lia -j- ^^'b 
keine Teiler mit n gemein hat, so brauchen, wenn n und m einen 
gemeinsamen Teiler haben, j.i, ^i' nicht beide durch w teilbar zu sein, 
und es geht nicht nur ,ro,o^ sondern auch .r«, u' nach (3) in .ro,o über. 

Bezeichnen wir abgekürzt die Vertauschung (3) mit 

\^ u, u' 1 ■'i\,r')i 

so ist 

V ^ d ß — b a' , . 

(mod w), 

v' ^ — Ca -(- a ^ 

Weber, Algebra. III. j/|. 



210 Sechster Abschnitt. ij 63. 

und daraus, durcli Auflösung, mit Benutzung der Bezeichnung 
§ 28, (4): 

(5) ,,K^,^') = (^;g)(»^,n 

Es ist daher 



ein zweckmäßiges Zeichen für die Vertauschung S, und aus (5) 
ersieht man, daß sich zwei solche Vertauschungen: 

genau nach der in § 28 gegebenen Regel: 

(7) SS' = s" = (""' + '"': "';',tlt) 

^ ' \ca' -\- cc\ ch' -[- dd J 

zusammensetzen, so daß die Vertauschuug S" der Wurzeln ent- 
steht, wenn zuerst die Vertauschung >S', sodann die Vertauschung 
S' unter den Wurzeln der Teihmgsgleichung vorgenommen wird. 
Zu beachten ist aber immer, daß hier nur die nach dem Modul 
n genommenen Reste der Zahlen «, /;, c, g in Betracht kommen, 
so daß die Anzahl der Vertauschungen S stets endlich ist i). 

1. Der Inbegriff aller Substitutionen ( ' ) bildet 

eine Gruppe, die wir mit ^t bezeichnen, und in ihr ist, 
Avie wir bewiesen haben, die Grupi^e (S der Teilungs- 
gleichung enthalten. 

In ^^t ist als Teiler eine Graj^pe 33 enthalten, die aus allen 
Substitutionen (5) 

(B) T^C^X 

besteht, die der Bedingung 

(9) aö — /37 = 1 (mod n) 

genügen. 



') Wollte mau, was auf den ersten Hlick näher zu liegen scheint, die 

Bezeichnung S =^ ( ' j wählen, so würde die Komposition nach der 

Formel S' S ^= S", also umgekehrt wie bei der üldichen Komposition der 
Permentationen, zu bezeichnen sein. 



i? 63. Die Galoissche Gruppe der Teilungsgleichung. 211 

Jede Substitution S läßt sich durch Zusammensetzung von 



0,1. 
mit einer Substitution T herleiten; man hat, damit 

s = r'!' ^^ T 



0, 1. 
sei, a, |3, y, 8 einfach aus den Kongruenzen 

a ^ am, h ^ ßm^ c ^ y^ d ^ d (mod n) 
zu bestimmen. 

Wir betrachten nun 

(10) .,,^sn( ^^^+^^--^^ ^ "° ^' ^^ ;- ^ , 



<2 



'10 



als Funktionen von co, und wenden darauf eine lineare Trans- 
formation 

C; - G; D (™- «) 

an, indem wir co durch 

(11) «■ = i^ 

ersetzen; dann ergibt sich nach den Formeln (3), (5) und (6), 
i; 39, daß 

•^'u,u' In sc a /.i -^ Y ^\ ß fi -\- d fi' 

Übergeht, d. h. es erleiden die Xu,n' eine Substitution, die nach 
(3), (6) mit 

zu bezeichnen ist, während x^ ungeändert bleibt. 

Auf diese Weise kann auch umgekehrt jede der Substitutionen 
T entstehen; denn wenn irgend eine Substitution T gegeben ist, 
so kann man durch Hinzufügen passender Vielfachen der (un- 
geraden) Zahl n zu den Zahlen a, /3, 7, d den Bedingungen 

cc=l, 6 = 1, ß = 0, 7 = (mod 8) 
immer genügen. 

14* 



212 Sechster Abschnitt. § 68. 

Irgend eine rationale Gleichung zwischen den Wurzeln a-«,«' 
und x2 geht, auch wenn beliebige konstante, d. h. von oj unab- 
hängige Zahlenkoeffizienten darin vorkommen, durch (10) in eine 
Identität über, und man kann daher für co 

y -\- d CO 
a -\- ßo) 

substituieren, d. h. man kann jede Substitution T auf die rationale 
Gleichung zwischen den X/^^u' anwenden. Daraus folgt, daß die 
ganze Gruppe iß in ® enthalten ist (Bd. I, § 156) und sogar 
in der Gruppe ©', die aus der Gruppe © der Teilungs- 
gleichung durch Adjunktion beliebiger Zahlen entsteht. 
Wenn wir den Rationalitätsbereich der rationalen Zahlen 
durch Adjunktion von nten Einheitswurzeln erweitern, so gehören 
zu den rationalen Gleichungen auch die Ab eischen Relationen 
des vorigen Paragraphen. Auf diese Relationen, etwa auf 



Ue " a\r' = 
ist aber keine der Substitutionen 



M 






in der m von 1 verschwindet, anwendbar; denn durch diese Sub- 
stitution geht, wenn mm' ^ 1 (mod w) ist, 

Svv'jti Qrm'y'Tli 
V V 

2e " Xv^r' in 2Je " Xv,v' 

über, was nach (12), § 62 von Null verschieden ist, wenn nicht 
m' und also auch m i^ 1 (mod n) ist. Daraus folgt der Satz: 

2. Nach Adjunktion der nten Einheitswurzeln (und 
beliebiger anderer Konstanten) ist 93 die Galoissche Gruppe 
der Teilungsgleichung. Es wird 93 auch die Monodromie- 
gruppe der Teilungsgleichung genannt. 

3. Wir beweisen jetzt noch, daß in dem ursprünglichen 
Rationalitätsbereich, also ohne Adjunktion der nten Einheits- 
wurzeln oder anderer irrationaler Zahlen, die Gruppe der 
Teilungsgleichung mit der Gruppe 9( identisch ist. 

Es ist in Bd. I, § 174 gezeigt, daß die primitiven nten Ein- 
heitswurzeln Q Wurzeln einer irreduziblen Gleichung 

(12) 0{Q) = 



§ 63. Die Galoissche Gruppe der Teilungsgleichung. 213 

sind, und diese Gleichung kann auch nicht zerfallen, wenn der 
unabhängigen Veränderlichen x^ durch Adjunktion der Rationalitäts- 
bereich der rationalen Zahlen erweitert wird. 

Der Grad dieser Gleichung ist (p{n), d. h. gleich der Anzahl 
der Module n inkongruenten Zahlen wi, die relativ prim zu n sind. 

Es sei nun 

(13) F{r) = 

eine Galoissche Resolvente vom Grade ^ der Teilungsgleichung 
im ursprünglichen Rationalitätsbereich (so daß alle Wurzeln ^',,1' 
rational durch r darstellbar sind, Bd. I, § 152). Diese Gleichung 
muß nach Adjunktion einer Wurzel von (12) zerfallen; denn 
wäre dies nicht, so würde jede rationale Relation 

(14) ^(r,p) = 

für alle Wurzeln von (13) befriedigt sein, und t^(^, p) wäre durch 
F(t) (für ein variables t) teilbar. Es würde also (14) noch be- 
stehen bleiben, wenn q durch eine andere Wurzel q^ von (12) 
ersetzt wird. Dies ist aber nach § 62, (12) nicht zutreffend, wenn 
man an Stelle von (14) eine der Abelschen Relationen setzt. 
Es sei nun nach Adjunktion von q 

(15) F{r,Q) = 

die Galoissche Resolvente vom Grade v der Teilungsgleichung, 
so daß V nach 2. gleich dem Grade der Gruppe 53 ist. Es ist 
dann F(t) durch F(t^Q) algebraisch teilbar und also wegen der 
Irreduzibilität von (12) auch durch jede der Funktionen F(t,Q'"). 
Da die Funktionen F(t, (>'") irreduzibel sind, so können nur dann 
zwei von ihnen einen gemeinsamen Teiler haben, wenn sie ganz 
identisch sind. Wenn aber 

F{t,Q) = F(f,r) 

wäre, dann würde aus jeder Gleichung der Form (14) folgen, daß 
iPit^Q) durch F(t, q) = F(t,Q'") teilbar wäre, und es würde 
folgen, daß in (14) die Vertauschung (^, q^) gestattet ist, was 
wieder bei den Abelschen Relationen nicht zutrifft. Mithin sind 
die fp{n) Funktionen F(t^Q"') alle voneinander verschieden, und 
F(t) ist durch ihr Produkt teilbar. Der Grad fi von F(t) ist 
also wenigstens = v q) (n). Er kann aber auch nicht höher als 
v<5p(?y) sein, da vcp^n) der Grad der Gruppe ''}[ ist, und die 



214 Sechster Absclinitt. § 63. 

Gruppe @ vom Grade fi gewiß in ^ enthalten ist. Es ergibt 
sich hieraus 

(16) li = V (p(n) 

und zugleich die Identität von @ mit %. 

Daraus folgt aber auch, daß F(t) dem Produkt der sämtlichen 
Faktoren F{t, q'") gleich ist, also 

m 

(17) Fit) = HFit, r), 

und da F(t) = keine gleichen Wurzeln hat, daß zwar F{r, g), 
aber keiner von den anderen Faktoren F(r, q'"-) verschwindet. 
Die Gleichungen 

(18) F(:r,t) = 0, 0{t) = 

haben daher nur die eine Wurzel f= q miteinander gemein, 
und durch Aufsuchen ihres größten gemeinschaftlichen Teilers 
findet man q rational ausgedrückt durch r, d. h. durch 
die Wurzeln der Teilungsgleichung. 

Diese Ausdrücke für q ändern ihren Wert nicht, wenn auf r 
eine Substitution der Gruppe 53 angewandt wird, während [nach 
(12)] Q durch eine Substitution der Gruppe "^l in eine Potenz 
von Q übergeht. 

Die Abel sehen Relationen zeigen, daß durch die in % ent- 
haltene Substitution 

(.9) (-?) 

Q in p'" übergeht; denn setzen wir 

8 7?/ 

so lautet eine der Ab eischen Relationen 

(20) i;p^"'.xv,,v = 0, 

worauf, wenn für q der Ausdruck durch r gesetzt wird, alle 
Substitutionen von %, also auch (19), anwendbar sind. Nach § G2, 
(12) bleibt aber (20) bei dieser Substitution nur richtig, wenn 
Q in p"' übergeht. 

Da Q durch die Substitutionen in 53 nicht geändert wird, 
und da die Gruppe 5( aus 53 durch Zusammensetzung mit (19) 
entsteht, so folgt, daß durch irgend eine Substitution in 51 

Ca) 



§ G3. Die Gal 018 sehe Gruppe der Teilungsgleichimg. 215 

Q in p'" übergeht, wenn m der Determinante {ad — • bc) nach 
dem Modul n kongruent ist. 

4. Wir wollen schließlich noch die Zahl i-, d. h. den Grad 
der Gruppe 33 bestimmen. 

q){fi) hat, wie bekannt, den Ausdruck (Bd. I, § 140) 

(21) cpin) = n 72(1-1 

wenn das Produktzeichen 77 sich auf alle in n aufgehenden, von- 
einander verschiedenen Primzahlen p erstreckt. 

Die Zahl v ist gleich der Anzahl der nach n inkongruenten 
Zahlensysteme «, /3, y, ö, die der Bedingung 

(22) ad —■ ßy = 1 (mod w) 

genügen. Wir fragen zunächst nach der Anzahl der Paare <%, /3, 
die mit n keinen gemeinschaftlichen Teiler haben, und bezeichnen 
diese mit % (n). 

Ist n = n' n" und n' relativ prim zu w", so kann man aus 
jeder Kombination eines zu n' gehörigen Zahlenpaares cc', ß' mit 
einem zu n" gehörigen Zahlenpaar a", ß" ein zu n gehöriges 

a = n" a' + n' a'\ ß -= n" ß' -f n' ß" 

herleiten, und man erhält auf diese Weise alle Zahlenpaare «, ß 
und jedes nur einmal. Daraus folgt: 

(23) x{n) = x(n')x{n"). 

Es ist also noch xip'')^ d. h. ;^ (w) für eine Primzahlpotenz 
n =: p'^ zu. bestimmen. 

Setzen wir zunächst für a, ß alle modulo p'^ verschiedenen 
Zahlen, so ist diese Anzahl p'^^. Hiervon sind aber alle die 
Paare wegzulassen, bei denen a und ß durch p teilbar smd, 
deren Anzahl p'^'^-'^ beträgt, so daß 

und folglich nach (23) allgemein 

(•24) xin) = n^77(l-l) 

folgt, Avenn p die in n aufgehenden Primzahlen durchläuft. 

Jedes Zahlenpaar a, ß läßt sich durch Vermehrung um Viel- 
fache von n in ein solches verwandeln, deren Zahlen unter sich 
relativ prim sind, und dann läßt sich y, Ö so bestimmen, daß 

ccd — ßy = \ 



216 Sechster Absehnitt. § 64. 

wird, darin kann y, ö durch y -{- Ji, a^ d -\- h ß ersetzt werden, 
und indem man h ein volles Restsystem modulo n durchlaufen 
läßt, erkennt man, daß zu jedem Zahlenpaar oc, ß n der Bedingung 
(23) genügende Zahlenpaare y^ d gehören. Demnach ist die Ord- 
nung der Gruppe 23: 

V = n^nfl 

oder, wenn wir noch die numerische Funktion 

(25) T^(n) = n77(^l-f Ij 
einführen : 

(26) V = ncp (n) j^ (i?) 
und die Ordnung der (iruppe '^l: 

(27) ^ — n (p (nyH' (ii). 

§ 64. Die irreduzibeln Faktoren der Teilungsgleichung. 

Ist 

V = d [i — b {i' 

v' = 6'ft -|- «fl' 

und ad — hc relativ prim zu w, so ist der größte gemeinschaft- 
liche Teiler von ji, /u,', n zugleich der größte gemeinschaftliche 
Teiler von r, r', w. Die Wurzeln Xu^u- der Teilungsgleichung 
zerfallen also nach dem größten gemeinschaftlichen Teiler von 
(W, fi', n in Systeme, die durch die Substitutionen der Gruppe % 
immer nur ineinander übergehen, d. h. die Gruppe © ist in- 
transitiv, und die Systeme der Intransitivität sind die 
Systeme x^^^-^ in denen /i, fi', n einen und denselben größten 
gemeinschaftlichen Teiler haben. Die Teilungsgleichung ist also 
reduzibel (außer wenn n eine Primzahl ist) und die Wurzeln 
eines dieser Systeme der Imprimitivität genügen einer rationalen 
Gleichung (Bd. I, § 157). 

Nach dem vorhergehenden Paragraphen gibt es cp {n) t (») 
Zahlenpaare fi, ^\ deren größter gemeinschaftlicher Teiler mit n 
gleich 1 ist, und die diesen Zahlenpaaren entsprechenden Wurzeln 
x„^a' genügen daher einer rationalen Gleichung des Grades q:(v)ilf{7i). 
Diese Gleichung nennen wir die eigentliche Teilungsgleichuug 
für den Divisor n, weil nur dann, wenn fit, ^tt', n ohne gemein- 
samen Teiler sind, Xu,ix' nicht zugleich Wurzel einer Teilungs- 



^ 65. Zurückführ. d. Teilungsoleicliung a. Transformationsgleicliungeii. 217 

gleichimg für einen kleineren Divisor ist. Im Gegensatz hierzu 
nennen wir die Gleichung, deren Wurzeln die sämtichen X/^^u' 
sind, die allgemeine Teilungsgleichung für den Divisor n. 
Durch irgend eine Substitution der Gruppe 51 

S = h ^' 

\c, 

geht (1,0), (0,1) in (?, — r), ( — &, a) über, und wenn also S nicht 
die identische Substitution ist, so wird gewiß wenigstens eine der 
beiden Wurzeln ä'i, o, .a^'o, i durch S verändert. Daraus ergibt sich, 
daß die Galoissche Gruppe der eigentlichen Teilungs- 
gleichung genau dieselbe ist, wie die der allgemeinen, 
nur angewandt auf den Fall, daß ft, jx', n keinen gemeinsamen 
Teiler haben, nämlich, je nachdem die wten Einheitswurzeln 
adjungiert sind oder nicht, S oder %. 

Daraus folgt noch, daß die eigentliche Teilungs- 
gleichung irreduzibel ist, selbst nach Adjunktion be- 
liebiger Konstanten. 

Denn sind y, 8 irgend zwei Zahlen ohne gemeinsamen Teiler 
mit n^ so kann man a, ß der Kongruenz 

ad — ßy ^ 1 (mod n) 
gemäß bestimmen und die in ^-8 enthaltene Substitution 

auf jede rationale Gleichung zwischen den Wurzeln x^i^^i anwenden. 
Wenn also x^^q einer rationalen Gleichung (mit beliebigen kon- 
stanten Koeffizienten) 

^(.ri,o) = 
genügt, so genügt derselben Gleichung jede andere Wurzel Xd^^y 
der eigentlichen Teilungsgleichung, woraus die Irreduzibilität der 
letzteren folgt. 

§ 65. Zuvückführung der Teilungsgleichung 
auf Transformationsgleichungen. 

Die Wurzeln der eigentlichen Teilungsgleichung lassen sich 
in folgender Weise in Reihen anordnen. Man wähle nach Be- 
lieben eine der Wurzeln: 



•^,((j, u'j — sn 



(^j^iJ^±±iii^) = s„ij,. 



218 Sechster Abschnitt. § 65. 

Unter den Wurzeln der Teilungsgleichung kommen auch die 
qp {n) (Irößen 

(J^i) sn h ßi 

vor, die, wenn h ein vollständiges System inkongruenter zu 
n teilerfremder Zahlen durchläuft, alle voneinander verschieden 
sind. Das System (J^i) wollen wir die erste Reihe der Wurzeln 
nennen. 

Ist nun sn ßg eine in (Ej) nicht enthaltene Wurzel, so bilden 
die q) (n) Größen 

die sowohl untereinander als von den Wurzeln (i?i) verschieden 
sind, eine zweite Reihe; und auf diese Weise kann man fortfahren, 
bis sämtliche gj (w) t/; (w) Wurzeln der eigentlichen Teilungsgleichung 
in i^(w) Reihen von je (p{n) Gliedern verteilt sind. 

Nach dem Multiplikationstheorem läßt sich durch eine Wurzel 
jede andere Wurzel derselben Reihe rational ausdrücken in der 
Form : 

(1) snhSl = fh(snSi)^ 

worin f^ eine nur von dem Multiplikator /i, nicht von der Wahl 
von ß abhängige rationale Funktion ist. 

Wenn die beiden Wurzeln ^a,a', Xr,v' in dieselbe Reihe ge- 
hören, so muß sich die Zahl h so bestimmen lassen, daß 

(2) /ifi ^ i', h^' ^ v' (mod n), 

und umgekehrt, wenn dies der Fall ist, so gehören die beiden 
Wurzeln in dieselbe Reihe. Aus (2) aber folgt die Kongruenz 

(3) fiv' — Vft' ^ (mod n), 

und aus dieser lassen sich auch umgekehrt die Kongruenzen (2) 
wieder herleiten. 

Denn da ^u, ii\ n relativ prim sind, so kann man die Zahlen 
a, ß so bestimmen, daß 

a^ — ß l-i' ^ 1 (mod n) 
wird, und daraus folgt mittels (3): 

V ^ («1' — ß'^')l^i v' ^ (av — /3v')a' (mod w), 
also, wenn av — ßv' = h gesetzt wird, die Kongruenzen (2). 

Die Kongruenz (3) ist also die notwendige und hin- 
reichende Bedingung dafür, daß die beiden Wurzeln der 
eigentlichen Teilungsgleichung a"«,,,-, :r,,v' derselben Reihe 
angehören. 



§ 65. Zurückführ. d. Teilungsoleichung- a. Transformationsgleichungen. 219 

Hieraus folgt, daß die Einteilung in Reihen gänzlich unab- 
hängig ist von der Willkürlichkeit in der Annahme über die 
Wurzeln sn Si^ , sn ß^ ... 

Es folgt aber noch weiter daraus, daß durch die Sub- 
stitutionen der Gruppe '5t die Reihen nicht auseinander- 
gerissen, sondern nur untereinander vertauscht werden. 
Die Gruppe der Teilungsgleichung ist also imprimitiv, und die 
einzelnen Reihen sind die Systeme der Imprimitivität (Bd. I, §158). 

Denn wendet man auf (jit, ^') und (v, v') gleichzeitig die 
Substitution 

.c, d, 
an, so bleibt die Kongruenz (3) erhalten. 

Sucht man unter den Substitutionen der Gruppe ^t die Sub- 
stitutionen aus, welche die Wurzeln einer Reihe nur untereinander 
vertauschen, so erhält man eine Gruppe, und zwar einen Teiler 
von ?(. Zu jeder Reihe gehört also ein solcher Teiler von ?1. 
Bezeichnen wir mit -Ru,.u' die Reihe, in der die Wurzel Xu,u' vor- 
kommt, und mit 5l„,u' den zu dieser Reihe gehörigen Divisor von % 
so sind nach (3) [vgl. § 63, (3)] die Substitutionen 

von "^i^^f^' durch die Kongruenz 

(4) (d ^ — 6 fi') ^' -(- (c fi — a ^') ^ ^ (mod n) 

charakterisiert. 

Ebenso erhält man eine Gruppe 'l^t^u', wenn man die Sub- 
stitutionen in 5ß aufsucht, die die Wurzeln der Reihe Ru,u' nur 
unter sich vertauschen, deren Substitutionen: 

durch die beiden Kongruenzen: 

(5) {d^-ß ^') fi' + (y ^ - « ft') ^ = 

ad — ßy ^ l 
charakterisiert sind. 

Beispielsweise bestehen die Gruppen 5(i,o, 33i,o aus den Sub- 
stitutionen 



220 Sechster AlDschnitt. ^ 65. 

Die Gruppen ^(„^u- sind konjugierte Divisoren von 51 
(Bd. II, § 3), denn wenn Xj^o durch S in a;u,,u', also jRi^o in au,u' 
übergeht, so werden durch die Gruppe 

die Wurzeln von -iR,u,,u' nur unter sich vertauscht, und es ist also 

(6) S-'%,oS = %,,. 

Ebenso ist, wenn T eine Substitution in 33 ist, durch die 
.r],o in oc^^^i übergeht: 

(7) T-'^,,oT= 33,,,"'- 

Der größte gemeinschaftliche Teiler ^Iq aller Gruppen %u,,u' 
wird nach (4) bestimmt durch 

6^0, c ^ 0, a ^ d (mod n) 
und besteht also aus den Substitutionen: 

worin a eine beliebige, zu )i teilerfremde Zahl ist. %q ist identisch 
mit dem größten gemeinschaftlichen Teiler dreier der Gruppen 
3l,<^u', die verschiedenen Reihen angehören. Denn 3(o ist dann 
der größte gemeinschaftliche Teiler von 3(u,u', ^U,»', 3(r,, o', wenn 
die drei Kongruenzen 

CfA2 _ (g _ rt)^a' — 6;[i'2 = 

cv^ — (d — a)vv' — h v"^ ^ (mod n) 
c Q- — {d — a)Q q' — h q'- ^ 

nur unter der Voraussetzung 

8 ^ ((, & ^ 0, c ^ (mod n) 

erfüllt sind. Dies findet statt, wenn die Determinante 



= — [vq' — qv'){qii' — ^Q')(av' — 7';^') 



^2, ^t^, ^2 

V2, l' v\ l/2 
92, qq'^ q'2 

relativ prim zu n ist. 

Ebenso ist nach (5) der größte gemeinschaftliche Teiler 58o 
aller 33«, „' der Inbegriff der Substitutionen: 



mit der Bedingung: 

(9) «2 = 1 (mod n). 



§ 65. Zurückfuhr, d. Teilungsgleichung a. Transformationsgleichungen. 221 

Die Kongruenz (9) besitzt, wenn Ti die Anzahl der in n auf- 
gehenden, voneinander verschiedenen Primzahlen ist, 2^ inkon- 
gruente Lösungen, und dies ist also der Grad der Gruppe 33o '). 

Eine rationale Funktion | der Wurzeln einer Reihe, etwa 
der Reihe 2ii,o, läßt sich nach (1) rational durch eine dieser 
Wurzeln darstellen. Wenn diese Funktion die Eigenschaft hat, 
ungeändert zu bleiben, falls diese eine Wurzel durch eine andere 
derselben Reihe ersetzt wird, wenn also beispielsweise | eine 
symmetrische Funktion der Wurzeln einer Reihe ist, dann 
erhält | durch Anwendung der Substitutionen von ^l (oder auch 
von 33) nur 

(10) V — t{n) 
verschiedene Werte 

(11) bll b2? •••? SM 

und wenn diese Werte alle voneinander verschieden 
sind, so gehört | zu der Gruppe 5{]^o und alle anderen 
symmetrischen Funktionen der Wurzeln von i?i,o sind 
rational durch | darstellbar (Bd. I, § 162). 

Die V Größen (11) sind die Wurzeln einer irreduzibeln ratio- 
nalen Gleichung vien Grades, die wir eine Transformations- 
gleichung nennen. 

Die Transformationsgleichung hat, wenn in | nur rationale 
Zahlkoeffizienten vorkommen, selbst rationale Zahlkoeffizienten. 
Sie bleibt aber irreduzibel, wenn auch niQ Einheits- 
wurzeln oder überhaupt irgend welche Konstanten ad- 
jungiert werden, wie sich daraus ergibt, daß durch Substitu- 
tionen der Gruppe 58 jede Wurzel der Teilungsgleichung in jede 
andere, also auch jede Reihe in jede andere Reihe übergeführt 
werden kann. 

Durch die Adjunktion einer W^urzel ^ der Transformations- 
gleichung, etwa der zur Gruppe ^ti,o gehörigen, reduziert sich die 
Gruppe der Teilungsgleichung auf ^li,o, die letztere Gruppe ist 
aber nicht mehr transitiv, sondern vertauscht die cp{n) Wurzeln 
::?■;,, 0, worin h ein vollständiges System inkongruenter, zu n teiler- 
fremder Zahlen durchläuft, untereinander. Die Teilungsgleichung 
wird also reduzibel und hat einen Faktor (p (>?) ten Grades, 



') Vgl. Dir ichlet-Dedek in d, Vorlesungen über Zahlentheorie, 4. Aufl., 
§37. 



222 Sechster Abschnitt. § 65. 

dessen Wurzeln die Xj^^o sind. Der Einfluß einer Substitution 
der Gruppe % o 

(o! D 

auf och^ besteht darin, daß Xu^ o in ^öh, o übergeht, und die Gruppe 
dieser Gleichung q) (n) ten Grades besteht daher aus den Ver- 
tauschungen 

{'i'h, 1 ■i'd h, o) 5 

worin d jede beliebige zu n teilerfremde Zahl sein kann. Diese 
Gruppe ist eine Abelsche und daher sind die Wurzeln Xh^o 
nach Adjunktion von ^ algebraisch durch Radikale zu 
bestimmen. 

Wenn wir aber nicht nur eine, sondern sämtliche Wurzeln | 
der Transformationsgleichung adjungieren, oder, was auf dasselbe 
hinauskommt, die drei zu -Ri,o, J^o,ii J^i,i gehörigen, so reduziert 
sich die Gruppe der Teilungsgleichung auf 5to, und wenn wir 
noch nie Einheitswurzeln adjungieren, auf Sq. Die Gruppe 53o 
ist eine Abelsche vom Grade 2^, die nur solche Elemente ent- 
hält, deren Grad = 2 ist. Infolgedessen ist die Teilungs- 
gleichung durch Quadratwurzeln lösbar. 

Um die Form dieser Lösung zu finden, setze man 

worin p, j)^ ••• voneinander verschiedene Primzahlen, 7t^ tt', ... 
positive Exponenten sind. Man bestimme die Zahlen c, c', ... aus 
den Kongruenzen 

c ^ — 1 (mod j)'^), c' ^ — 1 (mod p'"') ... 

c ^ -f- 1 (mod np—"^), c' ^ -\- 1 (mod np'-''') ... 

dann erhält man jede Lösung cc der Kongruenz 

«2 ^ 1 (mod w), 

und jede nur einmal, in der Form- 

(12) oc ^ c'c''' ... (mod n), 

wenn £, t', . . . die Werte 0, 1 annehmen. 
Ist nun ii irgend einer der Werte 



ij 05. Zurückführ. d. Teilungsgleichung a. Transformationsgleichungen. 223 

also snSl irgend eine Wurzel der eigentlichen Teilungsgleichung, 
so hat die auf alle « auszudehnende Summe 

(13) U{±iy{±\y ...snaSl = t(Sl), 

worin die k Vorzeichen von + 1 beliebig gewählt werden können, 
die Eigenschaft, daß für jedes nach (12) bestimmte cc 

(14) xp(aSl) = (±l)'(±l)''...i/'(ß) 

ist, und das Quadrat von ^{£i) bleibt durch die Substitutionen der 
Gruppe 33o ungeändertj ist also durch wte Einheitswurzeln und 
die Wurzeln einer Transformationsgleichung rational ausdrückbar. 
il' (Sl) ist also die Quadratwurzel '^Ä aus einem solchen Aus- 
druck Ä. Die Anzahl der Ausdrücke (13) beträgt aber 2'', und 
es ergibt sich durch Addition aller so gebildeter Gleichungen 

(15) 2^snß = Z^Ä. 

Es ist noch zu bemerken, daß von den Größen ^', also auch 
von den A, die Hälfte verschwindet. Denn es ist 

— 1 ^ cc' ... (mod m), 

und wenn man also in (14) a^ — 1 setzt, so folgt: 

i^i-Sl) = (+l)(±l)...T/^(ß); 

andererseits ist aber 

und folglich verschwindet iL' (Sl) immer dann, wenn unter den in 
(14) vorkommenden /.' Größen + 1 eine gerade Anzahl von nega- 
tiven Einheiten enthalten ist. 

Die Wurzeln Xu,u' können also linear durch 2^"''- Quadrat- 
wurzeln ausgedrückt werden. 

Wenn n eine Primzahl oder eine Potenz einer Prim- 
zahl ist, so sind die Quadrate der Wurzeln der Teiluugs- 
gleichung rational durch die Wurzeln der Transforma- 
tionsgleichung ausdrückbar 1). 

Ist n eine zusammengesetzte Zahl, so läßt sich die Einteilung 
der Wurzeln ,r« ,<- in Reihen noch weiter treiben. Ist ^j eine in 



') Vgl. über diesen Satz Kronecker, Monatsbericht der Berliner 
Akademie, 19. Juli 1875. Kronecker macht dort auf ein Versehen auf- 
merksam, das sich in einer diesen Gegenstand betreffenden Abhandlung 
von Jacobi (Grelle, Bd. 47 und Bd. 50) findet. 



224 Sechster Abschnitt. § 65. 

n aufgehende Primzahl, so nehme man zwei Wurzeln a:«,«', .'/'i,a' 
in dieselbe oder in verschiedene Reihen auf, je nachdem 

fx f' — V fi' ^ (mod p) 

oder nicht; gehören hiernach a^v,»' und .*'v,, i,- in eine Reihe mit 
Xfi^n', so gehören sie auch untereinander in dieselbe Reihe. Die 
Anzahl der so gebildeten Reihen ist, wie leicht nachzuweisen, 
^ -j- 1 und man erhält auf diese Weise als erste Resolvente der 
Teilungsgleichung eine zum Divisor ^ gehörige Transformations- 
gleichung. Wir werden später auf anderem Wege zeigen, wie die 
Transformationsgleichungen für zusammengesetzte Divisoren auf 
solche für Primzahldivisoren zurückgeführt werden können. 



Siebenter Abschnitt. 



Theorie der Transformationsc^leiclmiigen. 



§ 66. Bildung von Transformationsgleichungen. 

Nachdem nun die Teilungsgleichungen auf Transformations- 
gleichungen zurückgeführt sind, gehen wir an ein genaueres 
Studium dieser letzteren Gleichungen. 

Wir nehmen 71 ungerade an, verstehen unter p die in n aufr 
gehenden Primzahlen, setzen 

(1) v = i^{n) = n77(l+l), 

und bezeichnen die v Reihen der Wurzeln der Teilungsgleichung 
mit jRj, i?2i •••1 ^•• 

Aus jeder dieser Reihen nehmen wir für 

einen Repräsentanten ßj, ^21 •••? ^v und erhalten die (p{n) 
W'urzeln einer Reihe, wenn wir in 

sn m Sl 
m ein vollständiges System inkongruenter zu n teilerfremder Zahlen 
durchlaufen lassen. 

Die einfachsten Ausdrücke, die als Wurzeln von Transforma- 
tionsgleichungen eingeführt werden können, sind die Produkte 

(3) h 0(snh£i), 

], n — 1 

wenn eine beliebige rationale Funktion ist, und h die Reihe 
der Zahlen 1 , 2, . . . , n — 1 durchläuft. 

Jede solche Funktion ist rational ausdrückbar durch sn £1 
und bleibt offenbar ungeändert, wenn Sl durch irgend ein tnil 

Weber, Algebra. III. jg 



226 Siebenter Abschnitt. § 66. 

ersetzt wird; man hat also nur noch dafür zu sorgen, daß die 
V Werte von (3), die den v Reihen entsprechen, voneinander 
veischieden sind, um (3) zur Wurzel einer (irreduzibeln) 
Transformationsgleichung zu machen i). 

Wir nehmen an , die Funktion (x) sei entweder eine 
gerade oder eine ungerade Funktion von x, und machen 
danach folgende Unterscheidung. 

Ist <P(,r) eine gerade Funktion, so sind unter den Faktoren 
des Produktes (3) je zwei, nämlich 

(4) (sn hSl), [sn (n — h) ß ] 
einander gleich. Setzen wir also 

(5) n(Sl) = n 0(sn/iß), 

n — 1 

SO ist, wenn ni eine beliebige zu n teilerfremde Zahl ist, 

(6) n(mSi) = n{Si) 

[weil unter den | (w — 1 ) Zahlen h rn nicht zwei eine durch n 
teilbare Summe oder Differenz haben, also, vom Vorzeichen ab- 
gesehen, die sn h Sl dieselben sind, wie die sn h^n i2]. Es ist also 
n(Sl) die Wurzel einer Transformationsgleichung. Diese Klasse von 
Transformationsgleichungen nennen wir Modulargleichungen, 
Ist Q{x) eine ungerade Funktion, so sind die beiden Größen 
(4) entgegengesetzt und (6) ist nicht mehr allgemein richtig, 
sondern es ist 

(7) n{mSl) = ±n{Si). 

Daher ist, wenigstens im allgemeinen, nicht mehr -/T(ß), 
sondern erst n{Siy Wurzel einer Transformationsgleichung. Diese 
Art von Transformationsgleichungen nennen wir Multiplikator- 
gleichungen. Um die Fälle kennen zu lernen, in denen J7(ß) 
selbst Wurzel einer Transformation ist, muß das Vorzeichen in 
(7) bestimmt werden. 

Dies gelingt auf Grund eines Satzes der Zahlentheorie, der 
im Bd. I, § 145 abgeleitet ist. 

Der Satz lautet: 



') Ausdi'ücke wie (3) sind auch dann noch Wurzeln von Transformations- 
gleichungeu, wenn li nur zu n teilei-fremde Werte annimmt. Solche Trans- 
formationsgleichung hat man bisher noch wenig benutzt. Wir werden 
weiterhin ein Beispiel kennen lernen. 



I 



5; ()(5. Bildung von Transformationsgleichungen. 227 

Sind w, n irgend zwei teilerfremde Zahlen, letztere ungerade, 
))edeiitet ferner ^ die Anzahl derjenigen unter den Zahlen 

deren absolut kleinste Reste (mod n) negativ sind, so ist 

(8) (-i)" = (r 



worin 



( — j das Legendre- Jacobische Symbol aus der Theorie 

der quadratischen Reste ist i). 

Dieser Satz führt nun unmittelbar zur Bestimmung des Vor- 
zeichens in (7). Denn wenn in (5) die Funktion 0(x) ungerade 
ist, so ändern beim Übergang von Sl zu m£l genau fi Faktoren 
in (5) ihr Vorzeichen und wir schließen 

(9) n{mil) = (-\ n(Si). 

Ist n keine Quadratzahl, so kann man m immer so annehmen, 

— j = — 1 ist. Ist nämlich n -^ i9n\ l ungerade, w' nicht 

durch p teilbar, ß ein quadratischer Nichtrest von ^j, so braucht 
man m nur aus den Kongruenzen 

m ^ ß (mod p^-)^ m ^ 1 (mod n') 

zu bestimmen , um eine solche Zahl m zu finden. Und dann ist 
n{mSl) = —n{Si) und nicht /7(ß), sondern erst 77(ß)2 Wurzel 
einer Transformationsgleichung. Ist aber n eine Quadratzahl, so 
ist 77 (mß) = 77 (ü) für jedes m und folgHch 77 (iß) selbst "Wurzel 
einer Transformationsgleichung. Es folgt also der Satz: 

Bei ungerader Funktion ^ ist 77 (i2)2, und nur 

wenn n eine Quadratzahl ist, n(Sl) selbst, Wurzel 

einer Transformationsgleichung 2). 



*) Vgl. über diesen Satz: Schering und Kronecker im Monats- 
bericht der Berliner Akademie vom 22. Juni 1876. Schering, Acta mathe- 
matica I. 

^) Diese Vereinfachung der Multiplikatorgleichung in dem Fall, wo n 
ein Quadrat ist, hat Joubert entdeckt, aber auf einem von dem unserigen 
ganz verschiedenen Wege nachgewiesen. „Sur les equations , qui se ren- 
contrent dans la theorie de la transformation des fonctious elhptiques." 
Paris 1876. 

15* 



228 Siebenter Abschnitt. § 67. 

§ 67. Besondere Transformationsgleichungen. 
Es sollen nun die Wurzeln der Transformationsgleichungen 
durch 9- - Funktionen dargestellt werden. Wir setzen zu diesem 
Zweck : 

Si ^= — ^ -, ?A = Ao, 

n 

__j __ r^ — \_r ß = 47llö 

n 

und betrachten die Produkte 
n ^oo(2/i-ro), 77 ^oi(2/i^), J7 ^^^i^Ihw), 11 ^^^{2 hin). 

n — 1 »I — 1 n — 1 »1 — 1 

Es empfiehlt sich folgende Bezeichnung: 

— u'(«4-Wü))- — ■ — h 

»1 — 1 
'-■^ 

M — 1 "i ,, , , ,"*— 1 , 

"^ n — 1 



« — 1 TT i n^ — 1 
— u'ru + u'oj) h 



Poi^o: =«*' " ^ ^o: (2/^15). 



n — 1 



Es ist jetzt die Formel § 39, (9) anzuwenden, die man aber 
für den gegenwärtigen Zweck etwas anders darstellt. 

Setzt man in § 39, (8) v' = 2h/n, v = 2h(K + ßco)/n 
und nimmt abermals das Produkt über h =^ 1, 2, ... (n — l)/2, 
so folgt mit Anwendung von i> 32, (24): 



n-1 \ n 

n^ — 1 n i n'^ — 1 , , ti ^ 1 n — 1 n — 1 

= (-1)— .-1- — »'"+^"'*,.- *,.- *.- .). 

Demnach erhält man durch Multiplikation der drei Glei- 
chungen (2): 

(3) (-1)^ 2VpooP:oPoi = 1. 



*) In § 34, (9) der ersten Auflage ist die betreffende Formel gleich in 
dieser Form angegeben , die sich auch , wenn auch etwas umständlicher, 
aus vi^ 39, (9) ableiten läßt. 



§ 67. Besondere Transformatiousgleichungen. 229 

Außerdem setzen wir noch: 

n — l 

Diese Größen P lassen sich durch die Wurzeln der Teilungs- 
gleichung ausdrücken, wenn man unter Anwendung von (3) die 
Quotienten 

pi pi p2 T>i 



p p 1 p p 1 p p 1 p p p 

bildet und vermittelst der Formeln des § 42 elliptische Funk- 
tionen einführt. 
Man erhält so 

(-1)— 2^P,f, =7T ^^^, 
^ ^ ^ ,1-1 cwhil 

(5) (_:)-^2^P,. =;tJ^, 

Jl^ — 1 n — 1 ;j 1 

(_!)— 2"^P-\ = 77 



„ _ 1 cn /i iß dn /i i2 ' 



2 



(6) (- 1) « Pf, = (XX') ^ TT 



'1^ /^ sn3/iß 



„ _ 1 cn /i ß dn h ü 

Diese Ausdrücke zeigen nun, daß P|o, Pf^, P^, die Wurzeln 
von Transformationsgleichungen (Modulargleichungen) sind. 
Pj'^j ist die Wurzel einer Multiplikatorgleichung, und wenn n 
eine Quadratzahl ist, so ist auch Pf, die Wurzel einer Multi- 
plikatorgleichung. 

Man kann in mannigfaltiger Weise die Funktionen P mit- 
einander kombinieren, um neue Transformationsgleichungen zu 
erhalten. Wir führen folgende an: 

I\o _ 1^ cn/^.Q 
Poo ^,^_^dn/*.ß' 

^01 ^ jj 1 



Poo n-1 dn/jß' 



230 Siebeuter Abschnitt. § 67. 

Vx 3t' 3 1, ^— 

>i — 1 



" — -^ 93 V' V 
(8) (-1) « ^ %T^- = 



77 



, — . „ - 1 dn Ä; ü 

y X x' 3 1, -^ 



V / « — 1 



, „_i cn/iißdn/iü 

yx x' 3 1, -^ 

Ein wichtiges Resultat ergibt sich aber noch durch An- 
wendung des Multiplikationstheorems. Wenn man in der letzten 
Formel II des § 57 u = 2hTö setzt, so findet man 

worin, wie wir uns erinnern, D eine ganze rationale Funktion ist, 

deren Koeffizienten rational aus x^ und ganzen Zahlen gebildet sind. 

Nehmen wir das Produkt aus diesen Ausdrücken, für 

^i i 

/<= 1, 2, ..., — - — , so folgt aus der letzten Gleichung (2) 

(^weil bekanntlich Illi'^ = »(w^^— 1) \ 
(10) Pfr = n ^ 



»! — 1 



i)(sn2/^ß) 



Wir schliefen hieraus, daß auch P'n die Wurzel einer Trans- 
formationsgleichung ist. Dies ist nichts Neues, wenn n durch 
teilbar ist, wohl aber, wenn n nicht durch 3, also n^ — 1 durch 
3 teilbar ist. Wir erhalten dann nämlich aus (10) mit Be- 
nutzung von (5), (7), (8): 

_ (n^«!:^) . (cnA^)V\dn;.^)^' 



' 2 



§ (i8. Zweite Darstellung der Wurzeln der Transformatiousgleichuugen. 231 

n'^ — 1 n''(n— 1) 

(12) (_l)-T-2-T— p^^ 

i''-V (ciihSl) 3 (dn hSi) 3 
Soll als Ratioualitätsbereich der der rationalen Zahlen und 
rationalen Funktionen von x- aufrecht erhalten werden, so schreibt 
man die letzte Gleichung besser in der Form [vgl. § 54, (4)]: 

n — 1 n'^ — 1 («2 — 4;(n — 1) n — 1 n — 1 

(13) Jl snh^D(sn^hSiY 



n — 1 



i'-y- {cnhSi) ^ (dnhSl) ^ 
und schließt daraus auf den folgenden Satz: 

Wenn n nicht durch 3 teilbar ist, so sind Pqq, Pqii 
Pjo, Pi"iy2(^)"~S und wenn n ein Quadrat ist, auch 

n— 1 

Piiyoico) - Wurzeln von Transformationsgleichungen. 

§ 68. Zweite Darstellung der Wurzeln der Transformations- 
gleichungen. 
Wenn wir zunächst eine der Reihen ins Auge fassen, nämlich 
die, zu der die W^urzel x^^o gehört, also ^ = 1, ^' = setzen, 
so können wir auf (2), (3) des vorigen Paragraphen die Formeln 
(20), (21), (10), § 34 anwenden. Setzt man dort, wenn v un- 
gerade ist, 11 — V an Stelle von v und benutzt die Formel 



*»,4^^) = (-i) K..\-), 

dann kommen in diesen Formeln nur die geraden v vor, und 

wenn man also v = 2 /i setzt, so kann man die dortigen P'ormeln 

(20), (21) auch so schreiben: 

- Iiz^ '' / 2 /i\ 

Vw>j(«ca)t?(a) 2 = n ^n( — ), 

n — 1 \ ''■ / 

1, — 5— 



f{na})ri((o) 2 = f{co) n_^^oo\^—j, 
1 — 1 '' /2 /A 

«-1 /2\ '' /2/i\ 



234 Siebenter Abschnitt. § 68. 

(10) P ^ ,3 = a^' ("""^ «)• 

worin /3' eine beliebige, zu a teilerfremde Zahl bedeutet und a' 
so bestimmt wird, daß a, ß relativ jirim werden, und es ist auch 
leicht [nach § 65, (3)] einzusehen, daß, so lange er, 8, c dieselben 
bleiben, die nach (10) bestimmten Zahlenpaare ft, ja' derselben 
Reihe angehören. 

Wir nennen die Zahlen a, c, d (wie in ^ 27) die Trans- 
formationszahlen und n den Transformationsgrad. 

Das Zahlensystem «, c, d ist also vollständig charakte- 
ristisch für eine Reihe, und die Anzahl der Reihen ist gleich 
der Anzahl dieser Zahlensysteme, woraus für die Zahl ^(w), 
(§ 63) folgt: 

(11) i.{n) = 2J^<p(e\ 

wenn die Summe auf alle Divisoren a von n erstreckt wird. 

Es ist von Interesse, diese Relation auch direkt zu beweisen, 
wobei die Beschränkung auf ein ungerades n wegfallen kann. 
Betrachten wir ^(w) jetzt als Zeichen für die Summe (11), so 
ergibt sich, wenn w', n" relativ prim sind, zuucächst 

und es bleibt also nur übrig, die Summe i'(n) für den Fall zu 
bestimmen, daß n = p'' eine Primzahlpotenz ist. In diesem 
Falle ist nun e gleich dem kleineren der beiden Divisoren a, 8, 
und wenn a = d ist, e = a. Wenn wir also das erste und 
letzte Glied der Summe il^{n) absondern, so erhalten wir 

ÜP") = 1 ^-i^'^ + ^9'(«)_ + ^|9P(8). 

Vn <a <n 



Es ist aber 

P 



(p(a) = a^— — , 9? (8) = d - 



also 



t'ir) = 1 + r + ^-h— ^« 

V 1 < a < n 



==i+r + (i^-i)(i+i>+i>'^ + ---r-')=r(l + ;^). 



§ 68. Zweite Darstellung der Wurzeln der Transformationsgleichungen. 235 
woraus sicli für tl^{n) der Ausdruck 

ergibt, wie in § 63 i). 

Nach (7) ist nun in den Formeln (6) für nco' zu setzen: 



a'-i-ß''-^^""^ 



a 

und es lassen sich die linearen Transformationen der /'-Funk- 
tionen [§ 40, (4), (8), (11)] anwenden. Wir nehmen dabei 
(12) c = (mod 16), 

so daß nach (3) und (8): 

'«', ß'\ _ fa\ 0^ 



:-;';) -Co;:)(-^-)- 



Bezeichnen wir mit q die dritte Einheitswurzel 

-=4^[«'(j''-,i')-("'-''-l),'i'(5'] ^^ [«(/-, 'i) - (a£ - 1 ), 'S J] 

so erhalten wir 



K^) 



f{coY 

'c-\-d(o 

(14) Pol = Q Q 



2^ f^ 



f.{^y ' 



^10 = Q ^ 






Der Quotient 

(15) Pio_/2\/^V a ;//«^« 



-Poo \Ö/ /./c 4- ö«\ VA« 



^r-^) 



gibt nach § 54, (o), wenn man 

u («) = V'^ 
setzt, die Größen 



*) Vgl. Dedekind: Über die elliptischon Modulfunktionen. Journal 
f. Mathematik. Bd. 83. 



234 



Siebenter Abschnitt. 



1:5 68. 



(10) 



(x ^ a = aa' -\~ rß' 
ii'=ß = dß' 



(mod n)j 



worin ß' eine beliebige, zu a teilerfremde Zahl bedeutet und a' 
so bestimmt wird, daß «, ß relativ prim werden, und es ist auch 
leicht [nach § 65, (3)] einzusehen, daß, so lange a, 8, c dieselben 
bleiben, die nach (10) bestimmten Zahlenpaare fi, ;it' derselben 
Reihe angehören. 

Wir nennen die Zahlen et, c, d (wie in § 27) die Traus- 
formationszahlen und n den Transformationsgrad. 

Das Zahlensystem ((,c, d ist also vollständig charakte- 
ristisch für eine Reihe, und die Anzahl der Reihen ist gleich 
der Anzahl dieser Zahlensysteme, woraus für die Zahl ^'(w), 
(§ 63) folgt: 



(11) 



i;{n) = 2: — qp(e), 



wenn die Summe auf alle Divisoren a von n erstreckt wird. 

Es ist von Interesse, diese Relation auch direkt zu beweisen, 
wobei die Beschränkung auf ein ungerades n wegfallen kann. 
Betrachten wir tp(«) jetzt als Zeichen für die Summe (11), so 
ergibt sich, wenn «', n" relativ prim sind, zunächst 

und es bleibt also nur übrig, die Summe i'{n) für den Fall zu 
bestimmen, daß n = p"^ eine Primzahlpotenz ist. In diesem 
Falle ist nun e gleich dem kleineren der beiden Divisoren a, ?, 
und wenn u = 8 ist, e = a. Wenn wir also das erste und 
letzte Glied der Summe xlf(n) absondern, so erhalten wir 

^'(r) = 1 + i^'^ + ^9>(«)_ + ^l^'Ce)- 
1 < a ^ y»» 

Vn < a <n 



Es ist aber 



cp(a) = a 



p-l 



cp{d) = d 



p-\ 



also 



i'{l)^) = l -^ p^ J^ l \ Ea 

P 1 <a < n 

i+r + (i>-i)(i+i^+i>^ + ---r-^)=r(i + ^), 



§ 68. Zweite Darstellung der Wurzeln der Transformationsgleichungen. 235 
woraus sich für ip(n) der Ausdruck 

ergibt, wie in § 63 i). 

Nach (7) ist nun in den Formeln (6) für nco' zu setzen: 



y' 


+ ö' 


c -[- dco 
a 


«' 


+ /3' 


c + a « ' 



a 

und es lassen sich die linearen Transformationen der /"-Funk- 
tionen [§ 40, (4), (8), (11)] anwenden. Wir nehmen dabei 
(12) c = (mod 16), 

so daß nach (3) und (8): 



, „, , , ^ , (mod 16). 

y\ d'J VO, aj ^ ^ 

Bezeichnen wir mit q die dritte Einheitswurzel 

-^["'(/-,i')-(«'--^-i),'^'J'] ^'[«(}'-i^)-(«^-i),«J] 
(13) Q =: e ^ e ^ 

so erhalten wir 

f(^) 

^ /c-|-8cj 





P.o = 


K!)' 


'\ 


a J 




/2(«)» 


Der 

(15) 


Quotient 




a 




gibt nach 


§ 54, (3), wenn man 






setzt, die 


Größen 


U{0}) = 


^^A^ 





') Vgl. Dedekind: Über die elliptischön Modulfunktionen. Journal 
f. Mathematik. Bd. 88. 



236 Siebenter Abschnitt. § (38. 

(16) 



öj u («)" 

als Wurzeln einer Modulargleichung, und dies ist die Jacobische 
Modulargleichung ^). 

Ist n nicht durch 3 teilbar, so nehmen wir 
(17) c = (mod 3) 

au, wodurch q den Wert 1 erhält. 

In gleicher Weise kann man die Transformation der 7;-Funk- 

tiou [§ 38, (15), (18), (19)] auf die letzte der Gleichungen (6) 

anwenden und erhält: 

/c -4- dco\ 

^"^ -..=(!)(l)--vä:^i=p 

(wobei es schon genügen würde, wenn c durch 8 teilbar ist). 
Ist n durch 3 nicht teilbar und c durch 3 teilbar, so ist auch 
hierin q = 1 zu. setzen. 

Die Bestimmung des Vorzeichens in (18) hat für uns nur 
in dem Falle Interesse, wo n ein Quadrat ist. Es ist aber 
[nach (8)] 

a)\a') \ « / \a «7 \a )\a) \d)\a 

[letzteres nach dem Reziprozitätsgesetz der quadratischen Reste, 
•weil cc ^ 1 (mod 4)J. Wenn nun n ein Quadrat ist, so sind 
auch a : (?, d:e Quadrate und es ergibt sich : 



(l)©-(^)-(^)' 



also wird in diesem Falle 



Pn= Qi^'(^-)}ld 



c -\- cco 



rj(co) 

Die zur Charakterisierung einer Reihe aufgestellten Formeln 
(10) sind ein spezieller Fall eines allgemeineren Systems, das 
man erhält, indem man auf «', ß' in (10) eine lineare Trans- 
formation anwendet. Man erhält dann folgendes: 

') Ist M der Jacobische Multiplikator, so ist 
)i — 1 n — 1 



§ G9. Die Invariantengleichung. 237 

Sind «, 6, c, d vier der Bedingung: 
ad — hc = n 
genügende ganze Zahlen ohne gemeinsamen Teiler, so erhält man 
die einer Reihe entsprechenden Zahlenpaare ft-, /u', wenn man in 

«', ß' alle und nur solche Werte durchlaufen läßt, bei denen 
^, /Li' ohne gemeinsamen Teiler mit n sind. 

Daß zwei den Kongruenzen (19) entsprechende Wertpaare 
ft, ft' wirklich derselben Reihe angehören, ergibt sich unmittelbar 
aus § 65 (3), und ebenso ist selbstverständlich, daß alle Zahlen- 
paare einer Reihe in dieser Form enthalten sind, da man «', ß' 
durch ha', hß' ersetzen kann, wenn h relativ prim zu n ist. Daß 
man sämtliche Reihen auf diesem Wege bekommt, zeigen 
die Formeln (10). 

§ 69. Die Invariantengleicliung. 
Unter den Transformationsgleichungen verdient eine ein be- 
sonderes Interesse, nämlich die, deren Wurzeln die ip{n) Größen 

(I) ,K^r'" 

oder nach der Bestimmung (19), § 68 die damit identischen 
Größen 

sind, wenn j{io) die in § 46 definierte Invariante ist. 

Diese Gleichung heißt die Invariantengleichung. 

Die Funktion j{ci) läßt sich nach § 54 rational durch /^(«)2* 
darstellen, nämlich 

SO daß also nach den Resultaten des vorigen Paragraphen die 
Größen (1) die Wurzeln einer Gleichung sind, deren Koeffizienten 
rationale Funktionen von v.^ sind. 

Setzt man aber für f{co) in (3) eine der früher gefundenen 
Entwickelungen, z. B. § 24, (11): 

f\co) = g~^77(l4-g^»-i), 
1, 



238 Siebenter Abschnitt. § 69. 

SO erkennt man, daß i(«) sich in eine nach Potenzen von q^ 
fortschreitende Reihe entwickeln läßt, welche die Form hat 
(4) j(Gj) = q--' 4- «1 + «2 0^ + a,q^ + ••-, 

worin die a^, ü2, a^ ... ganze rationale Zahlen sind, die sich 
successive berechnen lassen (es ergibt sich z. B. a^ = 744, 
«2 =: 196 884). Die Entwickelungen der Größen (1) beginnen 
also mit 

2 TT ic 2 Tli'd 

(ö) e " e « 

und sind daher alle voneinander verschieden. Die 

Invariantengleichung ist also nach v< 65 irreducibel. 

Es gibt aber einen zweiten Weg, um zu dieser wie überhaupt 
zu den Transformationsgleichungen zu gelangen, den wir jetzt 
zunächst bei der Invariantengleichung kennen lernen wollen. 
Diese Ableitung stützt sich auf die Sätze des § 54 über Modul- 
funktionen und gilt auch für ein gerades n. Hier ist es der 
Satz 4, § 54, der zur Anwendung kommt: 

I. Jede Modulfunktion, die durch die beiden Trans- 
formationen 

1, 0> 



^'^ VI, 1 

. Ul 

ungeändert bleibt, ist eine rationale Funktion von j{co). 
Wir weisen zunächst nach, daß durch Anwendung der Sub- 
stitutionen (6), (7) die v Größen (1) untereinander vertauscht 
werden. Wir haben die Zusammensetzung 

'a, 0\ /l, 0\ /l, 0\ /«, 0^ 



^ ^ Vc, dj Vi, 1/ V^, IJ Vti, d 

wenn 

(9) q = c -f 8 — A a 

gesetzt wird, und es geht durch die Transformation (6), da ;(m) 

durch jede lineare Transformation ungeändert bleibt, 

. / c -\- d co\ . . /c-, -\- dco 
J 7. ) ^^ J 



über. 

Ferner bestimmen wir a^t ?2, Co, so daß 

aÖ — ßy = 1. 



§ 69. Die Invariantengleichuno'. 239 

Dazu ist erforderlich 

. ««2 4- /3c2 = 

Y «2 -f d Ca = — S, 

(12) ßd2 = a 

Es ist also ?2 bestimmt als der größte gemeinschaftliche 
Teiler von a und c, und damit zugleich, wegen «2^2 = ^'1 auch a^. 

Nach den beiden Gleichungen (12) kennt man jetzt /5, Ö 
als relative Primzahlen und kann «, y aus der diophantischen 
Gleichung 

ad — ßy = 1 

bestimmen. Ist dies geschehen, so folgt aus den beiden 
Gleichungen (11) 

(13) a,= dß 

wodurch auch C2 bestimmt ist, und es zeigt sich zugleich, daß d 
der größte gemeinschaftliche Teiler von «g? ^2 ist. Ersetzt man 
a, y durch eine andere Lösung a -\- hß, y -\^ hd, so ändert sich 
nur C2 um ein Vielfaches von «2- 

Durch die Transformation (7) geht also 
. / c -\- dco\ . . /Co -\- doO 



a / \ «2 

über. 

Bilden wir nun eine symmetrische Funktion der sämtlichen 
Größen (1), etwa für ein unbestimmtes x das Produkt 



-v-^i:-^). 



so ändert sich diese Funktion nicht durch die Transformationen 
(6), (7) und ist also nach dem oben erwähnten Satz eine ratio- 
nale Funktion von j{co). Außerdem ist sie eine ganze ratio- 
nale Funktion vten Grades von x mit dem Anfangsglied a;^, und 
wir bezeichnen sie mit JP„ [^, j («)]. Die Gleichung 
(U) F,[x,j{co)] = 

hat die Größen j \—^ ) zu Wurzeln und ist die Inva- 
riantengleichung, deren wichtigste Eigenschaften wir nun ab- 
leiten wollen. 

1. Die Invariantengleichung ist irreducibel, wenn als 
Rationalitätsbereich der Inbegriff aller rationalen Funktionen von 



240 Siebenter Abschnitt. § 69. 

J((x)) mit beliebigen Zahlenkoeffizienten betrachtet wird. Denn 

besteht irgend eine rationale Gleichung 

(15) ^[i(nco), j(co)] = 0, 

so darf darauf jede beliebige lineare Transformation 



29, ( 



angewandt werden, und nach § 29, (5) lassen sich, wenn 

eine beliebige Transformation nter Ordnung ist, die linearen 
Transformationen 

immer so bestimmen, daß 

e;f)(:::)-G;:)(;l)- 

Daraus folgt aber, daß die Gleichung (9) durch jede der 
Größen 



/ c -\- dco \ 
\a -\- h CO/ 



a -|- hco, 

und mithin auch durch jede der Größen (1) befriedigt ist, woraus 
[wegen der Verschiedenheit der Größen (1)] die Irreducibilität 
von (14) folgt. 

2. Die Funktion 

(17) jP„ [.r, i(«)J = n \x -i ^' + ^ ''' 



hat für jeden endlichen Wert von w mit positiv imaginärem Be- 
standteil, also auch für jeden endlichen Wert von j(to), einen 
endlichen Wert und ist sonach eine ganze rationale Funktion 
von j{(o). 

Suchen wir ferner nach (3) das Anfangsglied der Entwicke- 
lung der Funktion (17) nach Potenzen von g, so ergibt sich 

— Int-— —2 7ti(.<iZ — <p(e) „ 

(—\ye '* e « ' = Cq-^\ 

wenn C eine endliche Konstante ist. Es ist daher 
j(c3)-'F„[a-,j(w)] 

für ein unendliches j{(o) endlich, d. h. der Grad von Fn[x,j{G))] 
in bezug auf j(«) ist ebenfalls der vte. 



=: 0. 



§ 69. Die Invariantengleichung. 241 

3. Es ist 

F„[j(nio)J(w)] = 

uud wenn wir nco durch co ersetzen: 

Da nun j ( — j gleichfalls eine Wurzel der Invarianten- 
gleichung ist, so folgt, daß die beiden Gleichungen i'ten Grades 

F,[xJ(g))] = 0, F„[j(co), x] = 
eine Wurzel gemeinsam, haben, uud folglich, wegen der Irre- 
ducibilität der ersteren und der Gleichheit des Grades, alle. Es 
ist daher 

Fn{j^, y) = CFr,{lJ, x) 
für unbestimmte Werte der Variablen x^ y und ein konstantes C. 
Daher auch, durch Vertauschung von x mit y: 

Fn{y, x) = CFn{x, ij), 
also C2 — - 1 oder 

Fn{x, y) = ±Fniy, x). 
Wenn wir nun x = y setzen, so folgt: 
Fn(y, y) = ±F„{ij, y), 
also, wenn das untere Zeichen gilt, 

Fniy.y) = 0. 
Dies ist aber nur möglich, wenn n = 1 ist [wo F-^{x^ y) 
:= X — y wird], da sonst -F„(i', y) durch x — y teilbar sein 
müßte, was der Irreducibilität widerspricht. Daher ist immer, 
sobald w >> 1 ist : 

(18) Fn{x, y) = F,{tj, x). 

4. Es sei 

n = n' n'\ v' ^= t^(w'), v" = il^{n"), 
und n\ n" ohne gemeinsamen Teiler, und rrj, X2, ... Xv" seien 
die Wurzeln der Gleichung 

(19) F,,,[xJ{c3)] = 0. 
Das Produkt 

(20) F„-(x, x-i^) Fn'{x, x^) ... Fni{x, X,v\ 
dessen Grad in bezug auf x gleich 

V = i> (n) = t/; (w') li^ {n") 
ist, hängt als symmetrische Funktion der Wurzeln von (19), 
rational von i(«) ab und verschwindet für 

X =: j 



Weber, Algebra. III. ig 



242 Siebenter Abschnitt. § 69. 

d. h. für eine Wurzel der Gleichung Fn[x,j{(o)] = 0. Wegen 
der Irreducibilität der letzteren Gleichung, der Gleichheit des 
Grades und des Koeffizienten von a;' ist also 

(21) Fn[x,j{co)] = Fn'ipC, X^)Fn<{x, X^) . . . F„>{x, X,J'). 

5. Ist n = p'^ eine Primzahlpotenz, so ist der Grad der 
Funktion Fn[x.,j(coy\ gleich p^~'^{p + 1), und die Gleichung 

(22) F,n-i[xJico)] = 

ist vom Grade 

v' = p^'-'^^p + 1). 

Wir bezeichnen ihre Wurzeln mit x-^^ x^-, . . • x^'. 
Das Produkt 

P = Fp (x, .Ti) Fp {x, x^)... Fp {x, X, f) 
ist in hezug auf x vom Grade v' {p -|- 1) = p'^'''{p -f" 1)^5 ^s 
hängt symmetrisch von den Wurzeln von (22), also rational von 
j{o3) ab und verschwindet für 

./CO 

X = ) [ — 

Daher ist P durch Fn[x,j{co)] teilbar. 

Aber der Grad von P ist höher als der von jP„. Nehmen wir 

wo c jeden der Werte 0, 1, 2, ... jj — 1 haben kann, so ver- 
schwindet Fp{x^ x-i) für 

./ CO 

d. h. es haben 'p von den Faktoren von P einen bestimmten 
Faktor mit Pp^t— 2[a:, j(co)] gemein; daraus folgt, daß P durch 

\Fprt-2[xJ{c,j)\\^ 

teilbar ist, und mithin, wie die Vergleichung der Grade und 
höchsten Glieder lehrt: 

(23) Fpn[xJ{co)] == J'U-^N ^i)Fpix, X,) ... Fp(x, x„) ^ 

Diese Formel ist einer Ausnahme unterworfen für jr = 2, 
weil in diesem Falle der Grad der Funktion auf der rechten 
Seite noch zu hoch ist. Für diesen Fall hat aber jeder der 
p -\- l Faktoren des Produktes P den Teiler x — i(«), weil eben 
jedes Xi Wurzel der Gleichung Pp[^, j(co)] ist, und es tritt an 
Stelle von (23) die Formel 

(24) l^p. \x, j («)J — _______ 



§ 69. Die luvarianteugieichung. 243 

Hierdurch ist die Lösung der Invariantengleichung F^ = 
auf die successive Lösung solcher Fälle zurückgeführt, in denen 
n eine Primzahl ist. 

6. Während bei der Ableitung der Transformationsgleichungen 
aus den Teilungsgleichungen von Haus aus feststeht, dalj die 
numerischen Koeffizienten in diesen Gleichungen rationale Zahlen 
sind, so lehrt uns die zweite Ableitung zunächst nichts über die 
Zahlenkoeffizienten. Wir können aber nachträglich beweisen, daß 
diese Koeffizienten nicht nur rationale, sondern auch ganze 
Zahlen sind und gelangen zugleich zu einem wichtigen Satz über 
die Teilbarkeit dieser Koeffizienten. 

Wenn wir beweisen können, daß, wenn p eine Primzahl ist, 
die Koeffizienten in Fp (x, y) ganze Zahlen sind , so folgt das 
Gleiche aus 4. und 5. für jedes zusammengesetzte i?. 

Nach (4) ist j{co) in eine Reihe von der Form entwickelbar 

(25) j{co) = q-^IJ anq'\ 

O.x 

deren Koeffizienten cih ganze Zahlen sind, und zwar «„ = 1. 

Bilden wir hiervon, wenn p eine Primzahl ist, die pte Potenz, 

und beachten den für jede ganze Zahl gültigen Fermatschen Satz: 

aP ^ a (mod p), 
so folgt 

h h 

(26) j{(o)P = q-^-P U a^q^^'P -^ p (j-^^p-^I Z lh<f^, 

0,00 0,co 

worin bu ebenfalls ganze Zahlen sind. Andererseits ist, wenn man 
in (25) CO durch pco ersetzt: 

h 

(27) j{V^) = r~^^' ^ anq^^'P 

0,00 

und daraus, wenn man 

j(co) = u, Jipco) = V 
setzt : 

h 

up — V = pq-^^P-^^ Uhhq^^', 

0,00 

wofür wir auch schreiben können: 

h 

(28) (iiP — v){ti — vP) == pq-HP^ + P-i) 2J C!jf\ 

0,x 

wenn Oi ein drittes System ganzer Zahlen bedeutet. 

Nun kommen in Fp{x, y) die in bezug auf x^ y höchsten 
Glieder ^^ + ^ -|- ?/^ + ^ vor, und wir setzen demnach 

(29) Fp {x, y) = {xP — y) {x — yp) — E Cn,i.x''y\ 

16* 



244 Siebeuter Abschnitt. § 69. 

worin Ch,k clie zu bestimmenden Koeffizienten sind, die nach 3. 
der Bedingung 

genügen. Um sie zu bestimmen, setzen wir in (29) • 

X = w, y = i\ 
wodurch Fp verschwindet, und erhalten 

(30) • (iiP — v){u — fP) = 21 Cn,TcU^'v^. 
Hieraus folgt zunächst, daß 

r — 

PtP — 

sein muß, da nach (28) bei der Entwickelung (der linken Seite) 
nach Potenzen von q die Potenz g— 2(i'"+p) nicht vorkommen kann, 
und wir können (29) jetzt in die Form setzen: 

h k 

(31) {iiP — v){u — vP) = 2J 2J Ch,k{it''v^ + '^^''^''0 

o,p o,;i — 1 

h 

0, j» — 1 
Hierin sind die aus (25j und (27) sich ergebenden Ent- 
wickelungen von 

nach Potenzen von q einzusetzen, deren Anfangsglieder 

q-2{hp + k)^ q—2h(p + i) 

die Koeffizienten 1 haben. 

Auf der rechten Seite von (31) kommen nicht zwei Glieder vor, 
deren Entwickelung mit derselben Potenz von q beginnt, denn aus 

hp -f /; = h'p 4- k' 
folgt h ^ ¥ (mod p) und mithin, da k und 7/ << p sind, Ji = k\ 
h = h'. 

Ordnet man daher die Reihen, welche die beiden Seiten von 

(31) darstellen, nach aufsteigenden Potenzen von 5, und setzt 
dann die Koeffizienten gleich hoher Potenzen einander gleich, so 
erhält man eine Reihe linearer Gleichungen für die Unbekannten 
Ch,ki von denen jede folgende nur eine neue Unbekannte enthält, 
und diese mit dem Koeffizienten 1. Die aus der linken Seite sich 
ergebenden bekannten Glieder dieser Gleichungen sind nach (28) 
lauter durch p teilbare ganze Zahlen, und es ergeben sich 
also für die C;»,;, ebenfalls ganzzahlige, durch p teilbare Zahlwerte. 
Demnach haben wir 

(32) Fp{x, y) = {xi' — y){x — yv) — pZ a„,,.T"y'S 

0,p 



§ 70, Transformationsgleichungen erster Stufe. 245 

worin (//,, t ganze Zahlen sind, die den Bedingungen 

genügen. 

§ 70. Transformationsgleicliungen erster Stufe. 

Die Invariantengleichung ist von großer theoretischer Wichtig- 
keit teils wegen ihrer allgemeinen Gültigkeit (auch für gerade w), 
teils wegen der Leichtigkeit, mit der die linearen Transformationen 
auf j{co) angewandt werden können. Die wirkliche Berechnung 
dieser Gleichung aber zeigt sich so kompliziert, und die Zahlen- 
koeffizienten sind so groß, daß die Berechnung bis jetzt nur in 
dem einfachsten Falle p =^ 2 durchgeführt ist. Dagegen kann 
man, indem man andere Modulfunktiouen benutzt, weit einfachere 
Transformationsgleichungen erhalten. 

Über das hierbei anzuwendende Prinzip bemerken wir folgendes: 
Wenn irgend ein System von v Funktionen von co vorliegt, 
entsprechend den v Systemen von Transformationszahlen «, c, c, 
die wir mit 

(1) ^«,e.ö 

bezeichnen wollen und die isomorph mit den Funktionen 

(2) .V ^ + ^ « 



J 
durch die Substitutionen 

(3) ("'-^)' ^'"^''^ 1) 

untereinander ijermutiert werden, so ist (1) rational durch (2) 
und durch j{co) ausdrückbar, denn die Funktion 

(4) F„[x, j{a,)] "'1° jr^tj^\ = '^'■[■'' •'''^")] 

bleibt durch die Substitutionen (3) ungeändert, und ist daher 
(für ein unbestimmtes x) eine rationale Funktion von j(co) 
und überdies eine ganze rationale Funktion von ir, höchstens vom 
Grade v — 1; Fn[x,j(coy] hat dieselbe Bedeutung, wie in (17) 
des vorigen Paragraphen , und v = i^ («) ist der Grad dieser 
Funktion in bezug auf ./■. Aus (4) aber erhält man, indem man 

C -\- C 10 

X = j- 
setzt : 



246 Siebenter Abschnitt. § 70. 

(5) *,.„. = L V « / J 



nK"^)] 



Es gehört also ^.,,c,ö dein algebraischen Körper an, der aus 

den rationalen Funktionen von j ( — ^ ) und j (cö) besteht, und 

wir können die Sätze von Bd. I, § 151 anwenden. Aus diesen folgt, 
daß die ?/ Größen ÖP„,c, a die Wurzeln einer Gleichung rten Grades 
sind, deren Koeffizienten rational von j{co) abhängen. Wenn die 
i^ Größen Oa,c,-i> voneinander verschieden sind, so ist diese Gleichung 
irreducibel. Eine solche Gleichung nennen wir eine zumTrans- 
formationsgrad n gehörige Transformationsgleichung 
erster Stufe i). Jede andere Größe des Körpers kann durch ein 
solches ^a,c, ö und durch j{oo) rational ausgedrückt werden. 

Haben die Funktionen ^a,c, o tlie Eigenschaft, für jeden endlichen 
Wert von co mit positivem, imaginärem Teil, also für jedes endliche 
; (w) endlich zu bleiben, so ist die Funktion W [x^ j (co)] in (4) auch 
in bezug auf j{a) eine ganze Funktion. Die Formel (5) könnte 
daher nur für solche besondere Werte von a versagen, für die 
zwei Wurzeln der Invariantengleichung einander gleich werden. 

Wenn die v Größen ^a,c,i\ nicht alle voneinander verschieden 
sind, so zerfallen sie in Reihen von gleich vielen untereinander 
gleichen, und die aus (5) abzuleitende Gleichung vteu Grades ist 
eine Potenz einer irreducibeln Gleichung, die wir gelegentlich 
wohl auch als Transformationsgleichung bezeichnen werden (Bd. I, 
§ 151,2). 

Sind die Größen '^a,c,:i so gewählt, daß sie für kein endliches 
CO mit positiv imaginärem Bestandteil unendlich werden, so bleiben 
sie für jedes endliche j(co) endlich, woraus folgt, daß die Koeffi- 
zienten in der Funktion des i^ten Grades 

(6) n{x — ^a,c,^) 

ganze rationale Funktionen von j{a) sind, d. h. die Oa,c,i 
sind ganze algebraische Funktionen von j(co). 

') In der ersten Auflage habe ich diese Gleichungen „invariante 
Transformationsgleichungen" genannt. Dieser Ausdruck ist von Klein 
beanstandet worden (Vorlesungen über ausgewählte Kapitel der Zahlen- 
theorie, autographiertes Heft, Göttingen 1897). Ich schließe mich Kleins 
Vorschlag an, indem ich diese Gleichungen jetzt „ Transf ormations- 
gleichungen erster Stufe" nenne, ohne hier näher auf die Begründung 
dieses Ausdruckes einzugehen. 



§ 71. Die Transformationsgleichungen für y^ und y.^. 24:1 

Richtet man die Funktionen 0a, c, ö 5 etwa durch geeignete 
Bestimmung von Konstanten, die darin noch verfügbar sind, so 
ein, daß sie auch für ein unendliches imaginäres w, d. h. für 
g = endlich bleiben, so sind diese Funktionen auch für ein 
unendliches j{co) endlich, und die Koeffizienten in (6) sind kon- 
stant. Dies ist aber nur dadurch möglich, daß die 0a,c,^ alle 
einer und derselben Konstanten C gleich sind. Kennt 
man 0a,c,^ als rationale Funktion einer anderen Größe *P"a, e,e, 
so ist ^a, c,a = C entweder eine Identität oder eine Trans - 
formationsgleichung für ^o,^,^. 



§ 71. Die Transformationsgleichungen für ^2 ^^^ Vs' 

Transformationsgleichungen erster Stufe erhält man zunächst 
aus der Betrachtung der Funktionen § 54, (4), (5): 



r2(«) = fj{co), n{c^) = Vi(«) - 1728. 

Wenn n nicht durch 3 teilbar ist, so können wir die Zahlen 
«, c, ^ so wählen, daß immer c durch 3 teilbar wird. 

Nun übt nach § 54, (15) eine lineare Transformation ( ' ^) 
auf die Funktion y2(") ^^^ Einfluß: 

In den Zusammensetzungen (8), (10) des § 69 wird 
A ^ ?i, d ^ (mod 3), 
und dann kann man a noch so bestimmen, daß auch « und 
folglich Ca durch 3 teilbar werden. 

Daraus ergibt sich, daß durch die beiden Substitutionen 



(W, CO -f 1), (^09, — — j 



die V Funktionen] 

(1) r.(^±^)r.(«)-" 

nur untereinander vertauscht werden und also die Wurzeln einer 
Transformationsgleichung erster Stufe sind. 

Ist zweitens n eine ungerade Zahl, so nehme man c 
gerade an. 



248 Siebenter Abschnitt. § 72. 

Für die Funktion 73(09) ist [nach § 54, (15)]: 

und in den Zusammensetzungen (8), (10), § G9 ist 
A=l, « = ö = (mod 2). 
Die V Größen 

(2) n(^^)n{c') 



vertauschen sich daher untereinander und sind also gleichfalls 
die Wurzeln einer Transformationsgleichung erster Stufe. 

Um für den einfachsten Fall n = 2 die erstere dieser 
Gleichungen zu bilden, beachte man die Relation [ij 54, (5)]: 

/Xw)24 ~ 16 _ /; («)2-t -I- 16 _ /"2(co)2-t + 16 



(3) yaC«) = 
woraus wegen 

folgt: 



fi^y t\{<By /,(«)« ' 

/•, (2 CO) /•,(«) =p [§34, (16)] 

W2o^-^-±AW' 

0, /^ ^ + ^ \ _ ^^-/M^^ 

^'V 2 ;- /■(«)>^ ■ [§34,(13)] 

Bezeichnen wir diese drei Größen mit x, Xq, x-^, so ergibt 
sich aus den Relationen (6), (8), § 54: 

^ -f- ^0 + -^1 = 72(0)^ 
xXq -|- xx-i -f- XqXi = 495 72(«) 

^."^o-^^ = — i(«) + 2^.33.53, 

so daß X, Xq, Xi die Wurzeln der Gleichung sind 
(5) x^ — y<i{(oyx'^ + h.^A\.y^{co)x -\- jia) — 2^33.53 = 0. 
Die Gleichung, deren Wurzeln die Kuben der Wurzeln von 
(5) sind, ist die Invariantengleichung für n = 2, und läßt sich 
daraus ohne Schwierigkeit berechnen. 

§ 72. Multiplikatorgleichungen erster Stufe. 
Unter den Multiplikatorgleichungen sollen hier die betrachtet 
werden, deren Wurzeln die verschiedenen Potenzen von P^ sind, 
multipliziert mit Potenzen von Y<i{co\ 73(0), deren Koeffizienten 



§ 72. Multiplikatorgleichungeu erster Stufe. 249 

rational von j(co) abhängen. Diese Gleichungen nennen wir 
Multiplikatorgleichungen erster Stufe i). 
Wir betrachten die Größen [§ 68, (16)]: 

c -\-d CO 

(1) P_ -r^fl' -'' 



Pc,.,a = i ' (j)ro 



^(«) ' 

und den Einfluß, den die Transformationen 

C;?)' LH) 

auf sie ausüben. Dieser Einfluß bestimmt sich nach den Formeln 
(8) bis (13), § 69, wonach [weil q ^ c (mod e)] 

n i(A — 1) 

Pc,^,a durch (ö, M -[- 1) in e ^^ Pc^^^a 
(2) ■ durch (cu, -1) 



übergeht, worin E die in § 38, (15) angegebene Bedeutung hat. 
Es ist aber [§ 69, (11), (12)] 

und mithin, wenn wir 

■p I ^1 i^ ^2 "1 C^2 f'^\ __ .. i/ 7TI l/'^2 



(:i'^~^)=^v^"i/- 



,9 

setzen, 

eine 24ste Einheitswurzel, und durch die Vertauschung 

(ö, 

geht 



Über. 

') Diese Gleicliungen sind besonders eingehend von Kiepert unter- 
sucht worden, zuerst in mehreren Abhandlungen in Grelles Journal, Bd. 87, 
88, 95, am ausführlichsten in den Abhandlungen in den Mathematischen 
Annalen, Bd. 26, 33. Vgl. auch F. Klein, Mathematische Annalen, Bd. 14, 15 
und die oben erwähnten autographierten Vorlesungen. 



250 Siebenter Abschnitt. § 72. 

Daraus ergibt sich wie oben der Schluß: 

1. Für jedes beliebige n sind die Gröi3en 

-*- c, ö, a 

die Wurzeln einer Transformationsgleichung. 

Ist n durch 3 nicht teilbar, so kann man die c, Ca, Ci durch 
3 teilbar voraussetzen. Dann wird 

A ^ n, « ^ 0, d ^ (mod 3). 

Es ist also, wie aus § 38, (15) hervorgeht, r eine achte 
Einheitswurzel, beachtet man daher noch 

y,(co -f 1) = e"~r2(«), y^{—-^) '-= y2(")> [§ 54, (14)] 

so haben wir den Satz: 

2. Ist n nicht durch 3 teilbar und c durch 3 teilbar, 
so sind die Größen 

P^,,,„y, («)"-! 

Wurzeln einer Transformationsgleichung. 

Um die Anwendung auf den einfachsten Fall n = 2 zu 

machen, setzen wir 

/(oY /(o4-3\s 

(3) a; _ Ib ^^^^3 , :ro - ^^^^^ , a:i _ ^^^^^^ , 
und dann sind x, .To, äTi nichts anderes als unsere Funktionen 

/,(ca)^ ^(«)^ -ficoy. [§ 34, (9)] 

Diese sind, wie wir schon früher gesehen haben [§ 54, (8)], die 
Wurzeln der kubischen Gleichung 

(4) x-i — ^y2(«) + 16 = 0. 

Der Umstand, daß /'|, /"f, ^f^ selbst AVurzeln einer Trans- 
formationsgleichung für den Transformationsgrad 2 sind, erklärt 
die Erscheinung, daß bei Adjunktion dieser Größen, also auch 
bei Adjunktion von a\ die zu einem geraden ti gehörigen Traus- 
formationsgleichungen reducibel werden. 

Wenn n eine ungerade Zahl ist, so nehme man c durch 4 
teilbar an, dann ist [§ 69, (9), (11), (12)] 

k ^ n (mod 4), 
a ^ 0, ^ ^ 0, ß ^ ad2, y ^ — 8«2 (mod 4), 
also ergibt sich 

i — 1 »1—1 a — aj 

r« = (- 1)'~ =(_!) — (- lyi 



§ 72. Multiplikator gleichungen erster Stufe. 251 

und daraus folgt mit Rücksicht auf 

y, (« + 1) = — 73 («), y, (^_1^ = _ y,(co): [§ 54, (14)] 

3. Ist n ungerade, c durch 4 teilbar, so sind die 
Größen ^^_^ 

^Yurzeln einer Multiplikatorgleichung. Ist n ^ l (mod4), 
so gilt dasselbe von Pe,-i,a- 
Als Beispiel wählen wir n 

X = 21 
(5) 



Die Koeffizienten der Gleichung, die diese Größen zu Wurzeln 
hat , sind rationale Funktionen von y^ (co) , und da keine der 
Größen (5) für einen endlichen Wert von y^ unendlich wird, so 
sind es ganze Funktionen von y^. Nach 3. können wir diese 
Gleichung also in der Form ansetzen: 

x^ + Ars^' + ^2-3^' + Ays^ 4- ^4 = 0, 

worin ^i, A2, A^, A^ ganze rationale Funktionen von j(w) sind. 
Zunächst erhält man A^^ als das Produkt xx^x-^^x^-, welches für 
keinen Wert von j{co) verschwinden kann und daher konstant 
sein muß. Aus den Anfängen der Entwickelung [§ 24] 
x = 27 fjT.. ., 




^0 ? • • • 5 

a'i = — e ^ g • 

27ti 

X-i ^= — e ^ q 
ys = q-K.. 

A, = —27. 



(6) 

findet man daher 
Es ist ferner 

— Ars = ^>^ -\- a^o + ^1 4- ^2- 

Da die rechte Seite für ein unendliches y^, d. h. für g = 0, 
nicht einmal in der ersten Ordnung unendlich wird, so muß A^ 
verschwinden. 



252 Siebenter Abschnitt. ' § 72. 

Aus 

— A^Ys = xXoX^xJ— + - + - + —) 

ergibt sich nach (6) für A^ der konstante Wert 1. Um aber A.2 
zu bestimmen, müssen wir in der Entwickelung noch um ein 
Glied weiter gehen. Wir setzen in 

^0 + ^3^0 — 27 = —A^x'^ 
für Xq die Entwickelung 

x^ = —q ^ + 6g3 _f ..., 
und finden J-a = 18, so daß also die gesuchte Gleichung lautet: 
(7) x^ + 18:r2 4- y^x — 27 = 0. 

Ist n ungerade und nicht durch 3 teilbar, so nehme man c 
durch 12 teilbar an. 
Es ist alsdann 
l ^ n^ oc ^ 0, ö ^ 0, ß ^ ad^, y ^ — du-i (mod 12) 
und es wird 

ß — \ n — 1 a — «' 

r' = (- 1)~ = (- 1)"^ (- 1)"^, 
also der Satz 

4. Ist n relativ prim zu 6, c durch 12 teilbar, so sind 
die Größen 

Wurzeln einer Multiplikatorgleichung erster Stufe. 

Da die Funktionen P^ für keinen endlichen Wert von j(co) 
unendlich oder Null werden, so schließen wir, daß die Koeffizienten 
der Gleichung, deren Wurzeln die P- sind, ganze rationale 
Funktionen von y^, y^ sind und daß der letzte Koeffizient 
eine Konstante ist. 

Ist n eine Primzahl p, so sind die Wurzeln dieser Gleichung 

/ / 12/^ + Q \\^ 

^^ ,,_(^)y ^ ^^^-M n P ; ,^o,i,...,^-i 
■^ V >? («) / ^ ^ \ ^ («) / 

und die Anfangsglieder der Entwickelungeu sind folgende: 

2) — 1 x> — \ 2 7iih p — 1 

X = pq~^ . . ., Xh = (— 1)^~ e~^ (f^''..., 

i'-l 
wodurch sich für den letzten Koeffizienten der Wert ( — 1) ^ p 
ergibt. Daraus, daß das erste Glied in der Entwickelung von 



§ 72. Multiplikatorgleichungen erster Stufe. 253 

j(co) nach Potenzen von q den Koeffizienten 1 hat, schließt man 
leicht, daß die numerischen Koeffizienten in diesen Gleichungen 
rationale ganze Zahlen sind. 

Für p = ö hat die fragliche Gleichung die Form: 

x^ -\- A-^y'^x'^ -|- ^2 72*'* -\- AsX^ -\- Ä^y^x -{- 5 = 0. 

worin die Äi, A^^ ^s, A^ ganze rationale Funktionen von j(w) 
und, wie leicht zu sehen. Konstante sind. 

Aus den Anfangsgliedern ergibt sich sofort 

A =0, ^2 = 0, A, = — 1. 

Um aber A^ zu bestimmen, geht man in der Entwickelung 
von Xq bis zum nächstfolgenden Gliede: 

x^= cf^^\\ — 1q^ .. .), 

woraus man ylg = 10 erhält; also lautet für n = 5 die Multi- 
plikatorgleichung 

(8) x<^ + 10^:3 — 72^ + 5 — 0. 

In gleicher Weise berechnet man die Gleichungen für p = 7^ 
p = 11, indem man die Entwickelungen von Xo benutzt: 

p = l: Xo = —q '\l — '2q'—q'^2q'^...l 

p = \\: x^ = —q 33 Vi _ 2311 — gii + 2 ^11 + r^n ^ 2 g" + • . -j, 

während von 72(^)1 ^sC^) immer nur die ersten Glieder gebraucht 
werden. So findet sich 

(9) p = 7: a;^ + 7.2:^6 + 7.9a;* + 7.10 :r2 + J;3.^' — 7 = 0, 

(10) p = 11: .^12 — 11.90:i;6 + 11. 40 73^^ + ILlö^g^^^ 

^W.ly^x'^ ^y^y^x—\\ = 0. 

Wenn n eine ungerade Quadratzahl ist, so nehmen wir c 
durch 8 teilbar an. Es sind dann a:e und 8:e ebenfalls 
Quadratzahlen. Es ist ferner 

(11) c( ^ ^ = (mod 8), A = 1 (mod 8) 
^^^^ a^rc.. «. = /5a, a^e^.^lj 

C = 92 , C2 = " S : «2 ^ ^2 ^ ^2 ^ 1 J 

Die Einheitswurzel r in (2) erhält den Wert 

/ /y \ \lll ?iL! i^(" + J)-(,^^— i)ay 
(13) r = [^i ■' e ^ 8 



254 Siebentel- Abschnitt. § 72. 

Es ist aber nach (12) ß sowohl durch e als auch durch e^ 
teilbar und /Seeg ein Quadrat; also 

ferner ist nach (12) 



und 

(e + l)(e.2-l) 



also 

(j)=,-„-f-©(i) 

1 — ^ 1- ee.2 a — 02 e — Cj 

i~2" _ 4- 2 . ^- 2 _ i~l~^ 

Durch die Vertauschungen (2) geht also 

(U) Pc,^,a in e 3 8 p^^ -,_^ und in e ^ s JPc^,^^,a^ 

über. 

Ist « noch durch 3 unteilbar, so nehme man c durch 3 
teilbar an, wodurch 

A=l, a = d = (mod 3) 
werden und die in (14) vorkommenden dritten Einheitswurzeln den 
Wert 1 erhalten. 

Hieraus ergeben sich die Sätze: 

5. Ist n eine ungerade Quadratzahl, c durch 8 teilbar, 
so sind die Größen 

-*• C, CjOi 

und ist n eine durch 3 nicht teilbare ungerade Quadrat- 
zahl, c durch 24 teilbar, so sind die Größen 

Wurzeln von Multiplikatorgleichungen erster Stufe. 

Die ersten Beispiele sind n = 9, n = 25. 

Zur Bildung dieser Gleichungen kann man auf verschiedene 
Arten gelangen. Wir wollen hier [nach Kiepert i)] den Weg 
gehen, daß wir nach § 69 die Wurzeln einer zum Grade p ge- 



') Zur Transformationstheoi'ie der elliptischen Funktionen. Grelles 
Journal, Bd. 87, 83, 95. 






§ 72. Multiplikatorgleichungen erster Stufe. 255 

hörenden Transformationsgleichiing durch die für den Grad p^ 
rational ausdrücken und diesen Ausdruck in die zu p gehörige 
Transformatiousgleichung einsetzen. 

Nach 3., Formel (7) wird die Gleichung 

(15) x^ + 18a;2 -^ ys{co)x — 27 = 
von den beiden Funktionen 

(16) -f^Sl, 27 '"(ä")^' 



rj{co) J ^ \ 7] (oj) 

befriedigt. Bezeichnen wir den ersten dieser Werte mit x, so 

M, — J in über, 

und folglich wird durch x auch die Gleichung 

(17) 273 J^ \s.21x^ — Ys {^\ x^ — x^ = 

befriedigt. Setzen wir nun 

so geht X durch die Substitution ( w, — j in — über, so daß man 
auch die Gleichung erhält: 

(19) y^ + I8y^x'' + y,(^jyy^x^ — 21 x^ = 0, 

und durch Elimination von ^s (-5-) aus (17) und (19) erhält man 

nach Weghebung des Faktors ^2 _j_ 27 

(20) x^ — 18.1^2^2 _ y2^yi _21iß -\- 272) = 0. 

Löst man diese quadratische Gleichung nach x^ auf, so folgt: 

(21) ^2 ^ ^3 4_ 9^2 _|_ 21 y = (2/ + 3)3 - 27, 

wo über das Zeichen durch Einsetzen der Anfangsglieder der 
Entwickelungen entschieden wird, am einfachsten wohl, da diese 
Gleichung (nach § 69) auch für 

erfüllt wird, indem man 

X = 21 q -\- •••, ?/ = 2752 _j- ... 
setzt. 



256 Siebenter Abschnitt. § 73. 

Sondert mau in (15) die erste Potenz von x ab und erhebt 
ins Quadrat, so erhält man durch Einsetzen von (21) die gesuchte 
Multiplikatorgleichung für den 9ten Trausformationsgrad. Sie 
erhält eine einfachere Gestalt, wenn man 

(22) (y + 3)3 = ^ 
setzt : 

(23) [i(«) — 27 . 64] {t — 27) = (^2 _ 36 ^ _^ 27 . 8)2 
oder 

(24) j(co){t-21) = t(t-2iy. 

Ganz ähnlich kann man beim 25sten Transformationsgrad 
verfahren. 

Wenn wir 

setzen, so haben wir zunächst nach 4. (8): 

(26) x<^ + 10a.'3 — yo{o}yx -f 5 = 0, 

woraus, wie oben, die beiden Gleichungen 

55 + 10.52:r3 — ^2 (-?-) X' + a;6 = 0, 
2/12 _^ 10 y6xS — y^ f^\ ißx'^ -f o:r6 = 0, 
und durch Elimination von y^ 



5 
x^ — 10a;3?/2(5 -f- }ß) = if-{y^ -^ 5^6 _^ Q-iyi J^ 5:1^2 _^ 54). 

Diese Gleichung nach x^ aufgelöst, ergibt: 

(27) x^ = 2/5 4. 5^4 _^ 15 2/3 4. 25^2 _|_ 25 2/, 

und wenn wir zur Abkürzung die rechte Seite dieser Gleichung 
mit %{ij) bezeichnen, nach (26) 

(28) j («) i (y/) = [i {yf ^\Oi{y)-^ bf. 
Dies ist die gesuchte Gleichung SOsten Grades für y. 

§ 73. Dio Schlaefli sehen Modulargleichungen. 

Zu einfacheren Transformationsgleichungen gelangt man, wenn 
man dem Rationalitätsbereich, der bis jetzt aus den rationalen 
Funktionen von ^(co) bestand, die Größe f(co)--^ adjungiert. Diesem 



§ 73. Die S c hl aefli sehen Modulargleichungen. 257 

Rationalitätsbereich gehören die Funktionen von co an, die durch 
die beiden Substitutionen 

(1) ("'-^)' ("'" + 2) 

ungeändert bleiben (§ 54, 2). ^Yenn also ein System von v 
Funktionen 'Pa.c,^ durch die Substitutionen (1) nur unter sich 
permutiert wird, so sind diese Funktionen die Wurzeln einer 
Transformationsgleichung, deren Koeffizienten rational von f{co)-^ 
abhängen. Hierzu gehören (wie wir früher schon auf anderem 
Wege nachgewiesen haben) für ein ungerades w, das wir jetzt 
immer voraussetzen, gewisse Potenzen der Größen 

'c -\- d(o^ 



K'^y 



worin, wie ein- für allemal bemerkt sei, c durch 16, und wenn n 
nicht durch 3 teilbar ist, durch 48 teilbar angenommen wird. 

Die etwas erweiterten Grundsätze des § 70 führen verhältnis- 
mäßig einfach zur Berechnung dieser Gleichungen. 

Eine Erweiterung ist aber notwendig aus folgendem Grunde : 

Bei den bisherigen Betrachtungen konnten wir den Schluß 
machen: wenn eine rationale Funktion von j{co) für jedes end- 
liche M mit positiv imaginärem Teil endlich bleibt, so ist sie 
eine ganze Funktion von J(w), weil zu jedem endlichen ^(co) 
auch ein endliches, nicht reelles co gehört (§ 52). Bei den ratio- 
nalen Funktionen von f(co) können wir aber aus der Endlichkeit 
für jedes endliche imaginäre co nur schließen, daß sie ganze 
Funktionen von /(o) und l:/'(ci>) sind, weil nur zu jedem end- 
lichen f{cj) mit Ausnahme von f(co) = ein endliches imaginäres 
(o gehört. 

Es entspricht aber der Substitution 

(2) (<o, « " '^ 



' w + 1 
die Vertauschung 

(fC«),^!^), [§34,(18)] 

und wenn also die Funktionen ^„,c,d so gewählt sind, daß sie 
auch durch die Substitution (2) nur untereinander permutiert 
werden, so werden die Koeffizienten der Gleichung, deren Wurzeln 
sie sind, rational von 

Weber, Algebra. III. jy 



258 Siebenter Abschnitt. § 73. 

«">) + m 

abhängen. Sie sind ganze Funktionen dieser Verbindungen, 
wenn die ^„,c,ö für jedes endliche, nicht reelle co endlich bleiben, 
und sie sind konstant, wenn alle ^a,c,ö auch für 3 = 0, d. h. 
für /'(o) == und /(w) = oo, endlich bleiben. In diesem Falle 
sind sämtliche Oc,,c,i einer und derselben Konstanten 
gleich (§ 70). 

Daraus ergibt sich der Satz: 

Bildet man ganze rationale Funktionen ^«,0,0 aus 

c -\- da)\ 1 1 



f(-^7r^)^ ^(«)' 



f(:-^ 



day /•(«)' 



welche die Eigenschaft haben: 

1. durch die Substitutionen 

(«,-- ^), («,« + 2), («,^) 

nur untereinander vertauscht zu werden, 

2. für q = nicht unendlich zu werden, so ist 

0a,c,-ü = constans' 
eine Transformatiousgleichung. 

Um diese Bedingungen zu befriedigen, ist zunächst der Ein- 
fluß der Substitutionen (1) auf die Funktionen / zu untersuchen. 
Dieser ergibt sich aus den Zusammensetzungen § 69, (8) bis (13) 
und aus den Transformationsformeln für die /-Funktionen § 40. 

Zur Abkürzung führen wir die Bezeichnung ein: 

/(„) = „, f{^±^) = ., 

(3) . A(.) = «„ (|)A(i±»^) = «. 

/.(») = ,,, (|)/;(^ii^) = .v 

Es ergeben sich dann folgende zusammengehörige Ände- 
rungen, wenn in der Bezeichnung auf die Verwandlung der 
Zahlen o, c, d in a, Ci, d oder a^, Cg, ?2i wie sie eben durch die 
angeführten Formeln des § 69 charakterisiert ist, keine Rücksicht 
genommen wird: 



§ 73. 


Die Schlaefli 


seilen Modulargleichungeu. 






CO, 






t(, 


«1, 




«2, 




1 






2', 


%, 




Wl, 




«+ 1, 




e 


TT i 


TT i 




Tri 
gl- 1(2, 


fl\ 


« + 2, 




e 


TT i 


TT )! 






^^^ «, 


^, 








h^ 




Vi, 


1 


QV, 






Q 


Vi, 




QV^, 


«+ 1, 


nni 


^1, 




öe~ 


nni 




nni 


« + 2, 


nni 


^, 




6^e~ 


n n i 




n Tri 


worin 
















Q = 


2 Tri ^ 

e 3 


(^) + (ab- 


1 


-( 


a 


(« — /.) Tri 

1 e 2i 



259 



zwei dritte Einheitswurzeln sind, die, falls n nicht durch 3 teilbar 
ist, den Wert 1 haben. 

Um ferner die Wirkung der Substitution (2), die aus der 
Transformation zweiten Grades 



(-:;D 



.-1, L 

hervorgeht, auf die Funktionen i<, v zu ermitteln, müssen wir die 
Transformationen erster und wter Ordnung 

so bestimmen, daß 

'a, 0\ / 1, 1\ /«, ß\ ( 1, l\ /rt', 0^ 



^^ \c,'d)\—\,\) Vy, <5y V— 1, ly \c\ c 

wird. Dieser Ansatz führt zu den Gleichungen 

a = a'(a - /3) + c'(« + /3), « = ?'(« + /3), 

'^ ^ c — 8 = «'(7 — ö) 4- c'(7 -f (5), c + 8 = c'{y + ö). 

Hiermit ist zunächst, da a -f- /3 und ^^ 4~ *^ zufolge a8 — ßy 
= 1 relativ prim sind, 8' bestimmt als der größte gemeinschaft- 
liche Teiler von a und c -(- 8, und aus n = a'8' ergibt sich «'. 
Dann ist nach den Gleichungen (6): 

a ^ c -\-d 



Ci 



+ /5 = ^, r + d 



ß' ' 

17 



260 Siebenter Abschnitt. § 73. 

und ö und ß lassen sich so bestimmen, daß 

(7) d(a + /3) - ß{y + ö) = «d - ßy = 1. 

Aus den Gleichungen (6) für a und c — d findet sich dann 

(8) c' _f- «'= aö- — (c — d)ß. 

Ö und ß können, da cc -^ ß und y -\- ö beide ungerade sind, 
nach (7) nicht beide ungerade sein; folglich fällt c' nach (8) 
gerade aus. Ersetzt man, was nach (7) gestattet ist, ö, ß durch 
d -\~ h {y -\- d\ ß -\- h (a -\- ß)^ für ein beliebiges h, so cändert 
sich c' nach (6) und (8) um 2ha\ und über h kann so verfügt 
werden, daß c' durch 16 oder 48 teilbar wird. 

Es ist dann nach (6) cc -\- ß -\^ y — ö gerade und daher 
die Formel (12), § 40 anzuwenden. Darin ist nun zu berück- 
sichtigen 

8'(« + /3) = «, a'{y~-d) = -d *-""" ^"^ 
woraus folgt: 

n(a _ /3)(a + /3 + y — 6) = ((2 _ ^'2 (mod 16), 
also 

2 \ _L£i(„_^)(a + /i + y-.b /2\/2\/2./2\ /2 



«y \c/'/ \aJ \d' J \n 



und 



•^["(y-,i)-(«2-i),-?(J] 



Q = e 

Ist « nicht durch 3 teilbar, so ist 

20, ^„(«' + 8'), 2ö^oia' + n (^„,3) 

2/3 = «(8' — «'), 2y = 8(8' — «') ^ ^' 

also entweder a und ö oder ß und y durch 3 teilbar und also 

Q =1. 

Hieraus ergeben sich folgende zusammengehörige Vertau- 
schungen (wobei die Änderung von «, c, d in a', c\ d' durch (6) 
bestimmt ist): 

G), M, t^ 

(9) "-1 V2 .^2^V2 



09 + r u 



Q 



Wir wenden die Vertauschungen (4), (5), (9) auf folgende 
Funktionen an : 



( 



§ 73. Die Schlaefli sehen Modulargleichungen. 261 



(10) 



9 \ »• + • 



worin r, s zwei ganze Zahlen sind, die den Bedingungen 
(11) (h — l)r = 0, {n -f- l)s = (mod 12) 

genügen, die also, wenn n durch 3 teilbar ist, beide durch 3 
teilbar sind und 



n2 — 1 



.n) = (- ^) " 
ist. 

Es ergeben sich dann folgende zusammengehörige Ver- 
tauschungen : 

Ü9, J., 5, 



(12) 



9 



(>i— l)r (n + l)g 

(-1)"^^^ (-1) '' B, 



^^y^, ih B. 



w -|- 1 ' V w / ' \n. 

Bilden wir nun aus A^ JB eine ganze rationale Funktion mit 
numerischen Koeffizienten 

(13) ^„,o,ö = i:Mu,wb\ 

worin, falls in (12) Vorzeichenänderungen auftreten, die Expo- 
nenten A, k so einzurichten sind, daß in allen Gliedern von (13) 
die gleichen Vorzeichenveränderungen stattfinden, so wird das 
Funktionensystem CP„,p,a oder wenigstens 'I>a,c,:^ der Forderung 1. 
des oben aufgestellten Satzes genügen und wir haben, um auch 
die Forderung 2. zu befriedigen und so eine Transformations- 
gleichung zu erhalten, die Koeffizienten Jf;,,;,- so zu bestimmen, 
daß die sämtlichen v Werte von ^a,c,ö füi" 2 = endlich bleiben. 
Diese Aufgabe vereinfacht sich wesentlich, wenn n keinen quadra- 
tischen Teiler hat, und noch me'hr, wenn n eine Primzahl ist. 

Hat nämlich n keinen quadratischen Teiler, so kann man aus 
^0,0, ci die sämtlichen Werte ^„,(.,0 herleiten, durch Vermehrung 
von CO um gewisse ganze Zahlen; wenn also, was unsere Forde- 
rung ist, in der Entwickelung von 0„,o. >> nach steigenden Potenzen 
von q keine negativen Potenzen vorkommen, so gilt das Gleiche 
von sämtlichen ^«,0,0- 



262 Siebenter Abschnitt. § 73. 

Ist aber n eine Primzahl, so genügt der Nachweis, daß ^1,0, » 
keine negativen Potenzen von q enthält, da das Gleiche durch 
Vertauschung von co mit co:n für ^„,0,1 folgt. 

Der konstante Wert, den die Funktion ^«,^,0 erhält, bestimmt 
sich aus einem Gliede der Entwickelung. 

Bei der Ausführung dieser Ptechnungen dienen die Ent- 
wickelungen § 24, (11), 



)i — 1 



,. h /l _|_ qn{2h~-l)Y 



A = a 24 77 



1,00 

'Lzlr- h / -l _\_ o2A — 1 \r 



1 + 3^ 
-r 1 " J^ i ^ 
(14) 



'l_t r h / \ \ ^27.-1 \ r 

+ «■" f.(r^^^,) 



+ (l) 



O \ r + s (» + 1) 7i 1 

^ q ^' 2' n 



1,00 (1 + f/"-')Ml + r/"<27.-l))s 

Die Formeln werden nicht immer am einfachsten, wenn r, s 
möglichst klein angenommen werden, sondern es erweist sich am 
zweckmäßigsten, noch die Bedingung 

(lo) ^ ^2 — 12 ^"^^'^ ^^ 

hinzuzufügen. 

Wir erhalten so für die sieben ersten ungeraden Primzahlen 
folgende Bestimmung von Ä und B: 

8 



«= 3, ^ = (iy+(i)' £ = (..<.)= 



luvy ' 



•5. ^=(^y+(^T. ^=(«-)' ' 



"= '■ ^=(7y+(^)- ^ =('•")' +(4^' 

,. = 11, ^ = («y+(iv B= „„ _^, 

in A U . V T> / X 64 

»=13, ^= - + -, B =(,„.).. -^^, 
w = 19, Ä^ (-)' 4- f-Y, B = Cu vy - ^\- . 



§ 73. Die Schlaeflischen Modulargleichungeu. 263 

Die Entwickelimgen nach Potenzen von q für A und B er- 
geben sich aus (14), soweit sie zur Rechnung gebraucht werden, 

folgendermaßen : 

i_ 

n= 3, A==<r^{\ - ryq...\ 

B = q~^{l - bq..), 
1 
n= b, A = (f^ il — 2q...), 

B = q~i{l- 2q...\ 

n — 1, A = q-' (1 — 4rj ...), 

B = q-^ (1+ 3ri...), 

71 = U, Ä = q~^{l — 6q-\-2lq^ ...), 

■ B = q~^{l - q^r 22^...), ' 
n =13, A = g"^(l + 2q^— 2g3 ...), 

_ _7_ 

B =^ q ^(1 -f 6g+1552_^26y3 ...), 
n= 17, ^ = (/-2(1 — 3(/4-6r/2_l3r/4-25g* — 39gä + 7656...), 
B = ^i-3(l-f-4g + 6(/^'4- 8rj3_^17g4 4-28g-^-f-54g6...), 

_ 3_ 

n = 19, A = q~ -^ {l — 2q-j-3 q^ — b q^ ^\1 q^ — 13q^ ^ 24:q^ 

-28g^...), 

5_ 

J5 = (i~ 2 (1 + 3 g + 3 g2 ^ 4 ^3 4- 9 2* + 4 g^ -^ 39 ^e 

-27 g^...), 
und daraus erhält man durch Elimination der negativen Potenzen 
die gesuchten Gleichungen zwischen A und B: 
I. n = 3, A — B = 0, 
n ■= 5, A — B = 0, 
n = 7, A — B -\- 1 = 0, 
w = 11, A — J5-' -I- J53 -I- 2 5 = 0, 
«=13, A^-{-6A^-^A3 — 20A — B=0, 
n = 17, A^ — ^2 -^ 17^5 — 34^2 4_ 34^ ^ 116^1 

-|- 440 = 0, 

n = 19, A--— B^ -\-ldAB^ —96A^B -^ lOdA^ 

+1285—128^ = 01). 

') Diese Gleichungen sind zuerst von Scblaefli aufgestellt (Journal für 
Mathematik, Bd. 72). 



254 Siebenter Abschnitt. § "3. 

Aus diesem System von Gleichungen leitet man ein zweites 
und drittes her für die Funktionen /;, /a, indem man co durch 
03+1 und darauf co durch — 1 : m ersetzt. Diese beiden Systeme 
haben die gleiche Form, nur ist das eine Mal 

/2\ ,. /c -|- co\ 

das andere Mal 

zu setzen. Aus den Vertauschungen (4) ergibt sich so: 

II. „= 3, ^. = (|y_(^y, B, = iu,.,y+^„ 

4, -I- B, = 0, 

.4, — -B, — 7 = 0, 

A + Bi + B>--iB, = 0, 

^ti ^'1 ^i /- \fi 1 ^'^ 

„ = 13, A,= f^ - i' -«' = («■'■■)' + K^.' 

,4; — SA; + A{ + 20A, + S, = 0, 

. = 17, ,4. = (^y+(|y, i'. = (».,•.)' +(5^., 

^3_ ^^2_ nA,B, — 34^1-— 34J?i + 116 A 

-f 440 = 0, 



n 



,1^ _^ ^^> _ i!)^,/;f 4- 9bA^B, - 109.1-' 

+ 128 i\ — 128 A = Ö. 



§ 74. Die Form der Schlaeflischen Modulargleichungen. 265 

§ 74. Die Form der Schlaeflischen Modulargleichungen 
für einen Primzahlgrad. 

Die Form, die wir im vorigen Paragraphen für die zwischen 



(1) u = f(co% V = f 

bestehenden Relationen gefunden haben, läßt sich, wenigstens 
wenn der Transformationsgrad eine Primzahl p ist, leicht unter 
ein allgemeines Gesetz bringen. Da für die Folge viel auf diese 
Form ankommt, gehen wir hier noch etwas genauer darauf ein. 
Die Bestimmung der Zahlen r, s nach (11) und (15) des 
vorigen Paragraphen hängt von dem Verhalten von p gegen den 
Modul 24 ab, und da wir den Fall p = o ausschließen können, 
so haben wir folgende Fälle: 

p = 1 (mod 24) r = 1 s = 12 

p ^ b 

p= 7 

p= n 

(2) i, ^ 13 
p = n 

p = 19 
i; = 23 

so daß r -\- s stets ungerade ist und jJ -|- 1 durch 2 r, p — 1 
durch 2 s teilbar ist. Hiernach wird 

- - (^J + © • 

(3.) 

B = («r)-4- 



r = 3 


s = 2 


r = 4 


s = 3 


r = 6 


s = 1 


r = 1 


s = 6 


r = 3 


s = 4 


r = 2 


s = 3 


r = 12 


s= 1, 



/2\ _2*_ 

\pj {uvy 



Nun wissen wir, daß die p -\- l Größen v die Wurzeln einer 
irreducibeln Transformationsgleichung 

(4) 0,(v, u) = i-P + i -f r,rP + ... U, + r = 

sind, in der die Koeffizienten L\ ...^ f^jj + i rationale Funktionen 
von H sind. 

Wir schließen sofort, daß es ganze nationale Funktionen 
von u sind. Denn erstens werden für « = oo die sämtlichen 
Wurzeln von (4) unendlich, wie man erkennt, wenn man co = ioc, 
also, g = werden läßt. Zweitens geht nach (9) des vorigen 



266 Siebenter Abschnitt. § 74. 

Paragraphen durch die Vertauschung ( m, — ) die Gesamtheit 



der Wurzeln v in 



1\P 
P J V 



über. Hieraus folgt, daß für ii = die sämtlichen Wurzeln v 
in Null übergehen, also keine von ihnen unendlich wird, woraus 
zu schließen ist, daß nicht nur die L\, f/g, . . . Up^-i ganze 
Funktionen von n sind, sondern daß auch jede von ihnen den 
Faktor u enthalten muß. 

Wir schließen nun zuucächst, genau wie bei der Invarianten- 
gleichung (§ 69, 2., 3. und 6.), daß 

(5) 0^,(r, tt) = Qp{u, v), 
und daß 

(6) ^p(v, «) = (VP — U){V — UP) -H 2> ^ Ck^TcU^'V^, 

worin C/j^^ = c^^^ ganze Zahlen sind. 

Wir wollen diese Funktion in der Weise darstellen 

h.k 

(7) 0p{v, U) = fi' + l -f- «i^ + l + 2; ÜHJ^U^V^, 

worin also a^^)^ = üj^^u ebenfalls ganze Zahlen sind, auf deren 
Teilbarkeit durch p es nun weiter nicht ankommt, und es ist 
insbesondere üp^p = — 1. Wenn wir in der Gleichung 

CO durch co -\- 1 ersetzen, so ergibt sich wegen der Irreducibilität 
auf Grund der Relation 

/(CO + 2) = r^/-(«), 

daß in (7) nicht alle Glieder, sondern nur solche vorkommen, 
in denen die Exponenten /i, h der Kongruenz 

(8) Jiji j^l = p J^ \ (mod 24) 
genügen. 

Nun kennen wir noch eine weitere Eigenschaft der Funk- 
tionen Op(i\ ii), die sich aus der schon benutzten Vertauschung 

(9) des vorigen Paragraphen ergibt, wo 9 i= 1 zu setzen ist, und 
die, wenn wir zur Abkürzung 

/2\ ?^— i 



§ 74. 



Die Form der Schlaefli sehen Modulargleichung-en. 



267 



setzen, so dargestellt werden kann : 

2^ + 1 



('J) 



Op{v, 11,) 



O, 



V2 V2 



UV 

y2 / " \ V ■ u 

Hieraus schließt man auf die Relationen 

(^'iJ + l — /i, p + l—h = <*7i,?C5 



(10) £''•2 - Clpj^-i^h, p + l-h = Clh,lt, Clh,k = CLk,h- 

Wenn wir also in (7) die Glieder mit gleichen Koeffizienten 
aji^ii zusammenfassen, so können wir uns auf die Annahme be- 
schränken, daß h ^ Ic, h -{- k ^ p -\- 1 sei, und es ergibt sich 
0p, von den beiden Gliedern v^ + \ w^ + ^ abgesehen, als ein Aggregat 
von Gliedern von den folgenden beiden Formen (wenn noch be- 
rücksichtigt wird, daß wegen (8) s'' = a^ ist): 

(11) v^Hi^J^v^u^-]- £'' 2 2 (^.^^l> + 1 -/, .^.p + l-kJ^^^p + i-fe ^,p + i-h^ _ 



p + i 
(uv)^ 



(12) 



a) ^ + (7) ^ 



(u v) 



h + k -p-1 T, r, 



h+h—p—1 



h+k—p—1 



(u v) 



p + 1 



-y'^tt'' -)-£'' 2 2 ^^^^ + 1-7» 
p + i 






(Wy) 2 _j 



'+1 



(mv) 



(mod 24), 



Die Koeffizienten dieser Glieder in ^^j sind ganze Zahlen. 
Nun ergibt sich aus (8): 

{h-h) = {}i-\){p+\) 

h -{- k — p — 1 = —h{p — 1) 

und daher ist h — /.: durch 2r, h -\- k — p — 1 (worin h auch 
= k sein kann) durch 2 s teilbar [§ 74, (2)]. 
Setzen wir daher 

h — k h-\-k — p — l 

2 ~ ' 2 

so sind a und ß positive ganze Zahlen, die zwischen den Grenzen 



s/3. 



(13) 







«< 



p-^l 







ß^ 



i> + l 



2r ' - -- r = 2s ' 

liegen, und überdies ergibt die aus (8) folgende Kongruenz 
— A (i? — 1) ^ 2 .s /3 (mod 24) , daß wenigstens in den Fällen, 
wo £ = — 1 ist, /i = /3 (mod 2) [ij 74, (2)], also stets a'* = £.*. 



268 Siebenter Abschnitt. § 74. 

Demnach wird (11) 

und (12) 

(UV)' [(«)'^ + ^. 

Nun gelten die bekannten Formeln, wenn x, y beliebige 
Größen sind und 



' X -^ 



gesetzt wird, 



y 

X'^ " ' ' ' 1 



^' + ^ = ^' - 2 r, ^'^ + Ti = ^' - ^yy^ 



U) +(7) ""'' («")''' + (ist 



woraus man durch den Schluß von n auf n -\-\ erkennt, daß 

x» 4- -^ 

sich für jedes beliebige n als ganze rationale Funktion wten 
Grades von y darstellen läßt, die, wenn y eine ganze Zahl ist, 
ganzzalilige Koeffizienten hat, deren höchster == 1 ist. 
Die beiden Größen 

i? 2*'^ 

können also in dieser Weise als ganze rationale Funktionen von 
A und B der Grade c/. und /3 dargestellt werden, und wir finden, 

wenn wir noch das dem Werte /3 = —^ — entsprechende Glied, 

das den Koeffizienten — 1 hat, absondern und mit Ca,^ ganzzahlige 
Koeffizienten bezeichnen: 

(14) ^^^^^ = ^ 2r _ ^ 2s _^ V C.^^A-B?, 

(uv) 2 
worin cc und ß an die Grenzen 

gebunden sind. Dies ist die Form, die wir im vorigen Paragraphen 
den Modulargleichungen bis p =19 gegeben haben. 



§ 75. Die irrationalen Formen der Modulargleichungen. 269 

Es ist noch zu erwähnen, daß die in § 69, 4., 5. für die 
Invariantengleichung bei zusammengesetztem Transformationsgrade 
durchgeführte Betrachtung unverändert auch für die Schlaefli- 
schen Modulargleichungen gilt, woraus wir schließen können, daß 
alle diese Gleichungen rationale Zahlenkoeffizienten haben. 



§ 75. Die irrationalen Formen der Modulargleichungen. 

Den Transformationsgleichungen lassen sich durch Anwen- 
dung desselben Verfahrens weit einfachere Formen geben. Die 
Gleichungsformen, mit denen wir uns jetzt beschäftigen werden, 
enthalten die drei Funktionen /", /"i, f^ zugleich; da man aber 
nach § 34, (11), (12) zwxi dieser Funktionen durch die dritte 
ausdrücken kann, so lassen sich zwei von ihnen eliminieren, und 
man kann so zu den Gleichungen des vorigen Paragraphen ge- 
langen. Wenn man für /i, f. 2 die Ausdrücke durch /", oder für 
die drei Funktionen /", /i, f^ die Ausdrücke durch A;^ einsetzt, 
so kommen Wurzelzeichen vor, woraus sich der Name dieser 
Gleichungen erklärt. 

Wir setzen wie oben 

(I) u. = U^l - = (I)A(^1 

uu^Uo = 1/2, vt\v.2 = i^-^J \2, 
und erhalten folgende zusammengehörige Vertauschungen: 

CO, UV, Wi t'i, W2t'2, 

(2) , QUt\ P**2^2l ^^'l^H 



CO 



(.n + l)7ti (»1+1)7!-» (M + l)7r» 



M -j- 1, e 24 öii^Vi, e ^^ 6ui\ e ^^ öu^v^, 

worin p, 6 die oben [§ 73, (4)] definierten dritten Einheits- 
wurzeln sind. 

Wir unterscheiden drei verschiedene Fälle nach dem Ver- 
halten von n zum Modul 8. 

1. M 4- 1 = 0, (mod 8). 



270 Siebenter Abschnitt. § 75. 

Wir setzen 

n + l 

2A = UV -\- ( — 1) ^ («1^1 -|- 112^2)^ 

w + 1 

(3) B = uvu-^i\ -\- UVU2V2 -\- ( — 1) ^ Uii\U2V2 

= -^ \ - L (_ 1) 8 _f_ 

SO daß sich die zusammengehörigen Vertauschungen ergeben 
CO, A, B, 

(4) -1 M, 5^i?, 

o 

CO + 1, e ^^~ öA, e~ '^ ö^B. 

Ein Produkt von der Form A'' B^ nimmt also durch die 
beiden Vertauschungen 



(«,-i), («,« + !) 



die Faktoren an 

(h — fe) , 

die = 1 sind, wenn n -|- 1 durch 3 teilbar ist. Wir bilden also 
jetzt mit numerischen Koeffizienten Mh,i{ Funktionen der Form 

(5) ^„,.,, = EMn,uA^'B\ 

worin, wenn n ^z Q oder se 1 (mod 3) ist, h und k nur solche 
(ganzzahlige) Werte annehmen dürfen, deren Differenzen h — h 
bei der Teilung mit 3 denselben Rest lassen, wenn aber n ^ — 1 
(mod 3) dieser Beschränkung nicht unterworfen sind. Eine solche 
Funktion selbst, oder wenigstens ihre dritte Potenz genügt also 
einer Transformatiousgleichung erster Stufe. Sie bleibt außer- 
dem für alle endlichen Werte von j{co) endlich und ist folglich 
eine ganze algebraische Funktion von i(«). [Die Transformation 

zweiter Ordnung i ^ -i) braucht hier nicht zugezogen zu werden, 

da der Inbegriff der Oa,c,^ schon bei der Substitution (co, w -|- 1), 
nicht erst bei (co, o -|- 2) un geändert bleibt. Vgl, die Bemerkung 
am Anfang des § 73.] 

Wenn wir also die Konstanten in ^(,,,.,0 so bestimmen, daß 
in den Entwickelungen dieser Funktionen keine negativen Potenzen 
von q vorkommen, so müssen die sämtlichen 0„, f, ^ einer und 
derselben Konstanten gleich sein. 



§ 75. Die irrationalen J'ornien der Modulargleichungen. 271 

Zur ErreicLimg dieses Zieles genügt es auch hier, wenn n 
keinen quadratischen Teiler hat, daß ^„,0,0, und wenn n eine 
Primzahl ist, wenn <^i,o,n füi' g = endlich bleibt. 

Bei diesen Rechnungen machen wir Gebrauch von den Ent- 

wickelungen : 

»1 + 1 
UV = (f^ n{\ -f (^"(2A + i))(i _|. r/'' + i), 

(G) u^i\ = <i~~^ n{\ — 2"(2/t + i))(i _ r/2'^+^), 

n^v.^ 1= 2r/ 32 77(1 -^ q^^'*^){\ -\- (f')^ 
woraus durch Entwickelung nach Potenzen q: 

UV = </~"^(l + g-f-g3^,^4^g:._|_56_^g7^2g8...), 
_ !L+J 

(7) U^l\ = (l 24 (l_,^_,^3_^,j4_2Ö_|_56_57^2rZ^..), 

ri + 1 

Die letzteren Formeln sind richtig für n >> 7 (für n = 3, 5, 7 
sind die Glieder von q^^ q-\ q"' an zu modifizieren). Für n = 7, 
11 = 23 zeigen diese Ausdrücke, daß Ä selbst für 5 = endlich 
bleibt, woraus für diese Fälle die Gleichungen folgen: 

« = 7, A= 0, 
^^ n = 23, A= 1. 

Durch einfache Rechnung findet man ferner noch: 

n = 31, (.42 — Bf — Ä = 0, 

(9) n = 47, J.2 — ^ — 5 = 2, 

w = 71, Ä^ — 4:ui^ ^ 2A — B = 1. 

Nicht ganz so einfach gestaltet sich die Rechnung für ein 
zusammengesetztes )i. So muß man z. B. für n =15 die Be- 
dingung der Endlichkeit für q = nicht nur für ^1,0,15, sondern 
auch für ^3,0,5 berücksichtigen. Diese beiden aber genügen. 
Man erhält so: 

(10) « = 15, ^3 — ^5 + 1=0. 

2. Ist n ^ 3 (mod 8), so sind dieselben Schlüsse zu ziehen, 
wenn wir setzen: 

, . AÄ = u^v^ — u{ v- — ^<2^^'V^ 



272 Siebenter Abscliiiitt. § 75. 

für die man aus (2) die zusammengehörigen Vertauschungen 
erhält : 

(12) -i Q^A, qB, 

CO 

(ii + l)7ri (n + \)ni 

(a-f 1, e « ö2yl, e~ ^ öB, 
und hieraus leitet man in der gleichen Weise die Gleichungen ah: 
n r= 3, JL = 0, 

(13) n = 11, ^ = 1, 

M = 19, Ä- — TA' — B = 0. 

3. Ist n ^ 1 (mod 4), so kann man ebenso verfahren mit 
den Funktionen 

8 yl = HM-* — u^ v^ — K^ r.f 
^ ^ B z= tli V* U^ vf -\- W* fi u^ v^ — u^ v^ n^ v^, 

für die man die zusammengehörigen Vertauschungen erh.ält: 
CO, Ä, B, 

(15) -^ M, Q'S. 

CO 

CO 4- 1, e 3 (jA, e 3 (j2i?. 

Nur der erste Fall w = 5 führt hier zu einem einfachen 
Resultat : 

(16) M = 5, Ä = l. 

Für w = 5 läßt sich noch eine einfachere Form der Trans- 
formationsgleichung gewinnen. 

Wenn wir nämlich auf die drei Funktionen 

(17) IV = ' ^ ' — --^, lü^ = -^ ? — , ii\, = -! ^— 

^ ^ U V U^ Vi ~ 1(2 V2 

die Substitutionen (co, j, (ca, co -|- 1) anwenden, so ergeben 

sich unter der Voraussetzung n ^ 5 (mod 8) die zusammen- 
gehörigen Vertauschungeu : 

CO, tu, t(;i, ^('2, 

1 
o 



0,4-1, e ^^^"-'\v,, e ''^"-'Uv, €'-'^"-''^w 



§ 75. Die irrationalen Formen der Modulargleichungen. 273 

Setzt man also 

A = iv^ -\- iv^ -\- i(?|, 

S = w^ ivf -\- tü^ w^ -\- ivf iv^ , 

C = tu lUi W2 , 



so erhält man 








w, 


A, 


B, 


c. 


1 

TT' 


A. 


s, 


c, 



05 -f- 1, e i2("-^^)^^ e fi("-5)^^ c, 

so daß zwei dieser Funktionen ebenso wie oben A und B benutzt 
werden können. Für n = 5 zeigt sich aber, daß in den Ent- 
wickelungen von w, Wi^ iv^ nach Potenzen von g keine negativen 
Potenzen vorkommen und daß also J., B^ C und mithin auch 
IV, i^i, 1V.2 selbst konstant sind. 

Es läßt sich also die Modulargleichung für w = 5 in jeder 
der drei Formen aufstellen: 

U{ v^ -\- U2 v^ = 2 w y , 
(18) m|v2 — tf tt2 = 2«! ?'i, 

U{ v^ — • v~ u^ = 2 Mg i'o- 

Diese Gleichungen lassen sich auch aus der von Jacobi 
(Fund. art. 30, gesammelte Werke, Bd. 1, S. 123) gegebenen her- 
leiten. 

Wir schließen diese Betrachtungen, indem wir in den ein- 
fachsten Fällen die Jacobischen Modulargleichungen aus 
diesen irrationalen Formen ableiten. 

Wir setzen [vgl § 54, (3)]: 

U-i -,4/ — 

u ^ 



und eliminieren mittels der Relationen 

x-" -\- x'-^ = 1, 
(19) 

r + y'' = 1 , 

die Größen u und r. 

Weher, Algebra. 111. JQ 



^1 t 
u 




'i-y 


= W. 


onen 




xx' = 


V2 

M3 


yy' = 


V'2 



274 Siebenter Abschnitt. § 76. 

Für n = S erhält man aus (13): 

(20) x^ y^ + x'-^ y 2 = 1 , 

eine Form der Modulargleichung, die von Legendre herrührt. 
Daraus, indem man für x\ y' aus (19) die Werte setzt, 

oder 

{x^ — ißY = 'i{xy — x^y^y 

und indem man hieraus die Wurzel zieht und das Vorzeichen 
durch 5 = bestimmt, findet man: 

(21) x^ — y^ = 2xy — 1x^\f, (n = 3), 
was, abgesehen von dem dort nicht näher erklärten Vorzeichen 
von ]//l, mit § 10, (12) übereinstimmt. 

Für n = 5 folgt aus der zweiten Gleichung (18): 
(^'2 — y^y = Axyx'Uj'^ 
und daraus durch Quadrieren 

{x^ — ißY = 16.r2«/2(l — x^ — y- -\- ^'•-!/'), 
was leicht in die Form gebracht wird 

(a;2 _ ^2)2 [(^^.2 _ ^2)2 _^ 8a;2 2/2j2 = l^ X^ iß {\ — X^ ißf. 

Zieht man hieraus die Wurzel, so folgt, wie oben: 

(22) x^ — iß — 'ixy{\— xHß) -{-^x^y^ {x^ — y^) ■= {n = 5). 
Für n = 1 erhält mau, ohne Wurzelziehen, aus (8): 

(23) xy -^ x'y' = 1, 
und daraus: 

(24) x^ -\- y^ — Sxy{l -^ x^ y^) -(- 28x^y^{l + xMß) 

— 56a;3«/3(l -\- x^y^) + lOx^y^ = {n = 7). 

§ 76. Zusammengesetzte Transformationsgrade. 

Ist der Transformationsgrad eine zusammengesetzte Zahl, so 
kann man noch einfachere Transformationsgleichungen aufstellen 
als die, die man auf dem Wege des vorigen Paragraphen gewinnt. 

Wir führen diese Betrachtungen liier nur in den einfachsten 
Fällen durch. 

Der ungerade Transformationsgrad n sei in zwei Faktoren 
zerlegt 

(1) n = n' >i", 

die zueinander relativ prim sind. 



§ 76. Zusammengesetzte Transformationsgrade. 275 

Es lassen sich dann jeder Transformation nten Grades von 
der Form 

je eine und nur eine Transformation der Grade n\ n" : 

Ui\ 0\ /«", 



^^^ Vc', o'P \c'\ d", 

zuordnen, die durch folgende Bedingungen bestimmt sind: 

a = a'a", d = d'd", 

^^ d"c' = c (mod a'), d' c" = c (mod a"), 

und umgekehrt folgt aus jedem Paar Transformationen von der 
Form (3) nach (4) eine und nur eine Transformation (2). Nach 
(4) sind nämlich zunächst ß', d" bestimmt als die größten gemein- 
schaftlichen Teiler von c mit u' und n'\ und darauf wird c' nach 
dem Modul a', c" nach dem Modul a" bestimmt aus den beiden 
letzten Kongruenzen (4). 

Es kommt nun vor allem darauf an, zu zeigen, daß die 
Kongruenzen (4) erhalten bleiben, wenn die Transformationen (2) 
und (3) nach § 69, (8) bis (12) durch die beiden linearen Trans- 
formationen 



(«, CO + 1), (a,—-^ 



umgeformt werden. 

Wir setzen nach den erwähnten Formeln: 

(((, 0^ /l, 0\ ^ /l, 0\ /«, 

\c, d) \h l) VA, \) \c,, d 

/«", o\ /i, o\ _ / 1, 0\ /< o\ 

\c'\d"J Vi, i) - Va", V\c:;,d"J' 

a, 0^ 

«', 0\ / 0, 1\ /«', /3'\ /aö, 



' 0, 1\ ^ /«, ß\ fa,, \ 
-1, o; Vr, äj \c,, cj 

0, 1\ _ /«", /3"\ (alO\ 
1,0; - \Y\^")\C2.dV 



a'\ 
c", c' 



18* 



276 Siebenter Abschnitt. § 76. 

Es folgt zunächst aus § 69, (9): 
Ci ^ c-\-d (mod a), cl ^ c' -\-d' (mod a'), ci' e^ c" -j- d" (mod «"), 
woraus, nacli (4) 

d"c[ = d" c' -^ d = c, (mod a') 
d' c'{ = -d' c" -\- d = Ci (mod a") 
in Übereinstimmung mit den Kongruenzen (4). 

Für die Zusammensetzung (6) ergibt sich nach i; 69, (12), 
daß dii d'^i c'i die größten gemeinschaftlichen Teiler von «, c; 
«', c'\ a'\ c" sind; weil aber d" relativ prim zu a', und d" c' ^ c 
(mod a') ist, so ist auch 8Ö der größte gemeinschaftliche Teiler 
von a' und c und aus den gleichen Gründen d'2 der größte gemein- 
schaftliche Teiler von a" und c, woraus man schließt, da a\ a" 
relativ prim sind: 

gg == d'> Co, a.2 = «2 ci'2. 

Ferner ist nach i< 69, (11), (12), (13): 

82 = « c — y a, C2 = — ^ «, 
do = de' — y' a', cö = — 3' «', 
also nach (4): 

82 4 — C2 82 ^ au' {de' — cd') ^ (mod «'), 

folglich auch 

82^2 — ^2 ^ ^ (mod a'o), 
in Übereinstimmung mit (4), und ebenso folgt: 

Ö2C2 — C2 ^ (mod a'i), 
wodurch also der Beweis geführt ist, daß die durch (4) aus- 
gedrückte Zusammengehörigkeit der Transformationen 
'a, 0\ /«', \ /a", 
A'dJ' \c', 8'> \c", d", 
durch Anwendung irgend einer linearen Transformation auf a 
nicht gestört wird. Da wir hier n als ungerade voraussetzen, so 
können wir immer c, c', c" durch 16 teilbar annehmen; und wenn n 
und folglich auch w', n" durch 3 unteill)ar sind, so können c, c', c" 
auch durch 3 teilbar angenommen werden. Ist aber n durch 3 
teilbar, so wird von den beiden Faktoren n', n" der eine, etwa n", 
durch 3 teilbar sein, der andere, w', nicht. Es kann dann c' 
noch durch 3 teilbar vorausgesetzt werden, nicht aber c und c". 
In diesem Falle soll die Abhängigkeit des c" von c noch näher 
bestimmt werden durch die Kongruenz 
(7) d'c" = c (mod 3 a"). 



§ 76. Zusammengesetzte Transformationsgrade. 277 

Eine Lösung dieser Kongruenz kann man immer aus einer 
Lösung der Kongruenz (4) ?' c" ^ c (mod a") herleiten, indem 
man zu c" ein Vielfaches von a" hinzufügt. 

Die Kongruenz (7) hat dann nach § 69, (9) bis (13) zur 
Folge : 
(8) l = n'l" (mod 3), 

Es mögen nun v\ vi, Vs; v'\ v'i, v'-i dieselbe Bedeutung für 
die Zahlen «', n" haben, welche den r, y,, v^ in § 73, (3) für die 
Zahl n gegeben war, nämlich: 

/2\./c' + 8'«\ „ /2\„/c"4-o"« 



Wir wenden die Vertauschungstabelle (4), i^ 73 auf diese 
Funktionen an. Da ;/ unter allen Umständen durch 3 unteilbar 
ist, so sind die kubischen Einheitswurzeln q\ 0' = 1 zu setzen, 
während infolge der Kongruenzen (8), (9): 

(11) q" = Q»\ 6" = ö»' 

wird. Wir erhalten hiernach folgende zusammengehörige Ver- 
tauschunsen : 



w, 


V , 


^1, 




^2, 


1 


o\ 


O2, 




«'1, 


« + 1, 


n' n i 

e 2* t'l, 


n' ni 

e 24 


>y, 




CO, 


V", 


i'i', 




v'i, 


1 


Q-'V", 


9"' vo. 


) 


P"' i'l', 



(12) 



n"ni n"7ti n" ni 

die zusammen mit den Vertauschungen (4), >; 73 gelten. 

Wir unterscheiden jetzt zwei Fälle. 

L Wenn 
(13) {n' + 1) (n" + 1) = 8a = (mod 8) 



278 Siebenter Alischnitt. § 76. 

ist, SO setzen wir 

(14) U = uvv'v'\ Ui = UiViv'iv'ü U2 ^= u^r^iiv'i^ 

(15) B= UU,^ ü U, 4- (- 1)" Ui ü-i. 

4-4 4 

= £7r + i^ + (-^)"Tr- 

Aus (12) und § 73, (4) erhalten wir dann folgende zusammen- 
gehörige Vertauschungen : 

(16) — -, Q^' + ^Ä, ()-(»»' +i)B, 

CO 

2u7ti 2 1.1 7t i 

"Wir wenden unser Prinzip zur Herleitung von Modular- 
gleichungen auf diese Funktionen an und bemerken dazu noch 
folgendes: 

Die in (16) vorkommenden dritten Einheitswurzeln sind = 1, 
wenn entweder n durch 3 unteilbar und fi durch 3 teilbar ist, 
oder n" durch 3 teilbar ist und n' den Rest 2 läßt. In diesen 
Fällen ist jede rationale Funktion von A und B Wurzel einer 
Transformationsgleichung. In den anderen Fällen kommt diese 
Eigenschaft dem Kubus einer solchen rationalen Funktion von A 
und B zu, bei denen die Differenzen der Exponenten sämtlicher 
Glieder einander nach dem Modul 3 kongruent sind. 

Sind diese rationalen Funktionen ganze Funktionen und 
sind außerdem ihre sämtlichen Werte für r/ =■ endlich, so 
müssen sie einer Konstanten gleich sein, und dadurch gewinnen 
wir Transformationsgleichungen. 

Sind n\ n" Primzahlen, so genügt es auch hier (vgl. § 72), 
wenn die negativen Potenzen von q in der Entwickelung einer 
solchen Funktion nach steigenden Potenzen von q in dem einen 
Hauptfall wegfallen, nämlich in dem, wo 



gleich sind 
also 



a, 0\ 


/«', 


^\ 


A'", 


c, 8/' 


U', 


d'T 


\c'\ d" 



/l, 0\ /l, 0\ /l, 0\ 
VO, np VO, W' VO, u")' 

U = /'(w) fin' «) / {n" CO) f{u' n" co) ; 



§ 76. Zusammengesetzte Transformationsgrade. 279 

denn aus der Entwickelung für diesen einen Fall kann man die 
Entwickelungen für die übrigen Fälle herleiten, indem man oj 
ersetzt durch 

(17) ^ ^ ^ 

und dann noch a um ganze Zahlen vermehrt, wodurch keine 
negativen Potenzen von q neu eingeführt werden können. 

Für die Durchführung der llechnung bedient man sich der 
Entwickelungen 

(n' + l)(n" + ]) 
U = q 24 y^ 

n{l^q^h-l^l J^q(ih-l)n'^(^l _|_g(2;.-l)„")(^l _|_^(27t-])n) 

(n' + l)(n" + l) 

U, = q 24 X 

(18) 77(1 — g2^-^)(l _^(2;i-i)"')(i_f^(2Ä-i)n")(l _g(2;<-i)") 

U, = 4g 12 X 

77(1 -f g2;.).(i _^ rf'^n'^l ^ g2;.n")(i _^ ^2;.«), 

die in den einzelnen Fällen die Potenzentwickelungen von Ä, B 
liefern, woraus die negativen Potenzen von q zu eliminieren sind. 
Man berechnet auf diese Weise sehr einfach die folgenden 
Gleichungen : 

w =15, yl = 1, 

w = 21, (.42 _ 5)2 — ^ = 0, 

(19) n = 33, J.2 — J5 — 7l = 4, 
» = 35, A^ — B — A = 2, 

n = 55, J.3 — £ — 4^12 _ ^ ^ 4 = 0. 

2. Wenn 

(yi' _ i)(„" — 1) = 8iLi = (mod 8), 

so setzen wir 

w£ Mji , «i£2\ 

jy = ^4_(_i)..(£il^ + ^), 

MW ' ^ ^ \"l '"l «2 ''"2/ 

und erhalten nach (12) die zusammengehörigen Vertauschungen: 

w, A, B, 

(21) — -, Q'-'^'A, Q'^'-'B, 

^ ^ CO 

OJ _1_ 1, öl-»' e~^~ A, 0"'-i e ~B. 



280 Siebenter Abschnitt. § 77. 

Wir können daher dasselbe Verfahren anwenden wie oben, wenn 
wir noch die Beschränkung hinzufügen, daß nur symmetrische 
Funktionen von Ä und B, d. h. rationale Funktionen von AB, 
A -\- B benutzt werden, weil nur unter dieser Voraussetzung 
aus einem der Werte einer solchen Funktion durch die Ver- 
tauschungen (17) alle übrigen folgen. Man berechnet leicht die 
folgenden Beispiele: 

w = 15, AB +1 = 0, 
(22) 11 = 35, 2{A-^ B) — AB = 5 

n = 39, 2{A-\- B) — AB = 3. 

Die Rechnung bietet auch in noch komplizierteren Fällen 
keine unüberwindlichen Schwierigkeiten. So habe ich in der Ab- 
handlung Acta mathematica Bd. II, S. 359 für den Fall n = 105 
folgende Formel mitgeteilt: 

, _ ^ /•(3co)/X5o3)/-(7a3)/-(105co) 
-^ f{(o)f{lbco)f{2\co)f {SOG))' 
^ f{(o)filöco)fi2lco)fC5b(o) 
^ 2^ f(3co)f{ba)f{l co)f{lQöcoy 
j:2 j^ ß2 _ 4(^ ^ ßy _|_ 10 AB{A + B) 
-f 4 (^ -f- i?)2 -h 10^15 + 14(A + Ji) + 5 = 0, 
wenn sich die Summen ZI in A und B auf die drei Funktionen 
fi /ii fi beziehen. 

§ 77. Geometrische Deutung der irrationalen Modular- 
gleichungen als Modularkorrespondenzen. 

Den Inhalt der irrationalen Formen der Modulargleichungen 
machen wir durch eine geometrische Deutung anschaulicher. Be- 
trachten wir zunächst den Fall n ^ — 1 (mod 8) und setzen 

(1) *■ = /'(«), y = f\{a), ^ = f^{a}), 

so wird hierdurch, wenn wir ^^ y, z als Cartesische Koordinaten 
eines Punktes P ansehen, eine Baumkurve dargestellt, die wir 
auch durch die beiden Gleichungen: 

X y z = y 2 

ausdrücken können, und die wir die Grundkurve nennen wollen. 
Diese Kurve ist also von der 24. Ordnung. Mau kann sie auf 



1 



§ 77. Modularkorrespondenzen. 281 

eine ebene Kurve 3. Ordnung abbilden, wenn man x^ = X^ 

iß = Y setzt: 

(3) XY{X— Y) = 16. 

Setzen wir [^ 75, (1)| 

(.) i=/-(^"),,^(§)/.('^")..-(|)/;C-±^). 

so genüge die Größe |, r/, t, ebenfalls den Gleichungen (2), da 
(-) (^j = (— j =-|- 1 ist, und der Punkt 77, dessen Koordi- 
naten I, r], ^ sind, liegt also auch auf der Grundkurve. 
Eine Gleichung 

(^, 7/, ^, I, ■»?, e) = 

bedeutet, wenn der Punkt P festgehalten wird, eine Fläche, auf 
der 77 liegen soll, und der Schnittpunkt dieser Fläche mit der 
Gruudkurve gibt eine gewisse Anzahl von Punkten 77, die dem 
Punkt P entsprechen. Ebenso entspricht einem festen Punkt 77 
eine gewisse Anzahl von Punkten P, und diese Zuordnung heißt 
eine Korrespondenz auf der Grundkurve. Fällt der Punkt P 
mit einem der ihm entsprechenden Punkte 77 zusammen, so er- 
halten wir einen Doppelpunkt oder Koinzidenz der Korre- 
spondenz. 

Wenn die Gleichung (.5) bei Vertauschung von P mit 77 sich 
nicht ändert, so ist die Korrespondenz eine wechselseitige. 
Solche Korrespondenzen sind durch die Gleichungen (8), (9), 
(10), § 7.5 gegeben. 

Es ist dann nach § 75, (3) 

2Ä = x^ + {-l)-^ (yrjJr^i) 

zu setzen. A ist vom ersten, B vom zweiten Grad in bezug auf 
die Koordinaten eines jeden der beiden Punkte P und 77. 

Wir wollen den Grad von diesen Korrespondenzen, d. h. die 
Anzahl der einem Punkte B entsprechenden Punkte 77, fest- 
stellen. Dabei haben wir den Grad der Gleichung ^ = in 
bezug auf |, ??, t ii^t dem Grad der Grundkurve, d. h. mit 24, 
zu multiplizieren und es ergibt sich: 



282 Siebenter Abschnitt. § 77. 

für n = 7, m := 24, 

„ n = 23, m = 1\, 

„ n = 31, m = 96, 

„ w = 47, in = 48, 

„ n = 71, m = 72, 

„ n = 15, wt = 72. 

In den Fällen 23, 47, 71 ist also der Grad der Korrespondenz 
gleich dem Grad der entsprechenden Modulargleichung, d. h. gleich 
der Anzahl der betreffenden Transformationen; in den Fällen 
n = 7, 31, 15 ist der Grad das Dreifache des Grades der 
Modulargleichungen. 

Was haben diese überzähligen Punkte zu bedeuten? Sie 
erklären sich dadurch, daß in diesen Fällen, in denen w = 0, 1 
(mod 3) ist, in der Funktion Oa,c,ii [§ '''5, (5)], die nach der obigen 
Gleichung (5) einer Konstanten gleich ist, die Exponenten h -\- 21- 
in allen Gliedern denselben Rest nach dem Modul 3 lassen, und 
daß also die Gleichung = und ebenso die Gleichungen (2) 
erfüllt bleiben, wenn |, tj, t, mit einer beliebigen dritten Einheits- 
wurzel multipliziert werden. Es geben also je drei Punkte der 
Korrespondenz dieselbe Transformation. 

Wir hätten auch, wenn r, y^ z durch (1) bestimmt sind, 
statt (4) 

und folglich für A^ B: 

2A = x^-^{-\)~ ipt^z^), 

setzen können. Die Grundkurve und der Grad der Korrespondenz 
wären dann dieselben geblieben, aber die Koinzidenzen hätten 
eine andere, und zwar einfachere, Bedeutung bekommen. In 
beiden Fällen gehören die Koinzidenzen zu den singulären Werten 
der Modulfunktionen, in denen co eine imaginäre quadratische 
Irrationalität ist, wie wir in der Folge noch genauer sehen 
werden. 

Im Falle n ^ 3 (mod 8) setzen wir 

X = /■2((a), y = fl{co), 3 = /;-(«), 

(8) ^ ^ /.(^^), , = ti{^+^), , = nf-^y 



§ 77. Modularkorrespondenzen, 283 

und erhalten eine Grundkurve 

x^ — ij^ — z^ = 0, 
^' ' xy = 2, 

die nur vom 12. Grade ist. Wir liaben dann weiter nach §75: 

(10) 4^ = xJ-!/y-.p, 

^ B = x^yr]-\~x^zQ — yr]SQ, 

und man erhält für den Grad ni der Korrespondenz nach 
§ 75 (13): 

w = 3, w = 12, 

n = 11, m = 12, 

n =19, m = 60, 

also wieder wie im vorigen Falle, wenn w ^ 0, 1 (mod 3) ist, 

eine dreifach zu große Zahl. 

Ist endlich n ^ 1 (mod 4), so setze man 

x = f^{co), y = ftico), ^ = n{co) 
und erhält eine Grundkurve vom sechsten Grade. 

Für n = 5 ergibt sich die richtige Zahl m = 6. 



Achter Abschnitt. 



Die Gruppe der Transformationsgleichimgen und die 



Gleichung 5ten Grades. 



§ 78. Die Galoissche Gruppe der Transformationsgleichungen 
für einen Primzahlgrad. 

Ein eingehenderes algebraisches Studium der Transformations- 
gleichungen erfordert die Kenntnis ihrer Galois sehen Gruppe. Da 
wir die Transformationsgleichungen aus den Teilungsgleichungen 
hergeleitet haben, deren Gruppe uns bekannt ist (§ 63), so können 
wir die Gruppe der Transformationsgleichungen gleichfalls bilden. 

Die Transformationsgleichungen ergaben sich (§ 65) dadurch, 
daß die Wurzeln der Teilungsgleichungen sich in Reihen ein- 
teilen ließen, die durch die Vertauschungen der Gruppe der 
Teilungsgleichung nicht auseinandergerissen, sondern nur unter- 
einander vertauscht werden. 

Jeder dieser Reihen ordnet sich eine bestimmte Wurzel einer 
Transformationsgleichung zu, und die Gruppe der letzteren 
besteht daher aus dem Inbegriff der Vertauschungen, 
die durch die Gruppe der Teilungsgleichung unter den 
Reihen hervorgerufen werden. 

Ist der Transformationsgrad n eine ungerade Primzahl p, 
so gestattet diese Grupjae eine sehr elegante Darstellung, die zu 
weiteren Untersuchungen geeignet ist, und wir halten jetzt diese 
Voraussetzung fest. 

Es wurde im § 65, (3) bereits die notwendige und hinreichende 
Bedingung ermittelt, daß zwei Wurzeln der Teilungsgleichung 

in dieselbe Reihe 11 gehören, nämlich die Kongruenz 
(2) ftv' — j-'fi' ^ (mod p). 



§ 78. Galoissche Gruppe der Transformationsgleicliungen. 285 

Wenn wir nun, wie es in der Zahlentheorie üblich ist (Gauss, 
Disquisitiones arithraeticae, art. 31), durch das Symbol 

I (mod p) 

eine ganze Zahl [oder Zahlklasse (mod p)] verstehen, die, mit b 
multipliziert, bei der Teilung durch p den Rest a läßt, so können 
wir, vorausgesetzt, daß [i' v' nicht durch p teilbar sind, die eine 
Reihe definierende Kongruenz (2) auch so schreiben: 

(3) ^^^ (mod p), 

und wir werden also naturgemäß darauf geführt, durch den 
Wert des Verhältnisses 

(4) ;7 = ^ (™od p), 
r 

das jeder der Zahlen 0, 1, ..., 2^ — 1 kongruent sein kann, und 

das für eine ganze Reihe unveränderlich ist, diese Reihe B zu 

bezeichnen. Es bleibt dabei zunächst die eine Reihe unbezeichnet, 

in der fi' und folglich alle v' durch p teilbar sind, aber auch 

diese Reihe ordnet sich der allgemeinen Bezeichnung sehr gut 

unter, wenn wir, falls fi' ^ (mod p) 

(5) ^ = ^ ("lod p) 
r 

setzen, so daß wir also noch eine (p -j- l)te Reihe R^, erhalten. 

Die Gesamtheit der Reihen, deren Anzahl j) -{- 1 beträgt, ist 

hiernach zu bezeichnen durch 

(6) R^, Ro, -Ri, ..., Rp-i. 

Entsprechend werden die zugehörigen Wurzeln einer Trans- 
formationsgleichung mit 

ZU bezeichnen sein. 

Wenn wir beispielsweise die Invariantengleichung (§ 69) zu- 
grunde legen, so ist [nach den Bestimmungen des § 68, (10) über 
die Zahlen «, <;', d] 

(8) r„ =J(i)"), '•. =./(^— ) 

zu setzen, und ebenso, wenn irgend eine andere Transformations- 
gleichung gewählt wird. 



286 Achter Abschnitt. § 78. 

Nach dieser Bezeichnungsweise sind wir imstande, die Gruppe 
der Transformationsgleichung aus der der Teilungsgleichung sofort 
abzuleiten. 

Wir setzen zunächst als Rationalitätsbereich den Inbegriff 
der rationalen Funktionen von x^ mit rationalen Zahlen- 
koeffizienten fest. 

Nach § 63, 3. besteht in diesem Rationalitätsbereich die 
Gruppe der Teilungsgleichung aus allen Substitutionen, durch die 

fi, ^' in 

d ^ — ^ 

übergeführt werden, worin «, &, c, d beliebige, nach dem Modul p 
genommene ganze Zahlen sind, deren Determinante 

(9) zJ := ad — hc 

durch p nicht teilbar ist , und die Anzahl aller dieser Substitu- 
tionen beträgt 

(10) P{P-1) iP'-^) [§63,(27)] 
Daraus ergibt sich aber nach der Bezeichnungsweise (4), (5) 

die Gruppe der Transformationsgleichung als bestehend 
aus allen durch das Sj^mbol 

(11) (^'=11^) C""*^) 

ausgedrückten Vertauschungen. 

Wir bezeichnen eine Substitution (2, ^'), wenn 

(1-2) ^ = ^i|j, (mod p) 

ist, ähnlich wie früher durch 



(-) . CD- 



und erhalten für die Zusammensetzung zweier solcher Substi- 
tutionen, wenn 

, _ c'-f d'^" 



a' + h'z" 



(mod p) 



ist die Regel: 



(14) {z, z') {z' z") 

= (0, i) (o-, 8') = (««■ + 80', cV X 88'j ("'°'' ^')' 



§ 78. Galoisscbe Gruppe der Transformationsgleichungen. 287 

in Übereinstimmimg mit der Regel für die Zusammensetzung 
zweier Transformationen in § 28. Die Substitution (11) ist hier- 
nach zu bezeichnen mit 

Die durch alle Substitutionen dieser Form [nach (14)] ge- 
bildete Gruppe bezeichnen wir mit 2 (Gruppe der linearen Sub- 
stitutionen). 

Die Funktionen (12) von s' und also auch die Substitutionen 
(13) bleiben ungeändert, wenn die vier Zahlen a, b, c, 8 mit 
einem und demselben durch p nicht teilbaren Faktor multipli- 
ziert werden, und daraus ergibt sich nach (10) die Anzahl dieser 
Funktionen oder der Grad der Gruppe 2 
(15) p(^2_i), 

den man auch leicht durch direkte Abzahlung findet. 

Werden in einer der Substitutionen (13) die vier Zahlen 
a, b, c, d mit einem gemeinsamen, durch p unteilbaren Faktor 
multipliziert, so wird die Determinante z/ mit dem Quadrat 
dieses Faktors multipliziert. Es bleibt daher nicht die Deter- 
minante z/, wohl aber ihr quadratischer Charakter, d. h. der 
Wert des Symbols 

■ . . . (7) 

durch diese Multiplikation erhalten.' 

Setzen wir zwei der Substitutionen (13) zusammen, so multi- 
plizieren sich ihre Determinanten und hieraus folgt, daß alle 
Substitutionen der Gruppe 2, in denen zJ quadratischer 
Rest von p ist, eine Gruppe unter sich bilden, die wir 
mit 2o bezeichnen wollen. 

Die Gruppe 2o ist ein (eigentlicher) Divisor der Gruppe 2 
vom Iudex 2. 

. Setzt man die Substitutionen von 2o zusammen mit irgend 

einer Substitution {z, ßjz) = ( ' /j-i)' ^'° '^ ^^^^^ ^^^^ ^^^^^ ^^~^ 

ein quadratischer Nichtrest von p ist, so erhält man die ganze 
Gruppe 2. 

Ist z/ (|uadratischer Rest von jj, so kann man einen zu 
a, b, c, d hinzuzufügenden gemeinsamen Faktor so wählen, daß 
J ^ \ (mod p) wird, so daß wir die Gruppe 2o auch darstellen 
können durch 



288 Achter Abschnitt. § 78. 

(16) (^1^), ad-ßy = l (modp). 

In einer dieser Substitutionen sind die Zahlen a, ß, y, d 
nach dem Modul p bis auf das gemeinsame Vorzeichen bestimmt. 
Der Grad der Grupi^e So ist 

(17) ^^,(p2_i). 

Auf die Form (16) kommt man aber direkt, wenn man als 
die Gruppe der Teilungsgleichung nicht die Gruppe ''ä, sondern 
die Gruppe iö des § 63 betrachtet, d. h. wenn man pte Ein- 
heitswurzeln dem Rationalitätsbereich adjungiert, woraus 
der Satz fließt: 

Die Gruppe So ist die Gruppe der Transformations- 
gleichung, wenn pte Einheitswurzeln dem Rationalitäts- 
bereich adjungiert sind. 

Zur Reduktion der Gruppe 2 auf die Gruppe So genügt aber 
schon die Adjuuktion einer zweiwertigen Funktion und daher ist 
mit der Adjunktion der pien Einheitswurzeln zu viel geschehen. 
Um zu erkennen, welche Irrationalität notwendig zu adjungieren 
ist, dienen die Sätze der §§ 63, 65. 

Im § 63, 3. haben wir gesehen, daß die ^te Einheitswurzel q 
rational darstellbar ist durch die Wurzeln der Teilungsgleichung 
und daß durch eine Substitution der Gruppe 51, deren Deter- 
minante mit m kongruent ist, q in (>"' übergeht; ferner haben 
wir im § 65 nachgewiesen, daß durch Adjunktion sämtlicher 
Wurzeln einer Transformationsgleichung die Gruppe der Teilungs- 
gleichung auf die Gruppe ^^o reduziert wird, die aus sämtlichen 
Substitutionen der Form 

(18) ^"' *" 



,0, a 

besteht, wo a eine beliebige, durch p nicht teilbare Zahl ist. 
Die Determinanten der Substitutionen von -^lo sind also Quadrate 
und sind daher nach dem Modul p kongruent mit je einem der 
Kp — 1) quadratischen Reste von p. 
Die Summe 

(ID) Ä = 2Jq", 

worin für a die sämtlichen quadratischen Reste von p zu 
setzen sind, l)leibt daher ungeändert durch die Substitutionen 



§ 78. Galoissche Gruppe der Transformationsgleichungen. 289 

von V'(o und ist infolgedessen rational durch die Wurzeln der 
Transformationsgleichung ausdrückbar. Die Summe Ä bleibt 
nngeäudert durch die Substitutionen der Gruppe 23 und also 
auch durch So, während sie durch die Substitutionen von ^ und 
daher auch von 2 zwei verschiedene Werte erhält, nämlich, 
wenn b die Reihe der Nichtreste durchläuft, 

Ä = IJq^, B = UqK 

Ä ist daher eine zur Gruppe Sq gehörige Funktion und 
durch ihre Adjunktion wird 2 auf Sq reduziert. 

Die Werte der Summen Ä, B sind aber bekannt (Bd. I, 
§ 179): 

A - -i + l^C-i)"^!^ n - -i+K-i/'^i^ 

A-- , B — 2 

Das Vorzeichen der Wurzel hängt von der Wahl der Wurzel q 
ab und läßt sich bestimmen, kommt aber hier nicht in Betracht. 
Wir haben daher den Satz: 

Die Gruppe der Transformationsgleichung ist 2o, 

1/' ^^^ 

wenn j' ( — 1) - p dem Rationalitätsbereich adjungiert 

wird. 

Die Gruppe der Invariantengleichung läßt sich auch ohne 
die Teilung der elliptischen Funktionen in folgender einfachen 
Weise ableiten, wobei man jedoch nur die Monodromie- 
gruppe erhält, d. h. die Gruppe in dem Körper der rationalen 
Funktionen vonj(w), ohne Rücksicht auf die zu adjungierenden 
Konstanten. Wir beschränken uns auf den Fall eines Primzahl- 
grades p der Transformation, und setzen 
'c -|- to' 
P 
wobei c nach dem Modul p zu nehmen ist. 



(20) Va = Jy ~t J^ 'v^=J{P<^)^ «=;/(»)' 



Wendet man auf co eine lineare Substitution S 



_ /«' P\ 
~ Vy, ö) 



an, so bleibt j{co) ungeändert, und Vr geht in Vc' über. Um c' zu 
finden, hat man eine zweite lineare Substitution S' = ( , s, ) 
zu suchen, so daß 



/«', ß'\ /p, 0\ _ fp, 0\ /«, ß\ 

\y\ d')\c\\) - U lAr, ö; 



Weber, Algebra. III. ig 



290 Achter Abschnitt. § 79. 

oder 

pa' -^ c'ß' = pa, ß' = pß 

Hieraus ergibt sich nach der dritten Gleichung: c'ö' ^ ca -)- y, 
und mit Hilfe der vierten: 

, ca -\- y , ^ . 

'^WT^ ^^ ^^' 

Ist cß -]- 8 ^ 0, so ergibt sich c' ^ x, und ist c ^ x, so 
folgt c' ^ aj ß. 

Bei der Anwendung auf die Bestimmung von c, c' kann man 
die a, /3, 7, 8 durch kongruente Zahlen o, ?>, c, cZ ersetzen, deren 
Determinante ad — hc quadratischer Rest von c ist, und es läßt 
sich auch zeigen, daß man auf diese Weise jede Substitution der 
Gruppe 2o erhalten kann. Jede Funktion von Vc also, die durch 
die Substitutionen der Gruppe !^o ungeändert bleibt, bleibt daher 
auch ungeändert, wenn auf co eine lineare Substitution angewandt 
wird, und ist folglich eine rationale Funktion von j{(o). Wie 
aber die Koeffizienten in dieser Funktion beschaffen sind, darüber 
lehrt uns diese Betrachtung nichts, und es ist daher 2g nur als 
die Monodromiegruppe der Invariantengleichung erkannt. 

§ 79. Untersuchung der Gruppe 2^ '). 

Wir haben im 10. Abschnitt des II. Bandes die Kongruenz- 
gruppe und ihre Teiler ganz allgemein untersucht. Wir führen 
hier diese Untersuchung, soweit sie auf das Transformatious- 
problem Bezug hat, in spezieller Form noch einmal durch. 

Die in 2^ enthaltenen Substitutionen 
Q\ /a, b\ f ^ — c -^ as'^ 



,c, dJ V 8 — b^ 
in denen 

(2) ^ = ad — hc 

quadratischer Rest von p ist, können, wie schon oben bemerkt, 
auf die Form gebracht werden: 

(3) /«' ß\ ^ f„ — r + «^' 



dj — v' ö — ß. 



^) über die Gruppe der linearen Substitutionen l'^ ist zu vergleichen : 
Galois, Liouvilles Journal, Bd. XI. Serret, Algebre sui)erieuro, Section IV, 
Chapitre IV. C. Jordan, Traite des Sultstitutions. Gier st er, Gruppe der 
Modulargleichungen. Mathematische Annalen, Bd. 18. 



§ 79. Untersuchung der Gruppe S„. 291 

worin 

(4) aö — ßy = l (mod p), 

wir haben nur, wenn wir unter y^ (mod p) eine ganze Zahl 
verstehen, deren Quadrat nach dem Modul p kongruent mit z/ ist: 

a ^ a l'z/ , h ^ 3 ]/zJ , , ^ 
:,-r ^ . L-r (mod p) 

zu setzen. In der Form (3) können noch die Vorzeichen von 
a. /3, y^ d gleichzeitig geändert werden. 

Wir fragen nach solchen Elementen s , die durch eine Sub- 
stitution von der Form (3) ungeändert bleiben. Diese werden 
bestimmt durch die Kongruenz 

s = ' — '--^ (mod p) , 
oder 

(.5) ßz^ ^ {a — ö)z — y ^0 (mod i)), 

eine Kongruenz, die, wenn sie nicht identisch ist, höchstens zwei 
inkongruente Wurzeln hat. Um diese zu erhalten, schreiben wir, 
zunächst unter der Voraussetzung, daß ß nicht durch p teilbar 
ist,- die Kongruenz (5) so: 

oder mit Hilfe von (4) : 

(6) (,3. + ^^«) = ("4*)-l (modj,). 

Demnach sind drei verschiedene Fälle zu unterscheiden: 

I. C^/--^-^ (modj.); 

dann hat die Kongruenz (5) eine Wurzel; es gibt ein und 
nur ein Element ^, das ungeändert bleibt. 

II. ( ^ j — 1 quadratischer Rest von p\ 

die Kongruenz (5) hat zwei verschiedene Wurzeln, es gibt zwei 
Elemente *, die ungeändert bleiben. 



III. 



( "T" j — 1 quadratischer Nichtrest von p] 



die Kongruenz (5) hat gar keine Wurzel und alle Elemente z 
werden umgesetzt. 

19* 



292 Achter Abschnitt. § 79. 

Ist /3 ^ , so hat (5) immer die eine Wurzel ^ = oo ; ist 
dann d ^ a, und y nicht ^ (mod p), so gibt es nur diese 
eine; in diesem Falle ist aber 

—K— ) ^ 1 (mod j;), 

und die Bedingung I. erfüllt. Ist aber gleichzeitig y ^ (mod p), 
so ist die Substitution die identische. 

Ist /3 ^ 0, aber a — ö nicht ^ (mod jp), so hat (5) noch 
eine zweite Wurzel; da jetzt ocd ^ 1 (mod p), so ist: 

(4-0 - ^ - {"^y (-^ ^)' 

also quadratischer Rest, und die Bedingung IL erfüllt. Wir fassen 
diese Sätze so zusammen: 

Im Falle I. bleibt ein Element oder alle Elemente 
un geändert, im Falle IL bleiben zwei Elemente un- 
geändert und im Falle III. werden alle Elemente 
geändert. 

Wenn wir eine und dieselbe Substitution 



^'^ ^ = \y.ö 

mehrmals wiederholen, so entstehen die Substitutionen 

A, A\ ^3 ..., 

in deren Keihe einmal die identische Substitution ( , ' , | auftreten 



.0, 1 
muß. Ist n die kleinste positive Zahl, für die 

1, 



An 

^ - \o, 1 

ist, so heißt n der Grad von A (Bd. II, § 2). 
Setzen wir für ein beliebiges m 



so erhalten wir zur Berechnung der Zahlen «„,, /3„, , 5',,,, ^„, 
folgendes System rekurrenter Formeln: 

rm + l = ya,« + ^JV, Öm+l = y^m + ^ ^ >»• 

Besonders einfach lassen sich hieraus die Zahlen «,„, /3„„ 
y,„, ö„, im Falle I. berechnen. 



§ 79. Untersuchung der Gruppe S,,. 293 

In diesem Falle können wir, da die Vorzeichen von a, ß, 
y^ ö alle gleichzeitig umgekehrt werden dürfen, annehmen: 

cc -f- d ^ 2, ccö — /3y ^ 1 (raod j9), 

und so erhalten wir aus (8): 

«2 = — 14-2«, ß2 = 2ß 

«3 = _ 2 + 3«, ß, = Sß '^"'^^ ^^' 

^3 = — 2 + 3Ö, r3 = 3y 

woraus durch den Schluß von m auf m -)- 1 gefolgert wird: 

o,„ ^ — (m — 1) -f- w^ , y„^ ^ my 

Hieraus ersieht man, daß die sämtlichen -4'" wieder 
zum Falle I. gehören, und daß p der Grad von A ist. 

Die analoge Betrachtung der beiden anderen Fälle ist von 
Serret durchgeführt, erscheint aber für unseren Zweck ent- 
behrlich. 

Dagegen wollen wir hier noch den Satz hinzufügen, daß 
die ganze Gruppe So sich zusammensetzen läßt aus den 
beiden folgenden speziellen Substitutionen 

(-) - = (!;';)■ - = Utl 

Der Beweis ergibt sich aus § 30, wenn man beachtet, daß 
zu jedem der Bedingung ad — ßy ^ 1 (mod p) genügenden 
Zahlensystem a, /3, y, d sich das Zahlensystem «', /3', y\ d' so 
wählen läßt, daß 

wird. Es sind also alle Substitutionen von So unter den in § 30 
betrachteten enthalten. Wir können hier aber auch leicht die 
Zusammensetzung einer beliebigen Substitution in Sq aus Ä und B 
wirklich darstellen, und so unabhängig von § 30 den Beweis 
führen. 

Denn wenn zunächst c eine beliebige, durch p nicht teilbare 
Zahl ist, so ergibt sich durch wirkliche Ausrechnung leicht 

("^ ■'' = ('; l)' ^' = (n, !-.) = -i-^'-'BA-BA-'-'B, 



294 Achter Abschnitt. § 80. 

und sodann, wenn ( ;^) eine beliebige Substitution in So und 
ß von verschieden ist: 

^^^^ C ö) = (^/3-^ l) U' ß-\> (- 1,' o) [aß-\ l)' 

und wenn /3 = ist: 

,,,. /«, \ _ MO \ / 1, 0\ 

^^^^ vr, «-^; - Vo, «-Vir«, 1/ 

Es ist aus diesem Satz zu schließen, daß eine in So ent- 
haltene Gruppe, die die zwei Substitutionen A^li enthält, 
notwendig mit Sq identisch sein muß. 

§ 80, Normalteiler der Gruppe So- 

Um die etwa möglichen Reduktionen der Transformations- 
gleichung kennen zu lernen, ist vor allem erforderlich, die Divi- 
soren der Gruppe So zu untersuchen. Wir fragen zuerst nach 
der Existenz eines Normalteilers 5? von So (Bd. II, § 3) i). 

Ist 

^a,ß^ 



(1) S - , . 

irgend eine von der identischen Substitution verschiedene Substi- 
tution in R, so ist, nach dem Wesen des Normalteilers, jede 
Substitution 

(2) U = TST-' 
gleichfalls in IR enthalten, wenn 

'«', ß' 



W U-, , , 



eine beliebige Substitution in So ist. 

Wir stellen uns die Aufgabe, T und | so zu bestimmen, daß 

0, r 
1, 

wird. Diese Bedingung kann auch so geschrieben werden: 
V, ß'\ /«, ß\ _ ./ ü, 1\ /«', ß'\ 

y. ö'J V, ö) " V- 1, V \y\ ö7' 

') Nach Galois: „Eigentliche Teiler". 



§ 80. Normalteiler der Gruppe 2^. 295 

und führt zu den Kongruenzen: 

l. a' a -{- ß' y = y' 

^ '^ ö. y cc -\- y ^ — a -f- y g 

4. y'ß-{-d'd = -/3' + d'| 

und aus 1. und 2. folgt noch: 

Setzt man diese Werte in (5) 3. und 4. ein, so folgt: 

woraus, da y\ d' nicht beide durch p teilbar sein können, folgt: 

(7) I = a -|- d (mod p); 

ist I so bestimmt, so folgen in (5) die Kongruenzen 3., 4. aus 

1., 2. Setzt man aber y\ 8' aus 1., 2. in 

(8)' a'ö' — ß'y' = 1 (mod p) 

ein, so erhält man 

(9) a'^ß ^ a'ß'(d — cc) — ß'^y =1 {mod p). 

Ist hieraus a', /3' bestimmt, so sind alle in (5), und also 
auch in (2), (4) ausgesijrochenen Forderungen befriedigt. 

Es handelt sich also noch darum, nachzuweisen, daß die 
Kongruenz (9) immer lösbar ist. 

Diese Möglichkeit ist evident, wenn ß oder — y quadratischer 
Rest von p ist; denn dann genügt 

oder a' = 0, /3' = y— y-i 

der gestellten Forderung. 

Im weiteren ist nun zu unterscheiden, ob die Substitution S 
zu Klasse I, II, III des vorigen Paragraphen gehört. 

Ist zunächst 



(^«)=l (mod,), 



so geht, wenn wir S'" an Stelle von S setzen, nach § 79, (9), 
ß in m/3, y in my über, und es läßt sich m immer so bestimmen, 
daß mß oder — my quadratischer Rest von p wird. 

Hierher gehört auch der Fall, daß ß ^ oder y ^ und 
« ^ d (mod p) ist. 



296 Achter Abschnitt. § 80. 

Ist dagegen /3 ^ und w — d nicht durch p teilbar, so 
kann man in (9) ß' beliebig Avählen und dann a' aus einer Kon- 
gruenz ersten Grades bestimmen. 

Ist ß nicht durch p teilbar, so setze man (9) in die Form 

(10) [a'ß + ^'(*:=li?)] = ß + ,3'^[(^J- l] (mod p), 
und wenn nun 

II. [ — ^ — j — 1 quadratischer Rest von p ist, so bestimme 
man ß' aus der Kongruenz: 

wodurch (10) übergeht in 

«■ ß + ß' (^-=-^) ^ ± ^-^ (mod^), 

und woraus a' bestimmt werden kann, welches Zeichen auch 
gewählt wird. 

Ist 

III. ( — ^ — j — 1 quadratischer Nichtrest von 2^ und zu- 
gleich ß quadratischer Nichtrest, so läßt sich immer ein Nicht- 
rest V so bestimmen, daß ß -{- v quadratischer Rest wird; denn 
läßt man v in /3 -|- 1^ die Reihe der Nichtreste durchlaufen , so 
können nicht lauter Nichtreste entstehen, weil unter diesen 
auch ß sein müßte. 

Dann kann man ß' so bestimmen, daß 



;(4^)-l]-^ (mod,.), 



ß>2 

und dann oc' aus 

Hieraus folgt: 

In einem Normalteiler ^ der Gruppe 2q muß gewiß 
eine Substitution U von der Form 

vorkommen. 

Es sei zunächst | von Null verschieden (mod p). 



§ 80. Normalteiler der Gruppe l'^,. 297 

Nach dem Begriff des Normalteilers enthält R auch die 
Substitution 

0^) (r:)(J:DUJ)-U::) 

und folglich auch 

also auch A und alle seine Potenzen. Daher enthält ^ auch 
1, 0\ / 0, 1\ / 0, 1 



^^^^ \/?, m-1, i; v-i, 1 + ^ 

für ein beliebiges r/, d. h. die Substitution (11) für jedes 
beliebige | und mithin auch 

Demnach ist nach dem Satze des vorigen Paragraphen die 
Gruppe ü mit 2o identisch. 

Es bleibt noch die Möglichkeit zu erörtern, daiJ in (11) 
1 = ist. 

In diesem Falle enthält die Gruppe ^ also die Substitution 

0,1- 



^-v-i,oy 

und folglich auch für ein beliebiges, durch p nicht teilbares a 
/ 0, «\ / 0, 1\ /O, — «\ /O, — 1\ /a2, 

V— <x-\ oj V— 1, oy \a-\ o; vi, o) \ o, «-^ 

Daraus leitet man, als in ^ enthalten, noch weiter ab: 
W—^ 1, 0\ /a-^ \ /l, 0\ /«^ \ _ /l, 



^—1, ly VO, «2/ Yi^ ly V 0, a-y \K* — 1, 1, 

Wenn nun p größer ist als 5, so kann man a so annehmen, 
daß oc* — 1 nicht durch p teilbar ist; dann enthält also <^ auch 
die Substitution A und ihre Potenzen und mithin ist ^ mit 2o 
identisch. 

Ist j9 ^ 5, so ist cc* — 1 immer durch p teilbar, also dieser 
Schluß nicht anwendbar. 

In diesem Falle folgt aber aus dem Begriff des Normalteilers 
als in ^ enthalten: 



298 Achter Abschnitt. § 80. 



0, 1\ /_2, -1\ / 0, 1\ _ /-2, 0\ 

1, oA-2, lA-1, O; V 0,27' 



1, 1 
.2,-2. 

2, 0\/ 1, 0\/2, 0\ /l, 0\ ^ /l, 0^ 
0, 2j V-1, J VO, — 2; Vi, 1; V2, 1, 

d. h. A^ und mithin alle Potenzen von J., woraus wie oben zu 

schließen, daß ü mit i'o identisch ist. Wir haben also den Satz: 

Ist i? >> 0, so hat die Gruppe So keinen Normal- 
teiler. 

Im Falle p = o enthält ^ gleichfalls 

0, r 
■1,0, 
also auch 

1, 0\ / 0, 1\ / 1, 0\ _ Z+l, 1\ 

,±1, lA-1, OA+1, 1/ V 1, ±1/' 
und es bilden auch in der Tat die vier Substitutionen 

(-» G;?>Ui>(-;;:>(;;-D 

einen Normalteiler von 2q im Index o. 

Im Falle j; = 3 ist die Gruppe So isomorph mit der alter- 
nierenden Gruppe der Vertauschungen von vier Elementen. Es 
ist dies die Gruppe einer beliebigen Gleichung vierten Grades, 
wenn die Quadratwurzel aus der Diskriminante dem Rationalitäts- 
bereich adjungiert wird. Der Divisor (15) dieser Gruppe vom 
Index 3 liefert dann die in der Algebra bekannte kubische Re- 
solvente der biquadratischen Gleichung. 

Eine zur Gruppe (15) gehörige Funktion der Wurzeln 
^00 1 ^'0, ^'11 ^'2 der Transformationsgleichung für den dritten Trans- 
formationsgrad ist z. B. 

oder 

(''«— ^'o)(yi — ^•2)- 
Der Unterschied zwischen diesen beiden Funktionen ist der, 
daß die erstere durch die Substitution der Determinante — 1 

^- 1, 0^ 
0, 1. 

ungeändert bleibt, während die zweite dabei ihr Zeichen ändert. 
Die erstere wird daher zu einer Gleichung dritten Grades mit 
rationalen Koeffizienten führen , während in der kubischen 
Gleichung für die zweite noch y — 3 auftritt (§ 78). 



§ 81. Nichtnormale Teiler von ßo. 299 

§ 81. Nichtnormale Teiler von 1*0- 

Wir fragen nun, indem wir den Fall p = S beiseite lassen, 
nach den nichtnormalen Teilern der Gruppe 2o, deren Index 
kleiner als p -\- l ist; von der Existenz solcher Teiler hängt 
die Möglichkeit der Bildung von Resolventen der Transformations- 
gleichung ab, deren Grad niedriger ist als p -\- 1. 

Zunächst läßt sich zeigen, daß der Index eines Teilers Ä 
von So niemals kleiner als p sein kann. 

Es sei 

(l) ^ = So, *Si, ..., Sv-i 

irgend ein Teiler von So vom Grade v, und, wenn es möglich ist. 



eine Substitution ^ten Grades, die in Sg? aber nicht in Sl vor- 
kommt. Es kann dann auch, da p Primzahl ist, keine niedrigere 
Potenz von T als die pie in ^ vorkommen. Die Nebengruppen 

(3) ^, T^, T^5?, ..., Tp-'^ 

enthalten lauter voneinander verschiedene Elemente T^ Sk, 

und demnach ist vp höchstens gleich dem Grade der Gruppe 

So, d. h.: 

_ p2 _ 1 

Also ist der Index von ^, d. h. der Quotient 

«2— 1 

p —2— : V 

gleich p oder größer als p. 

Ein Teiler ^ von So, Jessen Index kleiner als }) ist, muß 
daher sämtliche Substitutionen i^ien Grades enthalten, also auch 
(§ 79, I.) alle Substitutionen T, in denen 

(4) « + ö = 2 (mod 2)) 

ist. 

Demnach enthält eine solche Gruppe ^ zunächst die Sub- 
stitution 



<^) ^ = C; :) 



300 Achter Abschnitt. § 81. 

und ihre Potenzen; ebenso die Substitutionen 

Ai)' (-i!o)' 

und folglich auch 

(«) -=(_';;;)=(:;D(-i;o)- 

Wenn aber die Substitutionen Ä, B in ^ enthalten sind, so 
muß ^ nach i< 79 mit 2o identisch sein. Wir haben also den 
Satz: 

Der Index eines Teilers von 2,, kann nicht kleiner 
als p sein. 

Unser Problem beschränkt sich also auf die Frage nach den 

»2 — 1 
Teilern von So vom Index }) oder vom Grade — 

Es sei ^ ein solcher Teiler und Äq, Si, ..., St-i seien 
seine Elemente, so daß die Zahl v den Wert 

(7) V = P~^ 

hat. 

Da der Grad eines jeden Elementes einer Gruppe immer ein 
Teiler des Grades der Gruppe ist, so kann, da v durch p nicht 
teilbar ist, in ^ kein Element vom Grade j) vorkommen; nehmen 
wir also für T die Substitution vom Grade p: 

(8) A = ^'' °^ 



.1, 1. 

SO läßt sich die Gruppe 2o in die p Nebengruppen zerlegen: 
(9) So = ^, Ä^, Ä^..., Ap-^Z 

Mit ü sind von demselben Grade, also auch von demselben 
Index alle seine konjugierten Teiler 

Es sei nun g eine primitive Wurzel der Primzahl p^ und 

eine Substitution, die offenbar vom Grade - — - — ist. Diese muß, 

wie jede Substitution von So, in einer der Reihen (9) vorkommen; 
d. h. es gibt eine Substitution ä in ^ und einen Exponenten A, 
für den 
(11) C = A^S, S = Ä-'C. 



(10) VA .-ly 



§ 81. Nichtnormale Teiler von S,,. 301 

Es läßt sich aber y weiter so bestimmen, daß 
(12) A^'-'Gä-'' = C, 

man erhält dafür die Bedingung 

Y((J — 9~') = ^9 (mod jj), 
die, da j) >> 3 ist, immer befriedigt werden kann; danach ist 
aber wegen (11) 

C = Ä'SÄ-\ 

Es kommt also C in dem mit ^ konjugierten Teiler A^ ^ A~^ 
vor, und wir können also, indem diese Gruppe an Stelle von c<? 
gesetzt wird, unbeschadet der Allgemeinheit annehmen, ^ ent- 
halte selbst die Substitution C. 

Es kann nun in ^ die Substitution 



JB 



0, 1 



1, o; 



entweder vorkommen oder nicht vorkommen. Im ersten Fall ent- 
hält ^ auch alle aus B und C zusammengesetzten Substitutionen, 
die sämtlich von einer der beiden Formen sind: 



{-;;r> ' 

und deren Anzahl p — 1 beträgt. Im ersten Fall enthält also ^ 
alle Substitutionen von der Form (13), (14), im zweiten alle Sub- 
stitutionen der Form (13) und keine der Form (14). 
Es sei nun 



eine in ^ enthaltene Substitution, die weder in der Form (13), 

noch in der Form (14) enthalten ist, bei der also weder « und d, 

noch ß und ' y zugleich kongruent mit sind. Dann sind die 
sämtlichen Substitutionen der Form 

(16) C VC - [^g-r,s^ Sfr-0' 

wenn r, s beide die Reihe der Zahlen durchlaufen: 

0, i,2,...^-=:i 

in ^ enthalten und alle voneinander verschieden. Denn 
sind zwei unter den Substitutionen (16) einander gleich, so muß 



302 Achter Abschnitt. § 81. 

es auch eine unter ihnen geben, die, ohne daß r, s verschwinden, 
mit V identisch wird. Dies verlangt aber 

wo in allen vier Formeln die oberen oder die unteren Zeichen 
gelten, also, da weder a und Ö, noch ß und y gleichzeitig ver- 
schwinden, 

r-f-s^O, r — s^O (mod p — 1), 

oder 

also in beiden Fällen 

r ^ 0, s ^ ( mod ^-—- — - j, w. z. b. w. 

In der Form (16) sind also (- — - — j verschiedene Sub- 
stitutionen enthalten. Ist damit die Gruppe ^ noch nicht 
erschöpft, so wähle man eine nicht in (13), (14), (16) enthaltene 
Substitution V und bilde in gleicher Weise die Reihe 

(17) C V'C\ 

deren Substitutionen sowohl unter sich als auch von den in (13), 
(14), (16) enthaltenen verschieden sind, und fahre auf diese Weise 
fort, bis die ganze Gruppe ^ erschöpft ist. 

Bezeichnen wir die Anzahl der so gebildeten Reihen (16), 
(17), ... mit g, so ergibt sich also der Grad der Grujspe ^: 

1. wenn B in R nicht vorkommt: 

2. wenn i? in ^ vorkommt : 




2 
und diese Zahl soll also nach der Forderung unserer Aufgabe 

_ ip - 1) (j> + 1) 
2 

sein. Hieraus aber ergibt sich, daß der Fall 1. unmöglich ist» 
denn es müßte in diesem Falle 



(^) 



^ — r^— = P: 



§ 81. Nichtnormale Teiler von 2^. 308 

also 

q = p, j> = 3 

sein, was wir ausgeschlossen haben. 

Im Falle 2. aber folgt für jedes beliebige p: 

q = 2. 

Daher muli in ^ jedenfalls die Substitution B vorkommen, 
und die gesuchte Gruppe ist durch (13), (14), (16), (17) erschöpft. 

Wir zeigen zunächst, daß in den beiden Substitutionen F, V 
der Gruppe ^ keine der Zahlen a, /3, 7, d, «', /3', 7', ö' kongruent 
sein kann. 

Es kommt nämlich, wie wir schon gesehen haben, in ^ 
nicht vor 

C: ^y 

wenn y von verschieden ist, also auch nicht 
/«, \ / 1, 0\ ^ /«, 
\0, a-y \ccy, 1/ \y, a- 

wenn a beliebig ist; und folglich auch nicht 

/«, \ / 0, 1\ ^ / 0, c«^ 

Vr, a-V V-i, 0; V-a-Sr. 

/ 0, 1\ /«, \ / y, a-i\ 

V— 1, oMr, «-V V-«, ; 

0, — IW 0, «\ /«-!, y 

1, oA— «-\— y/ \o, « 

worin alle Substitutionen ( .) enthalten sind, in denen eine 

der vier Zahlen «, /3, 5^, ö kongruent mit U ist. 

Die Substitutionen des Systems (16) bezeichnen wir jetzt mit 

\yg-^ + % ög-'-^J' 
und setzen 

(18) 1 = «,.-. p«-./3,-- 

(19) aö ^ r«, ßy^m — 1 ^ ^ 

»i ändert sich nicht, wenn V durch eine beliebige Substitution des 
Systems (16) ersetzt wird. Die Zahl m' soll die entsprechende 
Bedeutung für das System (17) haben; | kann in jedem dieser 
beiden Systeme jeden der Werte 

(20) 1, 2, ...i)-l 



304 ' Achter Abschnitt. § 81« 

annehmen, und q durchläuft, je nachdem a-^ ß quadrati- 
scher Rest oder Nichtrest ist, in einem System die Reihe 
der Reste oder der Nichtreste. Die Änderung des Vor- 
zeichens von I gibt keine neue Substitution W. Hiernach können 
wir W so darstellen: 

(21) W = (^^'_l ^_l ^,jj _ l^)^ ^_1 ^,^ 

Da nun das Quadrat von W 

^ Vr ' Q-' ('» — 1) i^' + H [(«* — 1)1' + '^«'] ^ 
zu ^ gehören muß, so ist es unter einem der Systeme (13), (14), 
(16), (17) enthalten, woraus sich folgende vier Möglichkeiten 
ergeben : 

1. |2 _^ ,„ = 0, 

2. |2 4, ,,H _ 1 = 0, (m — 1)|2 + m^ -i^ 0, 
^ ^ 3. (^2 j^ yn — 1) [(w — 1)|2 4- ,n2] = w|^ 

4. (|2 4. ,,, _ 1) [(,,, — 1)|2 ^ ,»2] = ,„'|2, 

und jeder der p — 1 Werte (20), für | gesetzt, muß einem 
dieser vier Fälle genügen. Wenn eine der Kongruenzen (22), 2. 
erfüllt ist, so muß die andere daraus folgen, was nur möglich 
ist, wenn 
(23) 2»! =1, |2 = ,„ (^niod p). 

Nun hat eine Kongruenz in bezug auf einen Primzahlmodul 
höchstens so viele inkongruente Wurzeln, als der Grad der 
Kongruenz beträgt; 1. und 2. können also höchstens für je zwei, 
3. und 4. höchstens für je vier Werte von | befriedigt sein; also 
gibt es im ganzen höchstens zwölf Werte von |, die einer der 
vier Kongruenzen (22) genügen. 

Daraus folgt: 

i) - 1 ^ 12, j) ^ 13. 

Ist aber jj = 13, so muß jede der Kongruenzen (22) die 
Maximalzahl von Wurzeln haben; es muß also auch 2. für zwei 
Werte von | befriedigt sein; dann müßte nach (23) m ^ 7, 
|2 ^ 7 (mod 13) sein, was unmöglich ist, da 7 quadratischer 
Nichtrest von 13 ist. 

Ein Teiler von Xio vom Index p existiert also nicht, 
wenn p >> 11 ist. 



§ 82. Teiler von 2, vom Index p iür p = 5, 7, 11. 305 

§ 82. Teiler von £o vom Index p für yo =r 5, 7, 11. 

Es bleibt die Möglichkeit übrig, daß für ^^ := 5, 7, 11 Teiler 
von So vom Index p existieren. 

1. p z= ö. Wir untersuchen zunächst den Fall j9 = 5. 
Da m und m — 1 nicht kongruent sein können, so bleiben 
für tu die Annahmen 

m ^ 2, 3, 4 (mod p). 
Ersetzen wir aber die Substitution W § 81, (21) durch 

^^ ''-^ - \-^-^m, t-'Q-'{ni — 1)/' 

wodurch m in 1 — m übergeht, so kommt der Fall m ^ 4 auf 

den Fall >» ^ 2 zurück. 

Für m ^ 2 ist aber (23), § 81 nicht erfüllt, und von den 
Kongruenzen (22) ist keine möglich, da Hh 2 Nichtreste von 5 sind 
und die linken Seiten von (22), 3., 4. sich für m = 2 auf l"' — 1 
reduzieren, was für jedes von Null verschiedene | durch 5 teilbar 
ist. Es bleibt also nur übrig, daß 
(2) m = 3, m' = 3 (mod .5) 

und die beiden Systeme TF, W [§ 81, (16), (17)] können sich nur 
dadurch voneinander unterscheiden, daß a—'^ß und also auch q 
in dem einen quadratischer Rest, in dem anderen quadratischer 
Nichtrest von 5 ist. Die gesuchte Gruppe besteht also, falls sie 
existiert, aus den 12 in den drei Formen 

^^^ U 1-0' V-^^o)' (21^-1, 3|-0 

enthaltenen Substitutionen, worin 

I = 1, 2, f} = ±1, ±2 (mod 5) 
zu setzen ist. 

2. p =1, 11. 

Da — 1 für |) =: 7, 11 unter den quadratischen Nichtresten 
zu finden ist, so gehört die zusammengesetzte Substitution W B, 
(1), zu den W [weil der quadratische Charakter der in (18), 
§ 81 mit Q bezeichneten Größe in W und WB der entgegen- 
gesetzte ist]. Demnach ist nach (1) und §81, (19), (21) 
ß'y' ^ — m ^ m' — 1, also: 

(4) m -\- m' ^ 1 (mod p). 

Weber, Algebra. III. 20 



306 Achter Abschnitt. § 82. 

Für p ^ 7 bleiben also, da die Yertauscbung von m mit m' 
nicbts Neues liefert, die drei folgenden Möglicbkeiten : 
1. w ^ 2, m' ^ 6. 2. m ^ 3, m' ^ 5. 3. m ^ 4, m' ^ 4. 

Im Falle 1. ist von den Kongruenzen § 81, (22), 1. und 2. 
unmöglicb; also müßte für jedes § eine der beiden iCongruenzen 
3., 4. erfüllt sein, die bier lauten: 

(^2 _f 1) (|2 + 4) = 2 |2, 6 ^^ (mod 7), 
deren keine für | ^ 1 erfüllt ist. 

Im Falle 3. ist (22), 1. nicbt erfüllbar und (22), 2. ist für 
|2 ^ 4 erfüllt; daber muß für |- ^5 1, 2 die Kongruenz (22) 
3. oder 4.: 

(i2 -\- 3) (3 |2 ^ 2) = 4 ^-^ (mod 7) 

erfüllt sein, was wieder nicbt der Fall ist. Es bleibt also für 
p = 7 allein übrig: 

(5) m ^ 3, m' ^ 5 (mod 7). 

Für p ^l\ ist von vornherein die Möglicbkeit auszuscbließen, 
daß die Kongruenzen (22), 2. erfüllt seien, weil in diesem Falle 
infolge von (4) und ^ 81, (23): 

m ^ m' 
sein müßte; dann wären (22), 3., 4. nicht verschieden und die 
Kongruenzen (22) könnten zusammen böcbstens acht Wurzeln 
haben und nicht zehn, wie es doch sein müßte. 

Es müssen also die Kongruenzen (22), 1., 3., 4 jede die 
Maximalzahl von Wurzeln haben, und es muß, damit 1. erfüllt 
sei, JH, und aus gleichen Gründen m' quadratischer Nichtrest von 
11 sein. Dieser Bedingung und gleichzeitig der Bedingung (4) 
genügen aber nur die beiden Zahlen 

(6) nh m' = 2,-1 (mod 1 1). 

Die gesuchten Gruppen bestehen also in diesen beiden Fällen, 
falls sie existieren, aus folgenden Substitutionen: 

p = 7 

'1,0 



^') (r.-.)- 



0, 


,ü)' 


a- 




^Q\ 


(: 


- 1?, 




l-^ 


'Q- 


-\-H- 


V' 


-'H-\ 


2| 




1 = 


^ 1, 2, 


3 


(mod 


'), 









2; = 11 

1=1, 2, 3, 4, 5 (mod 11); 



§ 82. Teiler von S^ vom Index p für p =r 5, 7, 11. 307 

Q durchläuft in (7) und (8) entweder die Reihe der quadratischen 
Reste oder die der Nichtreste, so daß man für p =z 1 oder 11 
je zwei Gruppen vom Index p erhält. 

Daß die in (3), (7), (8) zusammengestellten Substitutions- 
systeme wirklich Gruppen konstituieren, läßt sich durch direkte 
Zusammensetzung auf verschiedene Arten nachweisen. Einfacher 
gelangt man zu diesem Beweise aber dadurch, daß mau Funk- 
tionen der i-^, § 78, (7), bildet, die durch die Substitutionen dieser 
Systeme ungeändert bleiben, und durch die Substitutionen von So 
überhaupt nur p verschiedene Werte erhalten. 

Die Systeme (3), (7), (8) lassen sich, wie aus ihrer Ent- 
stehungsweise hervorgeht, durch wiederholte Anwendung von 
ß, C, f/, Li' zusammensetzen, wenn U, JJ' irgend zwei spezielle 
Substitutionen TF, W sind. Für p == 5 gehört t/^ und für 
p = ~^ \\ gehört VB zu den W\ so daß U' noch weggelassen 
werden kann. Wählen wir ü irgendwie beliebig, und nehmen für 
die primitive Wurzel g in C für jj = 5, 7, 11 bzw. 2, — 2, 2, so 
können wir die Gruppe (3) zusammensetzen aus: 

{V = 5), 
iP = '), ■ 



-=(-?;:> --ÖD' 


u 


-ikl) 


die Gruppe (7) aus: 






--Ui> --(o;:> 


u 


/ i,+i 

"V±2, 3 


die Gruppe (8) aus: 






^- (_:;;> --ÖD' 


u 


_/ 1,±1 

Ul, 2 



(j> = 11), 

wo in den beiden letzten Fällen aus den doppelten Vorzeichen 
die oben erwähnten zwei verschiedenen Gruppen entspringen. 

Wir stellen nun die diesen Substitutionen entsprechenden 
Vertauschungen der Indizes is zusammen [§ 79, (8)]. 



:3 


= CO, 


0, 


1, 


2, 


3, 


4 






0, 


CO, 


4, 


2, 


3, 


1 


(B) 




cc, 


0, 


4, 


3, 


2, 


1 


(C) 




4, 


1, 


2, 


0, 


^, 


3 


in- 


werden 


also durch 


B. 


a 


U d 


ie Indexpaare 




( 


^,( 


)), 


(1. 


4), 


(2, 


3) 

20 



308 Achter Abschnitt. § 82. 

nicht auseinandergerissen, sondern nur untereinander vertauscht. 
Überdies werden jedesmal in zweien dieser Paare die Elemente 
vertauscht. Bilden wir daher eine Funktion wie 

(9) r={v^— Vo) (Vi — v^) (^2 — Vs), 

so bleibt diese durch B, C, U und also durch das ganze System 
(3) ungeändert, während sie durch wiederholte Anwendung der 
zyklischen Vertauschung (0, 1, 2, 3, 4), d. h. der Substitution 

1,0^ 



fünf verschiedene Werte erhält. Aus Ä und B läßt sich aber 
[§ 79, (10)] die ganze Gruppe So zusammensetzen, und V erhält 
daher durch Anwendung von So nicht mehr als fünf Werte. 

Die fünf Werte von V sind die Wurzeln einer Gleichung 
fünften Grades. 

Für jj = 7 ist 

B = (,,-^), C = (^,4^), C/=^-+^ + 



Zur besseren Übersicht stellen wir noch B, C, 11 durch die 
zyklischen Vertauschungen dar, die durch sie in den acht 
Werten von z hervorgerufen werden: 

B = (0, x)(l, -1)(2, 3)(-2, — 3), 
C = (1,-3, 2) (-1,3,-2), 
U= (^,^1, ±1, ±3) (0, +3, +2, +2), 
und daraus erhält man die siebenwertige Funktion 

(10) r= (y^ — Vo) {v-^ — v-z) (t'ii — v-a) (i^s — v.^), 
worin das eine oder das andere Zeichen genommen werden kann. 

Für 2; ^^ 11 ist 

^ = (^•-7) « = <-'*-)• ^ = (^'±^)' 

oder durch die Zyklen dargestellt: 

B = (0, ^) (1, -1) (2, 5) (—2,-5) (3, -4) (-3, 4), 

C = (1, 4, 5, —2, 3) (—1, —4, —5, 2,-3), 

f^ = ( ^ , T 1, ± 3, T 2, ± 2) (0, + 5, + 5, + 4, ± 1), 

woraus die beiden 11 wertigen Funktionen 

(11) F = 



§ 83. Kesolventen 5ten Grades. 309 

Hierbei ist noch folgende Bemerkung von Interesse. Die 
Resolventen pien Grades, deren Wurzeln die Größen (9), (10), 
(11) sind, enthalten nach § 78 in ihren Koeffizienten noch V+p. 

Die Gruppe So wird aber zur Gruppe 2 erweitert, wenn wir 
eine lineare Substitution von der Form § 78, (13) hinzufügen, in 
der ac — bc quadratischer Nichtrest ist, also etwa: 

für p ■= 5 (,?, 2 z) 

für ^ = 7, 11 (^, — z). 

Durch Anwendung dieser Substitution geht aber der Wert (9) 

V = {v^ — i'o) {v, — V,) {v., — i's) 

in den entgegengesetzten über, und daraus folgt, daß, wenn 
p :i^ .5 ist, F^ einer Gleichung 5ten Grades mit rationalen 
Zahlenkoeffizienten genügt. Daraus schließt man, daß in der 
Gleichung für V die Koeffizienten der ungeraden Potenzen den 
Faktor y^ haben, während die anderen rational sind, oder daß 
man für die Unbekannte ^6 V eine Gleichung mit rationalen 
Koeffizienten erhält. 

Für p = 7, 11 gehen die den beiden Vorzeichen in (10) oder 
(11) entsprechenden Ausdrücke durch die Vertauschung (z, — z) 
ineinander über. Die Resolventen 7 ten oder 1 1 ten Grades, denen 
einer der beiden Ausdrücke (10) bzw. (11) genügt, gehen also 
durch Änderung des Vorzeichens von y — 7, \' — 11 ineinander 
über. 

§ 83. Verschiedene Resolventen 5 ten Grades für den 
5 ten Transformationsgrad. 

Bei der Bildung der Resolventen pien. Grades beschränken 
wir uns hier auf den Fall p = b. 

Diesen Resolventen kann man sehr mannigfaltige Formen 
geben, indem man nicht nur in der Funktion F, (9) des vorigen 
Paragraphen für die Größen v die Wurzeln einer beliebigen 
Transformationsgleichung wählen, sondern auchFdurch mancherlei 
andere Funktionen ersetzen kann, etwa durch 

(''oo + ^'o) (vi 4- r,) (^'2 + i's), 
oder durch 



310 Achter Abschnitt. § 83. 

Wir wollen zunächst die Transformationsgleichung § 72, (8)' 
in der jetzt in Übereinstimmung mit dem vorigen Paragraphen 
V für X gesetzt ist: 

(1) ü6 -f 10 y3 — }^2 y + 5 = 

anwenden. Hierin ist, wenn 

c ^ (mod 12), ^ ^ c (mod 5) 
ist, 



(2) v^ = ' ^ ' ^ 






7} CO J ^ \ fj {co) J 

Nehmen wir dann 

(3) -^btv, = {v^ — V,) {V.j.i — V^_a) (v^_2 — V^ + o) 

= (^'co ^c) (^'c+12 Vc_i2) (fc + 24 Vc-2i)-> 

^ = 0, 1, 2, 3, 4, c = 0, +12, +24, 
so sind nach der Schlußbemerkung des vorigen Paragraphen die 
iVq, ?(7i, ?('2, it'g, tüi die Wurzeln einer Gleichung 5 ten Grades, 
deren Koeffizienten rational aus ^a und rationalen Zahlen ge- 
bildet sind. 

Beachtet man aber die Relationen [§ 54, (14)]: 

r2(» + 1) = e ^ 72(«), y2[—-] = 72(0), 

so folgt aus der Form von (1), daß durch die Vertauschung 
(cö, « -j- 1) diG W^urzeln i\ abgesehen von einer Umstellung, den 

2 71 i / 1 ^ 

Faktor e ^ annehmen, während sie durch (w, — ■ — ) ungeäudert 

bleiben. Die iVz vertauschen sich also nur untereinander, und 
ihre symmetrischen Funktionen bleiben ungeändert und hängen 
daher rational nur von der Invariante j{co) ab. Die Koeffizienten 
in der Gleichung für iv können überdies für kein endliches j (w) 
unendlich' werden und sind demnach ganze Funktionen 
von j{co). 

Ein weiterer Aufschluß über diese Koeffizienten ergibt sich 
durch die Entwickelung nach steigenden Potenzen von q. Die 
Entwickelungen der v haben nach (2) die Anfänge 

2 c 2ni 2 

und daraus folgt mit Benutzung der bekannten Gleichung 

. ■ '^Tt . 4:7t /- 

4 sm -— • sm —r- = \d 
5 5 ' 



§ 83. Resolventen 5ten Grades. 311 

der Anfang der Entwickelung für iv^: 

(4) IV, = rf ^ e^ "> H 

Hieraus folgt, daß die Potenzsummen der lo, bis zur vierten 
einschließlich Konstanten sind, da sie nicht einmal die erste 
Potenz von J(ta) enthalten können, und daß das Produkt der iVz 
eine lineare Funktion von j (^w) sein muß, in der j{cy) den 
Koeffizienten 1 hat. 

Die Gleichung der iv hat daher die Form: 

(5) lü'^ + 6i iv^ -f &2 ^v^ + h ^V' + ^4 w + 65 = i((ö), 
wenn die b rationale Zahlen sind. Diese Koeffizienten lassen sich 
dadurch berechnen, daß man die Entwickelung (4) weiter fort- 
setzt. Wir schlagen hier einen anderen Weg ein, der, streng 
genommen, zu der im nächsten Teil behandelten komplexen 
Multiplikation gehört, bei seiner Einfachheit aber trotzdem ganz 
wohl hier seine Stelle finden kann. 



Setzen wir co = « = \ — 1, so ist 

1 

03 = 

CO 

und infolgedessen ist [§ 34, (11), (12), (14)]: 

f\(i) = f,ii) = ]^'2, f{i) = fl 
also [§ 54, (5)] : 
(6) y,(i) = 0, y,(i) = 12, j (i) = 123. 

Man findet aber ferner aus den Transformationsformeln für 
>?(«) [§34,(4), (5)]: 

iLi / 1 \ 

,^(gj 4- 1) = ei^ij(ca), r]i^—-J = '^—io3rj(o3), 

wenn man auf die Zerlegung 

5 = (2 + i) (2 - i) 
Rücksicht nimmt: 



7f i / n I \ ^ i 



also 

^2 = 1 -f 2?:, Vs ^ 1 — 2i, 

und man kann jetzt, da für y^ = \2 zwei Wurzeln der Gleichung 
(1) bekannt sind, für diesen besonderen Wert von y^ den linken 
Teil dieser Gleichung leicht in Faktoren zerlegen: 

,;6 _^ 10 y» — 12 y + 5 = (f2 4- 2 y + 5) {v^ -^ v — 1)2, 



312 Achter Abschnitt. § 83. 

woraus zu schließen: _ 

-1 H- Vö 



(^) -1-1/5 

v^ = Vi = 2 

(vo, ^<„ müssen, da in ihnen q reell ist, positiv sein.) 
Aus (3) ergibt sich sodann: 

(8) Wo = 0, Wi ^= W3 ^= — 5 — 2? yö, 

Wci = Wi = — 5 4- 2 «■ Vö. 

Dies müssen die Wurzeln von (5) sein für j = 12» und 
daraus erhält man die gesuchte Resolvente in der Form: 

(9) tü{w^ + lOiü + 45)2 = j(o3) _ 123 ^ y2_ 
Diese Gleichung läßt sich auch in die Form bringen: 

(10) (iv + 3)3 {iv^ -[- 11 ^t; + 64) = j (cj) = y^\ 

auf die man auch direkt kommt, wenn man, anstatt co ^ i zu 
setzen, 

— 1 -f ^ V3 

"^ = 2 

annimmt. 

Die gefundene Resolvente vereinfacht sich noch, wenn man 
[nach (9)]: 



V^ = .-7^ 



Ya 



w^ -\- 10 w -\- 45 
setzt : 

(11) ^•^+ lOz^-^Voz = y„ 
oder wenn man [nach (10)] 

(12) w^^niv-^64. = y\ y = -li-^ 

setzt : 

(13) y^ — 40^2 _ r^y^y _ y, ^ Q, 

eine Gleichung, die sich auch ergibt, wenn man von vornherein 
die Annahme macht: 

2y = v^vo + t\Vi -\r v^vs- 
In der Gleichung (13) fehlen, wie man sieht, die dritte und 
die vierte Potenz der Unbekannten. Dieselbe Eigenschaft kommt 
auch, wie leicht nachzuweisen ist, der Gleichung zu, deren 
Wurzeln 



§ 83. Resolventen 5ten Grades. 313 

(14) ^ = ,(i + ^,) = (l_±^.) 

sind, wenn A, ^ beliebige Parameter bedeuten, die für alle fünf 
Werte x die gleichen sind. 

Setzt man diese Gleichung in die Form 

(15) x^ — bax^ — bhy^x — hcy'^ = 0, 

so ergeben sich nach einigen Rechnungen mit Benutzung der 
besonderen Werte von x für ^g = und ^3 = 00 für a, i, c 
die folgenden Ausdrücke: 

a = 8 A3 — 72 A ft2 ^ ya (A2 ^ — u»), 

(16) & = A* 4- 18A-\u2 — 27iii* -f ygA/xs, 
c = A^ -f 10A:^/i2 _^ 45^^3 _|_ y^^:^ 



Es soll noch eine Resolvente 5ten Grades mit Benutzung der 
Funktion /'(co) gebildet werden. 
Wir setzen: 

(17) u = /■(«), v^ = fibco), V. = /(^^) 

c ^ (mod 48), ^ ^ c (mod 5), 
und haben nach § 73 zwischen u und v die Gleichung 6ten Grades: 

(18) W6 -\- vG — itöyS -\- 4:UV = 0. 

Wir untersuchen den Einfluß, den die drei Vertauschungen 
(CO,« + 2), («,-^), (",^1) 

auf die Größen v^ haben. Durch diese Vertauschungen geht c 
über in Ci, Cg, c', die nach § 69, (9), (11) und § 73, (6) durch 
die Kongruenzen 

1 c 1 

(19) Ci=c4-2, C2 = — -, c' = -^-j-^ (modo) 

bestimmt sind. Abgesehen von dieser Änderung des Index gehen 
nach § 73, (4) und (9) die v über in 

(20) e '2 v^ ^^ _J_. 



') Vgl. Kiepert, Auflösung der Gleichung 5ten Grades. Grelles Journal, 
Bd. 87, S. 114. 



;i4 



Achter Abschnitt. 



§ 83. 



b ni 



.. Man hat also, wenn zur Abkürzung e ^^ r= £ gesetzt wird, 
folgende zusammengehörige Vertauschungen: 

ö, M, V^ t'o, i^i, Vq, V^, Va 



n i 



Ö + 2, e 12 n, £v^, £^25 «%5 
1 

^0, ^00 1 Vi-> 



'2-1 

£^4, 

«^21 



^3 5 
^3, 



41 

£ Vj. 

^1, 



(21) --, n, 

CO 

CO — 1 V2 _V2-_V2 _V2 _V2 _y2 _V2_ 

M + r n ' Vi ' i'4 ' Vo ' 2^2 ' '^3 ' '«^00 

Wir führen nun die fünf Größen iv^ durch die Gleichung ein : 

(V^ Vz) (Vz + l — Vz-d (Vz + 2 — Vz-'i) 



(22) 
also: 



w. 



IVn 



lü<i = 



Wo = 



(^. 


— Vo) (Vi — ^4) (^2 - 


-^'3) 


e^co 


— ^l) (*'2 — ^o) (^3 - 


-^4) 


{^. 


— t'a) (V3 — Vi) (V4 - 


- yo) 


(^. 


— V3) (^4 — ^2) (^0 - 


-V.) 


(^» 


— '«''4) O'o — Vi) (y, - 


- ^2) 



so daß, wenn man in der letzten Reihe davon Gebrauch macht, 

daß nach (18) das Produkt der sechs Größen v^ den Wert u^ 

hat, sich aus (21) folgende zusammengehörige Vertauschungeu 
der w ergeben: 

(ö, i('o, «t'i, %v^, W3, 'iVi, 

W -f 2, —W2, — M'g, tVi, 'Wo, Wi, 

(23) — — ' ^'^0, '"2, '?f''n "'4, n-3, 



CO 
CO — 1 



Wo, —IVz, 



n\ 



— tv. 



, [^0 1 "^^3 1 "41 "2? f-"^!- 

fij — j— 1 

Die Funktionen tv können für keinen von und co ver- 
schiedenen Wert von u unendlich werden. Nehmen wir daher 
die Gleichung, deren Wurzeln die fünf Größen iVz sind, in der 
Form an: 

tü''> -^ ÄiW* -\- A^iv^ -f- A^iv^ + Aiiü 4- ^5 = 0, 



§ 83. Resolventen 5ten Grades. 315 

SO sind Ä{, ^2) ^:fi -^4 5 -^i nach den Grundsätzen des § 73 
ganze rationale Funktionen von 

212 

Die Entwickelung von (24) nach steigenden Potenzen von q 
fängt an mit (/-\ während der Anfang der Entwickelung von iv^ 

1 c/ri 

ist. Die Größen J.f, A^, ^|, Ä^ können daher nicht einmal die 
erste Potenz von (24) enthalten und sind also konstant, während 
Ä? die Form hat: 

012 

Ai = m24 _f f_ 4- (7, 

worin C eine Konstante ist. Die Werte der Konstanten kann 
man bestimmen, wenn man die Werte der tv^ für ca = i kennt. 
Es ist aber für oj = i [vgl. oben (6), (7)]: 

u = f(i) = f 2, 

./ i + 48\ ,./i — 2 , _ .\ _ ili£i' /i — 2\ 

Wni _ 

= e~~^f{i + 2) = — if 2, 
y, = ^1^2 
und folglich nach (18): 

.. = ,. = r^ liü. 

Folglich wird: 

H'o = 0, it?! = it'a = ■^'V-^1 W"3 = w^ = — *y5. 
Danach wird zunächst C = — 2", also 

64\2 



und daraus durch Vergleichuug der Anfänge der Entwickelung 

A^ = —«12 _f^, 

und die Gleichung für iv bekommt die Form: 
(25) H'(i.^ + 5)'^ = iti2_^. 



316 Achter Abschnitt. § 83. 

Man kann ihr aber noch eine andere, sehr bemerkenswerte 
Form geben. 

Nach den zwischen den Funktionen /"(w), fi{o3), f^ico) be- 
stehenden Relationen [§ 34, (11), (12)] ist: 

/■(cj)24 _ 64 ^ [/;(ca)^ — /2(aj)^p 
ficoy /■(«)* 

Führen wir also für iv die neue Unbekannte 

(26) y = iw = '') L, , ^r.i 
ein, so erhalten wir die Form: 

(27) f + öy = '''■ '^.^^^l^' > ■ 

Auf diese Formeln gründet sich die von Her mite und 
Kronecker geschaffene Auflösung der Gleichung fünften Grades 
durch elliptische Funktionen, auf die wir im 14. Abschnitt des 
IL Bandes hingewiesen haben. 

Nach Bd. I, § 60 kann die allgemeine Gleichung fünften 
Grades auf die Form reduziert werden: 

(28) ^5 4- 5^ = a, 

und diese Gleichung wird mit (27) identisch, wenn man setzt: 

Nimmt man hierzu die Gleichungen: 

tl = fi = /"^ M A = y2, 

so erhält man 

(29) p' — a^p^ _ 64 = 0. 

Durch diese quadratische Gleichung ist f^- als Funktion 
von a bestimmt. 

Dann sind die Wurzeln der Gleichung (28) durch die Quadrat- 
wurzeln aus den Ausdrücken (22) dargestellt. Das doppelte \^or- 
zeichen dieser Quadratwurzeln erklärt sich daraus, daß zwei ent- 
gegengesetzte Werte von a zu derselben Gleichung (29) führen. 
Man kann aber auch die Wurzeln eindeutig bestimmen nach der 
Formel (26): 



§ 83. Resolventen öten Grades. 317 

In der oben erwähnten Arbeit von Kiepert wird die all- 
gemeine Gleichung fünften Grades auf die Form (15) trans- 
formiert, wozu nur die Auflösung einer quadratischen Gleichung 
erforderlich ist. Sieht man darin a, h, c als beliebig gegeben 
an, so dienen die Gleichungen (16) zur Bestimmung von A, (i^ y^. 
Dies geschieht ebenfalls mit Hilfe einer quadratischen Gleichung, 
was allerdings nicht auf den ersten Blick zu ersehen ist. (Vgl. 
F. Klein, Vorlesungen über das Ikosaeder, S. 191 f.) 

Auf die Resolveutenbildung für den siebenten Transformations- 
grad werden wir weiter unten zurückkommen, wenn wir über 
die Hilfsmittel verfügen, die uns die komplexe Multiplikation 
bietet. 



ZWEITES BUCH. 



QUADRATISCHE KÖRPER. 



Neunter Absclinitt. 

Diskrimiiiante. 



§ 84. Definition der Diskriminanten. 

In der Theorie der quadratischen Körper treten als Diskri- 
minanten gewisse ganze rationale (positive oder negative) Zahlen 
auf, die, wenn sie gerade sind, durch 4 teilbar sind, und wenn 
sie ungerade sind, bei der Teilung durch 4 den Rest 1 lassen. 

Kronecker hat solche Zahlen „Zahlen von Diskrimi- 
nantenform" genannt. Wir wollen sie hier kurz Diskrimi- 
nanten nennen, und uns nicht daran stoßen, daß dieses Wort 
in der Algebra noch mannigfache andere Bedeutungen hat. Wir 
definieren daher: 

1. Eine positive oder negative, von Null verschiedene 
ganze Zahl, die einer der beiden Kongruenzen 

(1) i) = 0, D = l (mod 4) 
genügt, heißt eine Diskriminante. 

Jede Quadratzahl ist nach dieser Definition eine Diskrimi- 
nante. Da diese aber eine gewisse Ausnahmestellung einnehmen, 
wollen wir sie, wenn die Unterscheidung nötig ist, uneigent- 
liche Diskriminanten nennen. 

2. Das Produkt zweier und folglich beliebig vieler 
Diskriminanten ist wieder eine Diskriminante. 

3. Eine Diskriminante, die (außer 1) keinen quadra- 
tischen Teiler enthält, nach dessen Absonderung eine 
Diskriminante übrig bleibt, heißt Stammdiskriminante, 

Stammdiskriminanten sollen in der Folge zum Unterschied 
von anderen mit zJ bezeichnet sein. Ist 1) keine Stammdiskri- 
minante, so gibt es eine und nur eine Quadratzahl Q'^ und eine 
Stammdiskriminante ^, so daß 

(2) n = zJQ^ 
ist; J heißt dann der Stamm von D. 

Weber, Algebra. III. 01 



322 Neunter Abschnitt. § 85. 

Eine Stammdiskriminante ist durch, keine ungerade Quadrat- 
zahl teilbar. Ist aber z/ durch 4 teilbar, so muß 

(3) z/ = 8, 12 (mod 16) 

sein. Denn wäre z/ ^ 0,4 (mod 16), so würde nach Forthebung 
des Faktors 4 eine Diskriminante übrig bleiben. 

Um also zu einem gegebenen D den Stamm zu finden, hat 
man zunächst die größte ungerade Quadratzahl und dann noch 
eine so hohe Potenz von 4 abzusondern, daß z/ entweder ungerade 
und ^ 1 (mod 4) oder ^ 8, oder ^12 (mod 16) wird. 

4. Eine eigentliche Diskriminante, die nicht in 
Faktoren zerlegbar ist, die selbst wieder Diskriminanten 
sind, heißt Primdiskriminante. 

Ist jo eine natürliche ungerade Primzahl, und wird das 
Zeichen ±_ so bestimmt, daß +j> ^ 1 (mod 4) ist, so gibt es 
folgende Primdiskriminanten : 

(4) ±p, -4, +8, —8. 

5. Jede Stammdiskriminante läßt sich auf eine und 
nur auf eine Weise in Primdiskriminanten zerlegen. 

Denn sondert man von z/ zuerst alle Faktoren +p ab, so 
bleibt nur eine der Zahlen 1, — 4, -f- 8, — 8 übrig. 

§ 85. Das erweiterte Legendre-Jacobisclie Symbol. 

Das Legendresche Sj^mbol ( — ) hat, wenn m eine be- 
liebige positive oder negative von Null verschiedene Zahl, p eine 
in m nicht aufgehende natürliche Primzahl ist, den Wert -|- 1, 
wenn w quadratischer Pvest, und den Wert — 1, Avenn m quadra- 
tischer Nichtrest von p ist (Bd. I, § 145). 

Die Bedeutung des Symbols ist von Jacobi so erweitert 
worden, daß für p auch eine zusammengesetzte Zahl gesetzt 
werden kann. Wenn aber m eine Diskriminante ist, so empfiehlt 
sich bisweilen eine noch weitergehende Verallgemeinerung, die 
wir jetzt darlegen müssen i). 



^) Kronecker, Berliner Sitzungsberichte, 30. Juli 1885. Dirichlet- 
Dedekind, Vorlesungen über Zahlentheoi-ie , 4. Aufl., § 186. H. Weber, 
Göttinger Nachrichten, Januar 1893. 



(6) (Ai^)-(l), 



§ 85. Das erweiterte Legendre- Jacobische Symbol. 323 

Wenn Z> eine Diskriminante und n eine ganze rationale Zahl 
ist, so definieren wir ein Symbol (Z), n) durch folgende Bestim- 
mungen : 

(1) (A 0) = 0. 

(2) (A 1) = 1. 

(3) (A-1) = +1, l)>o. 

= -1, D<0. 

wenn p ein Primteiler von D ist. 

j-' — 1 
(5) (D, 2) = (— 1) 8 , i> ungerade. 

/^^ 

wenn p eine nicht in D aufgehende ungerade Primzahl ist. 

Zerlegt man +'^ ii^ seine Primfaktoren 

n = 4:yj, p', p", ..., 
so ist 

(7) (A »0 = (A ± 1) (i>, i^) (A P') (A i>") . . . 

Durch (1) bis (7) ist offenbar das Symbol (D, 7i) wider- 
spruchslos für alle Zahlen n definiert, und kann nur einen der 
Werte — 1, 0, -|- 1 haben. Es ist immer dann und nur dann 
= 0, wenn I) und n nicht relativ jDrim zueinander sind. Aus 

(7) ergibt sich noch : 

(8) iD,n)(D,n') = {D,nn'), 

und wenn Q^ eine Quadratzahl ist, die mit w keinen gemeinsamen 
Teiler hat, 

(9) {Q-'n,n) = {D,n). 

Die auf das EeziiDrozitätsgesetz bezüglichen Formeln nehmen 
in dieser Bezeiclmungsweise eine besondere Form an. Wir be- 
trachten zunächst die Primdiskriminanten. 

Ist ±p = l (mod 4), so ist nach (3), (5), (6): 

(±.,2) = (-lf^ = (|). 



(±-o = (^) = (^) 



2r 



324 Neunter Abschnitt. § 85. 

wenn n eine ungerade Primzahl ist (nach dem Reziprozitätsgesetz 
und seinen Ergänzungssätzen [Bd. I, § 145, 9.]), und diese Formeln 
lassen sich zusammenfassen in 

(10) (±p^ ") = (l)- 

Diese Formel gilt aber wegen (7) für jedes beliebige «, das 
durch p nicht teilbar ist. 

In gleicher Weise findet man für ein ungerades n: 

(-4, n) = (-1)^, 
(11) (8, ,0 =(_i)V\ 



1 M'-— 1 



(-8, n) = (-1) ^ 
Weiter ist allgemein, wenn D, D' zwei Diskriminanten sind: 

(12) (A n) {D\ n) = {!) D\ n). 

Diese Formel gilt zunächst, wenn DD' und n nicht relativ 

prim sind, weil dann beide Seiten = sind. Sie gilt ferner 

für n = — 1 [nach (3)], für 17 ^= 2 [nach (5) und der Kon- 

1)2—1 D'^ — 1 D- D'^—l 
gruenz — 1 ^ — ^ fmod 2)] und für eine 

ob 

ungerade Primzahl n [nach (6)]. Also gilt sie wegen (7) all- 
gemein. 

Wir können nun das Reziprozitätsgesetz mit seinen Ergänzungs- 
sätzen für Diskriminanten in folgender Weise zusammenfassen: 

(13) (A B') = ±{D', D\ 

worin das obere Zeichen gilt, wenn von den beiden Dis- 
kriminanten D, D' wenigstens eine positiv ist, das untere, 
wenn beide negativ sind. 

Um diese Formel aus der gewöhnlichen Form des Rezi- 
prozitätsgesetzes abzuleiten, nehmen wir zunächst an, es gelten 
die beiden Formeln: 

{D,D') = ±{D\D\ 
{D,,D') = ±{D\D,). 
Dann folgt aus (8) und (12) 

{DD,,D') = ±{D\DD,l 
worin wieder das untere Zeichen nur dann gilt, wenn D' 
und D Dl beide negativ sind. Durch nochmalige Anwendung 
ergibt sich 

{DD,, D'D\) = ±{D'D\, DD,) 



In diesem und nur in diesem Falle ist aber , , — > / /i 



§ 85. Das erweiterte Legendre- Jacobische Symbol. 325 

und folglich ist die Formel (12) erwiesen, wenn sie für irgend 
zwei Primdiskriminanten gilt. 

Es ist aber nach (10), wenn ^j undp' ungerade Primzahlen sind: 

{±p.±p') = ±(f-). i±p\±p) = ±{^y 

worin rechts das negative Zeichen nur dann steht, wenn links 
beide Zeichen negativ, also p sowohl als p' ^ S (mod 4) sind. 

y\ ^ _(P 

.pJ \P 

sonst ( — j = { i)' ^^^^ ergibt sich für diesen Fall die Formel 

(13) als richtig. 
Ferner ist nach (11) und (3), (5) 

(-4, ±/j)-+l, (±i>, -4) = ±1, 

{p, ±8) = ip, +2) = (p, 2) = (- 1)M 

(+8,rt = (^) = (-l) » , 

[p ^ 1 (mod 4)], 
i-P, ±8) = i-p, ±2) = +(-i>, 2) = -1, 

[p = S (mod 8)], 
woraus für diese Fälle die Formel (13) folgt, die damit allgemein 
erwiesen ist. 

Aus (13) folgt weiter, da jede Quadratzahl eine positive Dis- 
kriminante ist, falls m zu D relativ prim ist, 

(14) (Z>, m^) = 1 
und folglich nach (8): 

(15) (i>, m^n) = (D, n), 
wenn m und D keinen gemeinschaftlichen Teiler haben. 

Wir haben ferner den Satz: 

(16) (D, n) = (A n'), 
wenn n ^ n (mod D). 

Der Satz ist richtig, wenn n und D einen gemeinschaft- 
lichen Teiler haben, und nach (12) ist er allgemein erwiesen, 
wenn er für jede Primdiskriminante D gilt. Für diese ergibt er 
j sich aber sofort aus (10), (11). 



326 Neunter Abschnitt. § 85. 

Nehmen wir an, in (16) seien w, n' selbst Diskriminanten : 

n ^= Dl, n' = Da, JD^ ^ Dg (mod 7)), 
so ist 

(D, DO = (D, A) 

lind es folgt aus (13): 

(D, A) = ±(D„ D) 

(D, A) = ±(A, D), 
worin die oberen Zeichen gelten, wenn D jjositiv ist, die unteren, 
wenn D, D^, Dg alle drei negativ sind, und verschiedene Zeichen, 
wenn D negativ und Dj, Dg von verschiedenen Vorzeichen sind. 
Es ist also nach (16): 

(17) (A, D) = +(A, D), 

worin das untere Zeichen nur dann gilt, wenn die beiden Zahlen 
D und Dl D2 beide negativ sind. 

Sind Dl, D2 ungerade, so können wir D = 4w setzen, worin 
m eine beliebige ganze Zahl ist, und wir erhalten aus (17) 

(18) (Dl, m) = ±(Do, m), 
wenn 

(19) Dl = Da (mod 4 »i) 

ist, und das untere Zeichen nur dann gilt, wenn m und 
Dl Da beide negativ sind. 

Dieser Satz ist zunächst bewiesen unter der Voraussetzung, 
daß Dl und Dg ungerade sind. Er gilt aber allgemein. Denn 
die Kongruenz (19) verlangt zunächst, daß Di und Dg zugleich 
gerade oder zugleich ungerade seien. Sind sie beide gerade und 
ist dann m gerade, so ist (18) richtig, weil beide Seiten ver- 
schwinden. Ist aber m ungerade, Di, D., gerade, so setze man 
in (17) D = +;*^* ^ 1 (mod 4), worin m eine positive ungerade 
Zahl ist. Dann folgt aus D^ ^ Da (mod D) die Kongruenz (19) 
und nach (17) ist 

(Dl, m) — (Da, ni\ 

(20) (D,, -m) = ±(A, -m), 

(A, -1) = ±(A, -1), 

und folglich wieder 

(D„ m) = {D,, m). 
Also gilt diese Formel für jedes positive ungerade m, und 
nach (20) ist dann (18) auch für ein negatives m erwiesen. Die 
Formeln (16) und (18) können zur Berechnung des Symbols (D, 11) 



§ 85. Das erweiterte Legrende-Jacobische Symbol. 327 

nach dem Algorithmus des größten gemeinschaftlichen Teilers 
dienen. Denn man kann aus den Kongruenzen 

D = 1)' (mod 4 w), 

w ^ w' (mod D'), 

B' = D" (mod 4 n% 

n' = n" (mod D"), 

die Reihe der Zahlen 

D', 2n\ D'\ 2«",... 

so bestimmen, daß jede folgende dem absoluten Werte nach kleiner 
ist als die vorhergehende, solange keine der Zahlen »/, n'\ n"\ ... 
gleich + 1 geworden ist. 

Ist D keine Quadratzahl, so läßt sich immer eine Zahl ß so 
bestimmen, daß 

(21) (D, /3) = -l. 

Ist nämlich z/ der Stamm von D und ist ß relativ prim zu 
i), so ist (nach 9) 

(A ß) = (A ß)- 

Ist z/ = dz/' und d eine Primdiskriminante , also relativ 
prim zu z/', so kann man ß^, so annehmen, daß 

(d, /3o) = -1 

wird [nach (10) und (11)] und man kann ß aus den beiden 
Kongruenzen 

ß = ß, (mod d), 

= 1 (mod z/') 

bestimmen. Dann erhält man nach (12) 

(D, /3) = (ö, /3o) = -l. 

Läßt man s ein volles Restsystem nach dem Modul D durch- 
laufen und setzt 

S= k{D,s), 

so folgt durch Multiplikation mit (D, ß) 

-S = i{D, ßs\ 
und da /3 s zugleich mit s ein Restsystem durchläuft, so folgt 

(22) S = 0. 
Es folgt hieraus: 



328 Neunter Abschnitt. § 86. 

In einem vollständigen System inkongruenter, zu D teiier- 
fremder Zahlen ,s gibt es ebensoviele Zahlen oc, für die (Z), et) 
= -^1 ist, wie Zahlen /3, für die (Z>, /3) = — 1 ist, und es ist 
(An)- +1, wennn^c. 

=r — 1, „ W = ^ ^ ^ 

§ 86. Die Gausssclieii Summen. 

Wir haben im ersten Baude die Gaussschen Summen aus 
der Theorie der Kreisteilung kennen gelernt. Diese Ausdrücke 
lassen sich verallgemeinern und nehmen durch Anwendung des 
Symbols (D, n) eine einfache Gestalt an. 

Es war [Bd. I, § 179, (16)], wenn n eine ungerade Primzahl, 
s eine durch n nicht teilbare Zahl bedeutet und k ein Restsystem 
nach dem Modul n durchläuft: 

Setzen wir +n = z/ ^ 1 (mod 4), so ist /i eine Prim- 
diskriminante, und es ist nach § 85, (10) 

(i) = (^' ^■)' (?) = (^' +") = ^"^ *) 

[letzteres nach § 85, (3), da die oberen Zeichen bei positiven, die 
unteren bei negativen z/ gelten], ferner: 

i^ 2 J ^^u = Vz/, 
wenn y^/ positiv reell oder positiv imaginär ist, je nachdem « ^ 1 
oder ^ 3 (mod 4) ist, und wir können (1) in der Form schreiben: 



« 2 7^^ = ai '^^^ V 



k 



2n iks 



(2) 2:{J,k)e - =(z/, .s)V^, 

wenn wir im Falle, wo z/ positiv ist, s durch — s ersetzen. Diese 
Formel ist zunächst nur für eine ungerade Primdiskriminante 
erwiesen. Sie gilt aber auch, wie die direkte Rechnung zeigt, für 

z^ = — 4, 8, —8, 
also für jede Primdiskriminante. 

Setzen wir die Richtigkeit der Formel (2) für z/ =^ z/', 
z/ = z/" voraus, so folgt, wenn z/' und z/" keinen gemeinschaft- 
lichen Teiler haben, ihre Richtigkeit für z/ = /l' /l" . 

Es ist nämlich 

(3) yfd' V^' = ±Vz/'z/", 



§ 86. Die Gau SS scheu Summen. 329 

wenn das obere Zeichen gilt, falls von den beiden Stammdiskrimi- 
nanten z/', z/" wenigstens eine positiv ist, das untere, wenn beide 
negativ sind. 
Setzen wir 

k = l'^" + rz/', 

und lassen h\ k" Restsysteme nach z/', z/" durchlaufen, so durch- 
läuft k ein Restsystem nach zJ = zJ' zl". 
Die Multiplikation der beiden Summen 

^/ 2snilc' j^t, •IsniU" 

(4) ^ (z/', k') r ~'^~\ i: (z/", A;") r ~^^ 

ergibt 

(5) U (z/', k') (z/", k") r^~. 

Es ist aber nach § 85, (16) 

(z/', k) = (z/', z/") (z/', Ä.'), 
(z/", Ä;) = (z/", z/') (z/", fe"), 
und folglich nach § 85, (13) 

(z/, /c) = ±(z/', Ä;')(z/", n 
und demnach ergibt sich aus (3), (4) und (5) die allgemeine 
Gültigkeit der Formel (2) für jede Stammdiskriminante z/. 



Zehnter Abschnitt, 

Alo^ebraisclie Zahlen luid Formen. 



§ 87. Ideale und Formen in algebraischen Körpern. 

Das Interesse, das die Theorie der elliptischen Funktionen 
für den Algebraiker hat, entspringt aus ihrer Anwendung auf 
die Theorie der quadratischen Irrationalzahlen, zu denen sie in 
einer analogen Beziehung stehen, wie die Einheitswurzeln zu den 
rationalen Zahlen. Sie bieten uns das erste und bisher einzige 
in seinen Gesetzen genauer bekannte Beispiel eines Gebietes 
algebraischer Zahlen, die über die Kreisteilungszahlen hinaus- 
gehen. Um die Theorie dieser Zahlen eingehender darstellen zu 
können, müssen wir einige Sätze aus der Theorie der Formen 
und algebraischen Körper und speziell der quadratischen Formen 
vorausschicken. 

In Bd. II, § 163, 169 hat sich ein Zusammenhang ergeben 
zwischen den Idealen eines algebraischen Körpers il vom nten 
Grade und gewissen homogenen Funktionen nien Grades von 
n Variablen. Ehe wir dies auf quadratische Körper anwenden, 
sei kurz an die allgemeinen Sätze erinnert. 

Es sei n ein Ideal eines Körpers Sl und cc^, a^^ ..., «„ eine 
Basis dieses Ideals. Ferner sei «i, Wg, •••, con eine Minimalbasis 
von il. Dann ist 

(1) («1, «2, •••, «n) = {A) {CO^, 032, •••1 »«). 

wenn {Ä) eine lineare Substitution mit ganzzahligen Koeffi- 
zienten bedeutet. Um zu einer anderen Basis a'i, «ö, . . ., k^i von a 
überzugehen, mache man eine lineare Substitution L mit der 
Determinante + ^i 

(2) («;, «2, •••, O = m («1, «25 •••5 ««)' 

woraus sich ergibt 

(3) (a'i, «2, • . •, <) = {L) (Ä) (wj, CO, . . ., CO,,) 1). 

') Über lineare Substitutioneu und ihre Zusammensetzung vergleiclie 
man den sechsten Abschnitt des zweiten Bandes. 



§ 87. Ideale und Formen in algebraischen Körpern. 331 

Unter der Norm N (ü) des Ideals a versteht man den 
absoluten Wert der Determinante Ä der Substitution (A): 

Ji. =^ ^ 2IZ ^1 1 ^'2 2 • • • (^n n 5 

und nach (3) ist die Norm unabhängig von der Wahl der Basis. 

1. Wir wollen die Basis (a^) positiv nennen, wenn 

die Determinante Ä positiv, also der Norm von a 

gleich ist. Ist («,) positiv, so ist («',) immer dann 

positiv, wenn die Substitutionsdeterminante 

L = 4-1 ist. 

Man kann aus jeder Basis durch eine Substitution mit der 

Determinante — 1, also z. B. durch Vertauschung zweier «,, eine 

positive Basis ableiten, und wir werden in der Folge meist nur 

positive Basen verwenden. 

Die in Bd. II, § 163, (3) bestimmte Basis ist positiv. 
Bedeutet nun ^, , fg? ••■•> ^n ein System unabhängiger Vari- 
ablen und 

(4) X = SUrtt, 

eine Basisform mit positiver Basis, so ergibt sich (Bd. 11, § 164) 

(5) N{l) = N{a)T, 
worin 

(6) 1 = 2; +^1,1 ^2,2. ../„,n 

eine iDrimitive ganzzahlige homogene Form wten Grades der 
Variablen U ist. Die #,.,« sind lineare Funktionen der ty. 

W^endet man auf (4) die Substitution (2) an, so ergibt sich 

(7) A = A' = Zu,i\, 
wenn 

(8) (^1, t^i ..., tn) = L' {t\^ t'2, . . ., tn), 

worin L' die transponierte Substitution von L ist, und wenn 

(«i) gleichfalls eine positive Basis ist, so hat L' die Determinante 

-j- 1 und die Formel (5) ergibt 

(0) iV(A) = N(a)T\ 

worin T' eine homogene Funktion wten Grades der Variablen t' 

ist, die durch die Substitution (8) aus T hervorgeht. 

Zwei Formen, die durch ganzzahlige lineare Substitution mit 
der Determinante +1 auseinander hervorgehen, heißen äqui- 
valent. Bisweilen werden die Formen auch dann äquivalent 
genannt, wenn die Sub'stitutionsdeterminante — 1 ist, dann aber 
mit dem Zusätze „uneigentlich". Es ist dann durch (8) bewiesen: 



332 Zehnter Abschnitt. § 87. 

2. Nennen wir die Form T die zu der Basis (a.) von a 
gehörige Form, so sind die zu verschiedenen 
positiven Basen desselben Ideals gehörigen 
Formen äquivalent. 

Bezeichnen wir die konjugierten Werte von «,, cog mit 

und setzen 

(10) «g,,. = 2^«s,l'«^»■, 
so ergibt sich 

(11) (2: + «1,1 «2,2 ... «»,«)' = iV(a)2z/, 

wenn ^ die Grundzahl des Körpers ß, nämlich das Determinanten- 
quadrat: 

^ = (^ + «1,1 «2,2 ... (^n,r^^ 

ist (Bd. II, § 162). 

Sind Ai, Aa, . . ., A„ die konjugierten Werte von A, so ist 
nach (4) 

(12) A^ = UUy^rtv 

eine lineare Substitution für die Variablen tv mit der Substitutions- 
determinante 

(13) r = N{a) V^, 

und durch diese geht nach (5) die Form T in das Produkt 

(14) r = [N{a)r'^i^2'--K 

über, weil N(X) das Produkt der konjugierten Werte von A ist 
(Bd. II, § 151). Wir können hierauf die luvariantentheorie (Bd. I, 
§ 65) anwenden, und wenn wir die Hesse sehe Determinante 
bilden : 

(15) H = 2J -}- —^ ,-^-= , 

so ist 

(16) W = r-^H. 

Wenn wir aber H' nach (14) in den Variablen A, bilden, und 
beachten, daß eine w-reihige Determinante, in der die Diagonal- 
glieder = und alle anderen Glieder = 1 sind, den Wert 
(— l)"-i(w — 1) hati), so folgt: 

') Man kann diesen Satz leicht beweisen, wenn man die Determinante 
durch Zufügung einer {n -|- l)ten Zeile und einer {n -\- l)ten Spalte 
erweitert, bei der in der hinzugefügten Zeile nur Einer, in der Spalte mit 
Ausnahme des letzten Elementes Nullen stehen. 



§ 88. Idealklassen und Formenklassen. 333 

H' = (- ly-'in - 1) iV(ar"(A, A, ... A„)"-^ 
= {—iy-'{n — 1) N{a)-' T"-' 
und folglich nach (13) und (16) 
(17) H = (—1)""' {n — 1) T""-'^. 

§ 88. Idealklassen und Formenklassen. 
Wir haben in Bd. II, § 170 die Äquivalenz der Ideale 
und die Idealklassen erklärt. Danach waren zwei Ideale a, b 
äquivalent. Wenn es eine ganze oder gebrochene Zahl des 
Körpers Sl gibt, die der Quotient von b und a ist, also: 

(1) 7}a = h, 

und es hat sich gezeigt, daß danach die Ideale in Klassen ein- 
geteilt werden, und daß die Zahl dieser Klassen endlich 
ist. In manchen Fällen ist es zweckmäßig, den Äquivalenzbegriff 
etwas enger zu fassen und a und b nur dann äquivalent zu 
nennen, wenn es eine der Bedingung (1) genügende Zahl }] mit 
positiver Norm gibt. Dieser Unterschied kommt natürlich 
nicht in Betracht, wenn die Normen aller Zahlen positiv sind, 
wie z. B. im imaginären quadratischen Körper. Auch dann kommt 
er nicht in Betracht, wenn es Einheiten mit der Norm — 1 
gibt, weil, wenn s eine solche Einheit ist, entweder N (rj) oder 
N{ari) positiv ist und s und erj gleichzeitig der Bedingung (1) 
genügen. 

Gibt es aber keine Einheiten, deren Norm = — 1 ist, wohl 
aber andere Zahlen in Sl mit negativer Norm, so teilt sich bei 
der engeren Definition der Äquivalenz jede Idealklasse noch ein- 
mal in zwei Klassen. Wir wollen hier den engeren Äquivalenz- 
begriff festhalten, der z. B. bei manchen reellen quadratischen 
Körpern in Kraft tritt >). 

In (1) kann r] gebrochen sein. Ist aber a eine durch a teil- 
bare ganze Zahl, so ist r] a eine durch b teilbare ganze Zahl, 
und daraus ergibt sich: Wenn 

(2) («j, «2, ..., «„) 
eine Basis von n ist, so ist 

{ßl, ßi, •••, ßn) = («1»?, «2^, •••, OCnV) 

eine Basis von b, und wenn die erste Basis positiv ist, so ist es 
(bei dem engeren Äquivalenzbegriff) auch die zweite. 

') Wenn nämlich die Feilsche Gleichung <* — J),«° = — 4 keine Lösung hat. 



334 Zelinter Abschnitt. § 88. 

Denn die notwendige und hinreichende Bedingung, daß (2) 
Basis von a sei, besteht darin, daß jede durch a teilbare ganze 
Zahl a und nur solche in der Form: 

(3) a = a^i «1 -|- ^^2 «2 -f- • • • -|- ^n ^n 

mit ganzzahligen a;,, q:<^^ ..., ic„ enthalten ist. Folglich sind alle 
Zahlen 

(4) ^ ■= x^a^r\ A^ x^^a^ri -^ '•• Ar ^n««^ 

durch b teilbar. Ist umgekehrt /J eine durch b teilbare ganze 
Zahl, so ist ^jt] durch a teilbar und folglich in der Form (3) 
darstellbar. Mithin ist /3 durch (4) darstellbar. 

Ferner ist nach der Bezeichnung von (9) und (10), § 87, 
wenn a eine positive Basis ist: 

^ i 0^1,1 C<2, 2 ••• CCw,n =^ ^X'^) -^ iL ^1, 1 ^2,2 ••• On,>M 
^ ± /5l,l /32,2 ••• /3n,w = ^{n) ^ ± «1,1 «2,2 ••• «^,«, 

= i\^(?^) N(ü) 2J ± ftJi,i 0)2,2 ..• «n,»M 



= +iV(b) 2; + «1,1 032,2 .■ 



CO 



n,ni 



und da nach (1) 

(5) N(b) = N{ri) N{ü) 

ist, so muß bei 4:-?^(b) das iDositive Zeichen stehen. 

Ist k eine Basisform von a, so ist t} X eine Basisform von 
b, und 

.fi^ ^(;i) = JV(a)T, 

^^ N{r)k) = ^A^(b) j; 

und zu den beiden Idealen a, b gehört also dieselbe Form T. 
Vereinigen wir äquivalente Formen T in eine Klasse, so können 
wir nach 2. sagen: 

3. Zu jeder Idealklasse gehört eine bestimmte 
Formenklasse. 

Bei der Beantwortung der Frage, ob zu einer und derselben 
Formenklasse verschiedene Idealklassen gehören können, machen 
wir die Voraussetzung, daß Sl ein NormalköriDcr sei: Nehmen wir 
also an, zu zwei Idealen n und a' gehören äquivalente Formen T 
und T', so ist, wenn k eine Basisform von a ist, 

(7) N(k) = N(a)T, 

und wenn wir T' durch eine lineare Substitution in T überführen, 
und unter k' eine Basisform von a' (mit denselben Variablen t 
wie k) verstehen, so ist 

(8) N{k') = N{a')T. 



§ 89. Komposition der Formen und Multiplikation der Ideale. 335 

Die linearen Faktoren von N{k) und N(k') müssen also, von 
einem konstanten Faktor abgesehen, miteinander übereinstimmen, 
weil man eine ganze Funktion beliebiger Variablen nur auf eine 
Weise in irreducible (hier lineare) Faktoren zerlegen kann (Bd. I, 
§ 20, Bd. II, § 152), und da alle diese Faktoren demselben 
Körper Si angehören, so gibt es unter den konjugierten Faktoren l' 
einen, der der Bedingung genügt: 

worin rj eine Zahl in Sl ist. Die Funktionale l und l' und dem- 
nach die entsprechenden Ideale sind also äquivalent. 

4. Gehört in einem Normalkörper zu den zwei 
Idealen a und a' dieselbe Formenklasse, so gibt 
es unter den mit a' konjugierten Idealen eines, 
das mit a äquivalent ist. 

§ 89. Komposition der rormen und Multiplikation der Ideale, 
Es seien jetzt a und b zwei Ideale in Si und 

(1) c = ab 

das aus beiden gebildete Produkt. Es seien ferner 
a = («1, «2, ..., w„), 

(2) b = (/3„/32, ..., /3„), 

C = (7n 72, --r Tn) 

Basen dieser Ideale. Da jede Zahl cchßk zu c gehört, so gibt 
es ein System ganzer rationaler Zahlen c^**^, so daß 

J' 

(3) CChßi, = I^ cJi^kYr 

wird, und da jede Zahl in c durch Multiplikation je einer Zahl 
aus a und aus b und Addition dieser Produkte entsteht (Bd. II, 
55 169), so ist auch umgekehrt 

(4) Ys = '2j\4:!icOCnßk, 

worin die «/f/fe gleichfalls ganze rationale Zahlen sind. 
Setzt man (3) in (4) ein, so folgt 



(5) 


y, = iy/zai^cl':^,, 


und daraus 




(ß) 


'^<A:. = (r^^^ 


worin 





(r, r) = 1, (r, s) = 0, r + .s. 



336 Zehnter Abschnitt. § 89. 

Bezeichnen wir also mit Xr Variable und setzen 

r 

so folgt: 

(8) Xs ^ ^ o>hX ijh, k- 

Jetzt bedeuten ^(,., v,., f,. drei Systeme von Variablen und 

(9) . V = 2;/3,i;,, 

/L = Z' }^^ f ,. 
Basisformen von a, b, c, ferner U^ F, T die zu a, b, c gehörigen 
Formen, in den Variablen «, r, ^ geschrieben. Es ist dann 

iY(iit) = .V(n) ts 

(10) N{v) = iV(b) 7, 

N{X) = N(s)T. 

Es ergibt sich also aus (3) durch Multiplikation mit u^Vk 
und Summation nach (9): 

r h,k 

(11) ^v = ZyrIJ o',i- Ih l'k , 
also, wenn man. 

(12) tr = 2 C^H^cUuVk 

setzt: 

(13) ^ V = A, 

und daraus, da K(a)N(b) = iV(c), ist nach (10) 

(14) T = C7F. 

Darin sind aber die U nicht mehr unabhängige Variable, 
sondern sie gehen durch die bilineare Substitution (12) aus 
W;„ Vh hervor. 

5. Die Form T geht durch die bilineare Substitution 
(12) in das Produkt der beiden Formen CT, V über. 
Diese Substitution hat aber noch eine wesentliche Eigen- 
tümlichkeit. Wir nennen die durch (12) bestimmten Funktionen /,. 
nach einem Primzahlmodul p linear unabhängig, wenn 
aus der Kongruenz 

(15) Uxrtr ^ (mod j>), 

in dem die Xr ganze rationale Zahlen sind, folgt, daß diese 
Zahlen alle durch p teilbar sind. Findet dies für jede beliebige 
Primzahl j) statt, so heißen die t,. schlechthin linear unab- 
hängig. 



§ 89. Komposition der Formen und Multiplikation der Ideale. 337 

Die Kongruenz (1.5) ist nach (12) und (7) gleichbedeutend 
mit den w^- Kongruenzen 

yh,i, = ^XrC^\ = (mod p) 
und aus ((i) folgt alsdann: 

Xs ^ (mod j;), 
und dies besagt, dalJ die Substitutionen (17) für jeden Modul j> 
linear unabhängig sind. 

Nach Gauss (Disq. aritm. art. 235) heißt eine Form T 
aus den beiden Formen JJ^ V komponiert oder zusammen- 
gesetzt, wenn T durch eine bilineare Substitution für 
die Variable /, deren Gleichungen für jeden Modul linear 
unabhängig sind, in das Produkt JJ V übergeht. 
Danach haben wir den Satz: 

6. Die Form, die zu dem Produkt zweier Ideale a, h 
gehört, ist aus den Formen der Ideale n und b 
komponiert 1). 



') Die Sätze, die Gauss an der erwähnten Stelle durch sehr weitläufige 
Rechnung für binäre quadratische Formen beweist , sind hier in größter 
Allgemeinheit durch einfache Betrachtungen abgeleitet. Vgl. Dirichlet- 
Dedekind, Yorlesuugeu über Zahlentheorie, § 182. Für binäre quadratische 
Formen: Dedekind, Grelles Journal, Bd. 129; H. Weber, Göttinger Nach- 
richten 1907. 



Weber, Algebra. lU. 



Elfter Abschnitt. 

Ideale in (luadratischen Körpern. 



§ 90. Diskriminante des quadratiselien Körpers. 
Ein quadratischer Körper entsteht, wenn_ man dem Körper 
der rationalen Zahlen eine Quadratwurzel \d adjun giert, hier 
kann d als ganze Zahl ohne quadratischen Teiler an- 
genommen werden. Der Körper ist reell oder imaginär, je nach- 
dem d positiv oder negativ ist. Bezeichnet man den Körper der 
rationalen Zahlen, den absoluten Rationalitätsbereich, mit 9i und 
mit 9t (ir, x', . . .) den Körper, der durch Adjunktion von x, ^', ... 
zu 'M entsteht, so ist der quadratische Körper ü so zu bezeichnen: 

(1) ^^ = 9t(Vf?). 

Jede Zahl des Körpers Sl kann in die Form gesetzt werden: 

(2) CO = ^/ ^ , 

worin ir, y rationale ganze oder gebrochene Zahlen sind. 
Die zu CO konjugierte Zahl 

(3) »' = *-^fVZ 

ist gleichfalls in dem Körper Sl enthalten, und folglich ist Sl ein 
Normalkörper. 

Damit co eine ganze Zahl sei, ist notwendig, daß 
CO -]- co' ^= x\ ia — w')'^ = y-d 
ganze rationale Zahlen sind, und da d keinen quadratischen Teiler 
haben soll, so müssen x und y ganze Zahlen sein. Damit aber 
auch CO wirklich eine ganze Zahl sei, muß auch noch die Norm 
V* (^' — V' ^) 611^6 ganze rationale Zahl sein, d. h. es muß 

(4) a;2 — ?/2c? = (mod 4) 

sein. Ist d ^ 2 oder ^ 3 (mod 4), so kann diese Bedingung 
nur erfüllt sein, wenn x und y gerade Zahlen sind, und wenn 
wir also ar, y durch 2 rr, 2y ersetzen, folgt: 



S 90. 



Diskriminante des quadratischen Körpers. 



339 



1. Ist d ^ 2, o (mod 4), so sind alle und nur die 
Zahlen des Körpers Sl ganz, die in der Form 

X -^ y ^a 
mit ganzem rationalen ic, y enthalten sind. 

Ist aber d ^ 1 (mod 4), so ist (3) befriedigt, wenn x und y 
beide gerade oder beide ungerade sind, also wenn x die Form 
2 Xi — y hat. Ersetzt man dann wieder x^ durch x, so folgt: 

2. Ist d ^ l (mod 4), so sind alle und nur die Zahlen 
in Si ganz, die in der Form 

1 4- )/d 



y 



2 



mit ganzen rationalen :r, y enthalten sind. 

Es ist also im Falle 1. (1, ^ß), im Falle 2. U, ~^ 'f ) 

eine Minimalbasis des Körpers ß. Die Grundzahl oder Dis- 
kriminante des Körpers ü ist also im Falle 1.: 

1, v^ ' 
1, — Vt^ 



(5) 

im Falle 2 



z/ 



(6) 



z/ = 



1, 



1, 



= 4rf, 

1 -f yjd |2 



1 — ^d 
2 



In beiden Fällen kann man also die ganze Zahl co in die 
Form setzen: 



mit der Bedingung, dali 

(8) 4N{cj) = x^ — z/^2 



(mod 4) 



sei. 



Die beiden Formen der Minimalbasis, die wir erhalten haben. 



uämHch (1, yjd) und ( 1, T' ' ), sind also: 



(y) 



(1, ö) = 
1,=^ 



(1, \]lzJ), z/ = 0, 
f yz/\ , , (mod 4). 



zJ 



1. 



Hierin kann das Vorzeichen von jz/ in beliebiger Weise be- 
stimmt werden, soll aber dann in derselben Betrachtung fest- 
gehalten werden. Wir wollen ein für allemal annehmen: 

22* 



340 Elfter Abschnitt. § 91. 

3. Wenn /i positiv ist, soll Vz/ gleichfalls positiv 
sein, und wenn A negativ ist, soll — ^yz/ positiv, oder 
y^/ positiv imaginär sein. 

Aus (1), (2) ergibt sich noch: 

4. Die Grundzahl eines quadratischen Körpers ist 
immer ^ oder ^ 1 nach dem Modul 4 und hat, außer 4, 
keinen quadratischen Teiler. Sie ist also Diskriminante 
und zwar Stammdiskriminante. 



§ 91. Ideale und Formen in quadratischen Körpern. 

Ist a ein Ideal des quadratischen Körpers ß, a^, «^ eine 
positive Basis, und 

(1) Ä = «1 fi 4- «2 h 
eine Basisform von ci, so ist 

(2) iV(A) = («1 1^ + a^ t,) {a\ t, + w^ ^2) = N{^) T, 

und jSf(a) ist der größte gemeinschaftliche Teiler der drei ganzen 
rationalen Zahlen 

Setzen wir also 

(3) WiC«2 -|- «2^1 ^ i'N(a)^ 

80 ist 

(4) T = at,' ^ ht,U^ c q 

die zur Basis «j, «2 gehörige Form. Wir bezeichnen sie, wenn 
es auf die Bezeichnung der Variablen nicht ankommt, mit 

(5) tp = (a, b, c). 

Es ist eine primitive quadratische Form, deren Diskriminante 

(6) . z/ = ^/2 _ 4^^c 

gleich der Grundzahl des Körpers 5i ist (§ 87). Um die Basis 
«1, «o nach Bd. II, § 1B3 zu bilden, suche man zunächst die kleinste 
durch a teilbare natürliche Zahl «n und hierauf die kleinste 
natürliche Zahl a-^^i für die sich eine rationale, der Bedingung 

(7) ajo -|- «22^^ ^ (mod a) 

genügende Zald «12 bestimmen läßt. Da die Kongruenz (7) für 
«22 = «11 befriedigt werden kann, nämlich durch «12 = 0, so 



>? 91. Ideale iiud Formen in (quadratischen Körpern. 341 

folgt, daß «11 durch a^o teilbar ist, und wir setzen «i, = «,2 '''• 
Dann haben wir die Basis von a : 

(,S\ «1 = «22 «? 

C<2 =" "l2 + «22^- 

Es ist dann nach Bd. II, § 164, (12): 
(9) ^'(a) = ala«, 

und wenn wir für (1, Ö) die Basis § 90, (9) nehmen, so ist 
8 -\- (f = oder = — 1, 

^^^^ ^y^/ = _|^oder==l^- 

■* 4 

Je nachdem z/ ^ 0, oder ^ 1 (mod 4) ist, und 

(0 — ey = /i. 

Es wird dann in diesen beiden Fällen, wenn man (8) in (3) 
substituiert und (9) berücksichtigt: 

«22 & =^ 2 «12 oder = 2 «ig — «22? 
und folglich in beiden Fällen: 

ö 4- V^ 

(11) «1 = «22«, «2 = «22 -^ 5 

und die Form 

T = («, 6, c) 

hat hier einen positiven ersten Koeffizienten. 
Setzen wir 



«2 



(12) CO = _ , 
^ «1 2 « 

so ist CO Wurzel der quadratischen Gleichung: 

(13) «a}2-fia9-fc = 
und 

(14) k = «22 «(^ — CO If) 

ist ein dem Ideal a entsprechendes Funktional und zugleich eine 
Basisform von a. « ist die kleinste positive ganze Zahl, für die 
« 03 eine ganze Zahl wird. 

Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß zwei 
ganze Zahlen «i, «2 des Körpers Sl die Basis eines Ideals bilden, 
besteht darin, daß zunächst «i, «2 eine Basis des Körpers Sl ist, 
utid daß, wenn «1, «2 eine Minimalbasis dieses Körpers ist, 

«1 Wi , «0 fOi , «1 «2 5 ^2 ^"52 

durch die Linearform 

A = «1 fi -4 «2 ^2 



342 Elfter Abschnitt. § 92. 

mit ganzzahligen ^j, ^2 darstellbar sind (Bd. II, § 163, 164). Denn 
dann ist, wenn a durch k darstellbar ist, auch jedes Produkt taa 
durch A darstellbar. Für unseren Fall reduziert sich diese Be- 
dingung darauf, daß a, ^, «2 U durch A darstellbar sein müssen. Ist 
aber («, &, c) irgend eine quadratische Form der Diskriminanten A 
mit positivem ersten Koeffizienten a, so können wir für {) auch 
2 ^^' 4" V'^) nehmen und da 

ist, so ist (11) immer die Basis eines Ideals in i2. Dabei kann 
die positive Zahl «22 willkürlich angenommen werden. Setzen wir 
«22 = 1) so ist 

(15) A = a (,r — my) 

Basisform eines durch («, 6, c) völlig bestimmten Ideals a, dessen 
Norm gleich a ist, und eine Basis dieses Ideals ist 

(16) (ff, «w). 



§ 92. Primideale im quadratischen Körper. 

Eine Primzahl ]) ist im quadratischen Körper i2 entweder 
selbst noch unzerlegbar und ist dann ein Primideal zweiten 
Grades oder es zerfällt \) in zwei Primideale ersten Grades p, p'. 
Wir haben hiernach zwei Fälle zu unterscheiden: 

a) ^) = p in ß unzerlegbar: iV(p) = i^^ 

b) ^^ = PP' .Y(p) = .A^(p') = 2?, 
und im letzten Falle können die beiden Primideale p, p' entweder 
voneinander verschieden oder auch gleich sein, so daß wir noch 
einen dritten Fall unterscheiden können: 

c) p = p2, N{1)) = /;. 

Es handelt sich nun darum, die Bedingungen zu ermitteln, 
unter denen der eine oder der andere dieser Fälle eintritt. 

Wenn jSf(p) = p ist, so ist p die Anzahl der inkongruenten 
Zahlen (mod p) in Sl und folglich ist in diesem Fall jede Zahl 
in ii einer der rationalen Zahlen r: 
(1) 0, 1, 2,...,^;- I 

kongruent. 

Ist dagegen A"(p) ■= p-, so gibt es auch Zahlen, die nach p 
nicht mit einer rationalen Zahl kongruent sind. 



i) 92. Primideale im quadratischen Körper. 343 

Wenn aber (1, (I) eine Basis von Sl ist und, um beide Fälle 
von § 90, (9) zu umfassen, _ 

— z/ + V^ 

(2) = 2 

angenommen wird, so ist im Falle a) 

() nicht kongruent mit einer Zahl r, 

im Falle b) oder c) 

^ r (mod p), 

wenn man also — x = 2r -\- zl setzt, so folgt: 

1. Die notwendige und hinreichende Bedingung für 
das Eintreten eines der Fälle b), c) ist die, daß es 
eine rationale ganze Zahl gibt, die mit J zugleich 
gerade oder ungerade ist, für die 

(3) -'^/^ = (mod p). 
Ist p' das mit p konjugierte Ideal, so ist 

(4) ~-^'^^"^ = (mod p'), 

und daraus folgt 

(5) x^ ^ /J (mod 4/)). 

Ist umgekehrt die Kongruenz (5) durch x = r befriedigt, so ist 

-^ ^-^ = (mod p), 

und folglich genügt entweder x ^= r oder x ^ — r der Be- 
dingung (3). 

Die beiden Ideale p, p' werden dann miteinander identisch 
sein, wenn die beiden Zahlen (3) und (4) und folglich auch ihre 
Summe V z/ durch p und mithin z/ durch p teilbar ist. Dann ist 
X ^ oder x ^p (mod 2p) die einzige Wurzel von (5). 

Wir haben also das Resultat: 

2. Der Primfaktor p der natürlichen Primzahl p ist 
vom zweiten Grad, wenn die Kongruenz (5) keine 
Lösung liat, vom ersten Grad, wenn (5) eine Lösung 
hat, und p ist das Quadrat von p, wenn (5) nur 
eine Lösung hat, wenn also p in z/ aufgeht. 

Das letztere ist in Übereinstimmung mit dem allgemeinen 
Satze Bd. II, Ji 174. 



344 Elfter Abschnitt. § 93. 

Mit Benutzung des Symbols (z/, p), das wir in § 85 ein- 
geführt haben, können wir diesen Sätzen auch die Form geben: 

o. Ist {^, p) = — 1, so ist ^ unzerlegbar in £1. 

„ (^, i>) = -|-1? so zerfällt p in zwei verschie- 
dene konjugierte Primideale. 
., {'^1 p) = 0, so ist^ das Quadrat eines Prim- 
ideals. 

§ 93. Darstellung von Zahlen als Idealnormen. 

Eine Primzahl p ist nur dann die Norm eines Ideals, wenn 
(^, p^ = -\-\ oder = ist, nicht aber, wenn (z/, p) = — 1 ist. 
Im letzten Falle ist erst p^ eine Norm, nämlich die von ^j. Im 
allgemeinen kann eine positive ganze rationale Zahl m auf mehr- 
fache Art als Norm dargestellt werden. Wir wollen die Anzahl 
dieser Darstellungen für den Augenblick mit t/; (ni) bezeichnen 
und näher bestimmen. 

Wir nehmen zunächst m als Primzahlpotenz p'' an. Ist dann 
(z/, p) = -\-l und 2) = p p', so kann man p)^ in folgender Weise 
darstellen: 

(1) p^ = N{p^), N{p^-^\>'), N(p^-^p'^), ..., N(lV^), 
und es ist daher 

(2) {zt,p) = +1: i^ip') = h^l. 

Ist aber (^, i>) = — 1, so ist, wenn h gerade ist, p^^ = N{p^^^^), 
wenn k ungerade ist, p nicht als Norm darstellbar. Es ist also 

(3) (z/, p) = —1: i'{p^) = oder = 1, 

je nachdem h ungerade oder gerade ist. 

Ist endlich (z/, /)) = 0, also p in z/ enthalten, so ist j) = p2 
und p^' = N{p^); also: 

(4) (zi,p) = <): rPip'^) = 1. 

Man kann diese drei Fälle in eine Formel zusammenfassen: 
Die Zahl p'' hat nämlich die folgenden k -f- 1 Teiler: 

(5) 1, p, i>'\ .... y>. 

Phul daher geben die Formeln (2), (:{), (4), wenn ni = y>''' ist, 
und n die Teiler von m durcliläuft, 

(6) 4- ("0 = 2: (z/, n). 



§ 94. Das quadratische Reziprozitätsgesetz. 345 

Dieser Ausdruck gilt aber allgemein. Denn sind m^ und m^ 
relativ prira und ist 

nh = -^'(mi), nh = iV(ni2), 
so ist 

m = mim.2 = 1^ {m^m^. 

Man kann also aus einer Darstellung von »jj, m^ als Normen 
eine Darstellung von m als Norm ableiten. 
Ist ^ umgekehrt 

m^ni^ = N{\\\) = mm', 

wo m, m' konjugierte Ideale sind, so muß, wenn m^^ und m durch 
ein Primideal p teilbar sind, m^ auch durch p p' teilbar sein, also 
ist auch m-^ = ^ (ni]) und ebenso Wi = N(m2). 

Demnach gilt, wenn m^ und m^ relativ prim sind: 

(7) i' ('>Wi) i^ (w^2) =^ rp (m^ m^). 

Andererseits ist, wenn «^ und Wg die Teiler von ni^ und m^ 
durchlaufen, 

2:(z/, Wj) 2;(z/, W2) = 2:(z/, n^n^), 

und damit ist die Formel (6) allgemein nachgewiesen. Wir 
sprechen dies als Satz aus: 

4. Eine natürliche Zahl m kann in dem quadratischen 
Körj^er ü mit der Grundzahl z/ auf 

2:(z/, n) 

verschiedene Arten als Norm eines Ideals dar- 
gestellt werden, wenn n die sämtlichen Teiler 
von m durchläuft. 

i^ 94. Das quadratische Reziprozitätsgesetz. 

Aus der Zerlegung der Primzahlen im quadratischen Körper 
leitet Dedekind einen neuen Beweis des Reziprozitätsgesetzes 
der quadratischen Reste her 1). 

Nach Bd. II, § 167, 3. ist die notwendige und hinreichende 
Bedingung dnfür, daß das in der Primzahl p aufgehende Prim- 
ideal p (in irgend einem Körper Sl) vom ersten Grade sei, die, 
daß für jede ganze Zahl co des Körpers Sl 

(1) coP ^ CO (mod p), 



') Dirichlet-Dedekind. Zahlentheorie, 4. Aufl. (S. 6:Ui, Anm.). 



346 



Elftei' Abschnitt. 



§ 94. 



und dies reduziert sich in unserem Falle des quadratischen 

Körpers darauf, daß 

(2) (JP = ü (mod p) 

sein muß. 

Nehmen wir z/ = — 4, so ist 6/ = i = ]■ — 1 und die Kon- 
gruenz (2) wird 

?>-' = 1 (mod p). 

Da nun (1 -|- i) (1 — - ^) = 2, also weder 2 noch (1 + «) für 
ein ungerades }) durch p teilbar sein kann, so muß ?'^— ^ = 1, 
also p — 1 durch 4 teilbar sein. 
Demnach folgt aus § 92, 2.: 
1) Die Kongruenz 

i'2 ^ — 4 (mod 4^^), 
oder, was dasselbe ist, 

,r^ ^ — 1 (mod jj) 
hat dann und nur dann Lösungen, wenn p ^ 1 (mod 4) ist. 
Nehmen wir zweitens z/ = 8, so ist (I = j"^, oder, wenn 
r = yr eine 8te Einheitswurzel ist, 

e z= r ^ r-\ 
und die Bedingung (2) läßt sich nach dem binomischen Satze 
so darstellen: 

rP -f- r~P ^ r -\- r^'^ (mod p). 
Dies fordert: 



also: 



{rP — r) {rP — r— ^) t-p ^ (mod p), 
fP ^ y oder rP ^ r~^ (mod p), 

rP"-^ = 1, i^~ 



1^0 (mod p), 
und daraus folgt wie oben für ein ungerades p: 
i> = + 1 (mod 8). 
2) Die Kongruenz 

.«2 ^ 2 (mod p) 

ist also dann und nur dann lösbar, wenn j) ^ \ oder 
l> ^ — 1 (mod 8) ist. 

Endlich setzen wir, wenn q eine ungerade Primzahl ist. 

(3) ^ = ±<l 



§ 95. Äquivalente Formen und Ideale im quadratischen Köi'per. 347 

und bestimmen das Vorzeichen so, daß +2^1 (mod 4) wird. 
Es ist in diesem Falle 

,. _ - 1 + V±^ 

und diesen Ausdruck können wir durch ^te Einheitswurzeln dar- 
stellen. Es bedeute r eine imaginäre qte Einheitswurzel und es 
durchlaufe a die quadratischen Reste, b die Nichtreste von q. 
Wir setzen, wie in Bd. I, J^ 179 

(4) Ä = Ir«, B = 2Jr^ 

und haben nach den dortigen Formeln (3), die ohne Benutzung 
des Reziprozitätsgesetzes abgeleitet sind: 

(5) = A, 0' = B. 

Das Vorzeichen von y + 5 hängt von der Wahl von r ab, 
kommt aber hier nicht in Betracht. Nun ist nach dem poly- 
nomischen Lehrsatz: 

Ap = ErP'\ Bp = i:rP'', 
also 

Ap = A, Bp = B, wenn ^^-) = +1, 

Ap = B, Bp = A, wenn {^\ = — 1. 

Da A nicht kongruent B ist, wenn p von q verschieden ist, 
so folgt hieraus und aus 2. des vorigen Paragraphen: 

3J Die Kongruenz 

x- ^ j:_q (mod |)) 
hat dann und nur dann Lösungen, wenn ]> quadratischer 
liest von q ist. 

Und dies ist das Reziprozitätsgesetz mit seinen Ergänzungs- 
sätzen. 

ij 95. Äquivalente Formen und Ideale im quadratischen Körper. 

Wenn die beiden Ideale [^ 91, (16)] 

(1) n = (a, aw), a' = (a, a'w') 

äquivalent sind, so gibt es eine (ganze oder nicht ganze) Zahl ?; 
in Sl, für die t] a' = a ist, und diese Zahl rj ist durch die Ideale 
n, a' selbst bis auf einen Faktor, der eine numerische Einheit 



und 



348 Elfter Absclinitt. § 95. 

ist, bestimmt. Es muß also vier ganze rationale Zahlen 
K, /3, y, d geben, die der Bedingung 

rja' = a{a — y «), 
^ ■' ri a' CO' = a{—ß ^ 8co) 

genügen. Bezeichnen wir für den Augenblick mit j^j, «i, Gi\ die 
zu »2, 05, o' konjugierten Zahlen, so ist hiernach 



1, 09' 

1, co\ 



a^ — y 1 , CO 



also: 

a'^'rjr]i{co' — co\) = a^{ad — ßy) (co — co^), 

und da nach § 91, (12): 

a{co — 03j) = a' {co' — co'i) = — ]'zJ 
ist, so folgt hieraus, wenn 

s z= ad — ßy 
gesetzt wird, 

(3) a a ^= a' n] rj^ ; 

wenn also, wie wir schon angenommen haben, a und a' positiv 
sind und (nach dem verschärften Äquivalenzbegriff) i] rj^ positiv 
ist, so ist auch e positiv. 

Vertauschen wir aber a mit a', so geht 7] in I : t] über und 
s mag in s' übergehen. Demnach folgt auch 

(4) a'e' = -^, 

VVi 

und folglich e s' =^ l. Da aber s und f' positive ganze rationale 
Zahlen sind, so folgt hieraus s = a' = l. Also nach (2) 

/ —ß — öco aco' -}- ß 

(5) CO = , CO = , ^ , 

^^ « — yco y«-(-o 

ab — ßy = 1. 

Nun sind co und co' die Wurzeln der beiden Formen 

(a, b, c), (a', 6', c') [§ 91, (13)], 

und durch (5) ist die Äquivalenz dieser Formen ausgedrückt. 

Wir haben daher, übereinstimmend mit der allgemeinen Theorie 

(§ 88) den Satz: 

5. Die zu äquivalenten Idealen gehörigen quadra- 
tischen Formen sind ii(|uivalent. 
Man erkennt hieraus die Bedeutung des verschärften Äqui- 
valenzbegriffes: Wollte man nämlich auch negative W^erte von 
JV(t;) zulassen, so könnten auch £ = ^ 1 und die entsprechenden 
Formen uneigentlich äquivalent sein. 



§ 95. Äquivalente Formen und Ideale im quadratischen Körper. 349 

Es seien nun umgekehrt (p = (a, />, c), cp' = («', h\ c') zwei 
äquivalente Formen mit positiven ersten Koeffizienten 
(/, «', und 

Dann gibt es eine lineare Substitution ( ' \, I mit der Determi- 

\y, dj 

nante -f- 1, durch die (a, />, c) in (a\ h\ c') übergeht. 

Es ist dann 

a' := a a^ -\- h a y -\- c y'^, 

(7) // = 2aaß -^ h{ad 4- ß}')-{- <■ 7 ö, 
c' = aß-' -}-hßS ^ cd2, 

(8) « = ^^^^^ -'= '"~J ^ 

y CO -\- — y CO -\- a, 

und eine kleine Rechnung zeigt, daß co und co' entsprechende 
Wurzeln, d. h. Wurzeln mit dem gleichen Vorzeichen von ] zi sind. 
Demnach erhalten wir für die zu cp und cp' gehörigen Ideale 
a, a' zwei Basisformen: 

A = a (.r — CO ?/), 

k' = ii'(x' — co'y'), 

und nach (8) ist 

^ ^ g [(d a-- — ^ y) -j- (7 .r — cc ?/) co'\ 
y co' -{- 6 
Setzt man also 

x' = Ö ./• — /3 y, y' z= —yx ^ K y, 
so folgt 

; — ^t .» 

da «:a' (y ro' -[- <3) eine Zahl in ü ist, so folgt, daß Q und q' 
äquivalent sind. 

Wir haben also wieder in Übereinstimmung mit dem all- 
gemeinen Satz § 88, 4. und zugleich in näherer Bestimmung: 

6. Sind (a, h, c) («', //, c') zwei äquivalente Formen 
mit positiven ersten Koeffizienten, und sind co, co' 
entsprechende Wurzeln dieser Formen, so sind 
die Ideale (a, aco) und («', a' co') äquivalent. 
Bei negativer Diskriminante haben die ersten Koeffizienten 
äquivalenter Formen immer dasselbe Vorzeichen, und man berück- 
sichtigt nur die Formen, in denen dieses Vorzeichen positiv ist. 



350 Elfter Abschnitt. § 95. 

Bei positiver Diskriminante gibt es in jeder Formklasse Formen 
mit positiven ersten Koeffizienten, und daher entsprechen sich 
Formeuklassen und Idealklassen in eindeutiger Weise. 
Eine Basis des Hauptideals rj ist (?;, tj 0) und 

Sind X, y ganze rationale Zahlen und 
n ^ X ^ yO, 
so ist diese Basis in den beiden Fällen: 

K, «2) = f-K + !/^^ -^4-fjxj, 

(< 1 \ 

X -^ yo, y -^ h (*■ — y) Oj 

und die Substitutionsdeterminante A [§ 87, (1)] ist 

.r2— -^2, ^2 _ j.y J^ ^-?/2 = N(r}). 

Die Basis («i, cco) ist also positiv, wenn die Norm von rj positiv 
ist (sonst müßte «j mit cc^ vertauscht werden). Aus der Basisform 

erhält man 

und danach wird T die Hauptform 

0) (1,0, a (1,-1 +'-^ 



47' V ' ' 4 

Wäre N{ri) negativ, so würde man für T die Formen 

— ^\ / , , , — 1 — z/^ 



-1, 0, — j, ^-1, +1— ^ 

erhalten haben, und diese sind mit (ü) nur dann äquivalent, wenn 
die Feilsche Gleichung P — zl u^ = — 4 löshar ist. 



Zwölfter Abschnitt. 

Ordnungen im quadratischen Körper^). 



§ 96. Diskriminanten der Ordnungen. 

1. DefinitioD. Ist Q eine natürliche Zahl, so heiiit 
die Gesamtheit der ganzen Zahlen des quadrati- 
schen Körpers ß, die nach dem Modul Q mit 
einer rationalen Zahl kongruent sind, eine Ord- 
nung, und Q heißt der Führer dieser Ordnung. 

Die Ordnung mit dem Führer Q wird mit [Q] bezeichnet. 

Es ergibt sich aus dieser Definition: 

1. Alle rationalen ganzen Zahlen gehören jeder Ord- 
nung an; 

2. Summe, Differenz und Produkt zweier Zahlen der 
Ordnung gehören derselben Ordnung an; 

d. h. man kann innerhalb der Ordnung Addition, Subtraktion 
und Multiplikation unbedingt ausführen, nicht aber allgemein 
die Division. 

Die Gesamtheit aller ganzen Zahlen des Körpers Sl bilde 
gleichfalls eine Ordnung (vom Führer 1), die Hauptordnung, 
die also mit [1] zu bezeichnen wäre. 



') Dedekind hat den Ausdruck Ordnung in der allgemeinen Theorie 
der algebraischen Zahlen eingeführt , weil sie in dem besonderen Fall des 
quadratischen Körpers den Ga ussschen Ordnungen der quadratischen Formen 
entsprechen. Hubert gebraucht dafür den Ausdruck „King" oder „Zahl- 
ring". Vgl. Dirichlet-Dedekind, Vorlesungen über Zahlentheorie (§ 172 
der dritten, § 170 der vierten Auflage). Dedekind: Über die Anzahl der 
Idealklassen in den verschiedenen Ordnungen eines endlichen Korpers, Fest- 
schrift zur Säkularfeier von Gauss' Geburtstag, Braunschweig 1877. 
Hubert: Die Theorie der algebraischen Zahlen, Bericht der Deutschen 
Mathomatischen Vereinigung von 1S94/95, Kap. IX. 



352 Zwölfter Abschnitt. § 9G. 

Wir setzen, wenn z/ die (rnindzahl des Körpers Sl ist, je 
nachdem z/ gerade oder ungerade ist: 

Öo = IV^, oder 

(1) _ - 1 + V^ 

Dann ist nach ^ 90 jede ganze Zahl des Körpers Sl in der 
Form 

(2) C3 = x^yll, 

darstellbar, worin x und y ganze Zahlen sind, und diese Zahl ist 
dann und nur dann nach dem Modul Q mit einer rationalen 
Zahl a kongruent, wenn y durch Q teilbar ist, weil dann 

X — a -\- II (Iq 

Q 

eine ganze Zahl sein muß. Demnach sind alle Zahlen der Ord- 
nung [^] in der Form enthalten: 

(ö z= X -^ y QOq, 
oder in den beiden in (1) unterschiedenen Fällen, wenn 

(3) D = Q:^^ 
gesetzt wird: 

X — y^~, zJ gerade, 

{^) X — ^ y -\- y -^1 ^ ungerade, D gerade, 

Q — ^ , — 1 + V^ T. 

X — ^ — y -f y -^ — - — , JL) ungerade. 

Setzen wir also 

(I = 1^, D = (mod 4) 

I) = ~^ + y^ , D = 1 (mod 4) 

und ersetzen in den beiden letzten Formeln (4) die willkürlich 
ganzen Zahlen 

Q Q — 1 

durch x^ so erhalten wir das Resultat: 



§ 97. Ordnungen und Ideale. 353 

2. Satz. Jede Zahl der Ordnung [Q] und nur diese 
sind in der Form enthalten 

(6) CO = X ^ yO, 

worin a.\ y beliebige ganze rationale Zahlen sind. 
Wir nennen das System 

(') _ {hO) 

eine Basis der Ordnung [^]. 

Durch Einsetzen von (5) kann man die Zahlen (6) auch in 
der Form darstellen: 

(8) . = ^_±yi^^ 

wobei die x^ y ganze Zahlen sind, die der Bedingung genügen 

(9) x'^ — y'-D = (mod 4). 

Die Zahl D ist eine Diskriminante, deren Stamm z/ ist. 
Wir nennen sie die Diskriminante der Ordnung [Q]. 

§ 97. Ordnungen und Ideale. 

Es sei in ein Ideal des quadratischen Körpers Sl. Wenn alle 
durch a teilbaren ganzen Zahlen durch eine rationale Zahl m 
teilbar sind, so ist das Ideal a =r m 111 durch m teilbar ; es ist 

N(a) = m^-N{m), 
und die rationale Zahl i)iN{n\), die kleiner ist als N(a)^ ist 
durch a teilbar. 

Ist 9)1 die größte natürliche Zahl, durch die a teilbar ist, so 
wollen wir m den Teiler von a nennen. Ist der Teiler = 1, so 
heißt das Ideal primär, sonst abgeleitet. Mau erhält alle aus 
einem primären Ideal m abgeleiteten Ideale, indem man 111 mit 
beliebigen natürlichen Zahlen multipliziert, und alle aus einem 
primären Ideal abgeleiteten Ideale sind untereinander äquivalent. 

3. Satz. Ist a ein primäres Ideal, so ist die Norm 
von a zugleich die kleinste durch a teilbare natürliche 
Zahl 

Bezeichnen wir nämlich die kleinste durch ii teilbare natür- 
liche Zahl mit a, so ist die Norm von a jedenfalls durch a teilbar. 
Wir setzen 

iV(ti) = ma, 
und wenn n' das zu a konjugierte Ideal ist, so ergibt sich, da 
nach Bd. II, § 164 die Norm eines Ideals gleich dem Produkt 
der konjugierten Ideale ist, 
(1) N{(i) = aa' = ma. 

Weber, Algebra. III. 23 



354 Zwölfter Abschnitt. § 97. 

Da a durch a teilbar sein soll, so setzen wir 

a = am' = a'm 
und erhalten aus (1): 

(2) a = mm. 

Also geht m im Teiler des Ideals a auf, und damit ist der Satz 3. 
bewiesen, da, wenn Q primär ist, sein Teiler = 1 sein muß. 

4. Satz. Ist m ein jirimäres Ideal des Körpers ß, so 
ist jede ganze Zahl in ^ nach dem Modul in mit einer 
rationalen Zahl kongruent. 

Nach Bd. II, § 165 ist nämlich allgemein iV(m) die Anzahl 
der nach in inkongruenten Zahlen in Sl. Ist nun iV(iii) ^= a 
zugleich die kleinste durch iii teilbare natüi'liche Zahl, so sind 
die a Zahlen 

0, 1, 2, ..., a — 1 

alle inkongruent, und darunter sind alle Zahlklassen modulo m 
vertreten. 

Es sei jetzt [^] eine Ordnung mit dem Führer Q und der 
Diskriminante D und (1,Ö) die Basis dieser Ordnung. Ferner 
sei m ein primäres zu Q teilerfremdes Ideal. Nach dem Satz 4. 
gibt es dann eine ganze rationale Zahl f, die der Bedingung 

ii -\-t = (mod in) 
genügt. Wir setzen 

^ = — , weun D ^ 

(3) " I , (mod 4) 

i — 1^ 7) = 1 

^ — 2 ' " — 

ist, und erhalten nach § 9&, (5): 

(4) d-^t = ^ "t) = (mod in), 

worin b eine ganze rationale Zahl ist, die nach (3) der Bedingung 

h = D (mod 2) 
genügt. Außerdem sei 

(5) N{m) = «, 

also a die kleinste durch ni teilbare natürliche Zahl. 

Durch die Kongruenz (4) ist die Zahl h nur nach dem 
Modul 2a bestimmt. Denn sind h, h' zwei Zahlen, die der 
Bedingung (4) genügen, so ist ^ (b' — b) durch a teilbar. 

Da ferner 

'b -f V5\ b^ — D 



N 



e-^) = 



§ 97. Ordnungen und Ideale. 355 

eine durch m teilbare ganze rationale Zahl ist, so muß sie durch a 
teilbar sein; setzen wir sie =^ ac, so ist c eine ganze rationale 
Zahl und 

(6) I) = b^ — Aac, 

(7) h^ = I) (mod 4 a), 

und wenn die Kongruenz (7) erfüllt ist, so genügt auch jede mit b 
nach dem Modul 2 a kongruente Zahl b' derselben Kongruenz. 
Wir schließen hieraus: 

5. Satz. Jedes primäre zu Q teilerfremde Ideal ni, 
dessen Norm = a ist, liefert uns durch (4) eine und nur 
eine Wurzel b der Kongruenz (7), wenn als Wurzeln 
nicht einzelne Zahlen, sondern Zahlklassen nach dem 
Modul 2 a betrachtet werden. 

Die beiden Zahlen 

können, wenn a relativ prim zu Q ist, nicht beide durch eine 
und dieselbe rationale Primzahl teilbar sein; denn sonst müßte 

MiV^ _ LnJ^ _ VT) 

2 2 ' 

durch p teilbar sein; also wäre D durch p^ teilbar und jj müßte 
ein Teiler von Q sein, gegen die Voraussetzung. 

Für ein ungerades p ist dies evident, für j) = 2 aber würde 
folgen : 

^ = (mod 2), b^ — D = (mod 16), 
und mithin 

I) = 0, 4 (mod 16). 
Es wäre also Z)/4 noch Diskriminante und 2 müßte in Q auf- 
gehen. Damit ist bewiesen: 

6. Satz. Ist a eine zu Q teilerfremde natürliche Zahl 
und b eine Wurzel von (7), so erhält man ein bestimmtes 
primäres Ideal m als größten gemeinschaftlichen Teiler 
der beiden Zahlen (8). 

Jetzt beweisen vnr: 

7. Satz. Jede durch das primäre Ideal m teilbare, zu 
Q teilerfremde Zahl ft der Ordnung [Q] ist in der Form 

(9) ^ = a.v^ \^' y 

einmal und nur einmal darstellbar, wenn ./', y ganze 
rationale Zahlen sind. Werden ar, y als Variable be- 

23* 



356 Zwölfter Absclinitt. § 97. 

trachtet, so heißt fi eine Basisform des Ideals m in der 
Ordnung [Q]. 

Zum Beweis bemerken wir, daß jede Zahl der Ordnung [Q] 
wegen (4) in der Form enthalten ist 

(10) . = .+ ^i^,, 

wenn y und ^ ganze rationale Zahlen sind. Ist nun m primär, so ist 

(11) N{m) = a . 

die kleinste durch m teilbare natürliche Zahl, und wenn also a 
durch in teilbar sein soll, so muß s durch a teilbar sein. Wenn 
wir also ^ = ax setzen, so erhalten wir die Form (9). Um- 
gekehrt ist evident, daß jede Zahl dieser Form durch m teilbar ist. 

Daß die Darstellung einer Zahl fx, nur auf eine Art in dieser 
Form möglich ist, folgt daraus, daß ]/D irrational ist. 

Die Form ft heißt daher eine Basisform des Ideals in in 
der Ordnung Q. Man erhält daraus eine Basisform desselben 
Ideals im Körper Sl: 

k = ax ^ ^-?— y, 

wenn h' aus der Kongruenz 

b'Q = b (mod 2 a) 
bestimmt wird, die immer lösbar ist, da Q relativ prim zu «, und 
bei geradem Q auch b gerade ist. 
Aus (9) ergibt sich 

(12) N(^) = a{ax^ -{- bxy -\- ctj2). 

Die Zahl ^, die man erhält, wenn man in (9) für x, y be- 
stimmte Zahlen setzt, können wir in Idealfaktoren zerlegen: 

fi = a ni , 
wenn 

(13) N(a) = ax^ -{- bxy -f cy'^ 
ist, und es gilt der Satz : 

8. Satz. Ist fi relativ prim zu ^, und haben x^ y keine 
gemeinschaftlichen Teiler, so ist das Ideal a primär. 

Wir beweisen ihn so: Es sei p eine in ii aufgehende rationale 
Primzahl; dann ist ^ durch p teilbar und daraus folgt zunächst, 
daß y durch p teilbar sein muß; denn eine Zahl a von der 
Form (10) kann nur dann durch eine in Q niclit aufgehende 
Primzahl p teilbar sein, wenn sowohl ?/ als ^' = ax durch p 
teilbar sind. Demnach kann, da nach Voraussetzung x und y 



I 



§ 97. Ordnungen und Ideale. 357 

relativ prim sind, x nicht durch j> teilbar sein, und es muß a 
durch ^ teilbar sein. 

Setzen wir a = j/aj, wo a^ nicht mehr durch y teilbar ist, 
und bezeichnen mit p ein in ^ aufgehendes Primideal, so muß 
wegen (11) p in m oder in m' aufgehen, und da m primär voraus- 
gesetzt war, kann p nicht ^= }) sein. Es ist daher JV(p) =j; = pp', 
und wenn in durch p teilbar ist, kann es nicht zugleich durch p' 
teilbar sein. Folglich ist m durch p'' teilbar. Es ist also nach 

der Definition von m (Satz 6) auch ^ — durch p'^ teilbar, 

folglich "'" ' — ij mindestens durch p'^+S und ax und folglich ft 

genau durch p'', während andererseits am = ft gleichfalls minde- 
stens durch p'^" + 1 teilbar ist, worin ein Widerspruch liegt. Ähn- 
liches gilt auch, wenn ]) = p"^ ist, also in z/ (aber nicht in Q) 
aufgeht. Folglich kann in a keine rationale Primzahl enthalten 
sein und a ist primär. 

Nach dem, was bisher bewiesen ist, können wir noch folgenden 
Satz formulieren: 

9. Satz. Sind 

, & 4- V^ 

^ = ax -\ 2"^— 2/ = "^^^ 

fi' = a.i'H I^J— !/'= ma' 

zwei zu Q teilerfremde Zahlen, haben weder x und y 
noch x' und y' einen gemeinschaftlichen Teiler, ist 

N{(x) = N(ü') = Ä, 
und für eine und dieselbe Zahl B 

^+^^ = (mod a) 

Ja 

= (mod a'), 

so sind die beiden Ideale ii und a' identisch, und die 
Zahlen |w., yJ unterscheiden sich nur durch einen Ein- 
heitsfaktor. 

Denn n sowohl als a' sind nach 8. primär und sind nach 6. 
definiert als größter gemeinschaftlicher Teiler von 

A und r~ 



Dreizehnter Abschnitt. 

Äquivalenz nach Zalügriipi)eii. 



§ 98. Zahlgruppen in den Ordnungen. 

Um die Beziehungen der quadratischen Irrationalzahlen zu 
den Ordnungen der (quadratischen Formen genauer zu erforschen, 
leiten wir aus den Zahlen des Körpers Sl Zahlgruppen nach 
folgenden Gesichtspunkten ab. 

1. Wir nehmen eine beliebige natürliche Zahl Q und schließen 
von den ganzen Zahlen in Sl zunächst alle die aus, die nicht 
teilerfremd zu Q sind. Von den übrigen nehmen wir auch noch 
beliebige Quotienten. 

Die so erhaltenen ganzen und gebrochenen Zahlen r] nennen 
wir fremd gegen Q. Ihre Gesamtheit sei mit bezeichnet. Sie 
bilden insofern eine Gruppe, als Multiplikation und Division 
zweier dieser Zahlen immer Zahlen desselben Systems liefern. 

2. Wir verfahren nun ebenso mit den Zahlen der Ordnung [^J, 
d. h. wir schließen alle Zahlen dieser Ordnung, die mit Q nicht 
relativ prim sind, aus und bilden auch noch die Quotienten 
beliebiger zweier der übrig gebliebenen Zahlen. Wir bezeichnen 
diese Zahlen in rj' und ihre Gesamtheit mit 0', und nennen sie 
ganze und gebrochene Zahlen der Ordnung [Q]. Die Zahlen 0' 
sind alle in enthalten und bilden gleichfalls der Multiplikation 
und Division gegenüber eine Gruppe. Wir nennen sie die 
Gruppe der Ordnung [Q] oder kurz eine Ordnungsgruppe. 

Jede Zahl r] in kann durch Multiplikation mit einer ganzen 
rationalen zu Q teilerfremden Zahl n in eine ganze Zahl co 
verwandelt werden. 

Wenn yj' eine Zahl in 0' ist, so kann man den Nenner 
rational machen und findet, daß n y]' eine ganze Zahl der Ord- 
nung \Q\ und folglich mit einer rationalen Zalil nach dem Modul Q 
kongruent ist. 



§ 98. Zahlgruppen in den Ordnungen. 359 

Da n teilerfremd zu Q ist, so kann man diese Zahl = nr 
setzen, worin r eine zu Q teilerfremde rationale Zahl ist. Dem- 
nach hat jede Zahl rj' die Eigenschaft 

(1) }]' ^ r (mod Q), 

worin r eine ganze rationale Zahl und die Kongruenz in dem 
Sinne nrj' ^ nr zu verstehen ist. 

Die Kongruenzen (1) lassen sich multiplizieren und dividieren, 
wenn man unter r-^ die der Bedingung r . »^"^ ^ 1 (mod Q) 
genügende ganze Zahl versteht. 

Umgekehrt gehört eine ganze oder gebrochene Zahl r}\ die 
einer Bedingung (1) genügt, der Gruppe 0' an. Denn ist 
nrj' = (ö ^ nr eine Zahl in [Q], so ist tj' = co : n ein Quotient 
zweier solcher Zahlen. 

3. In 0' ist nun wieder eine Gruppe Oq enthalten, die aus 
allen Zahlen rjo besteht, die der Bedingung 

(2) rjo = 1 (mod Q) 

genügen, und die Zahlen von Oq ergeben durch Multiplikation 
und Division gleichfalls wieder Zahlen von Oq. 

Wir haben also dreierlei Zahlgruppen, deren jede in der 
vorangehenden enthalten ist: 

1. enthält alle gegen Q fremden Zahlen in Sl. 

2. 0' enthält die gegen Q fremden ganzen und ge- 

brochenen Zahlen der Ordnung [Q]. 

3. Oq enthält die Zahlklassen in 0', die nach dem 

Modul Q mit der Einheit kongruent sind. 
Die Gruppen 0, 0', Oq sind unendliche Abelsche Gruppen. 
Nimmt man aber ein volles Restsystem rationaler, zu Q teiler- 
fremder Zahlen r,, rg, ..., r«, so kann jede Zahl in 0' als Produkt 
eines dieser »•» mit einer Zahl in Oq dargestellt werden, und man 
kann daher nach der in Bd. II, § 2 gebrauchten Ausdrucksweise 
setzen: 

(3) 0' = nOo + raOoH ^ r,0,, 

und ft ist der Index des Teilers Oq von 0: 

(4) ^ = (0', Oo), 
also eine endliche Zahl, nämlich: 

(5) ^ = cp{Q)== (?77(l_l), 

worin (p{Q) das in der Zahlentheorie gebräuchliche Zeichen für 
die Anzahl der Zahlklassen nach dem ^lodul Q mit zu Q teiler- 



360 Dreizehnter Abschnitt. § 98. 

fremden Zahlen bedeutet und q in dem Produkt TJ die vonein- 
ander verschieden in Q aufgehenden Primzahlen durchläuft. 
Bezeichnen wir mit 

Qii Q21 -•••> Q^ 
ein volles Repräsentantensystem der zu Q teilerfremden Zahlen 
in ß, nach dem Modul Q genommen, so ist in gleicher Weise 

(6) = Q,0,-^ Q,0, h Qr 0, 

und 

(7) V = tp(Q) = (0,0,) 
ist der Index des Teilers Oq in bezug auf 0. 

Die Zahl i'{Q) haben wir in § 168, (3) des IL Bandes all- 
gemein bestimmt, auch für den Fall, daß an Stelle von Q ein 
Ideal tritt. Da nun hier N(Q) = Q^ ist, so haben wir: 

(8) t(^)= ^'^^(l-ivV))' 

wenn q die voneinander verschiedenen idealen Primteiler von Q 
durchläuft. 

Nun ist (§ 92) 

1. JV(q) = g, wenn {^,q) = 0, 

2. JV(q) = 3, wenn (z/,g) = + 1, 

3. JV(q) = q^ wenn (z/,5) = — 1. 

Wir wollen diese dreierlei Primzahlen mit g,, q2, qs be- 
zeichnen und bemerken, daß jede Primzahl q^ die Norm von 
zwei verschiedenen Primidealen q ist. Demnach ergibt sich aus (8) 

(9) t (® = ^. ,7 (1 _ 1) // (1 _ 1)^ 77 (1 - 1). 

Nun ist der Index von 0' in bezug auf nach Bd. II, § 2 (4) : 

und 



^(ö) = e/7(i -1) 77(1 -1) 77(1 _. 

folglich ergibt sich: 

(o,o')=ei7(i-l)//(i + l), 

wofür dann auch gesetzt werden kann (nach 1., 2., 3.) 

(10) j = {0,0')=: Qn{i-^^y 



§ 99. Äquivalenz iu den Ordnungen. 361 

Darin bezieht sich das Produkt // auf alle in Q aufgehenden 
Primzahlen q. 

Wir können also ein Repräsentantensystem 

öl, 0^, ..., 6j 
in so auswählen, daß 

(11) = 6,0' -}- 6^0' -] ÖjO' 

wird. 

§ 99. Äquivalenz in den Ordnungen. 

10. Definition. Wir wollen jetzt zwei Ideale n, q' 
äquivalent nach der Ordnung [Q] nennen, wenn 

(1) a' = n'ci 

ist, und r]' eine Zahl in 0' bedeutet, ii und q' werden 
dabei immer zu Q teilerfremd vorausgesetzt. 

Nimmt man eine durch a teilbare Zahl ^ = am in [Q] so an, 
daß in ein primäres Ideal wird, und setzt fx' = tj'^, so wird: 

^^^ ^' = niü', 

und wir können die Äquivalenz von a und a' nach [Q] auch 
dadurch erklären, daß a und n' durch Multiplikation mit 
einem und demselben Ideal m in Zahlen der Ordnung [Q] 
verwandelt werden. 

Durch das Ideal m ist nach § 97 eine Schar paralleler 
quadratischer Formen (a, ^, c) bestimmt i), in der a und b aus 

(3) a = iV(m), ^-^—^ = (mod m) 

bestimmt wird. Und diese Formenschar ändert sich also nach 

(2) nicht, wenn a durch ein äquivalentes Ideal a' ersetzt wird. 

Nimmt man aber in (2) an Stelle des Ideals in ein anderes 
Ideal nii und setzt 

(4) fii = m,a, 
so ist 

ti m 

Jh ^ üh ~ '^ 
eine Zahl in [0'], also iiii ä(|uivalent mit m. 



') Unter einer Schar paralleler Formen versteht man das System 
(a,b -\- 2la, c -\- Ib i- Pa), 
wenn / alle ganzen rationalen Zahlen durchläuft. 



362 

Setzt man also 
(5) a, = N{m,) : 



Dreizehnter Abschnitt. 



§ 100. 



m, ITli 



h, 4- V^ 



^ (mod iTii), 



so erhält man eine andere quadratische Form («j, Jj, Cj), von der 
wir nachweisen können, daß sie mit (or, fe, c) äquivalent ist. 
Wir setzen zur Abkürzung: 

r,-» - - - ' ' /•.-» — - I I 



2 a 



und bemerken, daß 






rj niiini = mmi, 
m, 2 



durch in teilbare Zahlen in [^] sind [nach (5)]. Demnach lassen 
sich nach § 97, 7. die ganzen rationalen Zahlen «, /3, y, ö so 
bestimmen, daß: 
. ^«1 = «(« — r«), 

i^ajO?! = a( — /3 -|- ^f^)i 
und man beweist ganz wie in § 95, daß 

a8 — ßy -= 1 
sein muß, daß also die beiden Formen 

(rt, ft, c), («1, 6i, fj) 
äquivalent sind. Wir haben also: 

11. Satz. Jede durch ein Ideal ii repräsentierte Ideal- 
klasse nach [^] entspricht einer durch die Form (a, h^ c) 
repräsentierten Formklasse A und umgekehrt. 

Um die Formklasse A zu erhalten, nehme man ein primäres 
Ideal in der zu A reziproken Klasse AT^ und setze a = iV(iu), 

^ — ^ (mod ni). Und ist umgekehrt die Form («, h, c) 

gegeben, so ist der größte gemeinschaftliche Teiler in von 

h + jl) 

' 2 

ein Ideal der Klasse A~\ 



^ 100. Idealklassen nach den Ordnungen. 

Der Begriff der Ä(iuivalenz der Ideale und die Sätze über 
Klassenzahlen lassen sich am übersichtlichsten darstellen, wenn 



§ 100. Idealklassen nach den Ordnungen. 363 

man die Ideale nach Bd. II, § 169 durch die in Bd. II, § 153 ff. 
besprochenen Funktionale repräsentiert, weil man dabei die 
gewöhnlichen Begeln der Multiplikation und Division benutzen 
kann i). 

Wir beschränken uns hier ein für allemal in dem 
Körper Sl auf Zahlen und Ideale, die zu einer beliebig 
anzunehmenden ganzen rationalen Zahl Q (dem Führer 
einer Ordnung) teilerfremd sind. 

Nach dieser Voraussetzung bilden die ganzen und gebrochenen 
Zahlen des Körpers Sl die vorher mit bezeichnete Gruppe. 
Wir erweitern diese Gruppe durch Hinzufügung der Funktionale 
und bezeichnen die so erweiterte Gruppe mit 0. Jedem Element 
von entspricht dann ein ganzes oder gebrochenes Ideal, und 
solchen Elementen, deren Quotient eine funktionale Einheit ist, 
entspricht dasselbe Ideal. 

Ist 7] eine Zahl in und e irgend eine funktionale Einheit^ 
so entspricht dem Produkt er] ein Hauptideal. Demnach be- 
zeichnen wir 

mit E die Gruppe der funktionalen Einheiten, 
„ E „ „ „ numerischen Einheiten, 

und durch 

EO die Hauptklasse der Funktionale. 

Nehmen wir ein Repräsentantensystem 

(1) 9^1, <5P2, •••, fph 

nicht äquivalenter ganzer Funktionale in Sl, so wird jedes ganze 
oder gebrochene Funktional O in der AVeise darstellbar sein: 

wo öj ein Funktional aus EO ist, und die Idealklassen in Sl sind 
die Nebengruppen von EO in 0. Demnach ist die Klasseu- 
zahl ]i der Index des Teilers E von : 

(2) h = {Ö,E0). 

Hierbei hat man sich bei der schärferen Klasseneinteilung 
bei auf die Zahlen mit positiver Norm zu beschränken. 

Betrachten wir nun die Klasseneinteilung der Ideale nach 
der Ordnung [Q], so haben wir als Hauptklasse die Funktional- 
gruppe E 0' zu betrachten und die Klassenzahl ist 

h' = (Ö, EO'). 

') Vgl. auch dos Verfassers Abhandlung „(her Zahlengruppen in alge- 
braischen Körpern", erste Mitteilung, Mathematische Annalen 48, 438. 



364 Dreizehnter Abschnitt. § 100. 

Um hieraus die Beziehung zwischen /t und h' herzuleiten, 
machen wir von den allgemeinen Gruppensätzen Bd. II, § 2 
Gebrauch, die wir folgendermaßen formulieren und ergänzen: 

12. Satz. Ist A eine Gruppe und B ein Teiler von A 
von endlichem Index (J, B)^ ferner C ein Teiler von B 
von endlichem Index {B, C), so ist Bd. II, § 2, (4): 

(4) {A, C) = {A,B){B, C). 

Ist A wieder eine Gruppe mit dem Teiler B vom Index |u, 
so setzen wir 

(5) A = c^i jB + 0.2 -ö + • • • + «" ^' 

worin «i, «2, ..., «u ein volles Repräsentantensystem von A nach 
B ist. 

Es sei nun C eine Gruppe von Elementen, die mit den Ele- 
menten von A zusammensetzbar sind (z. B. in unserem Falle ein- 
fach durch Multiplikation), so ergibt sich aus (5): 

(6) AC = a.BC-^ a,BC -] ^UuBC. 

Nun kann in den beiden Neben gruppen a^ B C, «2 -^ C nur 
dann ein und dasselbe Element vorkommen, wenn a^ aj'^ in B C\ 
aber nicht in B enthalten ist. 

Daraus formulieren wir den Satz: 

13. Satz. Ist A eine Gruppe, B ein Teiler von A vom 
endlichen Index (A, B), ferner C eine mit A zusammen- 
setzbare Gruppe von der Art, daß A und BC außer den 
B keine gemeinschaftlichen Elemente enthalten, so ist 

(7) (AC\BC) = {A,B). 

Die Voraussetzung dieses Satzes läßt sich auch so aussprechen : 
B ist der Durchschnitt von A und B C, 
und sie ist z. B. erfüllt, wenn C in B enthalten, also B ^ B C 
ist, und auch dann, wenn C mit A kein Element gemein hat. 

14. Satz. Ist A eine aus den beiden Gruppen A' und 
B zusammengesetzte Gruppe 

(8) A = A'B 

und B' der Durchschnitt von A' und B, so ist 

(9) {A, B) = (^', B'), 
vorausgesetzt, daß diese Indices endlich sind. 

Denn nach (8) ist in jeder Nebengruppe a^ zu ^ in -4 ein 
Element a' aus A' enthalten, und man kann also diese Neben- 



§ 100. Idealklassen nach den Ordnungen. 365 

gruppen auch durch u' B darstellen, wo a' in A' enthalten ist. 
Sind dann a'iB, a'iB verschiedene Nebengruppen zu B in A^ 
so sind a'iB^ a'^B' verschiedene Nebengruppen zu B' in A' und 
umgekehrt; denn a'ia'-^T^ ist dann und nur dann in B' enthalten, 
wenn es zugleich in B enthalten ist, und daraus folgt die 
Formel (9). 

Diese Sätze wenden wir nun auf die Ausdrücke (2) und (3) 
für h und // an. Nach (4) ist 

(10) (Ö, EO') = (Ö, EO) {EO, EO'), 
also 

(11) li' = li(EO, EO'). 

Wir bezeichnen jetzt, wie schon oben, mit E die Gruppe 
der numerischen Einheiten in 0. Dann ist EE = J^, da die 
numerischen Einheiten unter den funktionalen enthalten sind, 
und jede Zahl, die in E 0' enthalten ist, ist in EO' enthalten. 
Folglich ist EO' der Durchschnitt von und EO'. Wenden 
wir also (7) an, indem wir 0, EO'., E an Stelle von J., J5, C 
setzen, so ist B der Durchschnitt von A und BC und wir 
erhalten : 

(12) {EO, EO') = {EO, EEO') = (0, E 0'). 
Es ist ferner nach (4): 

(13) (0,EO'){EO', 0') = (0, 0'), 

und wenn wir mit E' die Gruppe der numerischen Einheit in 0', 
also den Durchschnitt von E mit 0' bezeichnen, so daß E' 0' 
= 0' ist: 

{EO', 0') = {EO', E'O') = {E, E') 

(nach 2), denn E' ist der Durchschnitt von E' 0' und E. 
Also haben wir nach (13) 

(0, EO') {E, E') = (0, 0') 
und nach (12) 

{EO,EO') {EE') = (0, 0'), 
also schließlich nach (11): 

(14) {E, E')h' = (0, 0')h. 

15. Satz. Die Formel (14) gilt unverändert, wenn 0' 
nicht gerade die Ordnungsgruppe, sondern irgend eine 
in enthaltene Zahlgruppe von endlichem Index (0, 0') 
bedeutet, wenn wir zwei Ideale a, a' nach 0' äquivalent 
nennen, falls ihr Quotient a'/a = rj' eine Zahl in 0' ist. 



366 Dreizehnter Abschnitt. § 100. 

Ist E' die Gruppe der in 0' enthaltenen Einheiten, und 
hat (£", E') einen endlichen Wert, so ist die Klassen- 
zahl h' endlich und durch die Formel (12) bestimmt. 

Ist z. B. die Gruppe aller Zahlen in il (außer 0), 0' die 
Gruppe der Zahlen mit positiver Norm, so ist, falls es überhaupt 
Zahlen mit negativer Norm gibt, (0, 0') = 2. Gibt es dann Ein- 
heiten mit negativer Norm, so ist auch (£", E') = 2. Haben aber alle 
Einheiten positive Norm, so ist (E, E') = 1, und wir erhalten 
im ersten Falle h' = Ä, im zweiten Falle 2 h' = h. 

Die Äquivalenz nach ist dann die allgemeine Äqui- 
valenz, die nach 0' die verschärfte. 

Kehren wir zu den Ordnungen [Q~\ zurück und verstehen 
unter die zu Q teilerfremden Zahlen (wenn nötig nur die mit 
positiver Norm), so haben wir (0, 0') im vorigen Paragraphen 
bestimmt. 

Ist die Diskriminante D und ihr Stamm z/ negativ, so gibt 
es im allgemeinen sowohl in E als in E' nur die zwei Einheiten 
4; 1. In den beiden Ausnahmefällen z/ = — 3, — 4 enthält E 
sechs und vier Einheiten, E' aber, wenn Q ^ 1 ist, nur zwei, 
und es ist also (£", E') = 1 im allgemeinen, (E. E') = 3 im 
Falle z/ = — 3, (E, E') = 2 im Falle z/ = — 4. Also haben 
wir in diesen Fällen nach § 98, (10): 

(15) Ui' = Qn{\-^-^)h, 

worin: 

A = 2, für z/ = — 4 

(16) A = 3, „ z/ = — 3 

A = 1, „ z/ < -4 

Dies ist die Beziehung, die zuerst von Gauss abgeleitet und 
später von Dirichlet auf anderem Wege bestätigt ist. 

Ist z. B. z/ ^ 1 (mod 4), ^ = 2, so ist nach Gaussscher 
Bezeichnung h die Klassenzahl für die Formen zweiter, h' die der 
Formen erster Art. Es ist 

q(x _ (f!ll)^ =1, ^ =1 (mod 8), 



Also 



2 

= 3, ^ = b (mod 8). 

^*'^\ 'l^J (niod8), 
= 3Ä, z/ = 5 ^ ^' 

und nur in dem Ausnahmefalle z/ = — 3 kommt h' = h. 



§ 100. Idealklassen nach den Ordnungen. 357 

Ist D positiv, SO ist noch (i?, E') zu bestimmen. 
Es sei 

t -^ ui'D 
' ^ 2 

die fundamentale Einheit in und l der kleinste positive Exponent, 
für den 

t^uJD 
' - 2 

in 0' enthalten ist. Dann besteht E aus den Potenzen +£", 
und E' aus den Potenzen +b^% und es ist 

(J^, E') = A, 
und die Formel (15) gibt die Klassenzahl h'. Eine weitere 
Bestimmung läßt sich im allgemeinen für A nicht geben. 

Ist wieder ^ = 1 (mod 4) und ^ = 2, so ist A = 1 oder 
= 3; nämlich = 1, wenn in (17) u gerade ist, und = 3, wenn 
u ungerade ist. Letzteres kann nur vorkommen, wenn ^ ^ 5 
(mod 8) ist, und folglich ist für z/ = 1 (mod 8) immer A =^ 1, 
während für z/ ^ 1 (mod 8) A sowohl = 1 als = 3 sein kann. 



Vierzehnter Abschnitt. 

Komposition der Formen und Ideale. 



§ 101. Komposition in den Ordnungen. 

Es sei A die Körperdiskriminante und D = Q^ ^J die Dis- 
kriminante der Ordnung [Q\. 

Ist T =^ (a, b, c) eine primitive quadratische Form der 
Diskriminanten 1) mit positivem, zu Q teilerfremdem «, so können 
wir daraus eine Basisform A in eines zu Q teilerfremden 
Ideals a in folgender Weise bestimmen: 

Wir setzen 

(1) A = a^, +^±i^^„ 

(2) N (A) = a (a q -^ht,t^ + c tl). 

Bezeichnen wir das durch das Funktional X bestimmte Ideal, 
d, h. den größten gemeinschaftlichen Teiler von 

(S) «, ^ 

mit ci, 'so folgt aus (2) 

(4) N{a) = a. 

Hierin ist a die kleinste durch a teilbare natürliche Zahl. 
Denn ist diese kleinste Zahl a^, so muß a^ ein Teiler von a sein, 
also etwa a = «i «2- Hierin können a^, ag, h keinen gemeinsamen 
Teiler haben, denn sie können erstens nicht alle drei gerade sein, 
weil sonst a = 4 a', & = 2 6', c = c', 

' D = 4 (&'2 — 4 tt' c) 
wäre, und 4 müßte in Q aufgehen, entgegen der Annahme, daß 
a zu Q teilerfremd sei; und ebenso würde ein ungerader ge- 
meinschaftlicher Primteiler von «i, h^ «2 ^^ Q aufgehen. 



§ 101. Komposition in den Ordnungen. 369 

Setzen wir also 

SO wird 

und («1, 6, «2^) ist gleichfalls primitiv. Da nun Aj durch a teil- 
bar ist, so muß «1 durch -A (n), d. h. durch a teilbar und mithin 
= (( sein. Also ist a primär. 

Wenn wir in (1) die ]'I) ein für allemal fest bestimmen, 
z. B. positiv reell oder positiv imaginär, so ist die lineare Form k 
durch die quadratische Form T eindeutig bestimmt. Die Form 
des konjugierten Ideals würde nicht durch Änderung des Vor- 
zeichens von yi>, sondern von b erhalten. 

Es seien a und b irgend zwei zum Führer Q der Ordnung [()], 
die wir jetzt mit bezeichnen wollen, teilerfremde Ideale, und 
^ = a^Ui -^ «2 «2, 

seien Basisformen von a und b in 0. Aus a und b bilden wir 

das Produkt 

ob = c 
mit der Basisform in 0: 

(6) k = y^ti ^ y^ U- 

Die zu /Lt, v, X gehörigen quadratischen Formen mögen in 
f/, 7, T bezeichnet sein. 

1. Wir nennen l aus ft und v, T aus U und V zu- 
sammengesetzt oder komponiert. 

Wir setzen: 

T = («, 6, c), 

(7) ü = («1, 6i, Ci), 

K = («21 ^21 ^2)1 

und unsere Aufgabe ist gelöst, wenn T aus TJ und F abgeleitet 
werden kann. 

^^ Q äquivalent mit a', 

b „ „ b', 

so ist auch 

also 

und wenn also U, V durch äquivalente Formen f/', V ersetzt 
werden, so tritt auch an Stelle von T eine äquivalente Form T. 

Weber, Algebra, in. • 24 



ah „ „ a'h\ 



370 Vierzehnter Abschnitt. § 101. 

Bezeichnen wir die Klassen in 0, zu denen A, ft, v gehören, 
mit A, -B, C und bezeichnen ebenso die Klassen der quadratischen 
Formen U, F, T, so heißt auch C aus A und B komponiert, 
und man setzt symbolisch 
(8) C = AB. 

Diese Komposition der Klassen ist eindeutig bestimmt, 
wenn irgend drei Repräsentanten C/, F, T derselben gegeben sind, 
und es genügt also, wenn wir f/, F in ihren Klassen irgendwie 
passend wählen. 

In jeder Idealklasse gibt es Ideale, die zu einem beliebigen 
Ideal relativ prim sind. Wir nehmen also zunächst a in A primär, 
sonst beliebig, dann b gleichfalls primär und relativ prim, nicht 
nur zu a, sondern zu a^. Dann sind a^ und a^ relativ prim 
(denn der größte gemeinschaftliche Teiler d von «j und u^ wäre 
relativ prim zu b, und folglich wäre a^ : d durch b teilbar). Daraus 
folgt aber c? =r 1, weil «2 die kleinste durch b teilbare natürliche 
Zahl sein sollte. 

Hat man a^, a-i so bestimmt, so kann man h den beiden 

Kongruenzen ■> i / ^ ^ \ 

° ^ Ol (mod 2«i), 

^ 62 (mod 2 «2) 

gemäß bestimmen, und dann ist 

62 — J) = 4 «1 02 c 

durch 4 «j flg teilbar. Wir setzen also 

U = (cti, &, a.2 c), 

^ ^ F ^ ((/g, ^5 «1 c). 

Es ist «1 «2 f^iö kleinste durch n b teilbare ganze rationale 

Zahl, und ob ist der größte gemeinschafthche Teiler von 

b — yn ^ 

folglich ist 

(10) T == («1 «2, b, c) 

die aus U und F komponierte Form, und die den quadratischen 

Formen T, U, V entsprechenden Linearformen A, /a, v sind: 



A = «1 «2 ^1 H — 






.b-iD 

«2^1 H ^ ^2- 



§ 101. Komposition in den Ordnungen. 371 

Daraus folgt, mit Rücksicht auf 

(11) ^V = üi 6(2(111 Vj^ CU2V2) 

Macht man also die bilineare Substitution: 

"^ fg = «1 ^*l ^2 H~ f<2 *<2 ^1 -\~ ^ *<2 ^25 

SO ergibt sich 

(13) A = fi v, 
und folglich 

(14) T= UV. 

In der Forderung, daß a^ und «3 relativ j^rim sein sollen, 
liegt bisweilen eine gewisse Unbequemlichkeit, z. B. wenn es sich 
um die Komposition einer Form mit sich selbst handelt. 

Lassen wir also die Voraussetzung fallen, daß a zu b und 
«1 zu ((2 relativ prim seien, halten dagegen an der Annahme 
fest, daß 

(15) h- — Z) = 4aia2C 

durch '^ciya^ teilbar sei, so gilt die Relation (11) noch, und es 
folgt, daß a b der größte gemeinschaftliche Teiler von 

h — )l'D b — iD , b — -\/D 

«1 «2, «1 2^' ^2 2^' 2~ 

ist (Bd. II, § 160, 2). 

Haben nun «i, a-2, h keinen gemeinschaftlichen Teiler, so 
kann mau der Gleichung l\ «1 -|- ^-2 ^53 -f- ä: & == 1 durch ganze 
rationale k genügen, und demnach ist ob auch der größte ge- 
meinschaftliche Teiler von 

(16) a, «2, :f—- 

2. Es ist zu beweisen, daß «j 0-2 die kleinste durch ah 
teilbare natürliche Zahl ist. 

Setzen wir nämlich diese kleinste Zahl = a , so ist a^ a-^ 
durch a teilbar, etwa 

tti «2 = " ^''• 

21* 



372 Vierzehnter Abschnitt. § 101. 

Bilden wir die beiden Formen 

A ^= C(i Ofo 4 — )— ^ «21 

r = at, + '^i,, 

SO folgt: 

JS (l) = «1 tta (a^ «2 ^f -f- & ^1 ^2 H~ ^^|)i 

Die beiden Formen (üi «21 ^1 c), («, &, a' c) sind primitiv (weil 
ein gemeinsamer Primteiler von a^ a.,, b, c wegen (15) in Q auf- 
gehen müßte), und es folgt für die absolute Norm: 

JV„(A) = a,a, = N{ah), 

da aber A' durch a b teilbar ist, so muß a durch «1 «2 teilbar und 
mithin a' = 1 sein. 

Hieraus ergibt sich: 

3. Sind eil, "25 ^ ohne gemeinsamen Teiler und 

1) = h- — 4 «1 «2 c, 
so ist die Form 

T = («1 «2, b, c) 

aus den beiden Formen 

U = («^, &, Cttg), F =r (a^, 6, Cöi) 

komponiert. 

Wendet man dies auf zwei entgegengesetzte Formen 
Ü7 = (cf, ^, c), F = (c, />, a) 
an, so ergibt sich 

T= {ac,h, 1), 

und dies ist mit der Hauptform (1, 0, j oder (l, 1, — - — \ 

äquivalent. 

4. Zwei entgegengesetzte Klassen geben komponiert 
die Hauptklasse. 

Um eine Klasse Ä wiederholt mit sich selbst zusammen- 
zusetzen, wähle man n in A so, daß es relativ prim zu D ist, 
und bezeichne mit («, 6, c) die entsprechende Form. Dann ist 
a relativ prim zu h. Denn wäre d ein Teiler von a und ft, so 
wäre d auch in D enthalten, also relativ prim zu d. Es wäre 
also auch a:d durch a teilbar, was, wenn d ^ l ist, der De- 
finition von a widerspricht. 



§ 102. Komposition der Ordnungen. 373 

Nun kann man aber b so wählen, daß 

(17) b'^ ^ I) (mod 4 a") 

ist, für ein beliebig großes n. Denn man kann h um ein be- 
liebiges Vielfaches von 2 a verändern. Nehmen wir also (17) als 
erfüllt an für einen Exponenten w, und setzen demgemäß 

(18) b^ = D -\- 4a"c, 
so folgt: 

{b -\- 2 h a'^y —D = 4 a" (c -f A b) (mod 4 a« + 1), 

und wenn man also h aus der Kongruenz c -\- hb ^ (mod a) 
bestimmt, so ergibt sich ein der Kongruenz (17) für n -\- l 
genügendes b. 

Da nun b relativ prim zu a ist, so folgt nach 2., daß, wenn 
n^m ist, a"' die kleinste durch Q"* teilbare natürliche Zahl ist, 
und daraus ergibt sich folgende Kompositionsregel: 

5. Genügt die Form {a,b,a^c) = U der Bedingung 
(18), und ist m ^ w, so ist 

U'"' = (a™, 6, «"-™c). 

Hiermit sind die Klassen quadratischer Formen der Dis- 
kriminante zJ zu einer Ab eischen Gruppe vereinigt, die mit 
der Gruppe der Idealklassen isomorph ist, und es ist zugleich 
ein Weg angegeben, wie man durch passend gewählte Repräsen- 
tanten die Komposition in diesen Gruppen wirklich ausführen 
kann i). 

§ 102. Komposition der Ordnungen. 

Eine Ordnung = [Q] im Körper ii ist durch den Führer Q 
vollständig bestimmt. Es seien Oj , Og zwei Ordnungen mit den 
Führern Q-^, Q2, und der größte gemeinschaftliche Teiler von Q^ 
und Q2 sei Q. Ist dann 31 das kleinste gemeinschaftliche Multi- 
plum von Qi und ^21 so ist 
(1) Q, Q2 = Q^^- 



') Die Einheit in der Gruppe der Klassen Lüdet die Hauptklasse. 
Über die Komposition der quadratischen Formen ist zu erwähnen: Gauss, 
„Disquisitiones arithmetica«", Art. 235 u. f. Dirichlet, De foruiarum 
binariarum secundi gradus compositione (1851), Werke Bd. II, S. 105. 
Dirichlet-Dedekind, Vorlesungen über Zahlentheorie, 4. Aufl., § 145 f. 
Dedekind, Grelles Journal, Bd. 129. H. Weber, Göttinger Nachrichten, 
9. Februar 1907. 



374 Vierzehnter Abschnitt. § 102. 

6. Die zum Führer Q gehörige Ordnung heißt aus 
öl und O2 zusammengesetzt oder komponiert. 
Wir setzen symbolisch 

(2) 0=0, 0,. 

Die Diskriminanten dieser drei Ordnungen sind 

(3) n = Q^zl, A = Q!^. D, = Ql^. 

Sind Q^ und Q^ relativ prim, so ist die aus beiden kom- 
ponierte .Ordnung die Hauptordnung Oo» 

Um die Komposition der Ordnungen auszuführen, kann man 
ebenso verfahren, wie im vorigen Paragraphen. Wir setzen 

(4) öl = Qnh, Ö2 = Q^^h, 
und dann sind m^, Wg relativ prim zueinander. 

Es mögen dann a und b zwei Ideale bedeuten, die zu Q^ Q^ 
relativ prim sind. 
Ist dann 

a äquivalent q' nach Oi, 

t) „ b' „ O2, 

so ist 

— - = '}]. eine Zahl in Oi, 

-- V 

d. h. rji ist nach dem Modul Q,, r,^ nach dem Modul Q2 mit 
einer rationalen Zahl kongruent. Also sind beide, und folglich 
ihr Produkt, nach dem Modul Q mit einer rationalen Zahl kon- 
gruent und gehören in die Ordnung Q. Demnach ist auch 

c = ab äquivalent mit c' = a'W nach 0. 

Es sei «1 die kleinste durch n teilbare natürliche Zahl und 
b relativ prim zu a, (folglich auch zu a), und wenn (1-2 die 
kleinste durch h teilbare natürliche Zahl ist, so sind auch u, 
und (^2 relativ prim. Man kann dann immer, was auch Jj, b., 
sein mögeu, den Kongruenzen 

5i ^ m, h (mod 2 «j), 
?>2 ^ m^h (mod 2 «2) 

genügen und demnach die Basisfornien von a und b in der 
Gestalt annehmen: 



§ 102. Komposition der Ordnungen. 375 

I h-iD 

fi = tii Ui -\- nii ^ — i<2, 

h-JB 

V = «2 ^1 + ^^h 9-^ ^2 5 

und es ist 

b'^ — D = Aciitt^c 

durch 4 a^ % teilbar. Dann ist «1 Uo die kleinste durch n 6 teil- 
bare natürliche Zahl, und es ist 

l = (/j aa ^1 H 2 '2 

eine Basisform von c. 

Demnach gibt die Zusammensetzung der entsprechenden 
quadratischen Formen der Diskriminanten D^, D.^ '■ 
U = («1, nii b, rn^a^c), 

^ ^ V = («25 ^2 ^1 '>*^i «1 c) , 

die Form T der Diskriminante Z>: 
(6) T = (ai «2, ^, c). 



Fünfzehnter Abschnitt. 

Gesclilecliter der quadratisclien Formen. 



§ 103. Darstellung von Zahlen durch quadratische Formen. 

Eine natürliche Zahl m heißt durch die primitive Form (a, b, c) 
mit der Diskriminante D eigentlich darstellbar, wenn es 
zwei relative Primzahlen x., y gibt, die die Gleichung 

(1) ax^ -|- hxy -\- cy^ = m 

erfüllen, und man kann eine mit («, h, c) äquivalente Form (ih, *?,/) 
finden, deren Diskriminante 

(2) D = «2 _ 4 ni l 

ist. Ist m durch die Form (a, &, c) darstellbar, so ist sie auch 
durch jede äquivalente Form, also durch jede Form der Klasse J., 
zu der (a, 6, c) gehört, darstellbar. Wir nennen dann m durch 
die Klasse Ä darstellbar. Sind Ä, A' zwei Klassen, m, w' zwei 
zueinander teilerfremde Zahlen, die durch diese Klasse eigentlich 
darstellbar sind, so ist das Produkt mm' durch die zusammen- 
gesetzte Klasse ÄÄ' eigentlich darstellbar. Dies folgt aus den 
Kompositionen der Formen (12), (14), § 101. 
Aus (2) ergab sich: 

(3) n2 = D (mod 4 m). 

Ist (ni, w, J) imprimitiv, so kann D keine Stammdiskriminante 
sein. Wir bezeichnen, wie bisher, den Stamm von D mit ^ und 

setzen 

und der größte gemeinschaftliche Teiler von m, n, 1 geht in Q'^ 
auf. Wir nehmen daher im Folgenden an, m sei relativ prim 
zu Q, und sind dann sicher, daß die durch (2) bestimmte 
Form (fH, », 1) primitiv ist. 



§ 103. Darstellung von Zahlen durch quadratische Formen. 377 

Ist umgekehrt die Kongruenz (3) erfüllt, so kann man 
D = n2 — 4, ml setzen und erhält eine Form der Diskrimi- 
nante i), (»?, h, ?), durch die m eigentlich darstellbar ist. 

1. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, 
daß eine zu Q teilerfremde Zahl tu durch eine Form der 
Diskriminante D eigentlich darstellbar ist, besteht also 
darin, daß die Kongruenz 

(4) cc^ ^ D (mod Am) 
lösbar sei. 

Aus einer Form (ci^h^c) erhält man eine Schar äquivalenter 
Formen: 

(5) (a, & + 2Aa, C), 

worin X eine beliebige ganze Zahl und C durch die Gleichung 

D = (6 4- IXaf — 4aC 
bestimmt ist und sich gleich aX^ -\- bX -\- c ergibt. Das System (5) 
wird eine Schar paralleler Formen genannt. 

Wenn die Kongruenz (4) erfüllt ist, so ist auch 
(x -^ 2X my- = D (mod 4 m\ 
und wir wollen die ganze Schar der Wurzeln von (4), die nach 
dem Modul 2m kongruent sind, als eine Wurzel betrachten. In 
diesem Sinne sei die Anzahl der Wurzeln von (4), die demnach 
sicher endlich ist, mit i\} {JD^ m) zu bezeichnen. 

2. Jede Wurzel von (4) gibt Anlaß zu einer Schar 
paralleler Formen, durch die die Zahl m eigentlich dar- 
stellbar ist. 

Die Zahl ip (D, m) läßt sich leicht bestimmen. Sind zunächst 
m\ m" relativ prim, so ist 

(6) i^(i), w'), t^'(2), m") = il)(D, m'm"). 
Denn ist 

(7) x'^ = n (mod 4:m% x"^ = D (mod 4»</% 
und 

,„. X ^ x' (mod 2?>t'), 

^^ = x" (mod 2 m"\ 

so ist (x2 — i») : 4 durch m' und durch m'\ also auch durch m' m" 

teilbar, und die Kongruenz 

(9) x^ = D (mod Am'm") 

erfüllt. Umgekehrt gibt jede Wurzel der Kongruenz (9) je eine 

Wurzel der beiden Kongruenzen (7). Also erhält mau alle 



378 Fünfzehnter Abschnitt. § 103. 

Wurzeln von (9) und nur diese, wenn man in (8) die Wurzeln 
rr', x" von (7) paarweise kombiniert, und daraus folgt (6). 

Nach (6) ist nur noch nötig , die Funktion ^ (D, m) für den 
Fall zu bestimmen, daß m = g'^ eine Potenz einer in Q nicht 
aufgehenden Primzahl g ist. Wir brauchen das Symbol (Z), «) in 
dem in § 85 erklärten Sinn und unterscheiden drei Fälle : 

1) Wenn g in z/ aufgeht, so ist (2), g) = 0, und die Kon- 
gruenz (3) hat nur dann eine Lösung, wenn /; = 1 ist, nämlich je 
nachdem D gerade oder ungerade, ist :r ^ oder ^ g (mod 2 5), 
dagegen keine Lösung, wenn h >> 1 ist, und dies gilt auch für 
g' = 2. Denn in diesem Falle müßte Q ungerade, z/ durch 4 
teilbar sein, folglich x gerade. Die Kongruenz 



(f)' ^^"t (^^^^ 2'^) 



ist aber nur lösbar für /,• = 1, da z/:4 keine Diskriminante ist. 

2) Ist (Z), g) = — 1, so ist die Kongruenz (3) nicht lösbar, 
weil dann D quadratischer Nichtrest von q oder (für g = 2) 
von 8 ist. 

3) Ist (Z), g) == 4- 1 , so ist D quadratischer Rest von q 
(oder von 8) und die Kongruenz, 

x^ ^ D mod A:q^ 

hat, wie aus der Zahlentheorie bekannt ist, zwei Wurzeln. 
Wir fassen diese Resultate übersichtlich so zusammen: 

Ist 1) (Z),g) = 0, so ist ^{D,q) = 1, ^{D,q^) = (/t->l), 
„ 2) (Ag) = -1, „ „ t{D,q^) = ) 
„ 3) (Ag) = +1, „ „ ^l^iD^q^) =2j^^>'^^ 

wozu noch kommt: 

i'{n, 1) = 1. 

Nach (5) ist also i'{D, m) immer dann gleich Null, wenn in 
m eine Primzahl aufgeht, für die {D, q) -^ — 1 ist, oder wenn 
in m ein Primfaktor von D mehr als einmal aufgeht. 

In den anderen Fällen ist ^ (Z), q) eine Potenz von 2, deren 
Exponent gleich der Anzahl der in m, aber nicht in B auf- 
gehenden Primzahlen ist. 

Zwischen den Symbolen i' (Z), m) und (Z), m) besteht die 
folgende allgemeine Beziehung immer unter der Voraussetzung, 
daß m relativ prim zu Q ist: 



§ 103. Darstellung von Zahlen durch quadratische Formen. 379 

Es durchlaufe e die sämtlichen Teiler von w (1 und m ein- 
geschlossen) und e^ die sämtlichen quadratischen Teiler von m; 
dann ist 

(10) £t(^D,^^ = iiD^e). 

Ist diese Relation richtig für zwei Zahlen m\ m", die keinen 
gemeinsamen Teiler haben, so folgt sie für m = m'm". Denn 
haben e', e' und e", e" dieselbe Bedeutung für m' und m", wie 
e, £ für w, so sind e = e' e" die Teiler und c^ = e''^e"^ die 
quadratischen Teiler von m = m'm". Es ist aber nach (6) und 
§85,(8): 

i:T.(., -).(., -) = l.(A|i), 

Ij£(D,E')(D,e") = UiB^E). 

Hiernach brauchen wir die Relation (10) nur noch unter der 
Voraussetzung zu beweisen, daß on = q^ eine Primzahlpotenz ist. 
Unter dieser Voraussetzung ist aber: 

£ = g% s = 0, 1, 2, . .., Ic. 

Ist nun 

1. (D, q) -.= 0, so ist £^{1), g'^— 2«) =, 1^ 

2. (A 5) = -1, „ . it^'(A 2''-^0 = 1 (^ gerade), 

= (h ungerade), 

3. (A (i) = 1, „ „ it^(A 2^-^^) = /^•+i, 

und ebenso groß ergibt sich in den drei Fällen die Summe 

0, fc 

denn im Falle 1. hat nur das dem s = entsprechende Glied 
dieser Summe den Wert 1, die anderen verschwinden; im Falle 2. 
haben die den geraden s entsprechenden Glieder den Wert 
-f- 1 , die anderen den Wert — 1 , und im Falle 3. haben alle 
k + 1- Glieder den Wert -f 1. 

Damit ist also die Relation (10) allgemein bewiesen. 



380 Fünfzelmter Abschnitt. § 104. 



§ 104. Charaktere und Geschlecliter der quadratischen Formen. 

Unter einem Stammteiler 8 einer Diskriminante D wollen 
wir folgendes verstehen (§ 84): 

1. Ö ist eine in D aufgehende Stammdiskriminante. 

2. Der Quotient D : Ö ■= D, ist selbst noch Dis- 
kriminante. 

Ein ungerader Stammteiler kann keine anderen Primfaktoren 
enthalten als solche, die in D aufgehen, und keinen mehr als 
einmal; dagegen ist ein beliebiges Produkt aus verschiedenen in 
D aufgehenden ungeraden Primzahlen, mit einem solchen Vor- 
zeichen versehen, daß ö r^ 1 (mod 4) wird, immer ein Stammteiler. 

Außerdem kommt noch unter den Stammteilern vor: 

— 4, wenn D ^ 0, — 4 (mod 16), 
(1) +8, „ D = 0, 8 (mod 32), 

— 8, „ Z> = 0, — 8 (mod 32), 
Bezeichnen wir also mit öj die ungeraden Stammteiler, so 

ergeben sich die sämtlichen Stammteiler 8: 



1) 


8 


= ^1, 




D = 


1 
4 


(mod 4), 
(mod 16), 


2) 


8 


= 01, 


-4Ö„ 


D = 


— 4 
16 


(mod 16), 
(mod 32), 


3) 


8 


= ö„ 


8d„ 


D = 


8 


(mod 32), 


4) 


8 


= ^1, 


-8d\, 


D = 


— 8 


(mod 32), 


ö) 


8 


= ^1, 
8 dl, 


-4 5„ 

-8d„ 


B = 





(mod 32). 



Die Anzahl der Stammteiler (1 als Stammteiler mitgerechnet) 
ist hiernach stets eine Potenz von 2. 

3. Setzen wir sie gleich 2'^, so ist k in den Fällen 1), 2), 
3), 4) gleich der Anzahl der in D aufgehenden ver- 
schiedenen Primzahlen, in dem Falle 5) um eins größer. 

Die Stammteiler von D lassen sich durch Anwendung einer 
symbolischen Multiplikation zu einer Abelschen Gruppe machen. 

Wenn nämlich dj, 8^ zwei Stammteiler von I) sind, so ist 
das Produkt 8, 8-2 auch eine Diskriminante, aber nicht immer 
eine Stammdiskriminante. Wir bezeichnen mit 8 den Stamm 
von 8,8.2 und setzen symbolisch 
(2) 8 = 8,8^. 



§ 104. Charaktere und Gescblecliter der quadratischen Formen. 381 

Haben Ö^, Ö^ keinen gemeinschaftlichen Teiler, so ist diese 
symbolische Multiplikation eine wirkliche. Haben sie aber einen 
gemeinschaftlichen Teiler, so ist noch ein quadratischer Faktor 
aus dem wahren Produkt öj ö^ abzuwerfen. Setzen wir in (2) 
d^ = ^2, so ist ö = 1, d. h. es ist jedes Element der Gruppe 
der d sich selbst reziprok, und es besteht zugleich mit (2): 
(3) d, = 6 8,. 

Die Elemente dieser Gruppe lassen sich folgendermaßen 
durch eine Basis darstellen (Bd. H, § 11): 

(4) ö = ö-;d-:...6l\ 

worin fj, s^, ... t). die Werte oder 1 haben, und A die oben 
angegebene Bedeutung hat. ^i, 8^., ... Ö;. sind in dem Falle 1) die 
in D aufgehenden ungeraden Primdiskriminanten +p, im Falle 2) 
kommt dazu noch ■ — 4, im Falle 3) 8, im Falle 4) — 8, im 
Falle 5) 8 und —8 (oder —4 und 8 oder —4 und —8). 

Mit Hilfe der Stammteiler werden nun die Charaktere der 
primitiven quadratischen Formen definiert. 

Wir wählen in einer Formenklasse Ä einen Repräsentanten 
(«, &,c;), in dem a positiv und relativ prim zu D ist. Ist dann eine 
zu D teilerfremde Zahl m durch A darstellbar, so ist 
m := a x''^ -^ b X y -\- cy'^, 

(5) 4 am = (2ax -^ bij)^ — Biß. 

Es sei nun 8 ein Stammteiler von D und m relativ prim 
zu d, so ist, zunächst für ein ungerades d, nach § 85, (14), (16): 

(6) {8, m) = (ö, a). 

Diese Relation gilt aber auch für 8 = — 4 0^, -[~8^n — ^^i- 
Denn es ist in diesen Fällen a und m ungerade und nach (1) 
und (5): 

^ = — 4^1, D = 0, — 4 (mod 16), am = 1 (mod 4), 
8 = 8 öl, i> = 0, 8 (mod 32), am = +1 (mod 8), 
5 r= — 8öi, D = 0, — 8 (mod 32), am =1,3 (mod 8), 
woraus nach § 85 auch für diese Fälle die Gleichung (6) folgt, 
die danach allgemein bewiesen ist. 

4. Der Wert des Symbols (d, m) ist also nicht von 
der Zahl m, sondern nur von der Formenklasse A abhängig, 
durch die m darstellbar ist. Es wird der zum Stamm- 
teiler 8 gehörige Charakter dieser Klasse genannt und 
mit %{8., A) bezeichnet. 



382 Fünfzehnter Abschnitt. § 104. 

Es gilt zunächst für jede beliebige Klasse Ä und für beliebige 
Stammteiler ö, ö^, Ö^: 

(7) x(l,Ä) = h 

(8) x{^i.Ä)x{S,,Ä) = K^iÖ2,^), 

(9) x{S.^U) = h 

worin d^^a das oben definierte symbolische Produkt ist und Aq 
die Hauptklasse bedeutet, durch die die Zahl 1 darstellbar ist. 

Sind für eine Klasse Ä die Charaktere x{d^^A\ xi'^2^-^) ••• 
X{di, Ä) gegeben, so sind nach (4) und (8) alle ^ (ö, Ä) bestimmt. 
Jeder dieser Charaktere kann aber =r= -|- 1 oder = — 1 sein, 
und so ergeben sich 2'' mögliche Bestimmungen über die Charaktere. 
Diese sind aber nicht voneinander unabhängig. 

Denn es folgt aus (5) 

Biß = (2ax -[- byY (mod 4m), 
und daraus folgt, wenn man m relaliv prim zu «, folglich zu y 

annimmt : 

{Dy\ m) = (z/, m) = 1. 

Daraus ergibt sich, daß für jede Klasse A 

(10) x(AÄ) = -i-\. 

Nun läßt sich zu jedem Stammteiler d ein bestimmter, von 
d verschiedener komplementärer Stammteiler d' so bestimmen, 
daß im Sinne der symbolischen Multiplikation 

(11) öd' = /i 

ist. Das Komplement von b' ist wieder ^, und jeder Primteiler, 
der in b und 6' zugleich aufgeht, muß in Q, aufgehen. 
Daraus folgt nach (10) für jede Klasse A: 

(12) Xip.^) = lip\^\ 

und hiernach ist die Anzahl der möglichen Bestimmungen über 
die X {d, A) nur noch 2^-^. 

Man vereinigt in ein Geschlecht (Genus) alle Formen- 
klassen A, in denen sämtliche Charaktere x (^i ^) übereinstimmen, 
und gelangt zu dem Resultate: 

5. Die Anzahl der existierenden Geschlechter ist 
höchstens gleich 2^--'^. 

Ob die Anzahl der existierenden Geschlechter wirklich so 
groß ist, ist eine tiefere Frage, auf die wir später zurückkommen. 



§ 104. Charaktere und Geschlechter der quadi-atischen Formen. 383 

Wenn die Klasse A aus der Klasse Ä', A" komponiert ist, 
so ist symbolisch 

A = A' A". 

Sei w', m" durch die Klasse A\ A" darstellbar, und nehmen 
wir m\ m" relativ prim, so ist m = ni' m" durch A darstellbar 
(§ 103), und daraus ergibt sich für die Charaktere die Formel: 

(13) %(ö,^'^") = x{^Ä')x(ä,A"). 

Nach 1. ist das Symbol % (ö, A) durch irgend eine zu d 
teilerfremde, durch A eigentlich darstellbare Zahl m bestimmt, 
und wir definieren daher die Charaktere dieser Zahlen m durch 

(14) x{d,m) = x{d,A). 

Es ist aber zweckmäßig, daß man sich noch von der Vor- 
aussetzung frei macht, daß m zu 8 relativ prim sei, und dies 
kann auf folgende Weise geschehen. An der Voraussetzung, daß 
m relativ prim zu Q sei, soll aber festgehalten werden. 

Ist m durch die Klasse A eigentlich darstellbar, so können 
wir in A einen Repräsentanten 

(15) cp = (m, i?, C) 
finden. Wir zerlegen m in zwei Faktoren 

(16) m = nn\ 

so daß n und n' teilerfremd sind und n relativ prim zu 8, n' 
relativ prim zu 8' ist. 

Dies ist immer möglich, meist auf mehrere Arten, da nach 
Voraussetzung m relativ prim zu Q ist, und also »h, ö, 8' keinen 
gemeinschaftlichen Teiler haben. Man nehme z. B. in n die in 
8' aufgehenden Primzahlen in so hohen Potenzen auf, als sie 
in m enthalten sind, und außerdem noch die Primzahlpotenzen, 
die zu 8 teilerfremd sind. 

Dann ist die Form (p aus den beiden Formen 
(«, B, Cn') («', B, Cn) 

komponiert, deren Charaktere nach (12) und 4. durch 

(«5, w), {8'n') 
bestimmt sind, und es ist also nach (13): 

(17) xi^Ä) = {8,n){8\n'). 

Hierin kann aber auch noch die Forderung aufgegeben 
werden, daß ni durch A eigentlich darstellbar sei; denn ein 
gemeinsamer Teiler von a:, y (relativ prim zu Q) gibt einen 



384 Fünfzehnter Abschnitt. § 104. 

quadratischen Teiler von m, den man wieder in zwei teilerfremde 
quadratische Faktoren zerlegt, von denen der eine zu n, der andere 
zu n' genommen würd, und dadurch ändern sich (ö, ii) und 
(ö', n') nicht. 

Man kann hiernach einen Charakter % (d, n) einer beliebigen 
zu Q teilerfremden Zahl folgendermaßen bestimmen. 

Man setze: 

(18) n = sn' 

und verstehe unter s das Produkt der in n aufgehenden Potenzen 
solcher Primzahlen, die zugleich in Ö aufgehen; dann ist e relativ 
prim zu d' und n' relativ prim zu Ö, und man setze: 

(19) xiS,^^) = i^\^)i^,n'), 

wodurch %{d^n) eindeutig und immer von Null verschieden be- 
stimmt ist. Ist dann (a, b, c) ein Repräsentant der Klasse Ä, 

so ist 

(20) j^(^8,ax^ + bxij-^cy^) = xid.Ä), 

worin x, y beliebige ganze Zahlen mit oder ohne gemeinsamen 
Teiler sind, für die ax'^ -{- hxy -\- cy'^ teilerfremd zu Q wird. 

Über das so definierte Symbol % (ö, n) gilt eine Reihe von 
Sätzen, die wir noch ableiten müssen. 

6. Sind «1 und «2 irgend zwei zu Q teilerfremde 
Zahlen, so ist 

(21) l (d\ ni) i (ö, n.i) = % (ö, Wi n^). 
Denn setzen wir nach (18) 

SO ist 

und dies geht in (18) über, wenn man n = »^1^2, s = fj £21 
n' = n[n'2 setzt. Also folgt (21) aus § 103 (8). 

7. Läßt man e die Reihe der Divisoren von n durch- 
laufen, und setzt n = ee\ so ist 

(22) i{^,n)i{p,e) = i (6, e) (d', e'). 

Wenn die Formel (22) für n = n^ und n = n^ gilt, so gilt 
sie, unter der Voraussetzung, daß «j, ??o relativ prim sind, auch 
für n = t?i Wj [nach (21)]; sie braucht also nur noch für eine 
Primzahlpotenz n = p^ bewiesen zu werden , wenn jj nicht in Q 



§ 105. Anwendung des Legen dreschen Symbols. 385 

aufgeht. In diesem Falle ist aber (i), p^) = (z/, p^) [§ 85 (9)], 
imd es ist also zu beweisen: 

X (ö, p^^) i(^,p^) = 2J (ö, p^) {6', p^-"). 

0,k 0,k 

Geht nun p nicht in 6 auf, so ist 

X{d,p^) = (d,p^}, 
und wenn man rechts jedes Glied unter dem Summenzeichen mit 
{d, p^-^y = 1 multipliziert, so erhält man übereinstimmend mit 
der linken Seite 

{d,p^)i(zf,p^-^). 

Geht aber p in d und folglich nicht in d' auf, so ist % (d, p^') 
= {^\ p^'), multipliziert man also ebenso mit (Ö', j)*)^, so folgt 
das gleiche, wodurch (22) bewiesen ist. 

8. Ist ;^ (ö, w) von xid\ n) verschieden, so ist 

(23) 2:(i>, e) = 0, U{d, e) (ö', e') = 0. 

Denn da sich die beiden Summen nicht ändere, wenn d mit 
d' vertauscht wird, so folgt dies aus (22). 

9. Sind öj, (^2 zwei Stammteiler von D und d^dg ihr 
symbolisches Produkt, so ist 

(24) %((5i, ^0 xißi, n) = %{d\d^, n). 

Diese Formel braucht wegen (21) nur für den Fall bewiesen 
zu werden, daß n eine Primzahl ist. 
Es ist aber symbolisch 

und hiernach ergibt sich (24) leicht aus der Definition (19). 

§ 105. Anwendung des Legen dreschen Symbols. 

Will man sich der bekannteren Bezeichnung nach Legendr e 
und Jacobi bedienen, so gestaltet sich die Sache folgendermaßen. 

Bedeutet / eine ungerade Primzahl und a eine durch 1 nicht 
teilbare Zahl, so ist nach Legen dre: 

(1) (!) = +!, 

wenn a quadratischer Rest von / ist, 



(t)--^^ 



Weber, Algebra. III. 25 



386 Fünfzehnter Abschnitt. § 105. 

wenn a quadratischer Nicbtrest von 7 ist, und nach der von 
Jacobi eingeführten erweiterten Definition dieses Symbols ist 

C^) G-Tf7) = (T)(f)(F)-- 

Ist ferner a ungerade, so ist 

1 \ ■ a — l , c)\ a^ — 1 



und daraus, wenn o, &, ... relativ prim zu m sind: 

(^) a)a)-=(^)^ 

ist D eine Diskriminante und a eine zu 2 Z) teilerfremde Zahl, 
die durch eine Form (p der Diskriminante D eigentlich dar- 
stellbar ist, ferner l eine in D aufgehende ungerade Primzahl, 

so ist der Wert des Symbols (yj nicht von der besonderen 

Zahl a, sondern nur von der Formenklasse A^ zu der (p gehört, 
abhängig. Dasselbe gilt von 



(^) 



(5) (4) 7)^0, 8 



mod Z) = 0, — 4 (mod 16), 
(mod 32). 



(=?) .,.0,-s) 



Hieraus lassen sich die Charaktere der Formenklassen 
zusammensetzen. 

Wir werden bei einer späteren Anwendung den Fall be- 
sonders zu berücksichtigen haben, daß D durch 4 teilbar ist. 
Wir setzen daher: 

(6) D = — 4>Mi), 

und erhalten für diesen Fall, wenn /, 7', ... die verschiedenen 
in m aufgehenden ungeraden Primzahlen sind, die folgenden 
Charaktere : 



') Nach der Bezeichnung von Gauss: Formen erster Art der Deter 
in in ante — m. 



§ 105. 



Anwendung des Legendreschen Symbols. 



387 



0) 



j r 



a 
T, 
a' 

7" 



a 

7 

a 

7" 

a 

7" 



m ^ 3 


(mod 4), 


m ^ 1 


(mocl 4), 


m ^E 4 


(mod S), 


m = 6 


(mod S), 


m = 2 


(mod 8), 


m = 


(mod 8). 



Die Anzahl dieser Grundcharaktere ist, wie man sieht, gleich 
der in § 104, 3. näher bestimmten Zahl A und die Anzahl der 
Vorzeichenkombinationen ist gleich 2^. 

Die Abhängigkeit zwischen diesen Charakteren kann man so 
<larstellen. 

Ist 

m = n^m', D = Q'^ ^ = — 4n2wi' 

und w^ die größte in m aufgehende Quadratzahl, so ist 
z/ ^ — m', wenn wi' ^ 3 (mod 4), 
zJ ^ — 4)w' „ m' ^ 1, 2 (mod 4); 

im ersten Fall ist m' ungerade und nicht gleich 1 , also gleich 
einer der Primzahlen l oder gleich einem Produkt aus mehreren 
von ihnen, und aus 



(-^) 



(^) - (=^) = ii) = ^. 



worin das Reziprozitätsgesetz der quadratischen Reste angewandt 
ist, ergibt sich eine Relation zwischen den Charakteren. 



Im zweiten Fall ist bei ungeradem m' 



(=^) = (^)© = >- 



und dies ist wieder ein Produkt mehrerer der Charaktere (7), 
und ist endlich m' = 2 m" gerade, so ist 



in 



(±1 



m 



wo das Zeichen + so bestimmt wird, daß +m" ^ 1 (mod 4) wird. 
Also ist wiederum die Anzahl der Geschlechter höchstens == 2' — ^. 



25' 



388 Fünfzehnter Abschnitt. § 106. 



§ 106. Die Geschlecliter der Idealklassen. 

In § 100 haben wir gesehen, wie wir aus einer Zahlgruppe 
im Körper Sl Einteilungen der Ideale in Klassen ableiten können, 
und wie für diese Einteilungen die Klassenzahl zu bestimmen ist. 

Wir wollen hier auch die Einteilung in Geschlechter aus 
diesem Gesichtspunkte betrachten. 

Um unsere Betrachtungen gleich auf die Ordnungen aus- 
dehnen zu können, scheiden wir von dem Gebiet der natür- 
lichen Zahlen zunächst alle Zahlen aus, die mit irgend einer 
beliebig angenommenen Zahl S einen gemeinschaftlichen Teiler 
haben. 

Hierauf nehmen wir einen positiven rationalen Modul ?>?, und 
nehmen in S unter anderen alle Primzahlen auf, die in m ent- 
halten sind. 

Damit sind also alle Zahlen ausgeschieden, die einen gemein- 
schaftlichen Teiler mit m haben. 

Aus den übrigbleibenden Zahlen und ihren Quotienten 
kann man eine Gruppe rationaler Brüche bilden, die wir mit 
Z bezeichnen wollen. 

Ersetzen wir (nach Gauss) eine Zahl a~^ durch die 
ganze Zahl, die, mit a multipliziert, eine der Einheit 
kongruente Zahl ergibt, so können wir die Lehre ton 
der Kongruenz nach dem Modul ni ohne weiteres auf 
die gebrochenen Zahlen Z übertragen. 

Sind dann a/h und «i/^i Brüche in Z, so ist a/b ^ «i/^i, 
wenn ah^ ^ a^h im gewöhnlichen Sinne ist. 

Vereinigen wir also alle untereinander kongruenten Zahlen 
in Z in eine Klasse, so zerfällt Z in qp (>h)- Zahlklassen, deren 
jede durch eine ganze rationale Zahl repräsentiert werden kann. 

Ist M die Gruppe der Zahlen a aus Z, die der Bedingung 

a ^ 1 (mod m) 

genügen, so sind die Zahlklassen (modulo m) die Nebengrui^pen 
zu il/, und es ist 

(1) (Z, 31) = cp{m). 

Wir betrachten nun, wie im § 98, die Gruppen der ganzen 
und gebrochenen Zahlen co des quadratischen Körpers ß, oder 
einer Ordnung \_Q\ dieses Körpers, von denen wir alle 



v^ 107. Zusammensetzung der Normenrestgruppen. 389 

Zahlen ausschließen, die im Zähler oder im Nenner nicht 
relativ prim zu S sind. (Im P'alle der Ordnungen müssen 
die Primfaktoren des Führers Q in S enthalten sein.) 

Wir bilden nun aus 31 einen Teiler Ä, in den wir alle 
Zahlen a aufnehmen, die einer Kongruenz 
(2) N{co) ^ a (mod m) 

genügen, d. h. für die eine Zahl w in existiert, deren Norm 
mit a kongruent ist. 

1. Diese Zahlen heißen Normenreste für den Modul m. 

Aus der Definition der Normenreste ergibt sich, daß die 
Normenreste der Multiplikation und Division gegenüber eine 
Gruppe bilden. 

Ferner ergibt sich, daß jedes Quadrat und jeder quadra- 
tische Rest (modulo m) zugleich Normenrest ist, daß also 
jeder Normennichtrest zugleich quadratischer Nichtrest 
ist. Aus der Gruppennatur von Ä folgt: 

Das Produkt aus Normenrest und Normenrest ist 

Normenrest. 
Das Produkt aus Normenrest und Normennichtrest 
ist Normennichtrest. 

Die Gruppe der Normenreste hat stets einen endlichen Index 
(Z, Ä), denn sie vereinigt in sich ganze Zahlklassen nach dem 
Modul m, deren Anzahl endlich ist. 

§ 107. Zusammensetzung der Normenrestgruppen. 

Wir wollen zwei Moduln m^, ni2 betrachten, die zueinander 
relativ prim sind, und bezeichnen die Gruppen der Normenreste 
von nii und w?2 i^iit ^li und A2. Setzen wir für den Augenblick 

(Z, Ä,) = ^ 
und zerlegen 

(1) Z = «1 ^, + Oo yli + • • • + "," ^n 

SO können wir die aj, «21 • • - ^'u durch beliebige nach dem 
Modul ;>«i kongruente Zahlen ersetzen. Da ni^ und ni.2 relativ 
prim vorausgesetzt sind, so lassen sich, welches auch die rationalen 
Zahlen r,- seien, rationale Xi aus den Kongruenzen 

üi -\- Jim^ ^ Ci (mod m.2) 
bestimmen, und man kann also die «,• so wählen, daß sie in A2 
enthalten sind. Man kann also jede Zahl ^ in Z als Produkt 



390 Fünfzehnter Absclinitt. § 108. 

einer Zahl in J.^ mit einer Zahl in A2 darstellen, was wir sym- 
bolisch durch 

(2) Z= A, Ä, 
ausdrücken. 

Der Durchschnitt Ä der Gruppen Ä^ und Ä2 enthält alle 
und nur die Zahlen, die zugleich Normenreste von nii und von 
)«2 sind, und wir beweisen, daß A die Gruppe der Normenreste m 

(3) m = nix '>^h 
ist. 

Ist nämlich a eine Zahl, die zugleich in J., und in A2 enthalten 
ist, so gibt es zwei Zahlen co^, co^ in 0, die den Bedingungen 
.^. -^'(«1) = « (mod m,}, 

^ ^ -^(«2) ^ « (mod m.,) 

genügen. Es lassen sich nun zwei rationale Zahlen x^, x^, so be- 
stimmen, daß 

Ä*! ^ 1 (mod Wj), a^a ^ (mod wii), 
^ (mod r^a)? ^ 1 (mod ?%), 

und wenn wir dann also 

CO = X^ «1 -(- X-i CO2 

setzen, so ist 

,.. N{co) ^ jV(a3i) ^ a (mod »%), 

^' ^ ^ N{(x)2) ^ a (mod »%), 

und da m^ und fj?2 relativ prim sind, so ist auch 

(6) N{ci) = a (mod m), 

also a Normenrest von m. Umgekehrt ist ein Normenrest von 

1)1 zugleich Normenrest jedes Teilers von in, also auch von m^ 

und »Hg- 

Hieraus ergibt sich nun mit Hilfe der Sätze 13. und 14., § 100: 
(Z, A,) = (A A, A,) = (AA, Ä,A) = (^, J), " 
(Z, A) = (Z, A,) (A2, A) = (Z, ^0 {Z, A.,), 

und wir haben die Beziehung: 

(7) {Z, A) = {Z, .4,) (Z, A2). 

Damit ist die Frage nach den Normenresten auf den Fall 
zurückgeführt, daß der Modul eine Primzahlpotenz ist. 

§ 108. Normenreste der Primzahlpotenzen. 
Es sei eine Ordnungsgruppe im Körper Si (§ 98) und P, 
die Gruppen der rationalen Zahlen, die relativ prim zur Diskri- 



§ 108. Normenveste der Primzahlpotenzen. 391 

minante D dieser Ordnung und zugleich Normenreste einer Prim- 
zahl p in bezug auf diese Ordnung sind, d. h. der Zahlen ö, 
die der Bedingung 

(1) N{io) ^ a (mod p) 

für eine Zahl w der Ordnung genügen. Es gilt zunächst 
der Satz: 

1. Wenn p nicht in D aufgeht, so ist jede Zahl a in 
Z Normenrest. 

Es braucht dies nur bewiesen zu werden für den Fall, daß 
a ein quadratischer Nichtrest ist, da ja jeder quadratischer 
Rest zugleich Normenrest ist. 

Es sei also p ein in p aufgehendes Primideal des Körpers iß. 

Ist dann D quadratischer Rest von p^ so ist p vom ersten 
Grade (§ 92), und jede Zahl ist nach dem Modul p mit einer 
rationalen Zahl kongruent. 

Da p nicht in D aufgeht, so ist das zu p konjugierte Ideal p' 
von p verschieden, und wir können eine Zahl w in finden, die 
den Kongruenzen: 

(o ^ a (mod p), 
= 1 (mod p') 1) 
genügt (Bd. II, § 166). Ist dann «' zu to konjugiert, so ist 

w ^ «, co' ^ 1 (mod p), 
und folglich 

N{(o) ^ a (mod p). 

Ist aber D quadratischer Nichtrest von j>, so ist p = p, und 

D 2 = _ 1 (mod p\ folglich Vi»'' = — |'l> und für jede Zahl 

in 

,^. aP = a' (mod p), 

^ ^ N(a)) ^ ojp + i (mod p). 

Ist nun y eine primitive Wurzel von p im Körper ii, so ist 
c ^ y^ + i (mod p) eine primitive Wurzel von p im Körper der 
rationalen Zahlen (Bd. II, § 167). , 

Setzen wir also 
(3) a ^ y(p + i)x^ cö = ;^^ (mod jj), 

80 ist nach (2) N{c}) ^ a (mod p) und unser Satz somit bewiesen. 



') Setzt man w = a -\-'£:ti Q, wo n eine durch p , aber nicht durch p' 
teilbare Zahl ist, so kann man die Zahl § aus der Kongruenz a-(-?7r(^> = l 
(mod p') bestimmen, und w gehört wegen des Faktors Q zur Ordnung (). 



392 Fünfzehnter Abschnitt. § 108. 

2. Ist p eine in B aufgehende ungerade Primzahl, 
so ist a dann und nur dann Normenrest, wenn a quadra- 
tischer Rest von jj ist. 

Das ergibt sich unmittelbar aus der Bedingung für die 
Normenreste : 

(4) X- — By'^ ^ 4 a (mod p), 

die sich in diesem Fall auf a;^ ^ 4 a (mod p) reduziert. 

Die Primzahl 2 kommt nicht in Betracht, weil x^ ^ a (mod 2) 
immer lösbar ist, wohl aber die Moduln 4 und 8. Ist B un- 
gerade, so ist B ^ 1 (mod 4), und die Bedingung für einen 
Normenrest a ist: 

-c2 By^ 

- ^ a (mod 4) oder (mod 8), 



4 

und diese Kongruenz ist für jedes ungerade a lösbar (durch 
gerade ;r, y), also: 

3. Geht 4 in D nicht auf, so ist jede ungerade Zahl « 
Normenrest von 4 und von 8. 

Ist B durch 4 teilbar, so ist die Bedingung für einen 
Normenrest a die Möglichkeit der Kongruenz: 

(5) x'^ y"^ ^ u (mod 4) oder (mod 8). 

Da a ungerade ist, so können x und By^/i: nicht beide 
ungerade sein. 

Geht man hiernach die einzelnen Fälle durch, so ergibt sich 

"^ ' "■ '^"^ a SE 1 (mod 4), a ^ l (mod 8), 

keine Bedingung für a, 

a ^ -\-l, — 1 (mod 8), 

« ^ 1 (mod 4), a ^ -}- 1, 5 (mod 8), 

a ^ 1 (mod 4), « ^ +1, 5 (mod 8), 
keine Bedingung für «, 

a = -f 1, 3 (mod 8), 

a = 1 (mod 4), a = + 1, 5 (mod 8). 



4 ~ 


" V"""^ -y 


B _ 
4 ~ 


1 (mod 8), 


B _ 

4 ~" 


2 (mod 8), 


B _ 

4 "~ 


3 (mod 8), 


B _ 
4 ~ 


4 (mod 8), 


B _ 
4 ~ 


5 (mod 8), 


B _ 

4 ■" 


6 (mod 8), 


B __ 
4 ~ 


7 (mod 8), 



§ 108. Normenreste der Primzahlpotenzen. 393 

Danach haben wir: 

4. Ist \D ^ 1 (mod 8), so ist jede ungerade Zahl 
Normenrest von 4 und von 8. 

Ist \D ^ (mod 8), so sind nur die Zahlen von der 
Form 4cn -|- 1 Normenreste von 4 und die Zahlen der 
Form 8 n -|- 1 Normenreste von 8. 

Ist \D ^ 2 (mod 4), so sind alle ungeraden Zahlen 
Normenreste von 4. 

Ist |i) ^ 2, oder ^ 6 (mod 8), so sind im ersten Fall 
die Zahlen 8w -|- 1, 8n — 1, im zweiten Fall die Zahlen 
8»! -\- 1, 8n -f- 3 Normenreste von 8. 

Ist ^D^ 3, 4, 7 (mod 8), so sind alle und nur die 
Zahlen der Form An -\- 1 Normenreste von 4 und von 8. 

5. Ist p eine ungerade Primzahl, und ein durch p 
nicht teilbares a Normenrest von p^ (für irgend einen 
positiven Exponenten A-), so ist a auch Normenrest 
von 2)^ + '^. 

Zum Beweis sei 

N(co) = a +i3'^'&, 
ft)j = CO (l -\- xp^), 
worin X rational. Folglich 

N{a>,) = {a -{- pH) (1 + xp^y, 

^ a -\- p^ (b -\- a x) (mod p''' + ^), 
und wenn x aus der Kongruenz h -\- a x ^ (mod }>) bestimmt 
wird, so folgt 

JV(g),) ^ a (mod jj'^ + i). 

6. Ist D ungerade, so gilt dasselbe auch noch für 
p = 2. 

Denn in diesem Falle ist jedes ungerade a Normenrest von 8. 
Man setze also 

]S\co) = a -f- 2n, ^ ^ 3, 

.0, = . (l + 2^. i+1^), 

iY(cji) = (a + 2H) (1 + 2^^:^) (mod 2*^ + 1), 
und wenn man ax -\- b ^ (mod 2) annimmt, so folgt 
iV(«,) = a (mod 2'^ + ^). 

7. Ist D gerade und a Normenrest von 2'' ^ 8, so ist 
a auch Normenrest von 2'- + ^ 



394 



Fünfzehnter Abschnitt. 



§ 108. 



Denn man setze 

y{co) = a + 2^&, 

CO, = G)(l ^ 2^-^x), 
worin x rational. Dann ist 2h — 2 > Ä:, und folglich 
N{co,) = (a + 2^^^) (1 + 2^x) (mod 2^^ + ^; 
= a -]- 2^{b -^ ax)\ 
wenn also 

ax -\- b ^ (mod 2), 

^° '^* N{cö,) = a (mod 2'^ + i> 

Aus alledem ergibt sich nun folgender Satz: 
8. Ist eine Zahl r in Z quadratischer Rest jeder in 

D aufgehenden ungeraden Primzahl, und ist außerdem 

bei geraden D 



r ^ 1 (mod 8) 

a) 'r = +1, — 1 (mod 8) 

r = 1, 3 (mod 8) 

b) r ^ -j- 1, — 5 (mod 4) 



falls 



D 
4 
D 
4 
D 
4 
D 

4 



(mod 8), 

2 (mod 8), 

6 (mod 8), 

— = 3, 4, 7 (mod 8), 



so ist r Normenrest von jedem beliebigen zu r teiler- 
fremden Modul m. 

Diese Zahlen r bilden eine Gruppe R, die wir die Gruppe 
der absoluten Normenreste nennen. 

Ist b ein fester quadratischer Nichtrest der ungeraden Prim- 
zahl p, und s eine Zahl in Z, so ist entweder s oder b—^ 2 
in der Gruppe der Normenreste enthalten. Ist also P die Gruppe 
der Normenreste von jj'^, so ist 

(Z, P) = 1, wenn p nicht in D aufgeht, 
(Z., P) = 2, wenn p in D aufgeht, 
ferner, wenn L die Gruppe der Normenreste von 2'' ist: 
{Z, L) = 1, Z> = 1 (mod 4), 

D = 4, 20 (mod 32), 
{Z, P) = 2, P = 8, 12, 16, 24, 28 (mod 32), 
(Z, P) = 4, P — (mod 32) i). 

^) Es ist nicht zu befürchten, dai3 das in § 99 und in Bd. II, Jj 21 
erklärte Symbol (Z, P) für den Index eines Teilers einer Gruppe mit dem 
in § 85 ähnlich bezeichneten erweiterten Legendr e- Jacobischen Symbol 
verwechselt werde. 



§ 109. Die Geschlechter der Ideale. 395 

9. Bezeichnen wir also mit v die Anzahl der ver- 
schiedenen ungeraden in D aufgehenden Primzahlen, so 
ist nach § 98, 12. 

{Z, B) = 2% D = 1 (mod 4), D = 4. (mod 16), 

(Z, R) = 2' + \ 7) = 8, 12, 16, 24, 28 (mod 32), 
(Z, R) = 2^ + 2, Z> = (mod 32), 

oder allgemein 

(z, R) = 2^ 

wo X dieselbe Bedeutung hat wie in § 104, 3. 

Diese Zahl stimmt, wie man sieht, mit der Anzahl der 
Stammteiler von D überein, und aus 8. folgt, daß ein absoluter 
Normenrest r diese Eigenschaft behält, wenn r um ein Vielfaches 
von D vermehrt wird. 

Daraus der Satz: 

10. Die absoluten Normenreste sind in einer end- 
lichen Anzahl von arithmetischen Progressionen, die 
nach Vielfachen von D fortschreiten, enthalten. 

Die in D aufgehenden ungeraden Primzahlen und in den 
Fällen a) und b) von Nr. 8 die Zahl 8 oder 4 heißen die charak- 
teristischen Primzahlen und Primzahlpotenzen der Ord- 
nung. 

§ 109. Die Geschlechter der Ideale. 

Nach dem Vorigen können wir die Gesamtheit der rationalen 
Zahlen ^, mit Ausschluß derer, die zu D im Zähler oder Nenner 
nicht relativ prim sind, in ^i Klassen (Nebengruppen) zerlegen, 
wobei 

(1) (Z, R) = ^ 

der oben bestimmte Wert ist. Hiernach ist: 

(2) Z = R^R, +J?, ... + i?„_,. 

Wenn eine Zahl z in eine dieser Nebengruppen gehört, so 
gehören alle mit z nach dem Modul D kongruenten Zahlen in 
dieselbe Nebengruppe. 

11. Die Hauptklasse R der Normenreste ist bei der 
Multiplikation und Division eine Gruppe. 

Gehört r in die Hauptklasse R^ so gehören zwei Zahlen z 
und rz in ein und dieselbe Klasse. 

Die Gesamtheit der zu D teilerfremden ganzen und ge- 
brochenen Ideale a des Körj^ers Sl bilden auch eine Gruppe O. 



396 Fünfzehnter Abschnitt. § 109. 

12. Wir teilen die Ideale a in Geschlechter G, öj, (rg, ... 
ein, indem wir alle Ideale a,,, deren Normen N{a,) in einer 
Klasse JR^ enthalten sind, in ein Geschlecht 6r,, vereinigen. 

13. Die Ideale, deren Normen zugleich Normenreste r 
sind, gehören dem Hauptgeschlecht G an, und das Haupt- 
geschlecht ist selbst eine Gruppe. 

Wollen wir gleich die Ordnungen berücksichtigen, so müssen 
wir auch Äquivalenz nach der Ordnung [Q] zulassen (§ 100), 
was ja (für ^ = 1) die allgemeine Äquivalenz einschließt. Dann 
gilt das Folgende: 

14. Die Ideale der Hauptklasse gehören dem Haupt- 
geschlecht an, und äquivalente Ideale haben dasselbe 
Geschlecht. 

Denn ist a äquivalent mit iij, so gibt es eine Zahl rj in [Q], 
für die ü = fjai ist; folglich ist N{(\) = N{rj)N((\i) und N{i]) ist 
eine Zahl in R. Folglich gehören a und a^ nach 13. in dasselbe 
Geschlecht. Die Geschlechter umfassen daher nicht bloß die 
einzelnen Ideale, sondern die Idealklassen. 

Damit eine Zahl a aus Z Idealnorm sein kann, ist eine 
gewisse Bedingung zu erfüllen. Ist nämlich 

(3) ffl = N{a), 

und zunächst n ein primäres ganzes Ideal, so ist nach § 91 

(4) ^ = h^ — 4=ac, 

worin 6, c ganze rationale Zahlen sind, und folglich ist 

(5) (z/, «) = -fl. 

Ist Q nicht primär, sondern gleich moo mit primärem Oo, und 
ÜQ = -ZV(no), so ist a ■= m^a^^ und folglich muß nach § 85, (1.5) 
auch hier die Bedingung (5) befriedigt sein, und das gleiche ergibt 
sich auch für gebrochene Zahlen, wenn Zähler und Nenner relativ 
prim zu D sind, wenn man in (5) a als ganzzahligen Repräsen- 
tanten seiner Klasse nach dem Modul B ansieht. 

Da es nun Zahlen a gibt, für die (z/, a) = — 1 ist, so 
kann nicht jede Zahl in Z Norm eines Ideals sein, und die Anzahl 
der Geschlechter ist also kleiner als ;u, Sie muß ein Teiler von 
f*, d. h. eine Potenz von 2 sein, und folglich haben wir den Satz: 

15. DieAnzahl g der Geschlechter ist liöchstens gleich 

\ (^, ^). 
also der Hälfte der in 9. bestimmten Zalü. 



§ 109. Die Geschlechter der Ideale. 397 

Daß diese Zahl wirklich die genaue Anzahl der Geschlechter 
ist, werden wir später beweisen. Wir bemerken hierzu noch 
folgendes: 

Die Tatsache, daß es für jedes z/ Zahlen a gibt, für die 
(z/, a) = — 1 ist, folgt aus dem Reziprozitätsgesetze der quadra- 
tischen Reste. Kann man, ohne dieses Gesetz vorauszusetzen, die 
Existenz solcher Zahlen a nachweisen, so läßt sich umgekehrt 
dadurch ein Beweis des Reziprozitätsgesetzes ableiten. In dieser 
Weise hat Gauss seinen zweiten Beweis dieses Gesetzes her- 
geleitet. (Vgl. Dirichlet-Dedekind, § 152 ff.) 

Ist r ein Normenrest und 8 irgend ein Stammteiler von D, 
so ist 

(6) JY(w) = -^-^ = r (mod 8) 

und folglich, wenn r relativ prim zu 8 ist, 

(7) (ö, r) = +l. 

Für ungerade 8 ist dies evident, für die geraden folgt es 
leicht in den verschiedenen Fällen von § 108. Wir setzen also 
allgemein, wenn z relativ prim zu D ist: 

(8) i{z) = {8,z). 

Dann ist ((5, r) r^ 1 für jede Zahl r der Gruppe der ab- 
soluten Normenreste, und allgemein ist 

(9) %{^)%{^^i) = Xi^^i)- 

Für alle Ideale a des Hauptgeschlechtes, die zu D teiler- 
fremd sind, ist 

und daraus folgt, daß x[N(oy\ für alle Ideale n eines Ge- 
schlechtes einen und denselben Wert x{G) hat. 

Diese Funktionen sind also die Charaktere der Gruppe 
der Geschlechter. 



Sechzehnter Abschnitt. 

Klasseiizalil in quadratischen Körpern. 



§ 110. Fundamentale Einheiten in den Ordnungen. 

Die Theorie der Einheiten, die wir allgemein in Bd. II, § 191 
auseinandergesetzt haben, nimmt für die quadratischen Körper 
eine einfachere Gestalt an, muß aber andererseits erweitert und 
für die Ordnungen ausgebildet werden. 

Die ganzen Zahlen der Ordnung mit der Diskriminante D 
sind nach § 96, (6) in der Form x^ -j- x^ enthalten, worin 

.0 = 1 V^, wenn D = (med 4), 

" = ^-y^, „ ^ = 1 (mod 4), 

und Xi, X2 ganze rationale Zahlen sind. 

Eine solche Zahl s ist eine Einheit, wenn 

(1) N(e) = {x, + xjj) (x, -f x,ff) = ± 1 
ist. Hierfür ergibt sich die Bedingung 

(2) x-^ — x,'D = ±4. 

Ist D negativ, so kann hier nur das positive Zeichen stehen, 
und es gibt im allgemeinen nur die zwei Lösungen a: =: + 2, 
i/ = und in den beiden Ausnahmefällen die vier oder sechs 
Lösungen : 

D = — 4, Ä^i = ±2, ' x^ = 0, 

Xo = + 1. 



4, 


X, = +2, 




x^ = 0, 


3, 


Xi = ±2, 




x^ = ±1, 



D = —3, Xi = +2, x^ = 0, 

X, = -I- 1. 



§ 110. * Fundamentale Einheiten in den Ordnungen. 399 

Daraus folgt: 

1. Für ein negatives D gibt es im allgemeinen nur 
die zwei Einheiten 

£ = -fl, £ = —1, 

und für zwei besondere Fälle 

i> = -4: £ = +1, —1, +^ —2, 

B = —3: £ = -f 1, —1, 

2 ' 2 ' ' 2 ' "^ 2 ' 

Die von Null verscliiedenen Zahlen der Ordnung sind 
dann zu je zwei oder in den beiden Ausnahmefällen zu je vier 
oder zu je sechs assoziiert. 

2. Ist D positiv, so gibt es eine Lösung der Pell- 
schen Gleichung: 

T2 — U'-D = ±4, 

in der T und U positive und möglichst kleine Werte 
haben, Ist dann 

_ T-f- U]ll) 
' — 2 

so sind alle Einheiten in der Form J^f-'^' enthalten, wo 
V die Reihe der Zahlen 0, 1, 2, ... durchläuft. 

Ist die Gleichung (2) für das negative Zeichen lösbar, so 
ist ^(f) = — 1, und es hat +£-' für gerade v eine positive, 
für ungerade v eine negative Norm. Ist aber (2) nur für das 
obere Zeichen lösbar, so haben alle Einheiten positive Norm. 
Unter den Zahlen y der Ordnung 0, die nicht Einheiten sind, 
gibt es aber immer solche mit negativer Norm. 

Ist^^(£) ^ — 1, so gibt es zu jeder Zahl ^ in mit negativer 
Norm eine assoziierte mit positiver Norm. Ist aber JV(£) =r-|-l, 
so zerfallen die Zahlen y in zwei Klassen, von denen die eine 
positive und die andere negative Norm hat, und keine Zahl der 
einen Klasse ist mit einer der anderen Klasse assoziiert. 

Demgemäß betrachten wir nur die Zahlen y der Ordnung 
mit positiver Norm, unter denen y und +£-'\^ nur dann 
assoziiert sind, wenn 

T-\- U\'l) 
' = 2 



400 Sechzehnter Abschnitt. § 110. 

die fundamentale Einheit mit positiver Norm, also T, U die 

kleinste positive Lösung von 

(3) T^ — ü'D = +4 

ist. 

Bei positiver Diskriminante gibt es unendliche Scharen asso- 
ziierter Zahlen, und es kommt darauf an, durch eine passende 
Bestimmung von jeder dieser Scharen eine bestimmte auszuson- 
dern. Dazu bieten uns die allgemeinen Betrachtungen von Bd. II, 
§195 die Hilfsmittel, die wir jetzt auf unseren speziellen Fall 
anwenden. 

Es sei nach § 98 

eine Basisform in der Ordnung [Q] eines Ideals a, das wir 
primär voraussetzen wollen und 

y = aXi -\ ~ — ^2. 

mit ganzen rationalen ^i, X2 eine durch a teilbare ganze Zahl y 
in [Q] mit positiver Norm nebst ihrer Konjugierten y', und da 
wir a als primär vorausgesetzt haben, so ist 

(5) « = N{a). 



Es sei ferner 



(6) 



2 
T — iJyjlJ 



\ 



2 
die fundamentale Einheit in mit ihrer Konjugierten, die beide 
positiv sind und positive Norm haben. 

Wir bestimmen die Zahlen ^j und l-, aus den linearen 



Gleichungen : 

liiog£ + I2 = iog|y|, 

^^logf' H- I2 = log|i/'|, 
b y 

I2 = \^og\yy' , 

worin \y\ den absoluten Wert von y bedeutet. 



I 



^ 110. Fundamentale Einheiten in den Ordnungen. 401 

Ersetzt man ij durch eine assoziierte Zahl +£''y, so geht |i 
in li -\- k über, worin k eine positive oder negative ganze Zahl 
ist, und man kann also y unter den Assoziierten immer auf eine 
Weise so wählen, daß 
(8) ^ I, < 1 

wird. Die so bestimmte Zahl y ist dann die reduzierte 
Zahl. 

Beachtet man noch, daß die Gleichungen (7) sich nicht 
ändern, wenn y durch — y ersetzt wird, so folgt: 

3. In einer Schar assoziierter Zahlen gibt es immer 
zwei und nur zwei reduzierte Zahlen, die sich nur im 
Vorzeichen unterscheiden. 

Aus (7) ergibt sich, wenn |i der Bedingung (8) genügt: 



(9) 


< log 4 


<log|„ 


und daraus 






(10) 


^^il 


'<?• 



und umgekehrt folgen aus (10) wieder die Gleichungen (7) mit 
der Bedingung (8). 

Da wir überdies vorausgesetzt haben, daß y eine positive 
Norm haben soll, so haben y, y' das gleiche Vorzeichen, und dieses 
ist positiv, wenn ^'2 positiv ist. Denn dann ist y — y' = X2 ]/l) 
positiv, und da \y\ ;> \y'\ ist, so müssen y und y' positiv sein. 

In dem besonderen Falle x-j = ist y und y' positiv, wenn 
wir Xi positiv voraussetzen. Damit ist dann die in 3. noch übrig- 
gebliebene Zweideutigkeit beseitigt. 

Da also y und y' positiv sind, so folgt aus (10): 

(11) jj'e — yt'>0. 
Woraus nach (4) und (6): 

(12) 2 a Ux^ — (T — & f/)^2 > 0, x^ ^ 0. 

Und diese Bedingungen, die wir die Isolierungsbedin- 
gungen nennen, schließen bereits in sich, daß y' und folglich 
N(y) positiv ist. Denn nach (3) ist 

T > [; VÄ 

und demnach folgt aus (12): 

U[2ax,^(b — ilD)x2]>0. 
Damit ist bewiesen: 

Weber, Algebra. III. 26 



402 Sechzehnter Abschnitt. § 111. 

4. Ist a ein zu Q teilerfremdes Ideal, so liefert uns 
jedes den Bedingungen (12) genügende Zahlenpaar a-'j, a'g 
eine durch a teilbare positive Zahl y mit positiver Norm 
der Ordnung [Q] 

(13) y = ax^-] ~^^^ .Tg, 

und unter diesen Zahlen sind keine zwei assoziiert. 



§ 111. Die Dirichletsclie Grenzformel. 

Bedeutet t eine positive Konstante, so ist durch die Be- 
dingung : 

(1) N{y) = a{ax^ -\- bxiX^ -\- cxf) ^ f, 

und, bei positiver Diskriminante, durch die Isolierungsbedingungen, 
in einer Ebene, in der iT^, x^ rechtwinkelige Koordinaten sind, 
ein Gebiet Ft begrenzt, das bei negativer Diskriminante durch 
eine Ellipse, bei positiver Diskriminante durch einen Hyperbel- 
bogen und durch gerade Linien begrenzt ist. Die Punkte, deren 
Koordinaten x^^ x^ ganze rationale Zahlen sind, heißen Gitter- 
punkte. 

Einem ganzen System von assoziierten Zahlen, deren Norm 
positiv und kleiner als t ist, entspricht dann bei positiver Dis- 
kriminante ein Gitterpunkt in Ft und bei negativer Diskriminante 
zwei und in den beiden Ausnahmefällen vier und sechs Gitter- 
punkte. 

Bezeichnet Zt die Anzahl der Gitterpunkte in dem Gebiete 
Ft und V die FLäche des Gebietes Ft, so ist [Bd. II, § 194, (6)]: 

(2) V = Ztt-^ -\- Rtt-\, 

worin Rt mit unendlich wachsendem t nicht unendlich wird. 

Bei negativer Diskriminante erhält man V aus dem bekannten 
Flächeninhalt der Ellipse: 

^'^ ^ = ^' 

«y — B 
und bei positiver Diskriminante erhält man ihn am einfachsteu, 
indem man nach § 110, (7) an Stelle von x^, x^ die Integrations- 
variablen li, ^2 einführt, deren Grenzen 0,1 und — oo,0 sind: 

(4) Y^^. 



^ 111. Die Dirichletsclie Grenzformel. 4Q3 

Hiernach ergibt sich aus (2): 
(6) Limf = Mi, i)>0, 



1% 



Nach Bd. II, § 196, 4. ist aber 



D < 0. 



und es ergibt sich also aus (5): 



27r 



D < 0. 



Hier durchläuft y die Reihe der ganzen Zahlen der Ordnung 
[^], die durch ein zu Q teilerfremdes primäres Ideal n teilbar 
sind, wobei jedoch von einer Schar assoziierter Zahlen immer 
nur ein Repräsentant, der jetzt beliebig gewählt sein kann, beizu- 
behalten ist (bei negativen J) zwei oder vier oder sechs). 

Hierbei sind unter assoziierten Zahlen (nach der Ordnung 
[^J) solche zu verstehen, deren Quotient eine Einheit der 
Ordnung ^ist. 

Wir wollen jetzt von den Zahlen y noch alle die ausschließen, 
die nicht relativ prim zu Q sind. Dann modifiziert sich die 
Summe (6) in folgender Weise: Ist r ein Primfaktor von Q, so 
sind- alle Zahlen der Ordnung [^], die zu r nicht teilerfremd 
sind, durch r teilbar, weil sie ja nach dem Modul /• mit einer 
rationalen Zahl kongruent sind. 

Setzen wir also 
(^) y = ryr, 

so ist y, durch a teilbar, braucht aber nicht der Ordnung [Ql 

sondern nur der Ordnung M- = [Q^] anzugehören. Ist bei 

positiver Diskriminante e^ die fundamentale Einheit der Ordnung 

[<?i], so ist 

(8) a =^ff 

eine Potenz von «i, und es ist \D = r]^Di. Die Zahlen 

(9) y = ry,t\, ^ = 0, 1, 2,..., A— 1 

26* 



404 Sechzehnter Abschnitt. § 111- 

haben alle dieselbe Norm; sie sind assoziiert nach [Q^], aber 
nicht nach [Q]. Demnach erhalten wir nach (6): 
^^ s — 1 r log£ 

um daraus die auf die Zahlen (9) bezügliche Summe zu erhalten, 
hat man, da Nis^) = 1, N{r) = r^ ist, mit A zu multiplizieren 
und mit r^ zu dividieren. Man erhält so: 

Lim y^ ,^j . = ]=- log s. 

Zieht man dies von der Summe (6) ab und verfährt ebenso 
mit allen Primfaktoren r von Q, so ergibt sich: 

(10) Lin,2i^ = n(l-7),77ll°=-. ^>0' 

und noch einfacher bei negativer Diskriminante : 

_ TT (i _ 1\ _^, D < 0, 

iJ- V rj a]/—!) 

worin sich die Summe nur auf die Zahlen p erstreckt, die 
zu Q teilerfremd sind, und das Produkt TT sich auf alle 
Primfaktoren von r bezieht. Nur in den beiden Ausnahmefällen 
D = — 4, D = — 3 ist die rechte Seite der letzten Formel 
noch durch 2 oder durch 3 zu dividieren. 
Zerlegt man y in Idealfaktoren 

(11) y = am, 

so durchläuft ni alle Ideale einer bestimmten Idealklasse nach 
der Ordnung \Q], die zu Q teilerfremd sind. Diese Klasse ist, 
wenn a in die Klasse Ä gehört, 

M = Ä-\ 
und unter den Zahlen 

N(y) = aN(m) 
kommt im Falle der positiven Diskriminante jedes N(m) nur ein- 
mal, im Falle einer negativen Diskriminante zwei- oder vier- oder 
sechsmal vor. 

Demnach ergibt sich aus (10): 

(12) Lim V^^^=^ = TTO — -^-T= log^ D>0 

-n(>-i)^- i^<o 



§ 112. Klassenzabl. 405 

und in den beiden Ausnahmefällen D = — 4, D = — 3 ist der 
letzte Ausdruck durch 2 oder durch 3 zu dividieren. 

Es durchläuft hierin m die Gesamtheit der Ideale 
einer Klasse (nach [Q]), und man sieht, daß dieser Grenz- 
wert von dieser besonderen Klasse nicht abhängig ist. 

Es ist bisweilen zweckmäßig, in der Summe auf der linken 
Seite der Formel (12) nicht bloß solche Ideale von m auszu- 
schließen, die mit Q einen Teiler gemein haben, sondern auch 
die, die nicht teilerfremd zu ^ sind. Die Formel (12) gilt unter 
dieser Voraussetzung unverändert, wenn man unter den r der 
rechten Seite nicht nur die Primteiler von Q^ sondern alle Prim- 
teiler von D versteht. 

Ist nämlich r ein in D, aber nicht in Q aufgehendes Prim- 
ideal, so ist -Zv'(r) = rj eine in D, aber nicht in Q aufgehende 
natürliche Primzahl, und es ist iV(rm) ^ r^ iV(in). Nimmt man 
also von der Summe der linken Seite von y die den rm ent- 
sprechenden Glieder noch weg, so kommt rechts der Faktor 

1 ) hinzu. 

rj 

5. Der Grenzwert in der Formel (12) ist nur von der 

Diskriminante D, nicht von der besonderen Klasse 31 

abhängig und ist stets von Null verschieden. 

§ 112. Klassenzahl. 

Wir nehmen nun eine Funktion F{2) an, die übrigens nur 
für ganzzahlige Werte von ^ definiert zu sein braucht, von der 
wir voraussetzen, daß die unendliche Reihe 

(1) 2:F{Na), 

in der a die Gesamtheit der Ideale des Körpers Sl (oder nur 
einen Teil davon) durchläuft, unbedingt konvergent sei. Wir 
wollen, wenn es sich um Ordnungen [Q] handelt, von a alle die 
ausschließen, die nicht relativ prim zu Q sind. 

Irgend eine natürliche zu Q teilerfremde Zahl m kommt 
dann unter den N (ü) nach § 93, 4. 

mal vor, wenn n die Teiler von m durchläuft, und wir erhalten 
die Formel: 

m fi 

(2) U F {N a) = 2:1: (z/, n) F(m) , 



406 Sechzehnter Abschnitt. § 11-- 

worin m alle positiven ganzen Zahlen, die zu Q relativ prim sind, 
und n für jedes ni die Teiler von ni durchläuft. 

Ordnen wir auf der rechten Seite von (2) nach n, so kommen 
für ein gegebenes n unter den tu alle Vielfachen von n vor, und 
wir können auch setzen: 

m ti 

(3) ZF{Na) = U2J{zl,H)F{mn), 

worin jetzt m und «, voneinander unabhängig, alle natürlichen 
Zahlenwerte annehmen, die mit Q keinen Teiler gemein haben. 
Ist im besonderen F so beschaffen, daß 

(4) F(mn) = F{m)F{n) 
ist, so können wir (3) auch so darstellen: 

ii m n 

(5) 2JF{Nü) == 2JF{m)2:{zJ,n)F{H). 

Bei den Summen nach m und n sind die Zahlen aus- 
geschlossen, die mit Q einen Teiler gemein haben. 

Ebenso sind auf der linken Seite die Ideale ausgeschlossen, 
die zu Q nicht relativ prim sind. 

Die Formel (5) können wir zunächst anwenden, um aus den 
Formeln des vorigen Paragraphen die Klassenzahl zu bestimmen. 
Man erhält auf diese Weise auch das Verhältnis der Klassenzahl 
im Körper zu der Klassenzahl nach der Ordnung [Q]. Da wir 
dieses Verhältnis aber schon auf anderem Wege bestimmt haben 
(§ 100), so wollen wir uns hier auf die Klassenzahl des Kör- 
pers beschränken, d. h. wir wollen ^ = 1 setzen. 

Setzen wir in (5) F{z) = 2~^, so findet die vorausgesetzte 
unbedingte Konvergenz statt, solange -s > 1 ist. Multiplizieren 
wir aber mit s — 1 und lassen s in 1 übergehen, so können wir 
von vj 111, (12) Gebrauch machen. 

Diese Formel wenden wir in der ersten Fassung an, bei 
der 111 die zu Q teilerfremden Ideale der Klasse M durchläuft 
und r die Primfaktoren von Q bedeuten. Diese fallen also für 
Q = 1 ganz weg, und in ist in der Summenformel: 



3C 



^ < 



keiner Beschränkung in l)ezug auf Teilbarkeit mehr unter 
worfeii. 



§ 112. Klassenzahl. 407 

Jeder Teil der Summe auf der linken Seite der Formel (5), 
der sich auf eine Idealklasse bezieht, gibt dann denselben Beitrag 
zu der Summe, und wir erhalten: 

(7) Lim(s— 1)V— V^^l^ = /i-Llog£, z/>0 

= h -==, z/ < 0. 

Hier ist h die Klassenzahl des Körpers ii, und um 
nicht immer wieder die beiden Ausnahmefälle z/ = — 4, 
z/ = — 3 anführen zu müssen, wollen wir festsetzen, daß 
in diesen beiden Fällen, in denen die Klassenzahl 1 ist, 
unter li der Wert \ oder \ verstanden werden soll. 

So oft n ein volles Restsystem nach dem Modul z/ durch- 
läuft, ist Z:(zJ,n) = [§ 85, (22)], und folglich bleibt die Summe 
Z'(^, u), wenn die n der Größe nach geordnet sind, wie weit 
auch n wächst, immer endlich. Danach ist der Satz Bd. II, 
§ 196, 1. anwendbar, nach dem 

ist. Andererseits ist 

Lim(s — nz— = 1 

(Bd. II, § 196. S. 723), und es ergibt sich aus (7): 

1, 00 

Die Summe 

n 
läßt sich in endlicher Form darstellen. Es ist nämlich nach 
^ 86, (2): 

<9) V^ (An) = i(z/,Ä;)e ^ , 

worin A' ein vollständiges Restsystem nach_ dem Modul z/ durch- 
läuft und bei negativer Diskriminante ^J = i\ — z/ zu setzen 
ist. Danach folgt: 



'' = ^2(-^-^)Si^"^ 



408 Sechzehnter Abschnitt. ' § 112. 

und da 6 reell ist: 

^>0. ö = -^ S(^'^0 2n^^^— ^' 

1 ^ / . 7 ^ 1 • wkTt 

-^ < 0- « = yr^ 2(^''') Sil ^'» ^r^- 

. Die beiden unendlichen Reihen nach n haben aber bestimmte 
Werte, die Abel in der Abhandlung über die Binomialreihe aus 
der Potenzwickelung von log(l — 2) abgeleitet hat, und die sich 
auch aus der Theorie der Fourierschen Reihen ergeben. Wird 
dann k positiv und zwischen und +;z/ genommen, so ergibt sich: 

^--, 1 2nh7t , /^ . ICTl 

> — cos - — - — = — log 2 sm — - 

-^^ n zJ ^ \ zJ 

21 . 2nk7t 7t /^ 2h 
— sm 7- =^ ö 1 V 
n — z/ 2 \ — z/y 

Also ergibt sich aus (8) [mit Rücksicht auf U (zlji) = 0]: 

h log £ = — 2J (z/, Ix) log sin — , z/ > 0, 

h = ■^U(zJ,k)k, z/ < 0. 

Für den Fall der negativen Diskriminante kann man den 
Ausdruck für h so umgestalten, daß er die Form einer ganzen 
Zahl annimmt. 

Ist zunächst zJ ungerade (= 1 mod 4), so kann man die 
Zahlenreihe k so zerlegen: 

2r, -z/-2r;, 0<^<-T' 
und erhält also, da hier (z/, — v) = — (^, v) ist (§ 8.5), zwei 
Formen des Ausdrucks Ji : 

h = ^ E{zi,2v)v + i:(z/,7^), 

woraus, wenn man die erste mit 2, die zweite mit (^,2) multi- 
pliziert und subtrahiert: 

(11) [2-(z/,2)]/i = E{J,v). 

Wenn also (z/, 2) = — 1 ist, so muß die rechte Seite 
durch 3 teilbar sein. 



§ 113. Die Anzahl der Geschlechter. 409 

Für den Fall eines geraden z/ zerlegt man 7,- in 

und wendet die Formel an: 



2 

die sich aus den Sätzen des § 85 leicht ergibt. 
Dann findet man zunächst: 

/i = ii;(z/,aO, 

und wenn man die v nochmals zerlegt in 

(12) ^' — ^-f*: 0<f^^-^, 

U = 2:(z/,^). 
Die Formel für positive Diskriminanten läßt sich mit Hilfe 
der Kreisteilungstheorie umformen, worauf wir hier nicht eingehen 
wollen. 

§ 113. Die Anzahl der Geschlechter. 
Die Formel (5) des vorigen Paragraphen gestattet die Be- 
stimmung der genauen Anzahl der Geschlechter nach Dirichlet. 
Wir verstehen unter Ö irgend einen Stammteiler von D und setzen : 

. F(z) = ~j^i wo 2 relativ prira zu D ist, 

F(2) = 0, wenn ^ und -Deinen gemeinsamen Teiler haben. 

Dann ist (ö,iVa) einer der Charaktere des durch n bestimmten 
Geschlechtes. Bezeichnen wir diesen Charakter also mit (ö, J.), 
so folgt aus § 112, (b): 

Darin ist ö' = Ö^ und kann, da n relativ prim zu D ist, 
auch durch den Stamm von dz/ ersetzt werden (nach der sym- 
bolischen Multiplikation in § 104). Ist d = 1 , so ist ö' = z/, 
und ist ö = z/, so ist Ö' = 1. 

Von den beiden Fällen d = 1 , d = zl abgesehen , behalten 
also die Summen auf der rechten Seite von (2) für .s = 1 einen 
endlichen Wert (die nach dem vorigen Paragraphen durch Klassen- 
zahlen der Diskriminanten ö, ö' ausdrückbar sind). 

Auf der linken Seite von (2) durchläuft in der Summe nach ti 
das Zeichen a die Gesamtheit der Ideale der einzelnen Klassen, 



410 Sechzehnter Abschnitt. § 113. 

>i 1 

und die Summe ^ , ,, . , über eine Klasse Ä ausgedehnt, hat 

für s = 1 einen bestimmten von Null verschiedenen Grenzwert, 
der nach § 111, 5. für alle Klassen der gleiche ist. Daraus folgt 
nach 2.: 

(3) i(ö,.4) = 0, 
außer wenn d = l oder = zJ ist', 

(4) i(ö,^)=A, 

wenn d = 1 oder = z/ ist [weil {^,A) = 1, j^ 104, (10)]. 

Ferner ist für jede Klasse ^o des Hauptgeschlechts {ö,Ao) = 1, 
während es für jede Klasse Ä, die nicht dem Hauptgeschlecht 
angehört , wenigstens ein ^^ gibt , so daß (d^ ^ Ä) = — 1 ist. 
Daraus folgt, wenn 2* die Anzahl der Stammteiler ist, 

(5) i:(d,A) = 2^ 

und da d Ö^ zugleich mit Ö die Gesamtheit der Stammteiler 
durchläuft (wenn man Ö d^ nach der symbolischen Multiplikation 
in § 104 reduziert): 

(d„^)i:(ö,.4) =:i(ö,^), 

und wenn also (Öi, J.) = — 1 ist: 

(6) 2J{8,Ä) = 0. 
Hiernach können wir die Doppelsumme 

2J2J(d,Ä) 
auf zwei Arten bestimmen. Es ergibt sich nach (3), (4): 

(7) 2J^(ö,A) = 2h, 
und nach (5), (6): 

(8) 2ji:{ö,A) = 2^g, 

wenn g die Anzahl der Klassen des Hauptgeschlechtes (und folg- 
lich jedes Geschlechtes) bedeutet. Die Vergleichung gibt: 

(9) h = 2^-1^, 
also den Satz: 

6. Die Anzahl der Geschlechter ist genau gleich 
2"-i, d. h. gleich KZ.R), § 108, 9. 



DRITTES BUCH. 



KOMPLEXE MULTIPLIKATION 



4 



Siebzehnter Abschnitt. 

Elliptische rimktionen und quadratische Formen. 



§ 114. Singulare Perioden der doppelt periodischen Funktionen. 

Bezeichnen wir mit cp (n) eine doppelt periodische Funktion 
mit den Perioden co^, «2, so besitzt, wenn n eine ganze Zahl be- 
deutet, q) (w u) dieselben Perioden, und hierauf beruht die Multi- 
plikation der elliptischen Funktionen, die im sechsten Abschnitt 
betrachtet wurde. Es entsteht nun die Frage, ob sich nicht noch 
auf andere Weise ein Multiplikator ju. so bestimmen läßt, daß 
9) (ft h) die Perioden co^, «2 besitzt, ob also eine Multiplikation 
auch mit nicht ganzzahligem Multiplikator existiert. Dies wird 
dann und nur dann der Fall sein, wenn für ein System ganzer 
Zahlen a, &, c, d die Gleichungen bestehen: 

^ «2 = c ct>i -{- d »2. 

Setzen wir, um die darin enthaltene Forderung näher zu 
ergründen : 



und nehmen an, daß co einen positiven imaginären Bestandteil 
habe, so folgt: 

fi = a -\- b CO, 

, . c -\- da 

^ ^ a -\- ocj 

Solange co als variabel betrachtet wird, ist diese Gleichung 
nur möglich, wenn & = c = 0, a = d und ^ also eine ganze 
Zahl ist. 



414 Siebzehnter Abschnitt. § 114. 

Ist dagegen die Gleichung (1) nicht eine identische, so ist co 
die Wurzel einer ganzzahligen quadratischen Gleichung: 

(2) ö 032 -f (a — a) ra — c = 0, 

also, wenn wir 

ad — b c = n 

m = —4tbc — (a — dy = 4:n ~ (a + dy 

setzen, so ist 

m ^ oder ^ — 1 (mod 4), 

und es ergibt sich: 



— a + a + V— 


m 


2 h 




2 ' 





a -{- d -\- y — m a -\- d — V- 



2 2 

11^ — (a -\- c) (i -\- n = 0. 

Damit o? einen positiven imaginären Teil habe, muß m und 
umsomehr also n positiv sein, und ^ ist eine komplexe, ganze, 
algebraische Zahh Daher erklärt sich die Bezeichnung komplexe 
Multiplikation. 

Wenn nun umgekehrt co einer quadratischen Gleichung 

(3) ÄG}^^Bco-}-C=0 

genügt, worin Ä^ B^ C ganze Zahlen sind, und die Diskriminante 

(4) D = B^ — AAC 

negativ ist, so ist co nicht reell, und in einer der beiden Wurzeln 
von (3) ist der imaginäre Teil positiv. Diese soll für co genommen 
werden. Es heißt dann co eine Wurzel der quadratischen Form 
(Ä, j5, C). 

Unbeschadet der Allgemeinheit können Ä, J5, C ohne gemein- 
samen Teiler und Ä, C positiv angenommen werden. Es lassen 
sich dann für co unendlich viele Relationen von der Form (1) [oder 
(2)] aufstellen. Man hat nur, wenn x eine ganze von Null ver- 
schiedene Zahl ist, zu setzen: 

h = Äx, 

(5) c = — Cx, 

a — 6 = Bx. 



§ 114. Singulare Perioden der doppelt periodischen Funktionen. 415 

Setzt man noch 

(6) a^d = y, 
so folgt: 

%l -\- Bx 
« = '—^ , 

(7) h = Ax, 

c = — Cx^ 
y — Bx 



woraus sich, wenn 



.d = 



ad — bc = n 



gesetzt wird, ergibt : 

(8) An := y'^ — I) x^. 

Die Zahl n wird also in die beiden komplexen ganzzahligen 
Faktoren 

_ y ^xiU y -x)jD 

"" - ~~2 2 

zerlegt. Für to und ^ findet sich noch: 



^lA ^B-]/B' 

Die hier eingeführten Zahlen r, y sind nur an die eine Be- 
dingung geknüpft, daß y -\- B x und folglich auch y — Bx 
gerade Zahlen seien, damit a, d nach (7) ganze Zahlen werden. 
Ist also B gerade, so muß y gerade sein, während x beliebig 
ist; ist B ungerade, so sind x und y beide gerade oder beide 
ungerade anzunehmen. Nach (4) kann man diese Unterscheidung 
auch so ausdrücken: 

1) Ist D = (mod 4), so ist y = (mod 2), 

2) Ist D ^ 1 (mod 4), so \^t y ^ x (mod 2). 
Sollen bei gegebenen A, B,C die Zahlen «, h, c, d ohne 

gemeinsamen Teiler sein, so kommen noch andere Bedingungen 
hinzu : 

Aus (.0) , (6) folgt, daß jeder gemeinsame Teiler von a, 6, 
c, d auch Teiler von x und // ist; umgekehrt ist jeder gemein- 
same Teiler von x und y auch Teiler von />, c, 2 a, 2 8. Sollen 
also a, h, c, d ohne gemeinsamen Teiler sein, so können x und y 



416 Siebzelmter Abschnitt. § 114. 

keinen größeren gemeinsamen Teiler haben als 2. Haben x und 
y den größten gemeinschaftlichen Teiler 2, so sind h und c gerade 
und a, &, c, 3 sind dann und nur dann relativ prim, wenn a und ?, 
also auch n = «9 — 6c ungerade sind. 

Die Gleichung (8) hat, wenn wir von dem interesselosen Fall 
w =: 1 absehen, keine diesen Bedingungen genügende Lösung, in 
der ic = ist. Ändern wir aber die Vorzeichen von i\ y zugleich, 
so gehen «, &, c, d nach (10) in — «, — b^ — c, — d über, und die 

Gleichung (1) ändert sich nicht. Die Transformation ( ' ^ ) bleibt 

also ungeändert. 

Wir nennen jetzt der Kürze wegen eine Lösung der Glei- 
chung (8) eine eigentliche Lösung und n =^ \ (p- — D x^) eine 
eigentliche Darstellung von w, wenn r und y den folgenden 
Bedingungen genügt : 

X ist positiv. 

Der größte gemeinschaftliche Teiler von x und y ist 
1 oder 2. 

Ist er = 2, so ist n ungerade. 

Wenn nun co einer gegebenen Gleichung (3) genügt, so ist 

durch jedes System ( ' j eine eigentliche Lösung von (8) ein- 
deutig bestimmt. Denn nach (5) ist x der größte gemeinschaft- 
liche Teiler von i, c, a — o, und durch (6) ist y bestimmt, und 
andererseits ist aus einer eigentlichen Lösung von (8) durch (7) 
das System a, />, c, d vollständig bestimmt. Es ist aber noch 
die Frage zu entscheiden, ob zwei verschiedene eigentliche 



Lösungen x^ y und x\ y' zu äquivalentem System . o yi \ * - 

führen können. Unter äquivalentem System sind hier nach § 28, 
§ 53 zwei solche zu verstehen, bei denen 

'a\ h'\ /cc, ß\ /a, b^ 



^^^ Vc', d'J ~ \r, Öj \c, d 

ist, wenn ( ' \! ) eine lineare Transformation ist, also 

(10) ad — ßy = 1. 

Wenn wir beide Seiten der Gleichung (9) von rechts mit 

( ' j zusammensetzen, so ergibt sich : 



§ 114. Siuguläre Perioden der doppelt periodischen Funktionen. 41 7 

/a' d — 6'c, —a'h -\- h' a\ _ /w«, nß\ 
\c"d —d'c, —c'b + d'aj ~ \ny, ndj' 

oder, wenn wir für a, h, c, d die Ausdrücke (7) und für a', 6', c', 0' 
die entsprechenden 

y' 4- Bx' ,, 

c' = -cx\ d' = y' - ^'^' 

2 

setzen : 

/ yy' — J)^^' -{-B{x'y — y'x) ^^ x'y — y'x \ 

4 ' ^ _ /^**«' ^^ß\ 

_ / , x'y — y'x yy' — Dxx' — B{ x' y — y'x)\~ \n 7, n ö) ' 
\ 2 ' 4 / 

Daraus folgt: 

4wa = yy' — Dxx' -\- B(x'y — y'x), 
2nß = A{x'y — y'x), 
2ny = -C{x'y-y'x), 
4Md = yy' — Bxx' — B {x' y — y'x), 



2n(a — d) = B(x'y — y'x), 
2w(a4-d) = yy' — Bxx'. 

Da nun Ä, B, C ohne gemeinsamen Teiler sind, so folgt, daß 
x'y — ij'x durch 2n teilbar sein muß, und nach der letzten 
Gleichung ist auch yy' — Bxx' durch 2» teilbar. Also setzen wir 

(11) x'y — y'x = 2w|, 

yy' — Bxx' = 2nrj 
und erhalten: 

woraus nach (10) folgt: 

(12) 7^2 _ z)^o ^ 4_ 

Lösen wir die Gleichungen (11) nach x' und y' auf, so 
folgt: 

(13) ^^' = ^y + vx^ 

2i/' = 7?t/ + i>|^, 

Ist — D > 4, so hat (12) nur die beiden Lösungen 

(14) 1 = 0, rj = ± 2, 

Weber, Algebra. III. 



418 Siebzehnter Abschnitt. § 115. 

und daraus ergibt sich, da x und .7' positiv sein sollen: 

x' = X, y' = y, (»? = + 2). 

Ist aber — D = 4, so hat (12) außerdem noch die Lösung 

I = ± 1, 7; = 0, 

und es folgt aus (13): 

!/' = T 2 0L\ 

und das Zeichen von t] ist so zu bestimmen, daß x' positiv wird. 
Ist endlich — J) = 3, so haben wir außer (14) die Lösungen 

^ = ± 1, >? = ± 1, 

worin zunächst beide Zeichen beliebig sind. 
Dann folgt aber aus (13): 

+ 2 a;' = :i- + ?/, 
+ 2 ?/' = ^ q= 3 X, 

und man kann die Vorzeichen auf zwei Arten so wählen, daß x' 
positiv wird. Wir haben also den Satz : 

I. Bei gegebener Gleichung (3) führt jede eigent- 
liche Lösung der Gleichung (8) zu einer Trans- 
formation ( ^ \ von der wten Ordnung. Verschie- 
dene Lösungen von (8) führen im allgemeinen zu 
nicht äquivalenten Systemen ( ' j. In den beiden 

• Ausnahmefällen D = — 4 und D = — 3 führen je 

zwei oder je drei verschiedene Lösungen von (8) 

zu äquivalenten Systemen. 

Bezeichnen wir mit /c eine Zahl, die im allgemeinen gleich 

der Zahl der eigentlichen Lösungen von (8) ist, fürD== — 4 

und Z) = — 3 aber die Hälfte oder ein Drittel der Zahl 

dieser Lösungen, so können wir das Theorem I. so fassen : 

II. Aus einer Gleichung (3) können wir Je nicht äqui- 
valente Systeme [ ' ) ableiten, die der Gleichung 
(1) genügen, 

§ 115. Die singulären Werte der Invariante j (co). 
Die Frage, die zunächst unser Interesse in Anspruch nimmt, 
ist die nach den Werten der Modulfunktionen von w für die 



§ 115. Die singulären Werte der Invariante J (w). 419 

besonderen Werte des Arguments oj, die wir im vorigen Para- 
graphen betrachtet haben. Von diesen hängen die Moduln der 
elliptischen Funktionen ab , die eine komplexe Multiplikation zu- 
lassen. Sie heißen nach Krouecker singulare Moduln. Wir 
werden dementsprechend auch von den singulären Werten 
der Modulfunktionen, insbesondere von den singulären In- 
varianten j(ca) sprechen, und verstehen darunter die Werte, die 
diese Funktionen annehmen, wenn a die Wurzel (mit positiv 
imaginärem Bestandteil) einer quadratischen Form mit nega- 
tiver Diskriminante ist. 

Wenn co der Gleichung (3), § 114, genügt und a, 6, c, 8, n 
wie im vorigen Paragraphen bestimmt sind, so folgt zunächst: 

und wenn also 

(2) Fn{u,v) = 

die zum Transformationsgrad n gehörige Invariantengleichung ist 
(§ 69), so ist (2) befriedigt, wenn «, 6, c, d ohne gemeinsamen 
Teiler sind und 

(3) «=i(«), ^=i(^^4^) = « 

gesetzt wird. Danach gelangen wir zu dem ersten Hauptsatz 
dieser Theorie: 

III. Der singulare Wert 

u = .■;' (ö) 

ist eine Wurzel der algebraischen Gleichung: 

(4) Fn (», u) = 0. 

Ist umgekehrt « eine Wurzel der Gleichung (4), so ist, wenn 
CO aus der Gleichung j (co) = u bestimmt wird, einer von den der 
Gleichung (2) genügenden Werten von v gleichfalls = h, und es 
besteht also eine Gleichung von der Form (1); diese hat nach 

§ 53 zur Folge, daß co mit ~y ^ — äquivalent ist, und daraus 

ergibt sich eine Gleichung von der Form § 114, (3). Also haben 
wir die Ergänzung zu III.: 

IV. Jede Wurzel von (4) ist eine singulare Invariante. 

27* 



420 Siebzehnter Abschnitt. § 115. 

Ist T eine Variable mit positiv imaginärem Teil, und v gleich- 
falls eine Variable, so zerfällt Fn\v^j{v)\ nach §69 in die 
linearen Faktoren 

worin ( ' j ein vollständiges Repräsentantensystem nicht äqui- 

\c, 6/ 

valenter Transformationen wten Grades durchläuft, und folglich 
kann Fn (w, u) in die Faktoren 

zerlegt werden, wenn u = j (r) gesetzt wird. 

Aus dem Theorem IL, § 114, aber folgt, daß, wenn wir r = o 
setzen, Ic von den Faktoren (5) verschwinden. Wir können aber 
auch noch folgern, daß der Quotient 

c -\- dv^ 






(6) 

j (t) — j (m) 

für j (t) = j (o) endlich und von Null verschieden bleibt. Denn 
differentiiert man Zähler und Nenner nach r und setzt dann 
r = CO, so ergibt sich der Grenzwert: 

n _ 2Y^x 

~ {a-\-bcoy ~~ y ^ yjBx ' 

der von Null verschieden ist. 

Die Invariante j{co) bleibt unverändert, wenn co durch eine 
äquivalente Zahl ersetzt wird, hat aber für jede andere Zahl a 
einen anderen Wert. Sie gehört also nicht zu der individuellen 
Form (^, J?, C), sondern zu der ganzen Klasse äquivalenter 
Formen, und wird darum die Klasseninvariante genannt. 

Ferner ist die Zahl h nicht von den Koeffizienten J., B^ C, 
sondern nur von D und n abhängig, und ist daher für alle primi- 
tiven Formen der Diskrimiuante JD dieselbe. Wir führen nun die 
folgende Funktion der Variablen u ein: Es bedeute «i, cja, ..., coh 
ein vollständiges System nicht äquivalenter Zahlen der Diskrimi- 
uante Z), also das System der Wurzeln eines Systems nicht 
äquivalenter Formen (.4, 5, C) der Diskriminante JD. Wir setzen 

(7) Hm{u) == [u — i(wi)] [u — j(«2)] ... [u —j{coh)l 



§ 115. Die singulären Werte der Invariante j ("j)- 421 

woriü, wie wir jetzt öfter tun werden, 

(8) m = — I) 

gesetzt ist, so daß m eine positive ganze Zahl bedeutet. 

Diese Funktion, die für die Folge sehr wichtig ist, heißt die 
Klassenfunktion. Die Wurzeln der Gleichung 

(9) H„,iu) = 

sind die Klasseninvarianten der Diskriminante I) = — m, und 
diese Gleichung heißt darum die Klassengleichung. 

Der Grad li der Klassengleichung ist gleich der Zahl primi- 
tiver Klassen der quadratischen Formen der Diskriminante D. 
Wenn man nun die Quotienten (6) betrachtet, so ergibt sich aus 
alledem : 

V. Die Funktion jP„(m, u) ist durch [Hm{u)f teilbar, und 
der Quotient ist relativ prim zu U,n{ii). 

Hiernach läßt sich die Funktion -F„ (?f, u) in Faktoren zer- 
legen, und es ergibt sich, wenn C eine Konstante ist, die gleich 
den Koeffizienten der höchsten Potenz u^ von u ist: 

(10) F„ («, u) = CHI {ti) Hl, {u) H^. {u) . . ., 

wenn sich das Produkt auf alle die positiven ganzen Zahlen m, 
m\ m", ... erstreckt, für die Gleichung § 114, (8) 

(11) 4:n = iß -\- mx^- 

eigentliche Lösungen zuläßt, und h, h', k", . . . jedesmal die iVnzahl 
dieser Lösungen bedeutet (mit der dort angegebenen Modifikation 
in den beiden Ausnahmefällen D = — 4, Z) = — 3). 

Es ist zunächst der Grad N der Gleichung Fn{u, n) zu be- 
stimmen. 

Wenn wir die Repräsentanten in (.5) wie in § 69 auswählen, 
so wird 

(12) F^ [j (r), j (r)] = 77 [j (r) - j (^i^) • 

Hierin bedeutete a, d alle der Bedingung a d = n genügen- 
den Paare positiver ganzer Zahlen, und c durchläuft ein Rest- 
System nach dem Modul a, mit Ausschluß solcher Werte, die zu 
dem größten gemeinschaftlichen Teiler e von a und d nicht relativ 
prim sind, so daß die Anzahl der Werte von c, die zu einer Zer- 
legung von n in die beiden Faktoren a und d gehören, gleich 
ucp{e):e ist. Ist nun N der Grad von ¥„ (h, ii) und C der Koeffi- 
zient der höchsten Potenz von «, so beginnt die Entwickelung 



422 Siebzehnter Abschnitt. § 115. 

von jF„[j(t), j{r)] nach Potenzen von q = e'^»* mit Ccr^^ 
[§ 69, (4)]. 

Wenn wir also die Faktoren der rechten Seite von (12) in 
gleicher Weise entwickeln, so können wir sowohl C als N be- 
stimmen. 

Für einen Faktor der rechten Seite von (1) 



.,- .{c-\-dz\ 



haben wir folgende Anfänge der Entwickelung 

2ö 27tic 

1. —q~^ e~ « , 8 > «, 

2. g-^ e < a, 

(inic\ 
1 — e ~), d = a. 

Nehmen wir zunächst an, n sei kein Quadrat, so kommt der 
Fall 3. nicht vor, und es ist 

iv = 2;%(e) + 2:%(e), 

oder, was dasselbe ist, 

(13) N=2 2jK{e). 

C ist nach 1. jedenfalls eine nte Einheitswurzel, und da es 
zugleich eine rationale Zahl ist, so muß es = + 1 sein. 

Ist sodann n ein Quadrat, so kommen q>{^n) Faktoren von 
der Form 3. vor und es ergibt sich: 

(14) N=2ulcp{e)-^cp(in). 

C ist hier zwar auch von Null verschieden, aber nicht gleich 
+ 1- Den Wert von C brauchen wir in diesem Falle nicht näher 
zu bestimmen. (Er ist, wie aus der Kreisteilungstheorie folgt, 
immer ein Teiler von '^nj. 

Wenn im besondern n eine Primzahl ist, so ist 

(15) N = 2n. 

Man kann über x und y immer so verfügen, daß unter Ein- 
haltung der Bedingungen § 114 n = ^(qß -J^ mx^) kein Quadrat 
wird. Zu dem Ende nehme man x durch 4, y durch 2, aber nicht 
durch 4 teilbar, und überdies y ohne ungeraden gemeinsamen 
Teiler mit mx^ an. Ist dann \{y^ -)- mx^) ein Quadrat M^, so 



§ 116. Klassenzahlrelationen. 423 

hat es einen ungraden quadratischen Primteiler j)^^ (j^r nicht 
in y^ aufgeht, und es ist 

(ij -^ 4.kpy- -j- mx^ = 4:M^ -{- 8kyp -^ 16 l^j)^, 
und diese Zahl ist, wenn A nicht durch p teilbar ist, zwar durch 
p, aber nicht durch p^ teilbar, und kann also kein Quadrat sein. 
Überdies kann man über A noch so verfügen, daß y -\- Akp mit 
X keinen ungeraden gemeinsamen Teiler hat, daß also die Be- 
dingungen § 114 erfüllt sind. Demnach genügt j (co) für jedes m 
einer Gleichung i^„(tt, u), in der C = + 1 ist, und daraus folgt 
nach Bd. II, § 149 : 

VI. Die Klassenvarianten sind ganze algebraische 
Zahlen. 

§ 116. Klassenzahlrelationen. 

Wenn man den Grad, wie er sich hiernach für beide Teile 
der Gleichung (10), ^115 ergibt, gleich setzt, so erhält man die 
Formel 

(1) N = hlc^ h' k' + h" k" ^ . • ., 

(2) Uhk = 2 2:-(f(e) + (p (\n\ 

worin <p (^n) = zu setzen ist, wenn )i kein Quadrat ist, und 
N durch (13), (14) oder (15) des vorigen Paragraphen bestimmt 
ist. Dies ist die Kroneckersche Klassenzahlrelation, der 
wir noch eine etwas bequemere Form geben wollen i). 

Wir fassen neben n alle Werte n' ins Auge, die aus u durch 
Fortheben eines quadratischen Faktors entstehen, bilden für sie 
die Gleichung (2) und addieren alle so gewonnenen Resultate. 
Dabei ist nur, falls n ein Quadrat ist, der Wert n' = 1 aus- 
zuschließen, weil Fl (h, u) = ist. 

Es sei also d^ irgend ein von n selbst verschiedener quadra- 
tischer Faktor von n und 

n = n'öK 

Zerlegen wir n' in zwei Faktoren n' = a' c' und bezeichnen 
mit e' den größten gemeinschaftlichen Teiler von d' und «', so ist 



^) Die Klassenzahlrelationen, von denen die liier abgeleitete nur der ein- 
fachste Fall ist, sind von Kronecker entdeckt (Grelles Journal, Bd. 57) und 
von Gierster (Mathematische Aunalen, Bd. 21, 22) und Hurwitz (ebenda 
Bd. 25) bedeutend verallgemeinert. 



424 Siebzelmter Absclmitt. § 116. 

(3) 2JN' = 2U i -?|g)(e') + ^SP(V^), 

ö'>a' ß 

wenn ö^ alle quadratischen Faktoren von n (mit etwaiger Aus- 
nahme von n selbst) durchläuft. 
Setzen wir nun 

d'd = d, a'd = a, e'd = e, 
so ist ad =^ n, und e ist der größte gemeinschaftliche Teiler von 
o und 8; zugleich hat d' > a' zur Folge, daß 3 > a ist. Um- 
gekehrt erhält man aus jeder Zerlegung ad von n und jedem 
Teiler e' von e eine Zerlegung a' d' von n\ wobei 

;. e „, 8e' , ae' 
e' e c 

wird. Demnach ist 

(4) SN' = 22J -Ucp (e') + 1: 9> (V>^). 

Hierin machen wir nun Gebrauch von der zahlentheoreti- 
schen Relation: 2J(p(d) = n, worin sich die Summe auf alle Divi- 
soren von n bezieht. Nehmen wir zunächst an, daß n kein Quadrat 
sei, so sind auch alle n' keine Quadrate und q) (]n') = 0. Also 
erhalten wir wegen 2Jcp(e') = e 

(5) 2JN' = 2 2Jd. 

Wenn dagegen n ein Quadrat ist, so durchläuft e' noch 
immer die sämtlichen Divisoren von e, )ln' aber die sämtlichen 
Divisoren von j/w, mit Ausnahme von 1; danach ergibt sich für 
diesen Fall: 

(6) 2JN' = 2 2J 8_-f- Vw — 1. 

ö>yn 

In beiden Fällen durchläuft d die sämtlichen Divisoren von 
n, die größer als ^'n sind. 

Wir haben nun noch die Summe der Ausdrücke Uhh für 
die verschiedeneu Werte von n' oder d zu bilden. Setzen wir 
aber n = d^n', so erhalten wir aus jeder eigentlichen Lösung von 

(7) 4:71' = y'-^ + mx'^ 

durch Multiplikation mit d^ eine (wenn ö >. 1 ist, uneigentliche) 
Lösung von 

(8) 4:n = iß -{- mx\ 

nämlich 

y = dy'^ X = öx'. 



§ 116. Klassenzahlrelationen. 425 

Ist umgekehrt irgend eine Lösung x^ y von (8) gegeben, so 
ist 4w durch das Quadrat eines jeden gemeinschaftlichen Teilers 
von X und y teilbar. Wir bezeichnen mit 8 den größten gemein- 
schaftlichen Teiler von a-, ^, dessen Quadrat zugleich Teiler von 
n ist, der also entweder gleich dem größten gemeinschaftlichen 
Teiler von a?, y oder gleich der Hälfte desselben ist, und setzen 

y = 8y\ n = dx, 

und erhalten so eine eigentliche Lösung von (7). 

Wenn wir also für — tu alle Diskriminanten setzen, für die 
die Gleichung (8) überhaupt Lösungen hat, und mit li die Anzahl 
dieser Lösungen (mit positivem x) verstehen, ferner mit h{m) 
die Klassenzahl primitiver Formen der Diskriminante — w, so 
ergibt sich die Formel 

(9) Z]ch(ni) = 2Ud, 

wenn n kein Quadrat ist, 

= 2Ud^ \'n — 1, 
wenn n ein Quadrat ist. 

Hier ist noch daran zu erinnern, daß in den beiden Aus- 
nahmefällen m = 3, on == 4 unter Ti in § 115 nur der dritte 
Teil oder die Hälfte der Zahl der eigentlichen Lösungen von (8) 
verstanden war. 

Diesem Umstand wollen wir jetzt dadurch gerecht werden, 
daß wir unter k die Gesamtzahl der Lösungen von (8) ver- 
stehen, aber 

/i(3) = l M4)=.| 

setzen [statt /i(3) = 1, h(4) = 1]. 

Es ist ferner zu bemerken, daß bei der Bildung der Summe 
(9) die zu dem Wert n' = 1 gehörigen Lösungen nicht mitgezählt 
sind. Dies kommt nur für den Fall in Betracht, daß n ein 
Quadrat ist. Es hat dann die Gleichung (7): 

4 = 2/'2 + mx'^ 

nur die folgenden eigentlichen Lösungen : 

m = 3: x' = l, y' = ±1, /.• = 2, h = |, 
m = 4: x' = l, y' = 0, Je = l, /i = |, 

und es würde also, wenn man diese Ausnahme beseitigen wollte, 
zu (9) noch zu addieren sein: 



Z!hh, auf n' = 1 bezogen, = i -|- 



426 Siebzehnter Abschnitt. § 117. 

Demnach lautet jetzt die Formel 

(10) 1:111 {m) = 2 2:e, 

n kein Quadrat, _ 

n ein Quadrat. 

Die Summe auf der linken Seite von (10) zerlegen wir in 
ihre einzelnen Bestandteile, indem wir jede Lösung der Gleichung 
(8) besonders nehmen. Dann bekommen wir eine Summe von 
Ausdrücken /i(m), wo aber dasselbe m so oft vorkommt, als (8) 
Lösungen hat. Eine der Lösungen ergibt aber 

4n — w2 
''' = -^^ 

und diese kommt, wenn ^ = ist, einmal, wenn y von Null 
verschieden ist, zweimal (mit -}- y und — ij) vor. Es ist aber 
die Anzahl der primitiven Klassen der Diskriminante — m gleich 
der Anzahl der nicht primitiven Klassen der Diskriminante — x'^m 
vom Teiler :r, und wenn wir also jetzt (zum Unterschied von der 
vorigen Formel) mit /i (m) die Gesamtzahl der Klassen von der 
Diskriminante — m (primitiven und imprimitiven) verstehen , so 
erhalten wir aus (10): 

(11) /i(4«)4- 2/i(4w— 1) + 2/t(4H— 4) + 2/^(471 — 9) -|- ••• 

= 2 2J8, (n kein Quadrat), 

= 2 2^^-1- y^n ~\- \^ (n ein Quadrat). 

Darin ist links die Summe der h (4 n — y^) so lauge fortzu- 
setzen, als An — y^ positiv bleibt, und rechts durchläuft d alle 
Divisoren von «, die größer als |u sind. 

Dabei ist jedoch zu beachten, daß die Formen {x^Q^x) 
nur je mit \ und (.r, r, x) mit \ in Rechnung zu setzen 
sind, weil sie aus den Darstellungen von 4« durch die Dis- 
kriminante m = — 4, — 3 hervorgehen. 

§ 117. Arithmetische Natur der Klassenfunktion Hm{u). 

Wir kehren jetzt wieder zurück zu der Gleichung (10), § 115^ 
um daraus die Natur der Koeflizienten der Klassengleichung 
Hm(n) = abzuleiten. Zunächst aber betrachten wir die beiden 
speziellen Fälle: m = 4 und m = 3. 



I 



§ 117. Arithmetische Natur der Klassenfunktion Hm(i(). 427 

Setzen wir wie in § 54, (4) 

so ergibt sich aus § 54, (14) : 

73 («■) = —Ys («), also ^3 (0 = 0. 
Es ist ferner nach derselben Formel, wenn wir 

— 1 + i^ß , , -1 

Q = 2 ' ^ + ^ = V 

setzen : 

-— / 1\ 

^2(9 + 1) = e ' r2(?) = ^^\~^) "^ ^2(9), 

folglich j^2 (q) = 0, und wir erhalten 

^3 00 = ", i(9) = 0, 

^ ^ ir,(M) = u — 1728, j(0 = 1728. 

Es haben also die beiden Funktionen H^ (u) und H^ (ii) 
ganze rationale Zahlenkoeffizienten. Diese Eigenschaft können 
wir nun durch vollständige Induktion allgemein für alle H,n 
nachweisen. 

Zunächst bemerken wir, daß, wenn bewiesen ist, daß Hm(u) 
rationale Koeffizienten hat, sogleich folgt, daß die Koeffizienten 
ganze rationale Zahlen sind (der erste =1). Denn diese Koeffi- 
zienten sind ganze algebraische Zahlen (nach § 115, VI.) und folg- 
lich, wenn sie rational sind, ganze rationale Zahlen. Nun 
betrachten wir die größten unter den Werten von W2, die in der 
Gleichung (10), § 115 vorkommen; das sind 

w = 4n, a? = 1, y = ü, k = 1, 

w = 4n — 1, X = l^ ?/ = +1, Z; =: 2. 

Es enthält hiernach i\{v^ u) die beiden Faktoren Hi„(it)^ 
Hin—iiu)^, und sonst lauter Faktoren H,n{u)^ in denen 
w <! 4 w — 1 ist. Nehmen wir an , daß von den letzteren schon 
bewiesen sei, daß sie rationale Koeffizienten haben, so folgt, daß 

rationale Koeffizienten hat, und man hat also, um Hi„^i(u) zu 
finden, den größten gemeinschaftlichen Teiler von 0{n) und ^'(») 
zu suchen, was durch rationale Rechnung geschieht. Damit ist 
aber auch Hi„(H) auf rationalem Wege gefunden, und da i/3 (;<) 
und H^ (ii) rationale Koeffizienten haben, so folgt allgemein : 
YII. Die Klassenfunktionen H,n{i() haben ganze ratio- 
nale Zahlenkoeffizienten. 



428 Siebzehnter Abschnitt. § 118. 



§ 118. Komposition der quadratischen Formen. 

Da wir uns in der algebraischen Theorie der Klassengleichung 
auf die Theorie der Komposition der quadratischen Formen stützen 
müssen, so schicken wir darüber die folgenden Bemerkungen 
voraus : 

Zwei primitive Formen (p^ = (ai, b^. c^), (p2 = («21 ^21 ^2) 
der Diskriminante — m heißen einhellig (einig, concordantes), 
wenn %, a^, 2(^1 + ^2) ohne gemeinschaftlichen Teiler sind; q)^ 
und cp2 sind also gewiß einhellig, wenn schon %, «3 ohne gemein- 
samen Teiler sind, und da man, wenn nur die Klassen Ä^j, k^ 
von <jpi, (JP2 gegeben sind, ^,, cp^ in ihren Klassen immer so wählen 
kann, so folgt, daß man in irgend zwei Klassen (die auch identisch 
sein können), immer zwei einhellige Formen finden kann. Wenn 
also diese Voraussetzung zutrifft, so folgt aus 

T (Pi — ^'^ = 2 (^1 — ^2) • I (^1 + ^2) = «1 Ci — ^h Ca, 
daß l (61 — b^) durch den größten gemeinschaftlichen Teiler d 
von «1, «2 teilbar ist, und daraus, daß man die beiden Kongruenzen 

(1) b' = 61 (mod 2 «1)1 ^' = ^-2 (mod 202) 

immer befriedigen kann. 

Denn aus der ersten von ihnen folgt b' = b^ -\- 2Aai, und 
man hat also A aus der Kongruenz 

I (pi — b^) -\- üi ?i ^ (mod «2) 

zu bestimmen, die immer lösbar ist. Ist /u. das kleinste gemein- 
schaftliche Vielfache von a^ und a^, also a^a2 = ^S, so kann 
b' nach (1) noch durch b = b' ^ 2 ah ersetzt werden, wenn h eine 
beliebige ganze Zahl ist. Da nun j{b{ -\- m) durch a,, l(b^ -\- ni) 
durch ag teilbar ist, so ist \ (b''^ -\- m) durch jx teilbar, und wenn 
wir h aus der Kongruenz 

h'2 _|_ ^1 

/ -^b'h = (mod d) 

bestimmen, die immer lösbar ist, da b' nach Voraussetzung relativ 
prim zu 8 ist, so wird b^ -\- m = 4:aia2C durch Aa-^^a^ teilbar. 
Die zwei Klassen /Ci, li^ sind dann repräsentiert durch 

9)1 = (tti, 6, «2 c), (p2 = («21 ^5 «1 c), 
und die Form 

(p = cp^cp^ = (tti aa, J, c) 



§ 118. Komposition der quadratischen Formen. 429 

ist aus <pi q)2 komponiert. Die Form qp gehört in eine Klasse /r, 
die aus ^i, A^g komponiert heißt. 

Nehmen wir qp = (a, &, c) so an, daß a relativ prim zu m 
ist, so ist auch b relativ prim zu a (wegen w = 4 a c — b'^). Ist 
a = a^a^, so sind auch (aj, 6, ca^)-, («21 ^1 ^«0 einhellige primi- 
tive Formen, und man erhält die Komposition 

(a, b, c) = («1, b, ca^), (ag, b, ca), 
und durch wiederholte Anwendung dieses Satzes gelangt man zu 
dem Resultat: 

I. Die Form cp = («, &, c) läßt sich, wenn a relativ 
prim zu m ist, aus solchen Formen zusammen- 
setzen, deren erste Koeffizienten Primzahlen, 
nämlich die Primfaktoren von a sind. 
Eine dieser Komponenten, etwa 

läßt sich durch eine äquivalente Form Qj, b\ c' p9) ersetzen, 
deren dritter Koeffizient c' p^ durch eine beliebig hohe Potenz 
von p teilbar ist. 

Um dies zu beweisen, brauchen wir für die Äquivalenz das 
Zeichen ^, und haben 

{p, &, cp3-^) ~ (p, b + 2kps, c'p^\ 
worin c' wegen der Gleichheit der Diskriminanten aus 

pc' = c -[- Ib ^ X^ps 
zu bestimmen ist. Da nun b durch p nicht teilbar ist, so kann 
A aus der Kongruenz c -|- Xb ^ (mod p) bestimmt werden, und 
c' ergibt sich als ganze Zahl. Damit ist mit Rücksicht auf (I.) 
bewiesen : 

IL Man kann in jeder Klasse li von primitiven 
Formen der Diskriminante D einen Repräsen- 
tanten (p finden, der sich aus Formen 

P = (p, b.psc), 
worin p eine in D nicht aufgehende Primzahl, 
und g ein beliebiger Exponent ist, zusammen- 
setzen läßt. 
Die Form P läßt sich leicht mit sich selbst zusammensetzen, 
denn es ist im Sinne der Kompositionen, wenn ^ >> t- ist: 

0/, b,po-^c){p, b.p^c) = (p'+\ b,p3-^-^c), 
und folglich durch den Schluß von v — 1 auf v : 
(2) P- = ip\b,po-^c). 



430 Siebzehnter Abschnitt. § 118. 

In der Kette der Kompositionen 

(3) F,P\F\... 

kann eine Form vorkommen, die in die Hauptklasse gehört, 
die also mit (1,0,^«*) oder [l, l,|^(m-f-l)] äquivalent ist. 
Wenn dies bei P* eintritt, so ist j)^ durch die Hauptform dar- 
stellbar, und es gibt eine eigentliche Darstellung 

(4) 4^1)' = y^ — Dx": 

Ist umgekehrt eine solche Darstellung möglich, so gibt es in der 
Hauptklasse eine Foi'm {p^ b, c). 

Ist £ der kleinste positive Exponent, für den die 
Gleichung (4) eigentlich lösbar ist, so heißt a der Index 
von p, und p gehört zum Exponenten f. 

Ist 

(5) F = (i>, h, p^-i c), 
so ist 

h'^ ^ I) (mod 4^/), 

und wenn diese Bedingung erfüllt ist, so ist in der Form (p, h, c') 
der Diskriminante D der dritte Koeffizient durch p^ — '^ teilbar. 
Die Form (5) bleibt erhalten, wenn wir h durch irgend eine nach 
dem Modul 1p^ kongruente Zahl h' ersetzen. Ist also a nicht 
durch p teilbar und 

9> = {'^. J^\ C) 
irgend eine mit P einhellige Form der Diskriminante 2), so lassen 
sich die beiden Kongruenzen 

x^h (mod 2^'}, x ^ B (mod 2 a) 
zugleich befriedigen, und wenn man dieses x also an Stelle von 
h und B setzt, folgt: 

III. Ist / die Klasse von P und h eine beliebige Klasse 
der Diskriminante Z), so kann man in l und Ti die 
Repräsentanten wählen: 

(6) (p, h, acp'-^\ (a, /;, cp% 

und in der komponierten Klasse Ih erhält man 
einen Repräsentanten 

(7) {ap.h^p'-^c). 
Ist also 

— h^i—m 

w = '-^ 

2 a 

eine Wurzel der Klasse ä;, so ist o:p eine Wurzel 

der Klasse lli. 



§ 119. Die Diskrirainante der Invariantengleichung. 431 

§ 119. Die Diskriminante der Invariantengleichung. 

Wir stellen uns jetzt die Frage, wann eine Invarianten- 
gleichung 

(1) F,{v,ti) = 0, 

worin p eine Primzahl ist, für u=j(c}) zwei oder mehrere 
gleiche Wurzeln v hat, oder wann unter den p -\- 1 Größen 

(2) i(pco), i(^^), c = 0, 1, ...,p-l 

zwei oder mehrere einander gleiche vorkommen. Dies findet 
dann und nur dann statt, wenn unter den p -\- l Größen 
/9\ CO -^ c 

zwei äquivalente vorkommen. Es muß also jedenfalls co einer 
ganzzahligen quadratischen Gleichung mit negativer Diskrimi- 
nante D = — m genügen, die wir in der Form annehmen: 
(4) Äco'^ -]- Bco -{- C = 0, 4:ÄC— B^ = m> 0, 

worin A, B, C ohne gemeinsamen Teiler sind. 

Ersetzen wir a durch eine äquivalente Zahl, also (4) durch 
eine äquivalente Gleichung, so werden die Größen (2) nur unter- 
einander vertauscht. Die Frage nach der Anzahl der gleichen 
Wurzeln von (1) wird also davon nicht berührt, und wir können 
daher annehmen, daß Ä durch j) nicht teilbar sei. Ist nun zu- 
nächst p a äquivalent mit — ^^^ , so ist : 

(o) ■ — = - — — ^ — , ad — ßy = l. 

Schreiben wir diese Gleichung so: 

(6) /3^«2 -j- (a + /3cp — dp2)o -^ ca — yjJ = 0, 

so folgt durch Vergleichung mit (4) (da A durch p unteilbar 
sein sollte), daß « durch j9 teilbar, also=po'/ sein muß, und 
daß eine ganze Zahl x existiert, die den Bedingungen genügt: 

(7) ß = Ax, a'^ßc — dp = Bx, ca' — y = Cx. 

Setzen wir noch 

(8) oc' - ßc-^dp = y, 

so folgt: 

2 a' = Bx -f y, 

(9) 2(^c — dp) = Bx — //, 



432 Siebzehnter Abschnitt. § ll'J. 

und aus 

(10) pa'd — ßy=l 
folgt sodann 

(11) if- -\- mx^ = 4. 

Der Wert :r = ist auszuschließen, weil sonst /3 =: sein 
müßte, was der Gleichung (10) widerspricht, und wir können 
unbeschadet der Allgemeinheit x positiv annehmen. Da überdies 
m nach dem Modul 4 entweder ^ oder ^ 3 sein muß, so 
bleiben zur Erfüllung von (11) nur folgende zwei Möglichkeiten 
übrig : 

1. w = 3, ;z; =r 1, t/ = + 1. 

Da es für die Diskriminante — 3 nur eine Formenklasse 
gibt, so können wir yl=l, 5=1, C=l annehmen, d. h. für 

CO die imaginäre dritte Einheitswurzel e ^ setzen, und erhalten 

unter den Größen (3) drei äquivalente, indem wir y = -\-\ und 

= — 1 annehmen : 

CJ + 1 

P ' 

CO -|- 1 _ --1 
p pco 

erkannt wird, aus denen die Äquivalenz der drei Größen (12) 
evident ist. 

2. m = 4, X = 1, y z= 0. 

Weil es auch hier nur eine Formonklasse gibt, so können wir 
B = 0, Ä = C = 1, d. h. CO = i annehmen, und finden die zwei 
äquivalenten Werte: 

CO 

pco, — , 
p 

wie auch aus der Gleichung 

—P 

p(0 = — — 

CO 

folgt. 

Es seien ferner zwei der Werte (3) 

CO -]- C CO -\- c' 

"'p ' p 

äquivalent, so daß eine Gleichung besteht: 

(13) £^M^ ''"ITfl <'S-ßY = l, 

^ ^ p ap -j- p (« -j- 6' ) 



(12) 


1 






CO 

pco, — , 

p 


wie 


auch 


aus 


den Gleichungen 








CO 

P 


— 1 




~ p -^ pco 



§ 119. Die Diski-iminaute der Invariantengleichung. 433 

oder 

(14) ßa'- -^ {ßc' ^ ßc -\- ap — 8p)co ^ 

ßcc' -\- acp — dc'p — yj)2 -^ 0, 

woraus durch Vergleichung mit (4): 

ß = Ax, 

(15) ßc' ^ ßc -\- ap — öp = Bx, 
ßcc' -\- acp — de' 2) — yj)^ = Cx, 

und wenn man wieder 

(16) ßc'-ßc-}-c^.p^dp = y 
setzt : 

2{ßc' -\-ap) = Bx^y, 
^ ^ 2 (/3 c — öii) = Bx — y. 

Daraus 

(18) iß -f mx^ = 4.pl 

Ist X durch p teilbar, so muß auch y durch p teilbar sein, 
und wir kommen durch Wegheben des Faktors p- auf die Glei- 
chung (11) zurück, die, wie wir gesehen haben, nur für die Fälle 
m = 3 und m = 4 lösbar ist. Wir nehmen also weiter an, x sei 
durch p unteilbar. 

Ist m durch j) teilbar, so ist auch y durch p teilbar, ß ist 
nach (15) nicht durch p teilbar. Dann aber folgt aus (16): 
c ^ c' (mod p), und beide entsprechen also der nämlichen Wurzel 
von (1). 

Es gehe jetzt also p weder in x noch in m auf. Dann geht 
es auch nicht in y auf, und nach (17) werden c und c' aus den 
Kongruenzen 

/ION o , Bx -\- y „ B X — y , , , 

(19) ßc' = ^, ß c = 2— ^ (mod p) 

bestimmt, und wenn c, c' bestimmt sind, ergeben sich aus (17) 
a und 8 als ganze Zahlen. Damit sind die beiden ersten 
Gleichungen (15) befriedigt, und y erhält man aus der letzten 
Gleichung (15) gleichfalls als ganze Zahl. 
Es ist nämlich 

(20) yp-^ = ßcc' -\- (occ — d c') p — Cx = (mod p^). 
Denn wir haben aus (17) und (15) 

ß-'cc' + /3(ac — Öc')p — adp"" — AGx^ 
= ß[ßcc' -{-{ac — dc')p — Cx] — «öjj2 
w2 4- »t X- 

Weber, Algebra. III. qq 



434 Siebzehnter Abschnitt. § 119. 

folglich ist das zweite Glied von (20) durch ^r- teilbar, und wenn 
man yjp'^ dafür einsetzt, so folgt 

Cid — ßy = h 
Wir kommen also zu dem Resultat: 

IV. Die Invariantengleichung Fp{v, u) hat immer dann 
und nur dann mehrfache Wurzeln, wenn n = j (co) 
ist, worin co die Wurzel einer quadratischen Glei- 
chung ist, deren Diskriminante nicht durch j> 
teilbar ist, aber eine Lösung der Gleichung (18) 
gestattet. 
Es gibt für ein gegebenes p nur eine endliche Anzahl von 
Werten tu, die dieser Forderung entsprechen, da m << 4j)2 sein 
muß. Die Werte m = 3, m = 4 sind darunter als spezielle 
Fälle enthalten. 

Da nach (18) — m quadratischer Rest von p ist, so ist p 
durch eine Form der Diskriminante — m darstellbar; p^ ist aber 
durch die Hauptform einer Diskriminante darstellbar. Die 
Formenklasse, durch die p) darstellbar ist, ist also selbst entweder 
die Hauptklasse oder sie gibt, mit sich selbst komponiert, die 
Hauptklasse, ist also zweiseitig. Wir können das Theorem IV. also 
auch folgendermaßen aussprechen : 

V. Die Wurzeln der Diskriminante der Invarianten- 
gleichung Fp(v^ u) sind die singulären Invarianten 
J(g}), worin co die Wurzel einer quadratischen 
Gleichung von negativer Diskriminante D ist, für 
die die Primzahl p den Index 1 oder 2 hat. 



Achtzehnter Abschnitt. 

Galoissche Gruppe der Klassengleichiing. 



§ 120. Belationen zwischen den Klasseninvarianten derselben 

Diskriminante. 

Es ist für die Folge eine Bezeichnung zweckmäiSig , durch 
die die Abhängigkeit der Klasseninvariante von der Formenklasse 
einfacher ausgedrückt wird. Wir setzen daher, wenn h eine be- 
liebige primitive Klasse der Diskriminante — m bedeutet, die 
nach § 118, III. durch (a, h, cj)') repräsentiert wird: 

Wenn eine oder mehrere der (Ji) unter einem Funktions- 
zeichen auftreten, so werden wir die Klammern auch weglassen, 
also z. B. /"(A-, li\ ...) für f[{li\ {k'), ...] schreiben. 

Ist also 

(1) (^) = ;(«), 

und l eine durch {p, 6, acp*~^) repräsentierte Klasse, so ist nach 
§ 118, III.: 

(2) (ZÄ:)=j(^), 

und es genügen also die beiden Größen 

u = (Ä;), V = (Ik) 
der Invariantengleichung 

(3) Fp (v, u) = 0. 

Die Größe v = Qk) ist aber außerdem eine Wurzel der 
Klassengleichung 

(4) //,„(ü) = 0, 

und es ist zunächst festzustellen, wieviele Wurzeln die Gleichung 
(3) mit (4) gemein hat. 

28* 



436 Achtzehnter Abachuitt. § 120. 

Die sämtlichen Wurzeln von (3) sind aber nach § 69: 

wenn A ein Restsystem nach dem Modul 2^ durchläuft. Die erste 
von diesen gehört nicht zu den Wurzeln von (4), denn cd' = pco 
genügt der Gleichung: 

a a'-^ -{- pbo3' -{- 2)' + ^c = 0, 

die primitiv und von der Diskriminante — mp'^ ist. Wenn wir aber 
2)co' = 03 -\- k setzen, so erhalten wir für co' die Gleichung : 

(6) a jj2 c'2 _^ ^, (^ _ 2 « A) oj' + (a A2 — Z> A -f cp') = 0, 
und diese Gleichungen sind ebenfalls von der Diskriminante 
— mp^. Es sind aber zwei darunter, die imprimitiv vom Teiler^; 
sind, nämlich die den Werten 

(7) A = 0, a A — 6 = (mod p) 
entsprechen. Die erste ist die Wurzel der Form (a jj, 6, c j)*~^), die 
zweite die der Form 

(ap^ h — 2aA, C), 

und da & — 2ak ^ h (mod 2 a) und [nach (7)] ^ — h (mod 2 j)) 
ist, so ist diese Form komponiert aus (o, 6, cp*) und (jj, — ■b,ac2>^''^\ 
die in die zu l reziproke Klasse T~^ gehört. Daraus ergibt sich : 

I. Die Gleichungen (3) und (4) haben nur zwei Wur- 
zeln miteinander gemein, nämlich die Klassen- 
invarianten (IJ:) und (l~^Jv), und wenn die Klasse 1 
zweiseitig ist, so haben sie nur eine Wurzel 
gemein. 

Setzt man also in (3) v =^ (/c), so ist der größte gemein- 
schaftliche Teiler von (3) und (4) vom zweiten, und wenn l 
zweiseitig ist, vom ersten Grade. Im ersteren Falle sind (J k) und 
(/~^/v) die Wurzeln einer quadratischen Gleichung, deren Koeffi- 
zienten rational von u abhängen, und deren Form im übrigen 
nur von der Klasse 7, nicht von Ic abhängig ist. Dem hiermit 
bewiesenen können wir den Ausdruck geben: 

II. Es ist 

(8) (lk)-^{r'k) = fr(kl 
oder, wenn l zweiseitig ist, 

(9) i^k) = fiik), 

worin fi{k) eine rationale Funktion von (k) be- 
deutet, deren rationale Zahlenkoeffizienten nur 
von der Klasse 7, nicht von der Klasse k abhängen. 



§ 121. Trennung der entgegengesetzten Klassen. 437 

Wir betrachten nun die Reihe der Klasseninvarianten 

(10) ..., {i-'h), (r^/c), {h\ m, (fk), (fk), ..., 

die beliebig nach vorwärts und nach rückwärts fortgesetzt werden 
kann. In dieser Reihe ist, wenn l zum Exponenten £ gehört, 
(V k) mit (^ + */i) identisch, während alle zwischenliegenden Glieder 
davon und untereinander verschieden sind. Ist l zweiseitig, so 
enthält die Reihe (10) nur zwei verschiedene Glieder, von denen 
jedes durch das andere rational ausdrückbar ist. Anderenfalls 
schließen wir nach (8), daß jedes Glied der Reihe (10) rational 
ausdrückbar ist durch die beiden vorhergehenden (oder auch durch 
die beiden folgenden) in der Form 

(11) (l^ + ^k) = -(P-^k)-^t\(Pk). 

Durch eine wiederholte Anwendung dieser Formel gelangt 
mau zu dem Satze, daß jedes Glied der Reihe (10) rational 
ausgedrückt werden kann durch irgend zwei aufein- 
anderfolgende Glieder derselben Reihe. 

Ist aber l zweiseitig, so sind alle Glieder der Reihe 
(10) rational durch eines ausdrückbar. 

§ 121. Trennung der entgegengesetzten Klassen. 

Es kommt nun darauf an, auch im Falle eines nicht zwei- 
seitigen l die beiden Wurzeln der quadratischen Gleichung von- 
einander zu trennen, was durch Adjunktion von ^U möglich ist. 

Ist die Klasse l nicht zweiseitig, so sind die beiden Klassen- 
invarianten (Ik), Q~~^k) voneinander verschieden und daher 

eine einfache Wurzel der Transformationsgleichung 

Fp(u,v) = 
(§ 119, V.). Setzen wir also 




so folgt nach § 72, daß M rational durch 
j{(o) und j(^), 



438 Achtzehnter Absclmitt. § 121 

also rational durch (Je) und (Ik) ausdrückbar ist, und aus § 72 
ergibt sich, daß M eine ganze algebraische Zahl ist. 

Diesen Satz wenden wir an auf je zwei aufeinanderfolgende 
Glieder der Reihe (7) und erhalten, wenn wir 

öl = — , öo = , ..., COf — 

p p P 

setzen, und wenn qp eine durch die Klasse l vollständig bestimmte 
rationale Funktion bedeutet: 

(2) M, =(^)" =cp{lk,Ph\ 



JSL 



- = (;£))"= ^("-M). 



Durch Multiplikation aller dieser Gleichungen folgt: 

^^> (^^T ^ ^ ^^' ^ ^'^ ^ ^' ^■' ^' ^'^ • • • ^ (^'"- ' ^'' ^0- 

Nach § 120 kann aber die rechte Seite dieser Gleichung als 
rationale Funktion (/.", l k) von (k) und (/ A;) (mit rationalen Zahl- 
koeffizienten) dargestellt werden. 

Andererseits ist, da 7 zum Exponenten a gehört, 7' mit der 
Hauptform, also l^k mit k und cog mit co äquivalent, also besteht 
eine Gleichung: 

und es ist ri (Of) : ?j (co) nach § 38 zu bestimmen. Genügt, wie 
wir angenommen haben, ca der Gleichung 

(5) a«2 4- 6« -f cp' = 0, 
so erhält man aus (4), da «j = coip^ ist: 

/3 «2 -f (a — p^ d) 03 4- y^/ = 0, 
was durch Vergleichung mit (5) gibt 

ß z= a X, ci — j>f d ^= & :r, y = — c x, 
und wenn man a -\- p' d ^= y setzt : 

(6) oc = =^_J_ , /3 = aip, 

5 y — bx 
p'y = —cx, p'd=^ — , 



§ 121. Trennung der entgegengesetzten Klassen. 439 

also 

4jü« = t/2 -j- mx-. 

Daraus sind x und y bis auf die Vorzeichen bestimmt, und 
X kann positiv angenommen werden, und das Vorzeichen von y 
ergibt sich aus der Kongruenz 

(7) y ^ hx (mod p^). 

Betrachtet man dagegen die Komposition /~^/i, so hat man 
die Form (a, b, cjj') mit Q;, — &, acp'-^) zu komponieren; man 
bestimmt b' aus den beiden Kongruenzen: 

b' = b (mod 2 a), b' = —b (mod 2^)'), 
und es ist alles ebenso durchzuführen, nur daß an Stelle von 

(7) der Kongruenz 

(8) y '^ — ^ ^ (mod p^) 

tritt, d. h. y bekommt das entgegengesetzte Zeichen. 
Nach (5) und (6) ist aber 

/n\ 1/3 y -\-{1a(o-\-b)x y -\- V — m x 

(9) a-l- ^03 =^^-L-^^— I-^ = ^^-I-L , 

worin, wenn a und x und folglich /3 positiv angenommen sind, 
y — m positiv imaginär zu nehmen ist. 
Es ist aber nach § 38, (4) 

(n{^\'_ ( y + y^^x V^ 

\ri{co)) " \ 2 / ' 

und folglich erhält man nach (3) 

(10) ^Q:,n)={ y+^^" ). 
Auf die gleiche Weise ergibt sich wegen (16): 

(11) <2>(,,r'/,) = (^^^&)r 

und die Gleichung (10) ist daher nicht erfüllt, wenn Qh) durch 
(J" ^ k) ersetzt wird, außer wenn 

(12) ( ^J + ^" )"^ ( ^ - '^•') " 

ist. 

Dies ist aber nicht möglich, wenn, wie wir angenommen 
haben, p nicht in m aufgeht. Denn zerlegt man p im Körper 
il = ::K (yi)) in die zwei voneinander verschiedenen konjugierten 
Primideale p, p', so geht das eine in |(i/ -[- ^ — m x) , das andere 



440 Achtzelinter Abschnitt. § 121. 

in l(y — y — mx) auf, und diese beiden Größen müssen also 
relativ prim sein. Folglich kann die Gleichung (12) nicht bestehen. 
Die quadratische Gleichung, deren beide Wurzeln (lk\ {l~^1i) 
sind, hat also mit (18) nur eine Wurzel gemein, und daraus 
ergibt sich der wichtige Satz : 

ni. Nach Adjunktion von |(D ist [IJc) rational aus- 
drückbar durch (k) in der Form: 
(13) (Ik) = fiik^D), 

wo fi eine rationale Funktion ist, deren Form 
durch die Klasse l allein bestimmt ist. 
Die Änderung des Zeichens von ^D hat den Erfolg, daß [Ik) 
in {l~^k) übergeht, also: 

f\(k,^l)) = /;-i(fc, -V^). 

Ist 1 zweiseitig, so gilt nach I. dieselbe P'ormel, nur daß 
\D in fi dann nicht vorkommt. 

Ist V eine zweite Klasse von derselben Beschaffenheit wie 7, 
so kann man die Formel (13) auf V k anwenden und erhält: 

(IVk) = fiil'h ^ID\ 
was mit Anwendung von 

(l'k) = fr{h^B) 
in eine Gleichung der Form: 

(IV h) = t\,{k, ]llj) 

übergeht. Da man auf der linken Seite l mit V vertauschen 
kann, so folgt 

fu'ik^m = fvi{hp^\ 

so daß fw nur von der zusammengesetzten Klasse IV abhängt. 
Ebenso läßt sich ableiten 

(llTk) = /',rr(/.-, V=^), 
und da nach § 118, II. jede beliebige Klasse s der Diskrimiuante 
]) aus solchen Klassen l zusammensetzbar ist, so ist die Formel 

(13) nebst den daraus gezogenen Folgerungen nicht mehr an die 
über l gemachte besondere Voraussetzung gebunden, daß der 
erste Koeffizient eine Primzahl sei. 

Wir haben also, wenn s, k zwei beliebige Klassen der 
Diskriminante 1) bedeuten, die Formeln: 

(14) {sk) = fs{k, ]/T)),_ 

(15) {s-^k) = f,{k, -]/!)). 



§ 121. Trennung der entgegengesetzten Klassen. 441 

Ist h die Hauptklasse, so ist 

2 oj = y^D oder 2 co = — 1 -f ]/D, 

und da ^D rein imaginär ist, so ist k =i j[co) nach § 69 (4) 
reell. Demnach ergibt sich aus (14) und (15), da jetzt (s/c) = (s) 
wird: 

Die Invarianten entgegengesetzter Klassen sind kon- 
jugiert imaginär, die Invarianten zweiseitiger Klassen 
sind reell. 

Kehren wir zu einer behebigen Klasse h zurück und setzen 
in der Formel (1.5) sh an Stelle von /i', so folgt: 

(16) {k) =fs{sk -in), 

oder, indem man sk =^ k' setzt und f für /", schreibt, nach (21) 

(k) =f{k',-ii)i 

worin nun k, k' irgend zwei Klassen der Determinante D sein 
können. 

Hiernach sind wir imstande, die Galoissche Gruppe der 
Klassengleichung, oder zunächst wenigstens eine Gruppe von 
Permutationen zu bestimmen, in der die Gruppe der Klassen- 
gleichung als Teiler enthalten ist. 

Nehmen wir zunächst an, es sei die ^D dem Rationalitäts- 
bereich der rationalen Zahlen adjungiert, und wenn (/r), (Z;'), (k") . . . 
die sämtlichen Klassenin Varianten der Diskriminante J) bedeuten, 

R (k, k', k'\ . . .) 
irgend eine rationale Funktion dieser Größen. Nach unserem 
Satze läßt sich diese Funktion rational ausdrücken durch eine 
der Größen (/c), also etwa: 

B (/.', fc', k'\ . ..) = B' (k). 

Bedeutet ferner (s) eine beliebige Klasseninvariante der Dis- 
kriminante D, und hat die Funktion B die Eigenschaft, durch 
die sämtlichen h Permutationen 

/ /.•, A:', k", . . .\ 

VsÄ-, sk', sk", . . ./' 

deren Gesamtheit wir mit <B bezeichnen wollen, ungeändert zu 

bleiben, so ist B' (k) = R' (s k), und daher rational ausdrück bar. 

Die Galoissche Gruppe der Klassengleichung nach 

Adjunktion von \I) ist also in dem System 3 enthalten. 



442 Achtzehnter Abschnitt. § J22. 

und da <B eine Abelsche Gruppe ist, so ist die Klassen- 
gleichung eine Abelsche. 

Nehmen wir an, die Funktion R habe reelle (rationale) 
Koeffizienten, so wird gleichwohl ihr rationaler Ausdruck die 
Form a -\- h ]ll) haben, worin «, h rationale Zahlen sind. Der 
imaginäre Teil wird dann und nur dann wegfallen, wenn R auch 
durch die Vertauschung sämtlicher Klassen k, /.', A", . . . mit ihren 
entgegengesetzten ungeäudert bleibt. Daraus folgt, daß ohne 
Adjunktion von ]B die Galoissche Gruppe der Klassengleichung 
enthalten ist in dem System von 2h Permutationen, die man 
erhält, wenn man in <B jede Klasse in ihre entgegengesetzte ver- 
wandelt. Nur in dem besonderen Falle, in dem alle Klassen 
zweiseitig sind (der nur für eine endliche Anzahl von Deter- 
minanten stattfindet), ist dies letztere System mit_© identisch, und 
die Klassen gleichung ist ohne Adjunktion von ]/D eine Abelsche. 

Der algebraische Körper, der aus den rationalen Funktionen 
einer Klasseninvariante gebildet ist, ist daher, von dem zuletzt 
erwähnten Ausnahmefall abgesehen, kein Normalkörper, sondern 
ist von seinen konjugierten Körpern verschieden. Dagegen^rhält 
man einen Normalkörper, wenn man die Quadratwurzel ]^D dem 
Körper der Klasseninvarianten adjungiert. Denn jede rationale 
Funktion sämtlicher Wurzeln der Gleichung kann durch eine von 
ihnen und ^B rational ausgedrückt werden. 

§ 122. Irreducibilität. 
Wir betrachten jetzt den algebraischen Zahlkörper 

(1) R = 3H/m Vi>), 

der aus einer Klasseninvariante (A) der Diskriminante D und \D 
zusammengesetzt ist; in diesem Körper sind nach dem vorigen 
Paragraphen alle zu derselben Diskriminante gehörenden Klassen- 
invarianten (k), (k'), (Ä;''), . . . enthalten. Diesen Körper nennen wir 
den Klassenkörper der Diskriminante I). Den quadratischen 
Körper 9i (y/j) bezeichnen wir wie bisher mit 5i, der, wenn 
I) ^= Q^ zJ und z/ der Stamm von D ist, mit Üt (v'z/) identisch ist. 
Ä sei die Klassen zahl der Diskriminante 1). 

1. Es sei (/c) irgend eine der h Klassenvarianten und 

(2) O {k) = (k)" -f «, (A-)' -^ + «, (A-)'-2 ... + «.. = 

die Gleichung niedrigsten Grades in Sl, deren Wurzel (A*) ist. 
Da (A") eine ganze Zahl ist, so müssen auch die «, ganze Zahlen 



I 



§ 122. Irreducibilität. 443 

des Körpers Sl sein (Bd. II, § 149). Es ist dann, wenn t eine 
Variable bedeutet, ^(t) ein Divisor der Klassenfimktion H,n{t\ 
und folglich ist auch die Diskriminante von O (t) ein -Teiler der 
Diskriminante von Hmif). 

Ist t eine beliebige ganze Zahl des Körpers S?, so ist die 
Eelativspur in bezug auf Sl (Bd. II, § 175): 

-i^^0(o) = <p(O 

eine ganze Funktion von t, höchstens vom Grade v — 1 , deren 
Koeffizienten ganze Zahlen von Sl sind. Lassen wir also t in (li) 
übergehen, so folgt : 

und daraus: 

(4) bt = ßo^ ß. (k) + ß, (k)-' + • • ■ + /3.-1 {ky-\ 

worin /3o, ßi, ..., ßv—i ganze Zahlen in Sl sind, und h eine ganze 
rationale Zahl bedeutet, für die man die Diskriminante der 
Gleichung (2): 

b = N[0'{k)] 

nehmen kann. Die Körperdiskriminante geht dann in h auf, und 
keine der in b nicht aufgehenden Primzahlen ist in Sl 
oder in 51 durch das Quadrat eines Primideals teilbar 
(Bd. II, § 174). Die Zahl b hängt nicht von der besonderen 
Zahl ^ ab. 

Eine ganze Zahl ^ ist nur auf eine Weise in der Form (4) 
darstellbar, weil sonst (k) einer Gleichung von niedrigerem als 
dem vten Grade genügen würde, was der Voraussetzung wider- 
spricht; und daraus folgt, dai5 t, nur dann durch eine 
ganze Zahl « des Körpers Sl teilbar ist, wenn alle Koeffi- 
zienten /3o, /3i, ..., /3,_i durch « teilbar sind. Denn stellt 
man g/a in der Form (4) dar, so müssen die Koeffizienten in 
dieser Darstellung ebenfalls ganze Zahlen sein. 

Ersetzen wir (k) in (3) durch eine andere Wurzel der Glei- 
chung (2), so geht t, in einen konjugierten Wert über, der eben- 
falls eine ganze Zahl ist. 

2. Nach dem Fermatschen Satze ist für jede beliebige 
Primzahl j), wenn a eine ganze rationale Zahl bedeutet: 

(5) aP ^ a (mod p). 



444 Achtzehnter Abschnitt. § 122. 

Ferner ist, wenn ij nicht in 2 J) aufgeht, nach § 85 

Pul 
D 2 = (i>, 2>) (modi>), 
also : 

(6) -^W = {D, p) ]/I) (mod jj). 

Bezeichnet daher a wie oben eine ganze Zahl des Körpers Sl: 

_ PC ^y ^zJ 
« - 2 ' 

also, wenn man mit 2Q multipliziert, x für Qx schreibt und mit 
u' die zu a konjugierte Zahl bezeichnet: 

2Qa = X ^ y -^B, 2Qcc' = x — y ^I), 

und daraus folgt nach dem Fermatschen Satze und nach (6): 

(7) C.P = a, (D,i)) = +1, 



Daraus folgt nun, wenn f{k^ y — ni) irgend eine Zahl von 
der Form (4) ist, mit Anwendung des polynomischen Lehrsatzes : 

^(Ä-, iDf ^ f (F, yS) (A ,) = + 1, (^„, ^,)_ 

/■(A-, VD)' = f(l", - V'/A (•». i') = - I. 
worin fc^ für (ä;)^ steht, also die Bedeutung einer wirklichen 
Potenz hat. 

3. Wenn ^ ein in j; aufgehendes Primideal in ü ist, so ist 
die Norm von ^ eine Potenz von jj: 

(9) ^C^) = pf. 

Der Exponent /' ist der Grad des Primideals '^^. Für jede 
beliebige ganze Zahl ^ des Körpers H ist 

(10) g^ci*) = t (mod ^), 

und wenn umgekehrt pf die niedrigste Potenz von p ist, bei der 
die Kongruenz 

(11) i"^ =t (mod ^^) 

durch jede Zahl ^ befriedigt wird, so ist /' der Grad des Ideals ^ 
(Bd. II, § 167). 

Es sind nun die Grade der Priraideale zu ermitteln, die in 
der Primzahl p enthalten sind. 

Da p nicht in der Grundzahl des Körpers ^ aufgeht, so ist 
}) nicht durch das Quadrat eines Primideals teilbar. 



§ 122. Irreducibilität. 445 

4. Bedeuten (ä;), (ä;'), ..., (A^''-^^) die sämtlichen Wurzeln der 
Oleichung 

H„,(u) = 0, 
so ist für ein variables t 

a^t) = [t- m [t - {k')] ...[t- (^c^-i))], 

und diese Funktion hat ganze rationale Koeffizienten. Es ist 
also nach (5): 

[H„,{t)y = H,,(tP) (mod j;), 

also, wenn wir t = (k) setzen: 

mp - (k)] mp - (k')] . . . [(k)p - {k(^-^^)] = (mod p). 

Bedeutet also ^ ein in p aufgehendes Primideal in ^, so muß 
wenigstens einer der Faktoren der linken Seite durch ^ teilbar 
sein, und daraus folgt eine Kongruenz 
(12) ik)P = (//) (mod ^), 

worin (k') irgend eine der Klasseninvarianten ist, die auch mit 
(Ä) identisch sein kann. 

5. Ist zunächst 

(D, p) = - 1, 

so kann '^ jedenfalls nicht vom ersten Grade sein, weil ja schon 
ist. Ist aber in (12) (nach § 121) 

{k') = f{k,iT)), k = f{k',-]/nl 

so folgt aus (13) 

(kr = f{k^. -\'l)) = f{k', -]!D) = A-, 
{k)p' = k (mod %>), 
und mithin ist für alle ganze Zahlen ^ des Körpers M 

(14) t'" = t (mod ^s), 
und ^ ist vom zweiten Grade. 

6. Ist zweitens 

{D,p) = +1, 

so gibt es, wie in § 118 bewiesen ist, zwei entgegengesetzte Klassen 
Z, l~^ (die, wenn / zweiseitig ist, miteinander identisch sind), die 
durch Formen mit dem ersten Koeffizienten p repräsentiert 
werden können, und wenn (Ä;) eine beliebige Klasseninvariante 
ist, so ist nach § 120 die Invariantengleichung für den Trans- 
formationsgrad p: 

(15) i/p(«, ^) = 



446 Achtzehnter Abschnitt. § 122. 

befriedigt für 

u = (fc), v = (Ik) und V = (r ' k). 

Nachi dem, was am Schlüsse des § 69 bewiesen ist [Formel 
(32)], folgt aber hieraus die Kongruenz 

(16) [{kr - (Jk)] [{IkY - m = (mod p). 

Wenn nun ^ ein in p aufgehendes Primideal ist, so muß 
einer der beiden Faktoren auf der linken Seite von (17) durch '^ 
teilbar sein. Welche der beiden hiernach möglichen Annahmen 
wir weiter verfolgen, ist gleichgültig, da die eine in die andere 
übergeht, wenn k mit l'^k und / mit l"^ vertauscht wird. Sei 
also 

(17) (^)^= (Ik) (mod ^^0. 

Wenn die Kongruenz (17) für irgend einen der konjugierten 
Werte (k) befriedigt ist, so gilt sie auch für jeden anderen. 
Denn es ist nach § 121 : 

{k') = fi,k,in), {ik') = r{ik,YDl 

also 

{k'Y = f{k\ V5) = f{lk, VI>) = (^A;') (mod ::p). 

Es folgt also aus (14), wenn man k durch /~~ k ersetzt: 

(18) Q-^lif = (k) (mod %^), 

d. h. je nachdem für 1 die eine oder die andere der beiden zu j^f 
gehörigen Klassen l gesetzt wird, ist der eine oder der andere 
Faktor von (16) durch ^ teilbar. 

Durch wiederholte Anwendung von (17) ergibt sich für jeden 
beliebigen positiven Exponenten 7t 

(19) i^y'' = Q''^ (mod^) 

(Schluß von 7t auf jr -|- 1). 

Wenn nun l zum Exponenten e gehört, oder £ der Index von 
2) ist, so ist nach (19): 

(20) (kf = (k) (mod ¥^), 

und p)^ ist die niedrigste Potenz von ])^ die dieser Bedingung 
genügt. Denn wenn noch eine niedrigere Potenz von p die Kon- 
gruenz (19) erfüllt, so folgt aus (20), daß zwei verschiedene 
Klasseninvarianten (fc), {k') nach dem Modul '-|] kongruent sind. 
Es wäre also ihre Differenz (/.) — (k') durch ^^ und mithin die 
Diskriminante von Hm durch p) teilbar, gegen die Voraussetzung. 



§ 122. Irreducibilität. 447 

Daraus ergibt sich nun wieder nach (7), daß die Kongruenz 
(21) t"^ = t (mod ^) 

für jede ganze Zahl ^ in ^ erfüllt ist und daraus also der Satz: 

Eine Primzahl p zerfällt im Körper ^ in lauter von- 
einander verschiedene Primideale, deren Grad gleich 
dem Index' von p ist. 

Wir wollen noch beweisen, daß es unter den verschiedenen 
in p) aufgehenden Primidealen '^^ immer eines gibt, für welches 
von den beiden aus (16) folgenden Kongruenzen die Kongruenz 
(17) besteht. 

Dazu bemerken wir: Wenn wir die sämtlichen Zahlen des 
Körpers ^ in die konjugiert imaginären verwandeln, indem wir 
^D mit — Y^ ^^^ jode Klasseninvariante (k) mit der entgegen- 
gesetzten {k~^) vertauschen, so gehen die sämtlichen Zahlen eines 
Ideals % in die Zahlen eines konjugiert imaginären Ideals ''ü' über, 
das auch mit 51 identisch sein kann, und die Norm des Ideals % 
ist gleich der Norm des Ideals 51'. Ist % ein Primideal, so ist 
auch W ein Primideal. 

Ist nun die Kongruenz (17) nicht erfüllt, so muß nach (16) 

(Iky = (k) (mod ^) 

sein, und auch diese Kongruenz bleibt bestehen, wenn k durch 
eine andere Klasse A-' ersetzt wird. Setzen wir also r~^k~^ an 
Stelle von /.*, so folgt: 

{k-y = Q-'k-') (mod ^). 

Da also (k'Y — {r'k-^) eine Zahl in^ ist, so ist (kY — Qk) 
in dem zu '"^ konjugierten Ideal ^' enthalten, und es ist 

(k)p = (Ik) (mod ^'l 

was aus (17) durch Vertauschung von ^ mit ^' hervorgeht. 

7. Aus diesen Sätzen ist die Irreducibilität der Klassen- 
gleichung auch nach Adjunktion von ]I) eine einfache Folge. 

Sind k, k' zwei beliebige Klassen der Diskriminante U, so 
können wir k' nach § 118 in der Weise zusammensetzen: 

/.•' = kW l" . . ., 

daß durch die Klassen /, ?', /", . . . die Primzahlen j;, p\ p", . . . 
darstellbar sind. Nach dem, was soeben bewiesen ist, können 
wir also die Primteiler ^^, '"-p', '^^" dieser Primzahlen so wählen, daß 



448 Achtzehnter Abschnitt. § 122. 

Qc)p = (kl) (mod '^l 

(22) . {kl)P' = {kW) (mod ^'), 

{kliy = {kJVl") (mod ^") 



Nehmen wir jetzt an, es zerfalle die Klassengleichung, es sei 
also für ein variables t 

H,n{t) = U,{t)H,{t\ 
so können wir, da k, k' beliebige Klassen waren, (k) unter den 
Wurzeln von H^ {t\ (k!) unter denen von H.^ (t) wählen. In der 
Kette (22) gehört also das Anfangsglied (Ä') zu den Wurzeln (k-^) 
von i/i(0 und das Endglied {k') zu den Wurzeln {k^) von i?2 (0- 
Da mindestens an einer Stelle der Kette (22) der Übergang von 
den Wurzeln des einen Faktors zu denen des anderen stattfinden 
muß, so gibt es ein Paar von Wurzeln (fci), (A-g), das für irgend 
eine Primzahl p und ein darin aufgehendes Primideal ''^ der 

Kongruenz 

{k,y = (k,) (mod ^^) 

genügt. Da nun Hi(ki) = ist, so folgt durch den oft an- 
gewandten Schluß 

H,{k,y = H,{kP) = H,(k,) = (mod ^). 
Da nun 

H,{k,) = n[(k,)-{k,)] 

ist, so muß eine der Differenzen (k^) — (ki) durch ^^ teilbar sein, 
was nicht möglich ist, da p nicht in der Diskriminante von H 
aufgeht. 

Damit ist die Irreducibilität der Klassenglei- 
chung bewiesen; der Grad des Körpers Ü ist gleich 
dem Doppelten der Klassenzahl h festgestellt, und 
die im vorigen Paragraphen gefundene Gruppe © 
ist als die wahre Gruppe der Klassengleichung er- 
kannt. 

8. Hiernach können wir alle Primzahlen jj, abgesehen 
von einer endlichen Anzahl von Ausnahmen (die in 21) 
oder der Diskriminante von H aufgehen) in ihre Primfaktoren 
im Körper 2 zerlegen. 

Ist (D, jj) = -)- 1, so zerfällt }> und Körper ii in zwei kon- 
jugierte Primideale ersten Grades. Ist p vom Index £, so ist 
jedes in p aufgehende Primideal p vom Grade £. Ist also 



§ 122. Irreducibilität. 449 

SO ist wegen 5. N(p) = p^'', und folglich 

2 h = re. 

Die Anzahl der Primfaktoren, in die p im Körper ^ zerfällt, 
ist also gleich 2 h/s. 

Ist ferner (D, J») = — 1 , so sind die Primfaktoren von p 
vom zweiten Grade, und ihre Anzahl ist also = h. 

9. Eine interessante Folgerung ziehen wir noch aus diesen 
Resultaten. Es sei (D, jj) = -j- 1 ^^^ ^ ^^^ Index von ^. Dann 
ist 4jj' durch die Form x- — Dy^ darstellbar und 

(23) p' = iifi', 
wenn zur Abkürzung 

(24) ^ = -^2~' ^ "" 2" 

gesetzt wird. Wir wissen nun, daß p in lauter verschiedene Prim- 
ideale vom Grade £ zerfällt. Da p ungerade ist, und x, y höchstens 
den gemeinschaftlichen Teiler 2 haben, so haben ^, ^' keinen 
gemeinsamen Primfaktor in ^. Jedem Primideal ^^, das in ^ 
aufgeht, entspricht ein davon verschiedenes (konjugiertes) Prim- 
ideal ^^', das aus ^^^ dadurch entsteht, daß man für alle Zahlen 
von ^^ die konjugiert imaginären Zahlen setzt. Es ist also fi 
nicht nur durch ^^, sondern durch ^^ teilbar. 
Nach § 121 ist 

^^•^) U(«)M»K«iV U(«.-x);-^^' 

und nach § 72, 4 genügen die Faktoren P- auf der linken Seite 
dieses Ausdrucks einer Gleichung P^ cp (P-, y^, y-^) = p, worin 
(p{P^, y^i 73) eine ganze algebraische Zahl ist. 

Daraus folgt aber, daß P^ nicht durch eine höhere als die 
erste Potenz von ^ teilbar sein kann, während doch ft durch '^P* 
teilbar ist. Wir schließen also aus (25), daß jede der Zahlen P^ 
durch die erste Potenz von ^ teilbar sein muß, daß mithin alle 
diese Zahlen assoziiert sind. Bezeichnet also q irgend eine 
algebraische Einheit, so ist 

X ■^- y V — m -r,^ 

^ Y — = p^ ' 

also ist ^ wii'klich als ate Potenz einer im Körper ^^ existieren- 
den Zahl dargestellt, und P^ selbst ist eine Darstellung eines 
Primideals im Körper ^ durch ein Hauptideal im Körper ^. 

Weber, Algebra. III. OQ 



450 Achtzehnter Abschnitt. § 123. 



§ 123. Beziehungen zwisclien Klasseninvarianten in den 
verschiedenen Ordnungen. 

Zwischen den Klasseninvarianten verschiedener Diskrimi- 
nanten D = Q^ ^ mit dem gleichen Stamm J bestehen alge- 
braische Beziehungen, die wir jetzt aufzusuchen haben. 

Es sei p eine beliebige Primzahl (auch 2^ = ^ nicht aus- 
geschlossen) und 

(1) I)'=p^l). 

Es sei — D = m^ — D' = m'. also m' = p^ m, und 

(2) iI,„(M) = 0, 

(3) H,,{v)={) 

seien die zu den Diskriminanten — «?, — m' gehörigen Klassen- 
gleichungen. 

^ = J («') 
sei eine beliebige Wurzel der zweiten und 

(^4^ A' co'^ -4- 5' oj' 4- C" = 0, B'-^ — 4 A'C = D' 

die primitive quadratische Gleichung, der a' genügt. Ä' möge, 
was erlaubt ist, durch p unteilbar vorausgesetzt sein. 
Wir betrachten nun die Invariantengleichung 

(5) Fpiu,v) = 0, 
deren Wurzeln sind: 

(6) u=Jipci'l j(^^^^y c = 0, 1, 2, ...,ij-l. 

Das Argument dieser Funktionen: 

, to' 4- c 

03 z= p CO oder = 

P 

genügt einer aus (4) abzuleitenden quadratischen Gleichung, 

nämlich : 

(O = pCo', A' 032 _j_ B'p 03 -}- 6"JJ2 _ 0, 

0) €3' + C 

CO = ! , 

P 

Ä'p^co^ -j- (B' — 2Ä'c)pco + A'C' — B'c + C = 0. 

Die Diskriminanten dieser Gleichungen sind p^ D' = p^JK 
und die erste von ihnen ist immer primitiv, die Diskriminante 



§ 123. Beziehungen zwischen Klasseninvarianten. 451 

der zweiten Gleichung reduziert sich nur dann auf D, wenn sie 
imprimitiv ist und 

B' — 2 A' c durch p, 
^ ^ A"-c — B'c^C durch p-^ 

teilbar ist, und dann genügt die entsprechende Zahl (6) gleich- 
zeitig der Gleichung (5) und der Gleichung (2). Dies trifft aber, 
wie wir gleich zeigen, nur für einen Wert c zu, und folglich läßt 
sich der betreffende Wert n rational durch v ausdrücken. 

Denn ist zunächst p ungerade, so hat die erste Kon- 
gruenz (8): 

2A'c — B' = {modip) 

nur eine Wurzel, und für diese ist 

(2^'c — B'Y —p^B=: 4:A'(A'c-^ — B' c ^ C) = (mod p^). 

Ist ^; = 2, so ist B' und folglich B' gerade und mithin 
B' — 2 A' c immer durch 2 teilbar. Es ist dann 

(a'c — yV — D = A'{A:c'- — B'c -\- C'\ 

und da D ^ oder ^ 1 (mod 4) ist, so ist die linke Seite hier 

TD/ 

durch 4 teilbar, wenn A' c — ^ B (mod 2) angenommen wird. 

Geht man umgekehrt von einer Gleichung 

(9) Aa'- ^ Bco ^r =0, B^ — 4.AC = B 

der Diskriminante B aus, nimmt A relativ prim zu p) an und 
setzt a' = pco, so genügt co' der primitiven Gleichung 

(10) Aa'-^ -\- Bpoj' -\- Cp^ = 

von der Diskriminante B' = p^ B, und wenn wir also v = j (oj') 
setzen , so ist u = j (co) rational durch v ausdrückbar. Daraus 
folgt also der Satz : 

1. Jede Klasseninvariante für die Diskriminante B 
ist rational ausdrückbar durch eine Klasseninvariante 
für die Diskriminante p^B. 

Um aber die Frage zu beantworten, wie viele Werte von v 
zu demselben Werte von u = j (co) führen, bemerken wir, daß 
die verschiedenen Werte von v, die dies leisten, Wurzeln der 
Gleichung (5) und (3) sein müssen, also in einer der Formen 

(11) iO-), .i{^) 

29* 



452 Achtzehnter Abschnitt. § 123. 

enthalten sind. Nun haben wir aus (9): 

a' =pco, A co"- -j- Bpco' -\r Gp' = Ö, 

(12) .V _ « + ^ 

J_p2 «'2 -f (£ _ 2 ^ C)p 03' -f ^ C2 — 5 C + C = 0, 

deren Diskriminante D' ist. Unter den Größen (11) werden aber 
nur diejenigen der Gleichung (3) genügen, für die die ent- 
sprechende Gleichung (12) primitiv ist. 

Die erste der Gleichungen (12) ist nach unserer Voraussetzung 
stets primitiv; von den übrigen sind nur die nicht primitiv, für die 

(13) Äc^ — Bc ^ C=0 (mod p), 

und von den Größen (11) fallen soviele aus, die nicht Lösungen 
von (3) sind, als die Kongruenz (13) Lösungen hat. Bezeichnen 
wir für den Augenblick die Zahl dieser Lösungen mit t, so ist 
die Anzahl der Werte von v, die zu demselben Wert von u ge- 
hören, (p -|- 1 — 0- 

Nehmen wir zunächst jj = 2, so haben wir, da Ä ungerade 
ist, folgende Fälle: 

B = 0, c = C (mod 2), t = 1, 

B = \, (7=0, c = 0, 1 (mod 2), t = 2, 
B =1, C =1 (mod 2), t = 0, 

(weil c2 — c immer gerade ist). Dies läßt sich so zusammen- 
fassen : 

D = (mod 4), t = 1, 
B = 1 (mod 8), t = 2, 
D = 5 (mod 8), t = 0. 

Mit Benutzung des Zeichens (D, p) (§ 85) können wir also 
setzen: 

(14) t = {B,p)-i-l. 

Ist ]) ungerade, so ist die Kongruenz (13) gleichbedeutend mit 
{2ÄC— By = B (modjj), 
und diese hat eine Lösung (2 Äc — B ^ 0), wenn p) in B auf- 
geht, wenn also (D, ji) = ist, zwei Lösungen, wenn B quadra- 
tischer Rest von p, also {B^ p) = -[- 1 ist, und keine Lösung, 
wenn B quadratischer Nichtrest, also (D, p) = — 1 ist. Also 
gilt auch hier die Formel (14). 

Nehmen wir daher vorläufig an, was wir gleich genauer 
untersuchen werden, es seien unter den p -\- \ Größen 



§ 123. Beziehungen zwischen Klasseninvarianten. 453 

(15) PCO, —^ 

keine zwei äquivalente, so gehören zu jedem Werte von u 
[jj — (D, 'p)\ Werte v, und wenn wir die Grade von (2) und (3) 
mit h und h' bezeichnen, so ergibt sich (in Übereinstimmung mit 
den Formeln § 100) folgende Beziehung: 

(16) h' = |>-(Ai^)]/». 

Nach § 122 sind h und h' die Klassenzahlen der Diskrimi- 
nanten D, D'. 

Es handelt sich also noch um die Frage, ob unter den Größen 
(15) nach Ausschluß der wegen (13) wegfallenden, noch äqui- 
valente vorkommen können. Ist zunächst p a äquivalent mit 
« -}- c 

(17) <^ + c^y+^ aS-ßy=l, 

oder : 

(18) ßpca^ -[- (a -^ ßcp — dp^)G} -\- ca — yp = Q. 

Diese Gleichung muß aus (9) durch Multiplikation mit einer 
ganzen Zahl g hervorgehen, und es folgt also: 

ßp = gA, a -\- ßcp — dp'^ = gB, ca — gp=gC. 

Da A durch p unteilbar angenommen war, so folgt hieraus, 
daß g und folglich a durch p teilbar ist. Setzen wir g = px, 
d, =z pa,\ so folgt: 

(19) ß = Ax, a' -\- ßc — dp = Bx, ca' — y = Gx, 
Setzen wir noch 



so ist: 



(20) 




a' — ßc ^ dp = ij, 


so ergibt 
(21) 
und aus 


sich: 


2 a' = Bx + y, 
2{ßc — öp) = Bx-y, 


(22) 




pa'ö — ßy = 1 


folgt sodann 




(23) 




y'- — Bx^ = 4. 



Der Wert x = ist auszuschließen, weil sonst ß = sein 
müßte, was der Gleichung (22) widerspricht, und wir können 
unbeschadet der Allgemeinheit x positiv annehmen. Da über- 
dies Z) nach dem Modul 4 entweder ^ oder ^1 ist. so 



454 Achtzehnter Abschnitt. § 123. 

bleiben zur Erfüllung von (23) nur folgende zwei Möglichkeiten 
übrig : 

L B = —3, X =\, \j = ±1. 

Da es für die Diskriminante — 3 nur eine Formenklasse 
gibt, so können wir J.= l, ^=1, 0=1 annehmen, d. h. für 

(o die imaginäre dritte Einheitswurzel e ^ setzen, und erhalten 
unter den Größen (15) drei äquivalente, indem wir ^ = -|- 1, 
und = — 1 annehmen : 

w (0 4- 1 

(24) PCO, -, -^, 

wie auch aus den Gleichungen: 

03 _ —1 03 4- 1 _ — 1 

P ^-|-J)03' p pCO 

erkannt wird, aus denen die Äquivalenz der drei Größen (24) 
evident ist. 

2. D = — 4, :r = 1, 1/ = 0. 

Wir können ebenso i? = 0, Ä = C =1, d. h. 03 = i an- 
nehmen und finden die zwei äquivalenten Werte: 

03 

(25) i)03, -, 

wie auch aus der Gleichung: 

—P 

p 03 = — 

03 

folgt. 

Es seien ferner zwei der Werte (3) 

CO -\- C 03 -j- c' 

äquivalent, so daß eine Gleichung besteht: 

(,6) ^L+l= yp + f (" + ^;) .s-ßr^h 

^ ^ p ccp -\- ß{(0 -\- c) 

oder 

ßco^ -\- (ßc' J^ ßc + ap- 6p)co + 
ßcc' -\- acp ■ — 8 c' p — y p^ = 0, 

woraus durch Vergleichung mit (9) 

ß = Äx, 

(28) ßc' ^ ßc-^ap — dp = Bx, 

ßcc' -\- acp — äc'p — yp^ = Cx, 



2 (/3 c — 8 p) = Bx — y. 



§ 124. Klassenkörper und Ordnungskörper. 455 

folgt, und wenn man wieder 

(29) ßc' — ßc ^ ap ^ 8p z= y 

setzt : 

(30) 

Daraus 

(31) 2/2 — !> ä;2 = 4i>2. 

Aus (28) ergeben sich die Kongruenzen 

ßcc' = Cx, ß{c-^c') = Bx, ß = Ax. , , 

(32) Dx^-^ß^{c-c'y (°^^^^> 

Soll c' von c modulo p verschieden sein, so kann hiernach 
weder x noch D durch p teilbar sein und es folgt aus (32) 

und dies führt durch Elimination von c' für c auf die Kongruenz 
(13), also auf den auszuschließenden Wert von c. 

Fassen wir dies zusammen, so sehen wir, daß unter 
den Größen (15) nur in den beiden Ausnahmefällen 
D = — 3, D = — 4 äquivalente vorkommen, und zwar 
sind im Falle D = — 3 je drei, im Falle D = — 4 je zwei 
von ihnen äquivalent. 

In diesen Fällen muß also die rechte Seite der Formel (16) 
noch durch 3 oder durch 2 geteilt werden, und die Formel 
bleibt also auch dann noch richtig, Avenn man, wie schon früher, 
für D = — 3, — 4 unter h nicht 1, sondern ^ und | versteht. 

§ 124. Klassenkörper und Ordnungskörper. 

Ist D = Q^^ eine Diskriminante und ^ ihr Stamm, so sind 
nach den Resultaten des vorigen Paragraphen die Klassen- 
invariante u der Diskriminante z/ rational durch die Klassen- 
invariante V der Diskriminante D ausdrückbar, und zu jedem u 
gehören r Werte von i\ wenn r nach der Formel (16), § 123 bestimmt 
wird. Diese Werte von v sind die Wurzeln einer Gleichung 
rien Grades, deren Koeffizienten rational von ii abhängen. Die 
Größen v gehören also einem Körper ^(2)) über ß(^) an, der 
kein anderer ist als der Klassenkörper der Diskriminante D. 

In bezug auf die quadratischen Körper Sl =: "St (V^ sind 
beide Körper Abelsche. Wir wollen, wenn eine genauere Unter- 



456 Achtzehnter Abschnitt, § 124. 

Scheidung nötig ist, den Körper ^(^) den Klassenkörper von Sl, 
^(D) den Klassenkörper für die Diskriminante I) oder 
den Ordnungskörper für den Führer Q nennen. 

Nach den Resultaten von § 122 ist, vielleicht mit einer 
endlichen Zahl von Ausnahmen, 

ein Primideal p des Körpers Sl im Körper ^(^) 
dann und nur dann in Primideale ersten Grades 
zerlegbar, wenn p in ii vom ersten Grade ist und 
der Hauptklasse angehört, also gleich einer kom- 
plexen Primzahl 

2 
ist. 

Soll p in ^(B) in Primideale ersten Grades ^ 
zerlegt werden, so kommt noch hinzu, daß tc der 
durch Q bestimmten Ordnung angehöre, d. h. nach 
dem Modul Q mit einer rationalen Zahl kongruent 
sei (§ 9,6). 



Neunzehnter x\bschnitt. 

Berechnung der Klasseninvarianten. 



§ 125. Die Klasseninvariante 5^2« 

Wir haben schon oben bemerkt, daß außer der Funktion 
jip) noch andere Modulfunktionen zur Bildung von Klassen- 
invarianten geeignet sind, und oft zu einfacheren Resultaten 
Anlaß geben. Unter diesen tritt uns zunächst die Funktion y^ (ca) 
entgegen, die durch yj{G}) definiert ist. 

Wir haben im § 71 gesehen, daß zwischen den Funktionen 

(1) M = 72 (a), V = ^2 [ "^^ J , 

falls ad = n durch 3 nicht teilbar ist, und c durch 3 teilbar 
angenommen ist, eine Transformationsgleichung 

(2) 0„(u, v) = 

besteht. Die Funktion Qn hängt aber nur von den beiden Argu- 
menten vu~**, u^ ab, und in ^n (w, u) = kommt also, wenn 
n ^ 1 (mod 3) ist, nur u^, d. h. j {a) vor; in diesem Falle kann 
daher diese Gleichung kein anderes Resultat ergeben, als die 
Invariantengleichung. Anders ist es aber in dem Falle 

(3) w = — l (mod 3), 
den wir jetzt voraussetzen wollen. 

Wenn einer der Werte v = n werden soll, so muß eine 
Relation bestehen 

a -\- pa a 

und zugleich muß [§ 54, (15)] 

(5) — aj3 + a)/4-/3d — «2/36=0 (mod 3) 

sein. Es ist also jedenfalls w Wurzel einer quadratischen Gleichung: 

(6) .4 03-^ + 5« + r =0, T) = IP — 4:AC\ 



(7) 



458 Neunzehnter Abschnitt. § 125. 

Besteht umgekehrt eine solche Gleichung, so folgt durch 
Vergleichung mit (4) in der früher angewandten Art, wenn ic, y 
ganze Zahlen sind: 

dß = Ax, 
CO, — ay = G x^ 
c ß -{- doi — ad = B x^ 
cß — d(x, — ad = y, 
woraus : 

2dc6 = B X — y, 
(8) 2{cß — ad) = Bx ^y, 

4» = 7/2 _ J)jr2. 

Setzen wir Ä relativ prim zu 3 w voraus, so muß c = ly 
a = n angenommen werden; denn nach (7) muü unter dieser 
Voraussetzung x durch d teilbar sein, und folglich auch tu — ay 
und cß — aö, woraus folgt, daß auch a, c durch ^ teilbar sein 
müßten, während doch «, c, d keinen gemeinsamen Teiler habe». 
Also ist 

2o(. ^= Bx — i/, ß =z Ax^ 

^^ 2ny = c{Bx — y) — 2Cx, 2nÖ = 2 cAx — Bx — y. 

Die Zahlen x, y sind hier außer den in § 114, 1), 2) an- 
gegebenen Beschränkungen wegen (3) noch der unterworfen, 
daß «/2 — Bx- ^ — 1 (mod 3) werde. Dadurch ist aus- 
geschlossen, daß D durch 3 teilbar sei. x muß von Null 
verschieden sein, und wir können es, ohne die Allgemeinheit zu 
beschränken, positiv annehmen. (Eine gleichzeitige Vorzeichen- 
änderung von x und y bewirkt nur eine Vorzeichenänderung von 
«, ß, y, d, die ohne Belang ist.) 

Ist D ^ — 1 (mod 3), so müssen x und y durch 3 unteilbar 
sein; ist D ^ 1 (mod 3), so ist y durch 3 teilbar, x nicht teil- 
bar. Im übrigen können die Zahlen x, y beliebig angenommen 
werden. Es ist dann c bestimmt aus den beiden (miteinander 
verträglichen) Kongruenzen : 

. B X -\- y 

cAx ^ 9~^^ 

(mod n) 

Bx M ^ 

c — - ^ Cx 

und kann, da n durch 3 unteilbar ist, noch der Bedingung 

c = (mod 8) 
unterworfen werden. 



§ 125. Die Klasseninvariante y^. 459 

Nun ist nach (7) ß durch 3 nicht teilbar, und daher reduziert 
sich die Kongruenz (5) durch Multiplikation mit ß auf: 

a -\- ö = (mod 3) 
oder nach (7) und (3) auf 

(10) B = (mod 3). 

Ersetzen wir in (6) a> durch cj + 1 , so geht B über in 
B ±2Ä, und von den drei Zahlen B, B ^ 2 Ä, B — 2A ist 
eine und nur eine durch 3 teilbar. Wir nehmen also an, es sei 
B selbst durch 3 teilbar, dann folgt, daß von den drei Werten 

(11) 72(0), )'2(»-hl) = e 3 y^(oj)^ j,^(^ß,_l) _ g 3 y^(„) 

nur der erste der Gleichung 

(12) . O, (m, u) = 
genügt. Die Gleichung (12) und 

(13) «3 —j(G}) = 

haben daher nur eine gemeinsame Wurzel, und diese ist rational 
durch j{(o) ausdrückbar. Damit ist bewiesen: 

1. y^i^) ist eine Klasseninvariante, wenn w die 
Wurzel einer quadratischen Form ist, deren Diskri- 
minante und erster Koeffizient durch 3 nicht teil- 
bar sind, während der mittlere Koeffizient durch 3 
teilbar ist. 

Wenden wir dies Ergebnis auf den Fall w = 2 an, so er- 
halten wir zunächst aus der Gleichung (5), §71: 

(14) ^2 {u, u) = u* — 2ii3 — 495 m2 ^ 24 . 33 . 53 = 0. 

Die Gleichung 

!/2 — I)x^ = 8 

ist, da D EE oder ^ 1 (mod 4) sein muß, nur für drei nega- 
tive Werte von I) lösbar, nämlich 

jD = —8, X = 1, ij = 0, 

(15) D==-7, x= 1, y = ±l, 
D=:— 4, x = 1, y = ±2. 

Diesen drei Werten von D entsprechend kann man für die 

Gleichung (6) die folgenden wählen: 

D = — 8, cj2 -f 2 = 0, 

D = — 7, w2 -[- 3 CO -j- 4 = 0, 
D = _ 4, „2 -j- 1 = 

oder 



460 Neunzehnter Abschnitt. § 125. 



D = — 8, « = y— 2, 

n r. — 3 + V^^^ 

i> = 7, 03 = — ' ' 



2 ' . 

D = — 4, oj = «'. 

Der Wert Yi{i) ist aber (nach § 117) bekannt, nämlich = 12, 
und daher muß die linke Seite von (14) durch u — 12 teilbar 
sein. Da dieser Faktor bekannt ist, findet man leicht die übrigen : 
^t4 _ 2 m3 — 495 m2 -}- 2* . 33 . 53 = {u — 12) {u — 20) {u + 15)2. 

Da y^ip) ebenso wie j{co) für ein rein imaginäres o einen 
positiven Wert hat, so muß der Faktor u — 20 dem Werte 
D = — 8 entsprechen, und wir erhalten: 

(16) 72(0 = 12, 

(17) V, (V=T) = 20, 

(18) ,,(ni±VEi) = _,5. 

Es existieren außer — 7 noch fünf ungerade durch 3 nicht 
teilbare negative Diskriminanten: 
(19) —11, —19, —43, —67, —163 1), 

für die es nur eine Formenklasse gibt. Für diese ist also nach 
unserem Satze: 

eine ganze rationale Zahl Z. 

Um diese rationalen Zahlen zu finden, wollen wir Grenzen 
aufsuchen, zwischen denen sie liegen müssen, die um weniger als 
eine Einheit voneinander verschieden sind. 

Nach § 54, (5), (8) ist: 

,,(„) = A»)'«-^ = /■(")■■■ + ^^), 

ferner nach § 34, (19): 



*) Daß nicht mehr Diskriminanten dieser Art existieren, kann bis jetzt 
nur daraus geschlossen werden , daß , soweit man die Berechnung der 
Klassenzahlen fortgesetzt hat, weitere Zahlen dieser Art nicht gefunden sind 
[vgl. die Tafel der Klassenzahlen von Gauss (Werke, Bd. II, S. 450)]. 



I 



§ 125. Die Klasseninvariante y^. 461 

also 

/— 3 -f «\ , , . 256 



256 q' 



Setzt man also: 
(20) q = e-^T^^, 

so erhält man [§ 24, (11)]: 

= q~^ n (l -\- 52"-i)8 

1.- -^ (1 + 52»-l)16 

1,00 

Wir machen nun Gebrauch von der für jedes echt gebrochene 
positive X gültigen Grenzbestimmung: 

1 -j- x<:e' < -, e— > 1 — X, 

und erhalten: 



1 <77(l + f/"-i)<ei-3% 
woraus 

1 2 1 .13_ 2 -ÜL 

g- 3 — 256 gs < Z < (^- 3 ßi-g'^ _ 256 qs e ^-s', 

und indem man die obere Grenze noch vergrößert, kann man 
dafür auch setzen: 

2 5 

Z <r q 3 — 256 73 4- —i 4- ^. 

^^ ^'1— 83 — 52ll_g2 

Für «i = 11 ist q ungefähr = 2"^^, woraus man ersieht, daß der 

Unterschied beider Grenzen: 

2 5 

8q3 21233 

1 — 8 2 — g2 ~i 1 — g2 

bereits für )ji ^= 11 und noch mehr also für die größeren Werte 

von m sehr klein ist. Z ist also die zunächst über 

_ 1 2. 

q 3 — 256 33 

gelegene ganze Zahl, und dieser Wert, für die größeren m schon 

g~3, kommen einer ganzen Zahl außerordentlich nahe. Daraus 

berechnet man diese Zahlen 1) : 

*) Man tut gut, sich bei diesen und vielen der später beschriebenen 
Rechnungen ein- für allemal den Briggischen Logarithmus 

log(7r löge) = 0,134 934 184 
zu merken, bei dem man übrigens meist mit 7 Dezimalen ausreicht. 



462 



Neunzehnter Abschnitt. 



§ 126. 



Y2 



3 -ff- 11 



= 32, 



-y.\ -^+/~^^ ;=^96 = 32.3, 
-r.( ~'+/^ = 960^64.15, 



_ y^ y ^+J — —j = 5280 = 32 . 3 . 5 . 11, 



r2 



/ — 3+V— 163 
\ 2 



640 320 



64.3.5.23.29. 



Bei diesen Zahlen ist die Zerlegbarkeit in verhältnismäßig 
kleine Primzahlen bemerkenswert. 

Auch für die Diskriminante — 27 existiert nur eine Klasse. 
Da aber diese Diskriminante durch 3 teilbar ist, so ist nicht y^ (cj), 
sondern erst j (oj) eine rationale Zahl. Man findet durch ähn- 
liche Rechnung : 



_,,'^i4^JI 



3.215.53. 



§ 126. Die Klasseninvarianten /'(w)^*. 
Die Wurzeln der kubischen Gleichung 
(1) (u — 16)3 _ uj(co) = 

sind, wie wir früher allgemein gesehen haben (§ 54), 

^, = /•(a,)24, -/■,(«)24, -A(«)2S 
oder 

(2) 



1 \2* 



ficoys /■(« + i)^ ^(i-^) 



Es sei nun wieder co die Wurzel der quadratischen Gleichung: 

(3) Äa^-j- Ba ^ C = 
mit der negativen Diskriminante: 

(4) i) = 52 — 4^C, 

worin Ä^ B, C keinen gemeinschaftlichen Teiler haben, und j(co) 
sei die Klasseninvariante. Setzen wir 

ra' = oj + 1, «" = 1 — -, 

so ist 

^^^ A(o'^ -^{B-2 Ä)co' 4- (J. _ i>> 4- C) =- 0, 



^ + i? + C — (5 + 2 C) «" + Cco"^ 



0. 



§ 126. 



Die Klasseninvarianten /(w)'^*. 



463 



Die drei Argumente von (2) sind also die Wurzeln von äqui- 
valenten quadratischen Formen. 

Wir unterscheiden die drei Fälle: 

1. D E= (mod 4). Hier ist B gerade, und A und C können 
nicht beide gerade sein; von den drei Formen (3), (5) hat also 
die eine zwei ungerade äußere Koeffizienten, die beiden anderen 
haben einen geraden und einen ungeraden äußeren Koeffizienten. 

2. Ist i) = 1 (mod 8), so ist B ungerade i?2 = 1 (mod 8), 
^ C ^ (mod 2) , also ist wenigstens einer der beiden Koeffi- 
zienten gerade, und unter den drei Formen (3), (5) ist eine, aber 
auch nur eine, die zwei gerade äußere Koeffizienten hat. 

3. Ist D = 5 (mod 8), so ist 4^6' = 4 (mod 8) und die 
beiden äußeren Koeffizienten A und C sind ungerade. 

Wenn es nun gelingt, eine ganzzahlige Gleichung aufzustellen, 
der von den drei Wurzeln (2) nur die eine genügt, so folgt 
daraus, daß diese eine Wurzel rational durch j(w) ausdriickbar 
und also eine Klasseninvariante ist. 

Es besteht zwischen den Funktionen 



(6) u = f{^y, v = f 



c -f- day-* 



(r = 0) (mod 2) 



für einen ungeraden Transformationsgrad n (§§ 73, 74) eine Trans- 
formationsgleichung : 

0„ {u, v) = 0, 
und die Gleichung: 

(7) ^n{u, u) = 

ist also nach § 53 nur dann befriedigt, wenn für eine der 

Größen (6): 

/gN c -irda _ y -^ da 



worin 



(9) oder 



(mod 2) 



7i ^ 



1,0 
0, 1 



eine zur ersten oder zur zweiten Klasse (§ 36) gehörige Lineare 
Transformation ist. 

Die Vergleichung von (8) mit (3) führt aber, wie oben, zu 
den Bedingungen: 



464 Neunzehnter Abschnitt. § 126. 

ßd = Äx, 
CAC — y a = C X, 
ß c — da -\- ad = B x, 
(10) ßc — da — ad = y, 

ßc—da = ^, ad = 2—^, 

4w = ?/2 — Bxß. 

Nehmen wir A und n ohne gemeinsamen Teiler au, so muß 
g = 1, a = >^ sein, denn eine in x und d aufgehende Primzahl 
müßte auch in y und folglich in ac — y a und ßc — 8 a und, 
wegen a8 — /3y = 1, auch in a und c aufgehen, während dock 
a, c, d keinen gemeinsamen Teiler haben sollen. Aus (10) wird 
w, /3, y, ö, c ebenso bestimmt, wie im vorigen Paragraphen. Es 
ergeben sich zunächst die beiden Kongruenzen 

. Bx 4- y Bx — y ^ / 1 X 
cAx^ ^ — -, c — - ^ Cx (mod >?), 

von denen die eine aus der anderen folgt, wenn x teilerfremd 
zu n ist, und die Bedingung 

c = (mod 2) 
ist damit verträglich. Weiter folgt: 



(11) 



Bx — 11 ,, , Bx — 11 

a= — ^, ny = —üx -\- c ^ — ^, 

ß z= Ax^ nd = ^^t-^ -^ Acx. 



Wenn nun B und mithin B ungerade ist, so müssen, da 
wegen (9) a und ö beide gerade oder beide ungerade sind, x und 
y gerade sein; also sind ß und y gerade, und w und b müssen 
ungerade sein. Folglich muß von den beiden Zahlen \x^ \y eine 
gerade, eine ungerade sein. Das ist aber unabhängig davon, wie 
sich A und C gegen den Modul 2 verhalten. 

Wenn also von den drei Größen (2) die eine der Gleichung 
(7) genügt, so tun es auch die beiden anderen, und wir können 
diese drei nicht voneinander trennen. 

Wir müssen daher B gerade annehmen und setzen zur 
Vereinfachung: 

(12) B = — 4w, 

worin ni eine positive ganze Zahl ist. 

Wir unterscheiden : 



§ 126. Die Klasseninvarianten f(io)~'. 465 

1. Wenn I) ^^ 4: (mod 8) ist, setzen wir 

n := m, X = 1, ^ = 0, 

a= — , ß = A, 

y = -C, d~^ (mod 2). 

Die Kongruenz (9) fordert also, da nicht alle drei Koeffi- 
zienten A, B, C gerade sein können, daß die beiden äußeren 
Koeffizienten ungerade, der mittlere durch 4 teilbar sei, und dies 
findet nur für eine der drei Formen (3), (5) statt; folglich ge- 
nügt eine der drei Funktionen (2) der Gleichung (7), und ist 
also Klasseninvariante. 

2. i> = (mod 8), 

M = m -f- 1, a: ^= 1, y = +2, 

« = Y - 1, ß = A, 

y = —C, = ^4-1 (mod 2). 

Es müssen also auch hier die beiden äußeren Koeffizienten 
ungerade B ^ 2 (mod 4) sein, und es verhält sich dann alles 
wie oben. Damit ist bewiesen: 

1. Ist CO die Wurzel einer primitiven quadra- 
tischen Gleichung mit negativer, durch 4 teilbarer 
Diskriminante D und ungeraden äußeren Koeffi- 
zienten, so ist /"(«)-* Klasseninvariante für die Dis- 
kriminante D. 

Die Annahme, daß Ä relativ prim zu n, d. h, zu m -f- 1 
oder zu m sei, kann nachträglich als unwesentlich aufgegeben 
werden. 

Denn wenden wir auf « eine lineare Transformation (S) an, 
80 geht die Gleichung (3) bei ungeraden Ä, C in eine äquivalente 
Gleichung über, in der die äußeren Koeffizienten dann und nur 
dann beide ungerade sind, wenn (S) zur ersten oder zweiten 
Klasse gehört, also wenn f{(a)^* durch (S) ungeändert bleibt. 
Man kann dann noch (S) so bestimmen, daß der erste Koeffizient 
in der umgeformten Gleichung (3) zu einer beliebigen Zahl, also 
auch zu n relativ prim wird. 

Weber, Algebra. III. qq 



466 Neunzehnter Abschnitt. § 126. 

Auf den Fall m = 1 ist dies Verfahren nicht anwendbar, 
weil On (m, u) für n = 1, co = i (aber auch nur für diesen Wert) 
identisch verschwindet, für m = 1 haben wir aber bereits früher 
gefunden (§ 83) : 

f(iy-' = 64, 

80 daß also auch in diesem Falle der ausgesprochene Satz gilt. 
Wenn m ungerade ist, so ist bei ungeradem A, C der mitt- 
lere Koeffizient B durch 4 teilbar; dagegen ist bei geradem m 
unter der gleichen Voraussetzung B nicht durch 4 teilbar. Durch 
die Substitution oj -|- 1 für a erreichen wir aber auch im Fall 
eines geraden m, daß B durch 4 teilbar wird; dann aber wird 
auch C gerade. Durch die Vertauschung (o, co -\- l) geht aber 
/'((ö)24 in — /"i (»)■-* über, so daß wir also unserem Satz auch den 
folgenden Ausdruck geben können: 

2. Ist a die Wurzel der quadratischen Gleichung: 
Ä(o'' ^ Ba -^ C = 0, 
worin Ä ungerade, B gerade ist, so ist, je nachdem 
D = 4 oder D = (mod 8) ist, /"(w)'^* oder A (0)2* 
Klasseninvariante. 

Da Ä und C nicht beide gerade sein können, so sind nur 
drei Fälle möglich, von denen durch die Vertauschungen 



(«, CO 4- 1), (^ö, — - j 



der zweite auf den ersten und der dritte auf den zweiten zurück- 
geführt wird. Wir haben also in diesen Fällen : 

A ^ 1, C ^ \ (mod 2), Klasseniuvariante f (co)-*^ 

(13) A=\, C=0 „ „ AH-S 

A = 0, C=l „ „ AW^. 

Insbesondere ist also, wenn wir die Haup tform der Diskri- 
minante — 4 m, (1, 0, m), zugrunde legen, /"(V — m)^* bei unge- 
radem und fi (y — mY^ bei geradem m eine Klasseninvariante. 
Diese beiden Zahlen haben einen reellen positiven Wert, und 
sollen in den weiter unten folgenden Rechnungen vorzugsweise 
berücksichtigt werden. 

Aus der Gleichung (1) schließen wir (Bd. II, § 154, 11.), 
da j{(a) eine ganze algebraische Zahl ist, daß auch f(coy* eine 
ganze algebraische Zahl sein muß, und die Form der Gleichung (1) 
zeigt, daß die Norm dieser Zahl eine Potenz von 2 ist. 



§ 127. Die Potenzen von /'(cj) als Klasseninvariauten. 467 

§ 127. Die Potenzen von /^(») als Klasseninvarianten. 

Nach der Detinition von yg (") ist : 

/'(a3)24 _ 16 



(1) fiayy 



72 {^) 



Ist CO die Wurzel einer Gleichung: 

(2) Äco^^2Bco-{-C=0, AC — B'^ = m, 

deren Diskriminante — -4«» durch o nicht teilbar ist, so können 
wir, wenn nötig, durch Übergang zu einer äquivalenten Gleichung, 
J., C als ungerade, A durch 3 unteilbar und B durch 3 teilbar 
voraussetzen. Dann aber sind nach den beiden vorigen Para- 
graphen f{coy* und y2('^) Klasseninvarianten, und wir erhalten 
aus (1) den Satz: 

3. Ist 03 Wurzel einer quadratischen Form von 
negativer, durch 3 nicht teilbarer Diskriminante, 
deren beide äußere Koeffizienten ungerade, deren 
mittlerer Koeffizient durch 6 teilbar ist, so ist 

ficoy 

eine Klasseninvariante. 

Um die Frage zu untersuchen, ob auch noch niedrigere 
Potenzen von f{co) Klasseninvarianten sein können, machen wir 
Gebrauch von der Formel: 

(3) /■(ö + 2r)e = i-'f{(^y, 
worin r eine ganze Zahl ist; die Werte 

cjr ^= CO -\- 2r 
sind die Wurzeln von äquivalenten quadratischen Gleichungen 

ACO^ -^ 2 Br (Or + Cr =. 0, 

worin 

(4) Br = B — 2 Ar, 

und hierin läßt sich r nach dem Modul 4 so bestimmen, daß 
bei ungeradem »h: 

(5) B,. = 0, 2, 4, 6 (mod 8) 
und bei geradem ni: 

(6) Br = 1, 3, 5, 7 (mod 8). 

Wenn es nun gelingt, eine Gleichung mit rationalen Koeffi- 
zienten aufzufinden, der von den vier Werten (3) entweder nur 

30* 



468 Neunzehnter Abschnitt. § 127. 

der eine, der dem Werte r = oder zwei, die den Werten 
r = 0, 2 entsprechen, genügen, so folgt, daß /"(co)^ oder /'(«)i2 
Klasseninvarianten sind. 

Ist außerdem m durch 3 unteilbar, so kann man die Br alle 
durch 3 teilbar voraussetzen, und es folgt dann durch Kombina- 
tion mit dem Satz 1., daß auch 

f{ay /■(«)-« = /■(ö)2 oder f{coy^ /"(«)-' = /X")' 
unter den Klasseninvarianten enthalten sind. 

Nachdem so unser nächstes Ziel bezeichnet ist, machen wir 
von dem Ergebnis des § 73 Gebrauch, daß zwischen 

eine Modulargleichung : 

(7) ^n{u,v) = 

besteht, wenn 

ad = n, c ^ (mod 16) 
ist. Die hieraus abgeleitete Gleichung 

(8) ^n(w, u) = 
ist dann und nur dann befriedigt, wenn 

c-\-dG) _ y -{- da 
^^ a "" « + /?«' 

worin ( ' ^ ) eine lineare Transformation der ersten oder zweiten 

Klasse ist, die [nach § 40, (12)] der Bedingung genügt: 



\a-ß) 



e ** = 1, 



oder der damit gleichbedeutenden: 

(10) ay -j- ßd -^ 2a^ — 2aß — 2ad = (mod 16). 

Aus (9) folgt aber, wenn w der Gleichung (2) genügt, wit- 
wir im vorigen Paragraphen gesehen haben, 

n = y''- -\- wia;2, 
(11 j « = Bx — i/, W7 = — Cx -\- c{Bx — y), 

ß ■= Ax^ nd = — Bx — y -\- Acx. 

Nehmet! wir zun<ächst m ungerade an, so können wir n = m, 
also X = 1, 1/ := ü setzen, und da c durch 16 teilbar ist, folgt: 

u = B, ß = A^ y ^ — m 6', Ö ^ — m B (mod 8), 



§ 127. Die Potenzen von f{w) als Klasseninvaiüanten. 469 

also ergibt (10): 

(12) B (m ^—^ — {m -[- l) B -\- a\ = (mod 8). 

Wenn nun m ^ 3 (mod 4), so ist A -|- ü ^ (mod 4) und 
der in (12) in der Klammer stehende Ausdruck ungerade, daher 
ist (12) nur unter der Voraussetzung befriedigt, daß 

B = (mod 8). 

Wir wollen, um Wiederholungen zu vermeiden, bei den im 
folgenden auszusprechenden Theoremen ein- für allemal voraus- 
setzen, daß CO die Wurzel einer solchen Gleichung (3) der Diskri- 
minante — 4»i sei, in der A ungerade, B durch 8 teilbar sei. 
Damit ist also das Theorem bewiesen: 

4. Ist m ^ 3 (mod 4), so ist /"(w)^ Klasseninvariante. 
Ist ferner m ^ 5 (mod 8), so reduziert sich die Kongruenz 

(12) auf: 

^( ^^~^ + 2J?) = Q (mod 8), 

und diese Bedingung ist erfüllt, wenn B durch 4 teilbar ist, da- 
gegen nicht erfüllt, wenn B nur durch 2, nicht durch 4 teilbar 
ist. Daraus folgt: 

5. Ist m ^ 5 (mod 8), so ist /"(w)^- Klasseninvariante. 
Ist m ^ 1 (mod 8), so läßt sich aus der Kongruenz (12) 

nichts schließen. Dies stimmt mit dem Umstände überein, daß 
in diesem Falle ^m(w, u) nur von u^ abhängig ist. Um auch 
hier zu ähnlichen Resultaten zu gelangen, wenden wir die Trans- 
formation zweiter Ordnung an. Wir nehmen in (7) : 

(13) n = 1 (mod 8) 
und setzen: 

d. h.: 



UV = ± ^2 ', 



oder [§ 34, (18)]: 

Die Gleichung (7) geht dadurch über in eine Gleichung: 

(15) *»(»,iF) = «- 



470 Neunzehnter Abschnitt. § 127. 

oder genauer gesagt, je nach der Wahl des Vorzeichens in zwei 
Gleichungen, die außer dem Produkt 

nur rationale Zahlkoeffizienten enthalten. Letzteres ersieht man 
daraus, daß in der Gleichung (7) nur solche Produkte u^'v^ vor- 
kommen, in denen h -{- k gerade ist (vgl. den Anfang von § 74). 

Die Relation (14) fordert nun, daß a einer Gleichung 
(\(i\ c -\-d(o _ y (g) -j- l) -\- d {co — 1) 

^ ^ a ~ «(ö -f 1) + ßia — 1) 

genüge, in der ( ' ' ) eine zur ersten oder zweiten Klasse ge- 
hörige lineare Transformation ist. Damit aber eine der beiden 
Gleichungen (14) wirklich erfüllt sei, ist nach § 40, (12) noch 
erforderlich : 

(17) (a — /3) (« + /3 -f y — ö) = (mod 8). 

Nun folgt aber, wenn co Wurzel der quadratischen Gleichung 
(2) ist, aus (16) wie oben: 

g(w + ß) = Äx, 
d{K — ß) = Bx -{- IJ, 

(18) c{a — ß) - a{Y — ö) = Cx, 
c(a-f /3) -aiy -\-8) = B x — y, 

2 n = :J/'' + *" ^^' 
Ist nun, wie vorausgesetzt war, 

m ^ 1 (mod 8), 
so setzen wir: 

m -h 1 , m -\- 9 
n = — ^ — oder — ^ — , 

je nachdem m ^ 1 oder ^ 9 (mod 16) ist, so daß auch » ^ 1 
(mod 8) wird, dann ist ,r = 1 , i/ = ± 1 oder = + 3 zu setzen, 
und wenn wir Ä relativ prim zu n voraussetzen, so wird d = l, 
a = n, und aus (18) folgt: 

aJrß = Ä, n{y - d) = - C + c(J? -+- y), 

a — ß = B-^y, n{y + Ö) = —B ^y^cA. 

Hiernach ergibt die Bedingung (17), da B -\- y ungerade, 
c = (mod 16) ist: 

A = C (mod 8), 



§ 127. Die Potenzen von /'(w) als Klasseninvarianten. 471 

was nur möglich ist, wenn B ^ (mod 4) ist. Um aber zu 
entscheiden, welche der beiden Gleichungen (15) erfüllt ist, kommt 
es nach § 40, (12) darauf an, ob 

(« _ ^)-2 _ 1 _^ (« _ /3) (^ + ^ + j. _ ö) 
oder, was dasselbe ist, 

{B-i-yy- 1+(5 + ^/)(^-hC) 
durch 16 oder nur durch 8 teilbar ist. Vermehrt man aber in 
diesem Ausdruck B um ein ungerades Vielfache von 4, so ver- 
ändert er sich um ein ungerades Vielfache von 8, woraus zu 
schließen, daß, je nachdem B ^ oder ^ 4 (mod 8), die eine 
oder die andere der beiden Gleichungen (15) befriedigt ist. 
Damit ist bewiesen : 

6. Ist w ^ 1 (mod 8), so ist '\^2f{aY Klassen- 
invariante. 

In den Fällen, wo m ^ 3 (mod 4) ist, können wir noch 
einen Schritt weiter gehen. Wir haben in § 73 neben den 
Schlaeflischen Modulargleichungen auch die Gleichungen 
(19) 0„{u,,v,) = O 

kennen gelernt, die zwischen 

(20) ,, = /,(.)^ ..==(|)^.(id-^J 

bestehen, und aus § 73, (10), (15) ergibt sich, daß, wenn w ^ 7 
(mod 8) vorausgesetzt wird, ^„ (w^, v^) rational durch 

dargestellt werden kann. Wenn wir also in (19) 

(21) V, = u (^-^^y= ± U («)^ «1 = A («)=' 

setzen, so wird _ 

_ +V2' 

- /■(«)3' 

und u^ -\- vi kann rational durch f{coy* ausgedrückt werden 

[§ 34, (11)], d. h. es geht 

^n(«l, ^'i) = 

in eine oder, nach der Wahl des Vorzeichens, zwei rationale 

Gleichungen für 

|=V2/-("? 
über, die wir mit 

(22) F{± I) =^ 

bezeichnen wollen. 






472 Neunzehnter Abschnitt. § 127. 

Die Gleichung (22) hat aber wieder eine Gleichung der 
Form (21) zur Folge, so daß in beiden die Vorzeichen überein- 
stimmen, und die Gleichung (21) fordert nach § 40, (7): 

(23) a « + /3 (ö ' ^ ^' 

y2 _ 1 _^ y (2 a — ö) = oder = 8 (mod 16), 

und zwar gilt, je nachdem die eine oder die andere Kongruenz 
stattfindet, in (21) und (22) das eine oder das andere Vorzeichen. 
Nehmen wir m = w, also m ^ — 1 (mod 8), so ergibt sich 
aus (2) und (23) ganz wie oben: 

ß = A, ny = — C-\- cB, 

a = JB, nd = — B-\-cA, 
also aus der zweiten Kongruenz (23): 

(72 -j- Ci? — 1 = oder = 8 (mod 16), 
woraus zunächst folgt, daß B jedenfalls durch 8 teilbar sein 
muß; vermehren wir aber B um ein ungerades Vielfache von 8, 
so geht die eine dieser Kongruenzen in die andere über, und 
infolgedessen geht in (21) das eine in das andere Vorzeichen 
über. Für ein bestimmtes co besteht also nur die eine der 
beiden Gleichungen (22) und es folgt: 

7. Ist w = 7 (mod 8), so ist '^f(coY Klassen- 
invariante. 

Wenn wir einer durch alle bekannten Beispiele bestätigten 
Induktion vertrauen dürfen, so besteht noch das folgende Theorem : 

8. Ist m ^ 3 (mod 8), so ist f{(oy Klasseninvariante. 
Indessen fehlt hierfür noch der allgemeine Beweis. 

Ist m ^ 2 (mod 4), so wenden wir dasselbe Verfahren an» 
wie oben im Falle m ^ 1 (mod 8). 

Wir setzen: 
(24) 2 n = m 4- ?/2, 

und nehmen y = oder =^ ± 2 , so daß « ^ 1 (mod 4) wird. 

Wenn wir dann in der Gleichung (19) 

(20) ..=A(f) = ^, «,=f.H' 

setzen, so ergibt sich eine Gleichung, die nur \2fi((oy und 
rationale Koeffizienten enthält. (19) ist aber nur dann erfüllt 
[§ 40, (7)], wenn 



§ 127. Die Potenzen von f{o)) als Klasseninvarianten. 473 

und außerdem 

(27) y2 _ ] _^ j;(2« — ö) = (modle); 

aus (26) und (24) folgt: 

und daraus schließt man wie oben: 

9. Ist m^l (mod4), so ist y2 /i (g»)'- Klassen- 
invariante. 

Wiederum weisen sämtliche Beispiele darauf hin, daß, wenn 
?u ^ 4 (mod 8) ist, y2/"i(ö)i2 Klasseninvariante ist. Aber 
auch hierfür fehlt noch der Beweis. Wenn m durch 8 teilbar 
ist, tritt eine Reduktion nicht ein. 

In den Fällen 4. bis 8. ergibt sich nach 3. eine weitere 
Reduktion auf die dritte Wurzel, wenn m nicht durch 3 teilbar 
ist. Demnach erhalten wir folgende Fälle: 
w ^ + 1 (mod 3), 





Klasseninvai'iante 


1) »n ^ 3 (mod 4) 


^(")S 


2) m = 5 (mod 8) 


fi^y^ 


3) m = 1 „ 


i^fi^y. 


4) m = 7 „ 


V2/(«), 


5) m ^3 „ 


A«), 


6) w = 2 „ 


V2 /•!(«)% 


7) m = i „ 


V2/"i(«)S 



wovon freilich die Fälle 5) und 7) nur durch Induktion ge- 
schlossen sind. 

Die Klasseninvarianten /*(«) eignen sich ganz besonders zur 
numerischen Berechnung, weil sie unter allen die einfachsten 
Resultate liefern. Wir geben daher zunächst eine größere Reihe 
von Beispielen, die sich auf Grund unserer bisherigen Entwicke- 
lungen leicht ableiten lassen, und die zugleich die Methoden 
kennen lehren, deren man sich auch zu weiter fortgesetzten Rech- 
nungen dieser Art bedienen kann. 

Es wird bei diesen Berechnungen häufig die Aufgabe gestellt, 
reduzible, ganze rationale Funktionen in Faktoren zu zerlegen. 
Eine solche Zerlegung ist, wenn sie gefunden ist, natürlich sofort 



474 Neunzelinter Absclmitt. § 128. 

ZU verifizieren; aber auch das Auffinden der Faktoren gelingt 
leicht, wenigstens soweit die Rechnungen bis jetzt fortgesetzt sind, 
da man häufig in den späteren Fällen früher gefundene Resul- 
tate benutzen kann, und überdies die allgemeine Form der Fak- 
toren kennt. Beisjjiele werden dies erläutern. 

§ 128. Die ersten Fälle der Berechnung von /"() — m). 
Setzen wir in der kubischen Gleichung: 

(1) w3 _ yr,{(o)u — 16 = 0, 
deren Wurzeln nach § 54 

ficoy, -A(«)^ -f.icoy 

sind, CO = i, also [§ 125, (16)], ya = 12, so folgt: 

m3 _ I2w — 16 = 0, 
eine Gleichung, deren einzige positive Wurzel tt = 4 ist, so daß 
wir in Übereinstimmung mit § 126 erhalten: 

(2) _ f(i) = f 2; 

setzen wir C3 = ^ — 2, also y^ = 20 [§ 125, (17)], so erhalten 
wir aus (1) die Gleichung: 

m3 _ 20 m — 16 = 
mit der einzigen rationalen Wurzel — 4, Da aber nach den 
Sätzen der beiden vorhergehenden Paragraphen f-^ {]/ — 2)^ rational 
sein muß, so ist: 

(3) A(V=2) = y2. 

Wir setzen ferner « = e ^ ^ q\^q y^^to) = (§ 117) und 
erhalten aus (1): 

?(3 = 16. 

Dieser Gleichung genügt [^ 34, (19)]: 
woraus der reelle positive Wert: 

(4) fii—s) = n 

Um die übrigen Resultate des § 125 anwenden zu können, 
setzen wir 

m = 7, 11, l'J, 43, 67, 163, 



§ 128. Die ersten Fälle der Berechnung von fiV — m). 475 

und benutzen die aus § 34, (19) folgende Formel: 

^—3 + «^ 



/•(«)A(- 



•^ = e 8 ]I2. 



2 
Demnach ist, wenn wir 

setzen, x nach (1) die reelle positive Wurzel der Gleichung 
(5) ^2. _^ y^ (lzl±Jzi^'j ^16 _ 2^ =. 0. 

Für ni = 7 erhalten wir nach § 125, (18) 

<6) /■(V=^ = ]'% 

während in den anderen Fällen, nach Einsetzen der Werte für ^35 
sich die Gleichung (5) erst in zwei Faktoren 12ten, diese wieder 
in zwei Faktoren 6ten und schlieljlich diese in zwei oten Grades 
spaltet. Die so erhaltenen Gleichungen sind kubische Gleichungen 
für x'^, x^, x^, X, von denen wir jedesmal nur die beibehalten, 
die eine reelle positive W^urzel hat, der schließlich f{]' — m) 
selbst genügt. 

Um die erste Zerlegung zu finden, setzen wir die Gleichung 
(5) in die Form: 

(x^^ — ax^y — {hx^ + c-y = 0, 
und haben die ganzen Zahlen a, h, c aus den Gleichungen: 

2a -{- b^ = —y^, 2b c = a^, c^ = 2» 
zu bestimmen, also c = 4:16; die Gleichung 12ten Grades mit 
positiver Wurzel lautet also: 

xii — hx» — ax^ — 16 = 0. 
Die Zahlen «, b bestimmen sich aus den obigen Gleichungen 
leicht, und so findet man schließlich die gesuchten kubischen 
Gleichungen. Man erhält z. B. für m =11 successive 
^12 _ 8 a:« -j- 16 a;* — 16 = 0, 
a-6 — 4a^2 — 4 = 0, 
x^ — 2x^ ^ 2x — 2 = 0. 
In den fünf Fällen des § 125 findet man folgende Gleichungen: 

(7) X = /•(!/— 11), a-3 — 2a:2 + 2./' — 2 = 0, 

(8) X = /"(V— 19), .r3 —2x —2 = 0, 

(9) X = /"(V— 43), .r2 — 2a;2 — 2 = 0, 

(10) X = /"(V— 67), x^ — 2x^ — 2x — 2 = 0, 

(11) X = /"(V— 163), x^ — 6.r2 -f 4a; — 2 = 0. 



476 Neunzehnter Abschnitt. § 129'. 



§ 129. Anwendung der Transformation zweiter Ordnung zur 
Berechnung von Klasseninvarianten. 

Die Transformation zweiter Ordnung läi^t sich, wenn nötig 
in mehrmaliger Wiederholung, auf alle solche Diskriminanteu 
— 4wj anwenden, für die y- -\- mx^ eine Potenz von 2 ist, also 
z. B. auf m = 7, 15, 23, 31. 

Diese Rechnungen sind aber beschwerlich, und wir werden 
einfachere Wege finden, um in diesen Fällen zum Ziele zu kommen. 
Bessere Dienste leistet die Transformation zweiter Ordnung, um 
aus einer bekannten Klasseninvariante eine neue zu finden, die zu 
einer Diskriminante gehört, die das Vierfache der ersteren ist. 

Dazu führen folgende Formeln: 

Nach § 84 ist: 

f,Uoyf,(coy = ^^^, 

woraus 

A {coy - 1, (coy = '-^-f^, 

Das Vorzeichen der Wurzel wechselt nur für f{(oy^ ■= 64, 
also für cj = ^, und ist, solange — ^w reell und größer als 1 
ist, positiv zu nehmen, da die linke Seite für ein verschwindendes 
g positiv unendlich wird. Es ergibt sich daraus: 

oder 

U{a>yf{coy\f{^y^ + ifi^y^ - 64j = 32, 

und auf dieselbe Weise: 

/,(«)8/',(«>[/',(«y^ + V/;(«)2^4-64j = 32. 
Ferner ist nach § 34, (16): 

/; (2 «)/■,(«) = 1/2, 

woraus 

(1) 2 A (2 ^y = f(coy [f (coy^ + \/ ficoy^ - 64], 

= /'iWEAC«)^^ + V/i («)" + 64]. 
Diese Formeln können dazu dienen, wenn f{(o) oder /i («) 
bekannt ist, /'i(2ca) zu berechnen, also fi{^ — 4m) aus f{] — m) 



§ 130. Bei'echnung von Klasseniuvarianten. 477 



oder /"i (y — m). Auf diese Weise findet man sehr leicht , wenn 
man aus den Formeln des vorigen Paragraphen f{i), f^ (y — 2), 
/(V^), f{i^l) entnimmt: 

(2) A(V=^^)'- 8, _ 

(3) A(V^^'= 8V2(l+V2y, 
<4) A(V=^^)'= 8(1 +V2), 



(5) A(V^^' = 32(1 +V2y + 8V2y8(l + V2y + (lH-V2). 

Setzen wir: 

A(V^=^y = 8 a:, 
so ist X' Wurzel der biquadratischen Klassengleichung: 

(6) (^2 _ 24.x — 2)2 — 8(8x -f 1)2 = 0, 

die durch Adjunktion von y2 in zwei quadratische Gleichungen 

x2 — 8 (l + i^f a; — 2 (l + y^) = 
zerfällt. Ferner finden wir so: 

(7) f,(y=l2y = 2l?/2(l + >'3), 

<8) /•^(yzr^)^ = 2y2(3 + \/7). 

Auf andere Fälle werden wir diese Methode später noch 
anwenden. 

§ 130. Berechnung von Klasseninvarianten aus den 
Schlaefli sehen Modulargleichungen. 

I. Wenn wir in einer der Gleichungen zwischen u = /"(«) 
und V = f{nco) oder zwischen ii = /"i («), v = f-^{nco) (§ 73), 
für u einen der bekannten Werte von /"(y — m) oder /"i (y — m) 
einsetzen, so erhalten wir eine Gleichung, welcher f{^ — n^^m) 
oder /"i (y — «2 ,,7) genügt. 

Diese Gleichung enthält unter Umständen noch fremde 
Faktoren, die man aufzusuchen und zu beseitigen hat. 

Ist n eine Primzahl, so erhalten wir nach § 123 vollständigen 
Aufschluß über diese überflüssigen Faktoren. Geht n in m auf, 
so ist in der betreffenden Gleichung ein zur Determinante — m 
gehöriger Linearfaktor abzusondern, ist — m quadratischer Nicht- 
rest von n^ so sind überflüssige Faktoren überhaupt nicht vor- 
handen, ist — m quadratischer Rest von r», so ist ein zur Diskri- 



478 Neunzehnter Abschnitt. § 130. 

minante — Am gehöriger quadratischer Faktor abzusondern, und 
wenn w ^= 1 ist, so ist die nach Absonderung der fremden 
Faktoren übrig bleibende Gleichung ein Quadrat. 
Als Beispiele für diese Fälle nehmen wir: 

1. m =3, w = 3, Absonderung eines Liuearfaktors. 

2. m = 2, w = 5, kein fremder Faktor. 

Absonderung eines quadratischen 

3. m = 2, « = 3, „ , , ^ ^ 

Faktors. 

4. j» = 1, n = 3, Quadrat. 

Quadrat nach Absonderung eines 

' ' quadratischen Faktors. 

6. m = 1, n = 7, Quadrat. 

Im Falle 1. hat man in der auf den Transformationsgrad 
n = 3 bezüglichen Formel des § 73 zu setzen: 

w3 = 2, v^ = /tV— 27)' = 2x, 
also 

1 2 

Ä = X^ -\ -, JB = 4:X , 

und folglich: 

xi — 4,x^-\-2x-\-l = (x — l)(x^ — Sx^ —- ox — 1) = 0„ 
80 daß man für m = 27 erhält: 



(1) /"(y— 27/ = 2x, x^ — 3x^ — 3x — l = 0. 
Im Falle 2. setzen wir im System IL des § 73 (w = 5): 

u, = /•, (V=2) = f2, », = /■, (V^W) = f 2 a:, 

so daß man (ohne fremden Teiler) die Gleichung 6ten Grades: 

(2) l_:,3+2(:i-2 + A-^ = 0, f,{i^=Wl = f2x 

erhält, die sich für 

1 

auf den dritten Grad reduziert: 

(3) ysj^2iß-j-'6y-i-4. = 0. 



§ 130. Berechnung von Klasseninvarianten. 479 

Im Falle 3. setzen wir im System IL des § 73 (w = 3): 

u, = f 2, vi = A (V^=^' = f 2^, 

xi — 4:X^ — Sx — 4. = (x2 -f 2) (^2 _ 4^ _ 2), 
also 



(4) ^2 _ 4^ _ 2 = 0, A (V— 18/ = f2 X. 

Die Auflösung von (4) ergibt: 

(5) X = 2 -^ ye. 

Im Falle 4. ist: 

M = f(i) = f2, ^;3 = fii^' = ^2x, 

^ = ^' + 1 £=2x--, 
2 ^ x^ X 

^4 _ 4^3 _^ 8^. ^ 4 _ (a;2 — 2 :r — 2)2 == 0, 

also 

(6) a;2 — 2:r — 2 = 0, /"(V-^' = "^^.x, 

(7) ;r = 1 + V3. 
Im Falle 5.: 

u = f(i) = 1/% V = f{i^=^ = y2x, 



(8) ^ _ i _ 1 = 0, /•(V^=^ = ir2:r, 

(9) - = ^- 
Endlich setzen wir für n = 1 : 

und finden 

= (ic« — 4a;7 -f 28^* — 32:r -f 16) 
= (^* — 2a;3 — 2a;2 — 4a; -j- 4)2, 

woraus leicht durch Auflösung einer quadratischen Gleichung: 

(10) o: + I = 1 + V7, x = nfii^^^). 



480 Neunzehnter Abschnitt. § 130. 

Auf dieselbe Weise sind die in der Tabelle am Ende auf- 
geführten Klasseninvarianten für 

m = 75, 36, 100, 63, 175 

berechnet, und diese Rechnungen lassen sich auch noch weiter 
fortsetzen. 

II. Aus den Schlaef lischen Modulargleichungen läßt sich 
noch auf verschiedene andere Arten für die Berechnung von 
Klasseninvarianten Nutzen ziehen. 

Setzen wir 

m I 

tö = , (o = V — m, 

CO 

so wird 

(ii; ^(o,) = /-(^j = ^(y=:^); 

wenn also in der Modulargleichung für den Transformations- 
grad m 

u = V 

gesetzt wird, so ergibt sich eine Gleichung, unter deren Wurzeln 

u = f (y — ni) vorkommt. In dem System I. des § 73 ist dann 

immer Ä = 2 zu setzen, und es ergeben sich die Formeln: 

g 
m = 3, B = u^ = 2, 

4 
m = 5, B =^ II* = 2, 

u* 

m = 7, B = M« + — = 9, 

m = 11, B = u2—1 55_i^3_25 = 2, 

64 
m = 13, B = u^^ 77 = 9 • 25, 

m =17, B = 10 4- — , B^ — 6SB — 544 = 0, 

m = 19, B = u^ — — , B^ — 38^2 -f 2525 — 648 = 0. 

Die Fälle m = 3, 7, 11, 19 ergeben keine neuen Resultate, 
können aber zur Verifizierung der früher gefundenen verwandt 
werden; aus m = 5, 13 erhalten wir durch Auflösung einer 
quadratischen Gleichung: 



§ 130. Berechnung von Klasseninvarianten. 481 

(12) f{i^=^y = 1 + Vö^ 

(13) /(V^TS)* = 3 + Vl3. 

Für m = 17 ist die Klassenzahl 4, also die oben angegebene 
Gleichung, die in bezug auf W^ vom 4ten Grade ist, die Klassen- 
gleichung. Löst man sie in bezug auf B auf, so erhält man: 

^^ + ^ = 34 + 10 Vl7, 

w* + ^ = 5 + Vl7, 

(- + ^) = ^^^^- 

Wenn man also 

]f2x = /•(V^Tt)' 
setzt, so erhält man für x die quadratische Gleichung: 

III. Wir setzen für co die Wurzel der quadratischen 
Gleichung : 

2ö2 ^ 2ra9 -4- w = 0, 

worin n eine ungerade ganze Zahl bedeutet und r eine ganze 
Zahl, deren Quadrat kleiner als 2« ist, also: 

(15) 2cj + 2r = — — , 

^ ^ CO 



(16) « = — ^ ^^ — —, m = 2n — r\ 
Es ist dann nach § 34: 

(17) /'2(«)/'i(2« + 2r) = r'"^'V2, 
und nach (15), (16): 

(18) ^^(a,)^,(^^) = ^^^2, 

(19) A(^)= w ^; — ^v 

setzen wir also, je nachdem r und folglich auch m gerade oder 
ungerade ist, 

(20) rr = A(V=^), ^^fCV^^, 

Weber, Algebra. III. 01 



482 Neunzehnter Abschnitt. i; 130. 

SO wird 

r ni 

und diese Werte hat man für ^i, i\ in das System IL, § 73 zu 

substituieren, um eine Clleichung für x zu erhalten. 

Indem man für r die verschiedenen zulässigen Werte setzt, 

bekommt man aus (16): 

n = 3, m = 6, 5, 2, 
n = ,0, m = 10, 9, 6, 1, 
n = 7, m = 14, 13, 10, 5, 
n = 11, m = 22, 21, 18, 13, 6, 
n = 13, m = 26, 2.5, 22, 17, 10, 1, 
« = 17, m = 34, 33, 30, 25, 18, 9, 
n = 19, m = 38, 37, 34, 29, 22, 13, 2. 
Als einfaches Beispiel wählen wir n =^ 7 und erhalten aus 

§ 73, II.: 

^ + - = 7 + 4V2cos*-^. 

4 ' ^« ' ' 4 

Daraus ergibt sich für r = i): 
(22) -^ + I| = 1 + V2, .. = A (V^=^), 

für r = 1 das bereits bekannte 



(23j /U-lSr = 3 + V13, 

für r = 1: 

(24) A(|^^)^ =iJlJ^. 

Als zweites Beispiel nehmen wir noch w = 13 und erhalten: 



|/2 



rn 



für r ^ 0, 4, also ni = 26, 10 ergibt sich hieraus jBj = 16, und 
folglich nach § 73: 

A{ — e^f -f Ä^ + 20^1 + 16 = 0, 
während für r = 2, also m = 22 in dieser Gleichung A^ in 
— Äi zu verwandeln ist. 

Man findet aber leicht die Zerlegung: 
. . A; - 6 ^; + Ai + 20 A + 16 

^ ^ =(J, + l)HA-2)H^f + 2^,^ + A+4). 



§ 130. Berechnung von Klassen invarianten. 48o 

Ist — ^CJ ;> ^2, so ist auch /',-(«) >> 12, denn /'i (0)2 geht, 
während — i oj von '^2 bis x geht, ebenfalls, und zwar stets 
wachsend ^), von ]l2 bis 00, und folglich ist A^^ negativ für 
r = 0, 2, 4. 

Der erste Faktor Ä^ -{- \ verschwindet, wie aus dem schon 
bekannten Resultat (24) hervorgeht, für r = 4; daher verschwindet 
der dritte Faktor Af -f- 2 A{ -\- A^ -^ 4= für r — 0, während 
^1 -|- 2 für r = 2 verschwindet. 

Wir erhalten also nach (25): 

(27) f,(i^=rYof = \2y, ^-1=1, 

(28) A (V^=^22)^ = V2//, ,i-j = 2, 

(29) A ( V -^^)' = i2y,if-2iß-2y^-{-2y^-2i/—l=0. 



IV. Als Beispiel für eine andere Art der Verwendung der 
Schlaefli sehen Modulargleichungeu, die zu der sonst schwer zu- 
gänglichen Klasseninvariante /"(^ — 41 ) führt, möge das Folgende 
dieneu. 

Wir setzen: 
(30) 2 « «2 4- 2 r OJ -f- H = 0, 



(31) CO ^ '' ^J ^^ m = 2 »2 _ rK 

Es kann hierin r jede Zahl bedeuten, die m positiv macht, 
die aber mit n keinen Teiler gemeinschaftlich hat [weil sonst 
(30) imprimitiv ist]. Es wird dann nach § 34: 

r 7ti 

(32) ^■^(¥)=^'[^(«''+'-W = 'Ä5f' 

r rti 

t\ [2(n« + r)] = A {r + V" »>0 = ^""^ ^^ 



') Aus § 54, (11) folgt näralich durch die Substitution ( w, 1 j: 

d f, (0.)" = - ^ ^to [fi'^r + 1\ ("^)i <i ^■ 

31* 



484 Neunzehnter Absclinitt. § 130. 

also: 



f-0 = 



U{nco) = 









X 

wenn, je nachdem r gerade oder ungerade ist, 

(33) ä; = /; (V— m) oder == /"(V— »»») 

gesetzt wird. Nehmen wir also in der zu n gehörigen Modular- 

gleichung IL, § 73: 



rrti 



"^^(D^^^'^^^^d) 



2\ e 24 y2 



oder 

so ergeben sich zwei Gleichungen, aus denen man durch Eli- 
mination von Wi eine Gleichung für x herleitet. 

Um für w = 5 diese Rechnung durchzuführen, setzen wir: 

X " ' ^ 

^ 2r~ 



5 »• iT' i 



AH 

woraus man, entsprechend den beiden Annahmen für Vj, für ein 
ungerades r die Gleichungen erhält: 

l' + i + 2(,= -^) = 0, 
(85) 

Diese Gleichungen gelten für r = 1, 3, 7, die zu den 
Werten m = 49, 41, 1 gehören. 

Subtrahiert man die beiden Gleichungen (35), so kann man 
den Faktor- 1 — r] abwerfen, der nur für w = 1 verschwinden 
kann: 

{(i + r,Y - ir,-\(l _ J-^) _ iCf + ,)(l + plj) = 0, 



§ 131. Berechnung von Klasseninvarianten. 485 

und wenn man die beiden Gleichungen (35) addiert: 

Es ist aber nach (34): 

und man erhält also eine Gleichung für ä;^, wenn man (| -(- i]) 
eliminiert. Diese Gleichung wird nach dem gewöhnlichen Elimi- 
nationsverfahren, wenn man 

_ ^ V2 

~ y2 ^^ 

setzt, in der Form 

(36) ^6 _ 9^5 -|- 20^* + 6^3 _ 19^2 _ 17^—6 = 

gefunden. Hierin ist aber noch der auf die Determinante — 49 
bezügliche Faktor enthalten. Für diesen ist [nach Formel (10)]: 

^ = 2 -|- yy. 

Es muß also die linke Seite von (36) durch 
^2 _ 4^ — 3 
teilbar sein, und die Ausführung der Division ergibt den für die 
Determinante — 41 gültigen Faktor: 

^4 — 5^3 _|- 3^2 _|_ 3^ ^ 2 = 0, 

(37) , ^ /• (V^) I V^ 



P /•(y-41) 

§ 131. Berechnung von Klasseninvarianten aus den irrationalen 
Formen der Modulargleichungen. 

In außerordentlich einfacher Weise führen vielfach die irra- 
tionalen Formen der Modulargleichungen zur Aufstellung von 
Klassengleichungen. 

1. Im § 75 haben wir gesehen, daß, falls m ^ — 1 (mod 8) 
ist, zwischen den beiden Funktionen: 

ni + 1 

2A = f{co)f{mco) + {-l)~^[f,{co)t\{may) + /, (co) /^ (m «)], 

5 = ? + ? + (- ')~ ^ 

fiWAC»»") AW/iC»'») /(«)/('"") 



486 Neunzehnter Abschnitt. § 131. 

eine algebraische Gleichung besteht, und diese Gleichungen sind 
dort für m = 7, 23, 31, 47, 71 aufgestellt. 
Setzen wir darin : 



CO 



i=, ma = V— ^"' AV— '») = V2 ^1 



y — m 
so wird nach § 34: 

m+l m+l 

^ = .r^ + tÜA, i? = 4.- + tl^. 

Daraus ergibt sich z. B. für m = 23, wo ^ = 1 ist, die 
Gleichung : 

(1) /'(V— 23) = V2 r, ^3 — ^ — 1 r= 

und für im = 31 : 

X-* — 4 :tfi + 3 a:3 _ 1 = 0. 

Dies ist zunächst eine kubische Gleichung für x^] man spaltet 
daraus aber leicht die kubische Gleichung für x selbst ab: 

(2) /(V— 31) = V2 a-, a;» — a;2 — 1 = 0. 
Ähnlich ergeben sich die Gleichungen: 

(3) /'(V^=^47) = V2^, 

X'^ — x^ — 2x^ — 2x — 1 =0, 

(4) /•(V^^7T) = V2^, 

a;^ — 2 it;'' — ic-'^ + •'^'* + •^■''' + -^^ — ^^ — 1 ="0. 

Im letzten Falle, m = 71, ist von der unmittelbar erhaltenen 
Gleichung 9ten Grades der der Aufgabe fremde Faktor (x -j- 1)^ 
abgesondert. 

2. Um zu einer weiteren Berechnungsart zu gelangen, wenden 
wir die Transformation zweiter Ordnung an. Wir haben zunächst 
allgemein [für ein veränderliches w, § 34, (17)]: 

f(9r,-\s I /• r2oVs — 2 /'(^)^ + /; (^Y 

/(2tD)8 + /2(2«) _ 2 j-^^ 

/•(2a,)B_/;(2co)B^^-^^, 



woraus : 



ficoy 4- /, («)^ 






§ 131. Berechnung von Klasseninvarianten. 487 

daraus 

fia,yf{2my + AWA(2c)« = 8 + t^'^^^'^+j <">']' . 

was sich nach § 34 leicht in die Form bringen läßt: 

[f{coyfi2a>y + /;(«)V2(2«)^? = le + f,{<oy^ + ^^ 



und hieraus kann die Wurzel gezogen werden: 

(5) /■(«)* /"(s coy + A («)* A (2 «)^ = A («)« + ^^. 

/ 2 y^r 

Es genüge nun co der quadratischen Gleichung: 

(6) 2«2 -f 2raj + w = 
mit ungeradem », also : 



(7) 03 = -^'+/-^^ m = 2«-r2. 

Wenn dann 

(8) y2 X =r /-(V^^y, oder = f,{f^^iy 
gesetzt wird, je nachdem r ungerade oder gerade ist, so wird 



(9) 


Ferner folgt 


aus 


2« = 


= e 
n 


r m 
12 


V2 

X 

2r 



0} 

nach den Formeln des >5 34 : 



r Tlt 



(10) A(2«)=:/,(^je'^ 

/,(2«) = /;(^)r'f', 

so daß die Gleichung (5) ergibt: 

(11) rt«)v(fy+(-i)-/,(<»)'/,(f)' 



r ni 



488 Neunzehnter Abschnitt. § 131. 

Aus (10) folgt noch weiter: 

(12) U(m)f,{^^) = yße-'-^, 

(13) /•(„)/-(^) /,(»)/•, (^) = V2e'^. 

Wenn wir w = 23 und r = annehmen, so gibt die Glei- 
chung § 75, (8) mit Benutzung von (12): 

(U) A'»)f(f)-/'.(«')A(^) = 2+V2, 

woraus durch zweimaliges Quadrieren mit Benutzung von (11) 
und (13) folgt: 

:r3 4- -1 = 36 + 26 V2; 

hieraus leitet man die einfachere Gleichung ab: 
(15) ^ 4-1 = 3+ V2, V2^ = AKV^46). 

3. Wir machen endlich noch eine Anwendung der Trans- 
formationsgleichungen des § 76 für einen zusammengesetzten 
Transformationsgrad auf die Determinante — 39. 

Setzen wir 



/(V^39), v = fN^ 



13\ m2 -\- v^ 



S I UV 

so ist in der auf n = 39 bezüglichen Gleichung (22), § 76 zu 
setzen : 

A = — — 2- B = — —2- 

V^ M ' U^ V ^ 

und die erwähnte Gleichung gibt: 

^3 _|_ ^2 _ 5 ^ _ 6 = 0, 
woraus nach Abwerfung des Faktors ^ -|" 2 die folgende her- 
vorgeht : 

(16) ^2_^_3 = 0, 0= ^ "^2 

Zwischen u und v besteht aber andererseits eine Trans- 
formationsgleichung dritter Ordnung (§ 73): 

ll<^V^ — 8 Ml2 -|- |;12 c . I o 9 O 

= ! = 3*^ — 6is* -\- 9 z^ — 2, 

27-1-7 Vl3 
was sich mit Hilfe von (16) auf die Form ^* — 2 = ~ — - — 

brinj^en läßt. 



§ 132. Die Schlaeflische Modulargleichung. 489 

Daraus erhält man 

^3^3 = 4(3 + yis), 

ue -|- ^6 ^ 4 (17 _|_ 5 yi3), 

u5 — v^ = V2 (3 + Vl3), 

so daß, wenn u^ = ^8 a; gesetzt wird, für x die quadratische 
Gleichung folgt: 

(17) ^2 _ M_Vl! (^^ 4- 1) = 0, f{\''^^y = ]/8 X. 

Wir wollen unsere Resultate jetzt noch anwenden auf zwei 
Probleme, die in die allgemeine Transforraationstheorie des 
siebenten Abschnittes gehören. 

§ 132. Die Schlaeflische Modulargleichung für den 
23sten Transformation sgrad. 

Jede Klassengleichung tritt als Diyisor in einer großen Zahl 
von Transformationsgleichungen auf und kann daher, wenn sie 
auf andere Weise bekannt ist, zur Berechnung von Transforma- 
tionsgleichungen benutzt werden. Wir nehmen als Beispiel den 
23sten Transformationsgrad. 

Nach § 73 besteht, wenn 

(1) u = f{co\ v = f{2Soj), f(^-^y c = (mod48) 
gesetzt ist, eine Gleichung zwischen 

B = UV -1 , 

11 V 

und es ist schon in § 74, (14) gezeigt, daß diese Gleichung die 
Form hat: 

(3) ^ = 511 + m, J5I0 H h who i' + »H„, 

worin die Koeffizienten ««j, m^ ..., Wn rationale Zahlen sind. 
Statt nun diese rationalen Zahlenkoeffizienteu wie dort aus den 
Eutwickelungen von u und v nach Potenzen von q zu berechnen, 
suchen wir die Wurzeln der Gleichung (3) für n = v aus der 
komplexen Multiplikation zu bestimmen. 



490 Neunzehnter Abschnitt. § 132. 

Durch Multiplikation mit u^^v^^ geht die Gleichung (3) in 
eine Form über, welche u, v nicht im Nenner enthält, die wir 
für den Augenblick mit 

(4) -F(m, v) = 
bezeichnen, so daß für ein unbestimmtes x und w : 

(5) F [/■(«), .r] = {X - /•(23 «)] H [^ " /' C^^) ' 

Wir untersuchen nun, für welche Werte von « die Funktion: 

(6) F(w, u) = F\f{co), /'(«)] 

= ifico) - /•(23«)j n [/■(«) - /'(^y 

verschwindet. Es verschwindet zunächst offenbar der Faktor: 



/(.)-/-(||) 



für 



=/-(v-^) = K^)- 



Verstehen wir ferner unter r eine der Zahlen +2 oder +4, 
und dementsprechend unter 

m = 23 — r2 
entweder 19 oder 7, so verschwinden von den Faktoren von (6) 
für CO ^=: y — m je zwei, nämlich: 

denn es ist 



^. 2ir-i-\-m \ _ J^^fr + ]/-m 



r nx 
o 24 



23 / ' \ 23 

\r — y — w/ 
Wir fügen noch hinzu, daß 

/24r-fö\ 

^^"^-^(—23^; 



/H-AV-w) 



für 03 = y — »» einer endlichen Grenze zustrebt, wie man durch 
Differentiation nach o erkennt (§ 54), und daraus folgt, daß 
i^(M, \i) durch |m — /'(Y — m)]^ teilbar ist. 



§ 133. Die Eesolventen 7ten und Uten Grades. 491 

Wenn man n = v setzt, so wird 

.4 = 2, 5 = «^+^^, 



und wenn u = f{\ — w), m = 7, 19, 23 gesetzt wird, so erhält 

man aus § 128, (6), (S), ^ 131, (1) durch Elimination von u die 

Gleichungen für B: 

m = 7, j5 — 3 = 0, 
m =19, J52 — 6^2 _^ 10J5 — 6 = 0, 
m = 23, B^ — bB^ -{- 4 5 — 1 = 0. 
Die beiden letzten kubischen Gleichungen sind, da sie keine 

rationale Wurzel haben, irreducibel, und daraus ergibt sich ohne 

Rechnung die gesuchte Modulargleichung.(3): 

(7) .4-2 = (iy-3)2(J53— 6jÖ24_ ioi>_6)2(i?3_552^4^_l). 

In der Abhandlung: „Ein Beitrag zur Transformationstheorie 
der elliptischen Funktionen mit einer Anwendung auf Zahlen- 
theorie", Math. Annalen 43, 185, habe ich auf demselben Wege 
auch noch die Transformationsgleichung für den 47steu Trans- 
formationsgrad abgeleitet. 

§ 133. Die Resolventen 7ten und Uten Grades für den 

7ten und Uten Transformationsgrad. 

Wir haben in ij 82 gesehen, daß für den 7ten und Uten 

Transformationsgrad Resolventen der Grade 7 und 11 existieren. 

Auch bei der Bildung dieser Gleichungen kann die Theorie der 

komplexen Multiplikation nützliche Dienste leisten. 

Wir betrachten, Avenn » = 7 oder = 11 ist, die Trans- 
formationsgleichung 

F,.(w, v) = 0, 

deren Wurzeln, wenn ii = /"(«) gesetzt wird, 

(1) ^„ = /"(nco), v. = f(^^^ 

sind , wobei c als Index von v nach dem Modul n genommen 
werden kann, während es unter dem Zeichen f durch 48 teilbar 
vorausgesetzt werden muß. 

Diese Gleichungen sind nach >; 73: 

(2) n ^= 1, V* — u'' v' -\- 1 u* v^ — 8 u v -\- u^ = 0, 

(3) »=11, t;i2 _ tti'üii -f 11m'-»ü9 — 44M't;7 -f 88m5ü'' 

— 88w3y3 ^ 32 «V 4- t<>2 = 0. 



492 Neunzehnter Abschnitt. § 133. 

Wir haben in § 73 den Einfluß der drei Vertauschungen 
(c') =(«,« + 2), 

(4) (0 = («,^), 

durch die u übergeht in 

-g V2 

u 

auf die Wurzeln der Gleichungen (2) und (3) untersucht. Dieser 
Einfluß ergibt sich aus den Zusammensetzungen: 

(•^) (:::)G;:)-0:i> 

(6) c' = c -f 2 (mod n) ; 

(^) (:::)(-?;:)-(:S:ii,:)(?,?)' 

(8) cc" = — 1 (mod n); 

<«) C: (-!; I)= CD (-1: :)('>,?)■ 

(10) c'" = ^-^ (mod w), 

c -)- 1 "^ 

w — /3 = 1 — c'", y -f d = c + 1, 
a -|- /3 = n, rt (y — ö) = (c — 1) — c'" (c + 1), 

und nach § 34 und § 40, (12) geht also durch die Substitutionen 
(c'), (c"), (c'"), mit Rücksicht auf 

2 = 2 n2 (mod 48), 
die Wurzel Vc über in : 

^2\ ^2 



und dies gilt auch für c = oo. Die Vertauschungen der Indices, 

die sich so ergeben, sind: 

(12) n = l, f = cx>, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 

c' = CO, 2, 3, 4, 5, 6, 0, 1, 
c" = 0, a,, 6, 3, 2, .5, 4, 1, 
c"' = 1, 6, 0, 5, 4, 2, 3, 00. 



§ 133. Die Resolventen 7ten und Uten Grades. 493 

(13) n = 11, c = 00, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 

c' = 00, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 0, 1, 
c" = 0, 00, 10, 5, 7, 8, 2, 9, 3, 4, 6, 1, 
c'" = 1, 10, 0, 4, 6, 5, 8, 7, 9, 2, 3, oo. 

Als Wurzeln der Resolventen 7ten und Uten Grades können 
wir nach § 82 je eine der beiden folgenden Funktionen betrachten : 

(14) n = 7, 

_ (V^ — Vy) (Vy+l —Vy + s) (Vy + 2 — Vv i e) {Vv + i — Vy+ö) 

Wv — ; ;= 1 

. _ (^00 — Vy) (^r + 1 — Vv+^) {Vy + 2 — Vy + 3) {Vy + i — ^v + e) 

— ^ y7 n^ 

(15) n ^ l\^ Wv = 

{v^-Vy){Vy+X-Vv+i){Vy^-Z-Vy+e){^j^i-Vy+s){:Vy^h-V^+w){Vy^-^-Vx+l) 

W'v = 
(^OQ-'^O {Vv+1-Vy^6) {Vv^3-Vy^T) {Vy^i-Vy^2) (^^v+5- ^^v + s) (i^, +9- ^^v+io) 

— i y IT u^ ' 

worin '^1 und l/ll positiv genommen sein sollen. 

Es tritt nun zunächst der folgende bemerkenswerte Unter- 
schied zwischen beiden Fällen hervor. 

Durch die beiden Vertauschungen (c'), (c") werden im Falle 
n = 1 die Wv nur untereinander vertauscht, und zwar in folgen- 
der Weise: 

tv^, IV,, W2, iv-i, lü^, it'e, iv^, 

(c') tV2, tVs, I6'4, iv-,, tVe, Wo, tt^i, 

(C") Wo, '^2. Wn «<^65 ■2^45 »«^5, ?«^31 

während [nach (13)] im Falle n = 11 durch die Vertauschung 
(c') die Größen w gleichzeitig ihr Vorzeichen ändern, so daß 
folgende Vertauschungen eintreten: 

Wo, Wi, IV2, tVs, iVi, w^, Wß, ^v^, w^, iVg, h\o, 
(c') -IV2, -IVs, -W4, -tv-^, -It'ö, -tv-!, -tv^, -tu;,, -Wioi -^Vq, -IVi, 
(c") IVo, H?,„ K'e, tVs, W^5, IVi, M'2, IW«, tt';, W,, t<;io, 

und ebenso verhält es sich mit iv'. 

Daraus folgt nun (^^ 54), daß die Wv Wurzeln einer Gleichung 
7ten oder Uten Grades: 

(16) IV" -\- A^ it"— 1 + AoW''-^ -j- ^ ^, = 



494 Neunzehnter Abschnitt. § 133. 

sind, .daß darin aber im Falle n = 7 sämtliche Äi rational von 
f{coy^ abhängen, dagegen im Falle w = 11 die Ai mit geradem 
Index ebenfalls rational von f{o3y^ abhängen, während die mit 
ungeradem Index das Produkt von f{ojy^ mit einer rationalen 
Funktion von /'(ca)^* sind. Die Zahlkoeffizienteu enthalten außer 
rationalen Zahlen nur noch die Irrationalität i ^7 bzw. ^Vll, 
und demnach wollen wir diese Gleichungen bezeichnen durch 

0[w, f{ciy\ iVll] = 0. 

Ändern wir gleichzeitig die Vorzeichen von i und m', so ergibt 
sich, wie wir in § 82 gesehen haben, eine Gleichung, deren 
Wurzeln die Größen lo' sind. 

Auch bei der Anwendung der Substitution (c''') zeigt sich 
für die beiden Fälle ein Unterschied. 

Es ergibt sich nämlich aus (13), mit Rücksicht darauf, daß 
nach (2) das Produkt sämtlicher r, den Wert u^ hat, daß im 
Falle n = 7 durch die Substitution (c'") die Wr, nur unterein- 
ander vertauscht werden, und zwar in folgender Weise: 

'Wq, tül, H'2, HJg, Wi, H';„ Wi 

yWf,, IVs, IVe, W^, W^, Wo, Wi. 

und daraus folgt, daß in diesem Falle die Koeffizienten Ä,. 
alle ungeändert bleiben, durch die Vertauschung: 

{f^'^y-'' TM", 

überdies kommen im Nenner dieser Koeffizienten 
nur Potenzen von /'(«)" vor (ij 73), und die Potenzen von 
f(ay* steigen bis zu derselben Höhe wie die von f(a))-'^*. 

Im Falle n = 11 gehen durch die Vertauschung {c"') die 
Größen Wv in die Größen w'r über, und zwar in folgender Reihen- 
folge : 

/iVo, tVi, W2, Ws, W^, W^, IVe, VC;, IV^, IV,„ H'io\ 
Xiv's, It^a, tt'?, ^t-'o, H'9, H'5, ir'e, H'l, IV3, iv'w, tc'i ) 

Nach (17) können wir diese Eigenschaft durch die in bezug 
auf IV identische Gleichung ausdrücken: 

und daraus ergeben sich die folgenden Eigenschaften der Koeffi- 
zienten Ay'. 



§ 133. Die Reaolventen 7ten und Uten Grades. 495 

Äy bleibt ungeändert durch die gleichzeitige Ver- 
tan seh ung: 

lind enthält bei geradem v nur die geraden, bei un- 
geradem V nur die ungeraden Potenzen von f((oy^. 

Auch hier treten nur Potenzen von f{co) im Nenner auf, 
und die Potenzen von /"(«) steigen bis zur selben Höhe wie die 
von f{co)~^. 

Um über die Grade der Funktionen Äv ins Klare zu kommen, 

betrachten wir die Anfänge der Entwickelungen nach steigenden 

Potenzen von q = e'^"", 

1 

Es beginnt die Entwickelung von f{co) mit q 2*, die von v^ 

n 1 2jtJ_c 1 

mit q 24^ von Vc mit q ^m g 48 n^ worin aber in der letzten 
Exponentialgröße, wenn wir c auf seinen kleinsten Rest (mod n) 

reduzieren, auch j^ nach dem Modul n zu nehmen, also für 

n == 7, 11: 

^ = -1 (mod 7), 

^= 3 (mod 11) 
zu setzen ist. Wenn wir also hiernach 

2 Tri öTti 

Q -rziz e "' oder = e ^^ 

setzen, so erhalten wir aus (14), (15) als Anfänge der Ent- 
wickelung 

für n = 7 : 

_ 2. 

i^l W. = q~^ Q^^iQ — 93) (^2 _ p6)(p4 _ p.-,) ^ ..., 

für n = 11 : 

6 

i]/nwr = q~^' p^» (q-q^) (q-'-q^) (q*-q^) (q'-q"^) {q "-(?■) + • •• 
Es ist aber für n ^ 1 : 

{q — Q'^) (92 _ ^r.) (^4 _ p5) ^ _ p _ p-2 _ p4 ^ ^3 ^ ^5 4- p6, 

und für » ^ 11: 

{Q — 9=^) (9' — (>") ((>* — P^) {q' - pi°) ((>« — Q') = 
— Q — Q' — Q' — Q' — Q' -\- Q-" -\- Q' -\- Q^ -{- Q' ^ ^10. 



496 Neunzehnter Abschnitt. § 133. 

Da 1, 2, 4 die quadratischen Reste von 7; 1, 3, 4, 5, 9 die 
quadratischen Reste von 11 sind, so können diese beiden Summen 
nach Bd. I, § 179 bestimmt werden, und ergeben in den beiden 
Fällen : _ _ 

i^l und —iil\, 

so daß 

1 

i6v = —q 22^=." -] , n = 11. 

Hierdurch läßt sich eine obere Grenze ableiten, bis zu 
der in Ä, die Potenzen von f{co) höchstens ansteigen können, 
wenn man noch beachtet, daß die Äy als ganze rationale (und 
symmetrische) Funktionen der tüy darstellbar sind. 

Für n = 1 ergibt sich so, da alle Exponenten von /"(ö) 
durch 24 teilbar sein müssen, daß A-y, Ä^., A^., A^, Ar,, A^ Kon- 
stanten sind, während A^ nur die erste Potenz von /"(m)^*, und 
zwar mit dem Koeffizienten — 1 [nach (18)], enthält. 

Für n = 11 muß, wenn /' (w)^2A ^jjg höchste in Ay vor- 
kommende Potenz von /'(«) ist, 

, __ 5v 

sein, und überdies muß A mit v zugleich gerade oder ungerade 
sein. Daher sind A^^ A^ konstant, A^, A^ enthalten die höchste 
Potenz /'(w)2i, ^10 enthält auch /"(w)*^. Da die A mit ungeradem 
Index nur ungerade Potenzen von /'(«)i2 enthalten, so ist A^ = 0^ 
A-i, A:, enthalten f{coy^, At , A^ enthalten bis f(c3y^, in A^-^ 
steigt f{co) bis zur 60sten Potenz an. 

Für den Fall n = 7 wollen wir nun die Konstanten voll- 
ständig mit Hilfe der komplexen Multiplikation bestimmen, und 
zwar genügt dazu die Betrachtung der Werte der u\ für o = /. 

Für G) = i wird _ 

u = f(i) = 1^2, 
und wenn wir diesen Wert in die Gleichung (2) einführen, und 

f2v — sc 
setzen, so ergibt sich: 

(19) x» — 4 ;r7 4- 28 a;* — 32 a; -f- 16 = 0. 

Die linke Seite dieser Gleichung ist das Quadrat des Aus- 
di'uckes : 

(20) a;* — 2 a;3 — 2 a;2 — 4 a; + 4, 



§ 133. Die Reaolventea 7teii und Uten Grades. 497 

80 daß also die Werte von v für co = i paarweise einander 
gleich werden. Aus § 119, (15), (17) folgt, wenn w = ?, also 
^ = 1, C = 1, i^ = 0, w = 4, ^ =r a; = 7, i/ = gesetzt 
wird, daß für cc' ^ — 1 (mod 7) Vc = Vc' wird, so daß also : 
(21) v^ = Vo, Vi = Ve, Vj = V,, Vi = üg. 

Der Ausdruck (20) läßt sich in die beiden quadratischen 
Faktoren : 

x2 .- (i ^ fj) X -}- 2, x^ — {l — V7) X -}- 2 
zerlegen, so daß die acht Werte von x paarweise je einer der 
vier Größen 

^ 2 ^2 2 y9 

gleich werden, und es handelt sich noch darum, diese vier Werte 
den einzelnen v^ zuzuordnen. Dazu bemerken wir, daß v^, Vq 
für (o = i reell sind, und daß ebenso v^, Vg reell sein müssen, 
weil sie gleichzeitig einander gleich und konjugiert imaginär sind. 
Aus Vq entsteht v,. dadurch, daß man q mit einer gewissen 
Einheitswurzel multipliziert; da aber die Entwickelung von Vq 
nach Potenzen von q nur positive Koeffizienten enthält [vgl. § 24, 
(11)], so folgt, daß Vq größer sein muß als Vj, und mithin ist 

]72ü„^=]/ 2vo = 2^ + -^, 

^2v, ^V2.e = -^-J^- 
Für die beiden anderen Wurzelpaare ergibt sich: 

Daß in diesen Ausdrücken das Vorzeichen von / richtig ge- 
wählt ist, schließt man auf folgende Weise: 

Aus (23) ist zu ersehen, daß für co = «', also für u ==1/2, 
die Wurzel iVq verschwindet, und daß also für diesen Wert Arj 
verschwinden muß. Nach den oben nachgewiesenen Eigenschaften 
ist hierdurch A-; vollständig bestimmt, nämlich : 

(2ö) A=-(«--,^,y, 

Weber, Algebra. III. 32 



498 Neunzehnter Abschnitt. § 133. 

woraus folgt, daß für keinen anderen Wert von w^* als 64 zwei 
der Werte v, einander gleich werden. Es tritt diese Gleichheit 
also nur für co = i und gewisse mit i äquivalente Werte von o 
ein, und daher nicht für einen anderen rein imaginären Wert 
von o. 

Der Anfang der Entwickelung nach steigenden Potenzen von 
q ergibt nun : 

, , ./« — 2.48\ ,./« + 2.48\ 

(26) v,-v,=f (^ ^ ) - / (^ ;f ) 

= 2iq ^ ■ 2^ sin ^ + • • •, 

so daß für einen hinlänglich großen reellen Wert von — i oo die 
linke Seite von (26) positiv imaginär ist. Wenn nun — i a auf 
reellem Wege von oo bis 1 geht, so geht, wie wir oben gesehen 
haben, v^ — v-^ nicht durch Null. Es muß also auch für co = i 
die Differenz v^ — Vr, positiv imaginär sein, wie in (24) an- 
genommen ist. 

Wenn man also die Werte (23), (24) in (14) einsetzt, so 
ergibt sich für co = i: 

Wo = 0, IVr, = 

7 + i V 7 

(27) Wi = iv.2 = iv^ = IV,- = 2 ' 



4 

Danach kann für den Fall n = 7 die Resolvente vollständig 
gebildet werden. Sie lautet: 

/ 1 4-i p\' ( , ^ V7 (l + * V7)'\ 

(28) w^ \w ^=2-^ j \w + ^ ^ J ^ ^ ) 

2 

und nimmt eine einfachere Gestalt an, wenn man 

w -\ — ^ — r — - = ^ 

' 4 

setzt : 

(29) .(..- ' V7(1+.Y7)' ) (,, ^,^y ^ ,,.., _ |4 . 



/ o 64V 



§ 133. Die Resolventen 7ten und Uten Grades. 499 

Für den Fall n = 11 ist die entsprechende Rechnung noch 
nicht durchgeführt. Verhältnismäßig einfach erhält man, wenn 
man mit Benutzung der Betrachtungsweise des § 119 die Werte 
von CO aufsucht, für die eine der Größen iVy verschwindet: 



(O 



= y— 7, üj = !=• 

i_y_7 



u = ^2, u = V2, u = 1, 

und daraus 

26\3 ^ ^^ 212\ / _ 1 



^.. = {"'' - ^) («" - ;^ " » 



32 = 



Zwanzigster Abschnitt. 

Die Multiplikatorgleiclmiio- in der komplexen 
Multiplikation. 



§ 134. Die Klasseninvariante yg (to). 
Wir haben jetzt die P'unktion 

y, (ö) = Vi(«) — 123 
auf deren Eigenschaft als Klasseninvariante zu prüfen. 

Wir haben zunächst für ein variables oj die Multiplikator- 
gleichung Ister Stufe (§ 72, 3), wonach, wenn 

(1) n ^ 3, c ^ (mod 4), 
die V Größe, 

(2) M = i-1)' 8»(^-A___^jy,(<,), 

durch die linearen Transformationen nur miteinander permutiert 
werden. Setzen wir also 

(3) u=ji.), '■=i(^^), 

so besteht zwischen m, v die Invariantengleichung 

(4) F{v, u) = 0, 

und es ist 

F{x, u) = n{x — v), 

wenn das Produktzeichen sich über die v Wertsysteme von 
a, 6, c erstreckt. Die Summe 

(5) F{x,u)^^^^^i,{x,u) 

ist für ein unbestimmtes x durch lineare Transformation un- 
geäiidert und daher eine rationale Funktion von u. Da die Funk- 
tion aber für jeden endlichen Wert von i(«) einen endlichen 



§ 134. Die Klasseninvariante 73 (w). 501 

Wert hat, so ist sie eine ganze Funktion von j (co). Lassen 
wir in (5j a; in v übergehen, so ergibt sich 

(6) M--^,r^, 

worin i^(y, i<) eine ganze rationale Funktion von u und y 
ist, mit rationalen Zahlenkoeffizienten. 

Lassen wir nun in (6) (o in die Wurzel einer (Quadratischen 
Gleichung der negativen Diskriminante 

D = B^ — AAC 
übergehen : 

(7) A(o^ ^ Ba + C = 0, 

so können einer oder mehrere der Werte v gleich u werden. Ist 
dies nur für einen der v Werte v der Fall, so wird F'(r) für 
V = II nicht verschwinden, und wir können nach (6) M rational 
durch diesen singulären Wert von a ausdrücken. 

Die Gleichung u = v führt aber die Bedingung mit sich: 
c ~\- d CO y -^ d a 











a 






a 


+ ß^ 






Daraus 


folgt: 
























dß 


= 


Ax. 


1 






da = 


Bx - 

2 

ay = 


5 


(8) 


cß- 


- ad 





Bx 





y 

1 




ca — 


C X, 



(9) 4» = tß — Bx\ 

worin x positiv angenommen werden kann. 

Wir nehmen A ungerade und relativ prim zu D an. Ist 
7) ^ 1 (mod 4), so setzen wir n = — B und erhalten aus (9): 
}ß -f « (^-2 _ 4) = 0. 

Der Wert x ■= \ ist hiernach nur dann zulässig, wenn — B 
das Dreifache einer Quadratzahl ist. Sehen wir zunächst von 
diesem Fall ab, so bleibt nur 

X = 2, !/ = 0, 
und aus (8) ergibt sich: 

g = 1, ß = 2A, a = B, 

a = »?, y ^ 2C, d ^ B (mod 4), 

a ^ ßa = VÄ 
und durch die beiden letzten Gleichungen (8) ist c nach dem 
Modul n bestimmt. 



502 Zwanzigster Abschnitt. § 134. 

Nach § 38 (15) ist also 

(10) M= (-if^'^^^^/n^y.ico), 

und es wird hier nur einer der Werte v = m, demnach ist M 
und folglich auch y^ y-^ (co) rational durch j (w) ausdrückbar. 
Um auch den Ausnahmefall zu erledigen, setzen wir 

n = — D = 3 m2. 
Dann wird (9): 

«/2 -f 3 m2 {x^ _ 4) = 0, 
und diese hat die drei Lösungen: 

a; = 2, ^ = 0, 

a; = 1, y = ZfSm. 

Die Gleichungen (8) ergeben für x = '2 wieder die Formel (10): 

und die beiden anderen Fälle ergeben 

8 = 1, a = n, 

a = — =1 , ß = A, 

r = C, a^8 = B (mod 4), 

Daraus erhält man nach § 38 (15) für Jfg, M^ die Werte 

Nun sind zwar nicht die Größen Jf^, il/g, M^ einzeln, wohl 
aber, wie wir gleich zeigen werden, ihre symmetrischen Funk- 
tionen, z. B. ihre Summe, durch i(w) rational ausdrückbar, und 
daraus ergibt sich auch für diesen Fall , daß ^) y^ (oj) Klassen- 
invariante ist. 

Von der Annahme, die wir gemacht haben, daß A relativ 
prim zu 2i) sei, können wir uns nachträglich befreien, da yzioo) 
durch alle linearen Transformatoren höchstens sein Zeichen 
ändert. Wir haben dann den Satz: 

1. Ist 7> ^ 1 (mod 4), so ist \IT)y^{a) Klassen- 
invariante der Diskrimiuante 1). 



§ 134. Die Klasseninvariante y^ (w). 503 

Um den Satz vollständig zu begründen, müssen wir noch 
beweisen, daß die symmetrischen Funktionen der il/i, M^, M^ in 
dem zuletzt betrachteten Ausnahmefall rationale Funktionen von 
j{o3) sind. Dies erfordert, daß wir untersuchen, was aus (6) wird, 
wenn für einen singuLären Wert u von v der Nenner F'{v), und, 
da M endlich bleibt, auch der Zähler verschwindet. Wir lassen 
zunächst wieder co variabel und bezeichnen die Wurzeln von 
(4) mit 

(11) Vi, ^2, V^, ..., V,. 

Es mögen nun für den betrachteten besonderen Wert von a 

(12) Vi, ^2, ..., Vx 

einander gleich werden, während die übrigen ü/-|-i, ..., v, davon 
verschieden bleiben. Wir nehmen irgend eine symmetrische Funk- 
tion der Größe (12), z. B., für ein unbestimmtes t: 

(13) 6 = (t- v,l {t - V,), ..., (t — V,)', 

wenn wir in ö alle Permutationen der Größen (11) ausführen, so 
bestimmen wir r Werte 

(14) (Ji, Ö2, ..., ö,., 

wenn v ! 

r = 



A! {v — A)! 

die Anzahl der Kombinationen von v Größen zu je A (ohne Wieder- 
holung) bedeutet. Über t können wir so verfügen, daß auch für 
den singulare n Wert co nur eine der Größen (14) gleich dem 
ersten 6 wird. Die 6 sind die Wurzeln einer Gleichung 

0{.i\ u) = 
vom Grade r, und für den singulären Wert .r = 6 bleibt ^'(ö) 
von Null verschieden. 

Betrachten wir nun eine symmetrische Funktion S der (12) 
entsprechenden Größe 

M„ M,, ..., Mx, 

so nimmt diese durch die v Kombinationen der Zahlen r/, 9, c, die 
zu den Werten (11) führen, gleichfalls r Werte S^, Sg, ..., Sr an, 
und die Summe 

ist eine rationale ganze Funktion von ,/ und u. Daraus folgt, 
indem man x in 6 übergehen läßt: 

_ 0((?, u) 

- 0'{H) ' 



504 



Zwanzigster Abschnitt. 



§ 134. 



Für den singulären Wert werden nun alle die Größen (12) 
einander gleich und gleich h, also ö eine rationale Funktion von 
K, und damit ist der gesuchte Beweis geführt. 

Als bemerkenswerte Beispiele wählen wir die Fälle des § 125: 

4- V=^^ 



73 
73 



2 



2 

+ v 



= 24 y-3, 

= 27 V^, 



11 



2 



7. 8 V 



11, 



4- V— 19 



= 8. 27 y— 19, 



+ V-27\ _ 



8. 11. 23 V— 3, 



+ V-43\ _ 



= 8. 7. 81 V— 43, 



+ 1-67 



7. 8. 9. 31 V— 67, 



+ V— lü3\ _ 



= 8. 27. 7. 11. 19. 127 V— 163. 



Auch hier ist die Zerlegbarkeit der rationalen Faktoren in 
verhältnismäßig kleine Primzahlen auffällig. Wir geben hier 
noch einige Beispiele, in denen nicht j/Z), sondern | — B vor- 
kommt. 

Wir haben im § 128 gefunden: 

/, (1/1:2)* = 2, /(V=3y = 2, /■(V=7y = 2. 
Darauf wenden wir die Formeln an (§ 129): 





/i l-i — ^4 ' 


und finden 








also 



§ 135. Die Klasseninvariante z^ und x. 505 

Hieraus erhält man x^^und x'^ aus den Formeln [§ 54, (3)] 

AW ,^. -AM! 

- /•(«)«' - /-(CO)«' 

a = 1—2: J<2 = (V2— l)\ 
CO = V-3: x^ = — ^ = ^ 8 - 

./-^ , 8 — 3 V7 (3 — V? )' 

§ 135. Die Klasseninvariante x^ und ^. 

Es ist in § 126 gezeigt, daß, wenn die Diskriminante I) durch 
4 teilbar ist, und die quadratische Gleichung, deren Wurzel a 
ist, ungerade äußere Koeffizienten hat, /'(c«j)2* Klasseninvariante 
für die Diskriminante D ist. 

Es ist aber nach ^ 54 und § 34 

Genügt nun co der Gleichung 

(2) Äco^^Bo}-\-C=0 

mit der Diskriminante 

1) = B^ — iAC, 

so genügt co' = 2 M der Gleichung 

J. C3'2 + 2 5 to' 4- 4 C = 
mit der Diskriminante 4i>, und nach § 126, (13) ist daher 
/"i (2 m)24 Klasseninvariante für diese Diskriminante. Es ist also 
x2x'2 und x6 rational ausdrückbar durch Klasseninvariauten der 
Diskriminante D und 41). 
Die identische Gleichung 

x2x'2 4- K^x-'t + 2x0 _ 

zeigt, daß dasselbe auch für den Modul x^ gilt. 

Da x2 durch jede lineare Substitution in eine rationale 
(linear gebrochene) Funktion von x^ übergeht, so kann jetzt auch 
die Voraussetzung, daß die Koeffizienten J, C ungerade sein sollen, 
fallen gelassen werden, und wir haben den Satz : 

2. Ist die Diskriminante B ^ (mod 4), so ist 
x2(a)) Klasseninvariante der Diskriminante 4-D. 



506 Zwanzigster Abschnitt. § 135. 

Im § 134 ist ferner nachgewiesen, daß für D ^ 1 (mod 4) 
yZ) 73 (ra) Klasseninvariante ist. Es ist aber (§ 54) 

8 (2 + X2 X'2) (x'2 — k2) 
X2X'2 



(4) yaC«) - 



Genügt 03 der Gleichung (2), und setzt man: 

(5) « = ^y-ipr 

so ergibt sich für w' die Gleichung: 

(6) {A^ B ^ C)co'-^ — 2{Ä — C)(o' ^{Ä — B ^ C) = 0. 

Ist D ^ b (mod 8), so sind A, B, C ungerade, und ist 
D ^ 1 (mod 8), so können wir A und C gerade annehmen, und 
folglich ist in beiden Fällen (6) eine primitive Gleichung für «' 
von der Diskriminante 4 7). Es ist daher nach § 126, 1, f(co'y* 
eine Klasseninvariante für diese Diskriminante , und da nun 
nach § 34 (18) 

/•(«)/(«') = V2 

ist, so gilt dasselbe für f{coy*. Daraus folgt, daß x^x'^ Klassen- 
invariante für AD ist, und da man nach (4) x^ rational durch 
fs und x2 x'2 ausdrücken kann, so ergibt sich : 

3. Ist die Diskriminante Z) ^ 1 (mod 4), so ist 
x2 rational ausdrückbar durch eine Klasseninva- 
riante der Diskriminante AI) und durch \D. 

Ist j {co) Klasseninvariante der Diskriminante i), so sind 
j(2co),j(\co) Klasseninvarianten für AI), und es ist: 

,79 „^ _ (/•i(2cu)^^ + 16)3 _ [256 + A(»)24]3 
•^^^"^- /;(2«)24 - /;(a,)48 



(7) 



_ 16(16x^2 j^ jjiy 



^ u- 



V'\2) + ^^J _ [256 + A(«)24]3 



2/ /"\-' /"i(")^ 



^»(1) 



_ 16(16x2-4- x'iy 

— x2k'8 

Hieraus ergibt sich, daß auch umgekehrt die Klasseninvnrianten 
der Diskriminante AD rational durch x^ ausdrückbar sind. 



§ 136. Quadratische Transformationsgrade. 507 

Um auch x(cj) selbst als Klasseninvariante auffassen zu 
können, wendet man die Gauss sehe Tränsformation (§ 9, § 32) 
an. Danach ist: 



CO 



4 X (co) 



woraus ; 



X (oj) =r 



2/ [l+x(«)]^' 
'^^ (I) [1 + »^H«)] 



2xM| 



Es ist also x(gj) rational ausgedrückt durch x^(w) und x^( — \ 
und co' = — genügt der Gleichung 

<8) 4 ^ «'2 -f 2 i? w' + C = 0. 

Ist C eine gerade Zahl, was wir annehmen können, wenn 
D ^ (mod 4) oder ^ 1 (mod 8) ist, so kann in (8) der 
Faktor 2 weggehoben werden und die Diskriminante von (8) ist 
gleich D. Ist aber C ungerade, was bei 1) ^ h (mod 8) not- 
wendig ist, so ist die Diskriminante von (8) gleich AB. Daraus 
folgt nach 2. und 3.: 

4. a) Ist D ^ (mod 4), so ist x (w) rational ausdrück- 
bar durch die Klasseninvarianten der Diskri- 
minante 4 2). 

b) Isjt^D ^ 1 (mod 8), so ist x(a)) ausdrückbar durch 
yi> und durch die Klasseninvarianten der Dis- 
kriminante 4Z). 

c) Ist 2) ^ 5 (mod 8), so ist x(o)) rational ausdrück- 
bar durch |'7> und durch die Klasseninvarianten 
der Diskriminante 167>. 



i^ 136. Quadratische Transformationsgrade. 

Wenn der Transformationsgrad n eine ungerade Quadrat- 
2ahl ist, so ist nach § 72, 5. für ein variables w: 



(1) M 






508 Zwanzigster Abschnitt. § 136. 

wenn ad = n und c durch 8 teilbar ist, eine ganze algebraische 
Funktion des Körpers 9i(v, w), worin 

(2) »=i('-i^), „ = iw. 

Es werde nun darin für to eine Wurzel der primitiven 
quadratischen Gleichung 

(3) ^ «2 4- 5 0) + C = 0, 
mit negativer Diskriminante 

(4) 1) == B'^ ~ iÄC 

gesetzt, und wir nehmen ein für allemal an, daß Ä positiv und 
relativ prim zu 2Dn sei, was keine Beschränkung ist. Soll nun 
V = u werden, so ist dafür die notwendige und hinreichende 
Bedingung : 

c -f aoj _ y ^ da 
^^ a ~a + /5ca' 

(6) ab ~ ßy = \. 

Vergleicht man (5) mit (3), so folgt (§ 114), daß es zwei 
ganze positive Zahlen x^ y geben muß, deren erste positiv an- 
genommen werden kann und die den Bedingungen genügen: 

dß = Ax\ cß -[-da — ad ^= Bx, 

, . ca — ay = Cx^ — cß -\- da A^ ad = ?/, 

^ ^ 'Ida = Bx -\- ij, 

2{cß — ad) = Bx — y, 
und daraus wegen (6): 
(8) 4n = ?/-' — Dx^. 

Ein Primteiler von d müßte, da Ä relativ prim zu n an- 
genommen ist, in X und in y aufgehen. Dann aber auch in 

ca — ay und in cß — ad, 
folglich in a, 8, c. Da diese drei Zahlen aber ohne gemeinschaft- 
lichen Teiler sind, so muß 8 = 1 sein, und aus (7) ergibt sich: 



Bx + y 



(9) 2 



ß = Äx, 

Bx — V 



c« — ny = Cx, cß — nd — , 

daraus folgt, daß x und y keinen ungeraden gemeinschaftlichen 
Teiler haben, und daß, wenn x und y gerade sind, l(Bx -\- y} 
ungerade sein muß. Da wir überdies x positiv annehmen können. 



§ 136. Quadratische Transformationsgrade. 509 

SO kommen nur eigentliche Lösungen von (8) in Betracht 
(§ 114). Jede eigentliche Lösung führt aber nach (9) zu einem 
Wertsj-^stem oc, /3, und durch die Kongruenzen 

(10) coc = Cx, c|3 = ''' ~~ ^ (mod n) 

zu einem bestimmten Wert von c (mod n), der auch noch durch 
8 teilbar angenommen werden kann. Wenn umgekehrt x, y 
diesen Bedingungen genügen, so habe cc und ß keinen gemein- 
samen Teiler, wie aus 

B X — y ., 

a — - — ßCx = — n 

hervorgeht. Denn danach müUte ein ungerader Teiler von a 
imd ß in n aufgehen, und müßte daher, da A relativ prim zu n 
angenommen war, in x. und folglich in y aufgehen. 

Es folgt aber noch, wenn wir von den beiden Ausnahme- 
fällen J)=^ — 3, Z)=^ — 4 absehen, die uns hier überhaupt 
nicht interessieren, weil für diese j{p) rational ist, daß ver- 
schiedene Lösungen von (8) auch zu verschiedenen Werten c 
führen. Denn nehmen wir an, daß ein und derselbe Wert von c 
zu zwei verschiedenen Systemen (a, /3, y^ ö) führen könnte, so 
würde aus (5) eine Relation der Form 

y -k ö CO 

a -\ ßco 

folgen, und diese Substitution ist, wenn sie nicht identisch ist, 
nur für die beiden erwähnten Ausnahmefälle möglich. 

Demnach ist die Anzahl der v-Werte in (2), die nach 
(3) gleich u werden, so groß wie die Anzahl der eigent- 
lichen Lösungen der Gleichung (8). 

Hat die Gleichung (8) nur eine solche Lösung, so ist der 
entsprechende Wert von M rational durch u ausdrückbar. Hat 
sie aber mehrere Lösungen, so sind die zugehörigen Werte von M 
die Wurzeln einer rationalen Gleichung: 

(11) 0(M,i() = 0, 

deren Grad in bezug auf 31 ebenso groß ist, wie die Anzahl 
dieser Lösungen (§ 134). 

Es genügt ferner u der Klassengleichung 

H-D (m) = 0. 



510 Zwanzigster Abschnitt. § 136. 

Wir können 0{3I,ti) als ganze Funkt'ion von u darstellen 
und können dann diese Funktion durch ihren gröiJten gemein- 
schaftlichen Teiler mit H^d (m) ersetzen. 

Wir können a und ß positiv annehmen. Für ß liegt dies in 
den bereits gemachten Voraussetzungen. Für cc können wir es 
immer dadurch erreichen, daß wir B um ein Vielfaches von 2 Ä 
vermehren, wodurch wir zu einer äquivalenten (parallelen) Form 
kommen. Dadurch kann Bx -\- y positiv gemacht werden. 

Bestimmen wir also den Quotienten 
y -\- Ö co^ 



^ V« + ß^y ^ ^r'^^ 



nach § 38, (15), so ergibt sich, da ß gerade oder ungerade ist, 
je nachdem x gerade oder ungerade ist: 

, n. a — 1 TT i 



(0\ 3 —«(/—*) ; 3 
^)i 2 e 4 • ]^a^ ßa 

^i.j "^ ^_^^ ^^ 

X = 1 (mod 2): M= (^\ i''-^ J^'''"^'^ i—i(<x ^r ß <^f- 
Die Quadratwurzeln 

(13) 



y — i(ci -^ ßa) = 



y ^ x^D 



2 

haben positiven reellen Bestandteil. Diese Werte von M genügen 
also der Gleichung (11). Kommen unter ihnen gleiche vor, so 
kann der Grad der Gleichung (11) durch Absonderung mehrfacher 
Wurzeln auf rationalem Wege erniedrigt werden. 

Da die Gleichung (11) zur Zerlegung der Klassengleichung 
nach den Vorzeichen von 31 angewandt werden soll, so ist es 
von Wichtigkeit, zu entscheiden, ob unter den zu demselben o 
gehörigen Werten von M in (12) solche vorkommen, die sich nur 
durch das Vorzeichen unterscheiden. 

Wir untersuchen, wann zwei verschiedene von den Werten 
(12), etwa 31, 3I\ dieselbe 8te Potenz haben. Ist 

(14) M^ = 3f'8, 

so muß, wenn q eine zwölfte Einheitswurzel und x, y\ x\ y' zwei 
verschiedene Lösungen der Gleichung (8) sind: 

(15) y' -^x'yjD = Q{y + x]/D). 



§ 136. Quadratische Trausformationsgrade. 511 

Daraus folgt, daß q einer quadratischen Gleichung 
genügen muß, also daß 

nr^ _l ■ a + 1 ± V^ 
(IG) p = +^ oder q = — — ^=~ 

sein muß, weil dies die einzigen nicht reellen zwölften Einheits- 
wurzeln sind, die einer quadratischen Gleichung genügen, und 
() = + 1 zu X = x' , y = y' führen würde. Demnach muß "^D 
einem Körper angehören, der durch eine dieser Irrationalitäten q 
bestimmt ist, d. h. es muß 

(17) D — — 4m2 oder D = — 3w2 
sein. Im ersten Fall folgt aus (15) 

(18) ^' ^ ±2w*^> 

also nach (8): 

n = m^{x^ -f a;'2), 

und da w ungerade vorausgesetzt war, muß auch m ungerade 
sein; nach (18) sind y, ij' und wegen (8) auch x^ x' gerade, und 
aus (12) folgt, da y und ß gerade sind: 

3p = (« + ß^y = y^^ — ) 

und aus (18): 

w = («' + ß'oy = (^-—^ ) = — (^^-^^2 — ) ' 

(19) M'^ = —MK 

Es haben also J/ und M' nicht gleiche, sondern entgegen- 
gesetzte 4te Potenzen. 

Im zweiten der Ausnahmefälle (17) folgt in gleicher Weise 
aus (15): 

/20) ±^^' = y — ^*^*^' 

^ * -j^^mx' = y -\- m x. 

Darauf folgt, wenn man die oberen Zeichen nimmt, 
(21) m(x'y — y' x) = 2«, 

und hieraus schließt man, daß m ungerade sein muß; denn wäre 
m gerade, so müßte y und y' gerade sein, und nach (21) wäre 
2 n durch 4 , also n durch 2 teilbar. Dieser Fall ist also nicht 
weiter zu berücksichtigen, wenn wir ein gerades 1) voraussetzen. 

Hiermit ist folgender Satz bewiesen: 

1. Es sei D ^ (mod 4) eine negative Diskriminante, 
x^ y seien zwei Zahlen ohne gemeinsamen un- 



.6 



512 Zwanzigster Abschnitt. § 137. 

geraden Teiler und so, daß, wenn x gerade ist, 
y ^ 2 (mod 4), ferner so, daß 
n = \{iß — Dx^) 
eine ungerade Quadratzahl ist. 

Es sei ferner M durch die Formel (12) bestimmt. 
Dann hat die Funktion H-r> (ii) einen Teiler 

(22) ^{M,u), 

der mit keiner der Funktionen 

(23) 0(— ilf,M), 0(iM,u), Q{—i,Mu) 
eine gemeinsame Wurzel hat. 

§ 137. Zurückführung ungerader Diskriminanten auf gerade. 

Nach einem von Kronecker ausgesprochenen Satz läßt sich 
die Klassengleichung unter Adjunktion von Quadratwurzeln in 
so viele Faktoren zerlegen, als es für die betreffende Klassen- 
gleichung Geschlechter der Formenklassen gibt, und zwar so, 
daß jedem dieser Faktoren nur die Klasseninvarianten genügen, 
für die die entsprechenden quadratischen Formen (yl, jB, ü) zu 
einem und demselben Geschlecht gehören. Diese Zerlegung er- 
halten wir aus den im vorigen Paragraphen bewiesenen Satz 1. 

Daß dieser Satz in der Form, in der wir ihn ausgesprochen 
haben, sich nur auf gerade Diskriminanten D bezieht, ist für 
den Beweis des Kronecker sehen Satzes keine Beschränkung. 

Denn wenn D ^ \ (mod 8) ist, dann ist nach § 123 der 
Klassenkörper ^{B) identisch mit dem Klassenkörper cQ'(4D). 
Ist aber D ^ 5 (mod 8), dann ist der Grad von ^ (4 D) dreimal 
so groß als der von 5i (D), aber der letztere ist in dem ersteren 
enthalten, und die Anzahl der Geschlechter für ^ {D) und ^ (4 D) 
ist die gleiche (§ 104). 

Ist u = i(ö) eine Klasseninvariante für D ^ 1 (mod 8), 
so sind 

(1) . ^=i(«')=i(2«), i(|), i(^4^) 

Klasseninvarianten von 4 D, und m ist eine rationale Funktion 
von v: 

(2) u — (p{v), 

die ungeändert bleibt, welche der drei Größen (2) man auch 
für V setzen mag. Alle Charaktere der Formen, deren Wurzeln 
0) und w' sind, haben denselben Wert. 



§ 138. Zerfällung der Klassengleiühuug nach den Geschlechtern. 513 

Ersetzt mau iu (2) v durch eiue audere Klasseuinvariaute 
derselbeu Diskriminante 4 1) und desselben Geschlechtes, so geht 
auch II in eine andere Klasseninvariante der Diskriminante D 
über, bleibt aber auch in demselben Geschlecht. 

Läßt man also in (2) v die Klasseninvarianten eines Ge- 
schlechtes der Diskriminante 41) durchlaufen, so durchläuft 
u die Invarianten des entsprechenden Geschlechtes der Diskri- 
minante D [indem es jeden dieser Werte dreimal, bei D ^ 1 
(mod 8) nur einmal annimmt], und die symmetrischen Funktionen 
dieser u sind in dem gleichen Rationalitätsbereich enthalten wie 
die Größen v. Ist daher die Klassenfunktion i/_4i>(y) nach den 
Geschlechtern in Faktoren zerlegbar, so gilt das gleiche von 

§ 138. Zerfällung der Klassengleichung nach den Geschlechtern. 

Um den Satz 1., § 136, anzuwenden, setze man 

(1) D = B^ — 4ÄC = —4:m, 
und zerlege m in zwei Faktoren 

(2) m = m' m'\ 

wobei vorausgesetzt ist, daß m" ungerade und ohne 
quadratischen Teiler sei. 

Nun machen wir in dem Satz 1., § 136, die Annahme: 
X = A, y = 2(4w' — m"), 
^^ n = (4 m' + m"y. 

« = 2i' 4- 4w' — w", 
(4) am" — AÄC — {B — m"f, 

ß = 4:Ä. 



a ^ ßa = 2i fm' m" + 4 m' — m", 
^ ^ = ( 2 yW -f i VW')', 

') Die Durchführung der entsprechenden Betrachtungen für ein un- 
gerades D würde zwar auch möglich sein , würde a])er zahlreiche Unter- 
scheidungen und Weitläufigkeiten nötig machen. Hier ist ein Punkt, wo die 
Gausssche Bezeichnung und Unterscheidung von Formen erster und zweiter 
Art, deren ich mich noch in der ersten Auflage bedient habe, eine gewisse 
Vereinfachung des Ausdrucks mit sich bringen würde. Es hängt das mit 
der Ausnahmestellung zusammen, die die Zahl 2 in der ganzen Theorie der 
elliptischen Funktionen einnimmt, die in der Weierstrassschen Theorie 
etwas zurücktritt, aber doch nicht ganz verschwindet. Auf der anderen 
Seite ist diese Auszeichnung der Zahl 2 auch wieder die Quelle von großen 
Vereinfachungen, namentlich in den numerischen Resultaten. 

Weber, Algebra. III. oo 



um 



514 Zwanzigster Abschnitt. § 138. 

worin die Quadratwurzeln positiv zu nehmen sind. Sodann ist, 
weil B gerade ist 

1 (.od .), (I) = (i), 
und folglich nach dem Reziprozitätsgesetz und nach (4): 

\ A J ~ \ Ä J ^ \Ä J \am")' 
also: 

A 



\am") ~ 



1. 



(6) I ^ 1 = ( 



a) ^ Km'T 

(7) /3 = 4, y = 4 6' (mod 8), a=\ (mod 2) [§ 136, (7)], 
also: 

ferner: 

B -\- 2m' = 2C (mod 4), 
also: 

04 — 1 _ m" + 1 



2 



+ 2 C (mod 4), 



und demnach endlich nach § 136, (12), (13): 



, m" + 1 



^^=~W)' ' ' (2|W + ^•\/^)^ 
wofür man auch setzen kann : 

(8) M=- [^) (2 i- ^- Vm' 4- ~ ^- V.>.") . 

Nach dem Satz 1. (§ 136) ist dann H^d(ii) teilbar durch 
eine Funktion 

0(iJf,«), 
die zu 0( — M^u) relativ prim ist. Setzen wir 

/ m" -f- 1 w" — 1 \3 

(9) ^ = _(^2/ 2 VW +>• 2 ^/ni"V 

80 ist für jede Klasseninvariante von D eine der beiden 
Gleichungen 

(10) ^(m.w) = 0, Q{—^,ii) = 



§ 138. Zerfällung der Klassengleichung nach den GescUechtern. 515 

befriedigt, und zwar die erste oder die zweite, je nachdem 

ist. 

2. Hieraus folgt, daß das Vorzeichen (—ti) = i^ 

nicht von der besonderen Form [A, B, C), sondern nur 
von der durch diese Form repräsentierten Klasse ab- 
hängt, also ein Charakter der Formenklasse ist. 

Nun ist die Invariante einer zweiseitigen Klasse reell, und die 
Invarianten entgegengesetzter Klassen sind konjugiert imagi- 
när. Für zwei entgegengesetzte Formen (J., B, 0), {Ä, — B, C) 
ist aber das Vorzeichen (11) das gleiche, und daraus folgt, daß 
0(}i,u) entweder reelle oder konjugiert imaginäre Wurzeln, und 
folglich reelle Koeffizienten hat, und sich daher nicht ändert, 
wenn y. durch den konjugiert imaginären Wert ft' ersetzt wird. 
Nun sind die beiden Fälle ni" ^ 1 , m" ^ 3 (mod 4) zu unter- 
scheiden, weil es davon abhängt, welches Glied in (9) imaginär 
ist. Das eine Mal kommt i nur in der Verbindung i'^m\ das 
andere Mal in i \m" vor, und demnach ist : 

(12) 0(f.,w) = 1 \0{^,u) + 0{^\u)] = W(i^,u) : m" = 1 

Die Funktion 'F, und folglich auch 0, hat reelle Koeffi- 
zienten _uud enthält nur die eine der beiden Quadratwurzeln 
'^m'\ ^m'. Die ^ni" ist nach unserer Voraussetzung immer 
irrational, \m' ist nur dann rational, wenn m' ein Quadrat ist. 
Da H{u) rationale Koeffizienten hat, so muß es, wenn in" ^ 1 
durch ^F{]'r)i",n) und 'jP'f — y«/', «), und wenn m" ^ 3, und m' 
kein Quadrat ist, durch 'Fd^j»', m) und ^^ ( — ^m\n) teilbar sein. 

Nun ändert J/ sein Vorzeichen durch die gleichzeitigen 
Vorzeichenänderungen : 

(?, — t), {] in , — ] m ) : m ^ 6 

und folglich ist, wenn nicht m!' ^ 3, und zugleich m' ein Quadrat 
ist, in beiden Fällen: 

(14) H{u) = a> (3/, n) ^ (— 3/, u), 

und diese Zerlegung ist nur dann nicht möglich, wenn m" ^ 1 
(mod 4) und zugleich m' ein Quadrat oder m' = 1 ist, 

33* 



516 Zwanzigster Abschnitt. § 138. 

3. Jedes der beiden Vorzeichen (11) kommt in gleich 
vielen Klassen der Diskrimiuante D = — Am'm" vor und 
die Klassenfunktion ist durch Adjunktion von 

\ni", wenn m" ^1 , , ,^ 
', — (mod 4) 

V^, „ m" = 3 ^ ^ 

in zwei Faktoren vom Grade |/i zerlegbar, außer wenn 
m" ^ 3 und m' ein Quadrat ist. 

In diesem Ausnahmefall ist, wenn wir Q'^ = Am' setzen, 
— m" = zi der Stamm von 

B = Q^zJ, 
und es ist für jede durch eine Form der Diskriminante D dar- 
stellbare und zu D teilerfremde Zahl Ä: 

A 



(^'^) = C4) = +' 



und B.{yC) ist mit ^(il/, m) identisch. 

Zerlegt man m in einer zweiten Art in zwei Faktoren 

(15) m = miiwi', 

wo m'i' denselben Bedingungen genügt wie m", so erhält man in 
gleicher Weise eine Zerlegung 

(16) E{u) ■= ^{M,,u) 0{—M,,u), 

und indem man den größten gemeinschaftlichen Teiler von 
0{M,u) und 0(31-^, u) aufsucht, erhält man eine Zerlegung von 
H{u) in vier Faktoren; 

H (m) = 0, (U) a>2 (m) 03 (m) 0, (U) , 

vorausgesetzt, daß in ^(ili, u) eine Quadratwurzel einer Primzahl 
vorkommt, die in 0{M^, u) nicht enthalten ist. So fährt man 
fort und zerlegt allmählich H(u) in Faktoren, deren Anzahl eine 
Potenz von 2 ist. 

Wir wollen die Anwendung auf die einzelnen Fälle etwas 
genauer betrachten. 

1) Ist m ^ 3 (mod 4), so sind alle Charaktere in der Form 

V^ 

enthalten, und die Formel (8) reicht hin, um alle Geschlechter 
voneinander zu trennen. Ist hier m" ^ 3, so ist m' ^ 1 (mod 4) 
und aus (12) folgt, daß in den Teilgleichungen nur die Quadrat- 
wurzeln aus solchen Zahlen vorkommen, die von der Form 4« 4- 1 



§ 138. Zerfällung der Klassengleichung nach den Geschlechtern. 517 

sind. Bezeichnen wir also mit p, p', p'\ ... die Primf.iktoren von 
m von der Form 4 w -[- 1, mit g, q', q'\ . . . die Primfaktoren von 
m von der Form 4rn -\- o, so kommen in den Teilgleichuugen 
die folgenden Quadratwurzeln vor: 

Yih V7, Vi^, •••, VÄ iöF, •••; 

wenn also nur ein r/ in in enthalten ist, so kommt \q in den 
Teilgleichungen nicht vor. Da in diesem Fall wenigstens ein q 
in m aufgehen muß, so ist die Anzahl der zur Zerlegung er- 
forderlichen Quadratwurzeln gleich der Anzahl der in m auf- 
gehenden Primzahlen, vermindert um 1, also gleich der Anzahl 
der diesem Fall entsprechenden unabhängigen Charaktere. 

2) Ist 

m ^ 1 (mod 4), m ^ 6, 2 (mod 8), m ^ 4 (mod 16), 
80 können nach § 105 beziehungsweise die Charaktere 

durch die Charaktere von der Form 

\m") 
ausgedrückt werden, und es reicht also auch in diesen Fällen die 
Formel (8) aus, um alle Geschlechter voneinander zu trenneu. 

Die Formeln (9), (12) lehren, daß in diesen Fällen zur voll- 
ständigen Trennung der Geschlechter folgende Adjunktionen 
nötig sind: 

m = 1 (mod 4), fp, ]/J\ iJ\ ..., 1^, V7, V?", ■•• 

m = 6 (mod 8), ]% ]/^, V/, Vp^, • • . V^', iÖ¥\ ••• 

^ m = 2 (mod 8), YJ^, ]^', V7, ..., ^2^, ^2^, \2^, ... 

m = 4 (mod 16), Vp, V?, VF, •••, V?", VV, VV\ ••• 
Denn im Fall m ^ 1 (mod 4) ist die Anzahl der q jedenfalls 
gerade. Setzt man also m = qr^m'\ m' = qr- und versteht 
unter r^ die größte in r^m" aufgehende Quadratzahl, so ist 
w" ^ 3 (mod 4) und die Formel (12) gibt die Adjunktion von \'q, 
also ist in diesem Fall zur vollkommenen Trennung der Ge- 
schlechter _ _ 

V^, iJ\ Vi)",..., Vg, vV, IV',.-- 

zu adjungieren, und die Anzahl der Quadratwurzeln ist gleich 
der Anzahl der in w aufgehenden Primzahlen, wieder in Über- 



518 Zwanzigster Abschnitt. § 138. 

einstimmuug mit der Anzahl der unabhängigen Charaktere. Auf 
cähnliche Art ergeben sich die übrigen Fälle von (16). 

In den noch übrigen Fällen, nämlich m ^ 12 (med 16) und 
m ^ (mod 8), ist die vorstehende Zerlegung zwar auch noch 
anwendbar, in den so gewonnenen Teilgleichungen sind aber 
immer noch je zwei oder je vier Geschlechter vereinigt, ent- 
sprechend den Charakteren 

'^)- G)- 

Wir leiten also noch eine zweite Transformationsformel wie 
(8) her, indem wir die Gleichung 

4w = t/2 — D x'^ 
(8), § 136, folgendermaßen befriedigen: 
m = m'm" ^ (mod 4j, 

X = 2, y = 2 (ni' — m"\ n = {mJ -|- m''y, 
worin wieder m" ungerade und durch kein Quadrat teilbar an- 
genommen ist, aber auch = 1 sein kann, und aus § 136, (9) 
erhält man 

a = 5 -f- m' — m'\ ß = 2 A, y = —2C (mod 8), 
am" = AC — {\B — m")\ 

Nehmen wir der Einfachheit halber i? ^ (mod 8), was 
nötigenfalls durch Übergang zu einer parallelen Form erreicht 
wird, so ergibt sich m' ^ C (mod 8), a ^ C — m" (mod 8) und 
folglich 

"—Ini,,, 1^ A + 1 m" — 1 

ß\ f 2\ / A\ f 2 \ / A 



m / \in / xccm / \am 
und daraus ergibt sich nach § 136, (12), (13): 

/ ^ \ / A \ / 1-^ /Ml" — 1 m"+l 



Diese Formel ergänzt die vorige für den Fall m e^ 12 
(mod 16), und zeigt, daß auch in diesem Falle die vollständige 
Zerfällung der Klassengleichung durch Adjunktion von 

,. ,, Vp, v7, i7\ ..., H fZ V7^ •.. 

geschieht. 



§ 138. Zerfällung der Klasseugleichung nach den Geschlechtern. 519 

Ist nun )it durch eine noch höhere als die zweite Potenz von 
2 teilbar, so kann man, wenn der Exponent von 2 ungerade ist, 
nach § 105, (7) alle Charaktere auf solche von der Form 

\mp)' VÄT) \mr) 

zurückführen. Man setze 

m = 2 r- »«", 

indem man wieder unter r^ die größte in \ m aufgehende Quadrat- 
zahl versteht und wende, je nachdem m" ^ 1 oder ^ 3 (mod 4) 
ist, die Formel (8) oder (18) an. Man erhält dann die vollständige 
Zerfällung der Klassengleichung unter Adjunktion der Quadrat- 
wurzeln aus sämtlichen in m aufgehenden Primzahlen, aus- 
schließlich V2. 

Ist aber der Exponent der höchsten in m aufgehenden Potenz 
von 2 eine gerade Zahl, so genügt auch (18) noch nicht zur voll- 
ständigen Zerlegung der Klassengleichung. Man kann zwar hier 
wieder durch die Formeln (8), (18) durch Adjunktion sämtlicher 
"j/p und yg die Funktion H zerfallen, die y2 bekommt man aber 
dadurch nicht hinein, und es bleiben also immer noch je zwei 
Geschlechter in einer solchen Teilgleichung enthalten. Um auch 
diese noch zu trennen, leiten wir unter der Voraussetzung, daß 
m durch 8 teilbar sei, noch eine dritte Formel her. 

Wir setzen 

m = m' ))i.'\ 

X = \, y = Im' — 2ni'\ n = {\m' + m'y. 



V— «■(« -f- ß-a) = e " (i y w' + ?■ ytw"), 

worin wieder m" ungerade und durch kein Quadrat teilbar ist. 
Hier folgt aus § 136: 

— — A I' / 4 \ /_ '"" + ^ _ Wt" — 1 \ 3 

(19) M={-\)^e* ^[^,)[i ' iym' + r^|m")- 

Nachdem die Zerlegung nach den Charakteren (—77) durch 

die Formeln (8) und (18) erledigt ist, handelt es sich nur noch 
um die Zerlegung nach den Charakteren 



r)- Q- 



Ä 

d. h. nach dem Verhalten von A gegen den Modul 8. Es genügt 
daher, in der Formel (19) m" = 1 zu setzen, wodurch man 
folgende vier Werte von M erhält: 



520 Zwanzigster Abschnitt. § 138. 

31 = (-!)«■ ^-p^ (1 — »■ I ini)\ ^ = 1 (mod 8), 

M = (— l)"^ ~ J \ l—il i^if = M\ ^ = 3(mod8), 

y2 

If = (— 1)8 ^ (l — ^' I V^y =-■ M'\ Ä=b (modS), 

y2 

W -1 • 

li = (— ly^-T^ (l — *■ I V^' = ^'"^ ^ = '^ (mod 8). 

y 2 

Die vier Werte von M gehen aus dem ersten hervor durch 
die Vertauschungen : 

M, y 2, «, im, 

iitf", — y2, i ym, 

Ist nun (Jf, w) = in demselben Sinne wie oben die 
zwischen u und M bestehende Gleichung, so sind die vier Funk- 
tionen 

{31, u), O (— 31, u), {i M, u), (— i 31, u) 

ohne gemeinsamen Teiler, und wenn Q{31, u) in H{u) enthalten 
ist, so sind auch die drei anderen Funktionen Q{ — 31, u), 
0(i3I,u), 0{ — i31,u) in H{u) enthalten, da die Vorzeichen 
der Irrationalitäten (20) beliebig geändert werden können. Es 
ist daher 

H{u) = (31, u) {— 31, u)0(i3I, u)0(—i3f, u), 

und es kommt also jeder der vier Fälle 

A= \, ^ = 3, Ä^ b, A = l (mod 8) 

in gleich vielen Formenklassen der Diskriminante — 4 m vor. 

Eine Ausnahme tritt nur dann ein, wenn m ein Quadrat 
oder das Doppelte eines Quadrntes ist, weil im ersten Falle '\ m 
rational und daher nur die Vertauschung {31, 31") gestattet ist, 
im zweiten Falle Y2 und ym gleichzeitig ihr Zeichen ändern, also 
nur die Vertauschung (31, M') zulässig ist. 

Aber es genügen auch schon diese Vertauschungen, um die 
Teilgleichung durch Adjunktion von \^ weiter zu zerfallen. 



§ 139. Beispiele. 521 

Im ersten Falle kommen nach § 105 nur die beiden Kon- 
gruenzen 

A=l, A = 5 (mod 8), 

im zweiten Falle nur die beiden Kongruenzen 
A = l, Ä = 3 (mod 8) 

vor, und zwar wieder in gleich viel Formenklassen. Die voll- 
ständige Zerlegung der Klassengleichung nach den Geschlechtern 
erfordert, wenn m durch 8 teilbar ist, immer die Adjunktion der 
Wurzeln aus sämtlichen in m aufgehenden Primzahlen, ein- 
schließlich 2. 

Man bemerkt, daß in diesen Betrachtungen ein neuer Beweis 
der von Gauss und Dirichlet bewiesenen Sätze über die Existenz 
der Geschlechter enthalten ist, freilich nur für negative Dis- 
kriminanten. 

§ 139. Beispiele. 

Zur wirklichen Ausrechnung der Zerfällung der Klassen- 
gleichung sind die Formeln des vorigen Paragraphen nur m be- 
schränktem Maße anwendbar wegen des zu hohen Grades der 
Transformationsgleichungen. Wir werden nachher in einem Falle 
eine wenigstens nahe verwandte Methode zur Anwendung bringen. 
Ist die Klassengleichung bekannt, so läßt sich meist leichter die 
Zerlegung direkt finden, indem man einen Ansatz von bekannter 
Form mit unbestimmten Koeffizienten macht; so findet manfaus 
den Formeln § 130, (2), (29), (37) die folgenden Teilgleichungen, 
worin das positive Zeichen der Quadratwurzel dem Haupt- 
geschlecht entspricht: 

m = 50, /"i (V— 50) =f'2x, 

X' -x'^ = ^-t^ {X + 1), 



w = 26, /;(y-26)'= V2^, 

^±^ {X + 1), 



X'> — X' 



tn =41, ^ = ^' — -^ — I — 



_V2 ' /-(V-iiy 

+ VIT ^ ^ 7 + ViT _ ^^ 



z 
2 



522 Zwanzigster Abschnitt. § 139'. 

Um aber eine Anwendung unserer allgemeinen Methode zu 
geben, nehmen wir m ^ 3 (mod 8) an und setzen D = — m. 
Wir befriedigen die Gleichung: 

4 « = ^2 _|_ mx^, 
indem wir setzen 

m = m' m , 

m' — m" , /m' + ^'^' 

X = l, y = ^ , 4rn = 



2 ' V 2 

wobei y und folglich n ungerade ausfällt. Es wird ferner nach 



Setzen wir unter der Voraussetzung, daß n durch 3 nicht 
teilbar ist, 



/c -^ öco\ 



(1) ^^ = [J)^'^s ^(„^ , 

so läßt sich 21 mit Anwendung von § 38, (15) bestimmen und 
man findet, wenn m" denjenigen der beiden Faktoren w', w" 
bedeutet, der modulo 4 mit 1 kongruent ist: 

(,) M = _(^)(- ,,=^\,-¥ — VZ.^. 

Um hiervon eine Anwendung zu machen, setzen wir n = 25, also» 
20 = m' -\- m'\ 
und folglich ^^^„ _ ^^ ^^^, _ ^g^ ^^^ _ ^g^ 

m" =^17, m' = 3, m =r 51, 
m" = 13, m' = 7, m = 91, 
m" = 9, *u' = 11, m = 99. 
Legen wir die Form 

))i' — m' 



('• 



2 
zugrunde, so ist J. = 1 zu setzen, und (2) ergibt: 

-^yn — iV3 



>M =51, J/ 

(3) 



m = 99, 3/ = e^ ^~'^^^ . 



§ 139. Beispiele. 523 

Nun genügt nach § 72, (27), (28) M einer Transformations- 
gleichung, die, wenn 

^ = M-^ ^ b3I* + -15 313 -f 25ilf2 _^ 25 Ji 

h \2 



M^ 



(3f+^) + 5(>/+^)+5] 



gesetzt wird, die Gestalt erhält: 

(4) j (CO) = y, (co)3 = (^^ ^^l^'^ '^^' • 

Für m = 19 erhält man hieraus den schon oben (§ 125) 
gefundenen Wert 

und für die drei übrigen Werte von m erhält man 

j \ '^^2~^^ ) = — 214 . 27 (6263 +1519 |/l7), 

(5) y. ( ~ ^ +/~ ^^ ) = - 48 (227 + 63 \Ys), 

j (— ^-^y— -^) "= — 2^2 (4591 804 316 + 799 330 532 y33). 
Hieraus kann man zu kubischen Gleichungen für 

f{i^=^'\ ^(v=^^ /•(v=^r 

gelangen, indem man von den Formeln Gebrauch macht (§ 34, 

§54): 



aC 



rTTi 



I 11. \ \l 9 P 24 



r -\- V— «A _ y2 



2 J f{i-m) 



/ - r + V- nA ^i_ f{^|- rnT - 16^ 

worin r = 7, 3, 1; m = 51, 91, 99 zu setzen ist. Setzt man 
also für r =^ 3: 

so erhält man: 

(6) a;2+ -f 72 (to).^'^^ — 162 ^ o, 
und für r = 7, 1 : 

/■(V^^^)' = 2^, 
für diese beiden Fälle: 

(7) ^24 — [3 — 2~^j(co)].*-i6 + 3a;^ — 1 =0, 



524 Zwanzigster Abschnitt. § 139. 

WO für fi^co) und j (co) die Werte (5) einzusetzen sind. Diese 
Gleichungen lassen sich noch zerlegen, und man erhält für x 
selbst viel einfachere Gleichungen: 

/•(V— 51)' = 2x, x^ _ 4.r2 — X — l = yj\lx\ 
(8) /"(V— 91) = X, x^ — 2x^ — X — 2 ='^13x, 

/■(V— 99)' = 2 X, x^ — IS x^ — 4: X — l = -fSB (2x^ ^ x). 

Die Darstellung der Klasseninvarianteu i(«) durch eine 
einzige Quadratwurzel ist immer dann möglich, wenn zwei Ge- 
schlechter und in jedem Geschlecht eine Klasse vorhanden ist. 
Diese Werte von ni finden sich in der Gauss sehen Tafel der 
Klassenzahlen (Werke, Bd. II, S. 450 ff.) unter der Bezeichnung 
II, 3, von denen die auszuwählen sind, die ^ 3 (mod 8) sind. 
Ihre Anzahl ist aller Wahrscheinlichkeit nach endlich, wie die 
erwähnte Tafel aufweist; es sind die Zahlen: 

m = 35, 51, 75, 91, 99, 115, 123, 
147, 187, 235, 267, 403, 427. 

Wenn die Formenklassen in eine beliebige Anzahl von Ge- 
schlechtern zerfallen, aber in jedem Geschlecht nur eine Klasse 
enthalten ist, dann lassen sich nach dem in § 138 bewiesenen 
Satze alle Klasseninvarianten durch Quadratwurzeln aus- 
drücken. Von Euler und Gauss ist durch Induktion geschlossen, 
daß es nur eine endliche Anzahl, nämlich 65, solcher Diskrimi- 
nanten gibt ^). In der Abhandlung „Zur komplexen Multiplikation 
elliptischer Funktionen" (Mathematische Annalen, Bd. 33) habe 
ich diese Zahlen alle berechnet. Sie sind auch in der Tafel der 
Klasseninvarianten, die diesem Buche beigefügt ist, enthalten. 



1) Euler, Nouv. Mem. de Berlin 1776, S. 338. Gauss, Disq. art. 303. 
Euler ist auf diese Zahlen auf einem anderen Wege gelangt, nämlich von 
der Aufgabe , große Primzahlen zu ermitteln (Vgl. die Straßburger Disser- 
tation von Peter Meyer: Beweis eines von Euler entdeckten Satzes, be- 
treffend die Bestimmung von Primzahlen , Straßburg 1906). Diese Zahlen 
sind : 

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 

40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 

165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 

462, 520, 760, 840, 1320, 1365, 1848. 



Einundzwanzigster Abschnitt. 

Die Normen der Klasseiiinvariaiiten f(o)). 



§ 140. Konvergenz einer unendlichen Reihe. 
Wir betrachten eine beliebige quadratische Form 

(1) tl^{x,ij) = Äx-^2Bxy-^Cy^ 
mit negativer Diskriminante 

(2) —m = B^ — Ä C, 

in der vorläufig die Koeffizienten Ä, B, C nicht notwendig als 
ganze Zahlen betrachtet werden sollen, nur sollen sie reell sein. 
Nehmen wir x, y als rechtwinkelige Koordinaten in einer Ebene 
au, so entsprechen den ganzzahligen Werten von x^ y die Gitter- 
punkte. Die Gleichung 

^ (.r, y) = t 

stellt für ein konstantes t eine Ellipse dar, und die Anzahl 
Z(t) der Werte von ^, für ganzzahlige x, «/, die kleiner als t 
sind, ist gleich der Anzahl der im Innern dieser Ellipse gelegenen 
Gitterpunkte. Nach Bd. 11, § 194, (5) nähert sich der Grenzwert 
des Verhältnisses Z(t) : t für ein unendlich großes /, dem Flächen- 
inhalt der Ellipse t/; = 1 , nämlich dem Werte ti : j/m. Also 
haben wir 

(S) Lim^ = -^. 

Lassen wir also in der unendlichen Reihe 

■^. y 1 
(4) S = U 



die Zahlen a-, y alle ganzzahligen Werte, ausgenommen die Kom- 
bination a; := 0, 2/ = 0, durchlaufen, so ist nach Bd. II, § 196, 4 
S für s > 1 konvergent, und es ist 

(5) Lim {s—\)S=~ 



526 Einundzwanzigster Abschnitt. § 141. 

Im folgenden soll durch direkte Umformung der Summe S 
nachgewiesen werden, daß 

o ^ _ 

(s — l)]/m 
für s = 1 einen endlichen Grenzwert hat und dieser Grenzwert 
soll bestimmt werden. 

§ 141. Die Krön eck ersehe Grenzformel. 

Wir ordnen die Glieder der Reihe 

^,?/ 1 
S = 2J 



zunächst in der Weise an, daß wir die dem verschwindenden y 
entsprechenden Glieder absondern und von den übrigen je zwei, 
welche entgegengesetzten Werten von x und y entsprechen, zu- 
sammenfassen. 

So erhalten wir: 

(1) S = Ms + iV„ 
wenn zur Abkürzung 

y x^ 1 

(2) Ms = 1 i:^ _2,'^^ (^a;2 + 2Bxy -\- CißY 

(3) Ns = 2 2: ^ 



1,00 {Ax^y 

gesetzt ist. Der Wert JV, den Ns für s = \ erhält, läßt sich, 
da die Reihe für s = 1 unbedingt konvergent bleibt, direkt 

bestimmen und ergibt: 

2 ^ 1 3r2 

(4) N = — E \=z — . 

Ji. 1,00 X~ o JL 

Um das Verhalten von Ms für s = 1 zu ermitteln, zerlegen 
wir die Funktion H>{x^ y) = Ax^ -\- 2 B xy -\- Cy^ in zwei kon- 
jugiert imaginäre lineare Faktoren: 

Ax^ + 2Bxy + Cy^ = A{x -f a.y) (iv — oj^y), 
wenn 

_ B -^ j-^m __ —B-}-i\'m 



(5) «j = ' ' , "2 - 



so erklärt werden, daß ^m positiv ist. 
Hierdurch wird 

(6) M =4-2 2J 



A' 1,00 _ 00,00 {x -f- Wi yy {x — cja y)' 



■i^ 141. 



Die Kronecjkei'sche Grenzformel. 



527 



Nun ist nach einem bekannten Satz aus der Theorie der 
r- Funktionen , wenn h eine beliebige Gröiäe mit positiv imagi- 
närem Bestandteil bedeutet: 






Ö 



worin die Potenz ( — i ky dadurch eindeutig erklärt ist, daß, wenn 

7t 

— ik = (>e** gesetzt, q positiv und der Winkel & zwischen 

und -|- - angenommen wird, ( — iky ^= 9«e»®^ zu setzen ist. 

Ersetzt man hierin i k durch die konjugiert imaginäre 
Oröße — i k\ indem man zugleich einen neuen Integrationsbuch- 
stabeu r\ wählt, und multipliziert beide Gleichungen, so folgt: 

OO 00 



Hierin setzen wir für Ä;, k' die beiden konjugierten Faktoren 
X -\- a^y^ X — lo^y von ^ und führen den Integralausdruck (7) 
in (6) ein. 

Dadurch erhalten wir: 

00 00 



Fit 



Wir fassen nun das Produkt der beiden Integrale auf der 
rechten Seite dieses Ausdruckes, das wir zur Abkürzung durch 

00 00 

(9) TT = 2 j [ e2 ^' t--^(^ - •;) + i/("'i I + "»2 '/)] (^ ^)s- 1 d ^d}j 



bezeichnen, als Doppelintegral auf, 
das sich, wenn |, rj als recht- 
winkelige Koordinaten in der Ebene 
gedeutet werden, über den positiven 
Quadranten des Koordinatensystems 
erstreckt. 

Um das Doppelintegral umzu- 
formen, teilen wir den lutegrations- 
bereich durch eine den Winkel 
halbierende Gerade in die beiden 
Teile I, II (s. die Fig. 2), und sub- 
stituieren im ersten Teil 




528 Eiuundzwauzigster Abschnitt. § 141. 

^ — n = u, |-f-^ = v, 

im zweiten Teil: 

^ — rj = —u, ^ ^ rj = V. 

Wenn man dann, wie die Figur andeutet, zuerst bei kon- 
stantem u in bezug auf v integriert, so erhält man: 

GO OO 

Qinixu dy^ l ßTiiy [m(ü)i — 102) + d (tt>i + ui^)] / j ^ ^^ 

U 

00 00 

ß—2nixtt(J^ I g7rii/[-u(üJi — cu2) + v(wi4-t02)] / j (^ ^_^ 

»« 

oder, wenn man zur Abkürzung 

00 

(10) 9?+ (m) = e«i!/["(w, + t"2)±M("Ji -">«)] / j 

u 

setzt, 

00 • 00 

(11) TF = [ e2«'^"9)^(M)(^tt -|- f 6-2'^»^"(P_(m)c?«. 



Diese nach u genommenen Integrale zerlegen wir in lauter 
solche Bestandteile, deren Grenzen die Reihe der ganzen Zahlen 
sind, wir setzen also, da x eine ganze Zahl ist: 

(12) { e^^''''^''<p^{u)du = U f e-^''''^''cp^(u)d-u, 



dv 



0,00 
1 



1 



wenn wiederum 



(13) f{u) = 2J (p^{u -\- v) 

0,00 
gesetzt ist. 

Wenn wir nun zunächst die Summation in bezug auf x aus- 
führen, so können wir von der Grundformel aus der Theorie der 
Fourierschen Reihen Gebrauch machen: 

(U) 1 j e*-^-<^-f{u)du = i[/-(0) + /•(!)] 



X, OD 



1,* 



§ 141. Die Krön eck er sehe Grenzformel. 529 

und erhalten also, da nach (10) 

(15) (p^(0) = (p_(0) = (jp(0) = j e^iy^^^'h^-'-d (^ ' ' dv 



ist, aus (11), (12) und (14): 

(16) k W = q> (0) -f- i: [cp, (.) + cp_ (v)]. 

00, 00 1,00 

Führen wir dies in (8) ein, so zerfällt Mg in zwei Teile: 

(17) 3Is = P, + (>„ 
wenn 

('«) ^' = >r(.)r(.) t ^ ("> 

gesetzt wird. 

Nach (15) ist, wenn wir für o eine neue Integrationsvariable 
t durch die Gleichung 

itiv («1 + Wa) ^= ~~ j — =^ — * 

einführen, und die Summation nach ij ausführen: 

CO 

^ *5P(0) = 7-, — ,.-.2.-1 THITT' 
1,00 (4 jr y A») J ß ^ 



also : 



(4jr fmf 
^^^ ^"(4;rl/^*f^-^r(.s)^ M e'-l 





Hieraus läßt sich der Grenzwert P leicht bestimmen. Es 
ist nämlich das Integral 



00 

(21) {'^--^«-'(rT^-j) 



dt^ 



da der in der Klammer stehende Ausdruck für i = und ^ = qo 
einen endlichen Wert behält, bis s = 1 stetig, und hat daher 
den Grenzwert: 

CO 

[e-'(^^^, - i)rf^ = -r(l) = 0,5772 ... 


Weber, Algebra. III. * 34 



530 Einundzwanzigster Abschnitt. § 141. 

Zerlegt man also das Integral (21) in seine beiden Bestand- 
teile und setzt 



so folgt: 



\0 



und wenn man also die Entwickelung nach Potenzen von s — 1 : 

r{2s — l) = 1 + 2r'(l)(s — 1) H 

einsetzt , 

Man erhält ferner durch Entwickelung nach Potenzen von 
s — 1: 

{2 7ty'A'-' 



(22) Lim 



(23) 



A 



so daß nach (20): 

(24) P = {^nrA-^ (2[ ^''-'dt ___]_] 
^ ^ ' (4;r imf'-' F (s)^ ^ } e, - 1 s-lj 

+ -^ h -i Oog A _ 2r'(iy) + ..., 

^ ]/m{s — 1) Vm V ^ 4m ^ 7 ^ 

worin die noch folgenden Glieder mit s — 1 verschwinden. 
Daraus folgt: 

Es bleibt noch der Bestandteil Qs zu untersuchen übrig, der 
für s = 1 einen endlichen Grenzwert Q erhält; diesen können wir 
ohne weiteres durch Einsetzen des Wertes s = 1 bestimmen. 

Es läßt sich nämlich in (10), solange u und y größer als 
Null sind, nach Einsetzen des Wertes s = 1 die Integration 



§ 141. Die Kronecke reche Grenzformel. 5,yi 

ausführen und ergibt mit Rücksicht auf den Wert 2 / ]^ m von 

4 

2 7t \my 
worin « =r coj oder = 02 zu setzen ist, je nachdem das obere 
oder untere Zeichen in (p+{v) genommen wird. Durch Ausführung 
der Summation nach y folgt hieraus: 

1,00 1,00 2 TT y w 1,00 

und die Summe nach v läßt sich auf die Funktion iq (co) zurück- 
führen, da nach § 24, (8): 



ÄltU 



»^(03) = e 12 77 (1 _ ßi^ivüj^^ 
1,00 

ist. Danach wird, immer für s = 1, 

U Z (p.{v) = — \ (log rj (to) - ^Y 
1,«= 1,00 2 7c\m \ A^ / 

Führen wir dies Resultat in (19) ein, nachdem wir dort 
s == 1 gesetzt haben, so ergibt sich der Grenzwert von Qs : 

(26) Q^ — loyri {a^) rj (oj^) — ^ • 

Hiernach erhalten wir aus (4), (25), (26) die folgende Grenz- 
formel, deren Ableitung das Ziel dieser Betrachtung war: 

^'^ 1 7C 

(27) Lim 2: 



s = , {Aj'^ + 2Bxy + Cy^y (s -_ i) yi m 

27ir{\) , n , A 2% ^ ( \ ( ^ 

= 7/=^^ + n- log —- — -= log rj («,) 1? («,). 

y m \ m * *'* y m 

Aus (27) ergibt sich in Übereinstimmung mit § 140, (5): 

X, V 1 TC 

Lim (s — 1)2: — = —-, 

also nur abhängig von m, nicht von der besonderen Form j/-. 
Verstehen wir also jetzt unter A, 2B^ C ganze Zahlen und lassen 
t^ ein vollständiges Repräsentantensystem der zur Diskriminante 
— Am gehörigen Formenklassen durchlaufen, so folgt 

(28) Lim(s-l)ll'-i = ;^, 

wenn h die zur Diskriminante — 4 ni gehörige Klassenzahl ist. 

34* 



532 Einundzwanzigster Abschnitt. § 141. 

Aus (27) leitet man eine einfachere Formel her für die 
Funktion 



-|i<^) ^^'{^) 



' ^ ^ rj (ra) rj (oj) 

Ersetzt mau nämlich 

A durch 2 A, 

C „ i(^ + 25+C), 
so bleibt wi = J. C — .ß^ ungeändert und «i, Wo gehen über in 

CJ, -j- 1 , COo — 1 

Setzt man also 

^ ■' i,'=[2A, 2(Ä + B), 1{A + 2B + C)], 

SO ergibt sich aus (27) 

(30) Lim C±' i- _ i^-L) = ^ /,, fi-Aß-A. 

Wir nehmen jetzt nicht nur Äy 2 B, C, sondern auch Ä^ B, C 
als ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Teiler und A ungerade 
an. Dann ist ^ eine primitive Form der Diskriminante — 4»t, 
und wir betrachten zunächst die beiden Fälle 
m ^ 1, m ^ 2 (mod 4). 

Nehmen wir, was keine weitere Beschränkung ist, B ^m -\-l 
(mod 2) an, d. h. B gerade oder ungerade, je nachdem m un- 
gerade oder gerade ist, so ergibt sich aus 

m = Aü — B'-. 
A — C ^ (mod 4) m ungerade, 
A -\- C ^ „ m gerade, 

und die Form t^' ist primitiv von der Diskriminante — 4wi. Es 
ist nach der Komposition der quadratischen Formen: 

wenn 

m -|- r 



t^o 



= (2, 2, ^'^ "^ j (>H ungerade), 
= (2, 0, jj (m gerade), 



§ 142. Die Nonnen der Klasseninvarianten /"(tu). 533 

und folglich durchläuft 4'' gleichzeitig mit i/^ ein Repräsentanten- 
system der Diskriminante — 4ih. Es durchläuft aber co^ die- 
selbe Wertreihe wie (ögi wenn auch in anderer Reihenfolge, und 
demnach ergibt sich durch Summation der Formel (30): 

wenn sich das Produkt 77 auf die Wurzeln mit positiv imaginärem 
Teil eines vollen Formensystems mit der Diskriminante — 4 m 
bezieht. 

Wir werden in der Folge der Kürze wegen diese 

Wertreihe der a ein vollständiges Wurzelsystem der 

Diskriminante — Am nennen. 



§ 142. Die Normen der Klasseninvarianten /' (a). 

Wir lassen ca ein vollständiges Wurzelsystem der Diskri- 
minante — 4w durchlaufen, und setzen voraus, daß in der Form 
{A, 2B, (7), deren Wurzel co ist, .4, C ungerade, Ä relativ prim 
zu m sei, worin keine weitere Beschränkung liegt; dann sind 
nach § 126 die 24sten Potenzen von /"(«) Klasseninvarianten und 
ihre Norm ist eine Potenz von 2. 

In einer zweiseitigen Klasse gibt es stets einen Repräsen- 
tanten von einer der beiden Formen: 

(A, 0, 6'), (Ä, 2B, Ä), 

worin Ä ungerade vorausgesetzt werden kann. Im ersten Falle 
ist CO rein imaginär und folglich [§ 24, (11)]: 

/X«), fi («), /a (w) 
reell und positiv ; im zweiten Falle sind co und 1 : co konjugiert 
imaginär, folglich: 

Ao») = / (- ^) 

reell und 

f,ic) = f,(-l), /;(c) = ^;(_l) 

konjugiert imaginär, und nach der Formel /'(ö)/'i (co)/2 (co) :=r ^^ 
ist auch hier /'(«) positiv. 

Wir können also den Repräsentanten (A, 2B, C) immer so 
gewählt annehmen, daß A und C ungerade sind und daß f (co) 
für eine zweiseitige Klasse reell und positiv wird; repräsentieren 



534 Einundzwanzigster Absclinitt. § 142. 

wir ferner zwei entgegengesetzte Klassen durch (vi, + 2 .B, 6'), so 
sind die entsprechenden Werte von /"(co) konjugiert imaginär, ihr 
Produkt daher positiv, und es folgt also nach diesen Bestim- 
mungen, daß das Produkt 

einen positiven reellen Wert hat, der eine Potenz von 2 ist. 
Wir setzen, indem wir mit h die Klassenzahl bezeichnen, diese 
Potenz = 2''S so daß 

Es wird unsere Aufgabe sein, diesen Exponenten r zu be- 
stimmen. Wir schicken aber noch folgende Bemerkung voraus, 
die dieser Aufgabe ein erhöhtes Interesse verleiht. 

Infolge der Grleichung [§ 54, (8)]: 
(2) f{coy^-y,{co)f{ayY-\6 = 

ist, wenn « die Wurzel einer zur Klasse k gehörigen Form der 
Diskriminante — 4»^ ist, f{co) eine ganze algebraische Zahl, 
und da f{aY in (2) auch durch — /"i (»)- , — AC«)' ersetzt 
werden kann, so sind auch fi{co)^ A («) ganze algebraische 
Zahlen. Mithin ist es auch 

Ist p eine ungerade Primzahl , von der — m quadratischer 
Rest ist, und p durch die Formen der Klasse l (der Diskrimi- 
nante — 4w) darstellbar, so ist bei passender Bestimmung von c 
nach § 118: 

C -\- CO 

V 
die Wurzel einer zur komponierten Klasse l k gehörigen Form, 
und es kann (wenn nicht gerade ^ = 3 ist), c durch 48 teilbar 
angenommen werden. Setzen wir also: 

so ist sowohl UV als 2:uv eine ganze algebraische Zahl. 
Wenn wir daher nach § 74 

B = {Uvy^(-) -r-^, 



-=(fj+a)' 



§ 142. Die Normen der Klasseninvariauten f{w). 535 

setzen (wo jetzt Ä, B natürlich nicht zu verwechseln sind mit 
den Koeffizienten der quadratischen Form), so ist B eine ganze 
algebraische Zahl, und nach § 74, (14) ist A die Wurzel einer 
algebraischen Gleichung, deren Koeffizienten ganze algebraische 
Zahlen sind. Es ist also A ebenfalls eine ganze algebraische 
Zahl. 

Da aber die beiden Quotienten tt'" : v^ und v'" : W die Wurzeln 
der quadratischen Gleichung 

x^ — Ax -^ \ = Q 

sind, so folgt, daß 

u , V 

— und — 

V u 

ganze Zahlen, und da sie zueinander reziprok sind, Einheiten 
sind. 

Es sind also u und v assoziierte Zahlen. 

Da man nun nach § 118 durch wiederholte Kompositionen 
mit Klassen 7 (durch die Primzahlen darstellbar sind) von jeder 
Klasse h zu jeder anderen Klasse li' derselben Diskriminante 
gelangen kann, und da zwei mit einer dritten assoziierten Zahl 
untereinander assoziiert sind, so haben wir den Satz: 

Setzt man für o? die h Wurzeln der Formen eines 
Systems von Repräsentanten der Diskriminante — 4m, 
so sind die h Zahlen /"(») untereinander assoziiert; und 
daraus nach (1) unmittelbar den merkwürdigen Satz, der sich 
leicht an allen Beispielen bestätigen läßt: 

/'(w):2^ ist eine ganze Zahl, und zwar eine Einheit. 

1. Die Bestimmung der Exponenten x ist durch elementare 
Hilfsmittel möglich, wenn m ^ 1 oder ^ 2 (mod 4) oder m ^ 3 
(mod 8). 

Machen wir in der Gleichung mit ungeraden äußeren Koeffi- 
zienten 

(3) ^«2 4- 2 i? 03 -I- 6' = 

mit der Diskriminante 4(0^ — AC) = —A^m die Substitution 
oj' — 1 , «4-1 

so erhalten wir die Gleichung 

,, A-\-2B ^ C ,^ ,, /,x , , .4 — 27>'4-C 



536 Einundzwanzigster Abschnitt. § 142. 

die gleichfalls die Diskriminante — im hat, und worin, wenn 
m ^ 1 oder ^ 2 (mod 4) ist, die beiden äußeren Koeffizienten 
ungerade sind; denn es ist: 

für m = 1 (mod 4), S = (mod 2), A ^ C =2 (mod 4), 
für m = 2 (mod 4), ^ = 1 (mod 2), Ä -\- C = (mod 4). 

Daraus folgt, daß 

fico) und fC" - ^^ 



\co + 1 

von 24sten Einheitswurzeln abgesehen, dieselbe Wertreihe durch- 
läuft. Denn ersetzt man a' durch eine äquivalente Zahl, so muß, 
wenn die äußeren Koeffizienten ungerade bleiben sollen, die Sub- 
stitution zur ersten oder zweiten Klasse (§ 36) gehören, und 
daraus, folgt aus (4), daß auch a in eine äquivalente Zahl über- 
geht. Wenn aber zwei Formen (5) äquivalent sind, so sind 
auch die entsprechenden Formen (3) äquivalent und umgekehrt. 
Demnach ist 

"«")<^) = '""' 

andererseits ist aber [§ 34, (18)]: 

'M^i) = ^^ 

woraus sich ergibt: 

(6) T^ = 1^ m = 1, 2 (mod 4), 

in Übereinstimmung mit dem Resultat des vorigen Paragraphen 

[§ 1^1, (31)]. 

2. Ist sodann m ^ 3 (mod 8), so entsprechen einer Wurzel 
ca' einer Form der Diskriminante —ni je drei Wurzeln von 
Formen der Diskriminante — Am: 

o ' "' «' + 1 
und es sind die 24sten Potenzen der Größen: 

/;(2«')= ^^ 



.( 



ö'4-l\ _ V2 

TV)' 



§ 142. Die Normen der Klasseninvarianten f{w). 537 

deren Produkt == 2 ist, Klasseninvariante der Diskriminante — 4 J). 
Hiernach ist: ^ 

nf{co) = 23 \ 

also 

(7) ^ = 1, ^w ^ 3 (mod 8). 

3. Für den Fall m ^ 7 (mod 8) können wir den Wert von r 
auf diesem einfachen Wege nicht bestimmen. Es ist dazu die 
im vorigen Paragraphen abgeleitete Grenzformel erforderlich. 
Zunächst behandeln wir die beiden Fälle m ^ 3 (mod 4) gleich- 
mäßig und setzen: 

(p ^= ax"^ -\- hxy -\- ciß = («, h^ c), 

(8) 62 — 4ac = — m, 

x,y 1 

(9) S' = ^ 



worin x^ y alle ganzzahligen Werte, mit Ausnahme der Kombi- 
nation 0, 0, durchlaufen. 

Die Summe S zerlegen wir in vier Partialsummen 

'-^OO} »JOli 'JlOi '^11 1 

so daß :r, ^ in ;Son nur geradzahlige, in S'n nur un geradzahlige 
Werte durchläuft. In S'w durchläuft x die ungeraden, y die 
geraden Zahlen und umgekehrt in Soi. Dann ist 
(10) S' + 2 Äoo = (Soi 4- -Söo) + (-Sio 4- 'Söo) + (An + Si,). 
Ersetzen wir 

in (Soo •>•) y durch 2ar, 2|/, 

w 'Joi -}- 'Joo 3") ^ r 2 a*, «/, 

„ Si'o + Sno ^, y ., it-, 2 «/, 

„ Äo„ + Sil a^, !/ „ a: — 2/, a; + !/, 
'°o sind die neuen .r, y keiner weiteren Beschränkung mehr unter- 
worfen, als der, daß nicht beide zugleich verschwinden. Setzen 

wir daher: 

(p = (((, 6, c), 

<)Pi = (4a, 2&, c), 
^ '^ <3P2 = («, 2&, 4c), 

qpg =r (a -[- i -|- c, 2 (r — «), a — 6 -|- c), 

'"^ ''^ 4^ So'o = S', 

x,y _ 
^öi -\- Söo = 2^<pi ', 

(12) ^ , ^,u _^ 

Sio -{- Sön = 2J<p2 , 
Söo -\- »^11 = ^(ps ' 



538 Einundzwanzigstei- Abschnitt. § 142. 

Wir setzen a als ungerade voraus und lassen q) ein volles 
Repräsentantensystem der Diskriminante — m durchlaufen. Ist 
dann ni ^ 3 (mod 8), so ist c ungerade, und 95,, (jPg, 9)3 
durchlaufen zusammen ein Repräsentantensystem der Diskrimi- 
nante — 4w, Denn unter den oh Wurzeln dieser Formen 

CO 2 

2(0, 1 



2' ' ca + 1 

kommen nach § 123 keine äquivalenten vor. 

Ist dagegen m ^ 7 (mod 8), so ist c gerade, | qp^, \ (jpg durch- 
laufen je ein Repräsentantensystem der Diskriminante — jw, (p^ 
durchläuft ein Repräsentantensystem der Diskriminante — 4 ni. 

Durchläuft also ip ein Repräsentantensystem der Diskrimi- 
nante — 4»^, und setzen wir 

^,y 1 

(13) ^ = ^r^ 

so ergibt sich aus (10): 

2\ S, r.. J^^ 






(14) ^ ' (mod 8) 

^ As i^S I ' 



( 



also; 



4s 2^ 

Setzen wir in den Formeln (29), (30) des vorigen Paragraphen 
1^' = 2(p, t = {A, 2B, C), 

A == a, 

B = b — a, 

C == Ac — 2b ^ a, 



80 ergibt sich; 



^ \m \2 



und wenn i' ein Repräsentantensystem der Diskriminante — 4 ?» 
durchläuft, so durchläuft 95 dreimal oder nur einmal ein Re- 
präsentantensystem der Diskriminante — m^ je nachdem ni ^ 3 
oder ^ 7 (mod 8) ist. Wir erhalten also, wenn s in diesen 
beiden Fällen 3 oder 1 ist: 

worin w die Wurzeln der Formen 4' durchläuft. Und daraus 
ergibt sich nach (14): 



§ 142. Die Noi*men der Klasseninvarianten /"(w). 539 

Lim(4«+2 — 3.2-)1ä= ?if logTI^^, m = 3 (mod 8), 
s=i \m 1/ 2 

Lim(4« + 2 — 3.2-)ls = 4^1og77^^\ w» = 7 (mod 8). 
s=i ym ]/ 2 

Es ist aber [§ 141, (28)]: 

T- / -.N-^O ^^* T- 4« + 2 — 3.2* „, ^ 

Lim(s — 1)2;ä = -^, Lim — ^^ = 2 log 2, 

)m ^ — 1 

also: 

logi7^^ = 0, w = 3 (mod 8), 

log n'-^ = 0, m = 7 (mod 8). 
\2 

Die erste dieser Formeln gibt das bereits auf andere Weise 
abgeleitete Resultat; die zweite gibt das neue: 

(18) T = |, m = 7 (mod 8). 

4. Es bleibt noch die Bestimmung von r in dem Falle übrig, 
"WO m durch eine höhere Potenz von 2 teilbar ist. Um auch noch 
diese Bestimmung auszuführen, sei 

(19) m = 4:m\ 

(20) co' = -^-\'^'^\ m' = AC-B-\ 

also oj' die Wurzel der quadratischen Form {A, 2B, C) der 
Diskriminante — m, worin Ä und C als ungerade vorausgesetzt 
werden können. Es sind dann 

(21) Ol = 2 03', «2 = 2- 
Wurzeln der Formen 

(22) (A4^, 4C), (4^4 5, C), 

und es sind nach § 126, (13) die 24sten Potenzen von 

A(«.) = 7^^, AK) - ^'- 



f,{coy ''- ^' ~ /;(«') 

Klasseninvarianten der Diskriminante — Am. 

Durchläuft a' ein vollständiges Wurzelsystem der Diskrimi- 
nante — w, so durchlaufen co^ und Wj zusammen ein vollständiges 
Wurzelsystem der Diskriminante — Am (§ 123), und wir erhalten, 



540 Einundzwanzigster Abschnitt. § 142. 

wenn o) ein vollständiges Wurzelsystem von Formen mit ungeradea 
äuiJeren Koeffizienten durchläuft, mit Benutzung der Formel: 

wenn h' die zur Diskriminante —tu' gehörige Klassenzahl ist: 

(23) nfico) = nf, («,) A("2) = nf,{co')f,{co') = ^^" ^^'^"'^' 

worin /i, h' die Klassenzahlen für die Diskriminanten — 4 ;m, — m 
bedeuten. Es ist dann (§ 123): 

h = 2 h'. 
Sind also wie oben t, t' so bestimmt, daß 



V ' 2^' 




Einheiten werden, so ist 




nf{co) = 2"% nf{co') = 


= 2'''^', 


und daraus nach (23): 




(24) ^ = 1 + !• 





eine Formel, die auch noch für m' = 1 gilt, wo h' = h und 
die beiden Werte 2 «' und a' : 2 äquivalent sind. 

Durch wiederholte Anwendung dieser Formel ergibt sich, 
wenn 

m = 4:^m' 

ist, für ein beliebiges positives A: 



2A + 1 



Fassen wir das hiermit Bewiesene zusammen, so können wir 
sagen, daß folgende Größen algebraische Einheiten sind: 

^\ m = 1, 2 (mod 4), 

f2 
t^, m = 7 (mod 8), 



37=^, m ^ 3 (mod 8), 



§ 143, Partialnormen von f{o)). 541 

■, \ — 1 '>n == i'm', m' ^ 1, 2 (mod 4), 

22 ~ 2^ + 2 

^ f^^^^^ — , m = 4im', wt' = 4 (mod 8), 



22 3.2''. + i 

r(ß 

V2 



üf)^ ,„, = 4Ä,„j'^ ,^' = 7 (niod 8). 



§ 143. Partialnormen von fip). 

Wir machen von der Grenzformel (30) des § 141 noch eine 
Anwendung auf die Bestimmung des Produktes 

(1) J7;^(co), 

in dem sich das Produktzeichen 77 nicht über ein vollständiges 
Wurzelsystem, sondern nur über die Wurzeln ta der Formenklassen 
eines^ Geschlechts erstreckt. W^ir beschränken uns dabei aber 
auf den Fall, daß 

(2) z/ = —4m 

«ine Stammdiskriminante ist, daß also m keinen quadratischen 
Teiler habe und entweder ^ 1 oder ^ 2 (mod 4) ist oder, was 
dasselbe ist, 

(3) z/ = — 4 oder =8 (mod 16). 

Es sei 8 ein von zJ und 1 verschiedener Stammteiler von 
^ und %(ö, h) der diesem Stammteiler entsprechende Charakter 
der Klasse h. 

Ist 8' der zu <^ komplementäre Stammteiler zu d, so ist in 

diesem Falle 

ÖÖ' = z/, 

und wir bekommen also alle Geschlechter , wenn wir für 8 die 
ungeraden Stammteiler setzen, was wir hier tun wollen. Es 
sei nun wie in i; 141, (29), (30): 



,. = (,,/±±i). (,0,f), 



(4) ^ = (4,2 5, C), 

^' = -«^0 ^- 



542 Einundzwanzigster Abschnitt. § 143. 

Sind dann Je, k^, h' die Klassen, zu denen t, t^o, ^' gehören» 
so ist 

also 

^ ^ X{S.k') = (d,2){ö,A). 

Ist cöi eine Wurzel der Klasse k, so ist cog Wurzel der ent- 
gegengesetzten Klasse fc~\ in diesen beiden Klassen sind aber 
die Charaktere %(d, k) und x{^-> ^~^) dieselben. Multiplizieren 
wir daher die Formel § 141, (30) mit %(d, Ä;) und bilden die 
Summe über alle Klassen k, so folgt: 

(6) l,(M)(2:'^-2:'i,) = i|i.(.,.)iogü|) 

und wegen (5) kann man für die linke Seite schreiben: 

[,-(M)]i^2;"l. 

Demnach haben wir: 

(ä,2) = +l: ^l;t(6,*)logö|) = o, 

(7) ^•" ^ - 

(*,2) = -1: g£;t(d,i)lognÖ = i:xiä,lc)£±, 

wobei rechts der Grenzwert für s = 1 zu nehmen ist. 
In § 113 haben wir die Formel bewiesen: 

(8) i,(Ä,;t)'f^ = z(^2(^. 

Wenn wir mit K{d) die Klassenzahl für die Diskriminante d 
bezeichnen, so ist, wie in § 112, (8) bewiesen ist: 

(9) ^ '' V-ö 

y^Ä!!) = i^ Ä(ö) d>0, 

worin die Quadratwurzeln positiv zu nehmen sind, und 

T+ Ufd 

s = ■ — 

2 

die fundamentale positive Einheit des quadratischen Körpers mit 
der Grundzahl d ist. Für die beiden Ausnahmefälle d = — 3, 
d = — 4 gelten diese Formeln, wenn man unter K nicht die 



§ 143. Partialnormen von f(oj). 543 

Klassenzahl selbst, sondern den dritten Teil oder die Hälfte 
davon versteht. 

Nun ist ö' immer gerade und von entgegengesetztem Vor- 
zeichen wie ö, und 4 m = — ÖÖ'; danach ergeben sich aus (7) 
die Formeln: 

(10) 2 i X (ö, Ä) log ^^ = 0, 8=1 (mod 8), 

= K{d)K(d')\oge, 8 = (mod 8), 
worin 

(11) e = K^l^Ll^.^ d > = 1 (mod 8), 

= T^U)/d' ^ ö < = 5 (mod 8) 

zu setzen ist. Die erste der Formeln (10) gilt auch noch für ö = 1. 
Da nun für alle Klassen eines Geschlechts und für jedes 8 
der Charakter i{8^]i) denselben Wert hat, so sind durch (10) 
und (11) die Produkte (1) bestimmt. Denn es ist nach § 113 

l;K(d,fc) = 0, 
außer wenn Ä; die Hauptklasse ist, und für diese ist die Summe 
gleich der Anzahl g der Geschlechter. Man erhält z. B. für die 
Wurzeln oj des Hauptgeschlechts 

V f 2 / 
worin g die Anzahl der Geschlechter bedeutet, und das Produkt 
links über alle Wurzeln co des Hauptgeschlechts, das Produkt 
rechts über alle Stammteiler 8 von z/, die ^ 5 (mod 8) sind, 
auszudehnen ist. 

Um das Produkt der Klasseninvarianten für ein anderes als 
das Hauptgeschlecht zu bilden, hat man die Formel (8) vor der 
Summation mit x{8,k'~^) zu multiplizieren, wenn k eine Klasse 
des betreffenden Geschlechts bedeutet. 

Die Anwendung der Formel (10) verlangt die Kenntnis der 
Klassenzahlen positiver und negativer Diskriminanten und der 
Zahlen T, U. Die Klassenzahlen sind in weitem Umfange von 
Gauss berechnet und aus seinem Nachlaß im zweiten Bande der 
Werke, S. 450 bis 476, veröffentlicht. Für die Lösungen T, U der 
Pellschen Gleichung enthält Legendres „Theorie des nombres" 
oder auch der „Canon Pellianus" von Degen eine Tabelle. 



544 Einundzwanzigster Abschnitt. § 143. 

Es existieren 63 negative Diskriminanten von der Eigenschaft, 
daß in jedem Geschlecht nur eine Klasse enthalten ist; daß es 
nicht mehr gibt, selbst daß die Zahl nur eine endliche ist, kann 
freilich bis jetzt nur durch Induktion geschlossen, nicht bewiesen 
werden. Die Mehrzahl dieser Diskriminanten, die bereits in 
§139 zusammengestellt sind, ist ^1, 2 (mod 4) und ohne 
quadratischen Teiler oder ^ 8 (mod 16). 

Für die ersteren lassen sich die Klasseninvarianten nach 
der Formel (10) vollständig berechnen, und eine ähnliche Formel, 
auf deren Bildung wir hier nicht eingehen wollen, führt auch 
für die durch 8 teilbaren Diskriminanten zum Ziel. 

Für die vereinzelten Diskriminanten dieser Art, die hierher 
nicht passen, lassen sich die Klasseninvarianten f{co) nach einer 
der anderen Methoden berechnen i). 

Um an einem einfachen, leicht zu übersehenden Beispiele 
die Rechnung durchzuführen, wählen wir m = 105 = 3. 5. 7. 
Wenn wir die Werte von d, die ^ 1 (mod 8) sind, weglasseu, 
da diese in der Summe der Formeln (10) keinen Beitrag geben, 
so haben wir: 

d = —8, 5, 21, —35, 

d' = 140, —84, —20, 12 

zu setzen und erhalten, da (/ :^= 8 ist: 



IB log tiV=i55) = ^(_3) A-(UO) log '■+ '^' V*" 
-f ^(5) Ä'(— 84)log 
4- ^(21) 71 (—20) log 
+ K{—Sb)K{l2) log 





2 


T-f- 


f7V84 




2 ' 


T + 


t' V2Ö 




2 


T + 


f/VT2 



g 



') Vgl. des Verfassers Abhandlung: „Zur komplexen Multiplikation 
elliptischer Funktionen". Mathematische Annalen, Bd. 23. Ich mache hier 
auf einen Fehler in der Gauss sehen Tafel aufmerksam, den ich bei Gelegen- 
heit dieser Rechnungen gefunden habe: Gauss' Werke, Bd. II, S. 475 muß 
die positive Determinante 136 die Bezeichnung IV, 2, nicht IV, 1 haben. 



§ 144. Berechnung einiger weiterer Klasseninvarianten. 545 

Es ist aber 
Z(— 3) = I, K{—84:) = 4, ^(—20) = 2, Z(— 35) = 2, 
ii:(+140) = 4, Z(5) = 1, ^(21) = 2, £(12) = 2 i), 
wie man aus den Gauss sehen Tafeln oder hier auch leicht durch 
direkte Abzahlung findet. 

Ferner ist nach den Legen dreschen oder Degenschen 
Tafeln : 



log 
log 
lop- 


{T-^ V 140 er 


V 2 


\ 2 J 



= log (6 4- v'Sö) = log 



(V5 + fff 



2 



= log(i±J-^) =|log(2 + |/5), 
= log ^i_V21 _ I log (55 ^ 12 V2T) 

log ( ^ + j''^^' ) = log (-2 + V^), 
und daraus erhält man: 

(fi^t=Mf= (2 + V6)= (55 + 1 2 V^) (6 + V'^) (2 + ^/3)^ 

oder was damit gleichbedeutend ist: 

1^2'' f (]/^rT^or = (1 + }ßy (V 3 + fif (V^ 4- ff) (1 + V3)^ 



§ 144. Berechnung einiger weiterer Klasseninvarianten. 

Nächst den Diskriminanten , bei denen in jedem Geschlecht 
nur eine Formenklasse vorkommt, die wir im vorhergehenden 
Paragraphen betrachtet haben, geben die einfachsten Eesultate 
die, welche in jedem Geschlecht zwei Formenklassen enthalten, 
und unter diesen wieder die, bei denen nur zwei Geschlechter 
vorkommen. Die Klasseninvarianten für diese Diskriminanten 
— 4w sind die Wurzeln quadratischer Gleichungen, deren Koeffi- 
zienten nur eine Quadratwurzel enthalten. Wir setzen wieder 
Stammdiskriminanten voraus, und erhalten nach der Gaussschen 
Tafel die folgenden Werte von m: 



*) Nach Gaussseher Bezeichnung sind die Klassenzahlen zweiter Art 
zu nehmen. 

Weber, Algebra. III. OK 



546 



Einundzwanzig-ster Abschnitt. § 144. 



m — 14, 84, 46, 82, 142 = +2 (mod 16), 
m = 17, 49, 73, 97, 193 = 1 (mod 8). 
Die Formeuklassen des Hauptgeschlechts köimen in diesen 
Fällen repräsentiert werden für ein gerades m durch 

(l) (1,0, m), (2, 0, I), 

für ein ungerades in durch 

(ni I 1 \ 
2, 1, -^)^ 

von denen die letztere äquivalent ist mit 

'm-\-l m — 1 m -\- 1\ 

(3) V~2~' 2 ' 2 y 

Für die Formen (1) sind nach § 127, 6. die Klasseninvarianten 

A(Q^ „„, j^,,(iE^y = ^L^, (§34) 

V2 |2 "^ 2 / /^(y_^,<) 

und für die Formen (2), (3) (§ 127, 3.) 

V2 fl \1 — V— »^y / (V— nif 

und nach § 142 sind dies ganze algebraische Zahlen. 
Setzen wir also, entsprechend den beiden Fällen: 

(4) ^^Flx = U{^l-m)\ f{i'=^i)\ 

so ist I 

X A 

X 

eine ganze algebraische Zahl, die nur eine Quadratwurzel enthält, 
und aus § 138 erhalten wir Aufschluß, welche Quadratwurzel 
darin vorkommt. 

Es ist y2, wenn m ^e 6 (mod 8) ist, also für m = 14, 46, 142, 



i 



^, wenn m ^ 2 (mod 8) ist, also für m = 34, 82, ferner 

■j/w im Fall eines ungeraden m (mit Ausnahme von m = 49, wo 
■ff an die Stelle tritt). 
Setzen wir also 

(5) X + -1 --= (. + h v;;, 

so sind a, b rationale Zahlen, die höchstens den Nenner 2 haben. 
Es müssen aber auch a und h positiv sein. Denn ändern wir in 
(5) das Vorzeichen von |j9, so entsteht eine andere quadratische 



§ 144. Berechnung einiger weiterer Klasseninvarianten. 547 

Gleichung, deren Wurzeln die zum zweiten Geschlecht gehörigen 
Klasseninvarianten sind, und die daher konjugiert imaginär sind, 
während die Wurzeln von (5) reell sind. Daraus ergibt sich die 
Größenbestimmung : 

also müssen a und h gleiches Zeichen haben. Da aber x nach 
(4) positiv ist, so müssen a und h beide positiv sein. 

Um a und h wirklich zu finden, braucht man nur den Aus- 
druck auf der linken Seite von (5) nach (4) auf wenige Dezimalen 
zu berechnen, wobei es weitaus hinreichend ist, 

zu setzen, und die so gefundenen Dezimalen mit den Dezimalen 
von y^ zu vergleichen, um alsbald b und sodann a zu erhalten. 
Die Rechnung ist überaus einfach und gibt folgende Resultate: 

m = U, X + — = 1 4- V2, 

,1 i + yi^ 

X 2 

m. — o4, X ^ — = ^ — , 

m = 46, o; + - = 3 -f- ]f2, 

X 

m = 49, ,, 4- 1 = 2 -f y?, 
m = 73, x^-= ^^' , 

,1 15 4- V4T 

m = 82, X + - = ^ ^ 



m = 97, 



X 2 

1 9 -i- y97 



X 



m = 142, ./ -^^ = y + 5y2, 

m = 193, X -\- - = 13 + yr93. 



35^ 



Zweiundzwanzigster Abschnitt. 

Cayleys Eiitwickeluiig der Modulfuiiktionen. 



§ 145. Grenzwerte für s = 1. 

In diesem Abschnitt soll eine funktionentheoretische An- 
wendung der Grenzformel gegeben werden. Es bedeutet also hier 
CO nicht eine quadratische Irrationalzahl, sondern eine Variable 
mit positiv imaginärem Bestandteih Die Modulfunktionen ge- 
hören zu den Funktionen mit natürlichen Grenzen, d. h. wenn 
man sich der Grenze der Konvergenz nähert, so liegen auf dieser 
Grenze, hier also auf der Achse der reellen o, die singulären 
Punkte überall dicht, so daß man diese Funktionen über diese 
Grenze hinaus nicht analytisch fortsetzen kann. Cayley hat in 
seinen letzten Untersuchungen Entwickelungen der Modulfunk- 
tionen gegeben, die darum merkwürdig sind, weil sie das Ver- 
halten der Funktionen bei der Annäherung an die Grenze augen- 
fällig machen. Der Schlüssel zu diesen Entwickelungen ist die 
Grenzformel § 141, (27) i). 

Wenn man in dieser Formel: 



(1) Lim 2 



{Äx^ + 2B^'y -f CtßY (, _ 1) f 



= n=^ -f TT ^°S I^ — ,7= log ri («i), n («2), 

B ^ i^m —B^i V m 
«1 = — -^ , «2 = -^ , 

(2) fo, =« + /5/, 092=— a + /3/, /^>0 



^) Die erste Cayley sehe Arbeit findet sich in dem Comptes Rendus 
der Pariser Akademie von 1893, Bd. 161. Weiteres in einem Briefwechsel mit 
dem Verfasser dieses Buches, der im 47. Bande der mathematischen Amialen 
veröffentlicht ist. 



« 



§ 145. Grenzwerte für ä =: 1. 549 

setzt, so ergibt sich 

A = l, B = cc, (7 = «2 -f /32, m = /32, 
und die Formel 1 ergibt: 

^^^ S [(^_«y)2 + /52 2,2]. = S (^- 4- CO, yy (x - «2 yy 

= (g _ 1) ß ß-^-^ — -^ log 4/3^ — — log 7] {a,)ri {CO,). 

Das Zeichen Lim ist hier der Kürze wegen weggelassen. 
Wir setzen 

worin a?, 1/ alle ganzzahligen Werte mit Ausnahme der Kombi- 
nation 0,0 durchlaufen. S ist eine unbedingt konvergente Reihe, 
solange s ^ 1 ist. 

Nun teilen wir die Glieder von S in drei Arten ein, je nach- 
dem die X, y gerade oder ungerade sind, und setzen 

In 5'o sind also die Zahlen a;, ^ entweder beide gerade oder 
beide ungerade, in S, durchläuft x die geraden, y alle ganzen 
Zahlen, in S, ist y gerade, x beliebig. Betrachtet man die 
Summe /So + 'S'i -j- S,^ so kommen darin alle Glieder von S vor, 
und zwar die Glieder dreimal, in denen x und y beide gerade 
sind. Hebt man in der Summe dieser Glieder den Faktor 4~* 
heraus, so bleibt S selbst übrig, und es ergibt sich also: 



S. 



(6) Äo + 5, + Ä, = (1 + I) 

Geht man zur Grenze s = 1 über, so hat man zu setzen 

/,7N 1 1 s — 1 1 O 

(7) 4^ = 4--2— ^"»^•••' 

und erhält aus (3) die für s = 1 gültige Formel: 

(8) s^j^ s, + S, = ls-j log 2. 



550 



Zweiundzwauzigster Abschnitt. 



§ 145. 



Ersetzen wir a und /3 in S durch 2« und 2/3, so hat das 
denselben Erfolg, als wenn wir y durch 2y/ ersetzen, d. h. es 
geht S in S^ über, und demnach erhalten wir aus (3): 

-?^log2 7?(2coO»K2«2). 

Ersetzt man w, /3 durch ^a, i/3 und multipliziert mit 4-®, so 
ist der Erfolg derselbe, als ob man x durch 2 x ersetzt hätte, und 
man erhält 8-^. Also nach (3) mit Rücksicht auf (7) : 



(10) 



2 5; 



(s-l)/i 
2:7; 



/^ 



log»? 






«2 



Ersetzt man endlich oc, /3 durch | (w -|- 1), |/3 und dann 
^x — y durch x^ so ergibt sich in gleicher Weise: 

und demnach mit Rücksicht auf die Formeln [§ 34, (9)]: 



_Tan 
/(oj) = e 24 _ 



o + 1 



^(ö) 



r; (oj) 



A(") = 



n 



CO 






indem man die Formeln (9), (10), (11) von (3) subtrahiert; 

5-25o = ylogr(«0 f{^.\ 

S-2S, = y logA(«0/'i("2), 



S—2S-, 



2n 



l0g/"2(«l)/2(«2), 



woraus sich durch Addition nach § 34, (11) die Relation (8) wieder 
ergibt. 



§ 146. Ein Satz über Eeiheukonvergenz. 551 

lu der Differenz 2 Sq — S kommen nun genau dieselben 
Glieder vor wie in S, nur erhalten die, in denen x -\- y ungerade 
ist, das negative Zeichen, und wir können daher auch setzen: 

; — log/'(a),) /' (wo) =^ Lim > ^7 ^^ — r^ ^ =:-, 

ß Ol \ u I \ 2j ,__,! ^^ [(j; _ apY + /32?/2]s' 

(12) ^- log f\ (ojj) f, (co,) = Um V p- ^~ -^^' , , 

— -. — log /', (09,) fo (coo) = Lim 'V' p- !^-r — - — — , 

worin nun x, y alle ganzzahligen Wertpaare mit Ausnahme von 
0,0 annehmen. Diese drei Formeln lassen sich nach § 34, (13), (14) 
aus einer von ilmen ableiten, z. B. indem man in der zweiten 



(13) also 



ersetzt. 



coj, «2 durch 


«1 + 1, 


CO, 


- 1, 


und durch 


— 1 




— 1 

CO,' 


«, ß durch 


«+ 1, 




ß, 


und durch 


— a 




ß 



«2 --j- /j2' (y2 J^ ^2 



§ 146. Ein Satz über Reihenkonvergenz. 

Wollte man in den Ausdrücken (12), § 145 die Zeichen Lim 
und Z! miteinander vertauschen, also ohne weiteres unter dem 
Summenzeichen s =^ 1 setzen, so würde man keine unbedingt 
konvergente Reihen erhalten, und es muß also untersucht werden, 
in welchem Sinne diese Formeln dann noch gültig bleiben. 

Um diese Untersuchung durchzuführen, wollen wir zunächst 
einen allgemeinen Satz aus der Reihenlehre ableiten, der eine 
Verschärfung des Satzes Bd. II, § 196, 3. ist. Es sei 

(1) ^1 ^ f^2 < ^3 ^ ^4 ••• 

eine Reihe von unendlich vielen positiven Zahlen, und Z(t) 
bedeute die Anzahl dieser Zahlen, die nicht größer als t sind. 
Dieses Z{t) soll für jedes t einen endlichen Wert haben, woraus 
dann folgt, daß die ^n mit n ins unendliche wachsen. Wir 
wollen aber noch weiter voraussetzen, daß 



552 Zweiundzwanzigster Abschnitt. [§ 146. 

sei, worin a eine konstante (unabhängig von i), und eine Funk- 
tion von ^, die in endlichen Grenzen eingeschlossen bleibt. 

Nehmen wir zunächst an, die /Lt„ seien alle voneinander ver- 
schieden, so ist Z{}in) = ^', und aus (2) folgt: 

(3) -ii = « + -L; 

daraus folgt, daß n : fi„ endlich bleibt, und folglich mit veränderter 

Bedeutung von 0: 

n , ß 

— = a + -=, 

oder, nach dem binomischen Satz, für irgend ein positives s: 

w ^^^O + vir)' 

worin alle die mit bezeichneten Größen endliche Werte haben. 
Diese Formeln gelten aber auch noch, wenn unter den fj„ 
gleiche vorkommen. Denn seien etwa (wie in Bd. 11, § 196, 3.) 

einander gleich und 

m <C w ^ m -{- /, 
so ist 

Z{^n — 0) = "^ Z{^„) = m + /, 

^(f^n — 0) ^ Ji ^ ^(^») 

« + 7= < — < « + :n=. 

woraus (3) folgt und (4) wie oben abgeleitet werden kann. 
Der Satz, den wir beweisen wollen, lautet so: 
Es sei «1, E.2, fg, ... eine unendliche Reihe positiver 

oder negativer, aber endlicher Größen und 

(5) ■ «1 + «2 H h «» = 7n in, 

SO beschaffen, daß y„ dem absoluten Werte nach unter 
einer endlichen Konstanten bleibt. 
Dann ist 

(6) ö = ^ + -^+^+--. 

ri r> f^i 

konvergent und eine stetige P'unktion von s, so lange 
ist. 



§ 14:7. Entwickelung von /", f^, f.^. 553 

Wegen (4) braucht dieser Satz nur bewiesen zu werden für 

s + — 

|[t,j =r «, weil die Reihe H SnO/n ^ unbedingt konvergiert und 
also nach bekannten elementaren Sätzen diese Eigenschaft hat. 
Setzen wir also 

(7) '> = ^ + ^ + i.+- 



und nach (5) £„ =^ y« y « — }^n-i V^^ — I5 so wird 

(8) <'={^ + r.V2(i-|,) + r3V3(^.-p) + 

Da nun für ein unendlich großes n 



(n+iyj . + i 



n 



ist, so ist die Reihe (8) unbedingt konvergent, solange s > | 
ist, und daraus folgt auch für diese Reihe unsere Behauptung 
nach denselben elementaren Sätzen. 



§ 147. Entwickelung von f\ f^, f^. 

Die Reihen (12), § 145 sind nun in diesem Falle. Betrachten 
wir z. B. die zweite von ihnen, aus denen, wie wir gesehen 
haben, die anderen hergeleitet werden können, und setzen für 
M-n ^25 f^3i • • • die cler Größe nach geordneten Werte der Funktion 

(1) {x — ayy 4- |32y2 _ ,,, 

Wir nehmen x y als rechtwinkelige Koordinaten in der Ebene 
und überlagern die Ebene mit zwei Gittern, indem wir in dem 
einen Gitter für die x die geraden, in dem anderen die ungeraden 
ganzen Zahlen setzen. 

Die Anzahl der Gitterpunkte, die im Innern der Ellipse (1) 
oder auf ihrer Peripherie liegen, für die daher fi„ ^ n ist, be- 
zeichnen wir für die beiden Arten mit Z (w) , Z^ (n). 

Setzen wir _ _ 

so geht (1) über in 

(2) (^ — (^>]Y^ß'r = h 

und der Flächeninhalt dieser Ellipse ist n'ß^ und nach Bd. II, 
§ 194, 1.: 



554 Zweiundzwanzigster Abschnitt. § 147. 

t ^ 2ß'^ ]it ' 
^^^ Z^(0 _ iL ^ Zi 

worin y^ und y^ für t = cc endlich bleiben. Der Faktor ^ bei 
7t/2ß kommt dalier, daß hier die Gittermaschen Rechtecke vom 
Inhalt 2 sind. Dies ist aber in Übereinstimmung mit der 
Formel § 146, (2). 

Aus (3) ergibt sich 

(4) Z\t)-Z\t).= yit, 

worin y gleichfalls endlich bleibt. 

Nun können wir die in der Formel (12), § 14.5 vorkommende 
Summe 



ö = ^ 



(-1)' 



so schreiben: 

\^\ K K 
worin die f^, f2i ^si ■•• ^^^r die Werte +1 haben und 

(.5) £, 4- £^ -f £3 -^ ^ 5„ = z\ii) - z' 00, 

= y y w. 

Damit sind die Voraussetzungen unseres Satzes § 146 erfüllt. 

Es ist also ö für s >> ^ eine stetige Funktion von s, also 
insbesondere auch für s = 1, und wir erhalten aus § 145, (12): 

(r.) - ?^ log A («0 f, («,) = 2 ^r-^+ß^y^ ^ 

- ^ log f, («0 A (CO,) = 2 (,^_i^J^^.^2 - 

Man kann diese Formeln auch noch anders darstellen. Wir 
führen die Bezeichnung ein: 

(^) S(^—^]^^qi77];^='^oo:^- gerade, y gerade, 

= S|3i : X gerade, y ungerade, 
r= S^Q : T ungerade, y gerade, 
= »S,i : X ungerade, y ungerade. 



§ 147. Eutwickelung- von /; f,, /,. 555 

Dann ist 
In 

-J log / («0 /(«2) = — 'Soo 4- 'Sio -1- »Soi — 'S!!, 

2 ;r 
(8) -j- log/; (ö,) /: (o?2) = — '^oo + »Sio — Soi -I- Sji, 

2 :jr 

— log/;(wi) fi{co^) = — Soo — »Sio + Äoi -\- Sil, 

Avoraus durch Addition : 

^ log 2 = - 3 Soo + 'S!« + So, + S'ii, 
und wenn mau hierdurch Äon eliminierte : 

^ log /^ («i) f {CO,) = 1^ log 2 + f Äio + I S,,i - i >S.i, 

(D) ^ log f, («0 ^1 («,) = ^^ log 2 -f I 5io - I Äoi + I Sn,: 

^ log/; (0.,) /, (CO,) = 1^ log 2 - i Äio + ! 5oi + I Sn. 

Diese Summen sind aber so zu verstehen, daß in allen zugleich 
(x — aijy- + ß^y^ < w 

sein soll, und dann n ins Unendliche wächst. Jede einzelne 
Summe S wird dann unendlich, aber ihre Verbindungen, wie sie 
in diesen Formeln vorkommen, erhalten endliche Grenzwerte. 

Wir wollen noch mit Äöi- Sio^ Sii die Summen bezeichnen, 
die denselben Ausdruck haben wie Äqi, /Sio, ^n nach (6), nur 
mit dem Unterschied, daß x und y keinen gemeinschaft- 
lichen Teiler haben sollen. 

Setzen wir 

'-'lO I '-^01 ^ S-ii = In, 

(x — aijy^ ß^2y2 < n, 
Lim Tn = T 

und bezeichnen mit T^^'^ die Summe, die aus T„ entsteht, wenn 
alle Glieder ausgeschieden werden, in denen x und y beide durch 
die ungerade Primzahl p teilbar sind, so ergibt sich: 

und durch Grenzübergang zu n ^= cc : 



556 Zweiundzwanzigster Abschnitt. § 147. 

Verfährt man so mit allen Primzahlen und setzt 

Sio -{- Söi — 2 Sil = T\ 
so folgt 

1' = Tn(\ — \ 

worin sich das Produkt 77 auf alle ungeraden Primzahlen p 
erstreckt. Nun erhält man durch Entwickelung nach steigenden 
Potenzen von p~^: 

1 _ iililiiili... 

77(1 _ 2>-2) ' T 32 -r 52 -r 72 "T 92 ~r ^ 

_ 7r2 
und folglich 

rp •"' rjii 

^ " "8" ^ ' 

und indem man ebenso mit den beiden anderen Summen ver- 
fährt, folgt aus (9): 

log f (CO,) f {CO,) = ilog2 + ll {Sio + So, - 2 An), 
(10) log /;(coO/; («2) = |log2 + ll {Si, - 2Ä^, 4- S[,), 

losfd^.)Uco,) = |log2 + ll (-2>S{o + Söi + An). 

Diese Formeln vereinfachen sich wesentlich, wenn man 
a = 0, also 

Ol =: «2 = a = */3 

setzt, also wenn man ein rein imaginäres to annimmt. Dann 
wird 

^, 1 X ungerade, y gerade, 

^" x^ — co^y- xy relativ prim. 

Sondert man das Glied ä; = + 1, y =^ ab und nimmt von 
den übrigen je vier zusammen, so ergibt sich 

Sio = 2 + 42;^^-—^^, 

worin x, y nur positive Werte durchlaufen. 

Ebenso verfährt man mit den anderen Summen. Setzt man 
dann 



§ 148. Elementare Ableitung der Entwickelungen. 557 

= S2 oc ungerade, y gerade, 
= Ss X gerade, y ungerade, ,■ • 
x^ y positiv und relativ prim, so folgt: 

CO 

und folglich ergibt sich aus (10) für ein rein imaginäres co: 

logf («) = ilogy2 + ||(_„ +1 - 4 S, + 2 Ä, 4- 2 Sa), 

(12)logA(«) = ilogV2 + ||(-«~^ + 2S, + 2Ä,-4Ä3), 
log^C«) = ilogV2 + |^(2« + l+2S,-4>S, + 2S3). 

§ 148. Elementare Ableitung der Entwickelungen. 

Man kann zu den vorstehenden Entwickelungen auch auf 
dem folgenden Wege gelangen. Es ist nach einer bekannten 
Formel der Analysis: 

^' i,ooCo^y^ — x'^ 2coiß~^ 2y fy — V 

wenn q = e'^*'"' ist^). Daraus durch Entwickelung nach Potenzen 

von q: 

(2) IJ ^ = L__Z^fl . ig^^vV 

Ersetzt man hier y durch |y, so folgt: 

(3) ,^. ,;i^;^^. = -^^ - f (i + ,^. "")' 

und wenn man (2) von (3) abzieht: 

(4) 2; ^-^>^" = ^ - ^1 9(— )v. 

^ ^ m2?/2 _ ^2 2 03^2 ,,y j^ -t 



') Aus der Entwickelung 

477* ' ^*— 9 71 



+ 1 1 2..- , 2.- 2^ 



558 Zweiundzwanzigster Abschnitt. § 148. 

Summiert man diese Formeln abermals nach y von 1 bis oo 
und macht von den Formeln Gebrauch, die teils bekannt sind, 
teils aus § 24, (11) folgen: 

ssi—^ — = -iogn(i-f/»-') = — iög/i(") — "äT' 

y ^^ 

n y( \\y.A1n — \)y 71 l CO 

Zi:^--^ = -log/7 (1 + f/"-0 = -log/(o3) - -24-. 

so ergibt sich: 

i^t^co^'iß-^' 24co 24 ^ ^'^ ^' 

f 5^ 2; ^" — ^ = ^ h ^ ^ log tl («)i 

'^ ^ -aj2^2_^2 i2fo 24 ^ o/U ;5 

092 2/2_x2 24 W' 12 ~ 0/2 V y 

Die Doppelsummen auf der linken Seite dieser Formeln sind 

so zu verstehen, daß zuerst die Summation in bezug auf x, dann 

die Summation in bezug auf y auszuführen ist. Man kann aber 

auch so summieren, daß man 

m 
(6) < a; < »w, < ^ < w, n = co , — = c» 

nimmt, und dann m und n so ins Unendliche wachsen läßt, daß 
m:n unendlich wird. Daß beides dasselbe gibt, kann man auf 
verschiedene Weise zeigen, z. B. durch Vergleichung der Summen 
mit Integralen. 

Setzt man also, wie in § 147, (10), indem man ^, ^ an die 
Bedingung (6) bindet: 



r,y 



^ ^ r, = So x,y gerade, 

«2 y-1 x^ 



SO folgt aus (5); 



^= Sx x^ y ungerade, 

z= Sc^ X ungerade, y gerade, 

= S^ X gerade, y ungerade. 



§ 149. Entwickelungen für die Funktion log /; (lo). 559 

So -]- S^ — So — S3 = -^^ 2^ + 7ti\ogf{a), 

So — S, — S^ ^ Ss = — jj^ 2J~ + ^ ^ ^og A (")' 

Äo - S, + Ä, _ 53 = ^ -f i^ + ;rnogA(co). 

Daraus durch Addition: 

3So — S,~ S, — Ss = ^ i log V2 , 
und wenn man So eliminiert: 

IS,-IS,-IS, = ^ - ^ - X logV2 + ;rnog/(«), 
■I Ä, - f 5, + I A3 - — ^ - ^ - ^ log 1/2 + ^üog A («), 

.fÄ,+f5,-|Ä3= ^ + ^_!|!logV2 + ;rilog/-,(«). 

Man kann nun ebenso wie vorhin von den Summen S zu 
den S' übergehen, in denen x, y relativ j^rim sind, und findet: 



log^(«) = llog V2 + |^(-« + ^ - 4S; + 2S^ 4- 2Ä3), 
(7) logA(co) = ilog V2 + |^(-« - I -h 2a; + 26'^ - 4S3), 

log^C«) = ilog V2 -f- ^(-« - 1 + 2S; - 4Ä^ 4- 2 Sl). 

Diese Formeln stimmen der Form nach mit § 147, (11) 
überein, was insofern auffallend ist, als die Art des Grenz- 
überganges beide Male eine verschiedene ist. 

§ 149. Entwickelungen für die Punktion log r] (0). 

Betrachten wir die Summe 

3--!/ 1 

(1) U = Z 



{x -|- coijY^'' 
erstreckt über alle x^ y mit Ausnahme der Kombination 0, 0. 

Indem man die Glieder mit y = absondert, kann man 
dafür setzen: 

(2) U=2^ — ^2^ S(.r I „»)2^-' 

1, 00 1, X GO. X ^ ' ^ ^ 

sodann ist 



560 Zweiundzwanzigster Absclinitt. § 149. 

r(2s) 



[ — ^Tti^x -j- oj y)\ '■ 



ö 

1 

0,cc 

Summiert mau nun nach x und wendet die Fouriersche 
Reihe an: i 



so folgt: p/9.N -^ 1 « 

^ '— OOjtB^ ' -^^ 1,00 

und durch Summation nach y: 



1, 00 (30 , 00 

_ _ 1 >^ (?log(l— e^^'^") 
'^ ^ 27t i ^ da 



IV 



Hiernach bekommen wir durch den Grenzübergang mit Rück- 
sicht auf die Definition der Funktion t] (to) [§ 24, (8)] : 

T • ^ ^ 1 fHog »j (co) jr2 
Lim > > 7 , :r^ ^= — Im -,- -r ■ 

Ferner ist i jj.2 

und demnach folgt (1) uud (2): 

/o\ T- ^ ^ 1 .dlogt](a) 

(3) Lim > 7 : TT^ = — 4.711 , ' ^ ^ 

^^ s = i ^^ {x -^ a yY' da 

[zu summieren, wie zu (1) angegeben]. Wollte man hier unter dem 

Summenzeichen zur Grenze übergehen, so w^ürde man erhalten: 

(4) _ cnog,(o,) ^^ 1 

^ ^ da ^^ {x ~\- ayy 

dann aber würde man eine nur bedingt konvergente Summe 
haben, und es müßte eine genaue Art des Grenzüberganges fest- 
gestellt werden. Man müßte in der a;;?/- Ebene eine geschlossene 
Kurve annehmen, innerhalb deren die Punkte x, y liegen, und 
dann diese Kurve ins Unendliche hinausrücken lassen. Der Wert 
der Summe wird von der Beschaffenheit dieser Kurve abhängen. 
Vielleicht ergibt sich dafür die Ellipse \x -\- ay\ = n. An sich 
hat die Formel (4) keinen Sinn. 



VIERTES BUCH. 



KLASSENKÖRPER. 



Weber, Algebra. III. Qß 



Dreiundzwanzigster Abschnitt. 

Der Teilungskörper. 



§ 150. Die homogenen Weierstrass sehen Funktionen. 

Wir waren in § 114 von der Frage ausgegangen, unter welchen 
Voraussetzungen eine dopjDelt periodische Funktion (p{u) mit den 
Perioden Wj , co^ eine Multiplikation cp (ju, «) gestattet , d. h. unter 
welchen Umständen fi toj , ja cog sich linear und ganzzahlig durch 
«1, a>2 ausdrücken lassen, und waren zu dem Resultat gelangt, daß 
dies bei veränderlichem cji, Wg nur möglich ist, wenn ft eine 
ganze rationale Zahl ist, und daß nur, wenn 



C0.2 



^^) '" CO 

tOi 

eine imaginäre quadratische Irrationalzahl ist, auch ^ eine kom- 
plexe Zahl desselben Körpers wie co sein kann. Es kommt jetzt 
darauf an, die aus dieser Annahme folgenden Formeln der kom- 
plexen Multiplikation etwas genauer zu erforschen. 

Wir wollen zunächst, als das formal einfachere, die kom- 
plexe Multiplikation der Weierstrassschen elliptischen Funktion 
CQ (u) untersuchen, müssen dann aber auch noch die komplexe 
Multiplikation der Jacob ischen elliptischen Funktionen in Be- 
tracht ziehen. 

In den § 87, (8), § 46, (13) haben wir die Formeln für die 
Homogeneität der Funktionen ö(«), ^ («) und der Invarianten 
g^i ffsi 16 6r = g^ — 27^3- abgeleitet, die wir hier noch einmal 
zusammenstellen : 

p (A«, Aöj, Awa) = /1.-2 p (m, cj,, oja), 
( ) r/2(AcOi, Ico^) = l-Uj^{co^, a^), 

G(AtOi, /Imo) = ^~^^ Cr {cOi^ 03.2)^ 

36* 



564 Dreiundzwanzigster Abschnitt. § 150. 

und die Funktionen § 46, (12), (15), (16): 

-V^=^(«), 

^^' 4 27 27 a? 

^ %\ ^^ =i(«)- 27.64, 

ö/2^ = 2«:nCl2>^(c5)24 

hängen von dem Verhältnis (1) ab. 

In § 54, (4), (5) sind noch die eindeutigen Funktionen von co; 

definiert. 

Aus der letzten Gleichung (3) erkennt man [etwa aus der 
Entwickelung von ^(w), § 24, (8)], daß G nicht verschwinden 
kann, solange o einen positiv imaginären Bestandteil hat, und 
folglich können auch g^^ g^ nicht beide zugleich verschwinden. 

Aus den Eeihenentwickelungen des § 56 ergibt sich: 

m, n ^^2 )■ + 1 

(5) 6{u) = 2; a^^ni\g^Y{2g^Y ^^^ ^ ^^, , 

V = 2 m -|- 3 w, 
worin die rationalen Koeffizienten a^, „ nur Potenzen von 3 im 
Nenner haben können (nach Schwarz-Weierstrass sind es 
ganze Zahlen, worauf es hier aber nicht ankommt). 
Ebenso ist 

(6) p {u) = ^&„,„(i(7,)'" (2^3)" ^S^\)\ 

mit rationalen Koeffizienten &„^„. Um Funktionen von zwei 
Variablen zu erhalten, machen wir folgende Substitution: 

Wenn von den beiden Invarianten g^^ g^ keine verschwindet, 
so setzen wir: 

(7) u= |/i^ w, 

also /f,i\m\n /fj2\m + -2 

gT9^u^' + ^ = [§) ( ' 
und dadurch ergibt sich aus (5): 



pr »."«"+• = (f j'^'d)"*"!/-^ «"+", 



§ 150. Die homogenen Weierstrassschen Funktionen. 565 

worin die J.w,n rationale Zahlen sind, die im Nenner nur Potenzen 
von 2 und von 3 enthalten können. 

In gleicher Weise ergibt sich aus der Reihenentwickelung 
(6) für die ^-Funktion: 

(9) ^ p (u) = 2J B^,„r^n^j _ 27.64)'" + ^- ^^^'^^^^, , 

worin die -B„i,„ rationale Zahlkoeffizienten sind. Daß auch sie 
nur Potenzen von 2 und 3 im Nenner haben, machen die ersten 
Fälle wahrscheinlich, kommt aber für uns jetzt nicht in Betracht. 
Ist ^2 oder g^ gleich Null, so ist die Substitution (7) nicht 
brauchbar. Ist zunächst 

93 = 0, 
so fallen in den Pteihen für 6{u) und p (u) die Glieder weg, in 
denen n positiv ist. Es ist dann 

p{u) = ^Ko9T ^.2m^iy/ 
Wir setzen dann 

_ 1 

iv 



(10) 

und erhalten 


U = ^2 


(11) 


1 m 

g,*6{u) = 2JA, 

1 m 

g, ' p{ii) = ÜB, 



w 



4OT+ 1 



(4 m + 1)!' 



(4„i -f- 1)!' 

wenn A^^ B^ wieder rationale Zahlen sind. 
Ist endlich 

92 = 0, 
so setzen wir 

(12) u = g~Kc, 

und erhalten 



1 n ^,,6 

g'^ö{u) = 2JAn 



(13) 



(6n + l)r 

_i n ^^.Cn— 2 

In den Entwickelungen (8), (9), (11), (13) ist 

(14) ^0 = 1, ^00 = 1, A = 1, Bo=^. 



566 Dreiundzwanzigster Abschnitt. § 151. 

§ 151. Die komplexe Multiplikation der Funktion ^ (ii). 

Wir nehmen jetzt an, die Perioden Wj, o.j der Funktion p (u) 
genügen einer quadratischen Gleichung 

(1) J.aj| + Bco^co, + Ca^ = 0, 

in der Ä^ B, C ganze rationale Zahlen ohne gemeinschaftlichen 
Teiler sind. Es sei Ä positiv, und die Diskriminante der qua- 
dratischen Form (A, i?, C) 

(2) B'- — 4:ÄC = ^ 

sei eine negative Stammdiskriminante, d. h. es enthalte z/ 
keinen quadratischen Faktor, nach dessen Absonderung eine Dis- 
kriminante übrig bleibt (§ 84). 
Setzen wir 



(3) « = 



C32 



03 



so folgt aus (1): 

(4) 2Aco = — J5-f ]/2, 

und wenn wir y^ positiv imaginär annehmen, so erhält w einen 

positiv imaginären Teil und kann als Modul einer 0-- Funktion 

dienen, z/ ist die Grundzahl eines imaginären quadratischen 

Körpers, den wir mit Sl bezeichnen i). 

Durch die singulare Invariante j (o) wird der Klassenkörper 
^(z/) bestimmt, dessen Relativgrad in bezug auf Sl gleich der 
Klassenzahl der Diskriminante z/ ist. Die ganzen Zahlen des 
quadratischen Körpers Sl = 9J (V^/) sind von der Form : 

(6) ^ = ^ + y v^ , 

worin x und y ganze rationale Zahlen sind, die der Bedingung 

X ^ B y (mod 2) 
genügen. Zu der durch (5) definierten Zahl ^ bestimmen wir 
vier ganze rationale Zahlen o, &, c, 0: 

X -4- By j . 

C r= — C>, g = ^, 



^) Die Annahme, daß J Stammdiskriminante sei, ist hier zur Verein- 
fachung gemacht. In meiner Abhandlung „Über Zahlgruppen in algel)rai- 
schen Körpern" (Mathematische Annalen, Bd. L) ist diese Annahme nicht 
gemacht. Man erhält dann allgemeinere Kiirper, die zu den Ordnungen 
gehören, wie in § 124. 



§ 151. Die komplexe Multiplikation der Funktion p (u). 567 

woraus : 

(7) ad — hc — j — ^ = ^ ([i' = m, 



wenn 
(8) 



II M 



2 

die zu ft konjugierte Zahl des Körpers ß ist. 

Nehmen wir y von Null verschieden, so folgt aus (1) durch 
Multiplikation mit xj: 

h ta| -[- (rt — d) «2 «1 — c ö]J^ ■= 0, 
und dafür kann man auch schreiben : 

(a (o^ -\- h ojg) «2 ^ (c coy -[- d «a) öj 
oder 

c -\- d CO 



(9) 



a -f- ^ ^ 
Nach (4) und (5) folgt aus (6): 

X -^ {2Aco ^ B)y 



(10) a-\-bc} 

c -\- d ca = iioj^ 
oder in homogener Form: 

ft«i = «COi -f Öfd2, 
^(02 = C«! -f- 9 (»2, 

und durch Auflösung dieser linearen Gleichungen: 
ft'Wl = 8wi — i«2, 

Daraus ergibt sich , daß p (^ u) eine doppelt - periodische 

Funktion mit den Perioden öj, co^ ist, und da sie außerdem eine 

gerade Funktion von u ist, so läßt sie sich rational durch p (u) 

darstellen (§ 21). Wenn wir also mit R und P ganze rationale 

Funktionen von p (u) ohne gemeinschaftlichen Teiler bezeichnen, 

so ist 

■p 

(13) pi^u) = p- 

Da der Quotient p (^ii) : p (u) für u = 0, d. h. für p {u) = cc , 
endlich bleibt, so ist der Grad von R um eine Einheit höher als 
der Grad des Nenners. 



568 Dreiundzwanzigster Abschnitt. § 152. 

§ 152. Die Pole der Funktion p (fi ii). 
Um den Grad der Fimktioneu E und P festzustellen, müssen 
wir die Nullstellen von P, also die Unendlichkeitsstellen von 
pijiu), abzählen, die nicht zugleich Unendlichkeitsstellen von 
p iu) sind. Es wird aber p (fi u) : p (m) dann und nur dann 
unendlich, wenn 

^ ' \^ 

wird, wenn \^ li^ ganze Zahlen sind, wenn h-^co-^ -|- \co^^ aber 
nicht (/i-i cl>i -|- ^h «2) • f^ G™6 Periode ist. Setzen wir also 

(2) ^^^'^^'^^iÜFÖÖl' 

und bezeichnen mit g die Wurzeln von P« (:r), so ist 

/h-, (Ox -^ lio (Oo^ 

(3) '' = sn-^ 

Die Zahl g ändert sich nicht, wenn /^j und 7*2 um Vielfache 
von m ^ ^^' geändert werden, weil dadurch nach (11), § 151 
das Argument der ^/? -Funktionen um eine Periode geändert wird. 

Da die Funktionen p (u) und p (ft u) nicht geändert werden, 
wenn wir die Periode w^, «3 einer linearen Transformation mit 
der Determinante 1 unterwerfen, so beschränken wir die Allgemein- 
heit nicht, wenn wir annehmen, Ä sei relativ prim zu m und 
wegen der Periodizität von p (u) können wir daher auch setzen : 

^hi CO, -|- 7^2 Ä «2 

9 -= p- 



CO 



Wegen der Homogenität von p (11) können wir nun «^ 1= 1, 
= 03 setzen und erhalten nach § 151, (4): 



— p + V^ 

Aca = ^ — - — 



und demnach ist 



(4) hl «1 -f /i2 Acj^ = h, ^ 1h y 2 y 

Wenn wir daher _ 



setzen, so ergibt sich aus (3): 

(6) *=S^©' 



§ 152. Die Pole der Funktion p (ß u). 569 

worin v ebenso wie ^ eine ganze Zahl des Körpers P^ ist, die 
nicht durch fi teilbar ist. 

Ist diese Bedingung erfüllt, so ist g eine Wurzel von Ffi{x). 
Weil aber p(^u) in der *t- Ebene für u^O (modd. «i, «2) 
unendlich in der zweiten Ordnung wird, so ist P,u(^) durch 
(x — gY teilbar, es sei denn, daß 

p (u) — g 

für u = v.^ selbst in der zweiten Ordnung verschwindet; dies 
tritt wegen § 46, (18) dann ein, wenn 

ist, also wenn v.^ eine halbe Periode ist, und also 

(6) g = ßi, ^2, es 

wird. 

1. Nach (4) ist, wenn oj^ = 1, «3 =^ o) gesetzt ist, 
jede ganze Zahl des Körpers Sl eine Periode von (u). 
Dies gilt nicht umgekehrt; da aber Äco eine ganze 
Zahl in Sl ist, so muß jede Periode durch Multipli- 
kation mit A in eine ganze Zahl verwandelt werden. 
Daraus folgt, daß zwei Werte 

v\ , /' V 



dann und nur dann einander gleich sind, wenn 

V ^ + v' (mod ^) 

ist. Denn ist g = g', so muß entweder 

V -\- v' , V — v' 

oder 



durch Multiplikation mit A in eine ganze Zahl verwandelt werden. 
A ist aber relativ prim zu ^, und folglich muß eine dieser beiden 
Zahlen selbst ganz sein. Die Anzahl der inkongruenten Werte 
von V ist aber gleich. N{^) = m (Bd. II, § 165). 

Lassen wir also v ein volles Restsystem nach dem Modul fi 
mit Ausschluß der Null durchlaufen, so bekommen wir jeden 
Wert von g zweimal, außer wenn 
(7) 2v = (mod ft), . 

und in diesem Falle ist p [ — ) einer der Werte e. Daraus folgt : 



570 Dreiundzwanzigster Abschnitt. § 152. 

(8) P,{x) = n\^x - ^o (^)], 

und P^ (x) ist vom Grade m — 1. 

In dem Produkt P« {x) kommt jeder Faktor x — g zwei- 
mal vor, außer wenn g einem der e gleich ist, wenn also die 
Kongruenz (7) für ein von Null verschiedenes v erfüllt werden 
kann. 

1) Wenn yi relativ prim zu 2 ist, also wenn m ungerade 
ist, so hat die Kongruenz (7) nur die Wurzel v = 0. Dann ist 
Pu ipc) ein Quadrat , und wenn S {oc) eine Funktion vom Grade 
i(w — 1) ist, 

(9) F^{x) = S\ m = 1 (mod 2). 

Wenn ,u mit 2 einen Teiler gemein hat, sind drei Fälle zu 
unterscheiden. 

2) Wenn ^ durch 2 teilbar ist, so muß t, wenn es der 
Kongruenz (7) genügen soll, ein Vielfaches von \ii sein, und da 
es drei von Null verschiedene nach dem Modul 2 inkongruente 
Zahlen in ß gibt, so hat (7) drei Wurzeln. Es kommen also 
unter den g die drei Werte Cj, e^^, e^ vor, und wir haben: 

(10) P„(.r) = ^ö>'(^0''S^ w = (mod 2), 
worin S eine ganze Funktion vom Grade \m — 2 ist. 

3) Wenn 2 im Körper 5i in zwei (gleiche oder verschiedene) 
Primideale zerfällt, also wenn z/ ^ (mod 4) oder ^ 1 (mod 8) 
ist, so kann fi durch einen dieser Primfaktoren teilbar sein, ohne 
durch 2 teilbar zu sein. Dann hat die Kongruenz (7) nur eine 
von Null verschiedene Wurzel und es kommt unter den Zahlen g 
nur eine der drei Zahlen (6), etwa e, vor. In diesem Falle ist 

(11) l'.{^) = [<p{n)-e\S\ 
worin S eine Funktion vom Grade \m — 1 ist. 

In bezug auf die beiden besonderen Fälle ^3 = und g.^ = 
ist noch folgendes zu bemerken. 

4) Wenn ^3 = ist, so ist z/ =: — 4, j(co) = 0, und es 
ergibt sich aus der Differentialgleichung § 46, (18): 

p'(uy = 4:p{uy — g,p{u), 

durch die mit Rücksicht auf das Anfangsglied der Entwickelung 
die p -Funktion eindeutig bestimmt ist. 



§ 153. Die Funktion i (u). 571 

Ersetzt man dann u durch iu, so folgt: 

— [p'(*'«0]' = 4 pH^^O — 0-2 p (iu), 
und daraus: 

(12) p(iu) = —p{u). 

Die Größen g sind also einander paarweise entgegengesetzt, 
eine der drei Größen e,, Cgi ^s ist gleich Null, die beiden anderen 
ebenfalls entgegengesetzt gleich. Daraus folgt, daß in den For- 
meln (9) bis (11) die Funktion S in diesem Falle nur die 
geraden Potenzen von ^ (w) enthalten kann. 

5) Ist g.2 = 0, so ist zJ = — 3, i(«) = 64.27, und es ist, 
wenn mit q eine imaginäre dritte Einheitswurzel bezeichnet wird: 

(13) ^o (m) = Qp (q^k) = Q^ p {q m), 

und die Wurzeln g von *S' ordnen sich zu dreien in der Weise: 

(14) g, gg, g^'g. 

Unter diesen drei Werten sind nur dann zwei einander gleich, 
wenn sie alle drei verschwinden. Aus (13) aber ergibt sich, daß 
dies eintritt, wenn ii mit einem der Werte +1:"^ — 3 kongruent 
wird. Denn für z/ = — 3 sind 1, 9, q^ Perioden von (m), und 
da nun 

Q-^ = 1 



ist, so ist nach (13): 

und der Wert Null kommt also unter den g dann und nur dann 
vor, wenn m durch 3 teilbar ist. 
Daraus folgt: 

Ist ^ = — 3 und m ^ (mod 3), so ist S:p{u) eine 

rationale Funktion von p (ti)'-: 
Ist z/ = — 3 und m ^ 1 (mod 3), so ist S selbst eine 
rationale Funktion von p («)3. 
[Da m die Form \{x^ -\- 3 y^) haben muß , so kann hier nt 
nicht ^ — 1 (mod 3) sein.] 

§ 153. Die Funktion t(m). 

Wir führen nun nach § 150 (6), (8), (9), (10), (12), (13j eine 
Funktion r = t(u) ein, die nur von zwei Argumenten u\ 03 ab- 
hängt, indem wir setzen: 



572 Dreiunclzwanzigster Abschnitt. § 153. 

ü Q 

a) t{u) = "^yp pi!^^)i iii^ allgemeinen, 

CO {uy 

(1) b) = ^— — , wenn g^ = 0, 

c) = — - — , wenn g^, = 0. 

Und wenn dann ^ wie oben eine ganze Zahl des Körpers ü 
ist, so können wir in allen drei Fällen setzen: 

(2) '(C«) = Ig. 

worin 3», "^ ganze Funktionen von r sind, die bis auf konstante 
Faktoren im Falle (1) a) mit E, P des vorigen Paragraphen 
übereinstimmen, in den Fällen (1) b) und (1) c) daraus durch 
Erhebung ins Quadrat oder in den Kubus hervorgehen [§ 152, 
4), 5)]. 

Wir richten den Bruch (2) so ein, daß die höchste Potenz 
von T im Nenner O den Koeffizienten 1 hat. Die übrigen Koeffi- 
zienten von sind dann rational zusammengesetzt aus Größen 
der Form 

\^J \ m 

und da v ^' eine Periode von x ist, so gehören diese Größen zu 
den Wurzeln der Teilungsgleichung der Perioden, und sind daher, 
da der Modul der entsprechenden elliptischen Funktionen eine 
algebraische Zahl ist, selbst algebraische Zahlen (§ 58, § 61), 
Daraus folgt: 

2. Die Koeffizienten in ^ (r) sind algebraische 
Zahlen. 

Wir erweitern den Bruch *J*" : O durch Multiplikation von 
Zähler und Nenner mit dem Produkt der konjugierten Werte 
O', O", 0"\ . . . und erhalten : 

(3) r(^M) = ^, 

worin nun Z und JV ganze Funktionen von x sind, die einen 
gemeinsamen Teiler enthalten können, wobei jedoch 'N rationale 
Zahlenkoeffizienten hat. 



§ 154. Der Teilungskörper. 573 

Nach § 150, (8), (10), (13) beginnt die Entwickelung von 
t(u) nach steigenden Potenzen von u mit einer negativen Potenz 
von u. Wir ordnen in der Gleichung 
(4) r (n u) N = Z 

die Funktion Z nach fallenden Potenzen von r, entwickeln beide 
Seiten nach steigenden Potenzen von u und vergleichen die 
Koeffizienten gleich hoher Potenzen von u. Dann bekommen 
wir für die Bestimmung der Koeffizienten von Z eine Reihe 
linearer Gleichungen, deren jede folgende nur einen neuen dieser 
Koeffizienten enthält, und daraus können diese Koeffizienten 
successive rational berechnet werden. Beachtet man nun die 
Form der Entwickelungen des § 150, so ergibt sich, daß die Koeffi- 
zienten von Z rationale Funktionen von J{g)) und y^ sind. 

Befreit man nach dem Euklidischen Algorithmus N und Z 
von gemeinschaftlichen Faktoren, so kommt man zu den Funk- 
tionen 'jP", zurück, und es ergibt sich, wenn wir unter dem 
Klassenkörper den Inbegriff der rationalen Funktionen von 
"^zi und j (ra) verstehen : 

3. Die Koeffizienten der Funktionen 0(t), W{t) 
in (2) gehören dem Klassenkörper an. 

§ 154. Der Teilungskörper. 

Wenn wir (durch rationale Rechnung) die Funktion ^ (x) von 
allen mehrfach darin vorkommenden Faktoren befreien, so bleibt 
eine ganze Funktion T„ (x) von x übrig, deren Koeffizienten dem 
Klassenkörper angehören, und die Wurzeln von Tfj,(x) sind sämt- 
liche voneinander verschiedene unter den Größen 



« <f}- 




Zwei dieser Größen 




<7)- <^ 




sind einander gleich, 




V v' 
im Falle (1) a), wenn — ^ +— , 
fl — u 




V v' v' 
(l) b), wenn — ^ +— ^ -\-i — , 




(1) c), wenn — ^ 4 — , + P — , 


±^^f 



574 Dreiimdzwanzigster Abschnitt. § 154. 

worin die Kongruenz auf die Perioden bezogen wird, also (§ 152, 1.) 

im Falle a), wenn v ^ + ""''i 

(2) b), wenn v ^ + v', ^iv' (mod fi), 
c), wenn v^^v'^ dzC*^'- +()^t^'. 

Es seien jetzt 

(3) ^i = am, fij = tii m 

zwei ganze Zahlen mit dem größten gemeinschaftlichen Ideal- 
teiler m im Körper il. Dann haben T« und Tuj einen gemein- 
samen Linearteiler, wenn 

und dies findet nach (2) dann und nur dann statt, wenn 

(5) /iVi ^ £f^ii' (mod ^^i), 

worin s eine Einheit des Körpers Sl ist, also £ = +1 im all- 
gemeinen, £ = + 1, +?, wenn z/ = — 4, und £ = i li.i^i dIP^ 
wenn z/ = — 3 ist. Aus (5) folgt aber, daß v durch n und j'^ 
durch Ol teilbar sein muß. 

Denken wir uns v gegeben und v^ gesucht, so ist die Kon- 
gruenz (5) nur möglich , wenn ^^ v durch ^ teilbar ist , und da 
a und Qi relativ prim sind, so muß v durch a teilbar sein. Ist 
a eine durch n teilbare ganze Zahl in ß, so beschaffen, daß 
a '. a relativ prim zu ni ist, so können wir demnach 

(6) V ^ ah, (mod ft) 

setzen (Bd. II, § 166, 7.) und erhalten die sämtlichen voneinander 

verschiedenen Werte ^( — ), und jeden zwei-, vier- oder sechsmal, 

wenn wir | ein volles Restsystem nach dem Modul ni durchlaufen 
lassen (mit Ausschluß der Null). Man erhält dann die sämtlichen 
gemeinsamen Wurzeln von Tu und T„j in der Form 



Der größte gemeinschaftliche Teiler D,,, von T,, und T^^ hat 
also alle die Größen (7) zu Wurzeln. Aus i),„ läßt sich noch 
auf rationalem Wege ein Teiler T,,, absondern, der nur die unter 
den Größen (7) zu Wurzeln hat, in denen h, relativ prim zu m 
ist, wenn man J9,„ von allen Faktoren befreit, die es mit einem 
IJ,n< gemein hat, wenn m' ein Teiler von m ist. Da in dieser 



§ 154. Der Teiluugskörper. 575 

Betrachtung in (3) iii jedes beliebige Ideal in Sl bedeuten kann, 
so kommen wir zu folgendem Hauptsatz: 

4. Ist in ein beliebiges Ideal des Körpers Sl, so 
existiert eine Funktion T^ in Sl^ deren Wurzeln 
die voneinander verschiedenen der Zahlen t. sind, 
wenn | ein System inkongruenter, zu in teiler- 
fremder Zahlen durchläuft. 

Um den Grad der Funktion T,,, zu bestimmen, bemerken 
wir, daß zwei Größen r^, rt, nur dann einander gleich sind, wenn 

(8) ^ = s r (mod m) 

ist. Es werden also so viele von den t^ einander gleich, als es 
modulo 111 inkongruente Einheiten gibt; das sind im allgemeinen 
zwei, für z/ = — 4 sind es vier und für zJ = — 3 sind es sechs. 
Diese Zahlen verringern sich aber wiederum, wenn verschiedene 
der Einheiten s nach dem Modul m kongruent sind, wenn also 
1 — f durch 111 teilbar ist. Das kann aber nur vorkommen, 
wenn iii ein Teiler von 2 oder von 3 ist. Also: 

5. Der Grad der Funktion T,„ ist gleich der An- 
zahl i'(m) (Bd. II, § 168) der nach dem Modul m in- 
kongruenten, zu m teilerfremden Zahlen in Sl, 
geteilt durch die Anzahl der nach m inkongruenten 
Einheiten in Sl. 

Die Wurzeln der Funktion T,„ bestimmen einen algebraischen 
Körper 2,,, über dem Klassenkörper, dessen relativer Grad höch- 
stens gleich dem Grade von T„i ist, und beide Grade sind gleich, 
wenn T„i irreduzibel ist. 

6. Diesen Körper X,„ wollen wir den Teilungs- 
körper für den Modul m nennen. 

Diese Teilungskörper spielen für den Körper Sl eine ähnliche 
Rolle, wie die Kreisteilungskörper für den Körper der rationalen 
Zahlen, nur daß sich hier noch der Klassenkörper dazwischen 
schiebt, zu dem es im Körper der rationalen Zahlen, ebenso wie 
in jedem einklassigen Körper, kein Analogon gibt. 

Nach dem Multiplikationstheorem (§ 151) kann 

(9) t{^u) = Od^iu)] 

rational durch r(tt) ausgedrückt werden. Setzen wir t« = $ — , 
so folgt: 

(10) ,_^^, = ,(£p) = «.(,^,,), 



576 Dreiundzwanzigster Abschnitt. § 155. 

und folglich durch Vertauschung von | mit |': 
(11) 6,(r^,) = Ö,.(r^), 

und damit nach Bd. I, § 169: 

7. Der Teilungskörper ist in bezug auf den 
Klassenkörper relativ Abelsch. 

Die Zahlen |, nach dem Modul in genommen, bilden bei der 
Multiplikation eine Gruppe, und die Relativgruppe des Teilungs- 
körpers ist mit dieser Gruppe isomorph (oder wenigstens mit 
einem Teiler dieser Gruppe. Die Irreduzibilität von T,„ wird 
weiterhin bewiesen werden, wodurch dann die Gruppe von %m 
selbst festgestellt ist). 

§ 155. Multiplikation der elliptischen Funktionen für einen 
ungeraden Multiplikator. 

Für den Nachweis der Existenz des Teilungskörpers ist die 
Benutzung der W ei erstrass sehen Funktion und der daraus ab- 
geleiteten r- Funktion sehr zweckmäßig, und es wäre am be- 
quemsten, wenn man darauf auch die weitere Untersuchung dieses 
Körpers gründen könnte. Dafür aber ist die arithmetische Natur 
der Multiplikationsformeln noch nicht genügend bekannt, und es 
ist darum zurzeit noch notwendig, die komplexe Multiplikation 
und Teilung auch der Jac ob i sehen elliptischen Funktionen zu 
betrachten. 

Hierbei wollen wir den Multiplikationsformeln, die wir in § 57 
abgeleitet haben, noch eine etwas andere Gestalt geben. 

Wir betrachten zunächst durchweg den Multiplikator m als 
ungerade Zahl. Wir setzen, wenn 

(') " = w" 

den Modul der elliptischen Funktionen bedeutet, nach Kro- 
und entwickeln diesen Ausdruck nach steigenden Potenzen von 



') Zur Theorie der elliptischen Funktionen. Sitzungsbericht der Berliner 
Akademie vom 29. Juli 1886. 



§ 155. Multiplikation der elliptischen Funktionen. 577 

Man kann die Form dieser Entwickelung aus den Produkt- 
formeln [§ 24, (11)]: 

1 /l _i_ Q^^--i\i 1 / 1 4- rt2r X4 

A = q-jn('-^~L^) -f IG52 77^ ' ^ ^ ^ 



1 + y^' y ' " VI + ^/'-i 

ableiten, und findet: 

(3) A = q~^- (1 +^i^+ A,52_^A3^/ + ...), 

worin die Konstanten A^, Ag, A3, ... ganze rationale Zahlen sind. 
Setzen wir ferner 

(4) x -= ]'% sn (4^ jc 

so bleibt (4) nach § 45, (9) ungeändert, wenn x mit 1 :5c vertauscht 
wird. Es genügt x der Differentialgleichuug 

(5) (|^y=i _.,.» + .. 

Entwickelt man also x nach dem Taylorscheu Lehrsatz in 
eine Reihe nach steigenden Potenzen von w: 

(6) X = n- -j- Xj ic^ -(- X2 it?' . . . , 

so sind die Koeffizienten Xj, X^, ... ganze rationale 
Funktionen von A mit rationalen Zahlenkoeffizienten, 
wie sich aus (5) nach der Methode der unbestimmten Koeffizien- 
ten ergibt. 

Benutzt man die Bezeiclmung von § 42, so ist 

(7) , = V7sn« = ^> 

und nach § 57, IV. mit einer etwas modifizierten Bedeutung der 
A, B, C, D: 

X JL \X) 

X snmw = -r, / / , 
D{x) 



(8) cn«r.= |/l__^j, 

Awmv = Vi — '^x- -tA-{ • 

Hier sind A{x)^ B{x), C{x), D{x) ganze rationale Funktionen 
von x vom Grade \{m^ — 1), und es ist aus den Rekursions- 
formeln § 57, (13), (14) zu ersehen, daio die Funktionen Ä^ B und 
das Produkt B C ganze rationale Funktionen von A sind , deren 

Weber, Algebra. III. oy 



578 



Dreiundzwanzisfster Abschnitt. § 155. 



Zahlenkoeffizienten rational sind. Daß es ganze Zahlen sind, ist 
wegen des Neuners 2, der zunächst auftritt, nicht zu ersehen. 

Um dies näher zu untersuchen, betrachten wir die Wurzeln 
der Funktion ^(a): Sie sind, wenn gesetzt wird: 

_ 2 // K + 2 h' i. K' 



(9) Xu, v = V >« sn iln, w 



^n 


/h 4- h' 
V m 


CO 

5 


.) 


^M 


/h -f h' 


03 


.\ 



m 



worin hji' irgend welche ganze Zahlen sein können; nur dürfen 
sie nicht beide gleich Null sein. Man erhält alle Wurzeln von 
Ä{x), wenn man Ji, h' je ein volles Restsystem nach dem Modul 
m durchlaufen läßt, abgesehen von der Kombination 0,0. Es ist 
dann 

— i U {— 1)' e '» q^ '' "'^ 

(lUj Xh,h' j, 2niv h f . , h^y 

U {—\y e '" 5^' '"^ 

Um diesen Ausdruck nach steigenden Potenzen von q zu ent- 
wickeln, muß man zunächst die niedrigste Potenz von q im Nenner 

aufsuchen, d. h. das Glied, in dem v -1 so klein als möglich 

wird: Dies findet statt, wenn v die zunächst an — h'/m gelegene 
ganze Zahl ist. Es gibt, da m ungerade ist, nur eine solche 
Zahl V, und die Formel (10) erhält die Gestalt: 

(11) Xn,n' = Y^^ = Q,- QrQ2-^QiQ:^--". 

worin Q^ und Q^ nach steigenden Potenzen von q geordnete Reihen 
sind, deren Koeffizienten ganze algebraische Zahlen (Kreis- 
teilungszahlen) sind. 

Demnach läßt sich Xh,h' nach steigenden Potenzen 
von q entwickeln und die Koeffizienten dieser Entwicke- 
lung sind ganze algebraische Zahlen. 

Ist S eine symmetrische Funktion der Xh,h' mit rationalen 
ganzzahligen Koeffizienten, so läßt auch diese sich in derselben 
Weise nach Potenzen von q entwickeln. Andererseits ist S nach 
dem Fundamentalsatz über symmetrische Funktionen rational durch 



§ 155. Multiplikation der elliptischen Funktionen. 579 

die Koeffizienten von^(a;) ausdrückbar, ist also eine ganze rationale 
Funktion von X mit rationalen Zahlenkoeffizienten von der Form: 

(12) S= S,V ^ S,X'-^ + S^X'-^^ ISs, 

worin die So, Sj, So, ..., rationale Zahlen sind. Daß es ganze 
Zahlen sind, soll eben bewiesen werden. Das ergibt sich aber 
sehr einfach, wenn man in (12) für A die Entwickelung (3) ein- 
setzt und dann die Koeffizienten gleich hoher Potenzen von g auf 
beiden Seiten miteinander vergleicht. Man bekommt nämlich zur 
Bestimmung der So, Sj, Sg, ..., eine Reihe linearer Gleichungen, 
deren jede folgende nur ein neues Si und zwar mit dem Koeffi- 
zienten 1 enthält, während auf der anderen Seite dieser Glei- 
chungen ganze algebraische Zahlen stehen. Hiernach sind also 
die So, Sj, Sg, ..., ganze algebraische Zahlen, und da sie rational 
sind, sind es auch ganze rationale Zahlen. 

Da wir überdies nach § 57, II und (7) A{Qi) und A{cc) 
kennen, so ergibt sich für A{x) der x\usdruck: 

(13) Aix) — ± a:'»'-! -}- «i .r"^'-^ + «a^»»'"^ + h »^' 

worin die %, ^21 ••••) ganze ganzzahlige Funktionen von 
A sind. 

Ferner ist nach § 57, (7): 

B{x) = ±x"''-'a{j\ 

und folglich: 

(14) ±I)(x) = ±1 -^ a^x"^ ^ a^x^ ^ [- m x"'^-K 

[Das Zeichen + in (13) und (14) ist nach § 57 bestimmt durch 

(-i)M- 

Für die Funktionen B und C gilt die Relation: 

(15) B{x) = x'-^-^c(^^y 

und ihre Wurzeln sind daher zueinander reziprok. Der erste und 
der letzte Koeffizient sind in B und in C gleich der Einheit. 
Die Wurzeln von B sind: 



yh,h' = V?« sn{üh,h''^ K) = \^ 
/h -^ h' CO 



cn ah,h' 
dn Slh,h' 



( h^h'co \ 



^''^ ' ^. C^±^. « 



m 



37^ 



580 Dreiuudzwanzigster AbscLnitt. § 155. 

und lassen sich in folgender Weise entwickeln: 



(2 y + i)7t i 



(17) . -1 e 



U gV »'^ e "' 

Im Nenner dieses Ausdruckes kommt nur ein Glied mit 
niedrigster Potenz von q vor, das man erhält, wenn man für v 
die dem Bruch — h'/m zunächst gelegene ganze Zahl setzt. 

Im Zähler kommt im allgemeinen auch nur ein niedrigstes 
Glied vor, dessen Koeffizient eine Einheit ist. In dem besonderen 
Falle, wo h'/m eine ganze Zahl ist, kommen aber im Zähler zwei 
gleiche niedrigste Glieder vor, nämlich (für h' = 0) v = 0, — 1 . 



Diese geben zusammen 



(7* 2 cos — 
m 



Jl 7t 

und 2 cos — ist eine algebraische Einheit. [Zu schließen aus 
w 

Bd. I, § 144, (19).] 

Demnach läßt sich sowohl der Ausdruck (17), als auch sein 

reziproker Wert nach steigenden Potenzen von q in der Art 

entwickeln, daß der Koeffizient des ersten Gliedes den Wert 1 

hat und alle übrigen Koeffizienten ganze algebraische Zahlen sind. 

Daraus schließt man, ebenso wie in bezug auf Ä(x), daß sich 

B{x)C{x) in der Weise darstellen läßt: 

(18) B{x) C(x) = a:2'«^-2 + b.x^''^'-' H ^ l, 

worin die Jj, 62 • • • ganze rationale Funktionen von A mit ganzen 
rationalen Zahlenkoeffizienten sind. Außerdem sind die Koeffi- 
zienten b, die gleichweit vom Anfang und vom Ende abstehen, 
einander gleich. 

Betrachten wir noch die aus (8) fließende Gleichung: 

(19) xÄ(x) — ^'KsnmvD(x) = 0, 

die in bezug auf x vom Grade r»^ ist. Ihre Wurzeln sind die 
Größen : 

■j/'X Sn V , y X Sn (v -\- ß;;,;,'). 

Das Produkt dieser Wurzeln ist, vom Vorzeichen abgesehen, 
gleich dem unabhängigen Gliede in dieser Gleichung, also gleich 

+ y^ snmr, 
und daraus ergibt sich: 

(20) ± ^—^ — n ] >t sn(y + -<i/,,;.'). 

y X sn v 



^ 156. Übergang zu den singulären Moduln. 581 

§ 156. Übergang zu den singulären Moduln. 

Wir nehmen jetzt an, daß co die Wurzel einer quadratischen 
Gleichung : 

(1) ao2 J^ ba -{- c ^ 
mit der negativen Stammdiskriminaute 

(2) ^ = 62 _ 4ac 

sei. 

Ist dann j (co) die Invariante, so genügt die Größe A [§ 155, 
(2)] der Gleichung 6ten Grades: 

(3) /16 — 9.16A4 — [j((o) — 27.28]A2-f 64[j(w) — 27.64] = 0, 
deren Koeffizienten ganze algebraische Zahlen sind. Folglich ist 
A selbst eine ganze algebraische Zahl (Bd. II, § 154, 11.) 
und in § 135 haben wir gesehen, daß A Klasseninvariante der 
Diskriminante 4 z/ oder 16 z/ ist. 

Wir adjungieren also dem Klassenkörper ^ {/J) die Zahl k 
und erhalten einen Klassenkörper : 

2 = ^(4z/), wenn z/ = (mod4), oder = l(mod8). 
^^^ 2 = ^(16z/), zl =0 (modS). 

Ist li die Klassenzahl von z/, also der Relativgrad von ^(z/) 
in bezug auf den quadratischen Körper ß = 9{ (V^j u^d h' der 
Ilelativgrad von 2 in bezug auf Sl^ so ist (§ 100, § 123): 
h' = h, wenn z/ e^ 1 (mod 8), 

(5) h' = 2h, „ z^ = (mod 4), 
h' = 6 h, „ z/ = 5 (mod 8). 

In dem ersten dieser drei Fälle ist also 8 mit ^ (z/) identisch. 

Durch die Substitution des singulären Moduls co gehen die 
Koeffizienten a^, a^ ..., 6i, b^, ..., in § 155, (13), (18) in ganze 
algebraische Zahlen über, und daraus folgt, Bd. II, § 154, 11., daß 
die Wurzeln von Ä(.x), nämlich: ^ 

(6) y^ snilh^h', ganze Zahlen 
und die Wurzeln von B(x): 

(7) yx T — T^r^, Einheiten 
^ ^ ' dnß/.,,,. 

sind. 



*) Dieser Umstand ist es, der die Einführung von X an Stelle von x 
besonders empfiehlt, weil x im allgemeinen keine ganze Zahl ist, sondern 
erst 4 X. 



582 Dreiundzwanzigster Abschnitt. § 156, 

Nun ist für variable x und v [§ 45, (5)]: 
, . , dn(ry, x') 

(8) du(y,jt) = — y. ^• 

Setzen wir hierin: 

2hK-^2h'iK' 



m 

— 2 h' K' + 2 h 

IV — 



2h' K' ^ 2h iE „, 

ni ' 

80 haben die Sl' dieselbe Bedeutung für x' wie die i^ für x, d. h, 
sie entsprechen der Vertausch ung von («, — 1/to) und es ergibt 
sich aus (7) und (8), daß auch 

, — '' ' eine Einheit ist, 

Vx' 

Es sind also auch 

^ h + h 'co' 



(9) ^ ^'^ ^ 



1/^ cn Slh h' = //. r Ur.\ algebraische Einheiten. 

Aus der Formel § 155, (20) folgt für y = 0: 

(10) ±m = 'n y7sn.^^;,,„ = 77 :r,,;,-. 

1. Die ganzen Zahlen ä;„,u' sind also Teiler der 
Zahl m. 

Wir setzen jetzt, wenn m und n zwei ungerade Zahlen sind: 

2hK^ 2h' iK' 



^h, h' 

Hi,i' 



m 
2lK-\- 2ViK' 



n 



und substituieren in der Formel § 155, (20): 
Dadurch ergibt sich; 

(11) ^—f^ r-^ =77 \x sn{Hi,v + ß/,,;.'). 

I X sn 77, j, 



§ 157. Komplexe Multiplikatoren. " 583 

worin 

„ , _ 2 (/ m 4- Ji n) E -^ 2{l m + h' n) i K' 

mn 

und folglich sind die Faktoren des Produktes (11): 

ganze Zahlen [nach (6)]. Vertauscht man in (11) wieder m und 
M, so folgt: 

(12) -^—=: — ist eine ganze Zahl. 

Dies gilt für beliebige ungerade n, also auch, wenn n relativ 
prim zu m ist, für «~^ (mod ni) und es ist also auch 

Vx SnW-lß;,,;,. . 

- — ^= 7=i eine ganze Zahl. 

Ersetzt man hierin Jiji' durch nh, nh', so folgt, daß auch 

/x sn Slh,h- ■ 7 ,v . . 

-^ — eine ganze Zahl ist, 

yx snnß/,,,,' 

also ist der Quotient (12) eine Einheit, oder anders ausgedrückt: 
2. Durchläuft n eine Reihe ungerader, zu m teiler- 
fremder Zahlen, so sind die ganzen Zahlen: 

(13) yx sn ?iiß;,_;j' 

miteinander assoziiert. 

§ 157. Komplexe Multiplikatoren. 

Es genüge w wie im vorigen Paragraiihen der quadratischen 
Gleichung 

(1) a(o'--^hco-{-c = 

mit negativer Stammdiskriminante 

/l — 1)'^ — 4.ac, 
also sei: 



(2) 



2« 



Wir legen unseren Betrachtungen wie im vorigen Paragraphen 
die Funktion 



584 Dreiundzwanzigster Abschnitt. § 157. 

zugrunde, die wir als Funktion von u = v/2K mit s{it) be- 
zeichnen. Diese Funktion hat dann die durch 

s(« + 1) = — sOO, 

^ ' S(?t -f- w) = S(u) 

ausgedrückte doppelte Periodizität. Alle Perioden von s{u) sind 
in der Form 2 »u -\- nco enthalten , worin w?, n ganze rationale 
Zahlen sind, und gehen also durch Multiplikation mit a in ganze 
Zahlen über. 

Zwei Zahlen u, w', die sich nur um eine Periode unter- 
scheiden, heißen kongruent nach dem Modul 2, co: 
u' ^ u (mod 2, co). 

Da die Funktion sn v einen Wert nur zweimal im 
Periodenparallelogramm annimmt, so wird nur dann 

S{u) r= s(m'), 
wenn entweder 

u ^ u' 

(5) oder (mod 2, co) 

u ^ \ — u' 

ist, und s{u) verschwindet nur, wenn 

M ^ 0, 1 (mod 2, co) 
ist. 

Da jede gebrochene Zahl in Sl durch Multiplikation mit einer 
ganzen rationalen Zahl in eine ganze Zahl verwandelt werden kann, 
so ergibt sich aus § 156, (6) der Satz: 

1. Ist Yi irgend eine gebrochene Zahl des Körpers 
ß, so ist s{ri) eine algebraische Zahl, und wenn ins- 
besondere rj so dargestellt werden kann, daß sein 
Nenner relativ prim zu 2 ist, so ist s{ri) eine ganze 
algebraische Zahl. 

Es sei jetzt 

(6) ^^y^xyjzJ 

eine ganze Zahl in ß, in der :r, y ganze rationale Zahlen sind i), und 

^' = ^ — ^yz/, 

die zu fi konjugierte Zahl. Ferner 

(7) m = ^ ^' = y^ — zlx^ 

die Norm von /u, die wir als ungerade voraussetzen. 

') Im Fall eines geraden ./ kann hiernach ii jede ganze Zahl aus Sl 
sein. Im Fall eines ungeraden J ist ,t/ eine Zahl der Ordnung [2]. 



§ 157. Komplexe Multiplikatoren, 585 

Es ist dann nach (2) 

^ ■:= ij J^ bx -\- 2 aax, 

(8) fx CO ^= — 2cx -^ {y — b x) w , 

m =: (y -{- b x) {y — b x) -f- 4 rt c a:^ , 

woraus folgt, daß 

y -^ b X und y — bx 
ungerade sind. 

Daraus ergibt sich nach (4): 

S[^{u^ 1)] = — sCu«), 

S[i[l(te -|- ö)] = S(^m). 

Die Funktion s{^u) hat also dieselben Perioden wie s{n\ 
und da s{^ti) eine ungerade Funktion von ti ist, so kann sie 
rational durch s{u) ausgedrückt werden. Wir bezeichnen mit 
A{s), D{s) ganze rationale Funktionen von s = s(m), die 
übrigens nur die geraden Potenzen von s enthalten, und setzen: 

(10) S{^li) = llS{u)^y 

Die Werte von S(n), für die s{}iii) Null oder unendlich 
wird, sind nach 3. algebraische Zahlen, und da sich aus diesen 
die Koeffizienten von A und D zusammensetzen lassen, so sind 
diese auch algebraische Zahlen. Um ihre Natur näher zu be- 
stimmen, denken wir uns den Bruch (10) zunächst so erweitert, 
daß D rationale Koeffizienten erhält. Das geschieht dadurch, 
daß wir Zähler und Nenner mit dem Produkt aller zum Nenner 
konjugierten Faktoren multiiDlizieren. Wir können also A{s) und 
D(s) in die Form setzen: 

nn A{s) = Ä,^ A,s-^^ Ä,s^^..-, 

^ ^ D{s) = A + As^ + As^4----, 

worin die A, Dg, ..., nach unserer Voraussetzung rationale Zahlen 
sind, während Ai, A^, ..., zu bestimmen sind. Setzen wir wie in 
§ 155, (4), (6): 

tv = ]/% i» = 2 y X Ku , 

so geht s(u) in |/xsn(-=j über, und die Gleichung (10) ergibt: 

D Vx sn ( -i=r ) \x sn ( u -= ) 

L' \Vx/J V Ix/ ,,,01. 



(12) - ^V- 



IC 

ß sn 



586 Dreiundzwanzigster Abschnitt. § 157. 

Entwickelt man die linke Seite nach Potenzen von iv, so sind 
die Koeffizienten rational durch k und ^zJ ausdrückhar, gehören 
also dem Körper _ 

? = Dt (A, Vz/) 

an. Entwickelt man die rechte Seite in gleicher Weise und 
ordnet nach den Potenzen von iv, so tritt Av zuerst in dem 
Koeffizienten von w''~'^ auf, und zwar mit dem Faktor 1 behaftet. 
Danach läßt sich Av bestimmen, vs^enn die früheren Koeffizienten 
schon bestimmt sind, und es folgt, daß alle diese Koeffizienten 
dem Körper 2 augehören. 

Da man nachträglich wieder Zähler und Nenner des Bruches 
A/D durch rationale Rechnung von gemeinschaftlichen Faktoren 
befreien kann, so ergibt sich der Satz: 

2. Wenn in dem Ausdruck (8) Zähler und Nenner 
J.(s), D(s) von gemeinschaftlichen Faktoren befreit 
sind, so gehören diese Funktionen dem Körper \i an. 

Um die Funktion A{x) darzustellen, nehmen wir den Koeffi- 
zienten der höchsten Potenz von x gleich 1 an und untersuchen, 
für welche Werte von u die Funktion s{^u) verschwindet. Wir 
bezeichnen einen Wert w, für den s(^u) verschwindet, mit 2q/^ 
und erhalten dann als Bedingung des Verschwindens nach (5) 
eine der beiden Kongruenzen 

2 () = 0, 1 (mod 2, w). 

Es ist also Q eine Zahl des Körpers Sl, die zwar gebrochen 
sein , aber keine anderen Nenner als einen Teiler von 2 a haben 
kann. Andererseits kann man q um ein Vielfaches von ^i ver- 
ändern, ohne daß der Wert s{2q/^) geändert wird, und da es 
nur auf den letzteren ankommt, und man der Kongruenz: 

wenn | eine ganze Zahl in Sl ist, durch eine ganze Zahl q genügen 
kann, so können wir q als ganze Zahl annehmen, wenn wir vor- 
aussetzen, daß der erste Koeffizient a in (1) ungerade und 
relativ prim zu fi sei. Diese Annahmehalten wir von jetzt an fest. 
Lassen wir also q ein vollständiges llestsystem nach dem 
Modul ju mit Ausschluß der Null durchlaufen, so erhalten wir 
alle Werte von s, für die A{s) verschwindet, in der Form: 

(13) «(7~ 



§ 157. Komplexe Multiplikatoren. 587 

Es ist noch zu zeigen, dai3 von den Zahlen (13) keine zwei 
einander gleich sind. Wäre 



ohne daß q ^ q' (mod ft) wäre, so müßte nach (5) 

'^ ^^ + ^'^ = 1 (mod 2, CO) 

sein. Es müßte also a(l -f- co) durch 2 teilbar sein, also auch, 
wenn o zu co' konjugiert ist, a{l -{- co') durch 2 teilbar, und 
mithin 

a (g9 — co') = yl7 = (mod 2). 

Es wäre also ^ durch 4 teilbar, und \zl = la-{co — co')^ 
wäre gleichfalls noch Diskriminante , was der Annahme wider- 
spricht, daß z/ Stammdiskriminante sei^). Hiernach sind die 
Größen (13), deren Anzahl m — 1 beträgt (Bd. II, § 165), alle 
voneinander verschieden, und es ergibt sich 

(U) A{x)= A^r-s(^J • 

Die Funktion S(u) genügt nach § 44, (20) der Gleichung: 

«6^ + ^) = 



s(uy 

und wegen (8) und (4): 

(-1)- 



s 



f*(w + f 



S(^u) ' 



und demnach ergibt sich aus (10), wenn man ti durch yf -\- — 
ersetzt : 

ri5>, (-1)-'^ _ J_ lill = i-iy-Dj s) 

^ ^ S{^U) S{u) Tj/}\ s{u)Ä{s) ' 

(16) ■^(^)^Q = (-l)^^i)(s)i)(^)- 

^) Es müJ3te b gerade und a — h -\- c durch 4 teilbar sein, und 

- J =: ( - — a) — a (a — b -{- c) wäre Diskriminante. Für eine l)eliebige 

Diskriminante T) könnte mau denselben Zweck erreichen , wenn man zum 
Zähler der Ausdrücke (13) eine Potenz von 2 als Faktor hinzufügte. 



588 Dreiundzwanzigster Abschnitt. § 157. 

Da Ä und D ohne gemeinschaftliche Teiler sind, so ist für 
eine Variable x und eine Konstante h: 

hx^-^Aß) = B{x), 

und indem man x durch \/x ersetzt: 

jiÄ{x) = x^-'^nf^j, 

und nach (16): 

/t2 = (— 1)<=^. 

Also ist 

(17) D{x) = ax"^-'ÄQ^y 

worin £ = +1 oder = ib* ist. Das hängt nach (16) davon ab, 
ob c X gerade oder ungerade ist i). 

Gebrauchen wir also wieder die Bezeichnung (10), jedoch jetzt 
unter der Voraussetzung, daß Ä und D ohne gemeinschaftliche 
Teiler sind, so ergibt sich: 

(18) 6S(ft«) _ — .1,,_2S2 4- ... Ä,s>-^ + ^,s— 1' 

und die J^, ^3, ..., Am-i sind ganze Zahlen des Körpers 2, 
denn sie sind die symmetrischen Grundfunktionen der ganzen 
Zahlen (13). 

Im besonderen ergibt sich, wenn man tt = setzt: 

(19) A, = 8^, 
und daraus: 

(20) 8^ = irs{-^ 

Aus (10) folgt: 

(21) SÄ (S) — S (fi m) D (s) = 0, 

und dies ist, wenn S{^u) als gegeben betrachtet wird, eine 
Gleichung für s(ti) vom ?)i*«" Grade, deren Wurzeln sind: 



Die s( — j sind also Teiler von fi. 



') Aus § 138 ergibt sich, daß i im Körper 2 enthalten ist; (17) steht 
also nicht im Widerspruch mit dem Satze 2. 



§ 157. Komplexe Multiplikatoren. 589 

Das Produkt dieser Wurzeln ist also, da s™ den Koeffizienten 1 
hat, gleich dem negativen unabhängigen Glied, d. h. es ist: 

und daraus für u = wie oben: 

'2q 



(23) Sil = ns 

\ ft 

Es sei jetzt r] eine gebrochene Zahl in Sl mit dem ungeraden 
Idealnenuer a; dann folgt aus (22), daß s {^i r]) / S (r]) eine ganze 
Zahl ist, wenn {.i eine beliebige Zahl (6) in ii ist. Nehmen wir 
^ relativ prim zu a und setzen ft'|u. ^ 1 (mod a), so können wir 
rj durch (i' rj ersetzen und finden, daß auch s (tj) / S {^' rj) eine 
ganze Zahl ist, worin ^i' ebenso beliebig ist wie ^. Folglich ist 
auch s {rj) / S ([i 7]) eine ganze Zahl und mithin eine Einheit. 
Wir haben also den Satz: 

3. Ist .f] eine Zahl in Sl mit ungeradem Ideal- 
nenner, und durchläuft fi eine Reihe relativer Prim- 
zahlen zu a, so sind die Zahlen 

■ S{ur]) 
miteinander assoziiert. 

Noch eine weitere Folgerung ergil)t sich daraus, wenn man 

in (22) u = 2^i/fii setzt: 

'2;tp/ 



(24) ^ ^"' ' =ns(^ -{- ^ 

V ^i ) 

Sind nun ^ und ^i relativ prim zu fi,, so ist die linke Seite 
nach 3. eine Einheit, und folglich müssen auch alle Faktoren der 
rechten Seite 

\ ri r2. 

die ja ganze Zahlen sind, Einheiten sein. 

Auf diese Form läßt sich aber jedes s{ri) bringen, wenn 

V 

n = — 

eine gebrochene Zahl in ii ist, in deren Nenner zwei verschiedene 
Primideale aufgehen, falls dieser Nenner ungerade ist. Denn man 
kann in diesem Falle den Nenner ^ von i] in zwei Ideale Oi a« 



590 Dveiuudzwanzigster Abschnitt. § 158. 

zerlegen, die zueinander relativ prim sind, und man kann dann 
zwei ungerade ganze Zahlen a^, w, in Sl bestimmen, die zuein- 
ander relativ prim sind, von denen die eine durch Qj, die andere 
durch Q2 teilbar ist. Es ist dann rj «^ cc^ eine ganze Zahl in Sl 
und man kann nach Bd. II, § 166, (4) zwei ganze Zahlen q^, Q2 
so bestimmen, daß 



und daher 



— = ^1 «2 + 92 «1 

r 






(1) 



wird. Dies ist aber von der Form (25). Wir bekommen daraus 

den Satz: 

4. Enthält eine gebrocliene Zahl rj in Sl mit un- 
geradem Nenner zwei oder mehr verschiedene Prim- 
faktoren im Nenner, so ist S{rj) eine Einheit. 

§ 158. Zerlegung der Funktion A (,r). 
Es seien jetzt 

zwei ungerade ganze Zahlen in Sl von der Form § 157, (6). Es 
sei m der größte gemeinschaftliche Idealteiler von ^ und ft^. 
Setzt man also 

M =nia, 

^1 = mcii, 

so sind a und Oj zwei äquivalente Ideale ohne gemeinsamen 
Teiler. 

Die den beiden Zahlen ft, ft^ entsprechenden Funktionen Ä{jcy 
bezeichnen wir mit 

Ai,i (a?), A|x^ [x), 
und fragen, welche gemeinschaftliche Wurzeln diese Funktionen 
haben, wann also die Gleichung: 

'2()\ ^/2pa 



(3) Si 

erfüllt sein kann, wenn q nach dem Modul ft, q^ nach dem Modul ^1 
genommen ist. 



§ 158. Zerleguug der Funktion A(x). 591 

Da die Kongruenz 

^ + ?-^ = 1 (mod 2, CO) 

nicht möglich ist, was man ganz wie oben (S. 589) zeigt, so ist 
für die Gleichung (3) notwendig und hinreichend: 

(4) 2(^t,g-^t^0 ^o (mod 2,«). 
Daraus folgt: 

(5) t^Qi = ^iQ (mod ^^,), 
und dies ist nur dann möglich, wenn 

(6) ^ ^ (mod n), q^ ^ (mod Oi). 

Sind umgekehrt die Bedingungen (5) und (6) erfüllt, so ist: 
2q_2q, 
^ ^1 

eine ganze Zahl und die Gleichung (3) ist befriedigt. 

Man nehme nun eine durch a teilbare ganze Zahl in Si : 

(7) « = ac, 

worin c relativ prim zu ^ und ^^ ist. Wenn dann q durch a 
teilbar ist, so kann man eine ganze Zahl | nach dem Modul iii 
aus der Kongruenz 

Q ^ a^ (mod f() 

bestimmen (Bd. II, § 166, 7.); dann ist 

(8) a, =-^ = a,c 

eine durch OiC und durch kein anderes Ideal teilbare ganze Zahl, 
und aus (5) ergibt sich 

^1 = «j I (mod (Uj). 
5. Wir erhalten also die gemeinschaftlichen Wur- 
zeln von Äu(x)^ ^u, (•^) in der Form: 

worin | ein vollständiges Restsystem nach dem 
Modul in durchläuft. 

Hierin kann m jedes beliebige ungerade Ideal in Sl 
bedeuten.- 

Denn man kann zu jedem solchen Ideal zwei Zahlen ,u, fij 
von der Form (2) wählen und dann co unter den äquivalenten 
Zahlen so, daß a ungerade und relativ prim zu ftfij wird. 



592 Dreiundzwauzigstei' Abschnitt. § 159. 

Sucht man den größten gemeinschaftlichen Teiler von Au und 
Au^, so erhält man eine ganze Funktion Am, deren Koeffizient 
ganze Zahlen in S sind, deren Wurzeln die Größen (9) sind, und 
wenn man endlich Am von Faktoren befreit, die es mit irgend 
einem Am' gemein hat, in dem in' ein echter Teiler von m ist, so 
erhält man eine ganze Funktion: 

(10) Tmix) = T/ — r,_i^''~^ -j- ^r--2a-^~^ — ••• ± To, 

deren Wurzeln nur die unter den Größen (8) sind, in denen | 

relativ prim zu ui ist. 

Der Grad v dieser Funktion ist nach Bd. II, § 168 zu be- 
stimmen. Wir wollen sie die Idealteilungsfunktion nennen. 
Ihre Koeffizienten sind ganze Zahlen des Körpers 2, und es ist 
speziell 

worin | ein vollständiges System inkongruenter, zu m teilerfremder 
Zahlen durchläuft. 

Die Wurzeln von Tm(x) sind gleich und entgegengesetzt, und 
wir erhalten eioe Gleichung von Graden \ 2 ^' für die Größe 



Durch Adjunktion dieser Größen zu dem Körper 2 entstellt 
ein Körper S^,,,, den wir gleichfalls Teilungskörper nennen. Er 
ergibt sich, aus dem Teilungskörper des § 154 durch Adjunktion 
von X. Die Gruppe dieses Körpers ist in der Gruppe der Zahlen 
I (mod m) enthalten, wie leicht aus den Multiplikationsformeln 
folgt. 

Wir bemerken noch, daß sich der allgemeine Teilungskörper 
%m durch Anwendung des Additionstheorems auf den Fall zurück- 
führen läßt, wo 111 eine Potenz eines Primideals in Sl ist. 

§ 159. Primideale. 

6. Ist 7) eine gebrochene Zahl des Körpers ü, die 
in reduzierter Form den ungeraden Idealnenner n 
hat, und ist in ein zu ci relativ primes Ideal, so ist 
die ganze Zahl s(ij) relativ prini zu 111. 
Denn man nehme in ^ eine durch a teilbare, zu 2 in teiler- 
fremde ganze Zahl ^ an. Dann ist ittrj eine ganze Zahl. In 
dem Produkt § 157, (23) 



§ 159. Primideale. 593 

(I) ,^As{^ 

kommt eine Zahl 2q vor, die mit ^rj nach dem Modul fi kon- 
gruent ist. Folglich ist s(r^) ein Teiler von ;/ und mithin relativ 
prim zu m, wie bewiesen werden sollte. 

Nehmen wir jetzt an, daß in der Formel (11), § 158 

(2) ro -- As(^^ 

m ein Primideal des Körpers Sl sei and setzen demgemäß 
m = p, so daß | ein volles Restsystem nach dem Modul p mit 
Ausschluß der Null durchläuft. 

Nehmen wir dann fi so an, daß es nur durch die erste Potenz 
von p teilbar und durch ein beliebig gewähltes anderes Primideal 
p' nicht teilbar ist, so kann Tq nach dem Satz 6. nicht durch p' 
teilbar sein. Nun ist To nur von dem Ideal p abhängig und 
unabhängig davon, wie im übrigen die Zahl fi genommen ist. 
Folglich ist Tq nach dem Satz 6. durch kein von p verschiedenes 
Primideal teilbar. Es kann aber auch p nicht in einer höheren 
als der ersten Potenz in Tq aufgehen, denn die Faktoren des 
Produktes (1) kommen alle unter den Faktoren des Produktes (2) 
vor, und folglich ist fi durch Tq teilbar. Demnach können wir 
geradezu 

(3) ro = p 

setzen, und da Tq eine Zahl im Körper 2 ist, so folgt: 

7. Jedes ungerade Primideal des Körpers Sl ist 
ein Körper 2, ein Hauptideal. 

Auch in der Annahme, daß ^ relativ prim zu a sein sollte, 
liegt keine Einschränkung dieses Satzes. Denn wir können bei 
gegebenem p unter den äquivalenten Formen (a, b, c), ohne k zu 
ändern, eine auswählen, bei dem diese Forderung erfüllt ist. 

Noch nicht bewiesen ist aber hierdurch, daß p auch im 
Klassenkörper .U (z/) selbst ein Hauptideal ist. Wenigstens folgt 
dies nur in dem Fall ^ ^ 1 (mod 8), wo Ü mit ? identisch isti). 

Nach dem Satz 3., § 157 sind die Faktoren des Produktes (2) 
alle miteinander assoziiert. Die Anzahl dieser Faktoren istiV(p) — 1, 
und demnach können wir auch setzen: 



w ^= <^) 



') Vgl. hierzu § 122, wo auch der Fall der Primzahl 2 erledigt ist. 

Weber, Algebra. III. 3g 



594 Dreiundzwanzigster Abschnitt. § 160. 

§ 160. Primideale ersten Grades in ^„i. 

Es kommt nun vor allem darauf an, die Primzahlen p aufzu- 
suchen, die im Körper 2 in Primideale ersten Grades zerlegbar 
sind. Nach § 122 und § 156 sind das die Primzahlen j;, die durch 
die Hauptform der Diskriminante D = 4 z/ oder 16 z/ darstellbar 
sind. Diese sind von der Form: 

1) ^ = y/2 — z/:r2, z/ = (mod 4) oder = 1 (mod 8), 

2) p = iß — 4.^ x^, /l ^ b (mod 8). 

Ist z/ ^ 1 (mod 8), so muß der dritte Koeffizient der Form 
(a, 6, c) gerade sein. Ist z/ ^ (mod 4), so können wir c 
gerade annehmen, indem wir nötigenfalls zu der Parallelform 
(a, & -|- 2 a, a -|- & -j- c) übergehen. Zerfällt also p in die beiden 
Primfaktoren jr, tt', so ist 

1) % = y ^ x^zl,^ 

2) n = y-i- 2a; Vz/, 

und um die Multiplikationsformel § 157, (10), (17) auf ^ = jt 
anzuwenden, haben wir im letzteren Falle x durch 2^ zu ersetzen. 
Wir können also in allen Fällen ex gerade und daher c = + 1 
annehmen. 

Die in den Darstellungen (1), 1), 2) liegenden Bedingungen 
für den Modul 2 lassen sich in die eine zusammenfassen: 

71 = 1 (mod 2). 

Setzen wir, wenn N(7i) = p ist, für den Augenblick zur 
Abkürzung : 

cp{x) = A^x ^ A^x^ ^ h ^i^-2 ^^^ - ' + xP, 

^ ^ ^\){x) = 1 -f Ap_2X^ -\ H- AsXP-^^AiXP-\ 

so ist nach § 157, (18), (19) 

(3) A,=±7t, 
und 

(4) is(,„) = ^i, 

und daraus ergibt sich durch Differentiation nach n: 

.Tis' (tcu) _ cp' (s) i){s) — Cp (s) t^' (s) 



(5) 



— s'{u) "~ t{sy 

Nach § 155, (5) ist aber 

S' (m)2 == 1 — i A S2 ^ S4, 



§ 160. Primideale ersten Grades in %m. 595 

und aus (5) ergibt sicli durch Quadrieren mit Benutzung von (4): 

Da rechts eine ganze Funktion von s steht, so muß auf der 
linken Seite der Zähler durch den Nenner teilbar sein (was sich 
auch aus der Betrachtung der Nullpunkte ergibt), und es folgt: 

7t^0 = [cp' (S) il' (S) — (p(s)^'{s)f, 
wo eine ganze Funktion von s ist, deren Koeffizienten ganze 
Zahlen in S sind. Es muß also Q das Quadrat einer ganzen 
Funktion sein, deren Koeffizienten gleichfalls ganze algebraische 
Zahlen sind (Bd. I, § 2; Bd. II, § 159), und es ergibt sich daraus 
für ein variables x: 

(6) cp' (x) xl^ (x) — 1^' (x) (p(x) ^ (mod 7t). 
Hiernach läßt sich beweisen, daß die Koeffizienten A^, Ä^, 

A^, ..., -4p _ 2 alle durch 7t teilbar sind. 

Von Ai wissen wir das schon. Nelnnen wir also an, es sei 
bewiesen für 

A,, ^3, ..., /läv-i (2i^ + 1 <p), 
so folgt: 

<p (x) ^ A,r + rx^- + ^ + ••• 

cp'ix) = {2v^l)A2r + ix'~" ^ ■•• , , - 

^ (x) = ] -l Ap-2X^ H ^ ^ 

ip'{x) = lAp^oX -\ 

Suchen wir also in (6) den Koeffizienten von x^'\ so folgt: 

(2v -f 1) ^2v + i = (mod 7t). 
Da 2v -|- 1 <<jj und p eine Primzahl ist, so ist 2 v -|- 1 
relativ prim zu tt, und es folgt: 

(7) A2V+1 ^ (mod 7t). 

Setzen wir in (4) für u einen der Werte 2a|;u, § 158, (9), 
so wird s(u) eine Wurzel der Ideal-Teilungsgleichung § 158, (10), 
und es folgt: 

±S(nii) ^ [S(t0]^ (mod 7t), 
und wenn wir ein Quadrat erheben: 

(8) S{7tuy = [S{u)fi' (mod 7t). 
Insbesondere ist also 

(9) S(m)2 ^ s{u)-p (mod 7t\ 
wenn 

(10) 7t = ±1 (mod in) 

38* 



596 Dreiuudzwauzigster Abschnitt. § 161. 

ist. Die Zahl s{uy erzeugt den Körper !„,. Es ist außerdem 
nach § 122 für jede Zahl () in 2: 

(11) Q = Q^> (mod ^:p), 

wenn ^-p ein in n aufgehendes Priraideal in 2 ist, und folglich ist 
für jede ganze Zahl r in %mi wenn ^' ein Primideal in 2,,, ist: 

(12) TP = T (mod ^s'), 
wenn die Bedingungen (10) und (1) erfüllt sind. 

Daraus ergibt sich: 

8. Damit eine in Si existierende Primzahl 7t im 
Körper SE,,, in Primideale ersten Grades zerfalle, ist 
notwendig und hinreichend, daß 
7c ^ 1 (mod 2), 
;r ^ + 1 (mod m). 
Von einer gewissen endlichen Anzahl von Primzahlen (die in 
den Diskriminanten der auftretenden Gleichungen aufgehen) ist 
dabei abgesehen. 

§ 161. Zahlgruppen und Idealgruppen. 

Wie in § 98 und § 106 bezeichne ich mit die Gesamtheit 
der ganzen und gebrochenen Zahlen des quadratischen Körpers Sl, 
nach Ausschluß aller Zahlen, die zu einem beliebig angenommenen 
S nicht teilerfremd sind. S kann eine rationale Zahl, eine Zahl 
in £1 oder auch ein Ideal sein. Ich will es den Exkludenten 
nennen. In den drei Abhandlungen „über Zahlgruppen in alge- 
braischen Körpern" i) habe ich gewisse Systeme von Zahlen aus O 
unter dem Namen Zahlgruppen zusammengefaßt, die dadurch 
definiert waren, daß das Produkt und der Quotient je zweier 
Zahlen einer solchen Gruppe in derselben Gruppe enthalten waren. 
Eine solche Zahlgruppe kann niemals die Zahl Null enthalten^ 
enthält aber sicher die Zahl 1 ^). 

Im gleichen Sinne wie von Zahlgruppen können wir auch von 
Idealgruppen reden, die ebenfalls ihren Exkludenten haben 
können. Es kommen hierbei natürlich auch gebrochene Ideale 
vor, und man bedient sich dabei nicht ohne Nutzen der Dar- 
stellungsweise durch die Funktionale (Bd. II, § 169). 



Mathematische Annalen Bd. 48, 49, 50. 

*) Fueter nennt diese Gruppen „ Zalilstr ahlen". Vgl. Fueter, Die 
Theorie der Zahlstrahlen I, II; Grelle, Bd. 130, 132. 



§ 161. Zablgruppeu und Idealgruppen. 597 

Die Gesamtheit der ganzen und gebrochenen Zahlen des 
Körpers ß, der wir einen beliebigen Exkludenten S beilegen, 
bildet die Zahlgruppe und die Gesamtheit der Ideale in dem 
gleichen Sinne eine Idealgruppe. 

Ebenso bildet die Gesamtheit der numerischen Einheiten 
eine Zahlgruppe E und die Gesamtheit der funktionalen Ein- 
heiten eine Ideal gruppe E. 

Die Multiplikation zweier Gruppen Ä und B zu dem Pro- 
dukt Ä B geschieht dadurch, daß man jedes Element von A mit 
jedem Element von B multipliziert. Ist A eine Zahlgruppe, so 
ist E A eine Idealgruppe. Diese enthält aber nur Hauptideale und 
kann daher Hauptidealgruppe genannt werden. 

Wenn die ganze Gruppe in eine endliche Anzahl von 
Neben gruppen nach A zerfällt: 

(1) = Aa, -i- Aoc, H [- Aaj, 

so heißt die Zahl j der Index von A und wird mit 

(2) j = (0, A) 
bezeichnet (wie in § 100). 

Wir sprechen den ersten Satz aus: 

1. Ist A eine Zahlgruppe mit endlichem Index j, 
und rj eine beliebige Zahl in 0, so ist rj^ in A ent- 
halten. 

Denn von der unbegrenzten Reihe der Potenzen 1, ^, t]^, r]^^ ..., 
müssen zwei verschiedene Glieder in derselben Nebengruppe Accj 
enthalten sein, und ihr Quotient, der ja auch eine Potenz von t] ist, 
ist in A enthalten. Der niedrigste Exponent r, für den rj^' in A 
enthalten ist, erweist sich in bekannter Weise als Teiler von j. 

2. Ist A eine Zahlgruppe mit endlichem Index, so 
läßt sich auch die Idealgruppe nach EA in eine 
endliche Zahl von Nebengruppen zerlegen: 

/gN = A, 4-^2 ^•••^Ak, 

^ ^ = ^ lli 4- .4 02 + • • • + ^ 0;, , 

und zwar können wir darin dj, tig, . . ., ci/j als ganze Ideale in 
wählen, da wir jedes gebrochene Ideal in nach 1. durch Multi- 
plikation mit einer Zahl in A in ein ganzes Ideal verwandeln 
können. Wir brauchen nur für r] eine Zahl zu wählen, die durch 
den Nenner des Ideals teilbar ist, und mit einer genügend hohen 
Potenz von ?; zu multiplizieren. 



598 Dreiundzwanzigster Abschnitt. 1:^ 161. 

Die Zahl 

(4) h = (0, EÄ) 

heißt die Klassenzahl des Körjoers Sl nach A, und das System 
Äa^, Aa^, .. ., AOh die Idealklassen nach A. Den Satz 2. können 
wir nach den allgemeinen Gruppensätzen im § 100, 12. beweisen. 
Danach ist: 

(Ö; EÄ) -- (Ö; EO) (EO.EA), 

{EO, EA) = (EO, EEA) = (0, EA), 

(0, EA) {EA, A) = (0, A), 

(EA, A) = (E, E'), 
wenn E' die Gruppe der in A enthaltenen numerischen Einheiten 
bedeutet. Folglich ist 

(5) iÖ:EA)= {Ö,EO)i^-^y 

und (0, EO) ist die Zahl der absoluten Idealklassen in ü, also 
eine endliche Zahl. Die Zahl (E, E') ist im quadratischen Körper 
mit negativer Diskriminante gleich 1, wenn — 1 in J. vorkommt, 
gleich 2, wenn — 1 nicht in A vorkommt, und kann nur in den 
beiden Ausnahmefcällen zJ ^= — 4, z/ = — 3 bis zu 4 oder bis 
zu 6 ansteigen. 

Gehören ti-,, al einer Klasse A-^ au, und dg, ci'2 einer Klasse A^, 
so gehören die Produkte Oj tig und ol iii in dieselbe Klasse, die 
wir die Klasse A-^A^ nennen. Die Klassen lassen sich also kom- 
ponieren und bilden eine endliche Abel sehe Gruppe, in der die 
Hauptklasse E A die Einheit ist. 

Eine Zahlgruppe A soll Kongruenzgruppe heißen, wenn 
sie nicht nur aus einzelnen Zahlen, sondern aus ganzen Zahl- 
klassen nach einem Modul 31 besteht, d. h. wenn a zu. A gehört, 
so sollen auch alle mit a nach dem Modul 31 kongruenten Zahlen 
zu A gehören; Jf soll der Modul der Kongruenzgruppe heißen. 
Eine Kongruenzgruppe hat immer einen endlichen Index, weil ja 
schon die Anzahl der Zahlklassen nach dem Modul M endlich ist. 
Statt 31 kann man auch jedes Vielfache von 31 als Modul wählen. 
Darum gewinnen wir auch keinen allgemeineren Begriff, wenn 
wir für 31 ein Ideal nehmen. Wir können sogar 31 als natürliche 
Zahl annehmen. 

Wenn ein Ideal ni relativ prim zu M ist, so kann man in 
jeder durch a repräsentierten Zahlklasse eine Zahl «„ aus der 
Kongruenz 



162. Die durch ein Ideal teilbaren Ideale der Hauptklasse. 599 

(6) u^ = a ^ 31^ = (mod in) 

bestimmeu, worin -0' eine ganze Zahl in Sl ist. 

Daraus folgt, daß jedes im Exkludenten aufgehende Prim- 
ideal e in M aufgehen muß, weil sonst ccq für ni = e durch e 
teilbar wäre. 

Haben cc und M einen gemeinschaftlichen Teiler, so haben 
alle Zahlen der Form cc -j- ilf |, in der | eine beliebige Zahl ist, 
denselben gemeinschaftlichen Teiler mit M. Es gibt aber in A 
auch Zahlen, die relativ prim zu 31 sind, z, B. die Zahl 1. Es 
gilt dann der folgende Satz: 

3. Ist m relativ prim zu Jf, so kann man in Ä 
eine durch m teilbare ganze Zahl Kq = mn von der 
Art bestimmeu, daß n zu 31 und einem beliebig 
gegebenen Ideal c relativ prim wird. 

Hat man nämlich nach (6) eine durch in teilbare Zahl 
«0 = 111 n 
bestimmt, die zu 31 teilerfremd ist, so erhält man andere solche 
Zahlen : 

«: = «„ + ili| = mn', 
wenn 

I = nu 
eine beliebige durch m teilbare ganze Zahl ist. Ist nun q ein in c, 
aber nicht in Uq aufgehendes Primideal, so nehme man j durch 
q teilbar an, dann ist n' nicht durch q teilbar. Geht aber q in c 
und in «o a^^f? so nehme man i durch q nicht teilbar an; dann 
ist auch u' nicht durch q teilbar. 
Daraus folgt: 

4. Ist m ein beliebiges zu 31 teilerfremdes Ideal, 
so gibt es in jeder Idealklasse Ar Ideale, die zu m 
relativ prim sind. 

Man nehme, um dies zu beweisen, ein Ideal b in der Klasse 
{A,)~^ und bestimme nach 3. eine Zahl 

a =r ah, 
so daß a relativ prim zu ni ist, dann gehört a in die Klasse Ay 
und genügt der Forderung des Satzes 4. 

§ 162, Die durch ein Ideal teilbaren Ideale der Hauptklasse. 

Es soll jetzt unter Sl der quadratische Körper mit 
negativer Orundzahl zJ verstanden werden. 



ßQO Dreiundzwanzigster Abschnitt. § 162. 

In diesem Körper sei Ä eine Kongruenzgruppe mit dem Modul 
31 und dem Exkludenteu S. Die Gruppe Ä enthält, wie wir ge- 
sehen haben, unendlich viele ganze Zahlen. Wir fragen nach 
der Anzahl T{t^ der ganzen Zahlen in Ä, die durch irgend ein 
gegebenes ganzes zu 31 teilerfremdes Ideal m teilbar sind, deren 
Norm nicht größer als die positive Zahl t ist. 

Es sei (w,, ci.^) eine Basis von in, also nach § 91, (11): 

b 4- \fJ 

(1) OCi = «22 «5 ^'2 = «22 9 

Hierin bedeute a^z die größte in m aufgehende ganze rationale 
Zahl, «22« die Ideinste durch m teilbare ganze rationale Zahl; 
h ist eine Wurzel der Kongruenz: 

^2 ^ z/ (mod 4 a), 
und es ist: 

(2) J = h^ — Aac. 

(3) iV(ni) = al^a. 

Da 111 relativ prim zu 31 vorausgesetzt ist, so können wir nach 
§ 161, (6) in jeder in A vorkommenden Zahlklasse nach 31 eine 
durch 111 teilbare Zahl «o bestimmen. Diese Zahl hat die Form 

«0 = ^0 «1 -f ^0 «2, 

und wenn wir 

a = Uq -\- 3[ (x oci -\- y a^) 
^^^ = (:^'o + Mx) a, + {y, 4- 3Iy) a, " 

setzen und x, y alle positiven und negativen ganzen rationalen 
Zahlen durchlaufen lassen, so durchläuft a die (Gesamtheit der 
durch ni teilbaren und nach 31 mit a^ kongruenten ganzen Zahlen 
der Gruppe A. 

Um alle durch ni teilbaren ganzen Zahlen in A zu erhalten, 
haben wir ein vollständiges Restsystem nach 31 in Sl zu suchen 
und darunter die in A enthaltenen durch iii teilbaren Zahlen «o 
auszuwählen. 

Soll die Norm dieser Zahl a nicht größer als t sein, so er- 
gibt sich dafür, wenn wir die quadratische Form 

ax^ -\- hxy -\- cy^ 

mit (p (a;, y) bezeichnen, die Bedingung : 

q> {X, + 3Ix, y, + My) ^ -/-, [§ 91, (2), (4)]. 

U22 t* 



§ 162. Die durch ein Ideal teilbaren Ideale der Hauptklasse. ßOl 

Nehmen wir in einer Ebene ein rechtwinkeliges Koordinaten- 
system X, Y an, und bezeichnen als Gitterpunkte die Punkte 
mit den Koordinaten 

a 
T' 



X = {xo -[- Mx) 02 



worin Xq^ ijo festgehalten werden und x^ y alle ganzen rationalen 
Zahlen durchläuft, so wird durch dieses Gitter die Ebene in 
Quadrate geteilt, deren Fläche 

ist, und wenn Tn die Anzahl der Gitterpunkte ist, die innerhalb 
der Ellipse 

^ (X, Y) = 1 

oder auf ihrer Grenze liegen , so ist Tq 8- für ein unendliches t 

71 

gleich dem Flächeninhalt dieser Ellipse, also gleich ~^ ~ • 

J— ZI 

Berücksichtigt man noch die Flächenelemente 62, die von der 
Peripherie der Ellipse durchschnitten werden, aus denen man ein 
Maß für den Fehler dieser Flächenbestimmung erhält, so ist 

worin H^ eine mit unendlich wachsendem t endlich bleibende 
Größe ist [Bd. II, § 194, (6)]. 

Einen solchen Ausdruck erhalten wir für jedes «o, und wenn 
wir diese Ausdrücke alle addieren, so erhalten wir mit Rücksicht 
auf (3) den Satz: 

Ist A eine Kongruenzgruppe mit dem Modul M 
und m ein zu M teilerfremdes Ideal in Sl^ ferner T 
die Anzahl der in EA enthaltenen ganzen Haupt- 
ideale, deren Norm nicht größer als t ist, so ist 

(6) T = ^rf^ -f R l'i, 

^ ^ JV(m) ' ' 

worin g eine von ni und t unabhängige, von Null 
verschiedene Zahl und R eine mit unendlich wach- 
sendem A endliche Funktion von t ist. 



602 Dreiundzwanzigster Abschnitt. § 163. 

Die Konstante g ist nach (5) näher bestimmt: 

(7) 9 - ''" 



jf2 y_^ 

wenn y die Anzahl der in A enthaltenen Zahlklassen nach dem 
Modul 31 ist. 

Will man unter T die Anzahl der ganzen Ideale der Haupt- 
klasse E A verstehen, deren Norm nicht größer als t ist, so bleibt 
(6) auch dann noch bestehen, nur hat man, wenn — 1 in ^ vor- 
kommt, die Zahl y zu halbieren, und in den beiden Ausnahme- 
fällen z/=r — -4, z/=3 — 3 möglicherweise noch durch 4 oder 
durch 6 zu teilen. 

§ 163. Die Dirichletschen Summen. 

Wir verstehen jetzt unter die Idealgruppe der sämtlichen 
Ideale in iß (mit Rücksicht auf den Exkludenten S)\ A sei eine 
Kongruenzgruppe und 

(1) Ä = EA, 

die Gruppe der entsprechenden Hauptideale. Wir zerlegen nach 
>; 161, (3) in die Klassen nach A: 

(2) ö = Ä + J^ H h ^h. 

und betrachten die Summen: 

worin s eine positive Variable >> 1 bedeutet, und cij die sämtlichen 

ganzen Ideale einer Klasse Ai durchläuft. 

Die Summen Si formen wir in folgender Weise um : 

Da N{(\i) eine der Zahlen 1, 2, 3, ... sein muß, so bezeichnen 

wir mit «, die Anzahl der Ideale der Klasse Ai^ deren Norm = v 

ist, und erhalten 

W S.:=". + |! + | + |; + - 

wobei, wenn eine Zahl v unter der N (üi) nicht vorkommt, a,. =^ 
zu setzen ist. 

Bezeichnen wir mit Z{v) die Anzahl der Ideale der Klasse 
Ai^ deren Norm nicht größer als v ist, so erhalten wir für Z{v) 
aus der Formel (6) des vorigen Paragraphen einen Grenzwert: 



§ 163. Die Dirichletschen Summeu. 603 

Wir nehmen nach § 161, 4. in der Klasse (^i)~^ ein zu M teiler- 
fremdes Ideal m und lassen in 

(5) ni 0.1 = ä 

Qi die Ideale der Klasse J.,, und folglich ö" die durch iii teilbaren 
Ideale der Hauptklasse durchlaufen; ist dann 

so ist 

Bedeutet wie früher T die Anzahl der durch in teilbaren Ideale 
der Hauptklasse, deren Norm nicht größer als t ist, so ist, wenn 
t z= 'i^iV(in) gesetzt wird, 

z{v) = r, 

und aus der Formel § 162, (6) ergibt sich 

(6) ZOO =gv^B.}^, 

worin g eine Zahl, die für alle Klassen Ai dieselbe ist, und By 
eine Funktion von v bedeutet, die mit unendlich wachsendem v 
nicht unendlich wird. 

Nach der Bedeutung von a^ ist 

(7) a, = Z{v) — Z{v—\\ Z(0) = 
und folglich 

_ ^Z{v) — Z{v — \) 



(8) Si = 2 



yS 



Setzen wir für Z{v) den Ausdruck (6), so folgt: 
Das zweite Glied dieser Summe: 



ZR.Xv (- — -, l^A 

> \iy« (v + 1)V 



ist unbedingt konvergent, solange s >> ^ ist, und ist daher eine 
stetige Funktion von s, die für s = l in 

übergeht; denn es ist 

Lim 7/' ^ 2 B^ Yvi ^ TTV ) = 8 Lim i?,. 



f)04 Dreiundzwanzigster Abschnitt. § 163. 

endlich. Die erste Summe in (9) ist 

wo Cs für s = 1 endlich bleibt, nämlich in den Wert der Eul er- 
sehen Konstante 0,5772 ... übergeht (Bd. II, S. 723). 

Berücksichtigt man dies, so ergibt sich aus (9) das Resultat: 
5. Hat Si die Bedeutung (3), so ist 

(11) S, = ^^^C,. 

worin g eine von der besonderen Klasse Ai unab- 
hängige von Null verschiedene Konstante ist, und 
Ci eine von Ai abhängige Funktion von s, die für 
s = 1 endlich bleibt. 

Die Gruppe /iten Grades der Idealklasse Ai ist eine Abelsche, 
und es gibt daher /^ Charaktere i;,{Ai)^ die sämtlich hio, Einheits- 
wurzeln sind, darunter der Hauptcharakter ;^, , der für jede 
Klasse = 1 ist. Ebenso hat für die Hauptklasse A-^ jeder der 
Charaktere den Wert -\-\. Für diese Charaktere bestehen die 
Sätze : 

ki^{Ä,) = 0, iz.C^-) = 0, 

(12) X = 2,3, ...,/^ i = 2,3, ..., /a, 

(Bd. II, § 1.3). Wenn das ganze Ideal a in in die Klasse A 
gehört, so setzen wir für jedes %: 

(13) Z(a) = z(l), 

und haben so für jedes Ideal in die Charaktere nach der 
Gruppe A bestimmt. Für irgend zwei Ideale a und 6 aus be- 
steht die Relation: 

(li) Z(a)z(b) = ;c(a6)- 

Nun bilden wir aus Si die Ji Summe: 

(15) Q.. = 2:i,{Ii)Si, 

wofür wir nach (3) und (13) auch setzen können: 

(Iß) « = ±'=^"^ 



(Na)' 



§ 163. Die Diriclilet sehen Summen. 605 

Darin kann % jeder der Charaktere i^, sein, und die Summe 
erstreckt sich über sämtliche Ideale a von 0. Nach (11) ist, 
wenn wir 



setzen, 
(17) 



worin die (r^, (rg, ..., Gu Funktionen von s sind, die für s = 1 
einen endlichen Wert behalten. 

Die Summen Q lassen sich in derselben Weise umformen, die 
wir schon im § 197 des zweiten Bandes kennen gelernt haben. 

Danach ist, wenn p irgend ein Primideal in bedeutet: 





G; 


f = 


^l>. 


.(Ä)- 


Oi 


Q. 


= 


hG 


1 + 


(h. 




Q. 


= 






Gx, 


'/. 



1 -;k(p)^(p) 






und da sich alle Ideale a als Produkte solcher Ideale p darstellen 
lassen, so folgt: 

(18) Q = n ^ , 

1 -x(p)iY(P)-^ 
worin sich das unendliche Produkt 77 auf alle Primideale p in 
erstreckt. 

Zu jedem Ideal a in gehört ein gewisser Exponent ^, 
d. h. es gibt einen gewissen niedrigsten positiven Exponenten gp, 
für den a^ in der Hauptklasse A^^ enthalten ist. Die Zahl g? ist 
immer ein Teiler der Klassenzahl ~li. Wir setzen: 

(19) h = s<p. 

Gehört in diesem Sinne a zum Exponenten gj, so sind sämt- 
liche Charaktere ;Kfc(rt) g^te Einheitswurzeln, und jede cpte Einheits- 
wurzel kommt darunter s mal vor (Bd. 11, § 198, 1.). 

Gehört also p zum Exponenten (jp, so ist 

[i - zx(p)-^(prl [1 - z.(P)^^^(pr-l ••• [1 - XHiP)N{p)-^] 
= [1 - Nii,r^% 

und es folgt aus (18): 

(20) a Q, ... Qu ^ 77 — - — i 



ßQß Dreiundzwanzigster Abschnitt. § 163. 

Es handelt sich nun um den Grenzwert, dem diese Aus- 
drücke sich nähern, wenn s = 1 wird. 

Was die linke Seite betrifft, so folgt aus (17), daß 
[Lim(s — 1) ^1 = ^>'(J endlich und von Null verschieden, 
^^^^ |Lim(?2 Qi '■• Qh endlich (vielleicht Null) 
ist. Zur Beurteilung der rechten Seite bemerken wir, daß die 
Primideale p vom ersten oder vom zweiten Grade sind, und daß 
demnach iV(p) gleich einer natürliclien Primzahl oder gleich dem 
Quadrat einer natürlichen Primzahl ist. Ferner stützen wir uns 
auf den bekannten Satz der Analysis, nach dem ein unendliches 

Produkt 

(1 - ,u){\ -(h){\ -<h)... 

unbedingt konvergiert und einen von Null verschiedenen Grenz- 
wert hat, wenn 

'h + a2 ~r (h -i — 
eine unbedingt konvergente Reihe ist, und keines der cji = 1 ist. 

Wir teilen danach die Primideale p in zwei Arten, pj, pg, und 
zwar sollen die p^ vom ersten Grade sein und zum Exponenten 
(p = l gehören (also e = It). Die p2 sollen entweder vom zweiten 
Grade sein, oder zu einem höheren Exponenten qp gehören. Es 
sind also pj die zur Hauptklasse Äi gehörigen Primideale 
ersten Grades. 

Dann ist 

NM' = N(p,)=2h 
eine natürliche Primzahl und 

N{P,Y = v\ 
mindestens die 2te (höchstens die 2/ite) Potenz einer Primzahl. 
Nach dem erwähnten analytischen Satze ist dann das Produkt 

77[l-JV(p,)-'^J* 

für s = 1 endlich und von Null verschieden, und es folgt aus 
(20), (21) der Satz: 

6. Der Grenzwert 

Lim n r 

. = 1 77[l-2\r(p^)-t 

ist endlich, wenn pi die Primideale ersten Grades 
der Hauptklasse A■^ durchläuft. 

Ein besonderes Interesse nimmt die Frage in Anspruch, ob 
dieser Grenzwert verschwinden kann. 



§ 164. Der Klassenkörper. 607 

§ 164. Der Klassenkörper. 

Zu der Zahigriii^pe Ä in dem quadratischen Körper Sl soll 
ein algebraischer Körper über Si existieren, den man mit 5? oder 
,*il (.4) bezeichne, von dem wir nur voraussetzen wollen : 
7. Definition des Klassenkörpers. 
Die Primideale pj ersten Grades der Hauptklasse 
^1, und nur diese, sollen im Körper ^{A) wieder in 
Primideale ersten Grades zerfallen. 
Es sind also nur die Primideale in Sl, die wir vorhin mit pi 
bezeichnet haben, die in ^ in Primideale ersten Grades zerfallen. 
Eine beliebige endliche Anzahl von Primzahlen können dabei 
ausgenommen sein. Sie werden dann in den Exkludenten ge- 
nommen. 

Ist n der relative Grad des Körpers ,Q über Sl und p eine 
natürliche Primzahl, in der die Ideale pj und '"^^ in il und S^ 
aufgehen, und bezeichnet man mit N.q, N^x die absoluten Normen 
im Körper Sl und Ü, so ist 

N,,m = K^ip,) = p, .2v:«(po = j.", 

und folglich muß p^ im Körper £ in n Primideale ^^ zerfallen: 

(1) Pl = ^^^^^2-.-^^n. 

Die Primideale, die in den Grundzahlen der Körper Sl oder St 
aufgehen, sollen immer ausgeschlossen sein. Dann sind die ^^^i, 
^2» •••, %i voneinander verschieden. 

Ob ein solcher Körper ,U existiert, bleibt vorläufig unentschieden. 
Wir wollen untersuchen, was aus der Definition geschlossen werden 
kann. 

Da in jedem Ideal p^ n Ideale "!p aufgehen, so ist 

(2) n[l-Ns, iPrrf = 77 [l - iY, (^^)-'l , 

worin sich das erste Produkt auf alle Ideale pj des Kör^jers ß, 
das zweite auf alle Ideale ^-p ersten Grades des Körpers 5f er- 
streckt, und nach dem für jeden beliebigen Körper gültigen 
Satz I, § 197 des II. Bandes hat 

(3) (s — 1)77, ^- ^ 

für s = 1 einen von Null verschiedenen endlichen Grenzwert, der 
dort auf die Klassenzahl im Körper ^ zurückgeführt ist. Setzen 
wir zur Abkürzung 



g08 Dreiundzwanzigstel' Abschnitt. § 164. 

1 



so ist nach (2) und (3) für s = 1 

(5) (s — 1) P" endlich und von Null verschieden, 

und nach § 163, 6.: 

(^Q\ (s — 1)P'' endlich, 

und wenn man hieraus P eliminiert, so folgt: 

(s — 1)"-'' endlich. 
Also ist 

(7) w > h. 

Daraus folgt der Satz: 

8. Der Relativgrad n des Klassenkörpers kann 
nicht kleiner sein als die Klassenzahl h der Gruppe. 
Ist n =^ /i, so ist (s — 1)P'' für s = 1 nicht Null, 
und die Summen (^21 Qzi--'i Qn sind gleichfalls von 
Null verschieden. 

Kann man eine Gleichung in il vom Grade li bilden, aus 
der sich ein Körper ableiten läßt, der die charakteristischen 
Eigenschaften des Klassenkörpers erkennen läßt, und ist der Grad 
dieses Körpers nicht größer als /i, so folgt also, daß er auch 
nicht kleiner sein kann, also = h sein muß. Damit ist die Ir- 
reduzibilität der fraglichen Gleichung erwiesen. 

Hierauf beruht der Nachweis der Irreduzibilität der Kreis- 
teilungsgleichung, den wir im § 198 des IL Bandes gegeben 
haben. Dort trat an Stelle von ü der Körper der rationalen 
Zahlen. Im nächsten Abschnitt werden wir noch weitere An- 
wendungen hiervon machen. 

Ob es Gruppen gibt, bei denen der Grad des Klassenkörpers 
größer als die Klassenzahl ist, bleibt dahingestellt. Ich halte es 
für unwahrscheinlich. 

Wir beweisen noch, daß es höchstens einen Klassenkörper 
geben kann. Jeder solche Körper wird durch Adjunktion einer 
algebraischen Zahl | zu ß erzeugt. 

Es sei I eine den Klassenkörper ü = ^ {^) erzeugende 
ganze Zahl, die also einer in £1 irreduzibelen Gleichung 

(8) /^(^) = r + a,r-^ + t.,r-' + ••• + «« = o 

genügt, in der die «j, a^^ ..., a„ ganze Zahlen in .ß sind. 



§ 164. Der Klassenkiirper. 609 

Jede ganze Zahl >/ des Körpers ^ kann (Bd. I, § 151) in der 
Form dargestellt werden: 

^ /■'«) 

worin qp(|) ganze Koeffizienten in Sl hat. Man kann dies in die 
Form setzen: 

(9) rv = n + ris^ + 72^' + ••• + yn-.t-\ 

worin 7, y^, y^, ..., y,,—! ganze Zahlen in ß sind, und so, daß die 
erste, y, ein Teiler der Diskriminante von / ist. Die Prim- 
faktoren von y schließen wir durch den Exkludenten aus. 
Es sei 

^^ ein Primideal ersten Grades in ^, 

Pi das durch -^ teilbare Priraideal ersten Grades in ß, 

p die Norm von pi und von '*^; 

dann ist für jede ganze Zahl oc in ß: 

«P ^ a (mod pi) 
und 

(10) r = I (mod ^:p), 

also nach (9) für jede ganze Zahl ij in !^: 
rjP ^ r] (mod '^P). 

9. Die notwendige und hinreichende Bedingung 
dafür, daß S?(|) Klassenkörper sei, besteht also 
darin, daß für jedes in einem pi aufgehende Prim- 
ideal '^^ und nur für dieses die Kongruenz (10) er- 
füllt sei. 

Es seien nun 

g = ß(i), r = ß(r) 

zwei Klassenkörper derselben Gruppe A. Zunächst ergibt sich 
leicht, daß sie von gleichem Grade sein müssen. Denn für 
beide muß die Bedingung (5) erfüllt sein. Sind also n und n' 
die Grade, so muß (s — 1)"'^" für s = 1 endlich und von Null 
verschieden sein, was nur möglich ist, wenn n = n' ist. 

Durch Zusammensetzung von R und ,Q' leiten wir einen 
dritten Körper ab: 

r = ß(,^r), 

von dem wir zeigen, daß er auch ein Klassenkörper ist. 

Weber, Algebra. III. 39 



QIQ Dreiuudzwauzigster Abschnitt. § 164. 

Den Körper ß" könueu wir erzeugen durch eine Zahl: 

(11) r = «I + «'r, 

in der oc, a' ganze Zahlen in Sl sind. 

Es sei ^^" ein in einem pi aufgehendes Primideal in H" und 
%'^' die durch ^" teilbaren Primideale in ^,U' und iV(pi) = p. 
Dann ist nach 9.: 

(12) F = .^ (mod ^), 1'^' = r (mod %s'), 

und folglich ist nach (11): 

(13) r^ = «%'"' + ^'n" = r' (mod ^"). 

Ist umgekehrt die Kongruenz (13) befriedigt, so folgen daraus 
wieder die Kongruenzen (12), weil man | und |' rational [in der 
Form (9)] durch |" ausdrücken kann. 

Es ist also It" ebenfalls Klassenkörper, und sein Grad ist 
ebenso hoch wie der von 5i und 9:'. Es sind also | und ^' pri- 
mitive Zahlen von 51", und folglich sind alle diese Körper iden- 
tisch (Bd. I, § 151, 3.). Ist ü ein Klassenkörper, so sind die mit 
^ konjugierten Körper auch Klasseukörper und sind daher mit ^ 
identisch. 

Damit ist der Satz bewiesen: 

10. Es gibt für eine gegebene Zahlgruppe nur 
einen Klassenkörper, und dies ist ein Normalkörper. 

Wir wollen mm die hauptsächlichsten Eigenschaften und 
Anwendungen des Klassenkörpers in den aus der komplexen 
Multiplikation stammenden Fällen näher kennen lernen. 

Nehmen wir an, daß die Zahlgruppe Ä eine andere Gruppe 
Ä' als Teiler von endlichem Index (J., Ä') enthalte, und daß 
diese beiden Gruppen Klassenkörper besitzen: 

^ ^ ü' = ^{Ä')= i^(r), 

dann läßt sich beweisen, daß der Körper ^ in £' enthalten ist. 
Sind nämlich p^, pi die Primideale in Sl ersten Grades der Haupt- 
klassen Äi, A'i, dann sind die pl unter den pi enthalten. Wenn 
daher p die Primzahl ist, in der p^ und pi aufgeht, so ist nach 9. : 

.,;.x I'' ^ I (mod ^) für alle pi und folglich für alle pi, 

^"^ = r (mod ^') für alle p;, 
wenn ^s und 5p' Primideale ersten Grades in R und Ü' sind. 



§ 165. Primideale in den Klassen. 611 

Wir bilden jetzt den Körper: 

(16) ^r' = ß(i,r) = ß(r)i 

indem wir 

(17) r' = «i + «'r 

setzen, und bezeichnen ein Primideal ersten Grades dieses Körpers, 
das in einem p[ aufgeht, mit ^". 

^, ^^s' seien, wie oben, die durch ^" teilbaren Primideale in 
^, ^'. Dann ist nach (15) und (17) 

1"^ = I" (mod ^")» 
und folglich ist ü" ein Klassenkörper von A'. 

Demnach ist Ü" mit ^' identisch; |' ist eine primitive Zahl 
von ü", und folglich kann jede Zahl in ^", also auch |, rational 
durch I' ausgedrückt werden. 
Daraus folgt: 

11. Enthält eine Zahlgruppe Ä eine andere Zahl- 
gruppe Ä' als Teiler von endlichem Index, und exi- 
stieren die Klassenkörper ^{Ä), ^(^1'), so ist ^{Ä) 
in ^(Ä') enthalten. 

§ 165. Primideale in den Klassen. 

Wir kehren jetzt zu den Funktionen Q zurück, die wir in 
§ 163, (16) durch unendliche Reihen und in § 163, OS) durch 
unendliche Produkte: 

(1) Qy = n i 

dargestellt haben, worin %x einen der Charaktere der Gruppe 
bedeutet und p alle Primideale in durchläuft. Den Loga- 
rithmus dieses Produktes entwickeln wir in folgender Weise: 

\^z) logv, _ 2^ ^^^^^ ^2^ .V(p)2« "^ 3^ ^(p)3* ^ 

Das Vielfache von 2 tt ?", das in dem log Q nicht näher definiert 
ist, brauchen wir nicht zu kennen, da es sich mit s nur unstetig 
ändern könnte, und da rechts und links stetige Funktionen von 
s stehen, solange s >> 1 ist, so ändert sich dieses Vielfache über- 
haupt nicht mit .s. _ _ 

Es sei Äi eine der Klassen der Idealgruppe A und A} die 
entgegengesetzte Klasse. Dann ist nach (12), (13), (14), § 163: 

^ X" {^d X^i^) = ^^ oder = 0, 

39=^ 



612 Dreiundzwanzigster Abschnitt. § 166. 

je nachdem das Ideal a in der Klasse Aj oder in einer anderen 
Klasse enthalten ist. Multiplizieren wir also die Formel (2) mit 
XxiA'j) und summieren in bezug auf x, so folgt: 

(3) <'' 1 1^1 1 ^'^ 1 

(1) (2) (3) 

worin sich die Summen 2J, 2J, 2J,. .. auf alle Primideale p erstrecken, 
deren erste, zweite, dritte, . . . Potenz in der Klasse Ai enthalten ist. 

(2) (3) 

Wir gehen in (3) zur Grenze s = l über; die Summen 27, U, ... 
behalten dabei einen endlichen Wert, da ihre unbedingte Kon- 
vergenz für s = 1 nicht aufhört. Dasselbe gilt von dem Teil 

(1) 
der Summe 27, der sich auf Primideale von höherem als dem 

ersten Grade bezieht, und es bleibt also nur noch fraglich, ob 
die Summe 

erstreckt über alle Primideale ersten Grades der Klasse Aj, endlich 
bleibt oder unendlich wird. Ersteres würde der Fall sein, wenn 
es in Ai gar keine oder nur eine endliche Anzahl von Primidealen 
ersten Grades gäbe. 

Setzen wir aber die Existenz eines Klassenkörpers vom Grade h 
voraus, so folgt aus § 164, 8. und § 163, (21), daß 

log ^2, log ^3, •••, log ^7» 
endliche Grenzwerte behalten, während log Q^ unendlich wird. Die 
linke Seite von (3) wird also unendlich und die rechte Seite kann 
nicht endlich bleiben. 
Damit ist bewiesen: 

12. Wenn ein Klassenkörper existiert, dessen Grad 
nicht höher ist als die Klassenzahl, so enthält jede 
Klasse unendlich viele Primideale ersten Grades. 



§ 166. Primideale in den Idealklassen. 

Nehmen wir als Gruppe zunächst die Gesamtheit der Zahlen 
des Körpers Sl ohne die Null, so sind die Klassen die Ideal- 
klassen des Körpers ß, die, wie wir gesehen haben, den Klassen 
quadratischer Formen der Diskriminante zJ eindeutig zugeordnet 



§ 167. Primzahlen in Linearformen. 613 

werden können. Nehmen wir als Gruppe die Ordnung 0' = [Q] 
mit dem Führer Q, die durch die Kongrueuzbedingung definiert 
ist, daß jede Zahl in 0' nach dem Modul Q mit einer rationalen 
Zahl kongruent sein soll, so haben wir eine Kongruenzgruppe, 
deren Exkludent und Modul = Q ist. Die Klassen entsprechen 
den Formenklassen der Diskriminante D ^ Q^^- Der zweite 
Fall schließt den ersten in sich (für ^ = 1), Der Klassenkörper 
ist hier der Klassenkörper Ä(-D), den wir zum Unterschied von 
allgemeineren als Ordnungskörper bezeichnen wollen. 

Denn ist (A;) eine Klasseninvariante, so ist (§ 122) 
{ky = (k) (mod ^:p) 
nur dann befriedigt, wenn p durch die Hauptklasse der Dis- 
kriminante D darstellbar ist. Dann zerfällt p in Sl in zwei kon- 
jugierte Primideale p, p', die durch Zahlen in oder in 0' 
darstellbar, also Hauj)tideale sind. 

Der Körper ^{^) ist der Klassenkörper von Sl im 
engeren Sinne, der den Idealklassen dieses Körpers entspricht, 
und auch als Haupt-Klassenkörper Ü{Sl) bezeichnet sein mag. 

In jeder Idealklasse, sowohl nach als nach 0', gibt es 
also unendlich viele Prim ideale ersten Grades. Mit anderen 
Worten: Ist a ein beliebiges (zu Q teilerfremdes) Ideal, so gibt 
es unendlich viele Primideale p, die mit q nach 0' äquivalent 
sind. Dann sind nach § 95 auch die den Idealen a und p ent- 
sprechenden Formen äquivalent, und j) ist durch die zu a gehörige 
Form darstellbar. Damit ist der Satz bewiesen: 

1. Durch jede primitive Form der Diskriminante 
D sind unendlich viele Primzahlen darstellbar i). 

§ 167. Primzahlen in Linearformen. 
Wir definieren nun eine Zahlgruppe Ä in Sl folgender- 
maßen : 



') Dieser Satz, sowohl für negative als für positive Diskriminanten, ist 
zuerst von Dirichlet bewiesen, der Beweis aber nur in einem speziellen Fall 
publiziert (Bericht der Berliner Akademie 1840, Werke Bd. I, S. 497). Der 
ausgeführte Beweis ist von H. Weber gegeben (Mathematische AnnalenXX, 
1882). Eine gleichfalls von Dirichlet herrührende Verallgemeinerung, auf 
die wir im nächsten Paragraphen zurückkommen, ist von A. Meyer be- 
wiesen (Grelles Journ., Bd. 103). Der hier im Text gegebene Beweis beruht 
auf anderer Grundlage, bezieht sich aber fi-eilich einstweilen (solange der 
Klassenkörper für positive Diskriminanten nicht bekannt ist) nur auf negative 
Diskriminanten. 



Ql^ Dreiundzwanzigster Abschnitt. § 167. 

Es sei m ein ganzes Ideal in i^, und A bestehe aus allen 
ganzen und gebrochenen Zahlen cc in i2, die zu m teilerfremd 
sind und der Bedingung genügen: 

(1) a ^ 1 (mod m). 

Nehmen wir die Primteiler von m in den Exkludenten, und 
bezeichnen mit die Gruppe der Zahlen in Sl, so zerfällt 
nach dem Modul m in i'{m) Zahlklassen, worin if{m) die Be- 
deutung wie in Bd. II, § 168 hat, nämlich, wenn p die Primteiler 
von m durchläuft: 

(2) ^(m) = iV(m) 77(1-^^). 

In die Gruppe Ä gehören nicht bloß einzelne Zahlen, sondern 
Zahlklassen nach dem Modul m. Hiernach ist: 

(3) {0,Ä) = i'{m). 

Um die Klassenzahl für unsere Gruppe zu bestimmen, wenden 
wir die Sätze des § 161 an. 

Danach ist, wenn E die Gruppe der funktionalen Einheiten 
und E die Gruppe der numerischen Einheiten bedeutet: 

(Ö, EA) = (Ö, EO) {EO, EA), 
{EO.EA) r= {EO, EEA) = (0, EA\ 

Weiter ist 

(0, EA) {EA, A) = (0, A) = i^ (m). 
{EA, A) = e ist die Zahl der nach m inkongruenten Einheiten, 
und 

(Ö, EO) = H 

die Klassenzahl des Körpers Sl, 

(Ö, EA) = h 
die Klassenzahl nach A. Daraus ergibt sich: 

(4) ;. = K±^. 

Die Zahl e ist im allgemeinen gleich der Anzahl der Ein- 
heiten in iß, also = 2, und in den beiden Ausnahmefällen 
^ = — 4, z/ = — 3 ist e = 4 und e = 6. Die Zahl e ist 
kleiner, wenn unter den Einheiten Kongruente (modulo 111) vor- 
kommen, was nur möglich ist, wenn m ein Teiler von 2 oder 
von 8 ist. 



§ 167. Primzahlen in Linearformen. 615 

Bedeutet £" die Gruppe der Einheiten oder auch eine 
darin enthaltene Gruppe, so bekommen wir denselben 
Wert der Klassenzahl und denselben Klassenkörper, 
wenn wir EÄ an Stelle von Ä treten lassen. 

Dies gilt nicht nur für diese besondere Gruppe, sondern 
allgemein. Wir hätten also z. B. die Zahlen « der Gruppe Ä 
auch durch 

oc ^ + 1 (mod m) 

definieren können , denn U -^ -\-l, — 1 ist auch in den Aus- 
nahmefällen z/ = — 4, z/ = — 3 eine Gruppe. 

Nun läßt sich nachweisen, daß der Teilungskörper 2,„ der 
Klassenkörper zu Ä ist. Schließen wir zunächst noch alle in 
der Diskriminante des Teilungskörpers aufgehenden Primfaktoren 
aus, und bezeichnen mit r irgend eine Zahl des Teiluugskörpers, 
so ist nach § 160 

(5) Ti^ ^ r (mod p) 

nur dann erfüllt, wenn p ein Primideal ersten Grades in Sl 
ist, das der Hauptklasse angehört. Das aber ist das Kennzeichen 
des Klassenkörpers. Der Grad des Teilungskörpers ist aber nach 
§ 154 höchstens gleich dem in (4) gegebenen Ausdruck /?, folglich 
ist er genau gleich Ji und die Teilungsgleichung irreduzibel. 
Außerdem ist damit bewiesen, daß es in jeder der Idealklassen 
Av nach A unendlich viele Primideale ersten Grades gibt. 
Man kann diesem Satz folgenden Ausdruck geben: 
Ist ß eine beliebige Zahl in 0, n ein beliebiges Ideal in 0, 
so ist durch 

(6) J, = aßA 

eine Klasse nach A bestimmt (§ 161), und in dieser Klasse sind 
unendlich viele Primideale ersten Grades enthalten. Ein solches 
Primideal ist nach (6) in der Form darstellbar: 

(7) p = aßu, 
worin oc ^ 1 (mod ui) ist. Setzen wir also 

so ist 

71 ^ ß (mod m). 

Daraus folgt: 

2. Ist ß eine Zahl in 0, a ein Ideal in 0, so gibt 
es unendlich viele im allgemeinen gebrocheneZahlen 
;r in 0, die der Bedingung 



QIQ Dreiundzwanzigster Abschnitt. § 1G8. 

(8) 71 ^ ß (mod ni) 
genügen, für die 

(9) p = an 
ein Primideal wird. 

Nimmt man a = 1, so wird n eine ganze Zahl, also eine 
in Si existierende Primzahl. Der Satz lautet für diesen beson- 
deren Fall: 

3. Es gibt im Körper Sl unendlich viele existie- 
rende Primzahlen ;r, deren Norm eine natürliche 
Primzahl ist, die nach einem beliebigen Modul m 
mit einer beliebigen zu in teilerfremden Zahl ß 
kongruent sind. 

Nehmen wir für den Modul m eine ganze Zahl ^ in Sl, so 
erhalten wir folgenden Satz: 

4. Ist fi eine ganze Zahl in ü, so sind in der 
Linearform 

^^ + ß, 
in der ^ die ganzen Zahlen von Sl durchläuft und 
ß relativ prim zu fi ist, unendlich viele Primzahlen 
enthalten. 

Man hat hier eine schöne Verallgemeinerung des Satzes von. 
den Primzahlen in arithmetischen Progressionen (Bd. II, § 198) i). 

§ 168. Reduktion der Klassengleichung in den Kreisteilungs- 
körpern. 

Wir definieren eine weitere Gruppe A durch folgende Be- 
stimmung : 

Es seien Q, m zwei ganze rationale Zahlen, deren Prim- 
faktoren wir in den Exkludenten S aufnehmen. sei wie in 
§ 98 die Gruppe der Zahlen in ü, und 0' die Gruppe der Zahlen 
der Ordnung [^], und J. bestehe aus allen ganzen und gebrochenen 
Zahlen cc in 0', die der Kongruenzbedingung 

(1) N{n) = l (mod m) 
genügen. Zunächst haben wir die Klassenzahl 

(2) h = (Ö, Eä) = (Ö, EO') {E0\ Eä) 

') Für den Fall J = — 4 ist dieser Beweis gegeben von H. Weber, 
Grelles Journ., Bd. 129 (Dirichlet-Band), für J = — 3 in einer Straßburger 
Dissertation von H. Bresslau (Straßburg 1907). 



§ 168. Keduktion der Klassengleichung in den Kreisteilungskörpern. 617 

ZU bestimmen. Der erste Faktor ist die Klassenzahl der quadra- 
tischen Formen der Ordnung 0' [§ 100, (3)], die wir mit H' 
bezeichnen. Es ist also 

(3) h = H' {E0\ EA) = E'{0', A) 
(nach § 100, 13.). 

Es bleibt noch (0', A) zu bestimmen. 

Bedeutet ()i, ^21 •••? P," ^in vollständiges Repräsentantensystem 
von 0' nach A^ so müssen die Zahlen 

(4) N{q,\ N{q,)... N{q,) 

nach dem Modul m alle verschieden sein, und jede Norm einer 
Zahl in ist mit einer dieser Zahlen nach m kongruent. Ist 
daher Z die Gruppe der rationalen Zahlen, M die Gruppe der 
Zahlen 2 aus Z, die der Bedingung 

z ^ l (mod nt) 

genügen. Um die Gruppe der Normenreste nach w?, so ist (4) ein 
vollständiges Repräsentantensystem von i?,» nach M und folglich 
^ = (0', .4) = (i?„„ M). 
Dafür kann man auch setzen (v^ 100, 12.): 

Nun ist 
(6) (Z, M) = (p(m) = mn(l — j\ 

wenn r die Primfaktoren von 1, 

Den Klassenkörper ^{Ä) unserer Gruppe erhalten wir, wenn 
wir dem Klassenkörper ^(D) eine primitive mte Einheitswurzel 
adjungieren : 

(8) ^{A) = ^(B,Q). 

Denn die Bedingung dafür, daß ein in einer Primzahl p auf- 
gehendes Primideal ^ des Körpers 5? (D, q) vom ersten Grade sei, 
ist, wenn (k) eine Klasseninvariante der Diskriminante D bedeutet: 

(9) ik)P = (A-), 9" = Q (mod ^), 

wenn alle störenden Primzahlen, z. B. die in den Diskriminanten 
der die Zahlen {k) und (q) definierenden Gleichungen, in den 
Exkludenten S aufgenommen sind. 



wenn r die Primfaktoren von m durchläuft und folglich 

H'(p{m) 



618 Dreiundzwanzigster Abschnitt. § 168. 

Die erste der Bedingungen (9) fordert, daß p durch die 
Hauptform der Diskriminante D eigentlich darstellbar sei (§ 122), 
die zweite, daß 

(10) p ^ l (mod m) 

sei. 

Damit ein Primideal p ersten Grades in ß, das nicht in S 
aufgeht, in EÄ enthalten sei, ist notwendig und hinreichend, daß 

1. p ein Hauptideal, d. h. eine existierende Zahl ti sei, und 
daß diese Zahl tc in Ä enthalten sei, d. h. daß 

2. N{7i) = jj = 1 (mod m) 

sei. Diese Bedingungen stimmen genau mit den Bedingungen (9) 
überein, und folglich ist ^(D^q) der Klassenkörper der 
Gruppe Ä. 

Der Grad des Körpers ^{Ä) ist daher nicht nur höchstens, 
sondern genau gleich h. 

Die Zahl (Z, Bm) ist ^^ 1 , wenn in in keine der charakte- 
ristischen Primzahlen des § 108 aufgeht, und dann ist der Grad 
des Körpers l^(Ä) gleich H'q){m). Nehmen wir umgekehrt alle 
charakteristischen Primzahlen und Primzahlpotenzen in m auf, 
so wird lim = li die Gruppe der absoluten Normenreste, 
und es ist 

{Z,Il) = 2^, 

wenn g die Anzahl der Geschlechter der Diskriminante D ist 
(§ 113, 7.). Bezeichnet also Hg die Anzahl der Klassen eines 
Geschlechtes, so ist H' = g Hy, und die Formel (7) ergibt: 

(11) h = \H^cp{m). 

Nach § 138 zerfällt die Klassenfunktion H^d{u) durch Ad- 
junktion von Quadratwurzeln in so viele Faktoren, als es Ge- 
schlechter von Formenklassen gibt, und der Grad eines jeden 
dieser Faktoren ist Hg. 

Wäre nun die Klassengleichung durch Adjunktion irgend 
welcher Einheitswurzeln noch weiter zerlegbar, als nach den Ge- 
schlechtern, so könnte man m so annehmen, daß auch diese 
Einheitswurzeln und auch Y^ in dem Körper 9t (^) enthalten 
Avären. 

Ist dann h" der niedrigste Grad, auf den die Klassengleichung 
durch Adjunktion von Einheitswurzeln reduziert werden kann, so 
ist der absolute Grad des Körpers ^{]),q) höchstens gleich h"(p{m) 



§ 169. Beziehung der Teilungskörper zu dem Klassenkörper. 619 

und der Relativgrad in bezug auf Sl höchstens gleich 1 h" cp (m\ 
und daraus geht nach (11) hervor, daß h" nicht kleiner als Hg 
sein kann. Damit ist bewiesen: 

5. Die Klassengleichung £f_2)(M) ist in dem Körper, 
der alle Einheitswurzeln enthält, nicht weiter zer- 
legbar als in die den Geschlechtern entsprechenden 
Faktoren. 



§ 169. Beziehung der Teilungskörper zu dem Klassenkörper. 

Wir haben in den beiden letzten Paragraphen zwei Arten 
von Gruppen betrachtet, von denen die erste zu den Teilungs- 
körpern der elliptischen Funktionen, die zweite zu den Ordnungs- 
körpern in Verbindung mit Einheitswurzeln führte. Zwischen 
diesen besteht eine Beziehung: 

Die erste Gruppe A bestand aus den Zahlen a in 0, die der 
Bedingung 

(1) a ^ +1 (mod m) 

genügten, wenn m irgend ein Ideal in Sl ist, die zweite Gruppe 
A' bestand aus den Zahlen c/,' der Ordnung [^], die der Bedingung 

(2) iV(a') = 1 (mod ni) 

genügten, wenn m und Q natürliche Zahlen bedeuten. 

Nehmen wir an, es sei m ein Primideal oder eine Potenz 
eines Primideals, so können wir Q und m so annehmen, daß die 
Gruppe A' in der Gruppe A enthalten ist. 

Denn ist r eine rationale Zahl, so ist, da a' der Ordnung 
[^] angehört: 

(3) a' = r (mod Q\ N{a') = rs (mod Q\ 
und wenn Q durch m teilbar ist: 

(4) a' ^ r (mod ?u), 
also nach (2) und (3) 

r2 ^ 1 (mod m) 

(5) (r — 1) {r + 1) = (mod m), 

wir nehmen also Q durch m und m durch m teilbar an; dann 
ist nach (5), wenn m, wie wir angenommen haben, ein Primideal 
oder eine Potenz eines solchen ist, entweder 

(6) r ^ 1 oder r :^ — 1 (mod tn). 



620 Dreiundzwanzigster Abschnitt. § 169. 

und aus (4) folgt: 

(7) ci' = ±1 (mod m); 

folglich ist Ä' in Ä enthalten, und nach § 164, 11. ist also is\(Ä) 

in ^(Ä') enthalten. Da nun nach § 158 jeder Teilungskörper sich 

aus solchen zusammensetzen läßt, deren Teiler ein Primideal oder 

eine Potenz eines Primideals ist, so folgt: 

6. Der Teilungskörper der elliptischen Funktionen 
ist zurückführbar auf Ordnungskörper und Kreis- 
teilungskörper '). 



') Auf anderem Wege ist ein Teil dieses Satzes bewiesen in der Straß- 
burger Dissertation von Daniel Bauer, „Über den Teilungskörper der 
elliptischen Funktionen mit singulärem Modul". Straßburg 1903. 



FÜNFTES BUCH. 



ALGEBRAISCHE FUNKTIONEN. 



Vierundzwanzigster Abschnitt. 



Algebraische Funktionen einer Variablen. 



§ 170. Einleitendes. 

Die Tlieorie der algebraischen Funktionen einer Veränder- 
lichen ist der Ausgangspunkt der allgemeinen Untersuchungen 
von Abel über die neuen Transzendenten, die seitdem den Namen 
„Abelsche Funktionen" erhalten haben, und die höchste Ver- 
allgemeinerung der elliptischen Funktionen sind. Die Haupt- 
probleme dieser Theorie sind durch die Arbeiten von Riemann, 
W^eierstrass, Clebsch, Brill und Noether zu einem gewissen 
Abschluß gebracht. Insbesondere hat Riemann in der Vor- 
stellung der mehrblätterigen (Riemann sehen) Flächen ein durch 
seine Anschaulichkeit außerordentlich wirksames Hilfsmittel für 
die Untersuchung dieser Funktionen geschaffen. 

Alle diese Untersuchungen aber, die sich einerseits auf die 
Funktionentheorie, andererseits, wie bei Clebsch, Brill, Noether, 
auf die Methoden der rationalen Algebra (Theorie der Formen 
und Invarianten oder der algebraischen Kurven) stützen, müssen 
immer gewisse Einschränkungen machen, sie müssen gewisse 
„Ausnahmefälle" ausschließen und sich mit der Behandlung der 
sogenannten allgemeinen Fälle begnügen. Nicht unterworfen ist 
dieser Beschränkung die nach Analogie der Zahlentheorie von 
Dedekind und mir ausgearbeitete Theorie der algebraischen 
Funktionen , von der hier eine Übersicht gegeben werden soll i). 



') Zur Literatur über algebraische und Abelsche Funktionen sei hier 
erwähnt: Abel, Mem. sur une propriete generale d'une classe tres-etendue 
de fonctions transcendentes (1826 der Pariser Akademie vorgelegt, Werke, 
neue Ausgabe von Sylow und Lie, Bd. I, S. 145). Riemann, Theorie der 
Ab eischen Funktionen, Grelles Journ., Bd. 54, 1857, Werke 2. Aufl., Nr. 88. 
Weierstrass, Vorlesungen 1875/76, Werke, Bd. IV. Clebsch, Über die 



524 Vierundzwanzigster Abschnitt. § 171. 

§ 171. Definition der algebraischen Punktionen. 

Eine Variable ß heißt eine algebraische Funktion einer un- 
abhängigen Veränderlichen ^, wenn die beiden Variablen durch 
eine algebraische Gleichung 

(1) F{e,z) = 

miteinander verbunden sind. F bedeutet hierin einen Ausdruck 
von der Form 

(2) F{ß,^) = aoÖ" + rtiO"-' H h «n-lÖ -f «n, 

dessen Koeffizienten «oi «n ••■■: «n ganze rationale Funktionen 
von 2 ohne gemeinschaftlichen Teiler sind. Über die konstanten 
Koeffizienten in diesen Ausdrücken machen wir weiter keine 
Voraussetzung, als daß es reelle oder komplexe Zahlen sind i). 

Wir setzen dabei die Funktion F{(j^z) in dem Sinne als 
irreduzibel voraus, daß sie nicht in Faktoren zerfallen soll, die 
selbst rationale Funktionen von Q und z sind. 

Jede ganze Funktion G{(j^z) läßt sich nach Bd. I, §20 
nur auf eine Weise in irreduzible Faktoren zerlegen (abgeseben 
von konstanten Faktoren). Wir sagen, daß die Funktion G{ß^z) 



Anwendung der Abelschen Funktionen in der Geometrie, Grelles Journ., 
Bd. 63, 1864. Clebsch und Gordan, Theorie der Abelschen Funktionen, 
Leipzig 1866. Brill und Noether, Über die algebraischen Funktionen und 
ihre Anwendung in der Geometrie, Mathematische Annalen Vil, 1874. Brill 
und Noether, Die Entwickelung der Theorie der algebraischen Funktionen, 
Bericht der Deutschen Mathematikei- -Vereinigung 1894. Appell et Goursat, 
Theorie des fonctions algebriques, Paris 1895. Über die zahlentheoretischen 
Methoden; Kronecker, Über die Diskriminante algebraischer Funktionen, 
Grelles Journ., Bd. 91, 1881, und: Festschrift zu Kummers Doktor-Jubiläum, 
Grelles Journ., Bd. 92, 1881. Dedekind und Weber, Theorie der algebrai- 
schen Funktionen einer Veränderlichen, Grelles Journ., Bd. 92, 1879. Hensel 
und Landsberg, Theorie der algebraischen Funktionen einer Variablen, 
Leipzig 1902. Die Form der Theorie, die im folgenden dargestellt ist, stützt 
sich auf den in Bd. II, § 153 eingeführten Begriff der Funktionale, die 
in dieser Form bereits in einer von Wellstein angeregten Straßburger 
Dissertation von Rehfeld (1906) zur Behandlung eines speziellen Problems 
der Funktionentheoi'ie angewandt wurden. 

^) Es würde nirgends eine Lücke bleiben, wenn wir uns dabei auf 
algebraische Zahlen beschränken wollten. Betrachtet man ö, z als 
Cartesische Koordinaten in der Ebene, so stellt die Gleichung (1) eine 
algebraische Kurve dar, und man kann die Theorie dieticr Kurven anwenden, 
wie es Glebsch und Gordan und Brill und Noether getan haben. 
Freilich haben dabei nur die reellen Werte dieser Variablen eine wirklich 
anschauliche Bedeutuno-. 



§ 171. Definition der algebraischen Funktionen. 625 

dann und nur dann verschwinde, wenn unter ihren irreduziblen 
Faktoren die Funktion F(l), s) vorkommt. Dies ist die Definition 
des Verschwindens, nach der, wenn man ganz korrekt sein wollte, 
eine jede Gleichung G (ö, ^) = als Kongruenz nach dem Modul F 
aufzufassen wäre. Um nicht weitläufig zu sein, wollen wir aber 
diese Ausdrucksweise hier nicht brauchen. 

Wenn wir die Gleichung (1) durch üq dividieren, so erhält 
sie die Form 

(3) f{(i,2) = ö" + h,e—' + ho—^ H h ^n-iö + 6„, 

worin die ij, 62, ..., b„ ganze oder gebrochene rationale Funk- 
tionen von z sind. 

Das System aller ganzen und gebrochenen rationalen Funk- 
tionen Q (Ö, 2) von und 2, in denen der Nenner nicht durch F 
teilbar ist, also nicht verschwindet, hat die Eigenschaft, sich 
durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (außer 
durch 0) zu reproduzieren, und bildet daher einen Körper 
algebraischer Funktionen (Bd. I, § 146), den ich mit Sl 
bezeichnen will. 

Der Grad n der irreduziblen Gleichung (2) oder (3), also 
der Gleichung niedrigsten Grades, der 6 genügt, heißt der Grad 
des algebraischen Körpers in bezug auf oder auch der 
Grad von ß. 

Ist (p (Ö) eine ganze Funktion von (I , deren Koeffizienten 
ganze oder gebrochene rationale Funktionen von z sind, so kann 
man durch Division eine Gleichung bilden: 

cpio) = fie)q{e)-^riß), 

worin q{6) und r(6) ebensolche Funktionen wie (p sind, von 
denen jedoch r(ß) höchstens vom Grade n — 1 ist. Wegen 
(3) ist dann 

(4) cp{e) = r{e). 

Ist cp(ß) nicht durch f{0) teilbar, so haben die beiden 
Funktionen keinen rationalen Teiler gemein, und man kann zwei 
Funktionen des Körpers /"j (ß), (p^ (ß) so bestimmen, daß 

/XÖ)/i(ö) + 9^(^)9^1(0) = 1 
wird (Bd. I, § 6). Da nun f{ß) = ist, so folgt hieraus: 

Weber , Algebra. III. aq 



g26 Vierundzwanzigster Abschnitt. § 171. 

Man kann also jede gebrochene Funktion von Ö durch eine 
ganze Funktion von 6 ersetzen und erhält so den Satz: 

1, Jede Funktion t, des Körpers Sl läßt sich auf 
eine einzige Weise in die Form setzen: 

(6) e = ^0 + ^'l ö 4- X2O2 H h .*n-lö"-l, 

deren Koeffizienten Xq, x-^, x^., ..., Xn—i rationale 
Funktionen von z sind. 

Daß dies überhaupt möglich ist, schließt man aus (4) und 
(5); daß es nur auf eine Weise möglich ist, folgt aus der Irre- 
duzibilität von /'(ö); denn hätte man zwei verschiedene Dar- 
stellungen einer und derselben Größe t iii cler Form (6), so 
würde ihre Differenz eine Gleichung für (I von niedrigerem als 
ntem Grade ergeben. 

Wählt man n Funktionen des Körpers Sl beliebig aus: 

V. = ^r + -'-ro H h <'L^(r-\ 

mit der einzigen Beschränkung, daß die Determinante 

U ±xf^^xfK..x'i;'l^ 
nicht identisch Null ist, so kann man durch Elimination der 
Potenzen von 6 aus (6) und (7) jede Funktion ^ in ß in die 
Form setzen: 

(8) i = ViVi + y2% -\ h Vn V'n 

deren Koeffizienten yi rationale Funktionen von sind. 

Ein solches System von Funktionen 1/1, rj^, ..., r?„ heißt eine 
Basis des Körpers fl. 

Damit ein Funktionensystem r]^, rj^i •■-i Vn eine Basis von Sl 
bilde, ist notwendig und hinreichend, daß keine Gleichung von 
der Form 

bestehe, in der die Koeffizienten 1/1, y^, •••, yn nicht sämtlich 
identisch verschwinden. 

So bilden die Funktionen 

i,ö, 0^..., ö"-i 

eine Basis von ü. 



§ 172. 



Normen und Spuren. 



627 



Der Übergang von einer Basis tji, rj.2, ..., rjn zu einer anderen 
V'ii V21 ■••■, Vn geschieht durch eine lineare Substitution: 

(9) in'u ^'2, .••, n'») = L{r],, yi.2, . . ., ij„) 
oder kürzer geschrieben 

(10) (»?;•) = L{r},), 



worin L die Bedeutung hat 



(11) 



L = 



'1,11 'l,2i • • M '1, n 
'2,1 5 '2,2 5 • • -t '2, n 



(Bd. II, § 41). 



W 7 / / 

^ 'n, 1 1 'M, 2 1 • • • 1 '■ ii,n/ 

Die Elemente /j^^ dieser Substitution sind rationale Funk- 
tionen von 0. 

Das System (rj') ist dann und nur dann wieder eine 
Basis, wenn die Determinante \L\ dieser Substitution 
nicht verschwindet. 



§ 172. Normen und Spuren. 

Wählt man zur Darstellung der Funktionen in Sl eine be- 
liebige Basis Tji, rjai •••? Vn-, so kann man, wenn ^ eine beliebige 
Funktion des Körpers ist, da die Produkte ^t]i im Körper ent- 
halten sind, setzen: 

tVl = Vhl Vi + «/l,2 >?2 + h 2/1,'. Vn, 

.^s iVi = 2/2,1 y]i + y2,2>]2 + ••• + y2,ni]n, 



und daraus erhält man durch Elimination der rj: 

yi,i — ^, ^1,2, ••-, 2/1,« . \ 

«/2,1, ^2,2 — ^, •••, y2,n 



(2) 



= 0, 



Vn,!- 



?/'-,2, 



•1 ^»1,: 



e 



eine Gleichung, die nach Potenzen von t, geordnet, die Gestalt 
erhält : 

(3) qp(e) = e- + ^1^"-^ H h h-it-i- K = 0, 

in der i^, ftg» •••1 ^»i rationale Funktionen von .2? sind. Diese 
Koeffizienten sind von der Wahl der Basis rii unabhängig. Denn 
die Gleichungen (1), durch die der Übergang von der Basis t^j 

40=*= 



g28 Vierundzwanzigster Abschnitt. § 172. 

ZU der Basis ^rji vermittelt wird, können wir nach der Bezeich- 
nung (9), (10) des vorigen Paragraphen so darstellen: 

(4) {tr}^) = i'(^i), 

und demnach ergibt sich durch Übergang zu der Basis rj'i: 

Die Funktionen &i, 62, ..., 6„ sind also durch die Funktion t 
vollständig bestimmt. 
Die Funktion 

I yi,u ^1,2, •••, yi,n 

(5) (-i)»6„= y^^uy2,...-..y.,n 



yn, li yn, 2i • • -5 yn,n 

heißt die Norm der Funktion ^ und wird mit N{^) bezeichnet. 
Über sie gelten folgende Sätze: 

1. Wenn ^ nicht identisch Null ist, so ist N(t} 
von Null verschieden. 

Denn wenn die Determinante des Systems (1) verschwindet, 
so lassen sich rationale Funktionen y^, y^^ •••, ^n, die nicht alle 
verschwinden, so bestimmen, daß 

l {yi Vi -i- y-2V2 -\ \- yn Vn) = o 

wird, und dies fordert, da ^1, r]^^ .,., rj^ eine Basis ist, ^ = 0. 

2. Ist ^ eine rationale Funktion von ^, so ist 
ihre Norm die nie Potenz dieser Funktion. 

Denn ist ^ rational, so reduzieren sich die Gleichungen (1) 
auf die Identitäten ^ r]i = t, tji. Es verschwinden also in der 
Determinante (5) alle Glieder mit Ausnahme der Diagonalglieder^ 
und diese werden alle gleich £;. Wir drücken diesen Satz durch 

die Formel aus: 

N{a) = a\ 

3. Sind ^,2;' zwei Funktionen in ß, so gilt der Satz 
(6) N{U') = N{t)N{^'). 

Denn ist nach (4): 

so ist 

{U'Vi)= YY'if},), 
und daraus folgt die Formel (6), weil die Determinante einer 
zusammengesetzten linearen Substitution , hier Y Y', gleich dem 
Produkt der Determinante der Komponenten ist. 



§ 172. Normen und Spuren. 629 

4. Aus 2. und 3. folgt, wenn ^ von Null ver- 
schieden ist: 

und daraus für irgend zwei ^, t,': 

^' \Ü NU) 

5. Ist t eine unbestimmte oder variable Größe, 
und (p{t) die Funktion, die nach (3) für t = t, zu. 
Null wird, so ist 

(8) cp{t) = N{t-t). 

Das ergibt sich aus (1) und (2). Denn ersetzt man in (1) 
t, durch t, — t, so ist dies gleichbedeutend damit, daß man ^j_,- 
durch ?/,-, i — t ersetzt und die übrigen i/i^ ^ ungeändert läßt. 

Zerlegen wir die Funktion (p(t), die eine rationale Funktion 
von t und s ist, in ein Produkt von irreduziblen Faktoren 
^i(Oi 9^2(0' ••• ^0 °^^ß einer dieser Faktoren für t z^ ^ ver- 
schwinden. Sei dies gjj (^), und 

(9) cp, (t) = t^^ h[ P-^ H h ^^-1^ + ^e 

sei vom Grade c. Es ist dann (p^ (t,) = die Gleichung niedrig- 
sten Grades, der t, genügt, und aus t, leitet man einen Körper 
iii ab, der in Sl enthalten ist und den Grad e hat. Jede Zahl ri 
des Körpers ßj kann, und zwar auf eine Art, in der Form dar- 
gestellt werden: 

(10) iq=Xo-^x^l^ \- Xe-il'-y 

Sei ferner 

(11) ef-\-y].ef-' H h nt-^f^f-' + ^r = o 

die Gleichung niedrigsten Grades mit Koeffizienten in i^^, der ö 
genügt, also f der Relativgrad von Sl in bezug auf Sl^. 
Durch die ef Funktionen 

(^^) ^'"" i: = ::;;. •::;;=! 

kann jede Funktion des Körpers linear ausgedrückt werden, und 
zwischen ihnen besteht keine lineare Gleichung mit rational von z 
abhängigen Koeffizienten. Denn sonst würde (j oder t, aus einer 
Gleichung von niedrigerem Grade als f oder e entstehen. Dem- 



ß30 Vierundzwanzigster Abschnitt. § 172. 

Dach bilden die Funktionen (12) eine Basis des Körpers ß, und 
es folgt 

(13) ef = n. 
Es sind also e und /' Teiler von u. 

Bedeutet 

(14) ^1, ^21 •••1 fee 

eine Basis des Körpers ^^. so bilden die n Größen: 

(15) i,d\U(i\...Ae(i\ k = 0, 1,2, ...,/•- 1 

eine Basis von Sl. Bildet man die Substitution der e Größen: 

(16) (U^)= ri(to, 

so ist 

(17) i-iyK = \Y,\ = ^\{t) 

die Norm von ^ im Körper S2^, und wenn man die Substitution 
für (ttiOi) im Körper ß mit der Basis (15) bildet, so ergibt sich 

(g ^,: 0^) = 1\ (t,) Y, iii 0)... Y, {ti Ö^ - ^) , 
woraus 

(18) N{i) = \Y,(. 

Aus der Substitutionsdeterminante | Y^ \ leitet man die Funktion 
(pi{t) nach der Formel (2) ab, und es folgt also nach (18): 

(19) N{t-t) = [<p,it)Y, 
und daraus: 

6. Die Funktion (p{t) = N (t — t,) ist entweder 
irreduzibel oder eine Potenz einer irreduziblen 
Funktion, 

Ist der Exponent f dieser Potenz größer als 1 , so ist der 
Körper Sl imprimitiv, Sl^ ist ein Teilkörper, und Sl ist ein Körper 
vom Grade f über Sl^^ (Bd. I, § 151). 

Ist /■ = 1, e = n, so heißt ^ eine primitive Funktion 
des Körpers 5i, und ß^ ist mit Si identisch. 

Wir kehren zu der Gleichung (2) oder (3) zurück, die, wie 
wir gesehen haben, von der Wahl der Basis unabhängig ist, und 
definieren den Koeffizienten 

(20) -b, = y,,, + y,^, -\ h Vn.n = ^(0 

als die Spur der Funktion ^. Für die Spur ergeben sich aus 
der Definition die folgenden fundamentalen Sätze, in denen ^, t,' 
irgend zwei Funktionen in il, und x eine rationale Funktion 
bedeutet : 



§ 173. Diskriminanten. 631 

S(p) = 0, 

(21) ^^'^ ="' 

Äa + n = s(i)-i-s{i'). 

Alle Spuren sind rationale Funktionen von «'. 



§ 173. Diskriminanten. 

Ist (^;l, rj2i •••, ';») = {rji) ein System von n Funktionen im 
Körper ü, so sind die n^ Spuren Ä(>jji^fc) rationale Funktionen 
von 2. Wir definieren als Diskriminaute des Systems (rji) 
die Determinante 

(1) z/(r;i, rj2, • • •, Vn) — 



wofür wir auch kürzer ^(^t) schreiben. 
Wir beweisen den Satz: 

7. Die Diskriminaute ^ {y]i) ist dann und nur 
dann von Null verschieden, wenn (r^j) eine Basis des 
Körpers Sl ist. 

Nehmen wir, um ihn zu beweisen, zunächst an, daß z/ (r^j) = 
sei. Dann kann man nach einem elementaren Determinanten- 
satz die rationalen Funktionen y^, ^37 •••1 2/»n ohne daß sie alle 
Null sind, so bestimmen, daß 

(2) 2/1 S{ri^ rjj,) -\- y^Sirj^Vi) -] h ynS(rjn rjk) = 

S[vk(yiVi + ?/2'?2 H h Vnnn)] = o 

(k = 1, 2, ..., n) 
ist. Bedeutet Xi, x^, . . . , Xn ein beliebiges System rationaler 
Funktionen, und setzt man 

/gx ^i^i + !/2»?2H \-yny]n = v^ 

so folgt aus (2) durch Multiplikation mit Xk und Summation: 

(4) s{^n) = o. 

Ist nun {rji) eine Basis, so kann | jede beliebige Funktion 
in ß, also auch l/i^ sein, und dann gibt die Formel (4) das 
widersprechende Resultat S(l) = 0; also kann die Diskriminaute 
einer Basis {rji) nicht verschwinden. 



532 Vierundzwanzigster Abschnitt. § 174. 

Um auch das Umgekehrte zu beweisen, nehmen wir an, es 
sei (rji) eine Basis und 

(5) iv'd = ^M 

eine lineare Substitution. Das System (rj'i) ist dann und nur 
dann gleichfalls eine Basis, wenn die Determinante |X| dieser 
Substitution von Null verschieden ist (§ 171). Setzt man nach (5) 

SO wird .., 

und indem man daraus die Determinante bildet: 

(6) zJ(r][, r]2, ..., r]'n) ^ {Xf^irji, r]2, ..., r]n). 

Ist also ^(jl'i) von Null verschieden, so kann |X| nicht ver- 
schwinden und (ji'i) ist eine Basis. Damit ist 7. bewiesen. 

Aus (6) ergibt sich noch nach der Definition der Norm in 
§ 172, wenn man ri] = ^rji setzt, und t, eine beliebige Funktion 
in Sl ist: 

§ 174. Die Potenz summen. 

Die Spuren der Potenzen von 

(1) Su = S{ß') 

sind nichts anderes als die Potenzsummen, die nach den 
Newtonschen Formeln berechnet werden können. Da wir aber 
hier nicht von den „Wurzeln" der Gleichung f(ß) = sprechen 
dürfen, die wir noch nicht haben, so müssen diese Formeln direkt 
aus der Definition der Spur abgeleitet werden. 

Ist f(d) = die den Körper Sl definierende Gleichung, so 
setzen wir 

(2) f{t) = t- + a, t—' H h «"-1 ^ + «n 

und bilden den Quotienten: 



worin 



(4) 



V»-i ^ 1- 



§ 174. Die Potenzsummen. 633 

Zwischen diesen Funktionen bestehen die Relationen: 

(5) dr}2 = Vi — a„_2^„-i, 



Ö^n-l = Vn-2 — «1 »?H-1, 

und die r/oi Vii ■••■> Vn-i bilden eine Basis von ß, da man durch 
(4) die Potenzen von linear durch die rji ausdrücken kann. 

Ist also t eine beliebige Funktion in Sl, so kann man setzen: 

(6) ^ = yoVo -^ VlVl ^ 4-^n-l»?n-l. 

Wir leiten aus i/o, i/i, ..., 2/n — i eine Fortsetzung der Reihe 
dieser rationalen Funktionen i/„, ijn + ii Un^-i-, ••• ab, indem wir 
setzen: 

(7) anVr 4- «n-l^r + l + ' ' ' + «^1 2/r + n-l + ^r + « == 

(r = 0, 1, 2,...). 
Dann ergibt sich aus (5) und (6): 

— Vn-l{anyo + <(n-iyi + ••• + «, ?/n-l), 

= ViVo -^ y2Vi -\ \-ynVn-u 

und allgemein für ein positives r: 

(8) ^6'' = yrfjo 4- ^r + l^i + ••• + yr + n-lVn-U 

wie man aus (5) und (7) durch den Schluß von r auf r -{- 1 
leicht bestätigt. Ordnet man diese Summe nach Potenzen von Ö, 
so ergibt sich ein Ausdruck von der Form 

(9) eÖ'- = Xo,r 4- X^^rd + ^2.rÖ2 -j [- X„_i,,ö"-S 

worin 

Xo,r =^ yr(fn — l -\~ ?/>• + 1 ö!« — 2 "T |" ?/r+n — 2f'i "T !?//• + « — li 

Xi,r ^= yrC(n — 2 "r !/r+ltin— 3 -}" '■' I 2/r + M — 1? 

(10) 

>^n — l,r yr- 

Nach der Definition der Spur [§ 172, (20)] ist aber 

(11) S(t) — -^,0 + ^1,1 + ••• + ^«-1, n-l, 

= yottn-i 4- 2?/ia„_2 + SlJ^ttn-s + ••• + mjn-l- 

Will man diesen Ausdruck auf ^ ^ t/^ anwenden, so hat 
man i/^ = 1, die übrigen ij = zu setzen und erhält 

^iVr) = (»" + l)an-r-l, Ä(»/„_i_r) = (w — r) «^, 



634 



Vierundzwanzigster Abschnitt. 



§ 174. 



und folglich, solange r < n ist, nach (4) mit der Bezeichnung (1): 

(12) {n r)ar = «r-'^o + «r-lSj + ••• + «i^^/--l + ^r, 

und wenn man die Spur von (i'fiß) = nimmt: 

(13) = ünSr -\- ün-i 5,- + 1 + ••• + rtiS^+n-l + ^r ^ n- 

Dies sind die Newtonschen Formeln (Bd. I, § 46). 
Bezeichnen wir mit 

fit) = nt»-^^ ()i— l)a,t'^-^ ^ h 2a„_2i -^ a„_, 

die abgeleitete Funktion von f{t), multiplizieren die Gleichung 

(12) mit /j/"-'— 1 und summieren von r = bis r = n — 1, 
so folgt: 

(14) f'{ß) = ^Jo So + »?i Si + h rin-lSn-l, 

und wenn man für irgend ein positives Tc die Gleichungen (12) 
mit ^«-»- + ^-1 multipliziert und noch so viele von den Gleichungen 

(13) hinzunimmt, bis n — r -\- Je — 1 anfängt, negativ zu werden, 
so ergibt sich: 

(15) ff'f'(d) = rjoSk + Vi^k + i + ••• + ■ri„_^Sk + r,-i- 

Um die Norm von f (0) zu bilden, hätte man in diesen 
Gleichungen zunächst die Basis i^^, rji, ..., r}n-i durch die Sub- 
stitution (2) durch (1 , 0, 6*2, ..., 0"^^) auszudrücken, dann die 
Gleichung (15) für /.; = 0, 1, ..., n — 1 zu bilden und die Deter- 
minante dieses Systems zu nehmen. Statt dessen kann man die 
Determinante in bezug auf die rj nehmen, und dann mit der 
Substitutionsdeterminante : 



Clfi—ii (ln — 2i •••1 t'ii i 
tt„ _ 2 , (in — 3 t ■ ' -i 1 5 



= (-1) 



i n{n+l) 



1, 0, ..., 0, 
multiplizieren. Dadurch erhält man 



(16) N[f'ifi)] = i-l) 



n(n + 1) 



Sq, Sj , . . ., S,; 1 



Sn — li ^)n • • V S2n— 2 

Diese Determinante ist aber nach der Definition der Dis- 
kriminante (§ 173): 

z/(i, ö, ö^ ..., e«-o, 

und wir haben also: 

(17) Nf'(0) = (-l)^"'"'''z/(l, ö, (f, ..., ö»-^). 



§ 175. Ganze Funktionen von i. 635 

In der Betrachtung dieses Abschnittes haben wir, dem Haupt- 
ziel der Untersuchung entsprechend, die Koeftizieuten «i, aj, ..., an 
als rationale Funktionen von s betrachtet. Alles bleibt aber 
vollständig ungeändert, wenn wir für diese Größen irgend einen 
Rationalitätsbereich festsetzen. 

§ 175. Ganze Funktionen von ^. 

Jede Funktion co des Körpers Sl genügt, wie wir gesehen 
haben, einer Gleichung niedrigsten Grades: 

(1) CO' 4- 6i CO'-' 4- ^2 W«-2 ^ ^ he = 0, 

deren Koeffizienten 61, ^21 ■••■> ^e rationale Funktionen von 2 sind. 

1. Wenn diese Koeffizienten ganze rationale 
Funktionen von s sind, so heißt a eine ganze 
algebraische oder kurz eine ganze Funktion von ^. 

Über die ganzen algebraischen Funktionen gelten die näm- 
lichen Sätze, wie über die ganzen Zahlen (Bd. II, § 149). 
Setzen wir 

(2) 9^(0 = t' + h,t'-' + b,i'-^ H [-be, 

so ist, wie wir in § 172 gesehen haben, 

(3) N(t — co) = cp{tY (ef = n) 

eine ganze Potenz von cp (t). Wenn wir daher N (t — co) nach 
Potenzen von t ordnen, so werden die Koeffizienten alle wieder 
ganze rationale Funktionen, also insbesondere: 

2. Die Norm und die Spur einer ganzen Funk- 
tion 09 sind ganze rationale Funktionen von £. 

3. Eine rationale Funktion von ^ ist nur dann 
eine ganze algebraische Funktion, wenn sie eine 
ganze rationale Funktion ist. 

Denn ist o? = — b rational, so ist e = 1 und co -\- b = 
die Gleichung niedrigsten Grades für o, also a nur dann ganz, 
wenn b ganz und rational ist. 

4. Jede Funktion t] in Sl kann durch Multipli- 
kation mit einer von Null verschiedenen rationalen 
Funktion von ^ in eine ganze algebraische Funktion 
verwandelt werden. 

Denn jede Funktion >/ genügt einer Gleichung niedrigsten 
Grades : 

(4) bori" -^b,r}'-' -^ [-be-irj ^be = 0, 



g36 Vierundzwanzigster Abschnitt. § 175. 

und wenn man mit hl~^ multipliziert und hoY] =^ co setzt, so 
erhält man eine Gleichung von der Form (1). 

5. Eine Funktion co des Körpers Sl ist eine ganze 
Funktion, wenn sie irgend einer Gleichung 

(5) t (co) = »'" + Ci(ö'"-1 -\ h C,n-l ö + Cm = 

genügt, in der q, Cg, ..., c^ ganze rationale Funk- 
tionen sind, wenn dies auch nicht die Gleichung 
niedrigsten Grades ist. 

Denn ist (p (to) = die Gleichung niedrigsten Grades für 
ca, so muß 4) (t) für ein variables t durch q) (f) teilbar sein. Das 
ist einfach der Inhalt der Gleichung (5). Es ist also 

^(0 =,xit)(p{t), 

worin i/'(i) ebenfalls eine ganze Funktion von t ist. Wenn nun, 
wie vorausgesetzt, il^if) ganze Koeffizienten hat, so müssen nach 
einem Satz von Gauss auch die Koefüzieuten von q)(t) und von 
X{t) ganze Funktionen sein. Vgl. Bd. I, § 2, § 20, § 148 i). 
Hieraus ergibt sich der folgende Hauptsatz: 

6. Summe, Differenz, Produkt zweier ganzer Funk- 
tionen in Sl sind wieder ganze Funktionen. 

Sind nämlich co', co" zwei ganze Funktionen in ß, die den 
Gleichungen genügen: 

CO'"' + h[co'^>--^ -] ^ J;--!«' + bn> = 0, 

co"»" -\- &;'«"»"-! J [- hn"-iG>" + Kn = 0, 

so bezeichne man mit 

COj, CO2, . . ., COm 

die Produkte 

co'''co"'"; v' = 0, 1, ..., 7i' — 1, 
v" = 0, 1, ..., n" — 1, 
und mit co eine der drei Funktionen co' 4- &?", co' co", dann kann 
man mit Hilfe der Gleichungen (6) setzen: 

tooji = a',,ia9i -f- ••• 4- ./'i.,»«,,,, 

0) 

t<J '^^m =^ Ä'j», iWj -\- ••• -j- X,n,mt^mj 

*) Bei diesem Beweis braucht nicht die Zerlegbarkeit der ganzen 
rationalen Funktionen in lineare Faktoren vorausgesetzt zu werden, sondern 
nur die Zerlegbarkeit in irreduzible Faktoren. Man kann also für die 
Zahlenkoeffizienten noch einen beliebigen Rationalitätsbereich festsetzen. 
Wir werden aber in der Folge die Zerlegbarkeit einer ganzen rationalen 
Funktion von g in lineare Faktoren, d. h. den Fundamentalsatz der Algebra, 
doch voraussetzen müssen. 



§ 176. Minimalbasis und Körperdiskriminante. 637 

WO m = n' n" ist, und die x^, y ganze rationale Funktionen von z 
sind. Aus (7) ergibt sich durch Elimination der «»■: 



^2, 1 5 ^2,2 tO , . . . , a'2, m 



= 0, 



und dies ist eine Gleichung für a von der Form (5). 

Durch wiederholte Anwendung dieses Satzes folgt, daß jede 
ganze rationale Funktion von ganzen Funktionen wieder 
eine ganze Funktion ist. 

7. Eine ganze Funktion co heißt durch eine ganze 
Funktion co' teilbar, wenn eine dritte ganze Funk- 
tion co" existiert, so daß 
(8) CO = co'co" 

ist. 
Aus dieser Detinition ergibt sich ohne weiteres : 

Ist CO teilbar durch r./ und co' teilbar durch w", so 
ist auch CO durch co" teilbar. 

Sind co' und co" durch co teilbar, so ist auch co' + co" 
durch CO teilbar. 

Sind 00^, «2, Wg, ... durch co teilbar und «i, caä, «3, ••• 
beliebige ganze Funktionen, so ist auch 

tOj co'i -|- «2 W2 + «3 »3 + • • • 
durch CO teilbar. 

§ 176. Minimalbasis und Körperdiskriminante. 

Da mau jede Funktion des Körpers Si durch Multiplikation 
mit einer ganzen rationalen Funktion in eine ganze algebraische 
Funktion von z verwandeln kann, so gibt es auch Körperbasen, 
die aus ganzen Funktionen bestehen (z. B. nach der Bezeich- 
nung in § 171, (2) die Potenzen von «o ö). 

Ist nun 

(1) Wj, «2, ..-, w» 

eine solche aus ganzen Funktionen bestehende Basis, so ist jede 
in der Form 

(2) CO = Xi coi -\- X2 CO2 -j- ■■•-{- Xn ö„ 



g38 Vierundzvvanzigster Abschnitt. § 176. 

enthaltene Funktion, wenn die Xj , x^^ ..., x„ ganze rationale 
Funktionen sind, eine ganze Funktion in 5i. Es ist aber nicht 
gesagt, daß auch umgekehrt in der Form (2) mit ganzen Koeffi- 
zienten Xi alle ganzen Funktionen in 5i enthalten sind. 

Gibt es also ganze Funktionen in der Form (2), in der die 
Xi nicht alle ganze rationale Funktionen sind, so können wir eine 
ganze Funktion finden: 

in der die Xi ganz und nicht alle durch z — c teilbar sind. 
Reduzieren wir die x^ auf ihre konstanten Reste (nach z — c), 
so ergibt sich eine ganze Funktion ca in der Form: 

^ ' z — c 

in der die Konstanten c^, Cg, ..., Cn jedenfalls nicht alle ver- 
schwinden. Ist etwa q von Null verschieden, so können wir a^ 
durch ö, C32, ..., «„ ausdrücken und erhalten eine neue ganz- 
zahlige Basis von Sl: 

(4) ö, (02, ..•, ««. 

Für die Diskriminante ergibt sich aber nach § 173, (6) die 
Beziehung : 

(5) z/ (w, «2, . . ., CJ«) = /^ _J_ Na ^ (^''i' "21 • • -1 ««)• 

Beide Diskriminanten sind ganze rationale Funktionen von z^ 
aber die Diskriminante der Basis (4) ist von niedrigerem Grade 
als die Diskriminante der Basis (I). 

Wenn wir auf diese Weise fortfahren, den Grad der Dis- 
kriminante zu erniedrigen, müssen wir schließlich zu einer aus 
ganzen Funktionen bestehenden Basis «i, w.,, ..., w„ kommen von 
der Eigenschaft, daß in der Form (2) mit ganzen rationalen Xi 
alle und nur die ganzen Funktionen in ß ausgedrückt sind. 

8. Definition: Eine ganzzahlige Basis «i, cog, •••, «« 
des Körpers Sl heißt eine Minimalbasis, wenn in der 
Form 

(6) fc) =: X^iü^ -|- ^2 "2 ~h • ■ ■ ~h ^n Wn 

mit ganzen rationalen .Tj, a?2, ••., x^ alle ganzen 
Funktionen des Körpers Sl darstellbar sind. 
Eine solche Minimalbasis existiert also immer. 



§ 176. Minimalbasis und Körperdiskriminante. 639 

9. Ein aus einer Minimalbasis Oj, cog, •••, «« ab- 
geleitetes System ganzer Funktionen 

(7) a'r = Xy^iCO^ -\- Xv^2CO,2. H" ■■■ ~l~ ^v,n^ni 

V = 1, 2, ..., j? 
ist dann und nur dann eine Minimalbasis, wenn die 
Determinante 

\o) -Ä = 2j "T^ X\^ 1 X2 2 • • • ^n n 

eine von Null verschiedene Konstante ist. 
Denn bat diese Determinante, die eine rationale Funktion 
von ist, einen Linearfaktor s — c, so kann man die Konstanten 
Cj, C2, ..., Cn so bestimmen, daß die n ganzen rationalen Funk- 
tionen 

■durch ^ — c teilbar werden, ohne daß alle Ci verschwinden. 
Dann ist aber 

z — c 

eine ganze Funktion, und co\^ «2, ..., «n keine Minimalbasis. 
Für die Diskriminante erhält man aus (7) nach § 173, (6) 

(9) ^(»1, 092, •••, (O'n) = X2z/(aJi, 032, • • •: ««)• 

Daraus folgt: 

10. Die Diskriminante einer Minimalbasis ist, von 
einem konstanten Faktor abgesehen, von der beson- 
deren Wahl der Basis unabhängig. 

Die Diskriminante einer Minimalbasis hat unter allen Diskri- 
minanten aus ganzen Funktionen gebildeter Basen den niedrig- 
sten Grad (daher der Name Minimalbasis). Es ist eine durch 
den Körper selbst, abgesehen von einem konstanten Faktor, 
eindeutig bestimmte ganze rationale Funktion von z. Sie wird 
daher auch die Diskriminante des Körpers ß genannt und 
mit z/ {fl) bezeichnet. 



Fünfundzwauzigster Abschnitt. 

Funktionale. 



§ 177. Rationale Funktionale. 

Wir übertragen nun den Begriff des Funktionais, der uns im 
17. Abschnitt des zweiten Bandes zur Begründung der Theorie 
der algebraischen Zahlen gedient hat, auf die algebraischen Funk- 
tionen. 

Wir adjungieren also dem Körper Sl beliebige Variable und 
rechnen damit nach den Regeln der Buchstabenrechnung. Es 
entsteht so ein erweiterter Körper Sl, dessen Elemente Funk- 
tionale heißen. Der Körper Sl selbst heißt der Funktional- 
körper. Die Variablen sind hier nicht im Sinne der Analysis 
als Zeichen für veränderliche Zahlen, sondern als bloße Rechnungs- 
symbole aufzufassen, und sind wohl zu unterscheiden von den 
Variablen ^, 6 des Körpers Sl. Wir wollen diese Hilfsvariablen 
die Funktionalvariablen nennen. 

Aus dem Körper Z der rationalen Funktionen von z entsteht 
durch Adjunktion der Variablen der Körper Z der rationalen 
Funktionale. 

Eine ganze rationale Funktion der Variablen: 

mit ganzen rationalen Funktionen von ^ als Koeffizienten heißt 
eine ganze Funktion in Z. Der größte gemeinschaftliche Teiler 
der Koeffizienten von O heißt der Teiler der Funktion, und 
die Funktion heißt primitiv, wenn die Koeffizienten keinen ge- 
meinschaftlichen Teiler haben. Die primitiven rationalen Funk- 
tionen und ihre Quotienten werden auch Einheiten im Körper 
Z genannt. 



§ 177. Rationale Funktionale. 641 

_Die Quotienten ganzer Funktionen in Z sind die Funktionale 
in Z. Jedes Funktional A m Z kann in die Form gesetzt 
werden : 

(1) A=-=a^^ = aL, 

worin ^i, ^^^ ^i^ -^2 ganze Funktionen in Z sind, darunter die Ein- 
heiten El, E2, und E ist eine Einheit in Z, die sich als gebrochene 
Funktion darstellt, a ist der Quotient der Teiler von ^1 und ^j, 
also eine ganze oder gebrochene rationale Funktion von 2. 

Die Funktionen a und E in der Formel (1) sind durch 2 
völlig bestimmt, al)gesehen von konstanten Faktoren, die hier 
die Rolle der numerischen Einheiten spielen. Wir wollen (i 
die „Absolute" von A nennen. Es gilt dann der Satz: 

1. Die Absolute eines Produktes ist gleich dem 
Produkt der Absoluten der Faktoren, 

und wir definieren: 

2. Ein rationales Funktional heißt ganz, wenn 
seine Absolute eine ganze Funktion von z ist. 

Aus 1. folgt, daß das Produkt zweier ganzer Funktionale in 
Z wieder ein ganzes Funktional ist. Dasselbe folgt auch für die 
Summe und Differenz zweier ganzer Funktionale A^ , A2 in Z. 
Setzen wir nämlich : 



E' ^'~ E 



«1 E^ + «2 E2 



E 

worin Wj, a^ ganze rationale Funktionen von ^ sind; E-^, E^^ E 
ganze Einheiten, so ist die Absolute von A^ + A^ der Teiler der 
ganzen Funktion a^ E-^^ + a^E^, also auch eine ganze Funktion 
von z. Also gilt der Satz: 

3. Summe, Differenz und Produkt zweier ganzer 
Funktionale in Z sind wieder ganze rationale Funk- 
tionale. 

Alle Einheiten und deren Reziproken sind nach der Definition 
als ganz zu bezeichnen. Ist die Absolute eines ganzen rationalen 
Funktionais A linear (= 2 — c), so heißt A ein rationales 
Primfunktional oder ein Primfunktional in Z. 

Weber, Algebra. III. 41 



642 



Fünfundzwanziffster Abschnitt. 



§ 178. 



4. Jedes ganze rationale Funktional läßt sich 
in Primfaktoren zerlegen und zwar, von Einheits- 
faktoren abgesehen, nur auf eine Weise. _ 

Ist ein Produkt von ganzen Funktionalen in Z 
durch ein Primfunktional teilbar, so ist wenigstens 
einer der Faktoren durch dieses Primfunktional 
teilbar. 

§ 178. Funktionale des Körpers iß. 
Ein Funktional des Körpers Sl ist ein Ausdruck von der 
Form : 

(1) ä = ^o + ^i^H h-^«-i^""'' 

wo ö die den Körper ^ erzeugende algebraische Funktion ist, 
und ^0, ^li •••1 ^«-1 rationale Funktionale sind, iö ist nur 
dann = 0, wenn alle Koeffizienten x^^ x-^^ ..., .^„_i verschwinden. 

Jedes Funktional, das in bezug auf ö von höherem als dem 
{^ — l)ten Grad ist, kann durch den Rest der Division durch f{(i) 
ersetzt, also auf den (w — l)ten Grad reduziert werden, und der 
Quotient zweier Ausdrücke (1), in der der Nenner nicht = ist, 
kann wie in § 171, 1. auf die Form (1) gebracht werden. 

Nimmt man eine beliebige Basis 

COl, GJg, . • -1 Gin 

des Körpers i^, so kann w auch in die Form 

(2) « = ^1 «1 + ^2 "2 + • • • + ^n ö« 

gesetzt werden. Wendet man dies auf die Produkte cöoj an 
und setzt 

(3) räü3; = äV,!«! -^ äv,2«2 + ••• + Xi^n^n-, 

worin die ^i,„ rationale Funktionale sind, so ergibt sich für öj 
eine Gleichung: 

X\^\ G>, ^1,2} •••1 ^l,*i 

(4) = 0, 

also: 

5. Jedes Funktional in ß genügt einer Gleichung 

(5) (jp(«) = 0, 
worin 

(6) qp (0 = i-^2^ ti~^ + 2, t—\ • • • + ^„ 



ö !'"• Ganze Funktionale des Körpers Ä. 643 

eine rationale Funktion wten Grades von t ist, deren 
Koeffizienten^!, ^21 •••? -^n Funktionale des Körpers 
Z sind. 

Wir definieren die Norm und die Spur des Funktionais wie 
in § 172: 

•^2,1? ^'2,21 • • -1 ''^2,1 



(7) 



N{ä) = 



•^ n, 1 i '^n, 2 5 • • • 1 ^^ n,n 



(8) Ä(CÖ) = :ri,i + ^2,2 + ••• + ^n,n, 

und die Sätze § 172, (6) und (21) gelten unverändert auch von 
den Normen und Spuren der Funktionale. 
Es ist dann, wie in § 172, (8), 

(9) cpit) = N{t-^), 

und die Diskriminante eines Funktionalsystems ist wie in 
§ 173, (1) erklärt, und wenn das Funktional w in einem in Sl ent- 
haltenen Körper eten Grades Sl^ enthalten ist, so genügt w einer 
Gleichung eten Grades qp^ (t) = 0. Wie in § 172, (19) wird be- 
wiesen, daß 

eine Potenz von qPi (t) ist. 

§ 179. Ganze Punktionale des Körpers Si. 

6. Definition. Ein Funktional c5 in Si heißt ganz, 
wenn es einer Gleichung: 

(1) F{ä) = w- -f Zi«'»-i H [- Jm-^m 4- j;„ = 

genügt, deren Koeffizienten ^j, ..., ^,„ ganze ratio- 
nale Funktionale sind. 

Aus dem Gauss sehen Satz (Bd. I, § 2) folgt, da man nach 
§ 177 die Primfaktoren in Z kennt, daß, wenn F(t) in Z reduzibel 
ist, auch jede in F(t) aufgehende Funktion ganze Koeffizienten 
hat, insbesondere also auch die Gleichung niedrigsten Grades 
<p(c5) = 0, der genügt. 

Die notwendige und hinreichende Bedingung für ein ganzes 
Funktional ö3 ist also die, daß 

N{t — ö) 
bei Ordnung nach Potenzen von t ganze rationale Funktionale zu 
Koeffizienten hat. 

41* 



g44 Fünfundzwanzigster Abschnitt. § 180. 

"Wie in § 175 beweist man die Sätze: 

7. Summe, Differenz, Produkt von ganzen Funk- 
tionalen in Si sind wieder ganze Funktionale. 

8. Ist ö ein ganzes Funktional in Sl nach der Defi- 
nition 6. und zugleich rational, so ist es ein ganzes 
Funktional in Z (nach der Definition 2.). 

9. Ist M ein ganzes Funktional in ii, so ist N(cö) 
ein ganzes Funktional in Z, und die Absolute von 
JV(w) heißt die „absolute Norm von 03". 

Die absolute Norm von ö5 ist also eine Funktion in Z. 
Bezeichnen wir die absolute Norm mit JVa(w), so gilt der Satz: 

(2) Na{ää') = Na{^)Nai^'). 

§ 180. Teilbarkeit von Funktionalen. Einheiten. 

Es sind nun die Sätze von Bd. II, § 155 mit ganz geringen 
Modifikationen, auf die im folgenden aufmerksam gemacht ist, zu 
wiederholen. Zur Vereinfachung des Ausdruckes sollen hier mit 
den kleinen griechischen Buchstaben ganze Funktionale in Sl, mit 
den kleinen lateinischen Buchstaben ganze Funktionale in Z be- 
zeichnet sein. Dann haben wir: 

1. Definition: Wenn ß von Null verschieden ist, 
so heißt a durch ß teilbar, wenn a/ ß = y ein ganzes 
Funktional in Sl ist. 

2. Sind I, 7j, ... beliebige ganze Funktionale in i2 
und a, /^, ... durch ö teilbar, so ist auch 

ta^nß^..- 

durch ^ teilbar. 

3. Definition: Ein ganzes Funktional £, dessen 
Reziprokes l/£ ganz ist, d. h. ein Teiler der Zahl 1 
heißt eine Einheit in il. Eine Einheit ist Teiler 
eines jeden ganzen Funktionais. Produkt und Quo- 
tient zweier Einheiten sind wieder Einheiten. 

4. Zwei ganze Funktionale a, /3, die gegenseitig 
durcheinander teilbar sind, heißen assoziiert. Ihr 
Quotient a//3 = £ ist eine Einheit. Zwei Funk- 
tionale a und «£ sind assoziiert. 

5. Ist a teilbar durch /3, so ist jedes mit a asso- 
ziierte Funktional teilbar durch jedes mit ß asso- 
ziierte Funktional. 



§ 181. Größter gemeinschaftlicher Teiler. 645 

6. Sind zwei ganze Funktionale mit einem dritten 
assoziiert, so sind sie auch untereinander assoziiert. 

7. Die Norm N((x) ist durch cc teilbar. 

Dies folgt aus der Gleichung (6), § 178: (p{oi) = 0, deren 
letzter Koeffizient A^ = dlN(a) ist. Denn danach ist: 
±N{a) = «(«"-! + J^ a"-2 _^ ^ Ä-i). 

8. Ein ganzes Funktional, dessen absolute Norm 
eine Konstante ist, ist eine Einheit, und umgekehrt 
ist die absolute Norm einer Einheit s eine von Null 
verschiedene Konstante. 

Denn wenn s eine Einheit ist, so sind 



l^ie) und n(1) = ' 



ganze Funktionale in Z\ folglich N^s) eine Einheit in Z. Um- 
gekehrt ist N(£) durch e teilbar, also, wenn ^(f) eine Einheit 
in Z ist, £ ein Teiler von 1, d. h. eine Einheit. 

9. Es gibt ganze rationale Funktionen von ^, z. B. 
die absolute Norm von a, die durch « teilbar sind. 
Ist a eine durch a teilbare ganze rationale Funk- 
tion von ^ von möglichst niedrigem Grade, so ist 
jede andere durch « teilbare ganze rationale Funk- 
tion von ^ durch a teilbar. 

§ 181. Größter gemeinscliaftlicher Teiler. 

Sind CK, /3, ... ganze Funktionale in Sl und x, y, ... Variable, 
die in a, /3, ... nicht vorkommen, so ist 

(1) d = ax-i-ßy-i-..- 

nach § 180, 2. ebenfalls ein ganzes Funktional, und zwar ist 8 
teilbar durch jeden gemeinsamen Teiler von a, /3, ... Sind 
Xa, yo, ... beliebige ganze Funktionen oder Funktionale in Z, so 
ist, wie jetzt bewiesen werden soll, 

(2) ^0 = oi^o -i- ßVo -\ 

durch d teilbar. Denn bezeichnen wir die absolute Norm von S 
mit D, so ist 

(3) N{d) = DE{x,y,.^.) = DE, 

und E{x, y, ...) ist eine Einheit in Z, zugleich aber eine ganze 
homogene Funktion der Variablen x, y, . .. 



^;^ß l''miriiiiilz\V!in/.i^.'il<'i- A liiiclmilt. § IH2. 

Bedeutet t eiuu uvua Nuriable, so ist 

N(8t ™ do) = VE{xt — a^o, ?/< - /Am •••), 
also, wenn man nach absteigenden l^)t(•ll■/,(^n von / (»idnet iiiul 
dm Faktor N{ä) rs DE beiderseits lorlhchl : 

(4) N{t -j)^ i" + ^', '" 'I (^\ i''' I ■ • -^ 

worin ^1,^9 ... keinen anderen NtMiner als A,' haben, und 
folglich ganze Funktiünalo iu E Bind. Doninaeh ist nach (hr 
Definition § 171), 6. aneh (^„:Ö ein jj;an/.es l'unklional, wie be- 
wiesen werden sollte. 

Demnaeii erh.ilten wir lolf^einh'. I »etiuit innen : 

1. Das Funktional d «r | ji i/ | ••• und jimIcs 
mit Ö asso/.iitM-t t" l'unklional isi, der größte geuiüiu- 
scbaftliche '['»«iKm- von «, />, ... 

2. Ist a,r -(-/>// oiuv Finheit, so heißen « und (i 
teilerfremd oder relativ pnni. (übt es iMiuktionale 
^, )], für die «^ I /:! >; eine Finbeit ist, so sind a, (i 
relativ piim. 

3. Ist « relativ prin» /u ji und zu v, so ist es 
auch relativ prini /u ß y. 

Denn nai-h \ oi'.ausset/nnfj; sind 

Einheiten (.r, »/, », r neue Variablen). 

a (« » u' -|- 5' t' ;r 4- /i u ti) - 1 /:$ }' r \j — « f 1, 
also nach 3. « und /iy relativ priin. 

4. Ist a jt'lativ prini zu p' und «/« iluith /> t(>ill)ar, 
80 ist (( dnieh p ttMlbar. 

Denn aus der \'oi;uisset/unu: folgt: 

«;< X \ [> (( // - .' >•(, 
>voraus, da f eine Finbeit ist, sieh der Uewois (>rgil>t. 

§ 182. rriiutuiiktioualo in P.. 

1. Hefinition. Fin gan/es l'u 11 k t ii>ii a 1 n in .^2 heilJt 
ein Frinif unktiona l, wenn es keine Finbeit ist und 
aulier dureb dit> Finiieilen nur iluroh di(> mit ihm 
assoziierten l'unk t iona li> teilbar ist. 



§ 1Ö2. rrimfuuktionale in 11. 647 

Daraus folgt: 

2. Ist ein Produkt cc ß durch -t teilbar, so ist 
weuigsteus einer der beiden Faktoren, a oder /i, 
durch 7c teilbar. 

. Denn ist weder a noch ß durch tt teilbar , so sind beide 
relativ prim zu .t und nach § 181, 3. ist tt auch relativ prim 
7.U « ß. 

3. Jodes von Null verschiedene ganze Funktional 
(ö ist durch ein Primfunktional teilbar. 

Denn ist ö3 nicht selbst ein Primfunktional, so ist es durch 
ein von (o verschiedenes Funktional n teilbar. Ist 

CO = aö)', 
so ist 03' keine Einheit und 

Die hier vorkommenden absoluten Normen sind ganze Funk- 
tionen in £ und der Grad von X„ (Tö') ist kleiner als der Grad 
von N,r(co). Ist iö' noch kein Primfunktional, so kann man so 
fortfahren und muß schlieLUich auf einen Primfaktor -t von 03 
kommen. 

In dieser Weise schließt mau weiter wie in Bd. II, § 158, 
wobei nur an Stelle der dort benutzten G röLie der ganzen ratio- 
nalen Zahlen hier die Höhe des Grades ganzer rationaler P^ink- 
tionen der Variablen ~ tritt. So erhält man auch die Sätze : 

4. Jedes ganze Funktional (ö in ii, das keine 
Einheit ist. läßt sich in eine endliche Anzahl von 
Primfaktoren zerlegen, und zwar nur auf eine Weise, 
wenn assoziierte Funktionale als nicht verschieden 
betrachtet werden. 

Im folgenden müssen wir von dem Satz Gebrauch machen, 
daß eine ganze rationale Funktion von »~ mit numerischen Koefti- 
zienten in liiu'are Faktoren zerlegbar ist, mit anderen W'orten, 
wir müssen den Fundamentalsatz der Algebra von der "Wurzel- 
existeuz voraussetzen. Es folgt daraus zunächst: 

5. Die ganze rationale Funktion von ^ niedrig- 
sten Grades, die durch ein Primfunktional ti teilbar 
ist, ist eine lineare Funktion £ — c. 

Nach § ISO, 9. gibt es überhaupt ganz rationale Funktionen 
von Ä, die durch tt teilbar sind. Zerlegt man eine solche Funk- 



648 Fünfundzwanzigster Abschnitt. § 182. 

tiou in lineare Faktoren, so muß nach 2. einer dieser Linear- 
faktoren durch 71 teilbar sein. Es können nicht zwei verschiedene 
Linearfunktionen ^ — ■ c und z — c' durch dasselbe tc teilbar sein, 
weil sonst die von Null verschiedene Konstante c — ■ c' durch % 
teilbar wäre. 

6. Jede ganze Funktion co in ü ist nach dem Mo- 
dul 7t mit einer Konstante b kongruent, d. h. man 
kann die Konstante b so wählen, das co — b durch jr 
teilbar wird. 

Denn die Funktion a genügt nach § 175 einer Gleichung: 

CO" -|- ttj W»-! -|- • • • -j- «n-l W -j- a„ =r 0, 

worin die a^, .,., «„ ganze rationale Funktionen von ^ sind. Sind 
a|\ ..., ttn die Reste dieser Funktionen bei der Teilung durch 
^ — c, also Konstanten, so folgt: 

03« + ao«"-! -f ... -|- cC_^ a -{- a'n = (mod 7t), 
und wenn man die Funktion auf der linken Seite in Linear- 
faktoren zerlegt: 

(1) (ö — 6) (« — h') (ö — b") ... = (mod 7t). 

Es muß also wenigstens einer dieser Linearfaktoren durch 7t 
teilbar sein, was zu beweisen war. 

Aus der nachgewiesenen einwertigen Zerlegbarkeit der Funk- 
tionale in Primfaktoren ergeben sich weitgehende Folgerungen, 
von denen die wichtigsten hier angeführt werden sollen. 

Wenn in einem Funktional cp des Körpers Sl eine gewisse 
Anzahl der Hilfsvariableu , x,y,..., nur im Zähler vorkommen, 
so möge 

cp = (p {x, ij, . . .) 

eine holomorphe Funktion von ;r, y, ... heißen. Von denen 
gilt der Satz: 

7. Eine holomorphe Funktion ist nur dann ein 
ganzes Funktional in ii, wenn die Koeffizienten der 
geordneten Funktion (p ganze Funktionale sind. 

Es genügt offenbar, den Satz für holomorphe Funktionen 
einer Variablen 

(2) (p = ^»"gPo -f ^'"-^(jPi H h Xfpm-l + fprn 

nachzuweisen, weil er daraus durch vollständige Induktion allge- 
mein bewiesen werden kann. 

Dieser Beweis ergibt sich aber aus dem Gauss sehen Satz: 



§ 182. Prinifunktionale iu £1. 649 

Haben zwei holomorphe Funktionen 

« = «O^f'' -j- «i^''' — 1 ~H ••• H~ ^hi 

ß = ßo.i'^ ß.-V^-^ -^ \~ ß, 

ein Produkt 

dessen Koeffizienten ganze P'unktionale sind, so können die Yq^ 
7i, ..., Yh + i; nur dann alle durch ein Primfunktional jr teilbar 
sein, wenn entweder alle «o, «j, ..., «/j, oder alle ßo, ß-^, ..., ßk 
durch 7t teilbar sind, was ganz so bewiesen wird, wie in Bd. I, § 2. 
Wenn nun (2) ein ganzes Funktional ist, ohne daß g^o? 9^i) •••■, <jPm 
ganz sind, so kann man ein ganzes Funktional ^ und darin einen 
Primfaktor tc so bestimmen, daß 

(3) X = ^9^ = ^0 ^'" + «1 ^"'~' H h «m, 

durch 7t teilbar ist, «o, ocj, ..., «„ aber nicht alle durch 7t teilbar 
sind. 

Ist nun q) ganz, so genügt es einer Gleichung: 

(4) E cp'- = a, E^ g)'"-i -f «2 E^ g)"^-^ _| y_ a„^ e„, 

und daraus durch Multiplikation mit fi"': 

(5) E r = ^ («1 E, r-' + «2 ^2 ^ 2"-' + «m ^„0» 

worin die «j , «2, ... ganze Funktionen in Z, die E^ E^, ..., jF,« 
Einheiten in Z sind. Die Einheiten E, j&i , ..., -E,,, können zwar 
X noch enthalten, können aber holomorph angenommen werden. 
Ordnen wir rechter Hand und linker Hand von (5) nach x, so 
sind die Koeffizienten von E nicht alle durch 7t teilbar. Ebenso 
sind nach dem erwähnten Satz die Koeffizienten von %"'' nicht 
alle durch 7t teilbar, während auf der rechten Seite alle Koeffi- 
zienten den Faktor /i, also auch den Faktor 7t haben. Das ist 
unmöglich und damit unser Satz bewiesen (Bd. H, § 159). 

8. Ein holomorphes ganzes Funktional cp ist der 
größte gemeinschaftliche Teiler aller seiner Koeffi- 
zienten. 

Sind a, ß, ... die Koeffizienten von cp ^ so ist cp jedenfalls 
durch den größten gemeinschaftlichen Teiler von «, /3, . . . teilbar. 
Zerlegen wir eine Linearfunktion — c in ihre funktionalen Prim- 
faktoren, so können wir in diesen Primfunktionalen 7t die Variablen 
beliebig bezeichnen, und da jedes Primfunktional in einem — c 
aufgehen muß, so können wir darin die Variablen von den Vari- 
ablen x,y,... in (p verschieden annehmen. Demnach können 



050 Füufundzwanzigster Abschnitt. § 182. 

wir ein von den x^y^ ... freies, mit q) assoziiertes Funktional 
-il< = £ (p bestimmen. Da dann (p/jjj ganz ist, so müssen nach 7. 
die Koeffizienten von cp alle durch i/', und folglich auch alle 
durch cp teilbar sein. Was zu beweisen war. 
Damit ist zugleich bewiesen: 

9. Ein holomorphes ganzes Funktional geht in 
ein assoziiertes über, wenn die Variablen anders 
bezeichnet werden. 

10. Jedes Funktional « in Si geht durch Multi- 
plikation mit einer Einheit in Z in ein holomorphes 
Funktional über. 

Denn man kann zunächst « als Quotienten zweier ganzer 
holomorpher Funktionale 

darstellen. Setzt man N((p) =^ (p f' ^ so ist, wie die Formel (4) 
zeigt, in der t/,„£',„ =: ih^^(<]p) ist, cp' mit einem holomorphen 
Funktional assoziiert, und es folgt: 

(c) E.,r. = ^'. 

11. Zu einem ganzen Funktional w kann man ein 
zweites ft so wählen, daß ^ durch beliebig gegebene 
Primfunktionale TTj, 7r.2, ... nicht teilbar wird, und daß 

(7) 03 /x = cc 

eine Funktion in ß wird. 

Man stelle ö3 nach 10. durch ein holomorphes Funktional tp 
dar. Dessen Koeffizienten sind nach 8. alle durch 03, aber nicht 
alle durch c3;ri teilbar. Es gibt also eine Funktion a^, die durch 
ö3, aber nicht durch 03 n-^ teilbar ist. 
Nun setze man: 

ö3i = ö JTg % . . . , 032 =^ 03 :7ri JTg . . . , a^ = cy tt^ti^ . . . 
und bestimme: 

«1 teilbar durch 03^, nicht teilbar durch «i^Ti, 

«2 „ „ «21 11 11 11 (O^TCo, 

^3 11 11 ^31 11 11 r GJg %. 

Dann genügt 

a = «1 + «2 4- «3 + • • • 
den Forderungen des Satzes 11. 



§ 183. Basen und Basisformen der Funktionale. 651 

12. Jedes ganze Funktional cö ist der größte ge- 
meinschaftliche Teiler zweier Funktionen cc, ß in £1. 
Um dies zu beweisen, nehmen wir a = &3|u, teilbar durch «, 
dann ß teilbar durch cö und ß : w relativ prim zu ju, ; dann ist 

öj = oi.r ^ ß y 
der größte gemeinschaftliche Teiler von a und ß. 

$ 183. Basen und Basisformen der Funktionale. 

Es sei jetzt 

(1) Ol, «2, ..., ra„ 

eine Minimalbasis des Körpers Sl (§ 176) und 

(2) «1, «21 •••5 «» 

eine andere Basis von ß. Die lineare Substitution, durch die 
die a mit dem co zusammenhängen, sei: 

i 

(3) «s = 2:a,.,,W;, 

worin die «s,» ganze Funktionen in Z sind, deren Determinante 

(4) J. = 2; + «1, 1 aa, 2 • • . «n, « 

nicht identisch verschwindet. Sind f ^ , f 2 i • • • 1 in Variable , so ist 

(5) A = 0«i fi + «2 ^2 + • • • -h «n ^n 

der größte gemeinschaftliche Teiler von «i, «21 •••5 ein- 
setzt man für ^1, #21 •••■> ^» ganze Funktionen in Z, so ent- 
stehen aus A ganze Funktionen in ß, die alle durch A teilbar sind. 

1. Man nennt A eine Basisform und «j, «25 •••1 «» 
eine Basis des Funktionais A, wenn man alle durch 
A teilbaren Zahlen in ü dadurch erhält, daß man 
für ti ganze Funktionen in Z setzt. 

Bilden die «j eine solche Basis, so kann man ganze Funktionen, 



^?sin 


z, 


so bestimmen 


, daß 




(6) 






«,. COg — 


= i^g':!so 


wird. 










Daraus folgt: 






(") 






kcjs ^= 


i 


wenn 
(8) 






H, s ^^^^ 


ig%U 



552 Fünfundzwanzigster Abschnitt. § 183. 

gesetzt ist, und indem man für a, in (7) die Ausdrücke (3) sub- 
stituiert: 

i s 

(9) A W;. = 2; 03i 2J Us, its,,. 

Nach der Definition der Norm (§ 172) ist also N(X) die 
Determinante ans den Koeffizienten 

s 

und diese kann man nach dem Multiplikationssatz der Deter- 
minante in 

(10) N{k) = AT 

zerlegen, worin Ä die Bedeutung (4) hat, und T die Determinante ist : 

(11) T = 2±t,,, to,2-.-tn,„. 

Hierin ist T eine homogene Funktion wten Grades der U, 
deren Koeffizienten ganze Funktionen in Z sind. Ä ist selbst 
eine ganze Funktion in 2. Man beweist nun wie in Bd. II, § 164, 
daß T eine Einheit ist. Wäre das nämlich nicht der Fall, so 
hätte T irgend einen Linearfaktor ^ — c, und man könnte 
nach einem elementaren Determinantensatz holomorphe ganze 
Funktionale yi in 2, die nicht alle durch ^ — c teilbar sind, so 
bestimmen, daß 

Us 2/l ^s 1 l~ ' ' ' ~l Vn 's n 

durch 2 — c teilbar wird (man kann den yi sogar konstanten 
Koeffizienten geben, da man sie auf ihre Reste nach z — c redu 
zieren kann). 

Setzt man nun 

SO folgt aus (7) 

1(0 = «1 Ml -f- «2 ^2 ~h ' * ■ ~f" ^n Wrn 

und daraus folgt, weil die cci durch A, die iii durch ^ — c teilbar 
sind, daß to durch z — c teilbar ist, was der Definition der 
Minimalbasis widerspricht. Demnach ergibt sich aus (10), daß A 
die absolute Norm des Funktionais A ist: 

(12) Na{^) = 2: ±011 «22 ••• «««• 

Für ein Primfunktional n können wir leicht eine Basis finden. 
Es können nicht alle Elemente tOi, cog, ..., w« einer Minimalbasis 
durch 7C teilbar sein, weil ja durch die Linearform 

(13) a = a;itOi -(- ^Tg «a + ••• -f- a:„ö„ 



§ 183. Basen und Basisformeu der Funktionale. 653 

auch die Funktion „1" darstellbar sein muß. Nehmen wir au, 
«1 sei nicht durch Tt teilbar. Nach § 182, 6. gibt es Konstanten 
Ci, Ca, ..., c„, deren erste unbeschadet der Allgemeinheit = I 
angenommen werden kann, die den Bedingungen: 

«1 ^1, «2 ^ <-\-: ••••) ^n = Cn (mod 7l) 

genügen. Wir setzen: 

cc, = (z — c)wi, 

(14) 



«2 = COg Cg«!, 



«„ O),, Cn Mj. 

Daß dies eine Basis von tt ist, ersieht man sofort, wenn man 
die Funktion (13) so darstellt: 

(15) ö = a?2 «2 + • • • + ^n C^n + (^'i + ^2 ^"2 + ' ' ' H" ^n ^^n) "i ; 

da «21 •••5 ^n durch n teilbar sind, so kann co nur dann durch 
jr teilbar sein, wenn die ganze Funktion in Z: 

Xi — j— Co X2 ~Y' • • • ~t~" Cn 3C,i 

durch (^ — c) teilbar und folglich a durch die Formel (5) dar- 
stellbar ist. Hiernach ergeben die Formeln (10) und (14): 

(16) Na{7l) = S — C, 

also den Satz: 

2. Die absolute Norm eines Primfunktionais ist 
eine lineare Funktion von z. 

Dieser Satz bedeutet einen wesentlichen Unterschied zwischen 
den Theorien der Zahlen und der P'unktionen. In der Zahlen- 
theorie gibt es Primideale verschiedener Grade, deren Norm eine 
Potenz einer Primzahl ist. In der Theorie der Funktionen haben 
wir nur Primfunktionale ersten Grades. Dies rührt daher, daß 
wir vermöge des Fundamentalsatzes der Algebra jede ganze 
Funktion einer Variablen nach dem Modul n in lineare Faktoren 
zerlegen können. 

Die Zahl der Primfaktoren, in die (^ — c) zerfällt, ist hier- 
nach n, da N (z — c) = (^ — c)" ist. 

Fassen wir die untereinander gleichen Primfaktoren in 
Potenzen zusammen, so ist 

(17) ^ — c = £i7r«i3r|2 3r|i..., 
worin 

(18j n = e^ -{- e^ -^ Cs -] , 

wo e eine Einheit ist. 



gg^ Fünfundzwanzigster Abschnitt. § 184. 

§ 184. Basisform und Verzweigungsfunktional. 

Unter der Basisform des Körpers Sl wollen wir die Linear- 
form verstehen: 

(1) T = «1^1 -j- 032^2 + ••• + ^ntn, 

in der t-^, t^, . . ., tn die Funktionalvariablen sind, und deren Koeffi- 
zienten ajj, CÖ2, ••., G>n eine Minimalbasis von ii bilden. Diese 
Form ist der größte gemeinschaftliche Teiler von «j, Og, .••, w„ 
und folglich eine Einheit. Aus t kann man alle ganzen 
Funktionen in Sl ableiten, indem man für die Variablen /j, 
^2, . . ., tn ganze Funktionen in Z setzt. 
Setzen wir 

(2) F{t) = N{t — r) = t^^ Ä^t»-'^ ^An-it^ An, 

so sind die J^^, ^g? •••i ^n holomorphe ganze Funktionale in 
Z, und T genügt der Gleichung nten Grades: 

(3) F{r) = 0. 
Ist 71 ein Primfunktional und 

so kann man nach § 182, 6. die Konstanten Cj, Ca, ..., c„ aus 
den Kongruenzen 

(4) Mj ^ Cj, (0.2 ^ Ca, ...,«„ ^ c„ (mod jr) 
bestimmen, und wenn man 

(5) To = C^t-i^ -\- C<it^ ^ • ' • -\- Cntn 

setzt, so ist To ein konstantes Funktional, und t — to ist 
durch n teilbar. Es ist nun zu beweisen: 

3. Das Primfunktional n ist der größte gemein- 
schaftliche Teiler von t — Tq und z — c: 

(6) Tt =: U{X To) -^ V{Z C), 

und wenn daher {z — c) durch eine höhere als die 
erste Potenz von n teilbar ist, so ist t — Tq nur durch 
die erste Potenz von tc teilbar. 
Zunächst ergibt sich aus der Definition § 181, daß 

(7) T — To = ii(a3i — Ci) + ^2(02 — C2) + h ^n{Gin — ^n) 

der größte gemeinschaftliche Teiler von {oy — Cj), (ojg — Cj), . . ., 
(«M — Cji) ist. Ist nun 

(8) £0 = x^<x>i -\- x^a^ ^ ••• Xn G>n ^ (mod 3r), 



§ 184. Basisform und Verzweigungsfunktional. 655 

SO ist x\Ci -^ X2C2 -\- ••• ^ XnCn durch TT, und weil es eine 
Funktion in Z ist, durch (2 — c) teilbar. Wir setzen: 

XiCi -\- X2C2 -\- '•■ -^ XnCn ■— iz — c)y 

und erhalten aus (8) 

(9) CO = X, («1 — Ci) -^ X2 («2 — Ca) H h^H(»n — ^») + (^ — c)y 

= ('^ — "^o) + (^ — c)i/.' 

Hätte nun (r — ro) und (2 — c) den gemeinschaftlichen Teiler 
TTÖ, so könnte man nach § 182, 11. eine durch tc teilbare, zu d 
teilerfremde Funktion co in Sl finden. Dem widerspricht aber die 
Gleichung (9), und damit ist unser Satz bewiesen. 

Es sei 

(10) 0{t) = B,t-^ + J5,^-i H \- B^_, t -f B,^ 

eine Funktion witen Grades von f, und jBq, B^^ .... 7?„j seien ganze 
holomorphe Funktionale in Z mit den Funktionalvariablen ^1, 
^2, ..., tni die der Kongruenzbedingung 

(11) 0(r) = (mod z — c) 

genügt [wie z. B. die Funktion F{t) = N(t — t)]. Dann ist 

^(to) ^ (mod tt), 
und wenn wir 0{t) durch r — Tq dividieren, so ergibt sich 

(12) ^(0 = {t — to)0,{t) (mod 7t), 

worin <X>^ (f) ein holomorphes ganzes Funktional in Z ist (weil r^ 
als konstantes Funktional in Z enthalten ist). Da nun in (12) 
außer den Funktionalvariablen nur rationale Funktionen von z 
vorkommen, so muß diese Kongruenz auch für den Modul 2 — c 
gültig sein: 

(13) ^(0 = (t — ro)0i(O (mod 2 — c). 

Ist 7c' ein zweites Primfunktional, das auch mit ti identisch 
sein kann, und 2 — c durch tcti' teilbar, und t ^ ro (mod tt'), 
so ist (r — Tq): n relativ prim zu tc' (nach 3.) und wegen (11) 
ist cDj (rö) ^ (mod %'). Daraus schließt man 

a>,(0 = {t — r',)^2(t) 
zunächst für den Modul n\ dann aber auch, da die Funktionale 
in Z liegen, auch für den Modul {2 — c). Wir haben also: 

(14) ^(0 = {t — ro) {t — x',) 02 (0 (mod 2 — c). 
Daraus schließen wir auf folgenden wichtigen Satz: 

4. Es sei nach § 183, (17) 

(15) 2 C = 71^712 ... Ttn 



ß56 Fünfundzwanzigster Abschnitt. § 184. 

in n (gleiche oder verschiedene) Primfaktoreu zer- 
legt, und 
(16) ri, t, 



11 ''21 ' • -i ^n 

seien die konstanten Funktionale, denen r nach den 
Modulen 

(17) 71^, 71^, ..., 3r„ 

kongruent wird. 

Es sei Ct»(i) ein ganzes holomorphesFunktional in z 
vom Grade m in bezug auf ^, das der Bedingung 

(18) ^(c) = (mod z — c) 
genügt. Dann ist: 

(19) 0(0 = {t — ri) {t — x^...{t — T„) •'P(0 (mod z — c), 
worin ^ ein ebensolches Funktional vom Grade 
m — n ist. 

Es folgt daraus: 

5. Ein Funktional (P, das der Bedingung (18) ge- 
nügt, kann nicht von niedrigerem als wtem Grade 
sein. 

Und auf die Funktion F{t^ angewandt, folgt die Formel: 

(20) F{f) = N(t — t) = {t — x,){t — x^)...{t — Tn) (mod z — c). 
Die Kongruenz (20) können wir in folgender Weise durch 

eine Gleichung ersetzen: 

Wir fassen, wie in (17) des vorigen Paragraphen, in der 
Zerlegung von z — c in Primfaktoren die gleichen Faktoren zu- 
sammen und setzen: 

(21) Z — c = :r«t;r|2...<- 

^1 + ^2 + • • • + e,„ = n, 
dann ist nach (20) : 

(22) F{t) = {t — t,y^ (t — t,y^ ...{t — x^) e,n J^{^s - c)R (0, 
worin Ii{t) ein ganzes Funktional zunächst in ü ist. Die Formel 

(22) selbst sagt aber, daß R{t) in Z enthalten ist, und daß es 
eine ganze Funktion der Funktionalvariablen f, ^i, t^t . . ., in ist. 

Wir können also auch die Ableitung der Gleichung (12) in 
bezug auf t bilden und erhalten: 
F'it) = e,(t — T,)*i-i (t — x,y^ ...{t — x,,y>n 

(23) + ^2^^ ~ "^»^C^ — ^iY'-' ...(< — r,„)«m 

+ e,n{t — X^y^{t — T^)«2 ...{t — TrnY^n-l -f- (^ _ c) R' {t) 



§ 184. Basisform und Verzweigungsfunktional. 657- 

und hierin liegt der Beweis des folgenden Hauptsatzes, den man 
erhält, wenn man t = z-^ setzt. 

6. Wenn e^ = 1 ist, so ist F' (r) nicht durch n^ 
teilbar. Sonst ist F'{t) durch n\i—'^, aber nicht durch 
7i\i teilbar. Das Gleiche gilt von den übrigen Prim- 
faktoren von (0 — c) und folglich ist F' (t) teiler- 
fremd zu allen Primfaktoren 2 — c in Z, die nicht 
durch das Quadrat eines Primfaktors in Sl teilbar 
sind. 

Es gibt also nur eine endliche Anzahl von Primfaktoren 
(^ — c), die durch eine höhere als die erste Potenz eines Prim- 
faktors in Sl teilbar sind, und F' (t) ist, in Primfaktoren zerlegt, 
das Produkt aller Faktoren ä«-\ wenn n^ die höchste in N{n) 
= z — c aufgehende Potenz von 7t ist. 

Das Funktional F' (t) wird das Verzweigungsfunktional 
des Körpers Sl genannt. 

Für die absolute Norm des Verzweigungsfunktionais er- 
halten wir: 

(24) NaF'(r) = n{z — c)«i-i + ^2-i + •■•, 

worin sich das Produkt 77 auf alle Linearfaktoren {z — c) er- 
streckt, die durch eine höhere als die erste Potenz eines Prim- 
faktors teilbar sind. 

Wir können noch zeigen, daß diese absolute Norm nichts 
anderes ist, als die Körperdiskriminante D. 

Um dies zu beweisen, setzen wir: 

(25) t^ = «fc,lWi -\- Mfc,2C52 + ••• + Wfc,„CJ„, 

worin die iik,ii %, 2» •••, %,n homogene Funktionen /.;ten Grades 
von ^1, fg, ..., tn sind, und die Determinante 



(26) U = 



■^1,01 ^'2,05 •••) ^n.O 



Wi,n — 15 ^2, n — li •••) Mn^ „_i 

ist eine Einheit. 

Denn wäre U keine Einheit, so hätte sie wenigstens einen 
Linearfaktor — c, und man könnte die ganzen rationalen 
holomorphen Funktionale i/o, ^/n •••i Vn-i so bestimmen, daß 

«r.O^O 4- **r,iyi + ••• + Wr,n-l2/n-l = (mod Z — c) 

wäre, ohne daß alle ys durch z — c teilbar sind. 

Weber, Algebra. III. ao 



558 Fünfundzwanzigster Abschnitt. § 185. 

Dann würde sich aus (20) eine Kongruenz ergeben: 

2/0 + ^1^ + ^2^2 H h «/n-it"-i = (mod z — c), 

was nach dem Satz 5. nicht möglich ist. 
Nach § 174, (17) und § 176, (9) ist 

iYF'(T) = ±z/(l, T, r2, ..., r"-!) 

(27) = ±f72^(wi, «2,..., «„) 

= + f/'äz/; 

also ist 

(28) ^aF'ix) = A 

die Körperdiskriminante, die hiernach durch (24) in 
lineare Faktoren zerlegt ist. 

Die gewonnenen Resultate benutzen wir noch zum Beweis 
des folgenden Satzes: 

7. Ist eine ganze Funktion in Sl 

(29) a = a^i (Ol + % coa + h ^n«n 

durch jedes in z — c aufgehende Primfunktional 
teilbar, so ist jS(«) durch s — c teilbar. 
Die a^i, x^^ ..., a;„ sind hier ganze Funktionen in Z. Die 
Funktion to geht aus r hervor durch die Substitution 

(30) (l ^n '2 -^Sl • • "1 '■n '^w 

Ist also a durch :r teilbar, und coi ^ Cj, ..., (o„ ^ c„ (mod ;r), 
so ist 

Ä?! Ci -f- -^2 ^2 + • • • + -^"n Ch ^ (mod 7t) 
und folglich auch, als Funktion in Z, durch z — c teilbar. Sind 
also Tj, ta, . . ., Tm die konstanten Funktionale, denen t nach den 
Primfaktoren ä^, n^, ..., :7r,rt von (^ — c) kongruent ist, und 
gehen diese durch die Substitution (30) in t^, t^, ..., t^^ über, so 
sind alle diese Funktionen durch (z — c) teilbar [weil sie n. V. 
durch einen Primteiler von (z — c) teilbar sind]. Nun ist nach (22) 

(31) — S{t) = eiti 4- ^2^2 + ••• + Pm-^m, 

und mithin 

— S{a) = e,zl + e^rl ^ h e^Tm = (mod z — c), 

wie zu beweisen war. 

§ 185. Die gebrochenen Funktionen in Sl und die 
Taylor sehe Entwickelung. 
Eine gebrochene Funktion rj im Körper £1 kann auf unendlich 
viele Arten durch Multiplikation mit einer ganzen Funktion v in 
eine ganze Funktion ^ veuwandelt werden. Es ist dann 



§ 185. Die gebrochenen Funktionen in il. 659 

(1) " = 7- 

und n heißt der Zähler, v der Nenner von rj. Diese beiden 
Funktionen sind durch rj nicht vollständig bestimmt, wohl aber 
sind die Funktionale bestimmt, die übrig bleiben, wenn alle 
gemeinschaftlichen Funktionalfaktoren im Zähler und Nenner 
herausgehoben werden. Denn ist 

(2) ^ = ^; ^v==v,', 

SO muß jedes Primfunktional, das in v, aber nicht in ^ aufgeht, 
in v' aufgehen. Die so aus r] bestimmten Funktionale w und ß 
nennen wir Zählerfunktional und Nennerfunktional von rj. Um 
7] durch Funktionen darzustellen, nehme man zunächst eine Funk- 
tion V, teilbar durch ß, aber sonst beliebig und setze v = ßy; 
darin kann y relativ prim zu einem beliebigen Funktional an- 
genommen werden. Dann ist tj v eine durch y teilbare ganze 
Funktion, und man setze 

Das Funktional ä kann aber, wie wir später noch nachweisen 
werden, bei gegebenem ß nicht mehr beliebig sein. 

Die Funktionale öc, /3 werden wir auch kurz den Zähler und 
den Nenner von r] nennen. 

Ist n ein Primfunktional, so gibt es Zahlen (Konstanten) 
a, &, a\ b', die den Kongruenzen 

/i ^ (/, V ^ J, i"-' ^ a\ v' ^ b' (mod tc) 
genügen, und aus (2) folgt 

ab ^^ a . —■=-— = c, 
b b 

vorausgesetzt, daß v und v' nicht durch n teilbar sind. Es ist 
dann 7] — c eine Funktion in ß, in der der Zähler, aber nicht 
der Nenner durch -Ji teilbar ist. Ist q eine ganze oder gebrochene 
Funktion, in der der Zähler durch jr, aber nicht durch tt^, der 
Nenner auch nicht durch n teilbar ist , so ist {iq — c) : p eine 
Funktion, deren Nenner nicht durch n teilbar ist und deren Zähler 
den Faktor ä einmal weniger enthält als {ri — c). Wir setzen: 

n — c = Qfj^. 

Dieselbe Betrachtung wenden wir auf tj^ an und bekommen 
so eine beliebig fortzusetzende Reihe von Gleichungen: 

42* 



660 Fünfundzwauzigster Abschnitt. § 186. 

woraus sich ergibt: 

(4) ^ = c + Ci () 4- Ca ^2 _^ y Cr-x Q'-' -|- rjr Q''- 

Die Reihe der Konstanten c, c^, Cj, ..., c,._i ist durch rj voll- 
ständig bestimmt und rji, 7}^^ ..., ^r ist eine Reihe von Funk- 
tionen in ß, deren Nenner nicht durch n teilbar ist. 

Man könnte diesen Ausdruck die Taylorsche Entwickelnng 
der Funktion ri nach Potenzen von q nennen. Eine ähnliche Ent- 
wickelnng läßt sich auch für eine Funktion t] geben, deren Nenner 
durch 71 teilbar ist, nur daß dabei auch negative Potenzen auf- 
treten: Man kann nämlich eine Potenz q^ so bestimmen, daß 
der Nenner von Q'^ri nicht mehr durch tc teilbar ist, und wenn 
man auf dieses Produkt die Entwickelnng (4) anwendet, so folgt: 

(5) 71 = CQ-^ -\- Ci p-« + i + ••• + c,-_i^''-^-i -f- rj,.Q'-^ 

§ 186. Birationale Transformation. 

Wir kommen jetzt zu einem Gegenstand, der das Gebiet der 
algebraischen Funktionen vorzugsweise von dem der algebraischen 
Zahlen unterscheidet, und der Grund dafür ist, daß die Theorie 
der ganzen Funktionen und Funktionale für die Funktionen bei 
weitem nicht den Charakter der Invarianz hat, wie bei den Zahlen; 
das ist die birationale Transformation. 

Ist ^1 irgend eine nicht konstante Funktion des Körpers Si 
und N {t — ^i) die /te Potenz einer irreduziblen Funktion eten 
Grades (§ 172, 6.), so besteht zwischen z und ^^ eine Gleichung, 
die in bezug auf jSi vom eten Grade ist, deren Grad in bezug auf ^, 
wenn Nenner und überflüssige Faktoren weggeschafft sind, mit 
ßi bezeichnet werde. Diese Gleichung sei 

(1) G{l,/^) = 0. 

Unter den verschiedenen Gleichungen dieser P^orm gibt es 
nur eine irreduzible und diese ist sowohl in bezug auf als in 
bezug auf 2^^ von möglichst niedrigem Grade (Bd. I, § 20). 

Ist eine primitive Funktion des Körpers Si, so ist nach 
§ 172, (12) 

^'^ '^^^ /c = 0, !,...,/•- 1 



§ 186. Birationale Transformation. 661 

eine Basis des Körpers ü, und folglich kann jede Funktion a 
in il in der Form dargestellt werden: 

(3) CO = ^o + liöH hlf-iÖ^-S 

worin die |o5 In •••, I/--1 rationale Funktionen von *■ und 0^ sind, 
also Zahlen des durch (1) bestimmten Körpers. Setzen #ir 

(4) n = ef, n^ = e^f, 

so lassen sich die Funktionen |,- in jeder der beiden Formen 

darstellen : 

/^N I = ,ro 4- a:i ^1 -f- a^a ^2 _^ _^ ^^_^ ^e-i ^ 

= 2/0 + !/l ^ + ^2 ^2 H h 2/e^-l^*l-^ 

worin die a; rationale Funktionen von ^, die «/ rationale Funktionen 
von Zt^ sind. 

1. Demnach läßt sich jede Funktion co linear mit 

rationalen Koeffizienten in z-^ darstellen durch die 

Wi -Funktionen: 

die wir in irgend einer Reihenfolge mit 

bezeichnen, und diese Funktionen sind linear un- 
abhängig, d. h. es besteht zwischen ihnen keine 
lineare Relation mit rationalen Koeffizienten in z^: 

■^1 ^1 + ^2 ^2 H h ^", ^«1 = 0, 

aui3er wenn die x^^ x^t .-., a;„- alle verschwinden. 
Denn f ist der niedrigste Grad einer Gleichung für Ö mit 
rationalen Koeffizienten in z und z-^ (§ 172). 
Betrachten wir nun das Funktional 

(Ö) ^1 = ^1^1 + ^2^2 + h ^"1^". 

mit den Funktionalvariablen i^, t^^ . , ., f„, , so ergibt sich ein System 
von Gleichungen: 

worin r jede natürliche Zahl, auch 0, sein kann, und die Xi^r 
rationale holomorphe Funktionale in z^ sind. Es ergibt sich 
daraus durch Elimination der 7} eine Gleichung 

(10) 0{r,) = r- 4- A^f-' H h A,-iri -f A,, = 

höchstens vom Grade n-^ mit rationalen Funktionalen in Zi als 
Koeffizienten. 



662 Fünfundzwanzigster Abschnitt. § 186. 

Es ist zu beweisen, daß dieser Grad nicht kleiner als Wj 
sein kann, oder was damit gleichbedeutend ist, daß die rj^, 
7^2, •••, ^«1 rational durch r^ darstellbar sind. Dies ergibt sich, 
wenn man (10) nach einem der t^ partiell differentiiert: 

* ('■•)''' + "BT '' + •■■ + -^TT'' + ^77 = ''• 

Da nun ^'(t^i) nicht verschwindet, wenn m der möglichst 
niedrige Grad der Gleichung (10) ist, so erhält mau daraus un- 
mittelbar die gesuchte Darstellung von rj.^. Also muß w = n^ 
sein. Damit ist bewiesen: 

2. Das Funktional t-^ genügt einer irreduziblen 
Gleichung ^^^ten Grades in 2^. 

Setzen wir also in (9) r = 0, 1, 2, . . ., w^ — 1, so ergibt sich 
ein System linearer Gleichungen für rj^, y]^^ ,.., ?j„j, deren Deter- 
minante ein nicht verschwindendes Funktional in z-^^ ist, und man 
kann also für die Variable U solche konstante Werte setzen, daß 
die Determinante auch dann nicht verschwindet. Geht Tj durch 
diese Substitution in ^}■^ über, so kann man aus dem System (9) 
die iji, rl2^ ••'i Vni rational durch z-^ und O^ ausdrücken. 

Damit ist aber bewiesen: 

3. Ist ^1 eine beliebige, nicht konstante Funktion 
in 5i, und öi eine zweite Funktion desselben Kör- 
pers, die keiner Gleichung von niedrigerem als 
Wjten Grade in z^ genügt, so sind alle Funktionen 
des Körpers ii, also auch z und ö, rational durch 
^1 und Öl ausdrückbar. 

Zwischen irgend zwei Funktionen a, ß des Körpers Sl besteht 
immer eine Gleichung mit konstanten Koeffizienten 
(11) F(a, ^) = 0, 

und unter allen möglichen Gleichungen dieser Form ist eine von 
möglichst niedrigem Grade, sowohl in bezug auf a als in bezug 
auf ß. 



Sechsundzwanzigster Abschnitt. 

Zahleiiwerte der algebraischen runktioneii. 



§ 187. Der Punkt. 

Es entsteht nun die Frage, wie man den algebraischen Funk- 
tionen eine Bedeutung im Gebiete der Zahlen beilegen kann. Wir 
setzen dabei das Gebiet der reellen und imaginären rationalen 
und irrationalen Zahlen als gegeben voraus, und in diesem 
Gebiete das Rechnen mit den vier Spezies. Wir erweitern dieses 
Gebiet durch Hinzufügung eines Zahlzeichens „Unendlich": co, 
und rechnen auch mit diesem Zeichen in bekannter Weise, so daß 



(1) ^ = 0,1=00, 


CO . 


ist, während den Symbolen 

00 + 00, • 00, 






00 
00 

keine Bedeutung zukommt (oder auch, in jedem einzelnen 
Falle nach Bedarf, ein beliebiger Zahlwert beigelegt wird). 

Der Körper Sl besteht jetzt aus allen möglichen algebraischen 
Funktionen cc, /3, 7, ..., die nach § 186 als rationale Funktionen 
von zweien unter ihnen mit Zahlenkoeffizienten dargestellt werden 
können. Auf die Art dieser Darstellung kommt es zunächst 
nicht an. 

Wir stellen nun folgende Definition auf: 

1. Wenn alle Individuen a, ß, y, ... des Körpers Sl 
durch bestimmte Zahlwerte «„, ^g, y^, ... in der Weise 
ersetzt werden, daß 

1. «::=«(,, wenn a konstant, 

2. (« + /3)o = «o4-/3o, 

3. (« — /3)o = «0 — ßo^ 

4. (a/3)o ^ «o/^oi 

^ (i). = ;-:• 



664 Sechsundzwanzigster Abschnitt. § 187. 

SO ordnen wir einem solchen Zusammentreffen von Werten 
einen Punkt ^ zu. Wir sagen: a = «q, oder cc hat den W^ert cCq 
im Punkte ^. Zwei Punkte ^ und ^' heißen dann und nur dann 
verschieden, wenn es wenigstens eine Funktion in Sl gibt, die in 
5j} und ^' verschiedene Werte hat. 

Die Regeln 2. bis 5, versagen in den Ausnahmefällen, nämlich 
2. und 3., wenn cc^ und /3o = qo sind; 4., wenn a^ =^ 0, /3o = ac 
oder «0 =^ '^i /^o = ^ wird, und 5., wenn dcq und ß^ beide = 
oder beide = oo sind. 

Trotzdem müssen die Funktionen (« + /3)o, («/3)o und (cc:ß\ 
auch in diesen Fällen bestimmte Werte haben, die aber nicht un- 
mittelbar aus den Vorschriften 2. bis 5., sondern auf indirektem 
Wege bestimmt werden. 

Der Punkt ist hiernach ein zu dem Körper Sl ge- 
höriger invarianter Begriff, der nichts mit dem zufälligen 
Umstand zu tun hat, welche der Funktionen von Sl wir als die 
unabhängige Variable betrachten. 

Um alle Punkte zu finden, verfahre man so : Ist ''^ ein Punkt, 
so gibt es Funktionen, die in ihm einen endlichen Wert haben, 
denn wenn eine Funktion a in '^ unendlich ist, so ist 1 : « end- 
lich. Eine solche Funktion nehme man als unabhängige Variable s 
und bezeichne ihren Wert im Punkt ^ mit c. Alle ganzen Funk- 
tionen von 2 sind dann gleichfalls in -^ endlich, denn ist cj eine 
ganze Funktion, die der Gleichung 

(0» -f aiOj"-! -f ••• -|- a„ = 
genügt, so muß 

li^ii!2j Lf^=,o 

in '^ befriedigt sein, und da die a^, «35 • • •? ^" ^^^ ganze rationale 
Funktionen von in ^ endlich sind, so kann co nicht ^=1 00 sein. 

Jede Kongruenz nach dem Modul 3 — c muß daher im 
Punkt '^ in eine richtige Gleichung übergehen, auch wenn diese 
Kongruenz zwischen holomorphen ganzen Funktionalen besteht. 
Ist also t die Basisform von Sl in Z, so muß nach § 184, (20) die 
Gleichung bestehen: 

(r — Ti) (t — T2) . . . (r — T„) = 0. 

Es muß also einer der Faktoren der linken Seite in ^ ver- 
schwinden. Ist dies T — Ti, so entspricht diesem Faktor ein 
Primfaktor 71 von z — c. Es wird also in 'ip 

(2) Mj — Ci, 032 = ^25 •••> "n = C„, 



§ 187. Der Puükt. 665 

wenn c^, Cg, ..., c„ die durch die Kongruenzen 

(3) oj] ^ Cj, (»2 ^ Ca, ..., G)„ ^ c„ (mod jr) 
bestimmten Zalilwerte sind. Hierdurch sind die Werte aller ganzen 
Funktionen von z im Punkt ^ bestimmt. Jede ganze Funktion 
c3 ist nach dem Modul z — c einem Ausdruck 

«1 »1 + 0^2 »2 + • • • + «n «n 

mit konstantem Koeffizienten a kongruent und ist dann und nur 
dann durch % teilbar, wenn 

«1^1 + «2^2 + ••• -f- «nC„ = 

ist. Demnach folgt: 

2. Unter den ganzen Funktionen von z haben nur 
die durch % teilbaren in ^ den Wert 0. 

Da man jede gebrochene Funktion in Sl so darstellen kann, 
daß Zähler und Nenner nicht zugleich durch % teilbar sind, so 
ist hierdurch der Wert einer jeden Funktion in '•^ bestimmt. 

3. Der Primfaktor tl heißt durch den Punkt ^ 
erzeugt. Er kann nicht durch einen von '!p ver- 
schiedenen Punkt erzeugt werden. 

Man kann auch umgekehrt aus jedem Primfaktor ;i; in ^ 
einen Punkt erzeugen. 

Ist ^ — c die durch 7t teilbare Linearfunktion, so gebe man 
der Funktion z den Wert c. Dann nehme man eine durch tt, 
aber nicht durch n'^ teilbare Funktion q und setze nach § 185, 
(5) für jede Funktion ri : 

(4) 7j =: a ()'" -(- f)i ^'" + \ 

worin m eine ganze rationale Zahl, rj^ eine Funktion, deren Nenner 
nicht durch n teilbar ist. Der Funktion q erteile man den Wert 
und der Funktion r} den Wert 

rjQ = CO, wenn m «< 0, 

r}Q = a, wenn m = 0, 

?yo = 0, wenn m >> 0. 

4. Die so bestimmten Werte aller Funktionen rj 
genügen den Bedingungen 1. bis 5. und konstituieren 
also einen Punkt, der durch das Primfunktional n 
erzeugt heißt. 

Man kann also aus einer einzigen Funktion z und den Prim- 
faktoren der Linearformen z — c alle Punkte ableiten, in denen 



QQß Sechsundzwanzigster Abschnitt. § 188. 

2 einen endlichen Wert hat. Um auch die übrigen zu bestimmen, 
muß man noch eine zweite Funktion , etwa ^^ = 1 : .« , zu Hilfe 
nehmen, die in den noch fehlenden, in endlicher Anzahl vorhan- 
denen Punkten den endlichen Wert hat. 

Die Gesamtheit der Punkte bilden die absolute Rie- 
mannsche Fläche^). 

§ 188. Ordnungszahlen. 

1. Ist ^ ein Punkt, so schreiben wir jeder Funk- 
tion fj, die in diesem Punkte einen endlichen und 
von Null verschiedenen Wert erhält, in ^^ die Ord- 
nung zu. 

2. Wenn co die Gesamtheit der in ^ verschwinden- 
den Funktionen durchläuft, und q eine von diesen 
Funktionen ist, für die alle 

CO 

Q 

endliche Werte haben, so hat q die Ordnung 1. 

Man sagt auch, q wird in '^ unendlich klein in der ersten 
Ordnung. 

Ist - weder Null noch Unendlich, so hat q' hiernach gleich- 
Q 
falls die Ordnung 1. Umgekehrt ist, wenn g und q' beide die 
Ordnungszahl 1 haben, q : q' und q' : q weder Null noch Unendlich. 

3. Ist Q von der ersten Ordnung und w irgend 
eine Funktion in .Ji, so hat co die Ordnungszahl n, 
wenn q~"co in '^ weder Null noch unendlich wird. 

Diese Bestimmung der Ordnung n ist unabhängig davon, 
welche Funktion erster Ordnung wir genommen haben. Ist n 
positiv, so wird ca Null, ist n negativ, so wird co unendlich, und 
ist w = 0, so hat co in ^^ einen endlichen, von Null verschiedenen 
Wert. 



') Nach Riemanns Theorie der algebraischen Funktionen entspricht 
jeder Punkt der geschlossenen mehrblätterigen Fläche einem Punkte in unserem 
Sinne. Ist z unabhängige Variable, so ist die Riemauneche Fläche n-blätterig 
über die .?- Ebene ausgebreitet. Als absolute Riemaunsche Fläche kann 
man irgend eine Fläche betrachten, auf die die Gesamtheit jener niehrblätte- 
rigen Flächen eindeutig und stetig bezogen werden kann. 



§ 189. Polygone. 667 

Die Definition der Ordnungszahl haftet also am Punkte '^p. 
Sie ist für den Körper Si invariant. 

Daß jede Funktion in jedem Punkte ^^ eine bestimmte ganze 
Zahl n als Ordnungszahl erhält, ergibt sich nun aus § 185, (5). 

Man nehme eine Funktion ^, die in ^ endlich bleibt, als 
unabhängige Variable, bestimme das zu ^ gehörige Prim- 
funktional 7t und wähle eine Funktion q, deren Zähler durch ;r, 
aber nicht durch n^ teilbar ist. Diese Funktion ist von der ersten 
Ordnung. 

Dann kann man jede Funktion co in die Form setzen: 

(1) 03 = «()" + ^iP" + S 

worin a eine von Null verschiedene Konstante ist, und w ist die 

Ordnungszahl von a. 

Hat Q die Ordnung 1, so hat ^" die Ordnung w. 

Über die Ordnungszahlen gelten folgende Sätze, die alle leicht 

aus (1) folgen: 

4. Die Ordnung eines Produktes zweier Funk- 
tionen ist gleich der Summe der Ordnungen der 
Faktoren. Die Ordnung eines Quotienten ist gleich 
der Differenz der Ordnungen von Zähler und Nenner. 

Die Ordnung einer Summe ist gleich der niedrig- 
sten unter den Ordnungen der Summanden. Kommen 
unter den Summanden mehrere von gleicher niedrig- 
ster Ordnungszahl vor, so kann die Ordnung der 
Summe größer, aber nicht kleiner sein. 

Von einer Funktion, die in ^-)3 Null in der wten 
Ordnung wird, sagt man auch, sie wird Null in der 
ersten Ordnung in n zusammengefallenen Punkten. 

§ 189. Polygone. 

1. Definition. Komplexe von Punkten, die den- 
selben Punkt auch mehrmals enthalten können, 
heißen Polygone oder Vielecke (des Körpers ^). 

Die Zahl der Punkte eines Polygons heißt seine Ordnung, 
und ein Polygon mter Ordnung wird auch kurz ein wi-Eck 
genannt. 

Als Bezeichnung für die Polygone sollen die Buchstaben des 
großen deutschen Alphabets 21, 33, S, . . . dienen. 



668 Sechsundzwanzigster Abschnitt. § 189, 

2. Unter dem Produkt 'i(23 zweier Polygone versteht 
man das Polygon, das die Punkte von ^ und 'S zu- 
gleich enthält, und zwar einen Punkt ^, der rmal 
in 51 und smal in '-b vorkommt, r -\- smal. Die Ord- 
nung eines Produktes ist gleich der Summe der 
Ordnungen der Faktoren. 

Wenn wir also mit ^i, ^^^i • • • verschiedene Punkte bezeichnen, 
so können wir jedes Polygon 5t auf eine Weise in die Form setzen : 

(1) ^ = ^[^%^... 

Die Punkte sind also in der Rechnung mit Polygonen die Prim- 
elemente. Um auch für die Einheit einen Vertreter zu haben, 
muß noch das „Nulleck" O, das gar keinen Punkt enthält, mit- 
genanut werden. 

Der größte gemeinschaftliche Teiler zweier Polygone 
5(, S enthält jeden Punkt, der in 5t und 53 vorkommt, und zwar 
so oft, als er in jedem von beiden vorkommt. 

Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache enthält jeden 
Punkt von 5t und 53, und zwar in der höchsten der Ordnungen, 
in denen er in 5t und 33 vorkommt. 

3. Ist ^ eine Variable des Körpers £1 und n der 
Grad des Körpers in bezug auf ^, so nimmt ^ jeden 
Wert c in w Punkten an. 

Denn zerlegt man 2 — c in seine Primfaktoren [§ 183, (17)]: 
ß — c = 7i\^7i'^ •••, ßj -^ eg -]-••• = M, 
so erzeugt jeder dieser Primfaktoren einen Punkt, z. B. ti^^ den 
Punkt ^1, in dem die Funktion ^ — c Null in der e^ten Ordnung 
wird. Rechnet man diesen Punkt e^ fach, so erhält man ein Polygon 
^*/^2* ••• '^0^ ^6^ Ordnung w, in dessen Punkten die Funktion 
s — c verschwindet. 

Derselbe Satz gilt aber auch für den Wert c = od, wie man 
daraus schließt, daß der Grad des Körpers Si in bezug auf 1 : 
derselbe ist wie in bezug auf ^. 

4. Die n Punkte, in denen £ einen Wert c annimmt, 
heißen konjugiert nach ^, und die Werte t^i, ^25 •••: ^»n 
die eine Funktion 7; in ß in w konjugierten Punkten 
annimmt, heißen gleichfalls konjugiert nach 2, und 
z heißt von der Ordnung n. Die Konstanten, und 
nur diese, haben die Ordnung 0. 



§ 190. Verzweigungspunkte und Yerzweigungszahlen. 669 

§ 190. Verzweigungspunkte und Verzweigungszahlen. 

Nach § 184 gibt es nur eine endliche Anzahl von Punkten, 
in denen s — c Null in höherer als der ersten Ordnung wird. 
Diese heißen die Verzweigungspunkte von ß in 2. 

Wir konstruieren ein Polygon 3^5 das (e — 1) mal jeden 
Punkt 5p enthält, in dem z — c oder 1 : z Null in der eten Ord- 
nung wird. Dieses Polygon heißt das Verzweigungspolygon 
von iß in bezug auf ^, und seine Ordnung 

(2) IV, = 2:{e—\) 

heißt die Verzweigungszahl in bezug auf z'^). 
In § 184, (20) haben wir die Formel erhalten: 

(3) N{t — t) = {t — rO (^ — Ta) . . . {t — Xn) (mod z — c), 

worin x die Basisform des Körpers Ü nach z bedeutet und r^, Tg, 
..., r„ die gleichen oder verschiedenen konstanten Funktionale, 
denen x nach den Primfaktoren von z — c kongruent wird, also 
die Werte, die x in den nach z konjugierten Punkten ^j, ^21 • • -i ""-pn 
annimmt. In jedem dieser Punkte muß (3) in eine richtige Glei- 
chung übergehen, und daraus folgen z. B.: 

(4) N{x) = ri T2 . . . r„ , 

(5) S{x) = Ti 4- Tg -|- ••• -f Xn 

als Werte der rationalen Funktionale N{x) und S{z) für z = c. 
Setzt man für die Funktionalvariablen rationale Funktionen von ^, 
so gelten entsprechende Formeln für die Funktionen in ü, vor- 
ausgesetzt, daß nicht einer der Ausnahmefälle 0. 00, 00 -|- ao 
eintritt. 

Ist daher ?^i, rj^, ..., rjn eine Basis von ß, und sind ij,,!, iy,_2, • • •, 
rji^n konjugierte Werte nach z von rji, so ist nach (5) und der 
Definition der Diskriminante in § 173 

(6) ^(7^1, r}2, ..., r/„) = (2; +1?,,! r]2,2 ■•• V'^nY- 

Stehen zwei Funktionen z und z' in Sl in einer linearen Be- 
ziehung : 

(7) z = — zi 

^ cz -\- d 



') Breitet man die Riemannsche Fläche über der ,■ -Ebene aus, so ist 
n die Anzahl der übereinanderliegenden Blätter, ir^ ist die Anzahl der Ver- 
zweigungspunkte dieser Fläche. 



670 Sechsundzwanzigster Absclmitt. § 191. 

worin a, 6, c, d Konstanten sind, deren Determinante ad — bc 
von Null verschieden ist, so sind die Yerzweigungspolygone Qz 
und 3z' identisch, und daher ist auch tVz = w^', denn wenn in 
einem Punkte ^ — Zq oder 1 : s Null in der eten Ordnung wird, 
so ist in demselben Punkte auch 

_ (a8 — bc){^ — ^o) 
^«- (c^ + a)(c^o + 8) 
oder wenn ^q unendlich, also z'q = a : c ist: 
, , _ — {ad — bc) 

^ - ^0 - c(c^ + 8) ' 

und wenn ^o = oo, also cz^ -\- d ^ ist: 

1 _ ££j+L^ 
s' a^ -\-b 

ebenfalls unendlich klein in der cten Ordnung. 

Wenden wir dies auf ^' = 1 : ^ an, so erhalten wir die Ver- 
zweigungspunkte, in denen s einen endlichen Wert hat, aus der 
Körperdiskrirainante D, nach § 184, (24), (28). Es fehlen dann 
noch die Verzweigungspunkte, in denen s ■= x , also ^' = wird, 
und diese ergeben sich in gleicher Weise aus den verschwinden- 
den Wurzeln der Körperdiskriminante 7>-. Demnach haben wir 
den Satz: 

5. Die Verzweigungszahl Wz ist gleich dem Grade 
der Körperdiskriminante Dz, vermehrt um die Anzahl 
der verschwindenden Wurzeln von Dz' . (/ = 1:^). 

§ 191. Polygonquotienten und Polygonklassen. 

Eine Funktion rj in Sl hat nur in einer endlichen Zahl von 
Punkten eine von Null verschiedene Ordnungszahl. Die Summe 
der positiven Ordnungszahlen ist ebenso groß wie die Summe der 
negativen, nämlich gleich der Ordnung der Funktion tj (§ 189, 4.). 
Sind die Ordnungszahlen von 7] für jeden Punkt '^s bekannt, so 
ist dadurch die Funktion 7] bis auf einen konstanten Faktor be- 
stimmt. Denn wenn eine zweite Funktion tj' überall dieselben- 
Ordnungszahlen hat, so hat r] : tj' überall die Ordnungszahl und 
ist daher konstant (§ 189, 4.). 

Wir bilden ein Polygon '.}(, in das wir jeden Punkt, in dem 
1} eine positive Ordnungszahl hat, so oft aufnehmen, als diese 
Ordnungszahl angibt, und ein zweites Polygon ^, in das wir in 



§ 191. Polygonquotienten und Polygonklasaen. 671 

entsprechender Weise die Punkte aufnehmen, in denen ij eine 
negative Ordnungszahl hat. Dann sind die Polygone 5( und SB 
von gleicher Ordnung, nämlich von der Ordnung der Funktion rj, 
und durch diese Polygone ist die Funktion rj bis auf einen kon- 
stanten Faktor bestimmt. 

Wir können daher die symbolische Bezeichnung einführen: 



<1) V 



51 



und 51 den Zähler oder das Obereck, 5B den Nenner oder das 
Untereck von rj nennen. Nach dieser Definition sind zunächst 
51 und 53 relativ prim zueinander. Wir wollen aber diese Be- 
zeichnung noch dadurch erweitern, daß wir, wenn W ein beliebiges 
Polygon ist: 

\^) g)i53 53 

setzen. Dann ist die Bezeichnung (1) von der Beschränkung frei, 
daß 51 und 58 relativ prim sein sollen. Beide Polygone sind immer 
noch von gleicher Ordnung, aber diese kann größer sein als die 
Ordnung von t]. 

Bei dieser Darstellung der Funktionen r] gelten dann für die 
Multiplikation und Division dieselben Piegeln, wie beim Rechnen 
mit Zahlenbrüchen im Gebiete der natürlichen Zahlen. 

In (1) können 51, 53 nicht beliebige ni-Ecke sein, und die Er- 
forschung der Beziehung zwischen diesen ist die große Frage, die, 
in anderer Weise, durch das Ab eis che Theorem beantwortet wird. 

Wir stellen folgende Definition auf: 

1. Können zwei )(-Ecke 51,51' Obereck und Unter- 
eck einer Funktion t] in Sl sein, so heißen 51 und 51' 
äquivalent. 

In Zeichen: Gibt es eine Funktion /;, der die Bezeichnung 

51 



zukommt, so ist 










(3) 




51 ~ 51'. 






Aus der Formel 










V = 


51 
51" 


^^ — 51'" 




~~ 51" 


ergibt sich der Satz: 











672 Sechsundzwanzigster Abschnitt. § 192. 

2. Sind zwei n-Ecke mit einem dritten äquivalent, 
so sind sie auch untereinander äquivalent. Man 
vereinigt danach äquivalente Polygone 51, W, ... in 
einer Polygonklasse Ä. Jedes Polygon ist in einer, 
und nur in einer Klasse enthalten. 

Es existieren auch Polygone, die mit keinem anderen äqui- 
valent sind, und die daher jedes für sich eine besondere Klasse 
bilden. Diese heißen isolierte Polygone. 

3. Ist % -^ 51', 5Ö ^ «', so ist 5153 ~ 5t' 53'. 

Dies folgt aus 

51 33 5tS 

(4) V ■= ^, Vi = T^, VV^ = ^^r 

Die Klasse C, der das Produkt 5158 aus den Klassen Ä, B 
angehört, enthält daher alle Produkte aus einem Polygon der 
Klasse A mit einem Polygon der Klasse B (unter Umständen 
auch noch andere) und ist daher durch die Klassen A und B 
vollständig bestimmt. Darauf beruht die Multii^likation (Kom- 
position) der Klassen, die sich in der Formel ausdrückt: 

(5) C = AB = BA. 

Aus einer Gleichung zwischen drei Klassen A^ B^ M 
MA = MB 
folgt hiernach A = B. Denn ist 9)Z5l -^ i1J53, so folgt aus (2) 
51 ~ S. Ist % ~ 51' und 

51 iö =r S und 51'« = 6', 
so ist auch 6 '^ S'. Wenn also 5( in (5 enthalten ist, so ist jedes 
mit 5t äquivalente Polygon in einem mit 6 äquivalenten Polygon 
6' enthalten. 

4. Wir nennen eine Klasse C durch eine Klasse A 
teilbar, wenn ein Polygon von A in einem Polygon 
von C enthalten ist, und setzen 

(6) AB = C. 

Die Klasse B ist durchs und vollständig bestimmt. 

§ 192. Polygonscharen. 
Wenn 5t, 51^, 5t2, ..., % Polygone einer Klasse A sind, so gibt 
es s Funktionen in Sl: 



§ 192. Polygonscharen. 673 

Ist ""^ irgend ein Punkt und q eine Funktion, die in diesem 
Punkt die Ordnung 1 hat, so setzen wir nach § 185 

Vi = ^1 Q'" + öl Q-^ + 1, 

(2) ^2 = «2 9™ + Ö2 ?'" +- \ 

rj, = e.Q"^ -^ ÖS Q"' + \ 
worin Cj , ^2 , . . . , e« Konstanten sind , die nicht alle verschwinden, 
und öl, 02, ..., 6s Funktionen, die in ^ endlich sind; m ist die 
niedrigste Ordnungszahl in '^, die unter den Funktionen rji vor- 
kommt. 

Der Inbegriff der Funktionen 

(3) V = c^Vi + C2V2 -\ \- Cs r]s 

mit Konstanten Cj, C2, ..., c« heißt eine Schar. Wir bezeichnen 
sie durch 

(4) (f?i, V2^ •••■> Vs), 

und nennen jj^, 1^21 •••1 ^s eine Basis der Schar. Die Ord- 
nung von '»2 in ^ ist nicht kleiner als m (sie ist größer, wenn 
e^c-i -\- €2 C2 -j- • • ' -\- Cs Cs =^ ist). Es kann aber r} in keinem 
Punkt ^ unendlich werden, der nicht in % enthalten ist, und 
auch nicht in höhere Ordnung, als der Punkt ^^ in % eingeht. 
Wir können also setzen : 

worin ^' gleichfalls zur Klasse A gehört. 

Nimmt man statt 51 ein anderes Polygon S der Klasse Ä 
und setzt 

(6) e = |, 

so folgt aus 1.: 

^Vi = Vi = ^' 

. _ - _ ^2 

(7) ^*?2 — *^2 — -^, 



und ins = vs = ^ 

(8) ^rj = rj' = c,r][ -\- c^t]^ -\ \- CsV's = ^• 

Jedes durch den Nenner % und ein Konstantensystem Cj, 
Ca, ..., Cs erzeugte Polygon 51' wird also auch durch jeden mit 

Weber, Algebra. III. 43 



574 Sechsundzwanzigster Abschnitt. § 192. 

% äquivalenten Nenner und dasselbe Koustantensystem erzeugt, 
und dies Polygon W ist also nur abhängig von den Konstanten 
und von den Polygonen %, %^ ..., 51«. Der Inbegriff dieser 
Polygone mvd eine Polygonschar mit der Basis 5Ii, ^(2, ..., 51« 
genannt und mit 

(9) (5(„5l2, ...,^2Js) 
bezeichnet. 

Wenn die Polygone 5(i, 5(2, •.., % den grollten gemeinschaft- 
lichen Teiler '^l haben, so ist dieser Teiler in allen Polygonen 
der Schar enthalten und heißt der Teiler der Schar, Aber 
man kann in der Schar ein Polygon 51' = '*DI23 so bestimmen, 
daß 53 beliebig gegebene Punkte nicht enthält. 

Denn ist ein Punkt ^ ftmal in 9JI und vmal in 51 enthalten 
und Q eine Funktion, die in '^^ von der ersten Ordnung ver- 
schwindet, so ist in den Entwickelungen (2): 

m ^ {i — V, 
und die Entwickelung von r] = 51' : 5( = 9Ji ö : 51 lautet 

ri = e()'» -\- ö()'» + i, 
worin 

6 — £"1 Cj — |— 62 C2 ~p • • • ~p ßs Cs' 

Wählt man also die Ci so, daß e nicht verschwindet, so ist 
^ nicht in S enthalten. 

Eine Schar, die einen Teiler lli hat, heißt eine un eigent- 
liche Schar. 

Wenn zwischen den Funktionen ^1, rj2i ••■■, ^s eine Relation 
von der Form besteht: 

(10) Cii?i + C2^2H + Csr]s=0, 

in der die Konstanten q, Cg, ..., c« nicht alle = sind, so be- 
steht dieselbe Relation 

(11) c^v'i ^ C2V1 ^ ••• + (^srj's = 

zwischen den Funktionen (7). Wir nennen dann diese Funktionen 
linear abhängig. Dem entsprechend heißen auch die Polygone 
der Schar 5li , 5I2 , • • • , 5Is linear abhängig. Man kann dann eine 
der Funktionen, etwa rjs, linear durch die übrigen ausdrücken, 
und die Schar (t^^, t]^, ..., ^s) ist mit (rj-^, 7J2, ..., ■»?s-i) identisch. 
Gleiches gilt von den Polygonscharen (5Ii, 5I2, •••, 51.,) und ('i(i, 
5I2, ••., 51s_a). Durch wiederholte Anwendung dieser Reduktion 
kann man jede Schar durch eine linear unabhängige oder 
irreduzible Basis darstellen. Zwei irreduzible Basen einer 



§ 192. Polygonschar en. 675 

Schar haben gleich viel Elemente, und diese Zahl heißt die 
Dimension der Schar und die Schar heißt eine s-fache. 
Sind %i, 5t2, •.., 9ls linear abhängig oder unabhängig, so gilt 
dasselbe von m%, m%, ..., m%. 

Man kann in einer Schar der Dimension s >> 1 

(12) S = {%,%,..,,%) 

ein Polygon finden, das einen beliebigen Punkt ^-|] mindestens 
einmal öfter enthält als der Teiler 5Ji dieser Schar. 

Dieser Zweck wird erreicht, wenn man für diesen Punkt die 
Entwickelung (2) ansetzt und dann eine der Konstanten Cj, Cg, .. ., c« 
aus der Gleichung 

(13) c^e^ ^ c^e^ -\~ '■' -^ CsCs = 

bestimmt. Diese Polygone bilden dann eine Schar von der (s — 1 )ten 
Dimension, deren Teiler durch W^^ teilbar ist. 
Dieser Satz läßt sich dahin erweitern: 

5. Die Polygone einer s-fachen Schar, die durch 
ein r-Eck 91 teilbar sind, bilden eine mindestens 
(s — r)-fache Schar. 

Ist dieser Satz schon für ein r-Eck bewiesen, so folgt er 
für ein (r -\- 1)-Eck ^J'^l^aus dem vorhergehenden. Denn durch 
Hinzutreten des Punktes '^P wird entweder die Dimension nicht 
verändert, wenn ^ im Teiler der durch 91 reduzierten Schar auf- 
geht, oder sie wird um 1 vermindert. 

Man kann das Polygon 9t so wählen, daß die Dimension von 
S genau auf (s — r) reduziert wird. Zu diesem Zweck hat man 
die Punkte von 9t successive so zu wählen, daß jeder folgende 
im Teiler der durch die vorangehende reduzierten Schar nicht 
enthalten ist. Daraus folgt: 

6. In einer s-fachen Schar gibt es mindestens 
ein Polygon, das durch ein gegebenes (s — 1)-Eck 
teilbar ist. 

Ist die Klasse yl, der alle Polygone der Schar S angehören, 
von der mien Ordnung, so kann die Dimension s der Schar nicht 
größer sein als ni -(- 1. Denn sonst könnte man nach 6. in 
S ein Polygon finden, das durch ein (m -|- 1)-Eck teilbar wäre, 
was widersinnig ist, da S nur m-Eoke enthält. Es hat daher die 
Dimension s der Schar bei gegebener Klasse Ä ein Maximum. 
Ist dieses Maximum erreicht, so sind alle Polygone der Klasse A 

43* 



576 Sechsundzwanzigster Abschnitt. § 193. 

in S enthalten. Denn gibt es ein nicht in S enthaltenes Polygon 
%+ i in J-, so ist 

eine Schar von der Dimension s -)- 1. Damit ist bewiesen: 

7. Die Polygone einer Klasse bilden eine Schar 
von einer endlichen Dimension s. Diese Zahl soll 
die Dimension der Klasse heißen. 

Wenn es in einer Klasse C Polygone gibt, die durch ein 
Polygon 5( einer Klasse Ä teilbar sind, so ist C durch A teil- 
bar. Ist 

C = AB, 

so erhält man die Dimension von B dadurch, daß man die Schar 
aus C aussucht, die durch irgend ein Polygon % in A teilbar 
ist. Diese Dimension ist also nur von den beiden Klassen A 
und C abhängig vmd soll mit (A^ C) bezeichnet werden. Das 
Zeichen für die Dimension einer Klasse A ist hiernach (0, J.), 
wenn O die Klasse des Nullecks ist. Wir haben dann 

(14) {A, C) = (A,AB) = (0,B), 

und wenn a die Ordnung der Klasse A ist, so ist nach 5.: 

(15) (A, C) ^ (0, C) - a. 

Bezeichnen wir mit A die eigentliche Klasse, die man erhält, 
wenn man 5!Jl überall weghebt, so soll die uneigentliche Klasse 
mit dem Teiler 9}i durch ''MA bezeichnet sein. 

8. Der Teiler einer uneigentlichen Klasse ist ein 
isoliertes Polygon. 

Ist nämlich ^3iJ. eine uneigentliche Klasse, so läßt sich in 
A ein Polygon 51 finden, das relativ prim zu ^11 ist. Ist W mit 
"ÜJi äquivalent, so ist W'U in 93iJ. enthalten und mithin durch 
M teilbar. Es ist also auch 5)^' durch W teilbar, also mit ^R 
identisch. Es gibt also in der Klasse von 5.1? nur das einzige 
Polygon '»ITJ. 

§ 193. Normalbasen. 

Nach dem Vorigen können wir eine Funktion s des Körpers 
Sl von der wten Ordnung in der Form 

<1) . = y. 



I 



§ 193. Normalbaseu. 677 

darstellen, worin U und U' äquivalente «-Ecke ohne gemeinschaft- 
lichen Teiler sind. Eine ganze Funktion co von z ist dadurch 
charakterisiert, daß sie in keinem Punkt unendlich wird, der 
nicht in 11 enthalten ist. Folglich läßt sich eine solche Funktion 

03 so darstellen: 

% 

(2) « = ^, 

worin r ein positiver Exponent ist. In (2) können Zähler und 
Nenner gemeinschaftliche Teiler haben. Wir können aber an- 
nehmen, daß ^l nicht durch U teilbar ist. Dann hat in (2) der 
Exponent r den kleinst möglichen Wert. Diese Zahl r soll 
der Exponent von a in s heißen. 

1. Setzen wir / = 1:^, so ist nach (1), (2): 

und wenn ^( nicht durch U' teilbar ist, so ist r der Exponent 
von ö' in bezug auf z'. Die Annahme, daß % nicht durch U' 
teilbar sei, bedeutet, daß oj nicht durch z teilbar sei, und daraus 
folgt, daß auch ra' nicht durch s' teilbar ist. 

2. Der Exponent einer ganzen rationalen Funktion von z 
vom »iten Grade 

X = ÜQ -[- a-^z -\- •■•-]- a,n z'" 
ist gleich m. Denn diese Funktion wird in jedem in U enthaltenen 
Punkt unendlich von der mten Ordnung. Der Exponent des Pro- 
duktes X 00 ist gleich r -\- m. 

3. Der Exponent einer Summe 

03 == CiO-^ -\- 0^(0^ -\- ••• -\- Cs 03 s 

ist höchstens gleich dem größten der Exponenten von «i, tOg? • • •? "s- 

4. Wir bestimmen eine Reihe ganzer Funktionen von z 

^11 ^21 ^^^ ' • • 

durch folgende recurrente Bestimmung: 

1) Aj konstant (Exponent r^ = 0), 

2) ^2 eine nicht rationale ganze Funktion von z mit 
möglichst kleinem Exponenten r^, 

3) A, eine nicht in der Form 

(3) Xi Ai -|- 5^2 Ag + • • • + ^s-i ^s-i 

enthaltene ganze Funktion von z mit möglichst kleinem 
Exponenten rs, 



(578 Sechsundzwanzigster Abschnitt. § 193. 

und setzen diese Reihe fort, solange man noch Funktionen A« 
finden kann, die nicht in der Form (3) enthalten sind. 

Nach 4., 3) sind die Funktionen A^, A2, ..., Is in dem Sinne 
linear unabhängig, daß zwischen ihnen keine lineare Gleichung 
besteht mit rationalen Koeffizienten in z. Da es nicht mehr als 
n linear unabhängige Funktionen gibt, so kann s nicht größer 
als n sein. Andererseits gibt es, solange s'^n ist, immer noch 
ganze Funktionen, die von Aj, A2, ..., As_i nicht linear abhängig 
sind, und darunter auch solche von kleinstem Exponenten. Wir 
erhalten also n Funktionen 

(4) L = (Aj, A2, ..., A„), 

und diese bilden eine Basis des Körpers i^ nach s. Sie bilden 
eine Minimalbasis; denn wäre dies nicht der Fall, so müßte für 
irgend ein s^n eine Funktion x-^X-y -|- ä^2 '^a ~i~ * * • ~j~ ^s A« durch 
eine lineare Funktion z — c teilbar sein, ohne daß x^ durch z — c 
teilbar ist. Reduziert man x-^^ x^i ..., Xs auf ihre Reste nach 
z — c, so ergibt sich eine Gleichung: 

q Aj -[- C2 A2 -|- • • • -I- Cs As = {^ — c) i^^ 
worin die Cj, Cj, ..., c« konstant sind, Cg von Null verschieden und 
^ eine ganze Funktion ist. Es ist ju. nicht in der Form (3) ent- 
halten und sein Exponent ist nach 2. und 3. kleiner als der 
Exponent von A^, was der Bestimmung 4. 3) widerspricht. Also: 
5. Die Funktionen A^, Ag, ..., A„ bilden eine Mini- 
malbasis von iß nach z. Sie heißt eine Normalbasis. 
Die Exponenten rj, rg, rg, ..., r„ dieser Funktionen genügen 
der Bedingung: 

(5) *•! = 0, 1 ^ »-2 ^ r-s . . . ^ Yn. 

Denn wäre r« <C ^s_i , so hätte man nach 3. 3) A^ an Stelle von 
As_i nehmen müssen. 

Von den Funktionen Aj ist keine durch z teilbar; denn wäre 
As = ^|u., so hätte fi einen kleineren Exponenten als A« und wäre 
nicht in der Form (3) enthalten. Es müßte also ^ an Stelle 
von As treten. 

6. Demnach sind (nach 1.) 

die Exponenten von 

(6) Ai = ynAi, A2 = /'-^g, ..., A; = /'-«A,, 

in bezug auf z' = 1 : ^, und diese Funktionen sind die Elemente 
einer Normalbasis von il nach z'. 



§ 194. Differentialquotienteii. 679 

Bezeichnen wir nämlich mit x'i ganze rationale Funktionen 
von z\ höchstens vom Grade m, so ist 

eine ganze rationale Funktion von z. Wäre nun 

i 

As = -i A^i Aj, 
0, s— 1 

so würde aus (6) und (7) folgen: 

0, s-1 

und dies ist unmöglich, weil die Aj linear unabhängig sind; und 
es kann auch keine Funktion X'g von niedrigerem Exponenten als 
Vs geben, weil man daraus eine Funktion Xs von niedrigerem 
Exponenten herleiten könnte. 

Die Körperdiskriminanten D^, D,i in bezug auf die Variable 
^ und z' sind 

-Dz = ^ {^[1 ^21 •••1 ^n)l 
JJz' = ^(^1, Ag, ..., A„), 

und daraus folgt nach (6): 

(8) Bz' = ^'2(n + r,+ ... + r„)X),. 

Ist also d der Grad von Dj, so ist 

2(n+*-2H ^r„)-d 

die Anzahl der verschwindenden Wurzeln von Dz, und es ergibt 
sich nach § 190, 5.: 

(9) tvz = 2(r, ^r,-] h »'n)- 

7. Die Verzweigungszahl iVz ist also immer eine 
gerade Zahh 

§ 194. Differentialquotienten. 
Die Differentialquotienten können wir, wo wir keinen Gebrauch 
von der Stetigkeit machen, nicht in der gewöhnlichen Weise 
einführen. Wir nehmen zwei Funktionen a, ß aus Sl, zwischen 
denen die irreduzible Gleichung 
(1) F(«, /3) = 

besteht, bezeichnen mit F' (a), F' (ß) die abgeleiteten Funktionen 
und definieren den Differentialquotienten als Funktion des 
Körpers ß durch die Formel: 

'^' \dß) " F'(a) 



680 Sectisundzwanzigster Abschnitt. § 194. 

Es seien «o» ßo c^g endlichen Werte der Funktionen oc, /3 in 
einem Punkt ^. Dann ist -^(«0, ßo) = 0, und wir können die 
Gleichung (1) so darstellen: 

(3) = (a- «o) F' («o) + (/3 - /3o) i^' (ß^) 

+ i [(« - a,y F" K, «o) + 2 (cc - «o) (/3 - /3o) F" (««, /3o) 
+ aJ-/3o)2j^"(^o,/5o)] + --- 
Die beiden zueinander reziproken Funktionen 
a — ccq ß — ßi) 
/3 — /Jo ' « — «0 
können nicht beide in dem Punkt ''^ unendlich sein. Es sei also: 



^ß - ßoJo 

der endliche Wert des ersten dieser Quotienten. Dann ergibt 
sich aus (3), wenn F' (ocq) nicht Null ist: 

(A^ ( ^ ~ ^ o\ _ _ F'{ß,) _ _ (F^ß)\ _ (da\ 
^ ^ \ß- ßoJo F' K) ~ \F'{a)l - \dßj; 

Diese Gleichung besteht für alle Punkte ^^, mit etwaiger Aus- 
nahme einer endlichen Anzahl i). 

1. Eine Funktion i] in ß, die in allen Punkten, 
mit Ausnahme einer endlichen Anzahl, der Bedin- 
gung genügt: 

(5) Vo = 



/5( 
ist mit (-r^i identisch. 

Denn aus (4) und (5) folgt, daß die Funktion 



äß)~"^ 

unendlich viele Nullpunkte hat und daher identisch verschwin- 
den muß. 

Die Formel (5) kann also gleichfalls als Definition des Dif- 
ferentialquotienten dienen. 

Daraus ergeben sich einfach die Hauptsätze über die Dif- 
ferentialquotienten : 



^) Unter den auszunehmenden Punkten sind jedenfalls die enthalten, in 
denen «„ oder ß^ unendlich wird. Denn für diese Punkte sind die Funk- 
tionen H — «0, /3 — ^g gar nicht erklärt. 



§ 194. Differentialquotienteu. 681 

2. Seien a, /3, y drei Fuuktionen in Sl] dann ist 

(«) (S)S) = (S- 

Denn es ist für unendlich viele Punkte 



.ß — ^o/o \y — ro/o \r — Yo/o 

und daraus folgt wie bei 1. der Satz 2. 

Demnach kann man jeder Funktion w in ß eine Funktion da 
so zuordnen, daß für irgend zwei dieser Funktionen: 
.^. /dci\ da 



dßj dß 

ein wirklicher Quotient zweier Funktionen da, dß wird. Diese 
Funktionen nennen wir die Differentiale von a,ß. Die Diffe- 
rentiale der Konstanten und nur diese sind gleich Null. Die anderen 
Differentiale sind alle vollständig bestimmt, wenn eines von ihnen 
willkürlich (z. B. konstant) angenommen ist. 

3. Sind a, /3, y, ..., beliebige Funktionen in Sl, 
die einer Gleichung 

(8) F{a,ß,y,...) = 
genügen, so ist 

(9) F'{a) da + F' (ß) d ß -{- F'{y) dy -] = 0. 

Um diesen Satz zu beweisen, nehme man einen Punkt ^, in 
dem keine der Funktionen a, ß, y ... oder da, d ß, dy, ... unend- 
lich oder Null wird und auch die abgeleiteten F' (a), F' (/3), F' (y) 
nicht verschwinden, und ordnen wie in (3) die Funktion F nach 
Potenzen und Produkten von a — a^, ß — ß^, y — yo-, - ■ ■ Dann 
ergibt sich, daß die Gleichung (9) für unendlich viele Punkte, und 
mithin identisch erfüllt ist. Als Spezialfälle von (9) ergeben sich: 

d (a ^ ß) == da -f dß, 

d{aß) = ßda + adß, 
^ ' fa\ ßda — ad ß 



ßJ "" ß' 

Der Begriff des Differentials läßt sich ohne weiteres auf 
holomorphe Funktionale übertragen, wenn die Funktional- 
variablen als Konstanten betrachtet werden. Der Satz 3. und die 
daraus folgenden Formeln (10) gelten dann auch noch, wenn a, 
ß, y, ... holomorphe Funktionale sind und F (a, ß, y, . . .) eine 
ganze rationale Funktion von a, ß, y, . . . , ist. 



682 Sechsundzwanzigster Absclinitt. - § 195. 

Ist a eine ganze rationale Funktion von ^, so ist dajdz eben- 
falls eine ganze rationale Funktion, nämlich die Derivierte von 
a nach z. 



§ 195. Darstellung der Differentialquotienten durch 
Polygonquotienten. 

Wir nehmen irgend eine Funktion z der wten Ordnung in Sl 
und eine Minimalbasis oji, a^^ ..., &>„ in bezug auf z. Alle ganzen 
Funktionen von z des Körpers ß sind dann in der Form dar- 
stellbar : 

(1) 03 = Xi «1 -f- .Ta 032 + • • • + ^n (X>n 

und gehen aus dem Basisfunktional 

(2) r = f, 03, + ^2^2 + ••• + tnCOn 

hervor , wenn für die Funktional variablen t^, /g i • • • i in ganze 
rationale Funktionen ^^ , x^^ . . . , ^„ von z gesetzt werden. 
Setzen wir, wie in § 184, 

N{t-r) = F{i,z), 
so genügt T der irreduzibeln rationalen Gleichung: 

F{r, z) = 0, 
und man erhält nach § 194, 3.: 

(3) F'(t)dt + F'{z)dz = 0, 

und hierin ist F' (r) das Verzweigungsfunktional (§ 184). 
Nach (1) und (2) ist 

(4) da = dr -{- ca^dx^ -{- C02dx2 -{-••• -\- condxni 

wo in dt die f» durch die Xi zu ersetzen sind, und es folgt also 
aus (3) der Satz: 

4. Ist (0 eine ganze Funktion von z^ so ist 

(5) f'W^ = -^'W + ».^ + - + ".^» 

ein ganzes Funktional. 

Andererseits ist F' {(o) nach § 182, 8. durch F' {r) teilbar. 
Setzen wir also: 
(6) F'{a) = QF'{r\ 

so ist Q ein ganzes Funktional, und aus (4) ergibt sich, wenn 
man die f.- durch die Xi ersetzt: 



§ 195. Darstellung der Diflferentialquotienten durch Polygonquotienten, 683 

(7) _f'(.) = f'w(^-„.i| .„^) 

^, , . /d CO d X-, d Xn\ 

und daraus folgt, daß auch F' (z) (nach Ersetzung der U durch 
die Xi) durch q teilbar ist. 

Wir nennen demnach, mit Rücksicht auf die geometrische 
Analogie, q das Funktional der Doppelpunkte in oj, z. 

Ist ^ ein Punkt, in dem z endlich und F' {%) von Null ver- 
schieden ist, der also kein Verzweigungspunkt in z ist, so hat 
eine ganze Funktion co von z nach 4. in ^ einen endlichen 
Differentialquotienten. Eine gebrochene Funktion ri von z^ die 
in ^ endlich ist, läßt sich als Quotient zweier ganzer Funktionen 
a'-.co darstellen, deren Nenner co in ^ nicht verschwindet. 

Daraus folgt: 

dri 1 / ,d CO da' 

-^ = ( CO -=j CO~j — 

dz ß)2 \ dz dz 

und folglich ist drj:dz im Punkt ^ gleichfalls endlich. 

Um das Verhalten eines beliebigen Differentialquotienten 
dcc-.dß in irgend einem Punkt ^ zu erkennen, nehme man eine 
Funktion z, die in ^^ Null von der ersten Ordnung wird, und be- 
zeichne mit r, s die Ordnungszahlen von a — «q, /3 ■ — ■ ß^ in 
Punkt '^. Für den Fall, daß w in ^ unendlich wird, setze man 
«0 = und erhält eine negative Ordnungszahl r. Entsprechen- 
des gilt, wenn ß unendlich wird. 

Dann ist nach § 185: 

« — «0 = ^'' «'l 
^ ^ ß-ßo = ^^ ß\ 

worin a' und ß' Funktionen in ^ sind, die in ^ weder Null noch 
unendlich werden. 

Daraus ergibt sich nach § 194: 

da ^ , , dcd 

dz ^ dz 

-jT = sz'-'ß' + 2'-r-, 
dz 'dz 

da' 

/Q\ ß — ßo d a a' dz 

a — Kq d ß 1^ d ß' '' 



684 Sechsundzwanzigster Abschnitt. § 195. 

und wenn man in den Punkt '^^^ geht: 

'ß — ßo docX r 



^ \a — cCq clßjo s 

was ein endlicher von Null verschiedener Wert ist. 
Daraus folgt : 

5. Die Ordnungszahl des Differentialquotienten 
daidß in irgend einem Punkt '^> ist gleich der 
Differenz der Ordnungszahlen von a — a^ und ß — ßo. 

Ist r >> s, oder r <Z s, so ist 

^"-'^'^^ =Ooder 



.ß - ßoyo 
und folglich nach (10) auch 



(11) 



, . =0 oder = 
dßjo 

Ist r = s, so folgt aus (10) 

Y7 a\ /a — «0 



^d ßjo \ß — ßJo 

Hier ist jede Spur der Variablen ^ herausgefallen, 
und diese Formel gilt für jeden Punkt ^^ ohne Ausnahme. 

Danach lassen sich die Nullpunkte und Unendlichkeitspunkte 
der Diftierentialquotienten genau feststellen und damit diese 
Funktionen als Polygonquotienten darstellen. 

Ist a die Ordnungszahl von a — «o in einem Punkt ^^ nach 
§ 188, so enthält das Verzweigungspolygon 3« den Punkt ''^ 
a — 1 mal oder — a — 1 mal, je nachdem a positiv oder negativ 
ist. Ist a negativ, so enthält das Nennerpolygon % von a den 
Punkt '^ ( — a) mal, und folglich ist in beiden Fällen der Punkt 
^-)3 in 3«-^'^^ (f* — l)mal enthalten. Hat 3^^, S, b die entspre- 
chende Bedeutung für /3, so enthält also der Quotient: 

(« — &) mal den Punkt ^. 

Die Ordnungszahl von docidß in ^ ist aber nach 5. ebenso 
groß, und daraus ergibt sich die Darstellung: 

^ äß 3^512' 

worin, um es zu wiederholen, 3" 5 3/? die Verzweigungspolygone, 

^(, 3B die Nenner von a, ß sind. 



§ 196. Geschlecht des Körpers Sl. 685 

§ 196. Geschlecht des Körpers Sl. 

Da in einem Polygonquotienten Zähler und Nenner von 
gleicher Ordnung sind, so folgt aus der letzten Formel [§ 195, (12)]: 

(1) iVa — 2 a = iv^ — 2h. 

Bezeichnen wir also mit n die Ordnung und mit w die Ver- 
zweigungszahl für eine beliebige Variable, die, wie wir im § 193 
gesehen haben, eine gerade Zahl ist, so ist die ganze Zahl: 

(2) ^ = i^_,i4_l, 

eine zu dem Körper £1 gehörige invariante ganze Zahl, die das 
Geschlecht des Körpers genannt wird. Daß diese Zahl nicht 
negativ sein kann, ergibt sich aus § 193, (5) und (9), wonach 

(3) ^ = (r, - 1) -f (ra - 1) H [- (r„. - 1) 

ist, und so aus lauter Summanden besteht, deren .keiner negativ ist. 
Zwei Funktionen cc, ß nennen wir ein primitives Paar des 
Körpers ü, wenn alle Funktionen in Si rational durch a und /3 
ausgedrückt werden können. Ist a von der jnten, ß von der wten 
Ordnung, so ist nach § 171 für ein primitives Paar notwendig 
und hinreichend, daß die zwischen « und ß bestehende irreduzible 
Gleichung : 

n m 

(4) F{a, ß) = 

in a vom «ten, in ß vom mten Grade sei. 

Es sollen die Funktionen F' (o<), F' (ß) durch Polygonquotienten 
dargestellt werden. Wir setzen: 

(5) '^^IT' ^^^' 

worin %, W von der mten, 33, ^i von der nten Ordnung sind. 91 
hat dann mit 'DJi und 33 mit ^i keinen Punkt gemein. Wir setzen: 
F{a, ß) = tto«" + «1 a"-i ^ h ««, 

(6) F'{a) = naoK''-^ -\~ (n — l)a-^a''-'^ -^ ... _|- «„_,, 
u F' (a) = — «1 a"-i — 2 aa «"-^ — • • • — w «„. 

Aus der zweiten dieser Gleichungen schließt man, daß im 
Nenner von F' (cc) keine Punkte vorkommen, die nicht in 5( oder 
in 33 enthalten sind, und aus dem dritten folgt, daß dieser 
Nenner höchstens = sj[n-2<gm ^q{^ kann. Wir setzen also: 



636 Sechsundzwanzigster Abschnitt. § 196. 

Es soll jetzt bewiesen werden, daß 2 durch das Verzweigungs- 
polygon 3^ teilbar ist. 

Nehmen wir zunächst an, daß % und 5B relativ prim zu 3,^ 
seien; dann gibt es eine ganze rationale Funktion x von /3, die in 
keinem Punkt von 3y verschwindet, für die co ^ xa eine ganze 
Funktion von ß wird. Setzen wir 

/'(«) = x"F{a, /3), 
so ist: 

Ist T die Basisform von £1 in bezug auf ß, so ist nach § 182 
/■'(oj durch /"'(t) teilbar, und da nach Voraussetzung ß in keinem 
Verzweigungspunkt unendlich wird, so ist f (t) und folglich auch 
F' (a) durch das Verzweigungspolygon 3^ teilbar, und unsere Be- 
hauptung erwiesen. Wir setzen: 

S = 9^3,^, 
(8) F'{a) = ^^^^. 

Diese Formel ist hierdurch nur unter der Voraussetzung 
erwiesen, daß weder « noch ß in einem der Verzweigungspunkte 
unendlich wird. 

Machen wir aber die lineare Substitution: 



(9) 


«K + 1) = 


a«!, 


/3(/3i + lJ = 


bß^, 


so ist nach § 190 







und wir können die Konstanten a. b so wählen, daß a^ und ß^ in 
keinem Punkte von 3,* unendlich werden. Wir haben nur für- a 
und b irgend konstante Werte zu nehmen, die a und ß in keinem 
Punkte von 3,* annehmen. 

Ist i^i («1 , /3i) = die zwischen a^ , /S^ bestehende rationale 
Gleichung, so ist: 

F, K, ß,) = («, + 1)«(^, + 1)'"^(«, ß), 
oder auch nach (9): 

ferner da:da^ = «2 : a oc^-, und folglich, mit Rücksicht auf F = 0, 

F^ = 0: 

(10) a« - 2 ß»' Fi («i) = a" - 1 &'" ay - 2 /3'» i^' (oc). 



§ 196. Geschlecht des Körpers £1. 687 

Nach (9) verschwinden cc^^ /3i in denselben Punkten und mit 
denselben Ordnungszahlen wie «, /3, und daraus ergeben sich, den 
Darstellungen (2) und (4) entsprechend, die Polygondarstellungen: 

(11) ''^ = %^ ^^=^' 
und aus (5), (7) und (10): 

(12) F'^M = ^J^^- 

Damit ist die Formel (8) allgemein bewiesen. 
Setzt man nach § 194, (9): 

F'{a)da -\- F'(ß)dß = 0, 
so folgt aus (8) und § 195, (12): 

(13) F'(ß) = ^^^. 

Beide Ableitungen i^'(a), F' (ß) verschwinden also in den 
Punkten von 0?, und 9? heißt das Polygon der Doppelpunkte 
in («, ß). 

Die Ordnung von 51"33"'~^ ist 2n{m — 1) und daraus ergibt 
sich für die Ordnung 2 r von 9t eine gerade Zahl, nämlich : 

2r = 2n(m — 1) — iVa = 2m(n — 1) — tv,^, 
und für das Geschlecht j? ergibt sich nach (2): 

(14) p = (w — 1) (»i — 1) — r. 



Sieben und zwanzigster Abschnitt. 

Algebraische und Abel sehe Differentiale. 



§ 197. Difierentiale in Sl. 

Sind z und 2^ zwei Variable in Sl von den Ordnungen w, n^ 
mit den Unterecken U, Uj, mit den Verzweigungsecken: 3? Sn 
den Verzweigungszablen w, Wi, so ist nach § 195, (12) 

d^ _ 3U[ 

Setzt man 

(1) " - ^' ''^ - ^' 
so wird hiernach 

(2) cod^ = (OidZi. 

Ist '^U2 äquivalent mit 333, so ist o eine Funktion in Si, 
und o?! ist gleichfalls eine Funktion in Sl. Sind a, b die Ord- 
nungen von 'Jl und 53, so ist [§ 196, (2)] 
. . & -f tt; = a -\- 2 m, 

^ ^ a = & ^ 2i) — 2, 

wenn p das Geschlecht des Körpers Sl ist. 

Wir setzen jetzt in einer neuen symbolischen Bezeichnung 

w ^^ = |. 

51 

(5) cod^ = dJ = -rrr, 

und nennen diese Ausdrücke die zum Körper iß gehörigen 
Differentiale. 

Im Zähler und Nenner 51, 33 eines Differentials können 
gemeinschaftliche Faktoren zugefügt oder weggelassen werden. 
Haben 51 und 53 keinen gemeinschaftlichen Teiler, so heißt 51 das 
Obereck, 33 das Untereck des Differentials dJ. 



§ 197. Differentiale in £1. 689 

Die Bezeichnung (5) eines Differentials unterscheidet sich von 
der ähnlichen Bezeichnung der Funktionen in Sl dadurch, daß 
der Grad des Zählers um {2 p — 2) höher ist als der des Nenners. 

Die in § 194 definierte Differentiale da der Funktionen in 
£1 sind spezielle Fälle der allgemeinen Differentiale (5). Denn 
nicht alle diese dJ sind Differentiale von Funktionen in Sl. 
Wir unterscheiden eigentliche Differentiale dcc^ d. h. solche, 
die Differentiale von Funktionen in ^ sind, und un eigentliche 
oder Abelsche Differentiale dJ, die das nicht sind. Für die 
letzteren hat